Mathematik 1/2 - Fourier

Mathematik 1/2
Joachim Schneider
3. März 2010
1
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen, Zahlen Geometrie
16
1.1 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.1
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.2
Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1.2.1
18
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1.1
Anzahl der n-Tupel . . . . . . . . . . . .
18
1.1.2.1.2
Variationen mit Wiederholung . . . . . .
18
1.1.2.1.3
Variationen ohne Wiederholung . . . . .
19
1.1.2.1.4
Permutationen . . . . . . . . . . . . . .
19
1.1.2.1.5
Die Anzahl der n-elementigen Teilmengen einer k-elementigen Menge A . . . .
19
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.1.3.1
*Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.1.3.2
*Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . .
23
1.2 Von den natürlichen zu den reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . .
28
1.1.3
1.2.1
*Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.1
1.2.2
28
Rechenregeln für die Arithmetik mit natürlichen
Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
*Erweiterungen des Zahlenbereichs . . . . . . . . . . . . .
31
1.2.2.1
31
Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
INHALTSVERZEICHNIS
1.2.2.2
Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
33
Rechenregeln für die Arithmetik mit rationalen Zahlen . .
35
1.2.3.1
Die Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.2.3.2
Die Ordungsaxiome
. . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.2.3.3
Betrag einer Zahl und Abstand zweier Zahlen . .
37
1.2.3.4
Rechenregeln für Ungleichungen . . . . . . . . . .
38
1.2.3.5
Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.2.3.6
Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.2.3.7
Löcher in den rationalen Zahlen . . . . . . . . . .
48
Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.2.4.1
Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.2.4.2
Näherungswerte für die fehlenden Zahlen . . . . .
51
1.2.4.3
Darstellung der reellen Zahlen als Vektoren auf
der Zahlengeraden . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.2.3
1.2.4
1.3.1
Das Summen und das Produktzeichen . . . . . . . . . . . .
53
1.3.2
Die binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.3.3
*Die verallgemeinerte zweite binomische Formel . . . . . .
54
1.3.4
Die Bernoullische-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.4 Folgen (von Zahlen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.4.1
Beispiel: Approximation der Wurzel . . . . . . . . . . . . .
56
1.4.2
Definition des Begriffs “Folge” . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1.4.3
*Beweis, daß obige Wurzelapproximation konvergiert . . .
61
1.4.4
Beispiele von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
1.4.4.1
Die Folge (xn )n∈N : x, x2 , x3 , . . .
. . . . . . . . . .
62
1.4.4.2
Die Folge (( n1 ) q )n∈N für p ∈ N, q ∈ N . . . . . . .
62
1.4.4.3
Die Folge (n q )n∈N für p ∈ N, q ∈ N . . . . . . . .
63
p
p
4
INHALTSVERZEICHNIS
√
Die Folge ( n a)n∈N für a > 0 . . . . . . . . . . . .
63
1.4.5
Rechenregeln für Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
1.4.6
Die geometrische Summe und die geometrische Reihe . . .
65
1.4.7
*Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.4.8
*Zusatz: Anmerkungen zu den reellen Zahlen . . . . . . . .
73
1.4.8.1
Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen . . . . .
74
1.5 Die Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
1.4.4.4
1.5.1
Erinnerung an die euklidische Geometrie . . . . . . . . . .
78
1.5.1.1
78
1.5.1.1.1
Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
1.5.1.1.2
Euklids Postulate . . . . . . . . . . . . .
79
Einige fundamentale geometrische Sätze . . . . .
80
Kartesische Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . .
84
1.5.2.1
85
1.5.1.2
1.5.2
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.1.1
1.5.2.2
Sinus und Cosinus am rechtwinkligen
Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Koordinatentransformation und Drehungen . . .
92
1.5.2.2.1
Drehung des Koordinatensystems (“passive Drehungen”). . . . . . . . . . . . . .
92
1.5.2.2.2
Drehung der Ebene (“aktive Drehungen”). 93
1.5.2.2.3
Das Additionstheorem für die trigonometrischen Funktionen. . . . . . . . . . . .
2 Funktionen
94
98
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.2 Einfache Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.2.1
*Die Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.2.2
Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
INHALTSVERZEICHNIS
2.2.3
5
*Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 102
2.3 Der Begriff der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.4 *Implizite Funktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5 *Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.6 Die Trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.6.1
Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.6.2
Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.6.2.1
Bedeutung im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . 107
2.6.2.1.1
Tangens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.6.2.1.2
Cotangens. . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.6.2.2
Bedeutung am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . 108
2.6.2.3
Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.7 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen . . . . . 110
2.7.1
Einige Beziehungen zwischen den Arcusfunktion . . . . . . 115
2.8 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.8.1
Motivation: Ungebremstes Wachstum . . . . . . . . . . . . 119
2.8.2
Eigenschaften der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . 121
2.8.2.1
Das Additionstheorem der Exponentialfunktion . 121
2.8.2.2
exp x = ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.8.2.3
Vorzeichen, Wert an der Stelle 0, ... . . . . . . . . 124
2.8.2.4
Die Reihendarstellung der Exponentialfunktion . 125
2.8.2.4.1
Noch einmal exp(x + y) = exp(x) exp(y): 126
2.8.2.4.2
Noch einmal exp(x) = ex : . . . . . . . . 127
2.9 Der natürliche Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.10 Die Potenz mit rellem Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.11 Logarithmus zu beliebiger positiver reller Basis a . . . . . . . . . 129
INHALTSVERZEICHNIS
3 Komplexe Zahlen
6
136
3.1 *Cardanos Formel für Gleichungen dritten Grades . . . . . . . . . 136
3.1.1
Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.1.2
Noch einmal die n-te Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.1.3
Herleitung der Cardanischen Formel . . . . . . . . . . . . . 139
3.1.4
Beispiele und Aufgaben zur Cardanischen Formel . . . . . 141
3.2 Die Komplexen Zahlen und ihre Rechenregeln . . . . . . . . . . . 144
3.3 Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen . . . . . . . . 151
3.3.1
Die Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.3.2
Interpretation der Addition als Vektoraddition . . . . . . . 153
3.3.3
Interpretation der Multiplikation als Drehstreckung . . . . 155
3.4 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.4.1
Die Formel von De Moivrei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.4.2
Die Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4 Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit
161
4.1 Topologische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2 Funktionsgrenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5 Differentialrechnung
174
5.1 Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion . . . . . . . . . . . 174
5.1.1
Definition der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.1.2
Geometrische Bedeutung der Ableitung . . . . . . . . . . . 177
5.1.3
Die Ableitung als beste lineare Approximation an eine
Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.1.3.1
Folgerungen aus der linearen Approximation . . . 179
7
INHALTSVERZEICHNIS
5.1.4
Differenzierbarkeit und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . 179
5.2 Differentiationsregeln mit Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . 180
5.2.1
Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.2.2
Die Ableitung bekannter Funktionen . . . . . . . . . . . . 182
5.3 Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . 184
5.3.1
Anschauliche Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.2
*Der Mittelwertsatz von Cauchy — formale Herleitung . . 188
5.4 Die Regel von de l’Hospital
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.5 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.6 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.7 Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.7.1
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.7.2
Taylorpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.7.3
Herleitung der Taylorschen Formel . . . . . . . . . . . . . 210
5.7.3.1
Anwendung der Taylorschen Formel
. . . . . . . 211
5.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6 Integralrechnung
221
6.1 Bespiele für das Auftreten von Integralen . . . . . . . . . . . . . . 221
6.1.1
Bewegung im Kraftfeld (eindimensional) . . . . . . . . . . 221
6.1.2
Weg-Zeitgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.1.3
Fläche unter einem Funktionsgraphen . . . . . . . . . . . . 224
6.2 Definition und Eigenschaften des Riemannschen Integrals . . . . . 225
6.2.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.2.2
Berechnung des Integrals durch Auswertung von Riemansummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2.2.1
6.2.2.2
y = f (x) ≡ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
y = f (x) = x2 , a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 227
INHALTSVERZEICHNIS
6.2.3
8
Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.3 Der Hauptsätz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . 230
6.3.1
Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.3.2
Der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 230
6.3.2.1
Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.3.2.2
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.3.2.3
Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.3.3
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.3.4
Der erste Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
6.3.5
Analytische Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . 237
235
6.3.5.1
Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.3.5.2
Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.3.5.3
Die Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.3.5.4
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7 Gewöhnliche Differentialgleichungen
243
7.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.2 Die Differentialgleichung der Kettenlinie . . . . . . . . . . . . . . 244
7.3 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.4 Lösungsrezepte für Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . 249
7.4.1
Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.4.2
Trennung der Variablen: y ′ = φ(x, y) = g(x)h(y) . . . . . . 250
7.4.3
Substitutionen, die auf separable Differentialgleichungen
führen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.4.3.1
7.4.4
φ(x, y) = f (y/x): Substitution u = y/x . . . . . . 250
Die lineare Differentialgleichung: y ′ + p(x)y = r(x) . . . . . 250
7.4.4.1
Vorkommen dieser DGL . . . . . . . . . . . . . . 250
7.4.4.2
Herleitung der allgemeinen Lösungsformel . . . . 251
9
INHALTSVERZEICHNIS
7.4.4.3
Schritte zur praktischen Berechnung von Lösungen 252
7.4.4.3.1
Vorbenerkung . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.4.4.3.2
I: Anwendung der Lösungsformel . . . . 252
7.4.4.3.3
II: Lösung “zu Fuß” . . . . . . . . . . . 254
7.4.4.3.4
III: Lösung mit speziellem Ansatz für yp
255
7.5 Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 255
7.5.1
Schwingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.5.1.1
7.5.1.2
Lineare Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.5.1.1.1
Physikalische Problemstellung . . . . . . 255
7.5.1.1.2
Struktur der Differentialgleichung . . . . 256
7.5.1.1.3
Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . 258
7.5.1.1.4
Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . 258
7.5.1.1.5
Verallgemeinerung auf DGLn n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Nichtlineare Schwingungen . . . . . . . . . . . . . 264
7.5.1.2.1
Die Mittelungsmethode von Bogoliubov
und Krylov . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8 Matrizen und lineare Gleichungssysteme
277
8.1 Matrizenii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.1.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.1.2
Grundbegriffe, Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.1.3
Rechenregeln für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.1.3.1
Einfache Operationen . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.1.3.2
Matrix Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.2.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
INHALTSVERZEICHNIS
10
8.2.2
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.2.3
Äquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.2.4
Gaußsches Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . 291
8.2.5
Das Gauß-Jordan-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2.6
Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.2.7
Die Determinante einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 297
8.2.8
Die Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9 Weitere Aufgaben — zum Teil mit Lösungen
308
Literaturverzeichnis
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Zeidler, Eberhard [Hrsg.]: Teubner Taschenbuch der Mathematik. Stuttgart,
Leipzig: B.G. Teubner, 1996.
[22] Kurt Meyberg und Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1 — Differentialund Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung. Berlin [u.a.]: Springer,
2003.
[23] Klaus Weltner: Mathematik für Physiker 1 — Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik. Berlin [u.a.]: Springer, 2006.
[24] K. Denecke und K. Todorov: Algebraische Grundlagen der Arithmetik. Berlin: Heldermann Verlag, 1994.
[25] T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelhorn, K. Lichtenegger,
H. Stachel: Mathematik. Heidelberg: Spektrum, 2008.
[26] Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure. Berlin, Heidelberg: Springer, 2008.
[27] Lothar Collatz: Differentialgleichungen. Stuttgart: Teubner, 1990.
[28] Vasisli P. Minorski: Aufgabensammlung der höheren Mathematik. Leipzig:
Hanser, 2008.
[29] Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Mathematik 2. Heidelberg: Springer, 1999.
LITERATURVERZEICHNIS
13
[30] Horst Czichos, Manfred Hennecke (Hrsg.): HÜTTE, Das Ingenieurwissen.
Berlin: Springer, 2008.
[31] Kurt Magnus und Karl Popp: Schwingungen. Stuttgart: Teubner, 1997.
Literatur
Das obige Literaturverzeichnis gibt die von mir bei der Herstellung der Vorlesung verwendeten Quellen an. Einiges davon ist auch begleitend zur Vorlesung zu
empfehlen:
• Man sollte eines der Lehrbücher [18], [7], [2], [3], [12], oder [20] neben der
Vorlesung durcharbeiten. Da sowohl die mathematischen Vorkenntnisse, als
auch die Vorlieben für die Art der Darstellung mathematischer Sachverhalte
sehr unterschiedlich sind, wird hier keine Empfehlung für ein bestimmtes
Buch abgegeben.
• Zum Auffrischen von verschüttetem Wissen aus der Schulmathematik eignet sich [15] sehr gut: es ist deutlich mehr als eine Formelsammlung; die
wichtigen Begriffe und Strukturen werden gut erklärt.
• Als Formelsammlung kann [10] oder auch der Klassiker [21] dienen.
14
Verwendete Zeichen
Griechische Kleinbuchstaben
α
β
γ
δ
ǫ
ε
ζ
η
(alpha)
(beta)
(gamma)
(delta)
(epsilon)
(epsilon)
(zeta)
(eta)
θ
ϑ
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
(theta)
(theta)
(iota)
(kappa)
(lambda)
(mu)
(nu)
(xi)
o
π
̟
ρ
̺
σ
ς
τ
(o)
(pi)
(pi)
(rho)
(rho)
(sigma)
(sigma)
(tau)
υ
φ
ϕ
χ
ψ
ω
(upsilon)
(phi)
(phi)
(chi)
(psi)
(omega)
Griechische Großbuchstaben
Γ (Gamma) Λ (Lambda)
∆ (Delta)
Ξ (Xi)
Θ (Theta)
Π (Pi)
Σ (Sigma)
Ψ (Psi)
Υ (Upsilon) Ω (Omega)
Φ (Phi)
15
Kapitel 1
Mengen, Zahlen Geometrie
1.1
Mengen und Abbildungen
1.1.1
Mengen
Definition: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
Diese informelle Festlegung des Mengenbegriffs stammt von Georg Cantor (1895).
Mengen werden durch Großbuchstaben bezeichnet, die “Objekte” aus obiger Definition heißen die Elemente der Menge. Wir schreiben a ∈ A, wenn a ein Element
von A ist, a 6∈ A, wenn das nicht der Fall ist.
Beschreibung von Mengen:
• Durch Aufzählung der Elemente:
A = {a1 , a2 , . . . , an }
Beispiel:
A = {2, 4, 6, 8}.
• Durch Angabe einer definierenden Eigenschaft:
A = {x ∈ Ω|x hat die Eigenschaft E}
Beispiel:
A = {n ∈ N|n ist gerade und kleiner als 10}
16
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
17
Bezeichnungen:
• Die Menge, die kein Element enthält, heißt die leere Menge und wird mit ∅
bezeichnet.
• Ist jedes Element der Menge A auch ein Element der Menge B, so heißt A
eine Teilmenge von B und man schreibt A ⊂ B.
• Ist A eine Teilmenge von B, aber ungleich B, so heißt A eine echte Teilmenge
von B.
1.1.2
Mengenoperationen
Aus je zwei Mengen A und B lassen sich neue Mengen durch die Operationen
des Durchschnitts, A ∩ B, der Vereinigung, A ∪ B und des Komplements, A \ B,
bilden, die wie folgt definiert sind:
A ∩ B := {x|x ∈ A und x ∈ B},
A ∪ B := {x|x ∈ A oder x ∈ B},
A \ B := {x|x ∈ A und x ∈
6 B}.
Die Mengenoperationen kann man durch die sogenannten Venn-Diagramme
veranschaulichen:
Abbildung 1.1: Venn-Diagramme
Als kartesisches Produkt A × B der Mengen A und B bezeichnet man die Menge
der Paare
A × B := {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B},
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
18
entsprechend geht das auch für mehr als zwei Mengen:
A1 × A2 × · · · × An := {(a1 , a2 , . . . , an )|aj ∈ Aj , für j = 1, 2, . . . , n}
ist die Menge aller n-Tupel (a1 , a2 , . . . , an ), sowie
An := |A × A ×
· · · × A} .
{z
n mal
Beispiel: Versieht man die Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem, so
ist
R2 := R × R = {(x, y)|x und y sind die Koordinnaten von P = P (x, y)}
Y
/|\
|
|
Y |......... x P = P(X, Y)
|
.
|
.
|
.
|-----------------------> X
X
1.1.2.1
Kombinatorik
1.1.2.1.1 Anzahl der n-Tupel Sind in A1 ×A2 ×· · ·×An die Mengen Aj , j ∈
N endliche Mengen mit kj Elementen, so gibt es offenbar k1 · k2 · · · kn verschiedene
n-Tupel (a1 , a2 , . . . , an ), das ist also die Anzahl der Elemente von A1 ×A2 ×· · ·×An .
1.1.2.1.2 Variationen mit Wiederholung Sind A1 = A2 = . . . = An = A
und hat A k Elemente, so ergibt sich für die Anzahl der n-Tupel aus An :
A(n, k) = k n .
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
19
1.1.2.1.3 Variationen ohne Wiederholung Sei wieder A1 = A2 = . . . =
An = A und A mit k Elementen. Es ist nach der Anzahl der n-Tupel gefragt,
die auf allen Plätzen verschiedene Elemente haben — in (a1 , a2 , . . . , an ) sei also
ai 6= aj für i 6= j. für diese Anzahl ergibt sich unter der Voraussetzung n ≤ k:
V (n, k) = k · (k − 1) · · · (k − (n − 1)) =
k!
,
(k − n)!
wobei r! für r ≥ 2 für das Produkt 1 · 2 · · · r steht und man 0! := 1 sowie 1! := 1
setzt.
1.1.2.1.4 Permutationen Für k = n erhält man unter den Variationen ohne
Wiederholung als Spezialfall die Permutationeni . Es handelt sich um diejenigen nTupel, bei denen n paarweise verschiedenen Elemente auf n Plätze verteilt werden.
Für die Anzahl der Permutationen der n Elemente einer Menge erhält man
P (n) = n!.
1.1.2.1.5 Die Anzahl der n-elementigen Teilmengen einer kelementigen Menge A Diese Anzahl bezeichnen wir mit T (n, k) und erhalten
sie aus folgender Überlegung: Aus jeder dieser Teilmengen kann man n! verschiedene n-Tupel bilden. Damit erhält man alle die n-Tupel aus Ak , die auf allen Plätzen
verschiedene Elemente haben (Variationen ohne Widerholung), deren Anzahl ist
aber V (n, k). Also ist T (n, k) · n! = V (n, k). Einsetzen und Umformen ergibt
T (n, k) =
k!
.
n! · (k − n)!
(1.1)
Bemerkung: Den hier auf der rechten Seite auftretenden Ausdruck bezeichnet
man als Binomialkoeffizient nk , gelesen “k über n”. Es ist
!
k
k · (k − 1) · · · (k − (n − 1))
=
1 · 2···n
n
1.1.3
Abbildungen
1.1.3.1
*Grundlagen
(1.2)
A und B seine Mengen. Eine Abbildung (oder Funktion) f von A nach B, in
Zeichen f : A → B, A ∋ x 7→ f (x) ∈ B, ist eine Vorschrift, die jedem Element
i
Der Begriff steht fr Vertauschung
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
20
x ∈ A genau ein Element f (x) ∈ B zuordnet. Dabei heißt A der Definitionsbereich
der Abbildung f , und die Elemente von A heißen die Argumente der Abbildung f .
f (x) ∈ B heißt der Funktionswert von f an der Stelle x. Die Menge aller dieser
Funktionswerte, also
f (A) := {f (x)|x ∈ A} ⊂ B,
heißt der Wertebereich von f .
Abbildung 1.2: Abbildungen
Werden unterschiedliche Elemente x, y des Definitionsbereiches stets auf unterschiedliche Bilder f (x), f (y) abgebildet, so heißt die Abbildung f injektiv, siehe
Abbildungen 1.3 und 1.4.
Abbildung 1.3: Injektive Abbildung
Abbildung 1.4: Nicht injektive Abbildung
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
21
Im allgemeinen werden von der Abbildung (Funktion) f , f : A → B nicht alle
Elemente von B “erreicht”, so wie das in Abbildung 1.5 dargestellt ist, es ist
also f (A) ⊂ B aber f (A) 6= B. In dem speziellen Fall, daß f (A) = B heißt die
Abbildung f surjektiv.
Abbildung 1.5: Nicht surjektive Abbildung
Eine Abbildung die sowohl injektiv als auch surjektiv ist wird bijektiv genannt.
Dann gibt es zu jedem y ∈ B ein und nur ein (“genau ein”) x ∈ A, so daß
y = f (x) gilt. Dieses eindeutig bestimmte x bezeichnet man als x = f −1 (y). Die
so definierte Abbildung f −1 : B → A heißt Umkehrabbildung von f .
Beispiel: Zur Erläuterung der Bedeutung dieser Begriffe sehen wir uns als Beispiel
die Funktion y = x2 an:
• Betrachten wir sie als Abbildung f ,
f : (−∞, ∞) → [0, ∞),
(−∞, ∞) ∋ x 7→ x2 ∈ [0, ∞),
so ist f surjektiv aber nicht injektiv, weil ja f (−x) = f (x) ist.
• Durch Einschränkung des Definitionsbereiches auf (−∞, 0] ergibt die Abbildung g,
g : (−∞, 0] → [0, ∞),
(−∞, 0] ∋ x 7→ x2 ∈ [0, ∞),
die surjektiv
und injektiv ist. Die Abbildung kann umgekehrt werden durch
√
y = − x, also genauer durch die Abbildung
√
g −1 : [0, ∞) → (−∞, 0], [0, ∞) ∋ x 7−→ − x ∈ (−∞, 0].
• Durch Einschränkung des Definitionsbereiches auf [0, ∞) ergibt die Abbildung h,
h : [0, ∞) → [0, ∞),
[0, ∞) ∋ x 7→ x2 ∈ [0, ∞),
die surjektiv
und injektiv ist. Die Abbildung kann umgekehrt werden durch
√
y = x, also genauer durch die Abbildung
√
h−1 : [0, ∞) → [0, ∞), [0, ∞) ∋ x 7−→ x ∈ [0, ∞).
22
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
3
y =√
x2
y=± x
2
Y-Achse
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
X-Achse
Abbildung 1.6: y = x2 ist – betrachtet als auf R definierte Funktion — nicht
(eindeutig) umkehrbar.
3
y =√
x2
y=± x
2
Y-Achse
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
X-Achse
Abbildung 1.7: y = x2√betrachtet als auf (−∞, 0] definierte Funktion und die
Umkehrfunktion y = − x.
23
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
3
y =√
x2
y=± x
2
Y-Achse
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
X-Achse
2
Abbildung 1.8: y =
√ x betrachtet als auf [0, ∞) definierte Funktion und die Umkehrfunktion y = x.
1.1.3.2
*Mächtigkeit von Mengen
Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, in Zeichen A ∼ B, wenn eine bijektive
Abbildung zwischen Ihnen besteht. Z.B. sind die Mengen A := {a, b, c} und B :=
{1, 2, 3} gleichmächtig, denn man kann z.B. man die durch die Wertetabelle
x
a
b
c
f (x)
1
2
3
definierte Abbildung verwenden. Offensichtlich sind zwei endliche Mengen genau
dann gleichmächtig, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben.
Die so definierte Realtion ∼ zwischen Mengen ist eine Äquivalenzrelation, d.h. sie
ist reflexiv (A ∼ A), symmetrisch (A ∼ B ⇔ B ∼ A) und transitiv (Ist A ∼ B
und B ∼ C, so gilt auch A ∼ C).
Bei nicht-endlichen Mengen treten neue Effekte auf: Dazu sehen wir uns die Mengen
A := {2, 4, 6, 8, . . .}
und
B := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
24
an. Offensichtlich ist A — die Menge der geraden Natürlichen Zahlen — eine echte
Teilmenge von B — der Menge der natürlichen Zahlen. Trotzdem sind A und B
gleichmächtig. Um das nachzuweisen, müssen wir einfach eine bijektive Abbildung
f zwischen A und B angeben:
f : A → B,
f (n) = n/2.
Diese Erscheinung ist typisch für nicht endliche Mengen, deshalb definiert man
Definition: Eine Menge heißt unendlich, wenn sie gleichmächtig zu einer ihrer
echten Teilmengen ist. Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie gleichmächtig zur
Menge N der natürlichen Zahlen ist.
Beispiel: Die Menge der Brüche Q,
p
Q := {x|x = ,
q
p, q ∈ Z},
ist abzählbar, es gibt also genau so viele Brüche wie natürliche Zahlen! Um das
einzusehen, zerlegen wir
Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ ,
>
Q± := {x ∈ Q|x 0}.
<
Jetzt schreiben wir Q+ als “unendliche Matrix” auf:
A = (aij )ij =






1/1 1/2 1/3 · · ·
2/1 2/2 2/3 · · ·
3/1 3/2 3/3 · · ·
..
..
.. . .
.
.
.
.



,


Also aij = i/j.
Dann zählen wir Q+ ab:
a11 → a12 → a21 → a31 → a22 → a13 → . . .
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
25
Q+ ist also abzählbar, wie folgende Tabelle zeigt:
Q+ [N] N
1/1
1 1
1/2
2 2
2/1
3 3
3/1
4 4
2/2
5 1
1/3
6 5
4/1
7 6
3/2
8 7
2/3
9 8
1/4 10 9
.. ..
..
. .
.
Hier haben wir zunächst die Brüche durchgezählt ([N]), und dann die Abzählung
so geändert, daß die “kürzbaren” Brüche (z.B. 2/2 = 1) nur einmal gezählt werden,
womit sich die Abzählung verschiebt und die “N”-Spalte ergiebt.
Damit ist dann auch eine Abzählung von Q konstruierbar:
(1)
(1)
(2)
(2)
0 → q+ → q− → q+ → q− → · · · ,
(i)
Dabei ist q± das i-te Element von Q± .
Aufgaben
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
26
Aufgabe 1: Es sei in der folgenden Aufgabe R die Menge der reellen Zahlen, also
die Punkte auf der Zahlengerade; darauf wird später noch genauer eingegangen.
Es seien
A = {x ∈ R|x ≤ 0}, B = {x ∈ R|x > 1}
und
C = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}.
Bestimmen Sie A ∩ B, A ∪ B ∪ C, A \ C und B \ C (aus [7]).
Aufgabe 2: Es seien A und B Mengen. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke (aus [7]):
(a) A ∩ A;
(b) A ∪ ∅;
(c) A ∩ (A ∪ B);
(d) A ∩ (B \ A);
Aufgabe 3: Veranschaulichen Sie das Distributivgesetz
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
durch ein Venn-Diagramm (aus [7]).
Aufgabe 4: Veranschaulichen Sie die Formel
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
durch ein Venn-Diagramm (aus [7]).
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
27
Aufgabe 5: Wir betrachten die Funktion y = x2 auf verschiedenen Definitionsbereichen. Ermitteln Sie jeweils ob die Abbildung injektiv oder surjektiv ist.
Falls die Abbildung injektiv und surjektiv (also bijektiv) ist, bestimmen Sie die
Umkehrabbildung. Mit R bezeichnen wir die reellen Zahlen, mit R+
0 die positiven
reellen Zahlen mit Einschluß der Null.
(a) f : R → R, x 7−→ x2 ,
2
(b) f : R → R+
0 , x 7−→ x ,
2
(c) f : R+
0 → R, x 7−→ x ,
+
2
(d) f : R+
0 → R0 , x 7−→ x .
Aufgabe 6: Herr Moosbacher hat ein Kleiderproblem. Er besitzt 3 Jacken, 4
Hosen und 3 Krawatten und möchte an keinem Tag im Monat gleich gekleidet im
Büro erscheinen. Ist das möglich?
Aufgabe 7: Beim 11er-Fußballtoto entscheidet man sich bei jedem der 11 Tipps
für eine der drei Möglichkeiten 0, 1 oder 2 (Unentschieden, X gewinnt, Y gewinnt).
Wie viele verschiedene Tipps könnte man abgeben?
Aufgabe 8: Beim Lotto 6 aus 49 kreuzt man 6 von 49 Zahlen an. Wie viele
verschiedene Tipps könnte man abgeben?
Aufgabe 9: Wie oft kann man die vier Buchstaben a, b, c und d ohne (mit)
Buchstabenwiederholungen zu einem 4-buchstabigen “Wort” zusammensetzen?
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
28
Aufgabe 10: Geben Sie eine Abzählung der ganzen Zahlen Z an!
1.2
Von den natürlichen zu den reellen Zahlen
1.2.1
*Die natürlichen Zahlen
Die Zahlen 1, 2, 3, . . ., die man zum Zählen verwendet, heißen natürliche Zahlen: N.
Fügt man zu diesen die Zahl 0 hinzu, so schreibt man N0 (“N mit Null”).
Abstrakter lassen sich die natürlichen Zahlen als Klassen gleichmächtiger endlicher
Mangen auffassen: So repräsentieren
Die Zahl ’1’ die Klasse der Mengen, die nur ein einziges Element enthalten, also
u.a. folgende Mengen:
{a}, {rot}, {I, }, {Italien}.
Die Zahl ’2’ die Klasse, bei der die Elemente aus denen der Klasse ’1’ durch
Hinzufügen eines weiteren Elementes hervorgehen, es sind in der Klasse ’2’
also u.a. die Mengen
{a, b}, {rot, grün}, {I, II}, {Italien, Schweiz}.
Die Zahl ’3’ die Klasse, bei der die Elemente aus denen der Klasse ’2’ durch
Hinzufügen eines weiteren Elementes hervorgehen, es sind in der Klasse ’3’
also u.a. die Mengen
{a, b, c}, {rot, grün, blau}, {I, II, III}, {Italien, Schweiz, Deutschland}.
Der Übergang von einer zur nächsten Klasse ist also das “Weiterzählen um 1”
bzw. die “Addition von 1”. Durch endliche Wiederholung dieses Weiterzählens
kann aus der 1 jede natürliche Zahl n ∈ N erzeugt werden:
n := |1 + 1 {z
+ · · · 1}
n mal
In Verallgemeinerung definiert man so die Addition zweier natürlicher Zahlen m
und n:
m + n := |1 + 1 {z
+ · · · 1}
n mal
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
29
Das sind die Regeln des “Rechnens mit Fingern”. Hierauf aufbauend lassen sich
rasch die übrigen Grundrechenarten und einige darauf aufbauende Begriffe definieren:
Die Größer-Relation a ist größer als b, in Zeichen a > b, genau dann, wenn
eine Zahl m ∈ N existiert, so daß a = b + m. Weiter verwenden wir
a ≥ b: a > b oder a = b.
a < b: b > a.
a ≤ b: a < b oder a = b.
Die Subtraktion als Umkehrung der Addition:
a − b ist die Zahl x ∈ N0 , für die gilt b + x = a.
Also ist a − b genau dann definiert, wenn a ≥ b.
Die Multiplikation als Abkürzung für wiederholt ausgeführte Addition:
1·b = b
a · b = |b + b +{z· · · + b}
a-mal
für a ∈ N \ {1}.
Die Division als Umkehrung der Multiplikation:
a : b ist die natürliche Zahl x, für die gilt b · x = a.
Daher ist a/b nur dann definiert, wenn b 6= 0 und a ein Vielfaches von b ist.
Es gibt auch eine ganzzahlige Division mit Rest, die für alle b 6= 0 definiert
ist:
a : b = x Rest r
mit 0 ≤ r < b
bedeutet a = b · x + r. Für den Divisionsrest r schreibt man auch r = a % b,
“r ist gleich a modulo b”.
Berechnet wird das durch fortgesetzte Subtraktion, wie der folgende im
Pseudocode beschriebene Algorithmus zeigt:
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Algorithmus 1 Division
Precondition: b 6= 0
1:
2:
3:
4:
5:
6:
30
% Divison mit Rest: a : b = x Rest r
x←0
while a ≥ b do
a←a−b
x←x+1
end while
r←a
1.2.1.1
Rechenregeln für die Arithmetik mit natürlichen Zahlen
Für natürliche Zahlen a, b, c ∈ N0 folgen die Rechenregeln:
(A1) Kommutativgesetze: a + b = b + a und ab = ba.
(A2) Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c und a(bc) = (ab)c.
(A3) Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac
(A4) Existenz neutraler Elemente: Es ex. 0 (“Null”) und 1 (“Eins”) mit 0 6= 1,
so daß für jedes a gilt:
a+0=a
und
a·1=a
Die “Größer-Kleiner-Beziehung” gehorcht den folgenden Regeln:
(A6) Trichotomiegesetz: Für je zwei Zahlen gilt genau eine der drei Beziehungen
a < b,
a = b,
a > b.
(A7) Transitivitätsgesetz: ist a < b und b < c, so folgt a < c.
(A8) Monotoniegesetze: Ist a < b so gilt
a+c<b+c
für jedes c
und
ac < bc
für jedes c > 0.
31
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Anmerkung: Allein aus diesen Rechenregeln folgen die “Kürzungsregeln” für
Gleichungen:
a+c=b+c⇒a=b
(1.3)
ac = bc, und c 6= 0 ⇒ a = b.
(1.4)
und
Denn wäre a 6= b, also etwa nach (A6) a < b, so wäre nach (A8) a + c < b + c,
was nach (A6) insbesondere a + c 6= b + c impliziert. Der zweite Teil folgt analog.
1.2.2
*Erweiterungen des Zahlenbereichs
Beim Messen von Strecken legt man ausgehend von einem Ursprung O einen Maßstab, die Einheitsstrecke E so lange an, bis die abzumessende Strecke abgetragen
ist. Die Häufigkeit des Anlegens ist dann die Maßzahl der Strecke
E
---------->
|----------+---------+---------+-0
1
2
3
1.2.2.1
Die ganzen Zahlen
Will man sowohl Strecken rechts als auch links des Ursprungs ausmessen können,
so führt man für die Meßpunkte links des Ursprungs die negativen Zahlen ein,
denen man ein “−” vorsetzt:
-E
E
<--------- ---------->
--+--------+---------+---------|---------+---------+---------+--3
-2
-1
0
1
2
3
Da in diesem geometrischen Bild die Addition dem Hintereinanderlegen von
Strecken entspricht, wobei natürliche Zahlen durch Anlegen von E nach rechts
und die negativen Zahlen durch Anlegen von −E nach links erzeugt werden, ergibt sich die Rechenregel
a + (−a) = 0,
für a ∈ N
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
32
Definiert man nun noch für eine negative Zahl a die Zahl −a als die natürliche
Zahl n, für die −n = a gilt (also etwa −(−3) := 3) so gilt obige Regel sowohl
für positive als auch für negative Zahlen und auch für die Null, für die −0 := 0
festgelegt wird
a + (−a) = 0,
für a ∈ Z,
wobei Z := N ∪ {−n|n ∈ N} ∪ {0} den neu eingeführten Zahlenbereich der ganzen
Zahlen bezeichnet. Für jede Zahl x ∈ Z gibt es damit eine zu ihr negative Zahl
−x, nämlich die Zahl, die spiegelbildlich zum Ursprung liegt. Es ist −(−x) = x.
Die zu einer Zahl negative Zahl: Die zu einer Zahl a ∈ Z negative Zahl −a
ist diejenige Zahl, die zu a addiert Null ergibt.
−a heißt das Additive Inverse zu a.
Die Rechenregeln für die so neu eingeführten Zahlen werden so aufgestellt, daß
weiterhin die Gesetze (A1) bis (A8) gelten. Dann müssen zwingend die Vorzeichenregeln gelten:
“Minus mal Plus gibt Minus”: Es ist doch
0 = a·0
= a · (b + (−b))
= a · b + a · (−b)
und auch
0 = a · b + (−(a · b))
also
a · b + a · (−b) = a · b + (−(a · b))
Die Kürzungsregel liefert
a · (−b) = −(a · b)
“Minus mal Minus gibt Plus”: Zunächst ist nach dem letzten Schritt (−a) ·
(−b) = −((−a) · b) was nochmals unter Anwendung des letzten Schrittes gleich
−(−(a · b)) ist; das ist aber gleich a · b.
Wir hatten a − b als die Zahl x definiert, für die gilt b + x = a. In den ganzen
Zahlen ist diese Gleichung immer durch x = (−b) + a lösbar.
Die Definition der “Größer-Relation kann unverändert übernommen werden:
33
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
a ∈ Z ist größer als b ∈ Z, in Zeichen a > b, genau dann, wenn eine
Zahl m ∈ N existiert, so daß a = b + m.
a ist also größer als b, wenn es “rechts von” b liegt.
1.2.2.2
Die rationalen Zahlen
Auf die rationalen Zahlen wird man geführt, wenn man auch das Abmessen von
Bruchteilen der Einheitsstrecke E beschreiben will.
Ist n ∈ N so teilt man dir Einheitsstrecke in n gleiche Teile ein. Man erhält
Punkte, die wir der Reihe nach mit
n−1 n
1 2 3
, , ,...,
, =1
n n n
n n
bezeichnen.
Beispiel n = 4:
0
1/4
2/4
3/4
4/4
|----------+---------+---------+--------->
E
Beispiel n = 2:
0
2/4
4/4
|--------------------+------------------->
E
Alle diese Zahlen — und noch viel mehr – erhält man auch durch Aneinanderlegen
(in beide Richtungen) des n-ten Teils der Einheitsstrecke:
Beispiel n = 4:
-1/4
0
1/4
2/4
3/4
4/4
5/4
+---------|----------+---------+---------+---------+---------+
-E/4
E/4
Diese Zahlen haben die Form = ± m
mit n ∈ N und m ∈ N0 .
n
34
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Rationale Zahlen, Brüche: Die neu eingeführte Zahl x, x =
und m ∈ Z, sei die Zahl, die mit n multipliziert m ergibt.
m
n
mit n ∈ Z \ {0}
Eine solche Zahl nennen wir einen Bruch oder auch eine rationale Zahl (Verhältniszahl).
Ist z ∈ Z und m ein z-faches von n, m = z · n, so stellt der Bruch x = m
die Zahl
n
z dar, denn es ist ja x · n = m und z · n = m, also n = x Die ganzen Zahlen sind
also Teil der Brüche.
Wir bezeichnen die Menge der Brüche mit Q.
Direkt aus der Definition folgt
n:n=
n
m
für n, m ∈ Z und m 6= 0.
Die Rechenregeln für die Brüche folgen daraus, daß man fordert, daß die Regeln
(A1)–(A8) gültig bleiben sollen (a, b, c, d ∈ Z, b 6= 0, d 6= 0):
Goldene Regel:
a
b
=
ηa
ηb
für η ∈ Z \ {0}.
, so ist b · x = a und ηb · x′ = ηa, also
Denn sei x = ab und x′ = ηa
ηb
b · x′ = a also b · x = b · x′ also x = x′ ; hier wurde mehrfach die Kürzungsregel (Gleichung1.4) angewendet.
Addition Sei x = ab und y = dc , so ist x · b = a und y · d = c also xbd = ad und
ydb = cb also (x + y)bd = ad + cb; das heißt x + y = ad+bc
:
bd
a c
ad + bc
+ =
.
b d
bd
Existenz des Additiven Inversen: Die Additionssregel zeigt, daß für alle
x ∈ Q stets ein additives Inverses −x existiert, so daß x + (−x) = 0: Für
x = ab ist −x = −a
.
b
Multiplikation Sei x = ab und y = dc , so ist x · b = a und y · d = c also xbyd = ac,
oder auch (xy) · (bd) = ac und damit
a c
ac
· = .
b d
bd
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
35
Existenz des Multiplikativen Inversen: Die Multiplikationsregel zeigt, daß
für alle x ∈ Q \ {0} stets ein multiplikatives Inverses x−1 existiert, so daß x · x−1 =
1: Für x = ab ist x−1 = ab .
Damit ist in Q die Division durch von Null verschiedene Zahlen uneingeschränkt
durchführbar, denn x = q : r bezeichnet diejenige Zahl x, für die r · x = q ist.
Man setze x = r−1 · q.
Die Definition der “Größer-Relation muß angepasst werden:
a ∈ Q ist größer als b ∈ Q, in Zeichen a > b, genau dann, wenn
Zahlen m, n ∈ N existien, so daß a = b + m/n.
a ist also größer als b, wenn es “rechsts von” b liegt.
Eine Zahl a > 0 heißt positiv, eine Zahl a < 0 heißt negativ; deshalb heißt eine
Zahl a ≥ 0 nichtnegativ.
1.2.3
Rechenregeln für die Arithmetik mit rationalen Zahlen
Für rationale Zahlen a, b, c ∈ Z folgen die Rechenregeln:
1.2.3.1
Die Körperaxiome
(A1) Kommutativgesetze: a + b = b + a und ab = ba.
(A2) Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c und a(bc) = (ab)c.
(A3) Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac
(A4) Existenz neutraler Elemente: Es ex. 0 (“Null”) und 1 (“Eins”) mit 0 6= 1,
so daß für jedes a gilt:
a+0=a
und
a·1=a
(A5) Existenz inverser Elemente: Zu jedem a gibt es eine Zahl −a mit
a + (−a) = 0;
ferner gibt es zu jedem von 0 verschiedenen a eine reelle Zahl a−1 mit
a · a−1 = 1.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.2.3.2
36
Die Ordungsaxiome
Die “Größer-Kleiner-Beziehung” gehorcht den folgenden Regeln:
(A6) Trichotomiegesetz: Für je zwei Zahlen gilt genau eine der drei Beziehungen
a < b,
a = b,
a > b.
(A7) Transitivitätsgesetz: ist a < b und b < c, so folgt a < c.
(A8) Monotoniegesetze: Ist a < b so gilt
a+c<b+c
für jedes c
und
ac < bc
für jedes c > 0.
(A9) Der Satz von Archimedes:
Analytische Formulierung Hat man zwei Zahlen y > x > 0, so existiert
eine natürliche Zahl n ∈ N mit der Eigenschaft, daß nx > y.
Geometrische Deutung Geometrisch läßt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die
größere von beiden (y) übertreffen, wenn man die kleinere (x) nur oft
genug (n-mal) abträgt.
Einfachere analytische Formulierung Gleichwertig zum Satz von Archimedes ist die etwas kürzere Fassung
Jede Zahl wird von einer natürlichen Zahl übertroffen: Zu jedem x existiert ein n ∈ N so, daß n > x.
Damit sind die Rechenregeln für die rationalen Zahlen zusammengestellt. Neu gegenüber den Gesetzen für die natürlichen Zahlen ist (A5) — die Existenz inverser
Elemente — die durch Erweiterung des Zahlenbereiches erreicht wurde und (A9),
der Satz von Archimedes, den man so einsieht: Seien x und y auf gleichen Nenner
gebracht. y = q/r, x = p/r mit r > 0. Dann muss n ∈ N so gewählt werden, daß
n · p > q. n := q : p + 1 (ganzzahlige Division mit Rest) leistet das gewünschte.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.2.3.3
37
Betrag einer Zahl und Abstand zweier Zahlen
Wir definieren den Betrag |x| einer Zahl x als

x,
x≥0
|x| := 
−x, x < 0
Das ist also der positiv gemessene Abstand dieser Zahl zur Null. Der Abstand
zweier Zahlen a und b ist dann durch |a − b| gegeben.
Abbildung 1.9: {x| |x| < ε}
Wie Abbildung 1.9 illustriert, heißt |x| < ε, daß x zwischen −ε und ε liegt:
−ε < x < ε.
Abbildung 1.10: {x| |x − b| < ε}
Abbildung 1.10 zeigt, daß |x − b| < ε bedeutet, daß x zwischen b − ε und b + ε
liegt: b − ε < x < b + ε.
Satz: Für den Betrag einer Zahl gelten
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
38
* |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇔ x = 0.
* |cx| = |c| |x|
* |x + y| ≤ |x| + |y| Das ist die Dreiecksungleichung
1.2.3.4
Rechenregeln für Ungleichungen
Aus den Ordnungsaxiomen ergeben sich folgende Rechenregeln für Ungleichungen:
x < y, a ≤ b ⇒ x + a < y + b
x < y, 0 < a ⇒ xa < ya
x < y ⇔ −y < −x
1
1
0<x<y ⇔ 0< <
y
x
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Auf beiden Seiten von x < y addiert man −y + (−x), womit sich die Äquivalenz (1.7) ergibt; analog folgt (1.8) durch Multiplikation mit xy .
Beispiel zum Auflösen von Ungleichungen: −3a − 2 ≤ 5 ≤ −3a + 4 ⇔
(−3a ≤ 7 und 1 ≤ −3a) ⇔ (a ≥ − 73 und a ≤ − 13 ), also:
7
1
− ≤a≤− .
3
3
1.2.3.5
Potenzen
Das Potenzieren ist eine Abkürzung für wiederholte Multiplikation, zumindestens
dann, wenn die Hochzahl eine natürliche Zahl n ist:
(1.9)
an = a
| · a ·{z· · · · a}
n-mal
a heißt Basis und n heißt Exponent.
Für natürliche Exponenten gilt:
n+m
an · am = a
| · a ·{z· · · · a} · a
| · a ·{z· · · · a} = a
| · a ·{z· · · · a} = a
n-mal
m-mal
n + m-mal
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
39
Ist außerdem n > m, so gilt:
n-mal
n
z
}|
{
a · a · ··· · a
a
=
=a
· a ·{z· · · · a} = an−m
|
m
a
|a · a ·{z· · · · a}
m-mal
(n − m)-mal
Wir haben also die Rechenregeln
an · am = an+m
und
an
= an−m .
m
a
(1.10)
Wir wollen nun diese Gleichung für a 6= 0 auf beliebige ganzzahlige Exponenten
erweitern. Dann folgen:
an
a =a
= n =1
a
1
a0
a−n = a0−n = n = n
a
a
0
n−n
(1.11)
(1.12)
Direkt aus der Definition (1.9) macht man sich zunächst für natürliches n die
Regeln
an · bn = (ab)n ,
(an )m = anm
(1.13)
(1.14)
klar, die auch für beliebige ganzzahlige Exponenten gelten.
Erweiterung auf rationale Exponenten: Für a > 0 und n ∈ N wollen wir
1
1
zunächst versuchen, dem Ausdruck a n einen Sinn zu geben: Setzen wir x := a n ,
1
1
1
so folgt xn = (a n )n = a n n = a 1 = a, wobei wir die Regel (1.14) verwendet haben.
1
Es sei also a n die positive Zahl, die
n-mal mit sich selbst malgenommen die Zahl
√
n
a ergibt — also die n-te Wurzel a aus a:
√
√
√
n
a · n a · · · n a· = a
{z
|
}
n-mal
Es ist für a > 0, n ∈ N und z ∈ Z
√
√
1
z
a n = n a und a n = ( n a)z
Zum Beispiel sind
1
8 3 = 2,
2
83 = 4
(1.15)
40
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Es kann höchstens eine positive Zahl x geben, für die xn = a gilt, denn gäbe es
zwei — etwa x1 und x2 , so wäre etwa x1 < x2 und daher folgt aus Gleichung (1.7)
x21 < x1 · x2 < x22
x31 < x1 · x22 < x32
..
.
xn1 < xn2
(1.16)
also a < a, was dem Trichotomiegesetz (A6) widerspricht.
1
1
Wir haben aber nicht gezeigt, daß a n existiert. Tatsächlich ist es so, a n in den
meisten Fällen nicht in den rationalen Zahlen existiert — wir müssen den Zahlenbereich also erweitern. Das wird weiter unten geschehen. Hier wollen wir zunächst
unbekümmert weiterrechnen.
√
n
Anmerkung: x = n a√ist also die positive Lösung der
√ Gleichung x = a. Daraus
folgt zum Bespiel, daß u2 = |u| ist und nicht etwa u2 = u! Denn die Gleichung
x2 = u2 hat die Lösungen x1,2 = ± |u| und die Wurzel ist die positive dieser
Lösungen!
1.2.3.6
Logarithmen
Für a > 0 ist y = loga (x), der Logarithmus von x zur Basis a, die Zahl y, für die
gilt ay = x:
y = loga (x) heißt ay = x.
(1.17)
Beispiel
log8 (2) =
1
3
denn
1
8 3 = 2.
Die Basis a des Logarithmus ist positiv und nicht gleich Eins, im allgemeinen
größer als Eins.
Ist u = loga (x) und v = loga (y), so sind au = x und av = y und x · y = au · av =
a(u+v) und daher loga (x · y) = loga (a(u+v) ) = u + v = loga (x) + loga (y). Es folgt
also die Funktionalgleichung des Logarithmus
loga (x · y) = loga (x) + loga (y).
(1.18)
41
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Wegen a0 = 1 und a1 = a folgen die speziellen Funktionswerte
loga (1) = 0 und
so daß mit y =
1
x
loga (a) = 1
(1.19)
für x 6= 0 aus Gleichung(1.18) die wichtige Beziehung
1
loga ( ) = − loga (x)
x
(1.20)
folgt. Aus ay = x folgt xr = ary und deshalb loga (xr ) = r · y = r loga (x) also
loga (xr ) = r loga (x)
(1.21)
Logarithmen und Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen: Setzt
man y = ax und x = loga (y) wechselseitig ineinander ein, so folgt:
1. y = aloga (y) .
2. x = loga (ax ).
Logarithmen zu verschiedenen Basen sind proportional: Aus y = logb (x)
erhalten wir by = x und von dieser Gleichung bilden wir den Logarithmus zur
Basis a und wenden dann Gleichung (1.21) an:
loga (x) = logb (x) · loga (b).
(1.22)
Der Zusammenhang zwischen den Potenzfunktionen zu verschiedenenen Basen: Ist u = ax und v = bx so ist ja loga (u) = x = logb (v), also
v = blogb (v) = bloga (u) und die eben gewonnene Umrechnungsformel für Logarithmen zu verschiedenen Basen liefert v = blogb (u)·loga (b) = (blogb (u) )loga (b) = uloga (b) .
Einsetzen von u und v liefert:
bx = ax loga (b)
(1.23)
42
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
5
y = (1/2)x
y = 2x
y = log1/2 (x)
y = log2 (x)
4
Y-Achse
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
X-Achse
Abbildung 1.11: Potenzen und Logarithmen
Aufgabe 11: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen:
(a) 5 − 3(a − 2),
(b) 5 − (a − 2) − 3,
(c) 3ab − 2(7ac − 5ba),
(d) y − 3(x − y),
(e) x − (a − (x − y)) + a,
(f) −2zx + (6ya + 2xz).
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
43
Aufgabe 12: Schreiben Sie die folgenden Summen als Produkt, in dem Sie alle
gemeinsamen Terme ausklammern (Faktorisieren)
(a) ax + ay,
(b) x(a + b) − y(a + b),
(c) a(u − v) + b(v − u),
(d) (x − y)(3a + b) − (2a − b)(x − y)
Aufgabe 13: Multiplizieren Sie aus
(a) (x + y)(x − y),
(b) (b − a)(a − b),
(c) (x − y)(x2 + xy + y 2 ),
(d) a(4a − b)(3b − a).
Aufgabe 14: Leiten Sie durch Ausmultiplizieren die binomischen Formel her für
(a) (a + b)3 ,
(b) (a + b)4 ,
(c) (a + b + c)2 .
Aufgabe 15: Addieren Sie die folgenden Brüche
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
1
1
+ 19 + 15
+ 16
,
4
a
5
− 3−a
+ 30
,
18
24
1
1
2
− 3x
+ x+1
,
x
ab
+ xy
,
cd
uv
1
1
− x−2
.
x
Aufgabe 16: Schreiben Sie mit nur einem Bruchstrich
(a)
(b)
(c)
(d)
ab xy
· ,
cd uv
ab x+y
·
,
cd u+v
4
,
1
+ 1b
a
3
b
− ab
a
.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Aufgabe 17: Kürzen Sie die folgenden Brüche, wenn dies möglich ist
(a)
a2 b
,
2ab
(b)
a2 b
,
a2 +a
(c)
a2 b
,
a2 +b
(d)
a2 b
,
a2 b+b
(e)
a+b
,
a−b
(f)
a+b
,
b+a
(g)
a−b
,
b−a
(h)
a+b
,
b2 +a2
(i)
a+b
,
b2 −a2
(j)
(k)
(l)
(m)
(a+b)2
,
a2 −b2
(a+b)2
,
a2 +b2
uv
a
·
a2 u
,
v
u2 −v 2
2mn3
·
abm2 n
.
2(u+v)
Aufgabe 18: Faktorisieren Sie
(a) 2ax − 2ay + bx − by − cx + cy,
(b) axnd − axnc + abnd − abnc.
Aufgabe 19: Fassen Sie zusammen 3u2 v 3 − 5u3 v 2 + 8v 3 u2 − 2u3 v 2 + 9uv 3 .
Aufgabe 20: Schreiben Sie als Dezimalzahl (ohne Taschenrechner lösen):
(a) 210 ,
(b) 213 ,
(c) 2−3 ,
(d) 5−2 ,
1
(e) 8 3 ,
1
(f) 16 2 .
44
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
45
Aufgabe 21: Schreiben Sie als Zehnerpotenz der Einheit m (die einzige Ziffer
vor dem Komma soll keine Null sein)
(a) 0.048mm,
(b) 37451km,
(c) 0.4256cm.
Aufgabe 22: Beseitigen Sie die negativen Exponenten:
(a) a−3 ,
(b) a2 b−1 ,
(c) a−3 /b−5 .
Aufgabe 23: Schreiben Sie mit einem Exponenten (a > 0, b > 0):
(a) a4 b4 ,
(b)
a29
,
b29
√
(c) a a,
√
(d) b2 3 b,
√
a3 ,
(e)
√
3
(f)
a5 ,
√
(g) ( 3 a)5 ,
√ √
(h) 3 a 5 a.
Aufgabe 24: Ziehen Sie (sofern möglich) die Wurzel (a > 0, b > 0) — Beachten
Sie, daß x und y sowohl negativ als auch positiv sein können und daß die n-te
Wurzel einer (nicht negativen) Zahl r als die positive Lösung x der Gleichung
xn = r definiert ist; verwenden Sie den Betrag einer Zahl.
√
(a)
4a2 b3 ,
√
(b) 4 x2 y 4 ,
√
(c)
a2 + b2 ,
√
a2 + 2ab + b2 ,
(d)
√
(e)
a2 − 2ab + b2 .
Aufgabe 25: Wann ist y =
3
x
−
3
x2
negativ?
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
46
Aufgabe 26: Lösen Sie die folgenden Ungleichungen
(a)
2
3
− 12 x < 31 x − 12 ,
(b) 1 − 34 x ≥ − 12 ,
(c) 9x2 − 25 < 0,
(d) x2 − 8x + 8 > 1.
Aufgabe 27: Bestimmen Sie folgende Logarithmen:
(a) log2 (16),
(b) log3 (27),
√
(c) log5 ( 5),
(d) log5 (1/5),
(e) log2 (1/4),
(f) 10log10 (8) ,
(g) 3log3 (5) .
Aufgabe 28: Bestimmen x in:
(a) 3x = 5,
(b) 4x = 8,
(c) 5x = 2,
(d) 2x = 0.2.
Tipp: beide Seiten zur Basis 10 logarithmieren. Ermitteln Sie gegebenenfalls den
numerischen Wert mit dem Taschenrechner. Machen Sie die Probe.
Aufgabe 29: Formen Sie mit Hilfe der Logarithmengesetze um:
2 3
(a) loga ( xu4yv ),
√
4
(b) loga ( a3 ),
(c) loga (u) − 2 loga (v) + 4 loga (z),
(d)
loga (x3 )
√ .
loga ( 4 x)
Aufgabe 30: Wenn eine Volkswirtschaft jedes Jahr um 3 Prozent wächst, wann
hat sie sich dann verdoppelt?
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
47
Aufgabe 31:
(a) Wie muß man E wählen, damit sich 9w2 − 480w + E als
Quadrat schreiben läßt? E ist die quadratische Ergänzung. Tipp: Binomische Formel!
(b) Lösen Sie mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die Gleichung x2 +6x−5 =
0.
48
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Aufgabe 32: Bestimmen Sie den Parameter t so, daß die Gleichung 2x2 +4x = t
genau eine Lösung hat.
1.2.3.7
Löcher in den rationalen Zahlen
Zunächst scheint es, daß wir mit den rationalen Zahlen alle gewünschten Strecken
ausmessen können, denn
• in der Mitte zwischen zwei rationalen Zahlen liegt jeweils noch eine andere:
Sei y > x. Dann gilt für z :=
y+x
:
2
* y>z>x
* |z − y| = |z − x| = 12 |y − x|
Denn y =
y+y
2
>
y+x
2
>
x+x
2
= x und |z − y| = y − z =
y−x
2
=
|y−x|
....
2
• In jeder beliebigen Nähe einer rationalen Zahl r liegt noch eine andere:
Man wählt ein festes n ∈ N. Mit Hilfe des Satzes von Archimedes sieht man,
daß ein z ∈ Z existiert, so daß z − 1 < r · n < z + 1. Also ist
αn :=
z
1
z
1
− < r < + =: βn ,
n n
n n
Und |βn − αn | = 2/n.
Die rationalen Zahlen füllen also die Zahlengerade dicht aus.
49
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Abbildung 1.12: Satz des Pythagoras: (a + b)2 = c2 + 4 ·
ab
2
⇒ a2 + b2 = c2 .
Trotzdem kann nicht jede Strecke als rationale Zahl ausgedrückt werden; die Diagonale eines Rechteckes der Seitenlänge 1 hat nach dem Satz des Pythagoras eine
2
Länge
√ l, für die gilt l = 1 + 1 = 2 und das ist für keine rationale Zahl l möglich
(“ 2 ist keine rationale Zahl”):
Um das einzusehen benötigen wir einen Hilfssatz über natürliche Zahlen a ∈ N,
die sich ja als Produkt von Primzahlen — Primfaktorzerlegung, also als
a = pn1 1 × pn2 2 × · · · × pnNN ,
n1 , n2 , . . . , nN ∈ N
mit Primzahlen p1 , p2 , . . . pN darstellen lassen:
Satz: Die Primfaktorzerlegung von ak mit a ∈ N, sowie k ∈ N enthält die gleichen
Primzahlen wie die Primfaktorzerlegung von a.
Das ergibt sich selbstverständlich aus der Darstellung
N
2
1
× · · · × pkn
× pkn
ak = pkn
2
N ,
1
n1 , n2 , . . . , nN ∈ N.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Nehmen wir an, l wäre eine rationale Zahl, l =
Dann wäre also a2 /b2 = 2, also
a
b
50
mit natürlichen Zahlen a und b.
a2 = 2b2
und daher a2 > b2 >0; die rechte Seite obiger Gleichung ist gerade, also ist a2
gerade und dann muß auch a gerade sein (denn die Primfaktorzerlegung von a2
enthält die gleichen Primzahlen wie die von a). Also ist a = 2c für eine positive
ganze Zahl c und obige Gleichung wird zu
4c2 = 2b2
oder
b2 = 2c2
und daher b2 > c2 > 0. Wir sind nun genau so weit wie oben, nur daß a durch b
und b durch c ersetzt wurde. Wir können beliebig weit fortfahren und erhalten
a2 = 2b2 , b2 = 2c2 , c2 = 2d2 , d2 = 2e2 , . . .
und
a2 > b2 > c2 > d2 > e2 > . . . > 0.
Aber jede absteigende Folge natürlicher Zahlen muß endlich sein, was aber der
Tatsache widerspricht, daß sich obige Folge beliebig fortführen läßt.
Also kann l keine rationale Zahl sein!
1.2.4
Die reellen Zahlen
Wir haben gesehen, daß die rationalen Zahlen zur Beschreibung von Längen nicht
ausreichen!
√
Trotzdem können wir die “fehlenden Zahlen”, zum Beispiel die Zahl 2 — von
der wir ja gerade gesehen haben, daß es keine rationale Zahl ist — mit beliebiger
Genauigkeit berechnen! Dazu erinnern wir uns an die
1.2.4.1
Dezimalzahlen
Grundidee: Im täglichen Leben wird das Dezimalsystem verwendet. Das Zahlensymbol 123 steht dabei für die Summe:
1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 .
Ferner entspricht das Symbol 2.43 der Summe
2 · 100 + 4 · 10−1 + 3 · 10−2 .
51
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.2.4.2
Näherungswerte für die fehlenden Zahlen
√
Mit Hilfe dieser Zahlendarstellung berechnen wir Näherungswerte für 2:
√
In einer ersten groben Abschätzung erhält man leicht: 1 ≤ 2 ≤ 2,
denn 12 = 1; 22 = 4.
Die erste Stelle hinter dem Komma könnte besetzt sein mit einer der
Ziffern 0, 1, 2, . . . , 9. Gesucht ist die größte Ziffer z, bei der gilt 1.z 2 ≤
2.
√
Durch Probieren findet man: 1.4 ≤ 2 ≤ 1.5, denn 1.42 = 1.96 und
1.52 = 2.25.
Entsprechend geht man bei der 2., 3. und den folgenden Stellen vor:
√
1 ≤
2 ≤
2
√
2 ≤
1.5
1.4 ≤
√
1.41 ≤
2 ≤ 1.42
√
1.414 ≤
2 ≤ 1.415
.. ..
.. ..
..
. .
. .
.
(1.24)
Auf diese Weise läßt sich die Zahl
√
2 = 1.4142135623730950488 . . .
beliebig genau durch rationale Zahlen fassen und wir wollen das Symbol
1.4142135623730950488 . . . als Abkürzung für die Zahl x auffassen, die der unendlichen Ungeleichungskette
α0 :=1
α1 :=1.4
α2 :=1.41
α3 :=1.414
α4 :=1.4142
genügt.
≤
≤
≤
≤
≤
x
x
x
x
x
<
<
<
<
<
1 + 10−0
1.4 + 10−1
1.41 + 10−2
1.414 + 10−3
1.4142 + 10−4
=: β0
=: β1
=: β2
=: β3
=: β4
(1.25)
Solche Zahlen, die sich nicht durch einen Bruch darstellen lassen, aber durch
rationale Zahlen beliebig genau angenähert werden können, nennen wir irrationale
Zahlen.
Nehmen wir diese Zahlen zu den rationalen Zahlen hinzu, so erhalten wir die
Reellen Zahlen R.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
52
Relle Zahlen: Reelle Zahlen sind all die Zahlen, die sich durch Folgen
α1 , α2 , α3 , . . . von rationalen Zahlen αj , die sich auf einen Punkt zusammenziehen,
darstellen lassen.
Vollständigkeit der reellen Zahlen: Die reellen Zahlen sind vollständig,
d.h.jede Folge von rellen Zahlen ρ1 , ρ2 , ρ3 , . . ., die sich auf einen Punkt zusammenzieht, stellt wieder eine relle Zahl dar — man erreicht damit keine neuen
Zahlen!
Satz: Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung
endlich oder periodisch ist.
1.2.4.3
Darstellung der reellen Zahlen als Vektoren auf der Zahlengeraden
Auf der von links nach rechts wachsenden Zahlengeraden, auf der ein Punkt O
als Ursprung ausgezeichnet und ein Längenmaßstab gewählt wird, lassen sich die
rellen Zahlen und ihre Operationen wie folgt darstellen:
1. Jeder rellen Zahl a wird ein Pfeil mit Fußpunkt und Spitze zugeordnet:
• Die Länge des Pfeils ist gleich dem Betrag |a| von a.
• Der Pfeil zeigt nach rechts, wenn a positiv ist, und nach links, wenn a
negativ ist.
• Der Pfeil ist auf der Zahlengerade verschiebbar; in der konventionellen
Darstellung werden die Fußpunkte nach O gelegt.
2. Zwei Zahlen a und b werden addiert, indem der Fußpunkt von b an die
Spitze von a verschoben wird. Es resultiert ein Pfeil dessen Fußpunkt bei
dem Fußpunkt von a liegt und dessen Spitze bei der neuen Lage der Spitze
von b liegt.
3. Zwei Zahlen a und b werden multipliziert, indem die Länge des Pfleils von
a mit |b| multipliziert wird. Ist b negativ, so erhält darüberhinaus der resultierende Pfeil a · b eine zu a engegengesetzte Richtung.
53
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.3
Folgerungen
1.3.1
Das Summen und das Produktzeichen
Für die Summe und das Produkt der Zahlen am , am+1 ,. . . , an (mit m ≤ n) schreibt
man:
am + am+1 + · · · + an =:
n
X
ak ,
k=m
am · am+1 · · · an =:
n
Y
ak .
(1.26)
k=m
Leere Summen (m > n) werden dabei als 0 definiert und Leere Produkte (m > n)
als 1; diese Definitionen erweisen sich als sinnvoll um lästige Fallunterscheidungen
zu vermeiden.
1.3.2
Die binomische Formel
Für beliebige Zahlen a, b und jede natürliche Zahl n ∈ N0 gilt
(a + b)n =
n
X
k=0
!
n n−k k
a b .
k
(1.27)
Begründung: Beim Ausmultiplizieren von
(a + b) · (a + b) · · · (a + b)
|
{z
n Faktoren
}
gibt es so viele Summanden an−k bk in der zunäcchst ungeordneten Form wie etwa
a · a · b · a · · · · b wie man k Werte b auf die n Stellen eines solchen Produktes aus
a- und b-Werten verteilen kann; das ist aber gerade die Anzahl der k-elementigen
Teilmengen einer n-elementigen Menge, die — wie wir wissen — durch nk gegeben
ist.
54
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.3.3
*Die verallgemeinerte zweite binomische Formel
Eine weitere wichtige Beziehung erhält man, wenn man für n ≥ 1 und a 6= B den
n −bn
entwickeltii:
Quotienten a a−b
an − bn
an − bn − an−1 (a − b)
= an−1 +
a−b
a−b
n−1
a
− bn−1
n−1
=a
+b
a−b
an−1 −bn−1
Jetzt “iterieren”:
a−b
durch die rechte Seite mit n → n − 1 ersetzen
an−2 − bn−2
)
= an−1 + b(an−2 + b
a−b
an−2 − bn−2
= an−1 + ban−2 + b2
)
a−b
..
.
(1.28)
= an−1 + ban−2 + b2 an−3 + · · · + abn−2 + bn−1
Es folgt die für alle a, b gültige Formel:
a − b = (a − b)
n
n
n
X
an−j bj−1
(1.29)
j=1
Wir wollen diese Formel noch einmal mit der eventuell aus der Schule bekannten
Polynomdivision nach der Variablen a herleiten:
(a^n - b^n) : (a - b) = a^(n-1) + ba^(n-2) + b^2a^(n-3) + ... + b^(n-1)
- (a^n - ba^(n-1))
---------------------b(a^(n-1) - b^(n-1))
- b(a^(n-1) - b^(n-2))
---------------------b^2(a^(n-2) - b^(n-2))
- b^2(a^(n-2) - b^(n-3))
-----------------------b^3(a^(n-3) - b^(n-3))
.
ii
Das ist eine “Polynomdivision” nach der Variablen a.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
55
.
.
-----------------------b^n(a^(n-n) - b^(n-n))
1.3.4
Die Bernoullische-Ungleichung
Die Bernoulli-Ungleichungiii behauptet, daß für n ∈ N0 und a > −1
(1 + a)n ≥ 1 + na
gilt. Sie ist offensichtlich für n = 0 und n = 1 richtig. Der allgemeine Fall läßt
sich durch vollständige Induktion nachweisen:
Induktionsanfang: (1 + a)1 ≥ 1 + 1 · a.
Induktionsvoraussetzung: (1 + a)m ≥ 1 + ma für ein m ∈ N.
Induktionsschritt:
(1+a)m+1 = (1+a)(1+a)m ≥ (1+a)(1+ma) = 1+ma+a+ma2 ≥ 1+(m+1)a
Für a ≥ 0 folgt die Ungleichung auch einfach aus der binomischen Formel
(1 + a)m =
m
X
k=0
!
m m−k k
1
a
k
= 1 + ma +
m(m − 1) 2
a + ···
2
Aufgaben
Aufgabe 33: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Scheitert der
Beweis von „2n + 1 ist für alle n ≥ 100 eine gerade Zahl“ am Induktionsanfang,
am Induktionsschritt oder an beidem?
Hinweis: Überprüfen Sie, ob sich der Induktionsschritt vollziehen lässt, ob also
aus der Ungeradheit von 2n + 1 auch die Ungeradheit von 2(n + 1) + 1 folgen
würde. Ist die Aussage für n = 100 wahr?
iii
Nach Jakob Bernoulli (1654–1705).
56
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Aufgabe 34: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Beweisen Sie
mittels vollständiger Induktion für alle natürlichen n:
n
X
(2k + 1) = n (n + 2)
k=1
Hinweis: Das Vorgehen erfolgt analog zu dem für die arithmetische Summenformel.
Aufgabe 35: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Beweisen Sie
für n ∈ N≥2 :
n
Y
(k − 1) = (n − 1)!
k=2
Hinweis: Induktionsbeweis mit Induktionsanfang bei n = 2 oder Beweis per
Indexverschiebung.
1.4
Folgen (von Zahlen)
1.4.1
Beispiel: Approximation der Wurzel
Die folgende Iterationsvorschrift nähert für x ≥ 0
√
x an:
u0 := 1,
1
x
un+1 =
(un + ) für n ∈ N0 .
2
un
Mittels dieser rekursiven Definition kann man jedes Glied der Folge berechnen:
• Start ist bei u0 = 1. Dann geht es weiter:
• u1 = 21 (u0 +
x
),
u0
• u2 = 21 (u1 +
x
),
u1
• u3 = 21 (u2 +
x
),
u2
so daß man die Zahlen u0 , u1 , u2 , . . . nacheinander berechnen kann.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Spezielle Werte für x
1. x = 1:
u0 = 1
u1 = 1
..
.
2. x = 1/2:
u0 = 1
u1 = 3/4
u2 = 17/24
..
.
3. x = 4:
u0 = 1
u1 = 5/2
u2 = 41/20
..
.
4. x = 2:
u0 = 1
u1 = 3/2
u2 = 17/12
..
.
57
58
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Aufgabe 36: Berechnen Sie mit dem Taschenrechner die ersten 6 Glieder der
durch u0 = 1 und un+1 := 21 (un + uxn ) rekursiv definierten Folge für
(a) x = 1,
(b) x = 1/2,
(c) x = 4,
(d) x = 2
und vergleichen Sie die sich ergebenden Werte mit
√
x
Wird diese Aufgabe mit Matlab gelöst, so erhält man:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Folge zur Berechnung der Wurzel / GNU Octave: http :// www. octave.org
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Funktion definieren:
>> f = @ ( x , u ) 1 / 2 ∗ ( u + x/u ) ;
%
% Funktion testen:
>> f ( 2 , 1 )
ans = 1 . 5 0 0 0
%
% Groessere Stellenzahl:
>> format long
%
% sqrt (2)
%
% Startwert
>> u=1
u = 1
% Rekursive Berechnung der anderen Werte
>> for j = ( 1 : 1 0 )
>
u=f ( 2 , u )
> end
u = 1 .5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u = 1 .4 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7
u = 1 .4 1 4 2 1 5 6 8 6 2 7 4 5 1
u = 1 .4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 4 6 9
u = 1 .4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9
u = 1 .4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9
u = 1 .4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
u = 1 .4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9
u = 1 .4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9
u = 1 .4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9
%
% sqrt (1/2)
%
% Startwert
>> u=1
u = 1
% Rekursive Berechnung der anderen Werte
>> for j = ( 1 : 1 0 )
>
u=f ( 1 / 2 , u )
> end
u = 0 .7 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u = 0 .7 0 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
u = 0 .7 0 7 1 0 7 8 4 3 1 3 7 2 5 5
u = 0 .7 0 7 1 0 6 7 8 1 1 8 7 3 4 5
u = 0 .7 0 7 1 0 6 7 8 1 1 8 6 5 4 7
u = 0 .7 0 7 1 0 6 7 8 1 1 8 6 5 4 7
u = 0 .7 0 7 1 0 6 7 8 1 1 8 6 5 4 7
u = 0 .7 0 7 1 0 6 7 8 1 1 8 6 5 4 7
u = 0 .7 0 7 1 0 6 7 8 1 1 8 6 5 4 7
u = 0 .7 0 7 1 0 6 7 8 1 1 8 6 5 4 7
%
% sqrt (4)
%
% Startwert
>> u=1
u = 1
% Rekursive Berechnung der anderen Werte
>> for j = ( 1 : 1 0 )
>
u=f ( 4 , u )
> end
u = 2 .5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u = 2 .0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u = 2 .0 0 0 6 0 9 7 5 6 0 9 7 5 6
u = 2 .0 0 0 0 0 0 0 9 2 9 2 2 2 9
u = 2 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u = 2
u = 2
u = 2
u = 2
u = 2
59
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
74
75
76
77
60
>>
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EOF
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Wenn(!) un in irgend einem vernünftigen Sinn gegen einen Wert u läuft, dann gilt
u =
⇔
u =
⇔
u2 =
1
x
(u + )
2
u
x
u
x
In den Fällen
1.:
2.:
3.:
4.:
1.4.2
u = 1, √
u = 1/ 2,
u=√
2,
u = 2.
Definition des Begriffs “Folge”
Unter einer Folge (un )n∈N von rellen Zahlen versteht man eine Abbildung, die
jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl un zuordnet.
Die Folge kann einfach aufgezählt werden:
(un ) = (1, 2, 4, 8, . . .),
wie in obigem Beispiel rekursiv definiert werden
u0 := 1,
1
x
un+1 =
(un + ),
2
un
oder durch eine “Formel” beschrieben werden:
un = an
a ∈ R und n ∈ N.
(1.30)
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
61
Man sagt, eine Folge (an )n∈N konvergiert gegen eine Zahl a ∈ R wenn |a − an | mit
wachsendem n beliebig klein gemacht werden kann, d.h. zu jeder vorgegebenen
reellen Zahl ǫ > 0 existiert eine Zahl N = N (ǫ) ∈ N so, daß |a − an | < ǫ für alle
die n ∈ N, die größer oder gleich N sind (n ≥ N (ǫ)). Man schreibt dann
lim an = a.
n→∞
oder auch
an → a,
n→∞
Eine Folge, die nicht konvergiert, wird divergent genannt.
Man schreibt
lim an = ∞,
n→∞
wenn es zu jeder vorgegebenen (beliebig großen) reellen Zahl r ein N = N (r) ∈ N
gibt, so daß an ≥ r für alle n ≥ N .
1.4.3
*Beweis, daß obige Wurzelapproximation konvergiert
Es ist für x ≥ 0
u0 = 1
1
un+1 = (un + x/un )
2
√
x + ǫn , so
Daraus folgt zunächst, daß uj > 0 für
alle
j
∈
N
0 . Wir setzen un =:
√
daß ǫn die Abweichung von un von x mißt. Dann formt man so um:
√
1 √
x + ǫn+1 = ( x + ǫn + x/( x + ǫn ))
2
√
√
1
ǫn+1 = (ǫn − x + x/( x + ǫn ))
2
1
ǫ2n
√ )
= (
2 ǫn + x
√
Ist ǫn + x > 0, so ist ǫn+1 > 0. Also gilt ǫ1 > 0, ǫ2 > 0, . . . . Daher gilt
√
ǫn + x > ǫn > 0, für n ≥ 1
√
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
62
Somit folgt für n ≥ 1:
1
ǫn+1 < ǫn ,
2
woraus sich
ǫn <
1
2n−1
ǫ1 ,
für n ≥ 2
ergibt. Daraus folgt die Behauptung, da an anderer Stelle limn→∞ (1/2)n = 0
gezeigt wird.
1.4.4
Beispiele von Folgen
1.4.4.1
Die Folge (xn )n∈N : x, x2 , x3 , . . .
1) x = 1: ⇒ xn = 1.
2) x = 0: ⇒ xn = 0.
3) |x| > 1: Dann ist |x| = 1 + ǫ mit ǫ > 0 und aus der Bernoulli-Ungleichung
folgtiv
|x|n > 1 + nǫ → ∞
für n → ∞.
4) |x| < 1 und x 6= 0: Dann ist
1
=
|xn |
1
|x|
!n
→ ∞,
1
|x|
> 1 und nach dem unter 3) Gesagten gilt
n → ∞.
Das heißt aber |xn | → 0, n → ∞, also xn → 0 für n → ∞.
1.4.4.2
p
Die Folge (( n1 ) q )n∈N für p ∈ N, q ∈ N
Diese Folge konvergiert gegen Null: Nach dem Satz von Archimedes (A9) existiert
1
zu einem vorgegebenen ǫ > 0 eine natürliche Zahl N > ǫq/p
. Also gilt für n ≥ N :
iv
p
(1/n) q
− 0
p
p
= (1/n) q ≤ (1/N ) q < ǫ.
Im letzten Schritt wird der Satz von Archimedes verwendet.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
63
p
Die Folge (n q )n∈N für p ∈ N, q ∈ N
1.4.4.3
Nach dem soeben Bewiesenen konvergiert diese Folge gegen Unendlich.
√
Die Folge ( n a)n∈N für a > 0
1.4.4.4
Es gilt limn→∞
√
n
a = 0.
Begründung: Sei xn :=
folgt:
√
n
a. Dann ist xn > 0. Mit der Bernoulli-Ungleichung
a = xnn = (1 + (xn − 1))n ≥ 1 + n(xn − 1).
Sei zunächst a ≥ 1. Dann ist auch xn ≥ 1 und
|xn − 1| = xn − 1 ≤ (a − 1)
1
→ 0 (n → ∞).
n
Für 0 < a < 1 ist 0 < xn < 1 und
1
=
xn
s
n
1
→ 1 (n → ∞),
a
womit wir folgern:
|xn − 1| =
1.4.5
|xn | 1 −
1 1 → 0 (n → ∞).
≤ 1 −
xn
xn Rechenregeln für Folgen
Sind (xn ) und (yn ) Folgen mit den Grenzwerten x und y, dann existieren auch die
folgenden Grenzwerte:
lim λxn = λx
n→∞
lim xn ± yn = x ± y
n→∞
lim xn · yn = x · y
n→∞
lim xn /yn = x/y,
n→∞
p/q
lim xp/q
n = x
n→∞
falls y 6= 0
für p ∈ N und q ∈ N
Gilt ab einem gewissen m ∈ N xn ≤ yn für n ≥ m, so ist auch x ≤ y.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
64
Aus diesen Rechenregeln kann man für viele Folgen die Grenzwerte berechnen.
2
+2n+1
. Gesucht ist der Grenzwert von (xn ). Durch Kürzen
Beispiel: Sei xn = 3n
5n2 +4n+2
2
von n erhalten wir
xn =
3 + 2/n + 1/n2
5 + 4/n + 2/n2
und damit sind alle Summanden in Zähler und Nenner konstant oder Nullfolgen,
so daß sich durch Anwenden der Rechenregeln
3 + limn→∞ 2/n + limn→∞ 1/n2
3
limn→∞ (3 + 2/n + 1/n2 )
=
=
.
lim xn =
n→∞
limn→∞ (5 + 4/n + 2/n2 )
5 + limn→∞ 4/n + limn→∞ 2/n2
5
Aufgabe 37: Untersuchen Sie die Folgen (an ), (bn ), (cn ) und (dn ) mit den unten
angegebenen Gliedern auf Konvergenz.
n2
an = 3
n −2
cn = n − 1
n3 − 2
bn =
n2
dn = bn − cn
Hinweis: Formen Sie die Ausdrücke so um, dass in Zähler und Nenner nur bekannte Nullfolgen oder Konstanten stehen und wenden Sie die Rechenregeln an.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
65
Aufgabe 38: Berechnen Sie jeweils den Grenzwert der Folge (xn ), falls dieser
existiert:
1 − n + n2
(a) xn =
n(n + 1)
n3 − 1 n3 (n − 2)
−
(b) xn = 2
n
+
3
n2 + 1
√
(c) xn = n2 + n − n
√
√
(d) xn = 4n2 + n + 2 − 4n2 + 1
Hinweis: Kürzen Sie höchste Potenzen in Zähler und Nenner. Bei (b) können
Sie xn /n2 betrachten. Bei Differenzen von Wurzeln führt das Erweitern mit der
Summe der Wurzeln zum Ziel.
1.4.6
Die geometrische Summe und die geometrische Reihe
–)
Legt man am Anfang jeden Jahres eine feste Geldsumme T (z.B. T = 1000C
zu einem konstanten Zinssatz Z (z.B. Z = 3/100) an, so hat man am Ende des
N -ten Jahres (z.B. N = 5) die Geldmenge GN angehäuft:
GN = T ∗ (1 + Z) + T ∗ (1 + Z)2 + · · · + T ∗ (1 + Z)N
Unter der geometrischen Summe versteht man die Summe SN
SN = SN (x) :=
N
X
k=0
xk = 1 + x + x2 + · · · + xN .
(1.31)
Hierbei ist x ∈ R und N eine natürliche Zahl.
Bei obigem Geldproblem setzen wir x = (1 + Z) und erhalten
GN = T ∗ SN (1 + Z) − T = T ∗ (SN (1 + Z) − 1).
Wir können nun die Summe (1.31) “ausrechnen”:
1 + xSN = SN+1 = SN + x(N+1)
⇒
(1 − x)SN = 1 − x(N+1)
⇒
1 − x(N+1)
für x 6= 1.
SN (x) =
1−x
(1.32)
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
66
Für obiges Beispiel folgt also:
G5 = 1000C
– (S5 (103/100) − 1)
= 1000C
–
103
100
6
−
103
100
3
100
103 6 103
100
−
= 1000C
–
3
100
100
= 1000C
– ∗ 5.468 = 5468C
–
!
Es ist nun die Frage naheliegend, wie sich die Geometrische Summe verhält, wenn
N gegen unendlich strebt:
∞
X
xk ;
k=0
solche unendlichen Reihen behandelt man, indem man die Folge Ihrer Partialsummen — also hier der SN betrachtet. Weil für |x| < 1 die Beziehung xN → 0,
N → ∞ gilt, können wir aus (1.32) schließen, daß gilt:
lim
N→∞
N
X
xk =:
∞
X
xk =
k=0
k=0
1
1−x
für |x| < 1.
(1.33)
Aufgabe 39: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Bestimmen
Sie die Menge M aller x ∈ I, für die die Reihen
(a)
(b)
∞
X
(sin 2x)n
n=0
∞ X
n=0
konvergieren.
x −4
2
!
n
!
I = (−π, π),
I=R
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
67
Aufgabe 40: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Wir betrachten ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a. Nun wird ein neues Dreieck konstruiert, dessen Seiten genauso lang sind, wie die Höhen des ursprünglichen Dreiecks. Dieser Vorgang wird iterativ wiederholt.
Bestimmen Sie den Gesamtumfang und den gesamten Flächeninhalt all dieser
Dreiecke.
Hinweis: Bestimmen Sie Umfang und Flächeninhalt der ersten drei oder vier
Dreiecke und versuchen Sie ein Schema zu erkennen.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
68
Aufgabe 41: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Eine Aufgabe
für die Weihnachtszeit: Eine Gruppe von Freunden möchte eine Weihnachtsfeier
veranstalten. Dafür werden 5 Liter Glühwein gekauft. Die 0.2-Liter-Becher stehen
bereit, und es wird rundenweise getrunken. Die Freunde sind aber vorsichtig, daher
trinken sie nur bei der 1. Runde einen ganzen Becher, in der 2. Runde nur noch
einen halben, danach einen viertel Becher, usw.
Wie groß muss die Gruppe mindestens sein, damit alle 5 Liter Glühwein verbraucht werden? Wie viele Runden müssen bei dieser minimalen Zahl von Freunden getrunken werden?
Hinweis: Verwenden Sie die geometrische Reihe.
1.4.7
*Cauchy-Folgen
Wir hatten oben von Folgen gesprochen, die sich “auf einen Punkt zusammenziehen”. Hier folgt die exakte Definition:
Eine Folge (an )n∈N heißt Cauchy-Folge v , wenn sie sich “beliebig dicht” zusammen
zieht. D.h., zu jedem vorgegebenen Wert ǫ > 0 gibt es eine Zahl N (ǫ) ∈ N so, daß
|an − am | < ǫ
für alle n, m ≥ N (ǫ).
Beispiel: an = n1 :
m−n
mn
1
1
|n| + |n|
≤
+
|an − am | ≤
|n| |m|
|m| |n|
1
≤ 2 .
N
an − am =
Die “Wurzelfolge” ist eine Cauchy Folge: Wir berechnen obige Wurzelfolge
(u0 = 1 und un+1 = 21 (un + x/un ) für x = 7:
n
0
1
2
3
4
v
un
1.000
4.000
2.655
2.646
2.646
Augustin Louis Cauchy, 1789–1857; zunächst Ingenieur
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
69
Aufgabe 42: Aufgabe: Zeichnen Sie dazu ein Diagramm, in dem auf der x-Achse
n und auf der y-Achse un aufgetragen wird.
Satz: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Beispiel: Dualbruchentwicklung Dualzahlen:
I0II = 1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 0 ∗ 22 + 1 ∗ 23
= 1 + 2 + 8 = 11.
Dualzahlen mit Nachkommastellen:
I0II.III = 11 + 1 ∗ 2−1 + 1 ∗ 2−2 + 1 ∗ 2−3 .
Ein (unendlicher) Dualbruch d hat die Form
N
X
∞
X
!
bk
gk 2 +
d = (±1)
,
k
k=1 2
k=0
dabei ist g :=
PN
k=0
k
mit gk ∈ {0, 1}, bk ∈ {0, 1}.
gk 2k der ganzzahlige Teil.
Damit ist eigentlich eine Zahlenfolge gemeint (wir schreiben nur den Fall d ≥ 0
hin:
d0 := g
1
X
d1 := g +
bk
k
k=1 2
d2 := g +
2
X
bk
2k
k=1
d3 := g +
3
X
..
.
..
.
bk
2k
k=1
Zum Beispiel ist mit
I.0I00II000III0000IIII00000IIIII . . .
70
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
die Zahlenfolge
d0 := 1
d1 := 1 + 0 ∗
d2 := 1 + 0 ∗
d3 := 1 + 0 ∗
d4 := 1 + 0 ∗
d5 := 1 + 0 ∗
..
.
..
.
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
22
1
1
+1∗ 2 +0∗ 3
2
2
1
1
+1∗ 2 +0∗ 3 +0∗
2
2
1
1
+1∗ 2 +0∗ 3 +0∗
2
2
+1∗
1
24
1
1
+
1
∗
24
25
gemeint
Wir schauen uns die Teilsummen von d − g an: sn =
vergenz von (sn )n∈N ist d = g + s mit s = limn→∞ sn .
Für n ≥ m ≥ N rechnet man so:
n
X
sn − sm =
bk
2k
k=m
|sn − sm | ≤
1
2k
k=m
|sn − sm | ≤
1
2k
k=m
n
X
∞
X
m−1
X 1
1
=
−
2k k=0 2k
k=0
∞
X
= 2−
1−
1
m
1
2
− 12
1
2
N
1
→ 0.
≤ 2
|{z}
2
= 2
m
N→∞
Also sind (unendliche) Dualbrüche Cauchy-Folgen!
Pn
bk
k=1 2k .
Im Falle der Kon-
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
71
*Entwicklung einer vorgegebenen Zahl x ∈ R in einen Dualbruch:
Wir zerlegen zunächst
x = (±1)(n + f )
n ∈ N0 und 0 ≤ f < 1.
Als erstes berechnen wir die Dualdarstellung von n mit folgenden Algorithmus:
Algorithmus 2 Dualdarstellung einer ganzen Zahl
Precondition: n ∈ N0
1: if n = 0 then
2:
Print(n)
3: end if
4: while n 6= 0 do
% “%”: Modulo, Rest bei ganzzahliger Division:
% 7 % 5 = 2, 3 % 2 = 1, . . .
5:
s←n%2
6:
n ← n/2
7:
Print(n)
8: end while
Das gibt die dualen Stellen von n von rechts nach links aus.
Beispiel n = 10:
s
n
s
n
s
n
s
n
:= 10 % 2 =
:= 10 / 2 =
:= 5 % 2 =
:= 5 / 2 =
:= 2 % 2 =
:= 2 / 2 =
:= 1 % 2 =
:= 1 / 2 =
0
5
1
2
0
1
1
0
Das heißt: 10 = I0I0.
Warum geht das? Durch vollständige Induktion läßt sich zeigen, daß sich jede
natürliche Zahl n in der Form
n=
N
X
k=0
g k 2k
(1.34)
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
72
darstellen läßt.
“Zu Fuß” sieht man das so: Man sucht die größte natürliche Zahl k1 , so daß 2k1 ≤ n
ist. Dann sucht man die größte natürliche Zahl k2 , so daß 2k2 ≤ n − 2k1 . Dann
sucht man die größte natürliche Zahl k3 , so daß 2k3 ≤ n − 2k1 − 2k2 .
Beispiel n = 13: k1 = 3, da 23 = 8 und 24 = 16. Nun ist 13 − 23 = 5 und k2 = 2,
weil 22 = 4 ≤ 5 < 23 = 8. Schließlich wird k3 = 0, weil 13 − 23 − 22 = 1 = 20 .
Also ist 13 = 20 + 22 + 23 .
Mit der Darstellung (1.34) rechnet man dann so weiter
n =
N
X
g k 2k
N
X
gk 2
k=0
n % 2 = g0
n/2 =
k−1
=
k=1
N−1
X
gj+1 2j ,
j=0
was den angegebenen Algorithmus bestätigt.
Man kann ich klarmachen, daß eine Zahl f , die zwischen 0 und 1 liegt (0 ≤ f < 1
P
gk
als f = ∞
k=1 2k darstellbar ist:
1
⇔ g1 = 1
2
g1
1
f−
≥
⇔ g2 = 1
2
4
g1 g2
1
f−
−
≥
⇔ g3 = 1
2
4
8
..
.
f≥
Es ist
0≤f ≤
1
− 1 = 1.
k
2
k=0
∞
X
Deshalb existiert ein k ∈ N mit gk = 0, denn es ist ja 0 ≤ f < 1!
Es ist nun
2f =
∞
∞
X
X
gk
gj+1
gk
=
g
+
=
g
+
.
1
1
k−1
k−1
j
2
2
2
j=1
k=2
k=1
∞
X
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
73
Bezeichnung: Zu jeder Zahl x ∈ R existiert wegen des Satzes von Archimedes
eine eindeutig bestimmte Zahl m ∈ Z so daß
m ≤ x < m + 1;
Diese Zahl m bezeichnen wir mit floor(x).
Damit folgt der Algorithmus zur Bestimmung der Dualdarstellung des nichtganzzahligen Teils von x also von f := x − floor(x):
Algorithmus 3 Dualdarstellung einer Zahl f zwischen 0 und 1
Precondition: 0 < f < 1
1: while f > 0 do
2:
f ← 2f
3:
s ← floor(f )
4:
f ←f −s
5:
Print(s)
6: end while
Das liefert die dualen Nachkommastellen von f von links nach rechts.
Beispiel: f = 1/2 + 1/8 = 5/8:
f
s
f
f
s
f
s
f
:=
:=
:=
:=
:=
:=
:=
:=
5/4
1
1/4
1/2
0
1
1
0
Also ist f = 0.I0I.
1.4.8
*Zusatz: Anmerkungen zu den reellen Zahlen
Formal drückt man die Vollständigkeit der reellen Zahlen so aus:
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
74
(A10): Jede Cauchy-Folge konvegiert gegen eine reelle Zahl.
Das heißt also das alle “vernünftig konstruierten” Folgen reeller Zahlen, die zur
Approximation eines Wertes verwendet werden (wie etwa obige Wurzelfolge), gegen eine reelle Zahl konvergieren; wichtig: wir wissen, daß sie gegen eine Zahl in
R laufen, ohne diese Zahl zu kennen.
Wir hatten gezeigt, daß man für jedes x ∈ R eine gegen x konvergierende Dualbruchentwicklung konstruieren kann. Andererseits hatten wir gesehen, daß jeder
Dualbruch ein Cauchy-Folge ist.
Daher kann R also auch als die Menge der unendlichen Dualbrüchevi aufgefaßt
werden.
1.4.8.1
Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen
R ist nicht abzählbar: Angenommen man könnte die Zahlen im Intervall [0, 1]
durch Dualbrüche abzählen:
1 z1 = 0. b11
2 z2 = 0. b21
3 z3 = 0. b31
..
.. .. ..
.
. . .
n zn = 0. bn1
..
.. .. ..
.
. . .
b12
b22
b32
..
.
b13 . . .
b23 . . .
b33 . . .
..
.
bn2
..
.
bn3 . . .
..
.
(1.35)
Wir konstruieren nun eine relle Zahl x mit der Dualdarstellung
x = 0. x1 x2 x3 . . . ,
die in der Abzählung (1.35) nicht enthalten ist:
Sei dazu xi = (bii + 1) % 2, also
xi =
(
1 : bii = 0
0 : bii = 1
(1.36)
Dann ist x nicht in der obigen Abzählung enthalten, denn sonst gäbe es eine
natürliche Zahl n derart, daß x = zn ; dann müßte aber xn = bnn sein, was aber
wegen (1.36) sicherlich nicht der Fall ist!
vi
Das geht natürlich alles auch mit den Dezimalbrüchen.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
75
Anmerkung: Algebraische Zahlen sind die Lösungen x von Polynomgleichungen
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn = 0,
wobei die aj ∈ Q rationale Zahlen sind.
Das
r
sind
also die rationalen Zahlen und auch so Konstruktionen wie
q
√
1 + 2 + 3. Da jede solche Gleichung höchstens n Lösungen besitzt (später
. . . ) und es höchstens abzählbar viele solcher Gleichungen gibt, gibt es auch nur
abzählbar viele algebraische Zahlen.
Die rellen Zahlen sind also viel mehrvii .
Aufgaben
Aufgabe 43: Berechnen Sie folgende Logarithmen:
(a) log2 8
(b) log2
(c)
1
4
log2 √12
(d) log3 81
(e) log9 3
(f) log4 0.5
Aufgabe 44: Berechnen Sie mit dem oben angegebenen Algorithmus für ganzzahlige Division mit Rest 9 : 4. Gehen Sie den Algorithmus Schritt für Schritt
durch und geben Sie die jeweiligen Werte von a, b, x und r an.
Aufgabe 45: Beweisen Sie: Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahle k > 1
√
ist k p eine irrationale Zahl. Hinweis: Gehen Sie ganz analog yum Fall p = 2 und
k = 2 vor!
vii
Das oft gebrauchte Argument von der fehlenden
Zahlen etwas schwachbrüstig.
√
2 ist also zur Einführung der reellen
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
76
Aufgabe 46: Fassen Sie folgende Ausdrücke zu einem Bruch zusammen und
vereinfachen Sie soweit wie möglich:
(a) A0 =
x+a
4π
+
a−2
2y
(b) A1 =
1
x+1
−
1
x+2
(c) A2 =
π 2 /c π
/x.
ab
ab
−
+
xy
,
πy
1
,
x+3
bc
Aufgabe 47: Bei Hintereinanderschaltung zweier Widerstände R1 und R2 ist
der Gesamtwiderstand Rges = R1 + R2 , bei der Parallelschaltung von Wider1
ständen gilt für den Gesamtwiderstand Rges , Rges
= R11 + R12 . Ermitteln Sie den
Gesamtwiderstand der unten stehenden Schaltung:
________
________
------|__R1__|------|__R3__|-----___|
|___
|
________
________
|
------|__R2__|------|__R4__|------
Aufgabe 48: Weisen Sie die Dreiecksungleichung für den Betrag nach, indem
Sie die vier Fälle
(i) x ≥ 0, y ≥ 0
(ii) x < 0, y < 0
(iii) x ≥ 0, y < 0
(iv) x < 0, y ≥ 0
gesondert untersuchen. Hinweis: In den Fällen (iii) und (iv) wird noch eine weitere
Fallunterscheidung nötig sein.
Aufgabe 49: Beweisen Sie, daß keine rationale Zahl l existiert, die die Gleichung
l3 = 2 erfüllt, indem Sie so wie in der Vorlesung vorgehen.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
77
Aufgabe 50: Man ermittle die Lösungsmenge folgender Ungleichungen:
(a) 3 − x < 4 − 2x,
(b) ||x| − |−5|| < 1,
(c) 6x2 −13x+6 < 0; Hinweis: Verwenden Sie die quadratische Ergänzung oder
zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren (rechnerische Methoden) oder
fertigen Sie eine Skizze von y = 6x2 − 13x + 6 an (zeichnerische Methode).
(d)
3−x
1+x
> 1; Hinweis: Fallunterscheidung.
√
Aufgabe 51: Berechnen Sie 3 mit dem in der Vorlesung dargestellten Iterationsverfahren mit einer Genauigkeit von 2 Dezimalstellen.
Aufgabe 52: Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · ·
Aufgabe 53: Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe
1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + · · ·
Aufgabe 54: Berechnen Sie bis auf zwei Dezimalstellen genau die Fläche des
Quadrates über der Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1.0.
Aufgabe 55: Berechnen Sie folgende Dualzahlen:
(a) III00
(b) I0I0I0.I0I0
Aufgabe 56: Geben Sie die Dualdarstellung von 13 an.
Aufgabe 57: Geben Sie die Dualdarstellung von 0.7 an.
Aufgabe 58: Geben Sie die Dualdarstellung von 10.7 an.
Aufgabe 59: Wandeln Sie den unendlichen Dezimalbruch 3.12678678678 · · · in
einen Bruch um.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.5
78
Die Ebene
1.5.1
Erinnerung an die euklidische Geometrie
1.5.1.1
Grundlagen
In der euklidischen Geometrie bezeichnen wir Punke mit Großbuchstaben A, B,
. . . , die Verbindungsstrecken zweier Punkte A und B mit AB oder mit einem
Kleinbuchstaben, etwa a. Unendlich ausgedehnte Strecken nennen wir Geraden.
Abbildung 1.13: Winkelmessung
1.5.1.1.1 Winkel Zwei Strecken P A, P B, die sich im Punkt P treffen bilden
dort den Winkel AP B, der in Abbildung 1.13 mit α bezeichet ist. Dieser Winkel
wird so gemessen: Man faßt P als Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius 1
auf. Die Länge des ausgeschnittenen Kreisbogesn sei l. Wir nennen l bzw. −l
das Bogenmaß des Winkels α und schreiben α = l, bzw. α = −l, wenn im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) bzw. im im mathematisch
negativen Sinn (im Uhrzeigersinn) gemessen wird.
Man kann den ausgeschnittenen Kreisbogen auch dadurch messen, daß man den
Vollkreis gleichmäßig in 360 Teile unterteilt. Ein solches Teil nennt man ein Winkelgrad (1o ). Nennt man den Umfang des Vollkreises 2π so hat daher 1o das
Bogenmaß
1o =
2π
π
=
.
360
180
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
79
Bemerkung: Man kann zur Winkelmessung auch einen Kreis mit von Eins verschiedenem Radius r verwenden. Dann ist der Winkel α durch
α=
±l
Bogenstück
=
Radius
r
gegebenviii .
Ein rechter Winkel unterteilt den Einheitskreis in vier gleiche Teile, er hat als
90o = π/2. Zwei Strecken, die einen recxhten Winkel bilden stehen aufeinander
senkrecht.
Abbildung 1.14: Die zwei Formen des Parallelenpostulates
1.5.1.1.2
Euklids Postulate Sie besagen im wesentlichen, daß
• Zu zwei Punkten A und B eine eindeutig bestimmte gerade Strecke AB
gehöhrt,
• Die Ebene beliebig ausdehnbar und ohne Lücken ist,
• Die Ebene Symmetrieeigenschaften besitzt:
– Die Ebene ist homogen (alle Orte sind gleichwertig) — eine Figur an
einem Ort hat also dieselben geometrischen Eigenschaften, wie die an
einen anderen Ort verschobene Figur.
– Die Ebene ist isotroph (alle Richtungen sind gleichwertig) — eine Figur
hat dieselben geometrischen Eigenschaften, wie die gedrehte Figur.
viii
Das ist eigentlich eine Folgerung aus dem unten stehenden Ähnlichkeitsgesetz der euklidischen Postulate.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
80
– Es gilt folgendes Ähnlichkeitsgesetz: Verändert man alle Längen um
einen festen Betrag, so bleiben die Winkel gleich und umgekehrt: Bei
Figuren mit gleichen einander entsprechenden Winkeln unterscheiden
sich die Längen um einen festen Skalierungsfaktor λ.
• Es gilt das Parallelenpostulat (Abbildung 1.14), daß in zwei (äquivalenten)
Formen ausgesprochen werden kann:
1. Sind die Geraden a und b zwei Transversalen zu einer dritten Gerade
c, so daß die inneren Winkel, an denen a und b c treffen sich zu weniger
als zwei rechten Winkeln (180o ) addieren, so werden sich a und b auf
dieser Seite von c schneiden.
2. Ist a eine Gerade in der Ebene und P ein Punkt der Ebene, der nicht
auf a liegt, so gibt es genau eine Parallele zu a (eine Gerade b, die a
nicht schneidet) durch P .
1.5.1.2
Einige fundamentale geometrische Sätze
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
81
Winkel an Parallelen
Abbildung 1.15: Winkel an Parallelen: Die beiden parallelen Geraden g1 und g2
werden von einer dritten Geraden h geschnitten, dann gilt für die dabei auftretenden Winkel:
γ = β,
σ = δ,
und β + δ = 180o .
Denn γ + δ = 180o = α + β, also ist (α + γ) + (β + δ) = 360o , daher muß
α + γ = 180o = β + δ, da sich andernfalls g1 und g2 nach dem Parallelenpostulat
auf einer der Seiten von h schneiden müßten.
Es ist also β + δ = 180o sowie nach Konstruktion γ + δ = 180o und σ + β = 180o ,
woraus das Ergebnis folgt.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
82
Die Winkelsumme im Dreieck
Abbildung 1.16: Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180o : Wir verlängern CA über A hinaus nach E und legen eine Parallele zu CB durch A. Nach
dem Satz über Winkel an Parallelen (Abbildung 1.15) sind die mit “×” und “◦”
bezeichneten Winkel gleich. Die Winkel am Punkt A summieren sich zu 180o , also
auch die Innenwinkel des Dreiecks.
Die Strahlensätze
Abbildung 1.17: Da nach dem Satz über Winkel an Parallelen (Abbildung 1.15)
die Winkel ACO und BDO sowie die Winkel OAC und OBD gleich sind, sind die
Dreiecke OAC und OBD ähnlich, d.h es existiert ein Steckungsfaktor λ so daß
man das eine Dreieck aus dem anderen erhält, indem alle Strecken um λ gestreckt
werden:
AC
CO
OA
=
=
OB
BD
DO
(= λ).
83
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
Der Satz des Pythagoras
Abbildung 1.18: Satz des Pythagoras: (a + b)2 = c2 + 4 ·
ab
2
⇒ a2 + b2 = c2 .
Wie Abbildung 1.18 zeigt, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C dem rechten Winkel bei BCA und den Seiten c = AB (“Hypothenuse”), a = BC (“Ankathede”) und b = CA (“Gegenkathede”) der Satz des
Pythagoras a2 + b2 = c2 .
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.5.2
84
Kartesische Koordinatensysteme
Abbildung 1.19: Ein kartesisches Koordinatensystem
In einer Ebene E, entsteht ein kartesisches Koordinatensystem ix (Abbildung 1.19)
durch Vorgabe eines Punktes O und zweier aufeinander senkrecht stehender Zahlengeraden, der x- und der y-Achse (“Koordinatenachsen”), deren Nullpunkt jeweils in O liegt. Dabei muß die y-Achse durch eine positive Drehung (gegen den
Uhrzeigersinn) um 90o aus der x-Achse hervorgehen.
Ausgehend von einem beliebigen Punkt P0 ∈ E zieht man Parallelen zur x- bzw.
zur y-Achse . Deren Schnittpunkte mit der y- bzw. x-Achse legen dort die y- bzw
x-Koordinaten y0 bzw. x0 fest. Man schreibt P0 = (x0 , y0 ). Der Punkt O = (0, 0)
heißt Nullpunkt oder Ursprung des Koordinatensystems.
Nach Festlegung eines kartesischen Koordinatensystems gibt es zu jedem Zahlenpaar (x, y) ∈ R2 genau einen Punkt X ∈ E mit X = (x, y) — und umgekehrt.
Man kann damit Teilmengen von R2 als Punktmengen von E veranschaulichen
und umgekehrt geometrische Gebilde durch Zahlen (-Paare) beschreiben.
ix
Benannt nach René Descartes, 1569-1650)
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.5.2.1
85
Sinus und Cosinus
Abbildung 1.20: Die Definition von Cosinus und Sinus am Einheitskreis: x =
x(α) = cos(α), y = y(α) = sin(α)
Wird in der mit kartesischen (x, y)-Koordinaten versehenen Ebene der vom Ursprung zum Punkt (1, 0) weisende Zeiger um den Winkel α gedreht, dann bewegt
sich die Spitze auf dem Einheitskreis um O bis zu einem Punkt P , dessen Koordinaten mit cos α, sin α bezeichnet werden:
P = (cos α, sin α).
Die derart für alle α ∈ R erklärten Funktionen α 7−→ cos α, α 7−→ sin α heißen
Cosinus- bzw. Sinusfunktion.
Periodizität: Da Vorwärts oder Rückwärtsdrehen um den Winkel 2π die geometrische Situation unverändert läßt gilt offensichtlich
cos(α ± 2π) = cos α,
sin(α ± 2π) = sin α,
das bedeutet unter anderem auch, daß ein Ausschnitt der Länge 2π bereits den
gesamten Funktionsverlauf bestimmt.
86
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1
y = cos(x)
y = sin(x)
Y-Achse
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
X-Achse: 0 ≤ x < 2π
Abbildung 1.21: Der Verlauf der Funktionen y = cos(x), y = sin(x) im Intervall
0 ≤ x < 2π
87
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1
y = cos(x)
y = sin(x)
Y-Achse
0.5
0
-0.5
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
X-Achse: −π ≤ x < π
Abbildung 1.22: Der Verlauf der Funktionen y = cos(x), y = sin(x) im Intervall
−π ≤ x < π
1.5.2.1.1 Sinus und Cosinus am rechtwinkligen Dreieck Verlängert man
in Abbildung 1.20 alle Seiten des ausgeschnittenen Dreiecks um den Faktor r, so
ergibt sich das Dreieck aus Abbildung 1.23.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
88
Abbildung 1.23: Sinus und Cosinus am rechtwinkligen Dreieck
Aufgrund der Änhlichkeit der Dreiecke ∆(ORP ) und ∆(OSQ) liegt die Spitze Q
dieses Dreiecks in Q = (a, b) mit
a = r cos α,
b = r sin α.
Das bedeutet, daß im rechtwinkligen Dreieck ∆(OSQ) mit der Hypothenuse r,
der Ankathete a und der Gegenkathete b die Beziehungen
a
= cos α,
r
gelten.
b
= sin α
r
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
89
(*)Aufgabe 60: Begründen Sie die folgenden Aussagen über die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) durch geeignete Betrachtungen am Einheitskreis — Verwenden Sie also die oben gegebene Definition der trigonometrischen Funktionen durch die Koordinaten eines Punktes am Einheitskreis (machen
Sie entsprechende Zeichnungen!):
(a) sin(−x) = − sin(x)
(b) cos(−x) = cos(x)
(c) sin(x + π/2) = cos(x)
(d) cos(x + π/2) = − sin(x)
(e) cos(x + π) = − cos(x)
(f) sin(x + π) = − sin(x)
(g) sin(x + 3π/2) = − cos(x)
(h) cos(x + 3π/2) = sin(x)
(i) sin(x ± n2π) = sin(x)
(j) cos(x ± n2π) = cos(x)
(k) sin2 (x) + cos2 (x) = 1
√
(l) sin(π/4) = cos(π/4) = 1/ 2
√
(m) sin(π/3) = 3/2, cos(π/3) = 1/2. Anleitung: Konstruieren Sie ein geeignetes gleichseitiges Dreieck im ersten Quadranten, verwenden Sie dann den
Satz des Pythagoras und den Satz über die Winkelsumme im Dreieck.
(n) sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = −1
(o) cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = −1, cos(3π/2) = 0
(p) −1 ≤ sin(x) ≤ 1, −1 ≤ cos(x) ≤ 1
(q) Für kleine |α| gilt sin(α) ≈ α und cos(α) ≈ 1.
(r) √
Unter Verwendung
√ des für |x| ≪ x1 gültigen Näherungsausdrucks für
1 + x nämlich 1 + x ≈ 1 + x/2 und von Teil (1.60.k) zeigem Sie,
daß “für kleine x” cos(x) ≈ 1 − x2 /2 gilt.
x
Dieser Ausdruck ergibt sich als erstes Folgenglied in obiger Iterationsvorschrift zur Bestimmung der Wurzel
90
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
y = cos(x)
y = arccos(x)
3
2.5
2
Y-Achse
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X-Achse: −π ≤ x < π
Abbildung 1.24: Für 0 ≤ x < π ist die Cosinus Funktion umkehrbar — Der
Verlauf der Funktionen y = cos(x), y = arccos(x)
91
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.5
y = sin(x)
y = arcsin(x)
1
Y-Achse
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
X-Achse: −π/2 ≤ x < π/2
Abbildung 1.25: Für −π/2 ≤ x < π/2 ist die Sinus Funktion umkehrbar — Der
Verlauf der Funktionen y = sin(x), y = arcsin(x)
Die Arcusfunktionen: Die Abbildungen 1.24 und 1.25 zeigen, daß die trigonometrischen Funktionen bei geeigneter Einschränkung Ihres Definitsionsbereichs
umkehrbar sind. Die Umkehrfunktionen heißen Arcuscosinus bzw. Arcussinus und
werden durch Spiegelungh an der Winkelhalbierenden (y = x) aus Sinus und Cosinus gewonnen. Mit Ihnen kann man aus den Werten der trigonometrischen Funktionen die Winkel berechnen.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
1.5.2.2
92
Koordinatentransformation und Drehungen
Abbildung 1.26: Koordinatentransformation
1.5.2.2.1 Drehung des Koordinatensystems (“passive Drehungen”).
Das kartesische (x′ , y ′ )-Koordinatensystem entstehe aus dem (x, y)-System durch
eine Drehung um den Ursprung mit dem Winkel α (Abbildung 1.26). Hat ein
Punkt X im ursprünglichen Koordinatensystem die Koordinaten (x, y) und im
gedrehten System die Darstellung X = (x′ , y ′ ), so gelten die Transformationsformeln
x = x′ cos α − y ′ sin α
x′ = x cos α + y sin α
(1.37)
y = x′ sin α + y ′ cos α
y ′ = −x sin α + y cos α
Begründung: OQ = x′ , QX = y ′ ,
x = OS − RS = x′ cos α − y ′ sin α
y = RT + T X = x′ sin α + y ′ cos α.
Eine Drehung um −α führt vom (x′ , y ′ )-System zum (x, y)-System zurück; deshalb
ergibt sich das rechte Formelpaar aus dem linken durch Vertauschen von x mit x′ ,
y mit y ′ und der Vertauschung von α mit −α. Man beachte dabei cos(−α) = cos α
und sin(−α) = − sin α.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
93
1.5.2.2.2 Drehung der Ebene (“aktive Drehungen”). Wir halten nun
das kartesische Koordinatensystem fest und bilden jeden Punkt X = (x, y) durch
eine Drehung mit Winkel α um den Ursprung auf X ′ = (x′ , y ′ ) ab. Dieser Bildpunkt besitzt in dem (gedachten) Koordinatensystem, das sich mit derselben Drehung aus dem (x, y)-System ergäbe, die (unveränderten) Koordinaten (x, y); demnach folgt aus Gleichung 1.37 durch Vertauschung von x mit x′ und y mit y ′ :
Die Abbildung, die jeden Punkt X = (x, y) der Ebene in den um den Winkel α
im Gegenuhrzeigersinn um den Ursprung gedrehten Punkt X ′ = (x′ , y ′ ) überführt
wird durch die Gelcihungen
x′ = x cos α − y sin α
y ′ = x sin α + y cos α
(1.38)
beschrieben.
Aufgabe 61: Berechnen Sie exaktxi das Resultat der Drehung um α = 45o des
Quadrates X1 (1, −1), X2 (3, −1), X3 (3, 1), X4 (1, 1); skizzieren Sie das Quadrat
und das gedrehte Quadrat.
xi
analytisch, also insbesondere ohne Rechner
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
94
(*)Aufgabe 62: Für die durch Gleichung 1.38 beschriebenen aktiven Drehungen gilt offensichtlich, daß eine Drehung um den Winkel α + β denselben Effekt
hat wie zwei hintereinander ausgeführte Drehungen mit den Winkeln α bzw. β.
Betrachtet man also den Punkt X = (1, 0) auf dem Einheitskreis, so entsteht
daraus durch Drehung um den Winkel β der Punkt X ′ = (cos β, sin β) auf dem
Einheitskreis. Dreht man nun diesen Punkt X ′ weiter um den Winkel α so entsteht
der Punkt X ′′ = (x′′ , y ′′ ) = (cos(α + β), sin(α + β)) auf dem Einheitskreis.
Andererseits können die Punkte X ′ und X ′′ nach Gleichung 1.38 berechnet werden:
X → X ′ Drehung um β
X ′ → X ′′ Drehung um α
Berechnen Sie auf diese Weise den Punkt X ′′ und setzen Sie das Ergebnis mit
X ′′ = (x′′ , y ′′ ) = (cos(α + β), sin(α + β)) gleich. Sie erhalten so ein neues Gesetz
für die trigonometrischen Funktionen!
1.5.2.2.3 Das Additionstheorem für die trigonometrischen Funktionen. Das in Aufgabe 1.62 hergeleitete Resultat ist:
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(1.39)
Folgerungen aus dem Additionstheorem Produkte trigonometrischer
Funktionen: Wir schreiben die Gleichungen noch einmal zusammen mit denen
für β → −β auf:
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
Dann liefern
(II+IV)/2:
1
sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)]
2
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
95
(II-IV)/2:
1
cos α sin β = [sin(α + β) − sin(α − β)]
2
(III+I)/2:
1
cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α − β)]
2
(III-I)/2:
1
sin α sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)]
2
Das sisnd die Formeln für die Produkte trigonometrischer Funktionen.
Anwendung: Amplitudenmodulation (AM): Ein Amplitudenmoduliertes Signal U (t) besteht aus einem hocchfrequenten SIgnal (Kreisfrequenz ω) desssen
Amplitude im Takt eines niederfrequenten (Ton-) Signals (Kreisfrequenz Ω)
schwankt:
U (t) = A[1 + ǫ cos(Ωt)] cos(ωt)
Anwendung obiger Formel liefert die Darstellung:
1
1
U/A = cos(ωt) + ǫ cos((ω − Ω)t) + ǫ cos((ω + Ω)t)
2
2
Zur Übertragung eines Tonfrequenzbandes der Breite B muß also ein Hochfrequenzkanal; der Breite 2B reserviert werden.
Überlagerung trigonometrischer Funktionen unterschiedlicher Phase
und Amplitude: Wir betrachten die Funktion
f (x) =
n
X
Ak sin(x + φk ) + Bk cos(x + φk )
i=1
Durch Anwendung der Additionstheoreme läßt sich das zunächst in die Form
f (x) = A sin(x) + B cos(x)
bringen. Für (A, B) 6= (0, 0) setzen wir
A
a= √ 2
A + B2
b= √
B
A2 + B 2
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
96
Dann liegt P = P (a, b) auf dem Einheitskreis (dazu berechne man den Abstand
von P zum Ursprung O mit dem Satz von Pythagoras), also existiert ein Winkel ϕ,
so daß
(a, b) = (cos ϕ, sin ϕ),
also ist
f (x) =
√
A2 + B 2 [cos(ϕ) sin(x) + sin(ϕ) cos(x)]
√
und das Additionstheroem liefert mit C = A2 + b2 die Darstellung
f (x) = C sin(x + ϕ).
Jede Überlagerung trigonometrischer Funktionen unterschiedlicher Amplitude und
Phasenlage ergiebt wieder eine trigonometrische Funktion.
Aufgaben
Aufgabe 63: Gegeben sei folgende Situation: OC = 2cm, OA = 4cm, AC =
3.2cm Gesucht sind die Strecken OD und BD.
KAPITEL 1. MENGEN, ZAHLEN GEOMETRIE
97
Aufgabe 64: In einem rechtwinkligen Dreieck mit c als Hypotenuse sind gegeben: Die Länge der Seite b = 9cm sowie q = 12cm. Bestimmen Sie die Länge der
übrigen Seiten.
Aufgabe 65: Aus einem Kreis mit Radius 3cm wird ein Sektor mit dem Öffnungswinkel 74o ausgeschnitten. Wie lang ist der Bogen des Sektors und wie groß
ist der Öffnungswinkel im Bogenmaß; wie groß ist die Fläche des Sektors?
Aufgabe 66: Bestimmen Sie die Bogenmaße der Winkel 30o , 45o , 60o , 90o , 120o ,
135o , 150o , 180o in Bruchteilen von π.
Aufgabe 67: Bestimmen Sie die Winkel im Dreieck aus Aufgabe 1.64.
Aufgabe 68: Eine Seilbahn überwindet auf einer Strecke von 350m (längs des
Seils gemessen) den Höhenunterschied von 260m. Wie groß ist der Steigungswinkel?
Aufgabe 69: Berechnen Sie die fehlende Seite in einem Parallelogramm, wenn
die Grundlinie AB = 8cm, der Winkel bei B mit 42o und die Länge der von A
ausgehenden Diagonalen mit 12.5cm angegeben ist.
Aufgabe 70: Eine regelmäßige quadratische Pyramide habe die Grundkante
a = 4cm und die Seitenkante s = 8cm. Berechnen Sie ihre Höhe, ihr Volumen
und ihre Oberfläche.
Anmerkung: Für das Volumen verwenden Sie die für jeden Kegel mit beliebiger
Grundfläche gültige Formel Grundfläche × Höhe/3, die man sich durch Zerlegung
in zur Grundfläche parallele Scheiben klarmachen kann.
Kapitel 2
Funktionen
2.1
Einführung
Als relle Funktion bezeichnen wir eine Vorschrift, die allen “x-Werten” aus einer
nichtleeren Teilmenge D der reellen Zahlen dem Definitionsbereich der Funktion
eine relle Zahl als ”y-Wert” zuordnet.
Es soll zu jedem x-Wert genau einen, nicht mehrere y-Werte geben. Beim Vorliegen
von mehreren y-Werten, hat man keine Funktion sondern die Beschreibung einer
Punktmenge in der x-y-Ebene, meistens einer Kurve.
Wir schreiben dann y = f (x) oder y = y(x) und auch f : D → R. Die Menge
aller y-Werte, die von f erreicht werden, ist der Bildbereich von f :
B := {y ∈ R|Es existiert ein x ∈ D so, daß y = f (x)}.
f kann als “Formel” gegeben sein, z.B. f (x) = x2 + 1 oder auch durch eine
Vorschrift wie


 x : x>0
f (x) :=  0 : x = 0

−x : x < 0
2.2
2.2.1
Einfache Funktionen
*Die Identität
Das ist die Funktion, die jedem x den Wert y = x zuordnet der Funktionsgraph
({(x, y)|y = f (x)} ist also die Winkelhalbierende durch den dritten und ersten
98
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
99
Quadranten.
2.2.2
Polynome
Die einfachsten Funktionen sind die Polynome (auch ganze rationale Funktionen)
y = p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ,
mit n ≥ 0 und an 6= 0 falls n > 0. Die Zahl n heißt der Grad des Polynoms:
n = Grad(p).
Beispiel: y = f (x) = x2 .
Sie sind für die Praxis vor allem deshalb wichtig, weil alle “vernünftigen” Funktionen durch Polynome angenähert werden können (→ Finite Elemente Methode).
Eine Funktion bei der das nicht möglich ist:
f (x) :=
(
1 : x rational
0 : x irrational
Häufig interessiert man sich für die Nullstellen von Polynomen. Bei Polynomen
zweiten Grades y = x2 + px + q kommt man mit quadratischer Ergänzung zur
bekannten Lösungsformel:
p
p 2
p2
x + px + q = x + 2 x + ( ) + q −
2
2
4
2
p
p
= (x + )2 − ( − q)
2
4
2
2
(2.1)
(2.2)
Polynome kann man multiplizieren, d.h. hat p(x)b den Grad m und q(x) den Grad
n so ist r(x) := p(x)(q(x) ein Polynom vom Grad n · n.
Man bei Polynomen auch eine Divison mit Rest, die sogennante Polynomdivision
durchführen: Sei
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + am xm ,
q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn
100
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
Mit m ≥ n und q nicht identisch gleich Null (q 6≡). Dann rechnet man so:
p(x)
a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + am x m
=
q(x)
b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn
am xm + am−1 xm−1 + · · · + a0
=
bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b0
a
xm−n × (bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b0 )
am m−n am xm + am−1 xm−1 + · · · + a0 − bm
n
=
x
+
bn
bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b0
a
xm−n × (bn−1 xn−1 + · · · + b0 )
am m−n am−1 xm−1 + · · · + a0 − bm
n
x
+
=
bn
bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b0
am m−n pm−1 (x)
=
,
x
+
bn
q(x)
(2.3)
wobei
pm−1 (x) := am−1 xm−1 + · · · + a0 −
am m−n
x
× (bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 )
bn
ein Polynom mit Grad nicht größer als m − 1 (Grad(pm−1 ≤ m − 1) ist.
berechnet werden. man wendet wieder das für
Jetzt muß also pm−1
q
Verfahren an. So erhält man Polynome
p
q
eingesetzte
pm−1 (x), pm−2 (x), . . . , r(x),
wobei schließlich Grad(r) < Grad(q) ist und es folgt:
p(x)
r(x)
= s(x) +
,
q(x)
q(x)
s(x) =
am m−n
x
+ · · · + s0 , Grad(r) < Grad(q).
bn
Das Polynom r heißt (falls 6≡ 0) Divisionsrest. p heist teilbar durch q, falls r ≡.
Polynomdivision: Das eben skizzierte Verfahren ist gerade der Algorithmus des
“schriftlichen Dividierens”:
1. Ordnen von Divident (p(x) und Divisor (q(x)) nach fallenden Potenzen.
2. 1. Glied Dividend durch 1. Glied Divisor ergibt 1. Glied Quotient.
3. Rückmultiplikation mit Divisor
4. Subtraktion, bis die Differenz Null wird bzw. ein Rest bleibt.
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
101
Beispiel (wir betrachten a als unabhängige Variable):
5b
(4a^2 b - 2ab + 3b) : (2ab + b) = 2a - 2 + ---------(4a^2 b + 2ab)
2ab + b
---------------------- 4ab + 3b
-(- 4ab - 2b)
--------------5b (Rest)
Satz über die Nullstellen von Polynomen:
1. Ist a eine Nullstelle des Polynoms p(x) so ist p (ohne Rest) durch x − a
teilbar.
p(x)
r
Denn es ist ja x−a
= s(x) + x−a
mit einer Konstanten r (da Grad(r) < 1),
also p(x) = s(x)(x − a) + r. Da p(x) = 0 gilt, muß also r = 0 sein.
2. Ein Polynom n-ten Grades hat also höchstensi n Nullstellen.
3. Hat daher ein Polynom y = pn (x) vom Grade n die — eventuell mehrfach
auftretenden — n Nullstellen x1 , x2 ,. . . , xn , so gilt die Zerlegung
pn (x) = an
n
Y
(x − xi ).
(2.4)
i=1
4. Die rationalen Nullstellen eines Polynoms pn (x) = an xn + · · · a1 x + a0 mit
ganzzahligen Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an findet man unter den Brüchen ab ,
a, b ∈ Z, bei denen a ein Teiler von a0 und b ein Teiler von an ist.
Denn sei a/b (in gekürzter Darstellung) Nullstelle von pn ; dann ist 0 =
pn (a/b), also nach Multiplikation mit bn
0 = a0 bn + a1 abn−1 + a2 a2 bn−2 + · · · + an−1 an−1 b + an an ,
und da a und b teilerfremd sind, ist an Vielfaches von b und a0 Vielfaches
von a
i
Schöhnheitsfehler, daß hier nicht das Wort “genau” steht wird später mit der Einführung
der komplexen Zahlen behoben.
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
102
Diese Zusammenhänge kann man manchmal verwenden, um die Nullstellen von
Polynomen dritten (oder höheren) Grades zu bestimmen: Man versucht eine Nullstelle raten und dividiert diese dann weg.
Beispiel: x3 − x2 − 4x + 4 = 0.
Geratene Nullstelle x = 1.
( x^3 - x^2 - 4x + 4) : (x - 1) = x^2 - 4
-( x^3 - x^2
)
----------------------- 4x + 4
-(- 4x + 4)
----------0
Die Nullstellen von x2 − 4 sind x1,2 = ±2. Damit sind die Nullstellen von p(x)
durch −2, 1 und 2 gegeben; in diesem Beispiel kämen als rationale Nullstellen die
Zahlen aus der Menge {±1, ±2, ±4} in Frage.
2.2.3
*Gebrochen rationale Funktionen
So bezeichnet man Funktionen der Form
a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n
y=
b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
das sind also Quotienten von Polynomen.
Sie sind für alle x ∈ R bis auf höchstens m Ausnahmestellen, die Pole (nicht
hebbare Nullstellen des Nenners) definiert.
Beispiel: y = 1/(1 + x), D = R \ {−1}.
2.3
Der Begriff der Umkehrfunktion
Ist eine Funktion – eventuell nach Einschränkung auf eine kleinere Definitionsmenge D — streng monoton steigend (f (x2 ) > f (x1 ) für x2 > x1 ) oder streng
monoton fallend (f (x2 ) < f (x1 ) für x2 > x1 ), so kann die Funktion auf dieser
103
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
Definitionsmenge umgekehrt werden, weil genau dann zu jedem y-Wert, genau
ein x-Wert existiert, es existiert also die Zuordnungsforschrift x = f −1 (y) mit der
Umkehrfunktion f −1 zu f .
Die Umkehrfunktion f −1 zu f dient vor allem dazu, eine Gleichung der Form
v = f (u) nach u aufzulösen: u = f −1 (v); so ergeben sich z.B. die Auflösungen
(siehe unten)
√
v = f (u) = u2 ⇒ u = f −1 (v) = ± v
v = f (u) = tan(u) ⇒ u = f −1 (v) = arctan v ± n ∗ π,
n ∈ N0
Bildet f D auf B ab (f : D → B ⊂ R), so bildet f −1 B auf D ab: f −1 : B →
D ⊂ R).
Da man traditionell die unabhängige Variable mit x und die abhängige Variable
mit y bezeichnet, ergibt sich nach Vertauschung von x und y das
Rezept: Man erhält die Umkehrfunktion zu einer Funktion y = f (x), indem
man y und x vertauscht (x = f (y)) und dann die entstehende Gleichung nach y
auflöst. Durch die Auflösung von x = f (y) ergibt sich dann y = f −1 (x)ii . Die so
gewonnene Umkehrfunktion ist auf B definiert und das Bild von B unter f −1 ist
D.
Geometrisch erhält man die Umkehrfunktion durch Spiegelung des Funktionsgraphen ({(x, y)|y = f (x)} an der Winkelhalbierenden y = xiii .
Zum Beispiel ist die Funktion y = f (x) = x2 auf den Intervalleniv D1 := (−∞, 0]
und D2 := [0, ∞) streng monoton fallend, bzw. streng monoton steigend, also
Man verwechsle die Umkehrfunktion f −1 nicht mit der Funktion f1 — das ist etwas völlig
√
anderes: Zu y = f(x) = x2 ist für x ≥ 0 die Umkehrfunktion y = f −1 (x) = x, während
1
y = f (x)
= x12 ist.
iii
Das läßt sich so begründen: Die Spiegelung bildet ~ex auf ~ey und ~ey auf ~ex ab. Daher wird
P (x, y) auf P ′ (y, x) abgebildet.
ii
iv
Intervalle: Mit Intervallen bezeichnet man Strecken auf der Zahlengeraden:
[a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b},
(a, b] := {x ∈ R|a < x ≤ b},
(a, b) := {x ∈ R|a < x < b},
(a, b) := {x ∈ R|a < x < b}.
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
104
existiert für beide Intervalle eine Umkehrfunktion. Es ist B1 :=f (D1 ) = [0, ∞) und
√
B2 :=f (D2 ) = [0, ∞). Zum Intervall (−∞, 0] gehört die Umkehrfunktion y = − x
die von B1 nach D1 , also von [0, ∞) nach
√ (−∞, 0] abbildet und zum Intervall
[0, ∞) gehört die Umkehrfunktion y = x, die [0, ∞) nach [0, ∞) abbildet.
Setzt man die Funktion in die Umkehrfunktion ein, so ergibt sich die Identität
und ebenso beim Einsetzen der Umkehrfunktion in die Funktion:
√
f −1 (f (x)) = x
im Beispiel
− x2 = − |x| = x x ∈ (−∞, 0],
√ 2
f (f −1 (x)) = x
im Beispiel
− x = x x ∈ [0, ∞).
Satz: Die Umkehrfunktion ist genau dann (streng) monoton steigend bzw. fallend, wenn die Funktion (streng) monoton steigend bzw. fallend ist.
2.4
*Implizite Funktionen
Ist der Zusammenhang zwischen x und y nicht nach y aufgelöst, so spricht man
von einer implizit definierten Funktion also etwa
x2 + 1 + (x − 3)y 2 = 0.
(2.5)
allgemein hat man die Darstellung
F (x, y) = 0,
(2.6)
mit einer Funktion F die von S × T ⊂ R2 in die rellen Zahlen abbildet. Im
Beispiel wäre also F (x, y) = x2 + 1 + (x − 3)y 2 . Für eine explizite Darstellung
muß dann F (x, y) = 0 nach y aufgelöst werden. Das ist im allgemeinen nur dann
eindeutig möglich, wenn x und y von vorneherein auf einen Bereich x ∈ S, y ∈ T
eingeschränkt werden. So ist die Gleichung (2.5) nur für x 6= 3 nach y 2 auflösbar:
x2 + 1
y =
3−x
2
Diese Gleichung kann wiederum nur für x < 3 bestehen. Schlïeßlich muß man
sich für eine der möglichen Lösungen für y entscheiden, so daß man also hier etwa
S = (∞, 3), T = [0, ∞) wählen kann und schließlich die aufgelöste Form
y=
s
x2 + 1
,
3−x
x ∈ (−∞, 3)
erhält. Hier ist übrigens D = (−∞, 3) und B = (0, ∞).
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
2.5
105
*Algebraische Funktionen
Hierunter versteht man die Funktionen, die implizit durch eine Gleichung der
Form
P0 (x) + P1 (x)y + P2 (x)y 2 + · · · + Pn (x)y n = 0
mit Polynomen Pj gegeben sind.
Auch die bisher behandelten Funktionstypen lassen sich hierunter subsummieren.
Beispiel: Das turbulente Geschwindigkeitsprofil im kreisrunden Rohr genügt näherungsweise dem Gesetz
r
w(r)
1− −
R
wmax
!7
= 0.
Dabei ist R der Rohr-Durchmesser, r der Abstand von der Rohr-Mitte und w(r)
die über den Winkel gemittelte Geschwindigkeit in Richtung der Rohrachse, wmax
ist ihr Maximalwert.
Für das laminare Geschwindigkeitsprofil im kreisrunden Rohr erhält man (exakt)
r
1−
R
2.6
2.6.1
2
−
w(r)
= 0.
wmax
Die Trigonometrischen Funktionen
Sinus und Cosinus
. . . haben wir früher schon am Einheitskreis eingeführt. Dort wurden die Funktionen y = sin(x) und y = cos(x)v als die Koordinaten eines Punktes auf dem
Einheitskreis eingeführt, der den positiv orientierten Winkel x mit der x-Achse
bildet. Dieser Winkel kann beliebige Werte aus R annehmen, was am Einheitskreis
beliebigen Umdrehungen im- bzw gegen den Uhrzeigersinn bedeutet.
Hier sind noch einmal die wichtigsten Eigenschaften dieser Funktionen zusammengefasst:
v
ungewöhnlich — man hätte ja lieber cos(α) und sin(α) gesehen — es ist aber konsistent zu
den in diesem Abschnitt verwendeten Bezeichnungen.
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
1. sin(−x) = − sin(x)
2. cos(−x) = cos(x)
3. sin(x + π/2) = cos(x)
4. cos(x + π/2) = − sin(x)
5. cos(x + π) = − cos(x)
6. sin(x + π) = − sin(x)
7. sin(x + 3π/2) = − cos(x)
8. cos(x + 3π/2) = sin(x)
9. sin(x ± n2π) = sin(x)
10. cos(x ± n2π) = cos(x)
11. sin2 (x) + cos2 (x) = 1
√
12. sin(π/4) = cos(π/4) = 1/ 2
√
13. sin(π/3) = 3/2, cos(π/3) = 1/2
14. sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = −1
15. cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = −1, cos(3π/2) = 0
16. −1 ≤ sin(x) ≤ 1, −1 ≤ cos(x) ≤ 1
17. Für kleine |α| gilt sin(α) ≈ α und cos(α) ≈ 1.
18. Es gelten die Additionstheoreme
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
2.6.2
Tangens und Cotangens
Wir definieren noch
sin(x)
,
tan(x) :=
cos(x)
und
cos(x)
cot(x) :=
,
sin(x)
π 3π 5π
x ∈ R \ {± , ± , ± , . . .}.
2
2
2
x ∈ R \ {0, ±π, ±2π, ±3π, . . .}.
106
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
2.6.2.1
107
Bedeutung im rechtwinkligen Dreieck
Aus
Ankathede
Hypothenuse
Gegenkathede
Sinus =
Hypothenuse
Cosinus =
folgen:
2.6.2.1.1
Tangens. Im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich der Tangens als
Tangens =
2.6.2.1.2
als
Gegenkathede
.
Ankathede
Cotangens. Im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich der Cotangens
Cotangens =
Ankathede
.
Gegenkathede
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
2.6.2.2
108
Bedeutung am Einheitskreis
Abbildung 2.1: Tangens und Cotangens am Einheitskreis
Aus Abblildung 2.1 entnimmt man:
1. Wegen des Strahlensatzes ist
tan α
sin α
=
cos α
1
2. Man erhält den Tangens — tan α —eines Winkels α, indem die den Winkel α mit der x-Achse bildende Strecke mit der Geraden x = 1 zum Schnitt
gebracht wird. Dann ist die y-Koordinate des Schnittpunktes der Tangens
des Winkels α.
109
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
3. Ist umgekehrt der Tangens y eines Winkels α gegeben — y = tan α — so
gibt es dazu zwei mögliche Winkel, die man so erhält:
(a) Man trägt y an der Geraden x = 1 ab. Durch diesen Punkt und den Ursprung O legt man eine Gerade, die in zwei von O ausgehende Strahlen
zerfällt. Jeder dieser Strahlen bildet einen Winkel mit der x-Achse.
Für den Cotangens gelten analoge Überlegungen.
2.6.2.3
Eigenschaften
Wegen cos(x + π) = − cos(x) und sin(x + π) = − sin(x) sind diese Funktionen
periodisch mit der Periode π.
Außerdem folgt aus sin(x + π/2) = cos(x) (3) und cos(x + π/2) = − sin(x) (4) die
Beziehung
π
(2.7)
tan(x + ) = − cot(x).
2
10
y = tan(x)
y = cot(x)
Y-Achse
5
0
-5
-10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
X-Achse: −3/2π ≤ x < 3/2π
Abbildung 2.2: Tangens und Cotangens
3
4
110
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
2.7
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
Die Umkehrfunktioenen der trigonometrischen Funktionen werden Arcusfunktionen von lateinisch Arcus “der Bogen”. Da bei diesen Funktionen zu einem y-Wert
unendlich viele x-Werte gehören, kann es Umkehrfunktionen nur für eingeschränkte Definitionsbereiche geben. Man muß sich auf Bereiche einschränken, auf denen
die Funktion streng monoton ist. Auch davon gibt es bei den trigonometrischen
Funktionen unendlich viele — und damit eigentlich auch unendlich viele Umkehrfunktionen. Glücklicherweise reicht die Kenntniss einer dieser Funktionen um die
anderen zu berechnen.
Abbildung 2.3: Die zwei Lösungen der Gleichung cos α = ρ = 0.7 im Intervall
[0, 2π]:
arccos : [−1, 1] → [0, π],
und 2π − arccos : [−1, 1] → [π, 2π].
111
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
Abbildung 2.4: Die zwei Lösungen der Gleichung sin α = ρ = 0.7 im Intervall
[−π/2, 3π/2]:
arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2],
und π − arcsin : [−1, 1] → [π/2, 3π/2].
1. Die Cosinus-Funktion cos ist im Intervall [0, π) streng monoton fallend, also
umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion in diesem Intervall ist die Arcuscosinus
Funktion arccos. Sie ordnet jedem Cosinuswert (aus [−1, 1]) einen Winkel
aus dem Intervall [0, π) zu. Was ist zu tun wenn eine Winkel in [π, 2π)
gewünscht ist? Dann ist eine andere Umkehrfunktion zuständig, die aber
keinen eigenen Namen hat, aber entweder aus Abbildung 2.3 oder analytisch
wie folgt ermittelt wird:
Wir nennen vorübergehend die Umkehrfunktion für [π, 2π) U . Sei x ∈ [0, π).
In cos(x) = cos(2π − x) (→ Einheitskreis) setzen wir x = arccos(y) ein und
erhalten y = cos(2π − arccos(y)). Darauf wenden wir U an und erhalten
U (y) = 2π − arccos(y).
Satz: Die Umkehrfunktion des Cosinus zum Intervall [π, 2π) ist durch
y(x) = 2π − arccos(x)
gegeben.
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
112
2. Die Sinus-Funktion sin ist im Intervall [−π/2, π/2) streng monoton steigend,
also umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion in diesem Intervall ist die Arcussinus
Funktion arcsin.
Sie ordnet jedem Sinuswert (aus [−1, 1]) einen Winkel aus dem Intervall
[− π2 , π2 ) zu. Was ist zu tun wenn eine Winkel in [ π2 , 32 π) gewünscht ist? Dann
ist eine andere Umkehrfunktion zuständig, die aber keinen eigenen Namen
hat, aber entweder aus Abbildung 2.4 oder analytisch wie folgt ermittelt
wird:
Wir nennen vorübergehend die Umkehrfunktion für [ π2 , 32 π) U . Sei x ∈ [− π2 , π2 ).
In sin(x) = sin(π − x) (→ Einheitskreis) setzen wir x = arcsin(y) ein und
erhalten y = sin(π − arcsin(y)). Darauf wenden wir U an und erhalten
U (y) = π − arcsin(y).
Satz: Die Umkehrfunktion des Sinus zum Intervall [ π2 , 32 π) ist durch
y(x) = π − arcsin(x)
gegeben.
3. Für x ∈ (− π2 , π2 ) ist die Tangensfunktion tan streng monoton wachsend und
wird durch die Arcustangensfunktion arctan umgekehrt, die jedem Tangens
aus R einen Winkel in (− π2 , π2 ) zuordnet. Da die Funktion tan die Periode π
hat, deckt diese Umkehrfunktion — anders als im Cosinus/Sinus-Fall — eine
gesamte Periode der Funktion ab. Um Winkel in anderen Bereichen zu erhalten, addiere man auf das Resultat von arctan entsprechende ganzzahliche
Vielfache von π.
113
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
y = tan(x)
y = arctan(x)
y=x
4
3
2
Y-Achse
1
0
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X-Achse: −3/2π ≤ x < 3/2π
Abbildung 2.5: Tangens und Arcustangens im Bereich zwischen −270o und 270o
Die Abbildung 2.5 zeigt wie der Arcustangens durch Spiegelung an der
Winkelhalbierenden y = x aus dem Tangens entsteht. Es sind sowohl der
“Hauptzweig” — der eigentliche Arcustangens (y = arctan x) als auch die
darüber aund darunter liegenden Nebenzweige (y = arctan x±π) dargestellt.
114
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
3
y = tan(x)
y = arctan(x)
2
Y-Achse
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
X-Achse: −π ≤ x < π
Abbildung 2.6: Tangens und Arcustangens im Bereich zwischen −180o und 180o
Die Abbildung 2.6 zeigt den Tangens und die “Arcustangenszweige” im interessanten Intervall [−π, π]: Man sieht hier, wie für einen vorgegebenen
Winkel α ∈ [−π, π], der vom Tangens in einen Wert w = tan α abgebildet
wird, die zugehörige Umkehrfunktion zu wählen ist:
(a) α ∈ [−π, −π/2): α = arctan(tan(α)) − π
(b) α ∈ [−π/2, π/2): α = arctan(tan(α))
(c) α ∈ [π/2, π): α = arctan(tan(α)) + π
4. Für x ∈ (0, π) ist die Cotangensfunktion cot streng monoton fallend und
wird durch die Arcuscotangensfunktion arccot umgekehrt, die jedem Cotangens aus R einen Winkel in (0, π) zuordnet. Da die Funktion cot die Periode
π hat, deckt diese Umkehrfunktion — anders als im Cosinus/Sinus-Fall —
eine gesamte Periode der Funktion ab. Um Winkel in anderen Bereichen zu
erhalten, addiere man auf das Resultat von arccot entsprechende ganzzahliche Vielfache von π.
115
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
2.7.1
Einige Beziehungen zwischen den Arcusfunktion
Satz: Zwischen den Arcusfunktionen gelten (unter anderem) folgende Beziehungen
π
,
2
π
.
arctan(x) + arccot(x) =
2
arcsin(x) + arccos(x) =
(2.8)
(2.9)
Die Gleichung (2.8) erhält man, indem man x = arccos(y) in die Identität sin(x +
π
) = cos(x) einsetzt (⇒ x ∈ [0, π)), womit sich
2
y = sin(arccos(y) +
π
)
2
(2.10)
ergibt. Da nun arccos(y) + π2 ∈ [ π2 , 32 π) ist die “zuständige” Unkehrung der sinFunktion U (y) = π − arcsin(y). Wendet man U auf (2.10) an, so folgt nach
Umstellung der Gleichung und Austausch von x und y (x ↔ y) (2.8)
Die Gleichung (2.9) erhält man, indem man x = arccot(y) in die Identität
cot(x) = − tan(x+ π2 ) = tan(−x− π2 ) einsetzt, woraus sich y = tan(− arccot(y)− π2 )
ergibt. Das Argumment dieser tan-Funktion liegt im Intervall (− 32 π, − π2 ). Da tan
die Periode π hat, kann zum Funktionsargument π addiert werden, ohne den
Funktionswert zu ändern, womit y = tan( π2 − arccot(y)) folgt. Das Argument der
tan-Funktion liegt jetzt im Intervall (− π2 , π2 ); dann aber ist arctan die “zuständige” Umkehrfunktion, deren Anwendung auf die letzte Gleichung die behauptete
Identität (2.9) (wieder nach Umstellung und Austausch von x und y) ergibt
Aufgaben
Aufgabe 1: Führen Sie folgende Divisionen aus:
(a) (24x3 + 50x2 + x − 30) : (2x + 3)
(b) (3x2 − 5x + 8) : (x − 2)
(c) (x3 − y 3 ) : (x − y)
116
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
Aufgabe 2: Bestimmen Sie Q:
(a) (x3 − y 3 ) = Q(x − y)
(b) Q : (u2 + v) = u2 v − 2
(c) (a5 − b5 ) : (a − b) = Q
Aufgabe 3: Bestimmen Sie zeichnerisch die Umkehrfunktion(en) zu y = x2 .
Aufgabe 4: (Aus [3]) Gegeben ist die Funktion y = f (x) = 1/(1 + x), D =
R \ {−1}.
(a) Skizzieren Sie die Funktion.
(b) Bestimmen Sie B = f (D).
(c) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion.
Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden y = ax + b durch die
Punkte P1 (x1 , y1 ) und P2 (x2 , y2 ).
Aufgabe 6: (Aus [3]) Man bestimme die Gleichung der Parabel mit der Achse parallel zur y-Achse, die durch die Punkte P1 (3, 7), P2 (5, 9) und P3 (−2, 4)?
Anleitung: eine solche Parabel hat die Form y = a + b(x − c)2 . Lösung: y =
0.0571x2 + 0.543x + 4.857.
Aufgabe 7: (Aus [3]) Wie lautet die Gleichung der Parabel aus Aufgabe (2.6),
wenn die Achse der Parabel als parallel zur x-Achse vorgegeben ist? Anleitung:
eine solche Parabel hat die Form x = a + b(y − c)2 . Lösung: x = −1.333y 2 +
3.13y − 12.40.
Aufgabe 8: (Aus [3]) Der Scheitelpunkt der Wurfparabel y = x tan α −
[g/(2v02 cos2 α)]x2 ist zu berechnen. Dabei ist α der Abwurfwinkel gegen die Waagrechte, v0 die Anfangsgeschwindigkeit und g = 9.81 sm2 die Fallbeschleunigung.
Lösung: Scheitel
v02
(sin(2α), sin2 (α)).
2g
Wurfweite: xW = (v02 /g) sin(2α).
Aufgabe 9: Welchen Grenzwert (n → ∞) hat die Folge
an =
27log3 n
.
16log2 n
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
117
Aufgabe 10: Verwandeln Sie den gegebenen periodischen Dezimalbruch mit
Hilfe der geometrischen Reihe in einen gemeinen Bruch.
(a) 0.25,
(b) 0.49,
(c) 0.562.
Aufgabe 11: In wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital, das zu 5% auf
Zinseszins ausgeliehen wurde?
Aufgabe 12: In eine Kugel vom Radius R wird ein Würfel, dessen 8 Ecken
die Kugeloberfläche gerade berühren, hineingestellt; in diesen Würfel wird nun
die größte mögliche Kugel hineingelegt, in diese wieder wie oben ein passender
Würfel, usw. ad infinitum.
(a) Wie groß ist die Summe der Oberflächen aller Kugeln?
(b) Wie groß ist die Summe der Oberflächen aller Würfel?
Aufgabe 13: Aus ([3]) Die Druckverteilung in der Atmosphäre bis zu h = 11km
Höhe kann durch die Funktion
p
=
p0
31km − h
31km + h
!2
beschrieben werden (p0 Bodendruck, p Luftdruck in der Höhe h). Man zeichne ein
Diagramm. In welcher Höhe beträgt der Druck die Hälfte des Bodendrucks?
Aufgabe 14: In welchen Punkten schneiden sich der Kreis x2 + y 2 = 25 und die
2
2
Hyperbel x4 − y9 = 1?
Aufgabe 15: Es ist die Gleichung tan α = 2 gegeben.
(a) Ermitteln Sie α ∈ (− π2 , π2 ) als Lösung der Gleichung.
(b) Ermitteln Sie α ∈ ( π2 , 32 π) als Lösung der Gleichung.
(*)Aufgabe 16: Es ist die Gleichung cos α = 0.7 gegeben.
(a) Ermitteln Sie α ∈ [0, π) als Lösung der Gleichung.
(b) Ermitteln Sie α ∈ [π, 2π) als Lösung der Gleichung.
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
118
(*)Aufgabe 17: Es ist die Gleichung sin α = 0.7 gegeben.
(a) Ermitteln Sie α ∈ (− π2 , π2 ) als Lösung der Gleichung.
(b) Ermitteln Sie α ∈ ( π2 , 32 π) als Lösung der Gleichung.
Aufgabe 18: Man bestimme x aus der Gleichung 0.8 sin(x) − 0.7 cos(x + 1) =
0. Anleitung: Mit Hilfe des Additionstheorems für den Cosinus wird cos(x + 1)
zerlegt. Die darin auftretende sin-Funktion wird über sin2 + cos2 = 1 durch cos
ausgedrückt. Es ergeben sich zwei mögliche (±) Gleichungen für cos(x) aus dem
man den cos(x) und schließlich x errechnet. Es ist eine Probe erforderlich!
Aufgabe 19: Man bestimme die Werte von x ∈ [0, 2π), die die Gleichung
3 sin(x) + 5 cos(x) − 4 = 0 erfüllt ist. Anleitung: Drücken Sie sin durch cos aus
(sin2 + cos2 = 1), lösen Sie nach cos(x) auf. Für jede Lösung zu cos gibt es wieder
zwei mögliche x-Werte — bedenken Sie daß es zwei Umkehrfunktionen zum Cosinus im Intervall [0, 2π) gibt, sodaß man vier mögliche Werte für x erhält. Daher
ist eine Probe erforderlich.
Aufgabe 20: Lösen Sie die Gleichung tan x = 2x, x > 0 auf eine Dezimalstelle
genau. Anleitung
(a) Zeichnen Sie ein Diagramm für 0 < x < π2 mit y = tan x und y = 2x.
Bestimmen Sie x0 als x-Wert des Schnittpunktes der beiden Funktionsgraphen.
(b) Setzen Sie y(x) = tan x − 2x. Ausgehend von x0 bestimmen Sie durch
Ausprobieren benachbarter Werte auf dem Taschenrechner Werte xn , so
daß y(xn ) “möglichst gut” zu Null wird.
(c) Das Verfahren aus (2.20.b) läßt sich systematisieren: Sei dazu yn := y(xn ).
Liegen dann yn und yn−1 auf verschiedenen Seiten der Null, so wählt man
xn+1 = xn +x2 n−1 , ansonsten als xn+1 = xn +x2 n−2 (Regula Falsi).
119
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
Aufgabe 21: Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P für die die
Summe der Abstände zu zwei Punkten F1 und F2 , die den Abstand 2e haben, eine
Konstante, nämlich 2a mit a > e, ist. Liegt F1 F2 parallel zur x-Achse, der Ursprung in F1 und bezeichnet ϕ den Winkel mit der x-Achse und r(ϕ) den Abstand
eines Punktes auf der Ellipse vom Ursprung, so gilt die Brennpunktsdarstellung
r(ϕ) =
p
,
1 − ǫ cos(ϕ)
wobei p und ǫ durch
a2 − e2
,
p=
a
ǫ=
e
a
gegeben sind.
Zwei Satelliten kreisen um die Erde. Bahndarstellung:
p1
1 − ǫ1 cos(ϕ − α1 )
p2
r2 (ϕ) =
1 − ǫ2 cos(ϕ − α2 )
r1 (ϕ) =
Durch welche Gleichung ist eine mögliche Kollision bestimmt? Wie viele Kollisionspunkte sind maximal möglich?
Zahlenbeispiel:
α1 = 0o ,
ǫ1 = 0.1,
p1 = 400Km,
2.8
α2 = 60o ,
ǫ2 = 0.8,
p2 = 600Km.
Die Exponentialfunktion
2.8.1
Motivation: Ungebremstes Wachstum
Wir betrachten eine Population aus N Individuen. Im (kleinen) Zeitraum ∆t
ändert sich N um ∆N , wobei diese Änderung proportional zu N und zu ∆t ist.
Den Proportionalitätsfaktor nennen wir α. Dann hat man also für einen “kleinen”
Zeitraum ∆t das Gesetz
∆N = αN ∆t.
(2.11)
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
120
Durch dieses Gesetz wird zum einen etwa das Wachstum von Bakterienkulturen
bei ausreichender Nahrungszufuhr beschrieben — dann ist α > 0, zum anderen
beschreibt es für α < 0 auch den radioaktiven Zerfall von N Atomen, aber auch die
Abkühlung eines heißen Körpers der Temperatur ϑ auf die Umgebungstemperatur
ϑ0 , denn auch hier ist die Abnahme der Temperatur ϑ im Zeitraum ∆t, die wir
mit ∆ϑ bezeichnen, proportional zu ∆t und zu ϑ − ϑ0 , es gilt also
∆ϑ = α(ϑ − ϑ0 )∆t.
Nennt man nun N := ϑ − ϑ0 und beachtet, daß — da ϑ0 eine Konstante ist —
die Änderung von ϑ, die wir ∆ϑ genannt hatten, gleich der Änderung von ϑ − ϑ0 ,
also gleich der Änderung von N ist, die wir ∆N genannt hatten, so erhält man
wieder die Gleichung (2.11).
Schreibt man (2.11) etwas ausführlicher auf, so ergibt sich
N (t + ∆t) = N (t) + αN (t)∆t
= N (t)(1 + α∆t).
Um Aussagen für beliebig große Zeiträume τ zu treffen, unterteilt man τ in sehr
viele (n) kleine Teile, auf die dann das Gesetz (2.11) anwendbar ist: τ = n∆t
|
|
--|----|----|----|----|----|----|----|----|-|
dt
|
<--------- T ------------------------->
T = 6*dt
Auf jeden Zeitschritt wenden wir (2.11) an und erhalten:
N (t + 1 ∗ ∆t) = (1 + α∆t)N (t)
N (t + 2 ∗ ∆t) = (1 + α∆t)N (t + 1 ∗ ∆t)
= (1 + α∆t)2 N (t)
.. .. ..
. . .
N (t + n ∗ ∆t) = (1 + α∆t)n N (t)
und mit n∆t = τ folgt:
ατ
N (t + τ ) = 1 +
n
n
N (t).
(2.12)
121
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
Wir lassen die Unterteilung immer feiner werden (n → ∞) und definieren
exp(ατ ) := n→∞
lim
ατ
1+
n
n
.
Die Funktion
exp(x) := n→∞
lim
x
1+
n
n
(2.13)
heißt Exponentialfunktion.
Wir haben also gezeigt, daß aus der “Differentialgleichung”
∆N (t) = αN (t)∆t
die Gleichung
N (t + τ ) = exp(ατ )N (t)
(2.14)
folgt, die es gestattet, N zu jedem anderen Zeitpunkt t + τ zu berechnen, wenn
es nur zu einem Zeitpunkt t bekannt ist.
Setzt man in (2.14) t = 0, definiert N0 := N (0), so erhält man N (τ ) = exp(ατ )N0 ,
also nach τ ↔ t die fundamentale Gleichung für Wachstums-, Zerfalls- und Dämpfungsprozesse
N (t) = exp(αt)N0
2.8.2
Eigenschaften der Exponentialfunktion
2.8.2.1
Das Additionstheorem der Exponentialfunktion
(2.15)
Setzt man (2.15) in (2.14) ein und nennt x := αt und y := ατ , so folgt
exp(x + y) = exp(x) ∗ exp(y).
(2.16)
Da dieses Additonstheorem hier quasi “vom Himmel fällt” wird es im folgenden
noch auf zwei andere Arten begründet werden.
122
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
exp x = ex
2.8.2.2
Wir definieren zunächst
e := exp(1) = n→∞
lim
1
1+
n
n
3
2.8
Y-Achse: (1 +
1 n
)
n
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
0
10
20
30
40
50
X-Achse: n = 1, 2, 3, . . .
Abbildung 2.7: e = limn→∞ 1 +
1
n
n
und entnehmen Abbildung 2.7, daß diese Folge offenbar gegen eine Zahl e ≈ 2.7 —
die sogenannte Eulersche Zahl (benannt nach Leonhard Euler, (1707 – 1783))
konvergiert.
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
123
Abbildung 2.8: Leonhard Euler, (1707 – 1783)
Die Konvergenz der Folge an := (1 + 1/n)n läßt sich auch sauber mit der Bernoullischen Ungleichung (1 + a)n ≥ 1 + an nachweisen, in der wir a = −1/n2
verwenden:
1
1 n
≥1−
an = 1 − 2
n
n
n n
1
1
1
1−
1+
≥1−
n
n
n
n−1 n
1 n n−1
1+
≥
n
n
n
n
1
n − 1 nn
n − 1 + 1 n−1
1+
≥
=
= an−1
n
n (n − 1)n
n−1
Wir haben zunächst, daß die Folge (an )n∈N monoton wächst, daß also an ≥ an−1
für n ≥ 2. Genau so kann man für die Folge bn := (1 + 1/n)n+1 ausgehend von
der Bernoulli-Ungleichung, in der wir diesmal a = n21−1 setzen, zeigen, daß sie
monoton fällt (solange umformen, bis bn−1 ≥ bn dasteht). Nun ist
2 = a1 ≤ an ≤ bn ≤ b1 = 4,
(2.17)
und die gesamte Folge (an )n∈N liegt links von der Folge (bn )n∈N und für die Differenzfolge bn − an gilt
1
0 ≤ bn − an = (1 + 1/n)n (1 + 1/n − 1) = an ≤ 4/n → 0, n → ∞, (2.18)
n
124
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
Die beiden Folgen laufen also aufeinander zu, sie müssen ein und denselben Grenzwert besitzen, nämlich die Zahl e.
Für rationales und positives x = p/q rechnen wir dann so weiter:
exp(x) = n→∞
lim
= n→∞
lim
x n
1+
n
!nx
1 x
1+ n

x
= n→∞
lim  1 +
! n x
1 x
n
x
Mit n := r · p ⇔ nx = r · q =: m
1 m x
1+
= m→∞
lim
m
x
=e
Damit hat man die Gleichung exp(x) = ex für rationales und positives x begründet; es läßt sich zeigen, daß sie für alle x ∈ Q giltvi .
Damit ist auch das Additionstheorem der Exponentialfunktion (für rationale Argumente) noch einmal gezeigt.
2.8.2.3
Vorzeichen, Wert an der Stelle 0, ...
1. exp(0) = 1 folgt aus der Definition
Etwa indem man 1e = limn→∞ (1 − n1 )n nachweist und dann wie eben argumentiert:
Es ist doch offenbar exp(0) = 1 und damit wäre wegen des Additionstheorems exp(−x) ·
exp(x) = 1, was aber hier auch direkt begründet werden kann:
x n
x n
· lim 1 +
exp(−x) · exp(x) = lim 1 −
n→∞
n→∞
n
n
x n
x n 1+
= lim 1 −
n→∞
n
n
x 2 n
= lim 1 −
n→∞
n
n
(x2 /n)
= lim 1 −
n→∞
n
n
2
≤1
Bernoulli-Ungl.: 1 − x2 /n ≤ 1 − (x n/n)
vi
= 1.
Damit folgt exp(−x) =
1
exp(x)
und insbesondere Damit folgt
1
e
= exp(−1) = limn→∞ (1 − 1/n)n .
125
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
2. exp(x) > 0 für alle x ∈ R. Zunächst folgt aus der Definition, daß exp(x) ≥ 0;
wäre exp(x0 ) = 0, so wäre wegen des Additionstheorems
1 = exp(0) = exp(x0 ) exp(−x0 ) = 0 ∗ exp(−x0 )
3. exp(x) ≥ 1 + x; das folgt aus der Bernoullischen Ungleichung, wegen (1 +
x/n)n ≥ 1 + x.
4. Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend, und es gilt
limx→∞ exp(x) = ∞ und limx→−∞ exp(x) = 0. Das folgt aus dem Additionstheorem und den vorigen Resultaten.
2.8.2.4
Die Reihendarstellung der Exponentialfunktion
Ausmultiplizieren des in der Definition der Exponentialfunktion (2.13) auftretenden Produktes mittels der in Abschnitt 1.3.2 behandelten binomischen Formel
liefert zusammen mit der Betrachtung des Grenzwertes n → ∞ die Darstellung
(0! := 1 und n! := n ∗ (n − 1) ∗ · · · ∗ 2 ∗ 1)
exp(x) =
∞
X
xn
.
n!
n=0
(2.19)
Begründung:
(1 + x/n)n =
=
!
n
X
n xk
k nk
k=0
n
X
n!
xk
nk (n − k)! k!
k=0
n(n − 1) · · · (n − k + 1) xk
=
nk
k!
k=0
n
X
=
n k−1
Y
X
k=0 ρ=0
|
→
∞
X
(1 −
ρ xk
)
n k!
{z
}
→
| {z1}
n→∞
k
x
,
k!
k=0
Hier ist eine genauere Betrachtung erforderlich . . .
n→∞
Aus dieser Reihendarstellung gewinnt man noch einmal die wichtigen Eigenschaften der Exponentialfunktion:
126
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
2.8.2.4.1
Noch einmal exp(x + y) = exp(x) exp(y): Es wird
exp x + y =
1
(x + y)k
k=0 k!
∞
X
!
k
k r k−r
1 X
xy
=
r
k!
r=0
k=0
∞
X
k
∞ X
X
xr y k−r
=
r! (k − r)!
k=0 r=0
Vertauschung der Summationsreihenfolge
=
∞
∞ X
X
xr y k−r
r=0 k=r r! (k − r)!
∞
X
∞
xr X
yk
=
r=0 r! k=0 (k)!
Das Additionstheorem ist damit für alle Zahlen, für die die Gleichung(2.19) gültig
ist, und die den Körperaxiomen genügen, nachgewiesen.
Abbildung 2.9: Vertauschung der Summationsreihenfolge:
P∞ P∞
r=0
k=r .
P∞ Pk
k=0
r=0
=
127
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
2.8.2.4.2 Noch einmal exp(x) = ex : Sei zunächst x ∈ Q; mit n ∈ N0 und
z ∈ Z \ {0} kann man x = nz schreiben und es folgt
n
1
exp(x) = exp( ) = exp( + · · · +
z
|z
{z
n-mal
1
1
) = exp( )
z}
z
n
,
(2.20)
wobei sich die letzte Gleichung durch wiederholte Anwendung des Additionstheorems (2.16) ergibt.
Definiert man nun
e := exp(1),
(2.21)
1
so liefert (2.20) mit 1 = zz die Gleichung e = [exp(1/z)]z , also ist exp(1/z) = e z
und aus (2.20) folgt schließlich
n
n
exp( ) = e z .
z
Satz: Für rationales x ∈ Q gilt
exp(x) = ex .
2.9
(2.22)
Der natürliche Logarithmus
Aufgrund der oben genannten Eigenschaften der Exponentialfunktion, existiert
ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus y(x) = ln(x).
Satz: Eigenschaften des natürlichen Logarithmus:
1. Der Logarithmus bildet die positiven rellen Zahlen auf die reellen Zahlen
ab.
2. ln(exp(x)) = x für alle x ∈ R.
3. exp(ln(x)) = x für alle x ∈ R mit x > 0.
4. ln(1) = 0. Das folgt aus exp(0) = 1.
5. ln(e) = 1. Das folgt aus exp(1) = e.
6. ln(x) → ∞ für x → ∞.
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
128
7. ln(x) → −∞ für x → 0.
8. y = ln(x) ist streng monoton wachsend.
9. Der Logarithmus erfüllt die Funktionalgleichung
ln(u ∗ v) = ln(u) + ln(v)
Um das nachzuweisen, setzt man in dem Additionstheorem der Exponentialfunktion x = ln(u) und y = ln(v) ein, womit sich exp(ln(u) + ln(v)) = u ∗ v
ergibt, worauf noch einmal ln() angewendet wird.
10. ln(x1 /x2 ) = ln(x1 ) − ln(x2 ). Um das einzusehen, setze man in der Funktionalgleichung u = x2 und v = x1 /x2 .
11. Aus der Funktionalgleichung folgt für x ∈ R mit x > 0 und q ∈ Q
ln(xq ) = q ln(x).
12. Es gilt die Ungleichung ln(x) ≥ 1 − x, die aus x = ey ≥ 1 + y folgt.
2.10
Die Potenz mit rellem Exponenten
Wir hatten oben im Abschnitt 1.2.3.5 gesehen, wie man die für reelles a > 0 und
rationales q die Potenz aq definiert. Wir haben nun die Gleichungsskette
aq = exp(ln(aq )) = exp(q ln(a))
In die letzte Gleichung kann aber ohne Schaden auch ein relles q eingesetzt werden.
Für relles β definieren wir deshalb
aβ := exp(β ln(a))
(2.23)
Nimmt man auf beiden Seiten den Logarithmus dieser Gleichung, so sieht man
dass auch für relles β
ln(aβ ) = β ln(a)
gilt.
(2.24)
129
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
2.11
Logarithmus zu beliebiger positiver reller
Basis a
Wir definieren die Umkehrfunktion der Funktion
y(x) = ax ,
a ∈ R, a > 0 x ∈ R
als den Logarithmus loga zur Basis a:
y = ax ⇔ x = loga (y)
(2.25)
Anwendung des natürlichen Logarithus auf y = ax ergibt ln y = x ln a andererseits
ist nach Definition x = loga y woraus sich
loga y =
ln y
ln a
ergibt. Es fogt der
Satz: Alle Logarithmen unterscheiden sich nur durch konstante Faktoren und
lassen sich ineinander umrechnen, es gilt nämlich
ln b
loga y
=
.
logb y
ln a
Insbesondere nennen wir
log(x) := log10 (x)
ln(x) := loge (x)
ld(x) := log2 (x)
Aufgaben
Aufgabe 22: Berechnen Sie e = exp(1) auf zwei Arten:
(a) Indem Sie (1 + n1 )n für n = 1, 2, 3, 4, 5 berechnen.
(b) Indem Sie Sn :=
Pn
1
j=0 j!
für n = 1, 2, 3, 4, 5 berechnen.
Tragen Sie die Werte in eine Tabelle ein. Welche Folge konvergiert schneller?
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
130
Aufgabe 23: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke
(a) (a2 )3 + a2 ∗ a3 + (a3 )2
(b) a7x /a3x
(c) (e3 )2
(d) exp(32 )
√ x
(e)
e
Aufgabe 24: Berechnen Sie folgende Logarithmen ohne einen (Taschen)rechner
zu verwenden:
(a) log2 8
(b) log2
(c)
1
4
log2 √12
(d) log3 81
(e) log9 3
(f) log4 0.5
Aufgabe 25: Drücken Sie die folgenden Terme als Terme in ln x und ln y aus:
(a) ln(x2 y)
√
(b) ln xy
(c) ln(x5 y 2 )
Aufgabe 26: Drücken Sie die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus aus:
(a) ln 14 − ln 21 + ln 6
(b) 4 ln 2 − 12 ln 25
(c) 1.5 ln 9 − 2 ln 6
(d) 2 ln(2/3) − ln(8/9)
Aufgabe 27: Vereinfachen Sie die Ausdrücke
(a) exp
n
(b) e2 ln x
1
2
ln
h
1−x
1+x
io
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
131
Aufgabe 28: Zeichen Sie die folgenden Funktionen jeweils in einen Graphen
(a) y = 2x und y = log2 x
(b) y = ex und y = ln x
(c) y = 10x und y = log x
Aufgabe 29: Bestimmen Sie die Grenzwerte
(a)
(b)
(c)
(d)
1 n
1
+
lim
,
n→∞
2n
n+7
2
,
lim 1 −
n→∞
n−3
n
5 4 +3
,
lim 1 −
n→∞
n
n+3 n
lim
.
n→∞ n − 5
Aufgabe 30: Bei der Radiokarbonmethode nutzt man die Tatsache aus, daß das
radioaktive Kohlenstoff-Isotop 14 C mit einer Halbwertszeit T1/2 von 5730a (1a =
1 Jahr) unter β-Zerfall zu Stickstoff (14 N ) zerfällt. Für das Verhältnis γ von 14 C
zu 12 C gilt ein Gesetz
γ = γLuft ∗ e−λt ,
wobei t die Zeit beschreibt.
(a) Bestimmen Sie λ aus der angegebenen Halbwertszeit T1/2 , die ja angibt,
nach welcher Zeit die Hälfte des Stoffes zerfallen ist: Leiten Sie die dazu
erforderliche Beziehung zwischen λ und T1/2 selbst her!
(b) Bei einer Probe wurde γ = 0.25γLuft gemessen. Wie alt ist die Probe?
Aufgabe 31: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Bestimmen
Sie ein Polynom vom Grad 3, das die folgenden Werte annimmt
x
p(x)
−2 −1 0
1
−3 −1 −1 3
Hinweis: Einsetzen der angegebenen Stellen in einen Ansatz der Form p(x) =
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 liefert die Koeffizienten.
132
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
Aufgabe 32: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Jede Nullstelle x̂ eines Polynoms p mit
p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn
(an 6= 0)
lässt sich abschätzen durch
|x̂| <
|a0 | + |a1 | + . . . + |an |
.
|an |
Zeigen Sie diese Aussage, indem Sie die Fälle |x̂| < 1 und |x̂| ≥ 1 getrennt
betrachten.
Hinweis: Setzen Sie eine Nullstelle x̂ ins Polynom ein und vergessen Sie nicht die
n|
Identität |a
= 1.
|an |
Aufgabe 33: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Begründen
Sie die Monotonie der Logarithmusfunktion, das heißt, es gilt
ln x < ln y
für 0 < x < y .
Hinweis: Nutzen Sie sowohl die Abschätzung ln z ≤ z − 1 für eine geeignete Zahl
z > 0 als auch die Funktionalgleichung des Logarithmus.
Aufgabe 34: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Zeigen Sie,
dass log2 3 irrational ist.
Hinweis: Für n, m ∈ N ist 2n gerade, aber 3m ungerade.
Aufgabe 35: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Entwickeln Sie
das Polynome p um die angegebene Stelle x0 , das heißt, finden Sie die Koeffizienten
P
aj zur Darstellung p(x) = nj=0 aj (x − x0 )j ,
(a) mit p(x) = x3 − x2 − 4x + 2 und x0 = 1,
(b) mit p(x) = x4 + 6x3 + 10x2 und x0 = −2.
Hinweis: Ersetzen Sie x = (x − x0 ) + x0 .
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
133
Aufgabe 36: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Zerlegen Sie
die Polynome p, q, r : R → R in Linearfaktoren:
p(x) = x3 − 2x − 1
q(x) = x4 − 3x3 − 3x2 + 11x − 6
r(x) = x4 − 6x2 + 7
Hinweis: Auswerten der Polynome an Stellen wie 0, 1, −1 und/oder quadratische
Ergänzung liefert Nullstellen. Durch Polynomdivision lassen sich die Polynome
dann in Faktoren zerlegen.
Aufgabe 37: (+ + +) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Betrachten Sie die beiden rationalen Funktionen f : Df → R und g : Dg → R, die
durch
x3 + x2 − 2x
,
f (x) =
x2 − 1
x2 + x + 1
g(x) =
x+2
definiert sind. Geben Sie die maximalen Definitionsbereiche Df ⊆ R und Dg ⊆ R
an und bestimmen Sie die Bildmengen f (Df ) und g(Dg ). Auf welchen Intervallen
lassen sich Umkehrfunktionen zu diesen Funktionen angeben?
Hinweis: Für die Definitionsbereiche bestimme man die Nullstellen der Nenner.
Außerhalb dieser Nullstellen müssen wir versuchen die Gleichungen y = f (x) bzw.
y = g(x) nach x aufzulösen, um die Bildmengen und die Umkehrfunktionen zu
bestimmen.
Aufgabe 38: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Berechnen
Sie folgende Zahlen ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechners:
√
x
√
1
1
e(2+x)2 −4
2
3
ln
4
log2 (4 e ) −
,
e
,
2
ln 2
ex
mit x > 0 .
Hinweis: Nutzen Sie die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und/oder
des Logarithmus und die Umkehreigenschaften der beiden Funktionen.
134
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
Aufgabe 39: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Vereinfachen
Sie für x, y, z > 0 die Ausdrücke:
(a) ln(2x) + ln(2y) − ln z − ln 4
(b) ln(x2 − y 2 ) − ln(2(x − y))
√
2
3
(c) ln(x 3 ) − ln( x−4 )
Hinweis: Verwenden Sie die Funktionalgleichung des Logarithmus.
(*)Aufgabe 40: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Der Sinus hyperbolicus ist gegeben durch
sinh x =
ex − e−x
,
2
der Cosinus hyperbolicus durch
cosh x =
ex + e−x
,
2
und der der Tangens hyperbolicus durch
tanh x =
sinh x
.
cosh x
• Verifizieren Sie die Identität
tanh
x
sinh x
=
.
2
cosh x + 1
• Begründen Sie, daß für das Bild der Funktion gilt
tanh(R) ⊆ [−1, 1] .
• Zeigen Sie, daß durch
1+x
1
artanh x = ln
2
1−x
.
die Umkehrfunktion artanh: [−1, 1] → R, der Areatangens hyperbolicus
Funktion gegeben ist.
Hinweis: Verwenden Sie die Definitionen von sinh und cosh und binomische
Formeln.
KAPITEL 2. FUNKTIONEN
135
Aufgabe 41: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Zeigen Sie
die Identitäten
√
cos(arcsin(x)) = 1 − x2
und
sin(arctan(x)) = √
x
.
1 + x2
Hinweis: Verwenden Sie in beiden Fällen die Beziehung sin2 x + cos2 x = 1 und
die Umkehreigenschaft der jeweiligen Arkus-Funktion.
Aufgabe 42: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Die Lichtempfindlichkeit von Filmen wird nach der Norm ISO 5800 angegeben. Dabei ist
zum einen die lineare Skala ASA (American Standards Association) vorgesehen,
bei der eine Verdoppelung der Empfindlichkeit auch eine Verdoppelung des Werts
bedeutet. Zum anderen gibt es die logarithmische DIN-Norm, bei der eine Verdoppelung der Lichtempfindlichkeit durch eine Zunahme des Werts um 3 Einheiten gegeben ist. So finden sich auf Filmen Angaben wie 100/21 oder 200/24
für die ASA und DIN Werte zur Lichtempfindlichkeit. Finden Sie eine Funktion
f : R>0 → R mit f (1) = 1, die den funktionalen Zusammenhang des ASA Werts
a zum DIN Wert f (a) (gerundet auf ganze Zahlen) beschreibt.
Hinweis: Bestimmen Sie aus den Angaben zur Verdoppelung der Lichtempfindlichkeit und der Funktionalgleichung des Logarithmus eine Basis b für die Funktion
f (x) = logb x + c.
Kapitel 3
Komplexe Zahlen
3.1
3.1.1
*Cardanos Formel für Gleichungen dritten
Grades
Vorbemerkung
Wir können die Nullstellen von Polynomen zweiten Grades mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung bzw. der daraus folgenden “p − q-Formel” ermittlen.
Hat man bei Polynomgleichungen dritten Grades irgendwie eine Nullstelle ermittlet, so kann diese durch Polynomdivision abgespalten werden, und dann bleibt für
die anderen Nullstellen eine Gleichung zweiten Grades übrig.
Hat man also eine Nullstelle einer Gleichung dritten Grades gefunden, so ergibt sich der Rest “von selbst”. Neben dem Raten einer Nullstelle, gibt es
aber auch noch die berühmte Cardanische Formel von Geronimo (Girolamo)
Cardano (1501 – 1576)i, die dieser von Niccolo Fontana genannt Tartaglia
(1499/1500 – 1557) erhalten hatte, ursprünglich aber wohl von Scipione da
Ferro (1465 – 1526) stammt.
i
war als Student Rektor der Universität von Padua und als Greis Insasse des Gefängnisses
von Bologna, wurde 1570 der Ketzerei angeklagt, weil er das Horoskop Jesu Christi veröffentlicht
hatte; seinen Lebensabend bestritt er mit einer Pension des Papstes.
136
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
3.1.2
137
Noch einmal die n-te Wurzel
Im Abschnitt 1.2.3.5 hatten wir für nicht nicht negatives x die n-te Wurzel (n ∈ N)
durch
√
1
y = n x := x n
als die positive Lösung x der Gleichung
yn = x
charakterisiert; dabei hatten wir in den Überlegungen zur Gleichung (1.16) gesehen, daß es höchstens eine Lösung dieser Gleichung geben kann, weil die Potenzfunktion
y = xn ,
(3.1)
deren Umkehrfunktion die n-te Wurzel ist, auf dem Intervall [0, ∞) streng monoton wachsend ist, d.h. es gilt
x1 < x2 ⇒ y(x1 ) < y(x2 ).
Da nun für die Potenzfunktion
n gerade: y(−x) = y(x), Wertebereich: [0, ∞),
n ungerade: y(−x) = −y(x), Wertebereich: (−∞, ∞)
gilt, hat die Potenzfunktion für ungerades n den Wertebereich R und ist auf
ganz R steng monoton wachsend. Deshalb kann in diesem Fall die n-te Wurzel
für alle x ∈ R definiert werden.
Den Anschluß an die Potenzdarstellung erhalten wir dadurch, daß für negatives
w = −a mit a > 0
√
√
1
n
w = n −a := (−1)a n
wird, also mit der Signum-Funktion



1,
sgn(x) := 0,


−1,
x>0
x=0
x<0
(3.2)
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
138
die n-te Wurzel für ungerades n durch
√
1
n
w := sgn(w) |w| n
dargestellt werden kann.
Für ungerade Wurzelexponenten n laßt sich so die Wurzelfunktion auf ganz R
1
definieren, die Wurzel sollte aber nicht mehr als Potenz w n geschrieben werden,
da die Potenzgesetze nicht mehr gelten(!) wie das folgende Gegenbeispiel zeigt:
√
1
2
1
1
1
(−1) = 3 −1 = (−1) 3 = (−1) 6 = (−1)2· 6 = ((−1)2 ) 6 = 1 6 = 1.
Wurzelgesetz: Wir betrachten für n ∈ N die Gleichung
√ √ n
n
n
a b = ab,
die offensichtlich immer dann gilt, wenn die entsprechenden Wurzeln definiert
sind. Wir unterscheiden ungerades und gerades n:
n ungerade: Die Gleichung ist für√a, b ∈ R definiert und zugleich ist y n = x für
jedes x eindeutig durch y = n x lösbar, deshalb gilt
√
√
√
n
n
n
a b = ab, für alle a, b ∈ R.
(3.3)
n gerade: Die Gleichung ist für a, b ∈ [0, ∞) definiert und zugleich hat
y n = x für
√
x ∈ [0, ∞) die eindeutig bestimmteii nicht negative Lösung y = n x, deshalb
gilt
√
√
√
n
n
n
a b = ab, für alle a, b ∈ [0, ∞).
(3.4)
Mit dieser Erweiterung gelten folgende Aussagen (n ∈ N):
1. Ist n ungerade, so ist die Gleichung xn = r für jedes r ∈ R eindeutig durch
√
x= nr
lösbar.
2. Ist n gerade, so die Gleichung xn = r für jedes nicht negative r ∈ R die
beiden Lösungen
√
x1,2 = ± n r,
während es für negatives r keine Lösung gibt.
ii
weil wir uns auf nicht negative Lösungen beschränken
139
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
3. In beiden Fällen gilt für relles nicht negatives α
√ √
√
n
αr = n α n r.
(3.5)
“Nicht negative Faktoren können aus der Wurzel gezogen werden”. Bei ungeradem Wurzelexponenten können sogar beliebige Faktoren aus der Wurzel
gezogen werden (vergl. (3.3)).
Was haben wir hier getan? Wir haben die n-te Wurzel als Umkehrfunktion von
y = xn auf dem größtmöglichen Definitionsbereich definiert. Nun ist y = xn für
ungerades n auf (−∞, ∞) bijektiv, für gerades n aber nur bei Einbschränkung
auf (−∞, 0] oder auf [0, ∞). Die Potenzgesetze gelten nur bei Einschränkung auf
einen gemeinsamen, dann aber notwendig kleineren Definitionsbereich.
3.1.3
Herleitung der Cardanischen Formel
Wir betrachten die Gleichung
x3 + rx2 + sx + t = 0.
(3.6)
Die Identität (binomische Formel für (x + 3r )3 verwenden)
r
x3 + rx2 = x +
3
3
2
r
− 3
3
x+
3 !
r
3
zeigt, daß mit Hilfe der Substitutionen x = y − r/3 und
r2
p := s −
3
3
r
2r
−s· +t
q :=
27
3
die sogenannte reduzierte Form
y 3 + py + q = 0
(3.7)
entsteht. Für diese machen wir den Ansatz y =: u + v, der zur Gleichung
u3 + v 3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0
führt. Wenn(!) nun u und v so bestimmt werden können, daß die beiden Gleichungen
u3 + v 3 = −q
p
uv = −
3
(3.8)
140
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
erfüllt sind, so ist die Gleichung gelöst.
Zwischenbetrachtung: Die Gleichungen von Vieta: Die Gleichung
z 2 + βz + γ = 0
hat die Lösungen
z1,2 = −
β
±
2
s
β2
−γ
4
und daher gelten für diese Lösungen die Gleichungen von Vieta
z1 + z2 = −β
z1 · z2 = γ
Schreiben wir nun die Gleichung (3.8) zu
u3 + v 3 = −q
u v =−
3 3
3
p
3
um, so sehen wir, daß, wenn β = q und γ = −
und v durch
q
u = z1 = − +
2
3
q
v = z2 = − −
2
3
s
2
s
q
2
2
q
2
+
3
+
3
3
p
3
gesetzt werden, die Größen u
p
3
p
3
bestimmt sind, so daß schließlich eine Lösung von Gleichung (3.7) durch die Cardanische Formel
y=
v
u
u
3
t
q
− +
2
s 2
q
2
3
p
+
3
geliefert wird.
+
v
u
u
3
t
q
− −
2
s 2
q
2
+
3
p
3
(3.9)
Nachweis der Richtigkeit der Cardanischen Formel durch Einsetzen: Sei
y=
q
3
a+
√
b+
q
3
a−
√
b.
141
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
Wir berechnen y 3 nach der binomischen Formel:
√
q
√ q
√ q
√
√ q
√ q
√
√
3
3
3
3
3
y =a+ b+3 a+ b a+ b a− b+3 a+ b a− b a− b+a− b
q
q
√ √
√ q
√
3
3
3
3
= 2a + 3 a + b a2 − b + 3 a2 − b a − b
√
3
= 2a + 3 a2 − by.
3
q
3
Mit a = − q2 und b =
s
2
y = −q + 3 −
3
3
q
2
+
3
p
3
3
p
3
, also b = a2 +
3
p
3
erhalten wir:
y,
also
y 3 + py + q = 0.
3.1.4
Beispiele und Aufgaben zur Cardanischen Formel
Einige Beispiele mögen das illustrieren; die Gleichungen sind bereits in der reduzierten Form:
y 3 − 4y − 15 = 0: Die Lösungsformel liefert wegen p = −4 und q = −15
s
q
q 2 p3
+
= 11 ∗ 232 /(22 ∗ 33 )
4
27
23 q
11/3
=
6
y=
s
3
15 23 q
+
11/3 +
2
6
s
3
15 23 q
−
11/3
2
6
(3.10)
und numerisch(!) bestätigt man y = 3, was eingesetzt in die Gleichung
33 − 4 ∗ 3 − 15 = 27 − 12 − 15 = 0 ergibt. Abspalten der Nullstelle:
y^3
- 4y - 15 : (y - 3) = y^2 + 3y + 5
-(y^3 - 3y^2)
----------------------3y^2 - 4y - 15
-(3y^2 - 9y)
-----------------
142
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
5y - 15
-(5y - 15)
---------0
Das Polynom y + 3y + 5 hat die Nullstellen
weiteren rellen Nullstellen.
2
− 23
±
q
9/4 − 5 — also keine
z = y 3 − 4y − 15
30
20
10
Z-Achse
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y-Achse
Abbildung 3.1: z = y 3 − 4y − 15
y 3 − 6y − 9 = 0: Hier ist p = −6 und q = −9, also ist eine Lösung durch
y=
v
u
u
3 9
t
2
+
s
+
s
9
2
2
6
−
3
3
+
also durch
y=
v
u
u
3 9
t
2
81
−8+
4
v
u
u
3 9
t
2
−
v
u
u
3 9
t
2
s
−
s
81
−8
4
9
2
2
−
6
3
3
4
143
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
also durch
y=
s
3
9 7
+ +
2 2
s
3
√
9 7 √
3
3
− = 8 + 1 = 3.
2 2
y 3 − 6y + 4 = 0: Hier ist p = −6 und q = 4, also ist
y=
q
3
−2 +
√
4−8+
q
3
−2 −
√
4−8=
q
3
−2 +
√
−4 +
q
3
−2 −
√
−4
Verwenden wir auch hier die Regel der Gleichung (3.5) in der Form
√
√ √
−a = a −1 für a ≥ 0
und schreiben
√
√
−4 = 2 −1,
so wird
y=
q
3
q
√
√
3
−2 + 2 −1 + −2 − 2 −1
(3.11)
Eine kurze Zwischenrechnung mit der Binomischen Formel zeigt uns
√
√
√
√
(1 ± −1)3 = 1 ± 3 −1 + 3( −1)2 ± ( −1)3
√
√
(3.12)
= 1 ± 3 −1 − 3 ∓ −1
√
= −2 ± 2 −1
also ist
y =1+
√
√
−1 + 1 − −1 = 2.
(3.13)
Diese Lösung bestätigt man auch durch Einsetzen in die Gleichung.
Wir haben hier im Verlauf der Rechnung zwischenzeitlich mit der Zahl
operiert, der wir einen besonderen Namen geben wollen.
√
−1
Imaginäre Einheit: Als imaginäre Einheit j wollen wir die im Verlauf der
obigen Rechnung aufgetauchte Zahl bezeichnen:
√
j := −1.
(3.14)
Für diese Zahl gilt
j 2 = (−1)
(3.15)
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
144
daher kann sie nicht in den reellen Zahlen liegen, denn aus dem Monotoniegesetz (A8) folgt für jedes x ∈ Riii :
0 < x ⇒ 0 < x2 ,
x < 0 ⇒ 0 < −x ⇒ 0 < (−x)(−x) = x2 ,
0 = x ⇒ 0 = x2 .
3.2
Die Komplexen Zahlen und ihre Rechenregeln
Wir fügen eine neue Zahl, die imagaginäre Einheit j — die in der mathematischen Literatur meistens mit dem Buchstaben i bezeichnet wird — in folgender
Weise zu den reellen Zahlen hinzu:
1. j ist eine neue (nicht-reelle) Zahl, die die Eigenschaft
j 2 = (−1)
(3.16)
besitzt.
2. j kann durch Multiplikation und Addition mit rellen Zahlen verknüpft werden:
• j·b
• j+b
• a + jb
iii
Wir verwenden hier (−x)(−x) = x2 , was mit
0 = 1 + (−1)
und
⇒ 0 = (−1) + (−1)(−1)
⇒ 1 = 1 + (−1) + (−1)(−1)
⇒ 1 = (−1)(−1)
| · (−1)
|+1
0 = 1 + (−1) ⇒ 0 = x + (−1)x ⇒ (−1)x = (−x)
aus den Körperaxiomen folgt.
145
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
Derartige Gebilde z = x + jy mit x, y ∈ R wollen wir komplexe (zusammengesetzte) Zahlen nennen: z = x + jy ∈ C. Dabei bezeichnet
C = {z|z = y + jy, x, y ∈ R}
die Menge der komplexen Zahlen.
3. Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gelten die üblichen Rechenregeln
— nämlich
• Kommutativgesetz,
• Assoziativgesetz,
• Distributivgesetz,
• Existenz neutraler Elemente für
– Addition — die Zahl 0,
– Multiplikation — die Zahl 1,
und die neue — charakteristische – Rechenregel
j 2 = (−1).
(3.17)
4. Die Quadratwurzel war bisher nur für nicht-negative reelle Zahlen definiert.
Jetzt können wir die Definition auf beliebige reelle Zahlen erweitern:
Für die Quadratwurzel einer reellen Zahl r ∈ R setzen wir die Regel
√

r 21 ,
r≥0
r<0
r = := 
1
j(−r) 2 ,
(3.18)
fest. Dann gilt jedenfalls
√
( r)2 = r
und die Gleichung x2 = r hat für jedes r ∈ R die beiden Losungen
√
x1,2 = ± r.
Quadratische Gleichungen: x2 + px + q = 0 sind jetzt immer lösbar:
x1,2
s
p
=− ±
2

2


p


=
2



j q
−
|
−q
2
p
−q
2{z
}
1
2
,
2 21
p
2
2
,
p
2
−q ≥0
2
−q <0
p
2
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
146
und es gilt uneingeschränkt die Faktorisierung (nachrechnen!)
x2 + px + q = (x − x1 )(x − x2 ).
Die Gleichung x2 − 1 = 0 hat die Lösungen x1,2 = ±1 und es gilt
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
Die ganz ähnliche Gleichung x2 + 1 = 0, die im reellen keine Lösung hat, ist nun
ganz analog durch x1,2 = ±j lösbar und es gilt
x2 + 1 = (x − j)(x + j).
Realteil, Imaginärteil, konjugiert komplexe Zahl und Betrag: Für eine
komplexe Zahl z = x + jy, x, y ∈ R definiert man
Realteil: Re z := x,
Imaginärteil: Im z := y,
Konjugiert Komplexe Zahl: z := x − jy,
√
Betrag: |z| := x2 + y 2 ;
• Das führt für reelles z (also y = 0) auf die frühere Definition des
Betrages,
• Es gilt |z| ≥ 0 und
|z| = 0 ⇔ x = 0 und y = 0.
• |z| = |z|.
• |z|2 = zz, denn (a + b)(a − b) = a2 − b2 liefert
zz = (x + jy)(x − jy) = x2 − (jy)2 = x2 + y 2 = |z|2 .
Beispiel: Für z = 3 + j4 ist
Re z = 3,
Im z = 4,
z = 3 − j4
√
|z| = 32 + 42 = 5, zz = (3 + j4)(3 − j4) = 32 − (j4)2 = 32 + 42 = 25.
Gleichheit, Addition/Subtraktion, Multiplikation und Division: Für zwei
Zahlen z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 erhalten wir
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
147
z1 = z2 : Gleichheit gilt, wenn Real- und Imaginärteile übereinstimmen: x1 = x2
und y1 = y2
z1 ± z2 : Addition/Subtraktion nach den Körperaxiomen führt zur Addition von
Real- und Imaginärteilen:
z1 ± z2 = x1 + jy1 ± (x2 + jy2 )
= x1 ± x2 + jy1 ± jy2
= (x1 ± x2 ) + j(y1 ± y2 )
Beispiel:
1 + j2 + 3 + j4 = 4 + j6.
z1 · z2 : Multiplikation nach den Körperaxiomen mit Berücksichtigung von j 2 =
(−1):
z1 · z2 = (x1 + jy1 ) · (x2 + jy2 )
= x1 x2 + x1 jy2 + jy1 x2 + j 2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + j(x1 y2 + x2 y1 )
Wichtig: Diese Regel nicht merken, sondern einfach wie üblich rechnen und
j 2 = (−1) beachten.
Beispiel:
(1 + j2)(3 + j4) = 3 + j4 + j6 − 8 = −5 + j10,
(3 + j4)2 = 32 + 2 · 3 · j4 + (j4)2 = −7 + j24.
Das zweite Beispiel illustriert, daß alle Folgerungen aus den Körperaxiomen,
wie z.B. die binomische Formel, auch für komplexe Zahlen gelten.
z1 /z2 : Wir setzen z2 6= 0 voraus und verwenden dann den Trick, den Bruch z1 /y2
mit z2 zu erweitern:
z1 z2
z1 z2
z1
=
=
z2
z2 z2
|z2 |2
(x1 x2 + y1 y2 )
(x2 y1 − x1 y2 )
(x1 x2 + y1 y2 ) − j(x1 y2 − x2 y1 )
=
+j
=
2
2
2
2
x2 + y 2
x2 + y 2
x22 + y22
Wichtig: Auch diese Regel nicht merken, sondern nur den Trick — das
Erweitern mit dem kongugiert Komplexen des Nenners — merken und dann
einfach wie üblich rechnen und j 2 = (−1) beachten.
148
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
Beispiel:
(1 + j2)
(1 + j2)(3 − j4)
=
(3 + j4)
25
11 + j2
=
25
11
2
=
+j .
25
25
Der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten a0 , a1 , . . . an , wobei an 6= 0
pn (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n ,
z ∈ C,
besitzt genau n (komplexe) eventuell mehrfach auftretenden Nullstellen z1 , z2 ,
. . . zn und pn kann als
pn (z) = an
n
Y
(z − zl )n
l=1
faktorisiert werden.
Der Satz kann hier nicht bewiesen werden.
Aufgabe 1: Lösen Sie die Gleichung y 3 − 3y + 2 = 0 mit der Cardanischen
Formel. Raten Sie eine weitere Nullstelle und dividieren Sie beide Nullstellen
nacheinander vom Polynom ab, so daß Sie schließlich das Polynom als Produkt
seiner Nullstellen darstellen können.
Hinweis: Polynome mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten haben häufig kleine
ganze Zahlen als Nullstellen.
Aufgabe 2: Ermitteln Sie eine Lösung der Gleichung y 3 + 3y = 4 mit der Cardanischen Formel. Formen Sie soweit um, daß das Resultat keine Wurzeln mehr
enthält!
√
Tipp: Berechnen Sie (1 ± 5)3 und verwenden Sie dieses Zwischenresultat um das
Ergebnis zu vereinfachen.
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
149
(*)Aufgabe 3: Ermitteln Sie eine Lösung der Gleichung y 3 − 15y − 4 = 0 mit
Hilfe der Cardanischen
Formel. Bei der auftretenden Quadratwurzel aus einer
√
negativen Zahl −a mit a > 0 verwenden Sie die Rechenregel
√
√ √
√
−a = a −1 = j a für a ≥ 0
Vereinfachen Sie das Endresultat so weit wie möglich, indem Sie als Zwischenrechnung
√
(2 ± −1)3
mittels der Binomischen Formel berechnen.
Aufgabe 4: Sei z1 = −5 − 3j, z2 = 1 + j. Wie lauten z1 + z2 , z1 − z2 , z1 z2 sowie
z1 /z2 ?
Aufgabe 5: Bestimmen Sie |j|, |1 + j|, |1 − j|, |j n | (n ∈ N).
Aufgabe 6: Prüfen Sie die sogenannte Dreiecksungleichung
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
mit den komplexen Zahlen j, 1 ± j, −j.
(*)Aufgabe 7:
(a) Weisen Sie die Regeln
z1 · z2 = z1 · z2
(3.19)
z1 + z2 = z1 + z2
nach, indem Sie z1,2 = x1,2 + jy1,2 einsetzen und beide Seiten berechnen.
(b) Zeigen Sie
1
1
= ,
z
z
(3.20)
indem Sie Zähler und Nenner mit einer geeigneten Zahl multiplizieren.
(*)Aufgabe 8: Mit dem Resultat der Aufgabe 3.7 und der Darstellung |z| =
√
zz weisen Sie die Regel
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |
nach, indem Sie beide Seiten berechnen.
(3.21)
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
(*)Aufgabe 9: Zeigen Sie
Re z =
z+z
2
und
Im z =
Aufgabe 10: Wie lautet die zu
Aufgabe 11: Bestimmen Sie
z−z
2j
1+j
1−j
konjugiert komplexe Zahl?
5
.
4−3j
Aufgabe 12: Finden Sie die Lösungen der Gleichung
(a) x2 + 2x + 2 = 0.
(b) x3 + 8 = 0.
Aufgabe 13: Mit z = 2 − j3 bestimmen Sie
(a) jz
(b) z
(c)
1
z
(d) z
150
151
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
Aufgabe 14: Drücken Sie in der Form x + jy mit reellen x und y aus:
(a)
1−j
1+j
(b)
1
5−j3
−
1
5+j3
(c) (1 − j2)2
3.3
3.3.1
Geometrische Interpretation der komplexen
Zahlen
Die Gaußsche Zahlenebene
Bei einer komplexen Zahl z = x + jy mit x, y ∈ R interpretieren wir x und y als
die Koordinaten eines Punktes P = P (x, y) der Ebene — siehe Abbildung 3.2:
Abbildung 3.2: Gaußsche Zahlenebene mit z = x + jy, |z| =
|z| cos ϕ, y = |z| sin ϕ
Der Abbildung entnehmen wir
√
x2 + y 2 , x =
152
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
1. Der Betrag |z| der komplexen Zahl z ist der durch den Satz von Pythagoras
als x2 + y 2 bestimmte Abstand von z vom Ursprung.
2. Eine komplexe Zahl z = x + jy kann auch durch den Polarwinkel ϕ, der
konventionell im Intervall [−π, π) angesiedelt wird, und den Betrag |z| eindeutig charakterisiert werden, das ist die sogenannte Polardarstellung. Der
Winkel ϕ heißt das Argument oder auch die Phase der komplexen Zahl z:
arg z := ϕ.
Mit ϕ ist auch ϕ ± n2π für n ∈ N ein Argument von z. Um Eindeutigkeit
zu erreichen definert man ϕ als Hauptwert, wenn −π ≤ ϕ < π.
(a) Umrechnung von der Polardarstellung in die kartesische Darstellung:
x = |z| cos ϕ,
y = |z| sin ϕ.
(3.22)
(b) Umrechnung kartesischer Darstellung in die Polardarstellung:
|z| =
q
x2 + y 2



arctan(y/x),
ϕ = arctan(y/x) + π


arctan(y/x) − π
x>0
x < 0, y > 0 .
x < 0, y ≤ 0
(3.23)
3. Die konjugiert komplexe Zahl z ergibt sich durch Spiegelung an der reellen
Achse.
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
3.3.2
153
Interpretation der Addition als Vektoraddition
Abbildung 3.3: z1 = 3 + j, z2 = 1 + 2j und z3 = 3 − 2j. Die Zahlen z1 + z2 sowie
z3 − z2 entstehen durch vektorielle Addition
Die Abbildung 3.3 zeigt wie die Addition als vektorielle Addition aufgefaßt wird:
• Ein Zahlenpar (x, y) charakterisert in der Ebene nicht nur den Punkt P (x, y)
sondern in erweiterter Interpretation die Translation (Verschiebung) vom
−→
Ursprung O zum Punkt P , die wir als den Vektor OP bezeichnen.
Dieser Vektor wird zunächst durch einen von O nach P weisenden Pfeil
dargestellt.
• Die Erweiterung besteht nun darin, daß bei der Translation jeder Punkt der
Ebene transformiert wird; der Bildpunkt Q′ eines Punktes Q wird ermittelt,
−→
indem der Vektor OP so parallel verschoben wird, daß sein Fußpunkt mit
Q zur Deckung kommt. Seine Spitze zeigt dann auf den Bildpunkt Q′ .
Vektoren sind daher frei parallel verschiebbar und die Vektorkomponenten
ax und ay eines Vektors ~a = (ax , ay ) werden als die Differenzen der (x, y)Koordinaten der End- und Fußpunkte einer konkreten Verschiebung, bei der
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
154
~a Fußpunkt P und Spitze Q hat aufgefaßt:
−→
~a = P Q mit P = P (x1 , y1 ), Q = Q(x2 , y2 )
−→
⇒ P Q = (x2 − x1 , y2 − y1 ) = (ax , ay )
q
Der Betrag |~a| = a2x + a2y ist die nach dem Satz des Pythagoras ermittelte
Länge des Vektorpfeiles.
• Die Addition von Vektoren wird definiert als die Hintereinanderausführung der zugehörigen Verschiebungen: Durch Parallelverschiebung finden
wir Punkte P , Q und R so, daß
−→
−→
~a = P Q und ~b = QR,
dann wird
−→ −→ −→
P Q + QR = P R,
geometrisch werden also die Vektorpfeile nach Parallelverschiebung aneinandergelegt, hier wird also der Fuß von ~b an die Spitze von ~a gelegt. Mit
P = P (x1 , y1 ), Q = Q(x2 , y2 ) und R = (x3 , y3 ) gilt
−→
P Q = (x2 − x1 , y2 − y1 )
−→
QR = (x3 − x2 , y3 − y2 )
−→
P R = (x3 − x1 , y3 − y1 ),
Nun ist
−→
P R = (x3 − x1 , y3 − y1 ) = ([x3 − x2 ] + [x2 − x1 ], [y3 − y2 ] + [y2 − y1 ]),
die Komponenten eines Summenvektors ~c := ~a + ~b entstehen also durch Addition der entsprechenden Komponenten der Summanden:
~a = (ax , ay ), ~b = (bx , by ), ~c = ~a + ~b ⇒ ~c = (ax + bx , ay + by ).
• Da die Addition komplexer Zahlen als komponentenweise Additon eingefuhrt
wurde
z1 + z2 = x1 + x2 + j(y1 + y2 )
⇔
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ),
sehen wir jetzt, daß die Addition komplexer Zahlen — wie in Abbildung 3.3
dargestellt — als vektorielle Addition aufgefaßt werden kann:
155
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
– Parallelverschieben der Pfeile,
– Addition: Fuß auf Spitze,
– Subtraktion: Spitze auf Spitze.
3.3.3
Interpretation der Multiplikation als Drehstreckung
Abbildung 3.4: Multiplikation von v = 5/4+j/2 und w = 3/2+j: vw = 11/8+2j.
Es ist α = arg v, β = arg w und γ = arg vw sowie γ = β + δ.
Abbildung 3.4 zeigt die Multiplikation zweier komplexer Zahlen v und w.
Multiplikation der Beträge: Schauen wir uns zunächst die Beträge an, so
rechnet man
|vw|2 = vwvw = vvww = |v|2 w2 ⇒ |vw| = |v| |w| .
(3.24)
Addition der Argumente: In Abbildung 3.4 sind die Dreiecke ∆(O, 1, v) und
∆(O, w, vw) ähnlich, die Seitenlängen des zweiten Dreiecks sind also ein Vielfaches
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
156
der Seitenlängen des ersten Dreiecks:
|vw|
= |w|
|v|
|w|
= |w|
|1|
|(v − 1)w|
|vw − w|
=
= |w| .
|v − 1|
|v − 1|
(3.25)
arg vw = arg v + arg w.
(3.26)
Dann müssen aber auch alle Dreieckswinkel übereinstimmen, d.h. insbesondere
ist δ = α und damit γ = α + β, d.h.:
Damit haben wir folgendes Resultat erhalten:
Komplexe Multiplikation: Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden
die Beträge multipliziert und die Argumente addiert:
v = |v| (cos α + j sin α), w = |w| (cos β + j sin β)
⇒ vw = |v| |w| (cos(α + β) + j sin(α + β)).
(3.27)
Rein Rechnerische Herleitung dieses Sachverhaltes: Mit
v = |v| cos α + j |v| sin α und w = |w| cos β + j |w| sin β
multiplizieren wir v und w aus: Es ergibt sich
vw = |v| |w| (cos α cos β − sin α sin β + j[cos α sin β + sin α cos β]).
Hier setzten wir das Additionstheorem der trigonometrischen Funktionen, nämlich
Gleichung (1.39) ein und erhalten
vw = |v| |w| (cos(α + β) + j sin(α + β)).
Das bedeutet aber auch: Man hätte das Additionstheorem für die trigonometrischen Funktionen auch als Folgerung der geometrischen Interpretation der komplexen Multiplikation erhalten können!
Beispiel: Wegen j = cos 90o + j sin 90o und |j| = 1 entspricht eine Multiplikation
mit j einer Drehung um 90o .
157
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
3.4
Folgerungen
3.4.1
Die Formel von De Moivreiv
Wir gehen aus von Gleichung (3.27) in die wir
v = cos kα + j sin kα und w = cos α + j sin α
mit k ∈ N einsetzen:
(cos kα + j sin kα)(cos α + j sin α) = cos(k + 1)α + j sin(k + 1)α
Das verwenden wir um nacheinander die Potenzen von (cos α + j sin α) bis zur
n-ten Potenz (n ∈ N) zu berechnen:
(cos α + j sin α)2 = (cos α + j sin α)(cos α + j sin α)
(cos α + j sin α)3 = (cos α + j sin α)2 (cos α + j sin α)
..
.
= cos 2α + j sin 2α
= cos 3α + j sin 3α
(cos α + j sin α)n = (cos α + j sin α)(n−1) (cos α + j sin α) = cos nα + j sin nα
So folgt die Formel von De Moivre:
(cos α + j sin α)n = cos nα + j sin nα für alle n ∈ N und α ∈ R
3.4.2
(3.28)
Die Eulersche Formel
In die Formel von De Moivre, Gleichung (3.28) setzen wir α =
zunächst
ϕ
ϕ
+ j sin
cos ϕ + j sin ϕ = cos
n
n
n
ϕ
n
und erhalten
(3.29)
Da die linke Seite nicht von n abhängt, kann man auf der rechten Seite den Grenzwert n → ∞ bilden. Beachtet man nun die für kleine ǫ gültigen Darstellungen
cos ǫ ≈ 1 und
sin ǫ ≈ ǫ,
wobei hier ǫ = ϕ/n zu setzen ist, so liegt die Gültigkeit von
cos ϕ + j sin ϕ = n→∞
lim
iv
jϕ
1+
n
Abraham de Moivre, 1667-1754
n
158
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
nahe — für einen Beweis müßte hier genauer gearbeitet werden. Die rechte Seite der obigen Gleichung erkennt man unschwer als eine der Darstellungen der
Exponentialfunktion, so daß schließlich die Eulersche Formel
cos ϕ + j sin ϕ = exp(jϕ),
(3.30)
oder auch
cos ϕ + j sin ϕ = ejϕ ,
(3.31)
wobei ew für komplexes w eben durch die Reihendarstellung oder die Grenzwertdarstellung der Exponentialfunktion definiert wird.
Folgerungen:
• Komplexkonjugation:
ejϕ = cos ϕ − j sin ϕ = e−jϕ
(3.32)
• Darstellungen der trigonometrischen Funktionen durch die Exponentialfunktion:
cos ϕ = Re e
jϕ
ejϕ + e−jϕ
=
2
und
sin ϕ = Im e
jϕ
ejϕ − e−jϕ
=
(3.33)
2j
Exponentialdarstellung komplexer Zahlen: Mit der Eulerschen Formel wird
die Polardarstellung komplexer Zahlen und ihr Multiplikationsgesetz (3.27) ganz
einfach: Seien v und w komplexe Zahlen mit arg v = ϕ und arg w = ψ. Dann gilt
v = |v| ejϕ , w = |w| ejψ
und vw = |v| |w| ej(ϕ+ψ) .
(3.34)
Das Multiplikationsgesetz komplexer Zahlen erscheint dann als Folge des Additionstheorems der Exponentialfunktion (Gleichung (2.16)).
Aufgabe 15: Wie lauten die Polardarstellungen von j, −1, 1 ± j?
Aufgabe 16: Bestimmen Sie
5
4−3j
in Polardarstellung.
Aufgabe 17: z = − 53 − 54 j liegt im dritten Quadranten. Wie lautet die Polardarstellung? Machen Sie die Probe, ob sie daraus wieder die kartesische Darstellung
gewinnen.
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
159
(*)Aufgabe 18: Reihendarstellung der triginometrischen Funktionen:
Die zur Eulerschen Formel äquivalente Beziehung
cos ϕ = Re ejϕ
und
sin ϕ = Im ejϕ
kann man verwenden, um aus der bekannten Reihendarstellung der Exponentialfunktion
∞
X
xk
e =
i=0 k!
x
die Reihendarstellungen für die trigonometrischen Funktionen zu erhalten.
(a) Geben Sie so die Näherungspolynome der Ordnung 5 bzw. 4 für Sinus bzw.
Cosinus an.
Skizzieren Sie die Polynome zusammen mit den zugehörigen Funktionen
im Intervall [−π, π).
(b) Geben Sie geschlossene Formeln der Reihendarstellungen für Sinus und
Cosinus an.
KAPITEL 3. KOMPLEXE ZAHLEN
160
Aufgabe 19: Drehstrom oder auch Dreiphasenstrom läßt sich über drei komplexe Spannungen Ui , i = 1, 2, 3 mit
U1 = U ej(2πf t)
U2 = U ej(2πf t+2π/3)
U3 = U ej(2πf t+4π/3) .
beschreiben. Dazu kommt noch der Nulleiter, der die Spannung U0 = 0 trägt.
Dabei ist f die Frequenz des Stromes — z.B. f√ = 50Hz und U die für alle
Phasen identische Scheitelspannung — z.B. U = 2 × 220V . Die physikalischen
Spannungen der Einzelnen Phasen ergeben sich als die Realteile der Ui .
(a) Für die oben angegebenen Werte von U und f und die Zeitpunkte t = 0s
und t = 1/400s stellen Sie die zu Ui (i = 0, 1, 2, 3) gehörigen Vektoren
(“Zeiger”) in der Gaußschen Zahlenebene dar.
(b) Berechnen Sie allgemein und für den oben angegeben Wert von U die
Scheitelspannungen zwischen den Phasen als
1.
2.
3.
4.
5.
6.
|U1 − U0 |
|U2 − U0 |
|U3 − U0 |
|U2 − U1 |
|U3 − U2 |
|U1 − U3 |
• Zeichnen Sie die zugehörigen Vektoren in obiges Diagramm ein.
√
• Berechnen Sie auch die Effektivwerte als Scheitelwert/ 2.
Aufgabe 20: Trigonometrische Formeln: Setzen Sie in
ej3ϕ = (ejϕ )3
die Eulersche Formel ein. Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil ergibt sich
eine Formel für cos 3ϕ bzw. sin 3ϕ, bei der im Argument der trigonometrischen
Funktionen nur noch der einfache — nicht mehr der dreifache — Winkel steht.
Vereinfachen Sie den entstehenden Ausdruck noch mittels cos2 + sin2 = 1.
Kapitel 4
Funktionsgrenzwerte und
Stetigkeit
4.1
Topologische Begriffe
Mit Intervallen bezeichnet man Strecken auf der Zahlengeraden. Seien a, b ∈ R
und a < b. Dann sind
[a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b},
(a, b] := {x ∈ R|a < x ≤ b},
[a, b) := {x ∈ R|a ≤ x < b},
(a, b) := {x ∈ R|a < x < b}.
(4.1)
Läßt man für a und b auch die Werte −∞ bzw. ∞ zu, so spricht man von uneigentlichen Intervallen.
Abbildung 4.1: Umgebungen im Reellen und im Komplexen
161
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
162
ǫ-Umgebung: Uǫ (x) := {u| |x − u| < ǫ}. Dabei ist x ∈ R (bzw. x ∈ C) und ǫ > 0.
Das ist in Abbildung 4.1 veranschaulicht.
Offene Menge: Eine offene Menge A ⊂ R (bzw. A ⊂ C) ist eine Menge mit der
Eigenschaft, daß für jedes x ∈ A auch eine ganze ǫ-Umgebung von x zu A
gehört:
x ∈ A ⇒ Es gibt ein ǫ > 0 so, daß Uǫ (x) ⊂ A.
Intervalle der Form (a, b) sind offene Mengen.
Abgeschlossene Menge: Eine Menge A ⊂ R (bzw. A ⊂ C) heißt abgeschlossen,
wenn das Komplement von A, nämlich R \ A (bzw. C \ A) abgeschlossen ist.
Intervalle der Form [a, b] sind abgeschlossene Mengen.
Das Innere ˚
I eines Intervalls I: Ist I eines der obigen Intervalle, so sei ˚
I das Intervall (a, b). Das sind alle die x ∈ I, für die noch eine ganze ǫ-Umgebung
in I liegt.
Abgeschlossenen Mengen und Folgen: Liegt eine Folge (an )n∈N in einer abgeschlossenen Menge A und konvergiert gegen den Grenzwert a, so muß a in A
liegen: Wenn nicht, läge a im Komplement von A und damit auch eine ganze Umgebung von a, die aber alle bis auf endlich viele Glieder der Folge (an ) enthalten
müßte.
4.2
Funktionsgrenzwerte
Gegegeben sei en I ⊂ R ein Intervall, a ∈ I ∪ {−∞, ∞} und eine Funktion
f : I \ {a} → R.
Auch, wenn f an der Stelle x = a erklärt ist, interessiert uns dieser Wert zunächst
nicht. Wir fragen vielmehr nach dem Verhalten der Funktionswerte von f , wenn
sich x mit x 6= a der Stelle x = a nähert:
Definition: f (x) hat für x gegen a den rechtsseitigen Grenzwert (bzw. linksseitigen Grenzwert) c, in Zeichen
lim f (x) = c bzw.
x→a+
lim f (x) = c
x→a−
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
163
wenn für jede Zahlenfolge (xn )n∈N mit
xn ∈ I, xn > a für alle n und
n→∞
lim xn = a
xn ∈ I, xn < a für alle n und
n→∞
bzw. mit
gilt:
lim xn = a
lim f (xn ) = c.
n→∞
Diese Definition gilt nicht nur für endliche Werte von a und x, sondern auch für
a, c ∈ {−∞, ∞}.
f (x) hat für x gegen a den Grenzwert c, in Zeichen
lim f (x) = c
x→a
wenn gilt
lim f (x) = lim f (x) = c.
x→a+
x→a−
Allgemeiner, weil z.B. auch im Bereich der komplexen Zahlen gültig, ist die Festlegung, daß
lim f (x) = c :⇔ n→∞
lim f (xn ) = c
x→a
für jede Folge (xn )n∈N mit n→∞
lim xn = a und xn 6= a für alle n ∈ N.
Diese Situation ist in Abbildung 4.2 dargestellt.
Abbildung 4.2: Die Funktion f hat für x → x̂ den Grenzwert y
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
164
Abbildung 4.3: limx→x̂ f (x) = y nach der “ǫ-δ-Definition”
Satz: limx→a f (x) = c gilt genau dann, wenn zu jeder vorgegebenen Uǫ (c) eine
Uδ (a) existiert, so daß f (x) ∈ Uǫ (c) für alle x ∈ Uδ (a) \ {a}.
Andernfalls gäbe es nämlich eine ǫ-Umgebung von c für die man eine Folge (xn )n∈N
konstruieren könnte, die gegen a konvergiert (limn→∞ xn = a), für die aber alle
f (xn ) außerhalb von Uǫ (c) lägen; insbesondere würde (f (xn ))n∈N nicht gegen c
konvergieren.
Die Entier-Funktion: Zu x ∈ R bezeichne floor(x) oder auch [x] die größte
ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Z.B. ist [0.5] = 0, [3.8] = 3, [−2.7] = −3.
165
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
2
y = [x]
1.5
1
Y-Achse
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
X-Achse
Abbildung 4.4: Die Entier Funktion y = floor(x)
Dann gilt für jede Zahl m ∈ Z:
lim [x] = m − 1,
x→m−
und
lim [x] = m.
x→m+
2
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
1.5
166
y = sin(1/x)
1
Y-Achse
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
X-Achse
Abbildung 4.5: y = sin(1/x) hat für x → 0 keinen Grenzwert
1.5
y = x sin(1/x)
Y-Achse
1
0.5
0
-0.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
X-Achse
Abbildung 4.6: y = x sin(1/x) hat für x → 0 den Grenzwert 0
Beispiel: Die für alle x 6= 0 erklärte Funktion f (x) = sin x1 (Abbildung 4.5) hat
für x → 0 weder einen rechtsseitigen noch einen linksseitigen Grenzwert. Dagegen
gilt für die ebenfalls für x 6= 0 erklärte Funktion g(x) = x sin x1 : limx→0 g(x) = 0
(Abbildung 4.6).
Grenzwert-Rechenregeln: Aus limx→a f (x) = c und limx→a g(x) = d mit c, d ∈
R folgt:
1. x→a
lim [f (x) ± g(x)] = c ± d.
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
167
2. x→a
lim f (x)g(x) = cd.
3. x→a
lim αf (x) = αc,
α ∈ R.
4. x→a
lim f (x)/g(x) = c/d,
falls d 6= 0.
Diese Regeln gelten auch für a = ±∞ und für die einseitigen Grenzwerte “limx→a± ”.
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
168
(*)Aufgabe 1: Die Funktion y = f (x) sie durch
√
x2 − x3
f (x) =
x 6= 0 und x ∈ (−∞, 1),
x
gegeben.
(a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion.
(b) Berechnen Sie die Grenzwerte limx→0− f (x) und limx→0+ f (x).
(c) Existiert der Grenzwert limx→0 f (x)?
4.3
Stetigkeit
Definition: Sei I ⊂ R ein Intervall. Man nennt eine Funktion f : I → R an der
Stelle x0 ∈ I stetig, wenn bei der Annäherung x → x0 die Funktionswerte f (x)
gegen f (x0 ) streben, also
f in x0 stetig :⇔ x→x
lim f (x) = f (x0 ).
0
Die Funktion f heißt auf I stetig, wenn sie in jedem Punkt x0 ∈ I stetig ist. Die
Stetigkeit von f : I → R auf I bedeutet anschaulich, daß der Graph y = f (x)
über I eine zusammenhängende Linie darstellt (ohne Lücken und Sprünge); er
kann aber durchaus Spitzen besitzen.
Die Stetigkeit einer reellen Funktion y = f (x) an der Stelle x0 bedeutet also
1. f ist an der Stelle x0 definiert: “Keine Definitionslücke”,
Gegenbeispiel: y = 1/x und x0 = 0.
2. Die rechts- und linksseitigen Grenzwerte limx→xo ± f (x) exisitieren:
Gegenbeispiel: y = sin x1 und x0 = 0.
3. lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) : Keine Sprungstelle,
x→x−
x→x+
Gegenbeispiel: y =
√
x2 −x3
x
und x0 = 0.
Beispiele:
1. f (x) = [x] ist auf allen offenen Intervallen (m, m + 1) mit m ∈ Z stetig und
hat bei x = m ∈ Z Unstetigkeitsstellen.
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
169
2. Die Funktion y = |x| ist auf R stetig.
√
3. Die Funktion y = x ist auf [0, ∞) stetig: Für x0 6= 0 folgt das aus
√
√ x − x0 |x − x0 |
|x − x0 |
=√
√ ≤ √
x + x0
x0
4. Die Funktion y = sin x ist an der Stelle x = 0 stetig, da sin x für kleine x
durch x approximiert wird und sin 0 = 0 gilt.
5. Daraus folgt mit Hilfe der Additionstheoreme die Stetigkeit von Sinus und
Cosinus.
6. Die Exponentialfunktion ist an der Stelle x = 0 stetig: exp(x) = 1 + x + · · ·
und es ist exp(0) = 1.
7. Mit Hilfe von exp(x + y) = exp(x) exp(y) folgt daraus die Stetigkeit der
Exponentialfunktion auf ganz R — sogar mit dem gleichen Argument auf
ganz C.

 sin x
x 6= 0,
jx
−jx
folgt, sin x =
ist stetig auf R, denn aus sin x = e −e
2j
1
x=0
x − x3 /6 + · · · und damit limx→0 sinx x = 1, also limx→0 f (x) = f (0).
8. f (x) =
x
Diese stückweise definierte Funktion ist bei 0 deshalb stetig, weil f (0) geeignet — nämlich als f (0) := limx→0 f (x) — festgelegt wurde!
Rechenregeln für stetige Funktionen:
1. Sind f und g auf dem Intervall I stetig, so gilt das auch für f +g, αf (α ∈ R)
und f g. Ferner ist f /g stetig in allen x ∈ I mit g(x) 6= 0; das folgt aus den
Rechenregeln für Grenzwerte.
2. Sind f : I ∈ R und g : D ∈ R stetig mit g(D) ⊂ I, dann ist auch die
zusammengesetzte Funktion h(x) := f (g(x)) auf I stetig.
Damit folgt aus der Stetigkeit von y(x) = x sofort die Stetigkeit von Polynomen
und rationalen Funktionen auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich.
Hauptsatz über stetige Funktionen: Für jede auf einem abgeschlossenen Intervall
I = [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
stetige Funktion f gilt:
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
170
Schrankensatz: f ist auf I beschränkt, d.h. es gibt eine Zahl K ∈ R derart, daß
|f (x)| ≤ K
für alle x ∈ I.
Satz vom Maximum und Minimum: Es gibt Werte x0 und x1 in [a, b] so, daß
f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) für alle x ∈ [a, b].
“Die Funktion f nimmt Minimum (f (x0 )) und Maximum (f (x1 )) an”.
Schreibweise:
f (x0 ) = min f (x) und f (x1 ) = max f (x)
x∈[a,b]
x∈[a,b]
Zwischenwertsatz: Zu jedem
c ∈ [f (a), f (b)] (falls f (a) ≤ f (b)
bzw.
c ∈ [f (b), f (a)] (falls f (b) < f (a))
existiert ein x̄ ∈ [a, b] so, daß f (x̄) = c.
“f nimmt jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an.”
Abbildung 4.7:
Der Sachverhalt ist in Figur 4.7 dargestellt.i
i
Dieser Satz läßt sich auch in den folgenden äquivalenten Formulierungen aussprechen:
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
171
• Zu jeder Zahl c mit f(x0 ) ≤ c ≤ f(x1 ) existiert mindestens ein x̄ ∈ [a, b] so, daß f(x̄) = c:
“Jeder Wert zwischen Minimum und Maximum wird angenommen”.
• (Satz von Bolzano)
f(a) · f(b) < 0 ⇒ Es existiert ein ξ ∈ (a, b) so, daß f(ξ) = 0.
In dieser Form läßt sich der Satz durch Konstruktion einer Intervallschachtelung beweisen:
Algorithmus 4 Nullstellensuche mit dem Zwischenwertsatz
Precondition: a < b, f (a) · f (b) < 0
% Bisektionsverfahren
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
α = a, β = b
k=0
Ik = [α, β]
γ = α+β
2
while f (α) · f (β) < 0 do
if f (α) · f (γ) < 0 then
β=γ
else if f (γ) · f (β) < 0 then
α=γ
end if
γ = α+β
2
k =k+1
Ik = [α, β]
end while
Enweder bricht das Verfahren ab, dann ist α oder β eine Nullstelle von f. Oder es entsteht
eine Folge von Intervallen
I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ · · ·
deren Länge sich jeweils halbiert. Die linken bzw. rechten Endpunkte dieser Intervalle
bilden dann jeweils eine Cauchy-Folge (αn )n∈N bzw. (βn )n∈N mit gleichem Grenzwert ξ
und
f(αn ) < 0 und f(βn ) > 0
für alle n ∈ N,
falls f(a) < 0 ist, ansonsten (f(a) > 0) ist
f(αn ) > 0 und f(βn ) < 0
für alle n ∈ N.
Mit ξ := limn→∞ αn folgt dann aus der Stetigkeit von f (wir schreiben den Fall f(a) < 0
auf):
0 ≤ lim f(αn ) = f(ξ) = lim f(βn ) ≤ 0,
n→∞
also f(ξ) = 0.
n→∞
172
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
4.4
Aufgaben
Aufgabe 2: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Welche der
folgenden Aussagen über eine Funktion f : (a, b) → R sind richtig, welche sind
falsch.
(a) f ist stetig, falls für jedes x̂ ∈ (a, b) der linksseitige Grenzwert lim f (x)
mit dem rechtsseitigen Grenzwert lim f (x) übereinstimmt.
x→x̂−
x→x̂+
(b) f ist stetig, falls für jedes x̂ ∈ (a, b) der Grenzwert lim f (x) existiert und
x→x̂
mit dem Funktionswert an der Stelle x̂ übereinstimmt.
(c) Falls f stetig ist, ist f auch beschränkt.
(d) Falls f stetig ist und eine Nullstelle besitzt, aber nicht die Nullfunktion ist,
dann gibt es Stellen x1 , x2 ∈ (a, b) mit f (x1 ) < 0 und f (x2 ) > 0.
(e) Falls f stetig und monoton ist, wird jeder Wert aus dem Bild von f an
genau einer Stelle angenommen.
Hinweis: Wenn Sie vermuten, dass eine Aussage falsch ist, versuchen Sie ein
explizites Beispiel dafür zu konstruieren.
Aufgabe 3: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Wie muss
jeweils der Parameter c ∈ R gewählt werden, damit die folgenden Funktionen
f : D → R stetig sind?
(a) D = [−1, 1],
(b) D = (0, 1],

 x2 +2x−3 ,
2 +x−2
f (x) =  x
c,
f (x) =

 x3 −2x2 −5x+6 ,
c,
x3 −x
x 6= 1
x=1
x 6= 1
x=1
Hinweis: Nullstellen der Nenner bestimmen, Polynomdivision.
KAPITEL 4. FUNKTIONSGRENZWERTE UND STETIGKEIT
173
Aufgabe 4: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Berechnen Sie
die folgenden Grenzwerte:
(a)
(b)
(c)
(d)
x4 − 2x3 − 7x2 + 20x − 12
lim
x→2 x4 − 6x3 + 9x2 + 4x − 12
2x − 3
lim
x→∞ x − 1
√
√ lim
x
+
1
−
x
x→∞
1
1
lim
− 2
x→0 x
x
Hinweis: (a), (b) Polynomdivision (bei (b) mit Rest), (c) dritte binomische Formel, (d) als ein Bruch schreiben.
Aufgabe 5: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Bestimmen
Sie die globalen Extrema der folgenden Funktionen.
(a) f : [−2, 2] → R mit f (x) = 1 − 2x − x2
(b) f : R → R mit f (x) = x4 − 4x3 + 8x2 − 8x + 4
Hinweis: Ű
(*)Aufgabe 6: Weisen Sie nach, dass es zu jedem Ort auf dem Äquator einen
zweiten Ort auf der Erde gibt, an dem die Temperatur dieselbe ist – mit der
möglichen Ausnahme von zwei Orten auf dem Äquator. Nehmen Sie dazu an,
dass die Temperatur stetig vom Ort abhängt.
Hinweis: Betrachten Sie nur den Äquator. Nutzen Sie aus, dass die Erde rund
ist, d. h., die Temperatur auf dem Äquator ist periodisch. Gibt es Extrema der
Temperatur?
Kapitel 5
Differentialrechnung
5.1
Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion
5.1.1
Definition der Ableitung
Bezeichnungen: Unter dem Zuwachs ∆f einer Funktion f an der Stelle x bei
Änderung der unabhängigen Variablen x um ∆x ∈ R verstehen wir
∆f = ∆f (x; ∆x) := f (x + ∆x) − f (x).
Definition: Die Funktion f sei auf dem Intervall I ⊂ R definiert und x0 ∈ I.
f heißt in x0 differenzierbar, wenn der Differenzenqotient
∆f
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
(x0 ) :=
∆x
∆x
(=
f (x) − f (x0 )
mit x := x0 + ∆x) (5.1)
x − x0
für ∆x → 0 (bzw. für x → x0 ) einen endlichen Grenzwert besitzt.
Dieser Grenzwert wird mit
df
df (x) (x0 ), f ′ (x0 ) oder auch mit
dx
dx x=x0
bezeichnet.
Ist f für alle x ∈ I differenzierbar, so ist f ′ : I → R eine auf I erklärte Funktion,
die man die Ableitung von f nennt.
174
175
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Den Übergang f → f ′ nennt man Differenzieren oder Ableiten
Beispiele:
f (x) = c = const: f ′ (x) = 0: Direkt aus der Definition.
f (x) = ax + b: f ′ (x) = a: Aus der Definition da
∆f
∆x
= a.
f (x) = xn : f ′ (x) = nxn−1 für n ∈ N; denn
n
f (x + ∆x) − f (x) X
(x + ∆x)n−j xj−1 → nxn−1
=
∆x
j=1
für ∆x → 0.
Hier wurde die weiter oben hergeleitete Formel
an − bn = (a − b)
n
X
an−j bj−1
j=1
verwendet.
f (x) = x1 : f ′ (x) =
∆f =
(−1)
:
x2
1
1
−∆x
− =
x + ∆x x
x(x + ∆x)
⇒
df
−1
(−1)
= lim
= 2 .
dx ∆x→0 x(x + ∆x)
x
f (x) =
√
1
x: f ′ (x) = √ für x > 0:
2 x
√
√
√
√ √
√
x + ∆x − x
1
( x + ∆x − x)( x + ∆x + x)
√
=√
=
√
√
∆x
∆x( x + ∆x + x)
x + ∆x + x
f (x) = exp(x): f ′ (x) = exp(x) Die Exponentialfunktion reproduziert sich also
beim Differenzieren! Wir rechnen so:
exp(x + ∆x) − exp(x)
exp(∆x) − 1
= exp(x)
∆x
∆x
1
2
1 + ∆x + 2 (∆x) + · · · − 1
1
= exp(x)
= exp(x)(1 + (∆x) + · · · )
∆x
2
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
176
(*)Aufgabe 1: Mit Hilfe des Additionstheorems für die trigonometrischen
Funktionen (siehe Gleichung 1.39, es wurde nur noch sin ±β = ± sin β berücksichtigt)
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
und den für kleine ∆x gültigen Beziehungen (die auch aus den in der Vorlesung
behandelten Reihendarstellungen für Sinus und Cosinus folgen)
cos ∆x = 1 − (∆x)2 /2 + O((∆x)3 ),
sin ∆x = ∆x + O((∆x)2 ),
wobei das Landau-Symbol O((∆x)n ) Terme beschreibt, die für ∆x ∈ Uǫ (0) kleiner
als eine Konstante mal |∆x|n sind
|O((∆x)n )| ≤ const |∆x|n
für kleine ∆x,
bestimme man die Ableitungen von
(a) y = cos x,
(b) y = sin x.
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
5.1.2
177
Geometrische Bedeutung der Ableitung
Abbildung 5.1: Sekante und Tangente: ∆y: Zuwachs der Sekante, dy: Zuwachs
der Tangente
Bezüglich kartesischer (x, y)-Koordinaten wird die Kurve y = f (x) in der Nähe
von x = x0 betrachtet: Die Sekante durch (x0 , f (x0 )) und (x, f (x)) — wobei
x = x0 + ∆x bildet den Steigungswinkel ϕ mit der x-Achse und der Tangens des
Steigungswinkels wird als Steigung bezeichnet (z.B. bedeuten 10% Steigung, daß
10
. Daher hat die Sekante die Steigung
tan ϕ = 10% = 100
∆y
∆f
=
(x0 )
∆x
∆x
Ist f in x0 differenzierbar, so gibt der Grenzwert
df ∆f
(x0 )
=
lim
dx x=x0 ∆x→0 ∆x
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
178
den Anstieg der Kurventangente in (x0 , f (x0 )) als “Grenzlage der Sekantensteigungen” an.
Dann ist die Tangente an den Graphen y = f (x) an der Stelle (x0 , f (x0 )) durch
die Gleichung y = t(x) mit
t(x) = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
(5.2)
gegeben: Sie geht durch (x0 , f (x0 )) und es ist ∆t/∆x = f ′ (x0 ).
5.1.3
Die Ableitung als beste lineare Approximation an
eine Funktion
Zu einer differenzierbaren Funktion f : I → R wird diejenige Gerade
g(x) = m(x − x0 ) + f (x0 )
durch (x0 , f (x0 )) gesucht, die f in der Nähe von x0 am besten approximiert. Neben
g(x0 ) = f (x0 ), was durch obigen Ansatz für g schon erfüllt ist, soll auch noch
lim
x→x0
f (x) − g(x)
=0
x − x0
gelten, also sogar der durch x − x0 dividierte Fehler für x → x0 gegen 0 gehen.
Substituert man hierin g(x) = m(x − x0 ) + f (x0 ), so erkennt man, daß m = f ′ (x0 )
zu wählen ist:
f (x) ≈ f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) bzw. f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )∆x (5.3)
ist nahe x0 die beste lineare Approximation an f .
Genauer gilt mit
ǫf (x; ∆x) :=
f (x + ∆x) − f (x)
− f ′ (x)
∆x
lim ǫf (x; ∆x) = 0 und f (x + ∆x) = f (x) + [f ′ (x) + ǫf (x; ∆x)]∆x.
∆x→0
Häufig schreibt man nur ǫ(∆x) und dann gilt
f (x + ∆x) = f (x) + [f ′ (x) + ǫ(∆x)]∆x
(5.4)
bzw. mit dem Zuwachs ∆f = ∆f (x; ∆x) := f (x + ∆x) − f (x):
∆f = [f ′ (x) + ǫ(∆x)]∆x
(5.5)
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
179
Differential: Den in ∆x linearen Teil des Zuwachses von f , nennt man das Differential df von f :
(5.6)
df = df (x; ∆x) := f ′ (x)∆x.
Dann gilt
(5.7)
∆f = df + ǫ(∆x)∆x.
Dieser Zusammenhang ist (mit ∆f → ∆y und df → dy) auch in der Abbildung 5.1
ersichtlich.
Wenn angezeigt werden soll, daß ∆x so klein ist, daß der Term ǫ(∆x)∆x zu
vernachlässigen ist, schreibt man
∆x = dx und ∆f ≈ df = f ′ (x) dx .
5.1.3.1
(5.8)
Folgerungen aus der linearen Approximation
Definition “lokales Extremum”:
• f hat ein lokales Minimum in x ∈ ˚
I wenn f (x + ∆x) ≤ f (x) also ∆f ≤ 0
für alle hinreichend kleinen ∆x.
• f hat ein lokales Maximum in x ∈ ˚
I wenn f (x + ∆x) ≥ f (x) also ∆f ≥ 0
für alle hinreichend kleinen ∆x.
Aus Gleichung (5.5) folgt dann sofort der
Satz: Hat f ein lokales Extremum in x ∈ ˚
I so gilt f ′ (x) = 0.
Satz: Ist f ′ (x0 ) > 0 bzw. f ′ (x0 ) < 0, so ist f in einer ǫ-Umgebung von x0 streng
monoton wachsend bzw. fallend.
5.1.4
Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Satz: Ist f an der Stelle x0 differenzierbar, so ist f an der Stelle x0 stetig, denn
lim
x→x
0
f (x) − f (x0 )
= f ′ (x0 )
x − x0
⇒ x→x
lim (f (x) − f (x0 )) = x→x
lim (x − x0 )
0
0
f (x) − f (x0 )
= 0 · f ′ (x0 ) = 0
x − x0
180
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
5.2
Differentiationsregeln mit Anwendungen
5.2.1
Differentiationsregeln
Multiplikatorregel: Ist y = f (x) und k eine Konstante, so gilt
d
dy
(ky) = k
= kf ′ (x).
dx
dx
(5.9)
Summenregel: Ist u = f (x) und v = g(y) so gilt
du dv
d
(u + v) =
+
= f ′ (x) + g ′ (x).
dx
dx dx
(5.10)
Produktregel: Ist u = f (x) und v = g(x) so gilt
dv
du
d
(uv) = u + v
= f (x)g ′ (x) + g(x)f ′ (x).
dx
dx
dx
(5.11)
Quotientenregel: Ist u = f (x) und v = g(x) so gilt
v du − u dv
d u
g(x)f ′ (x) − f (x)g ′ (x)
= dx 2 dx =
.
dx v
v
[g(x)]2
(5.12)
Kettenregel: Ist z = g(x) und y = f (z), so kann g in f eingesetzt werden und es
gilt
dy
dy dz
=
= f ′ (z)g ′ (x).
dx
dz dx
(5.13)
In Worten: “Äußere Ableitung mal innere Ableitung”
Ist insbesondere z eine lineare Funktion von x, d.h. y = f (ax + b) mit
Konstanten a und b, so gilt
dy
= af ′ (ax + b).
dx
Ableitung der Inversen: Ist y = f −1 (x) die Umkehrfunktion von f , also x =
f (y), so gilt, wenn f ′ (y) 6= 0 ist,
1
1
1
dy
=
= ′
= ′ −1 .
dx
dx/dy
f (y)
f (f (x)
181
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Begründung der Regeln: Die Multiplikatorregel und die Summenregel folgen
direkt aus den Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte angewendet auf die Differenzenquotienten. Die anderen Regeln sieht man so:
Produktregel: Mit
f (x + ∆x) = f (x) + (f ′ (x) + ǫf )∆x,
g(x + ∆x) = g(x) + (g ′ (x) + ǫg )∆x,
wobei ǫf → 0 und ǫg → 0 für ∆x → 0, folgt
f (x + ∆x)g(x + ∆x) − f (x)g(x)
∆x
′
= f (x)g (x) + g(x)f ′ (x) + f (x)ǫg + g(x)ǫf + (f ′ (x) + ǫf )(g ′ (x) + ǫg )∆x,
und ∆x → 0 liefert das Resultat.
Kettenregel: Mit z = g(x) und y = f (z) gilt
∆y = (f ′ (z) + ǫf )∆z
und ∆z = (g ′ (x) + ǫg )∆x
wobei ǫg → 0 für ∆x → 0 sowie ǫf → 0 für ∆z → 0. Das kann ineinander
eingesetzt werden:
∆y = (f ′ (z) + ǫf )(g ′ (x) + ǫg )∆x
Da nun mit ∆x → 0 auch ∆z → 0 (siehe obige Gleichung für ∆z) folgt die
Behauptung nach Division durch ∆x und ∆x → 0.
Quotientenregel: Sie ergibt sich durch Anwendung der
Produktregel auf u 1v und
darauffolgende Anwendung der Kettenregel auf v1 wobei die oben berechnete Ableitung von y = x1 verwendet wird.
Ableitung der Inversen: Ist y = f −1 (x) so setzen wir zunächst z = f (y) und
berechnen nach der Kettenregel
dz
dz dy
=
dx
dy dx
Hier ist aber z = f (y) = f (f −1 (x)) = x, also
dz
dx
= 1! Daher folgt
1
1
1
dy
=
=
= ′ .
dx
dz/dy
dx/dy
f (y)
Die Rechnung ist “erlaubt”, weil aus f ′ (y) 6= 0 durch Betrachtung des Differenzenquotienten die Differenzierbarkeit von f −1 an der Stelle x = f (y)
gezeigt werden kann.
182
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
5.2.2
Die Ableitung bekannter Funktionen
Mit den Differentiationsregeln kann die Ableitung vieler Funktionen berechnet
werden:
y = ln(x): Es ist x = ey , also
Inversen:
dx
dy
= ey und daher mit der Regel zur Ableitung der
1
1
dy
= y = .
dx
e
x
r
y = xr : Es ist y = eln(x ) = er ln(x) und mit der Kettenregel und der Konstantenregel folgt:
dr ln x
dy
= er ln(x)
= rxr−1 .
dx
dx
Damit ist die Regel für r ∈ R begründet.
Wir gewinnen hiermit insbesondere für y =
√
x
1 1
1
und y ′ = x− 2 = √ .
2
2 x
1
y = x2
y = ax : Es ist ax = ex ln(a) , also
y ′ = ln(a)ax .
y = cos x und y = sin x: Wir verwenden die Darstellungen
cos x = Re e
jx
ejx + e−jx
=
2
und
sin x = Im e
Damit folgt
y = cos x: Es ist
ejx − e−jx
ejx − e−jx
y =j
=−
= − sin x.
2
2j
′
y = sin x: Es ist
ejx + e−jx
ejx + e−jx
=
= cos x.
y =j
2j
2
′
jx
ejx − e−jx
=
2j
183
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
y = tan x: Anwendung der Qutotientenregel auf y = tan y =
sin x
cos x
dy
cos x cos x + sin x sin x
1
=
=
= 1 + tan2 x.
2
2
dx
cos x
cos x
y = arctan x: Also ist x = tan y und wir rechnen
dy
1
1
1
=
=
=
.
dx
dx/dy
1 + tan2 y
1 + x2
liefert
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
184
(*)Aufgabe 2: Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen:
(a) y = arcsin(x).
(b) y = arccos(x).
5.3
Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung
5.3.1
Anschauliche Herleitung
Definition: Seien a, b ∈ R und a 6= b. Wir sagen, daß ξ zwischen a und b liegt,
wenn entweder
* a < b und x ∈ (a, b), oder
* b < a und x ∈ (b, a).
In beiden Fällen heißt das, daß ein Θ ∈ (0, 1) existiert, so daß
ξ = a + Θ(b − a).
(5.14)
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
185
Abbildung 5.2: Zum Mittelwertsatz: An den Stellen ξ und ξ ′ stimmt die Tangentensteigung mit der Steigung der Sehne AB überein.
Wir betrachten den in Abbildung 5.2 dargestellten typischen Verlauf einer differenzierbaren Funktion im Intervall [x0 , x0 + ∆x]:
* Wir zeichnen die Sehne durch die Punkte A und B.
* Wir zeichnen eine Parallele zur Sehne, die wir so wählen, daß sie die Kurve
y = f (x) in mindestens einem Punkt ξ ∈ (x0 , x0 + ∆x) berührt — offensichtlich(?) ist das möglich.
* Dann ist nach Konstruktion die Steigungi der Tangente im Punkt (ξ, f (ξ))
gleich der Steigung der Sehne durch A(x0 , f (x0 )) und B(x0 +∆x, f (x0 +∆x)),
i
Wir erinnern uns daran (Abschnitt 5.1.2), daß die Steigung einer Gerade y = ax + b als der
Tangens des Steigungswinkels, also als ∆y/∆x definiert ist.
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
186
also gilt:
f ′ (ξ) =
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆y
=
∆x
∆x
Damit folgt der
Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Seien x0 , ∆x ∈ R, ∆x 6= 0 und die
reellwertige Funktion f sei auf dem Intervall I mit den Randpunkten x0 , x0 + ∆x
stetig und im Inneren ˚
I dieses Intervalls differenzierbar.
Dann existiert ein ξ zwischen x0 und x0 + ∆x bzw. ein Θ ∈ (0, 1) derart, daß
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆y
=
= f ′ (ξ) = f ′ (x0 + Θ∆x)
∆x
∆x
“Die Steigung der Sehne durch (x0 , f (x0 )) und (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)) stimmt
an (mindestens) einem Punkt ξ zwischen x0 und x0 + ∆x mit der Steigung der
Tangente an (ξ, f (ξ)) überein.”
Wir wollen den Satz an einem sehr einfachen Beispiel demonstrieren:
Für positives x betrachten wir die Funktion y = f (x) = x3 . Setzen wir x:=x0 +∆x,
x0 = 0, so behauptet der Mittelwertsatz die Existenz eines Θ ∈ (0, 1) so, daß
f (x)
= 3(Θx)2 .
x
Tatsächlich ist
f (x)
= x2 ,
x
also 3Θ2 = 1, also Θ =
√1 ii .
3
Ein nützliches Beispiel: Wir wissen, daß
sin 0 = 0, sin 30o = sin(π/6) = 1/2
√
sowie cos 0 = 1, cos 30o = cos(π/6) = 3/2 und sin x ≈ x “für kleine x” –
was heißt das nun genau? Dazu wenden wir mit x = x0 + ∆x und x0 = 0 den
Mittelwertsatz auf die Funktion y = sin(x) − x an, und erhalten:
∆y
sin x − x
=
= cos(Θx) − 1 0 < Θ < 1.
∆x
x
Für |x| ≤ 30o folgt dann:
sin x − x x
ii
√
√
3
2− 3
0.3
=
≤
= 15%,
= 1 − cos(Θx) ≤ 1 −
2
2
2
allgemeinen hängt Θ sowohl von x0 als auch von ∆x ab!
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
187
√
wobei die letzte Ungleichung wegen 1.7 ≤ 3 ≤ 1.8 gilt. Der relative Fehler beim
Annähern von y = sin x durch y = x ist für |x| ≤ 30o also unterhalb von 15%.
Verschwindet die Ableitung von y = f (x) im Innern des Intervalls I, so
folgt aus dem Mittelwertsatz, daß f auf I konstant ist:
f ′ ≡ 0 auf ˚
I ⇔ f ≡ const.
(5.15)
Ungleichungen aus dem Mittelwertsatz: Auf die Funktion y = ln(x) wenden
wir für x = x0 + ∆x und x0 = 1 den Mittelwertsatz an:

>
1, 0 < x < 1,
∆y
ln(x) − ln(1)
1
=
=
∆x
x−1
1 + Θ(x − 1) < 1, 1 < x < ∞
Damit folgt die Ungleichung
ln(x) ≤ x − 1 für x > 0,
in der genau für x = 1 die Gleichheit steht. Diese Ungleichung wird in der Shannonschen Informationstheorie
(http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html) verwendet.
Aufgabe 3: Beweisen Sie mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung die
Richtigkeit der folgenden Ungleichungen:
(a) ex > 1 + x für x > 0,
√
(b)
1 + x < 1 + x2 für x > 0,
(c)
√1
1+x
>1−
x
2
für x > 0.
Der Mittelwertsatz läßt eine wichtige Veralgemeinerung zu. Dazu stellen wir uns
eine weitere Funktion z = ϕ(x) vor, die im betrachteten Intervall I (Randpunkte
x0 und x0 +∆x) stetig, im Innern ˚
I differenzierbar und insbesondere auf I monoton
sei. Dann ist die Beziehung z = ϕ(x) durch x = ϕ−1 (z) umkehrbar.
Man kann daher die Größe y sowohl in Abhängigkeit von x betrachten —
y = f (x) — als auch in Abhängigkeit von z — y = f (ϕ−1 (z)) =: g(z).
188
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Auf diese Funktion y = g(z) wenden wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an, wobei wir
z0 = ϕ(x0 ),
∆z = ϕ(x0 + ∆x) − ϕ(x0 )
setzen, und die Kettenregel anwenden:
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
dy
dy/dx
f ′ (ξx )
f ′ (x0 + Θ∆x)
∆y
′
=
= g (ξz ) = (ξz ) =
(ξx ) = ′
= ′
,
∆z
ϕ(x0 + ∆x) − ϕ(x0 )
dz
dz/dx
ϕ (ξx )
ϕ (x0 + Θ∆x)
wobei ξz zwischen z0 und z0 + ∆y liegt und ξx den dazugehörigen x-Wert zwischen
x0 und x0 + ∆x, nämlich ξx = ϕ−1 (ξz ) bezeichnet.
Das ist der Mittelwertsatz von Cauchy der im folgenden Abschnitt noch einmal
formuliert und ohne Rückgriff auf die Anschauung bewiesen wird. Der einfache
Mittelwertsatz ergibt sich daraus durch die Wahl ϕ(x) = x.
q
Ein sehr einfaches Beispiel: Es sei y = f (x) = x und z = ϕ(x) = (x) —
alles für nicht negative x. Mit x = x0 + ∆x und x0 = 0 liefert der Mittelwertsatz
von Cauchy die Existenz einer Zaht Θ ∈ (0, 1) mit der Eigenschaft:
3
x3
3(Θx)2
∆y
√
√
=
=
= 6Θ5/2 x5/2 ,
∆z
x
1/(2 Θx)
Hier wird also Θ = 1/(62/5 )iii .
5.3.2
*Der Mittelwertsatz von Cauchy — formale Herleitung
Vorrausetzungen: Zwei Funktionen
ϕ : [a, b] → R und f : [a, b] → R
seien auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar und es gelte
ϕ′ (x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b).
Wir setzen nun
g(x) := f (x) − αϕ(x),
wobei wir die Konstante α so wählen, daß g(a) = g(b) wird:
α=
iii
f (b) − f (a)
.
ϕ(b) − ϕ(a)
Im allgemeinen hängt Θ sowohl von x0 als auch von ∆x ab!
(5.16)
189
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Das ist möglich weil ϕ(a) 6= ϕ(b):
• ϕ nimmt als stetige Funktion auf [a, b] Maximum und Minimum an,
• ϕ ist nicht konstant auf [a, b], sonst wäre ja ϕ′ ≡ 0,
• Wäre ϕ(a) = ϕ(b), so würde also Maximum oder Minimum in einem Punkt
aus x ∈ (a, b) und nicht in den Randpunkten a bzw. b angenommen, denn
sonst wäre Maximum gleich Miminum und damit ϕ ≡ const,
• Wäre also ϕ(a) = ϕ(b), so gäbe es ein x ∈ (a, b) für das ϕ′ (x) = 0 gelten
würde.
Die Funktion stetige g nimmt auf [a, b] Minimum und Maximum an. Ist g nicht
konstant, so hat g in mindestens einem Punkt ξ ∈ (a, b) ein lokales Extremum,
also gilt dort g ′ (ξ) = 0, das gilt aber auch, wenn g konstant ist.
Mit g ′ (ξ) = 0, dem berechneten Wert von α und Gleichung (5.16)) folgt der
Mittelwertsatz von Cauchy: Unter den angegebenen Voraussetzungen existiert ein ξ ∈ (a, b) so, daß
f (b) − f (a)
f ′ (ξ)
= ′ .
ϕ(b) − ϕ(a)
ϕ (ξ)
5.4
(5.17)
Die Regel von de l’Hospital
Ist f (x0 ) = 0 = ϕ(x0 ) und sind f und ϕ in einer Umgebung von x0 stetig und
dort für x 6= x0 differenzierbar, sowie ϕ′ (x) 6= 0 für x 6= x0 , so gilt für x 6= x0 :
f (x) − f (x0 )
f ′ (ξ)
f (x)
=
= ′ , ξ ∈ (x, x0 ) oder ξ ∈ (x0 , x).
ϕ(x)
ϕ(x) − ϕ(x0 )
ϕ (ξ)
Da mit x → x0 auch ξ → x0 geht, folgt die
Regel von de l’Hospital: Ist f (x0 ) = 0 = ϕ(x0 ) und sind f und ϕ in einer
Umgebung von x0 stetig und dort für x 6= x0 differenzierbar sowie ϕ′ (x) 6= 0 für
x 6= x0 , so gilt: Existiert der Grenzwert
lim
x→x
0
f ′ (x)
ϕ′ (x)
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
190
dann gilt:
f ′ (x)
f (x)
= x→x
lim ′ .
lim
x→x0 ϕ(x)
0 ϕ (x)
Dieser Satz findet bei sogenannten unbestimmten Formen Anwendung, da hier
zwar
lim f (x) = f (x0 ) = 0 und
x→x0
lim ϕ(x) = ϕ(x0 ) = 0,
x→x0
aber der Grenzwert des Quotienten nicht der Quotient der Grenzwerte “ 00 ” ist.
′
eine analoge Situation vor, so ist die Regel von de l’Hospital
Liegt für x → ϕf ′(x)
(x)
eben noch einmal für den Grenzwert dieses Quotienten anzuwenden.
Erweiterung: Die Regel läßt sich auch auf folgende Fälle anwenden:
1. x→x
lim f (x) = ±∞ und
0
lim ϕ(x) = ±∞,
x→x0
2. limx→x0 ± ,
3. limx→±∞ .
Beispiel: Es soll
x4 − 2x3 − 7x2 + 20x − 12
x→2 x4 − 6x3 + 9x2 + 4x − 12
lim
ermittelt werden. Hier ist
f (x) = x4 − 2x3 − 7x2 + 20x − 12 und ϕ(x) = x4 − 6x3 + 9x2 + 4x − 12,
es wird f (2) = ϕ(2) = 0 und
f ′ (x) = 4x3 − 6x2 − 14x + 20 sowie ϕ′ (x) = 4x3 − 18x2 + 18x + 4,
es wird f ′ (2) = ϕ′ (2) = 0 und
f ′′ (x) = 12x2 − 12x − 14 sowie ϕ′′ (x) = 12x2 − 36x + 18,
es wird f ′′ (2) = 10 und ϕ′′ (2) = −6 und damit
5
x4 − 2x3 − 7x2 + 20x − 12
=− .
lim 4
3
2
x→2 x − 6x + 9x + 4x − 12
3
191
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Aufgabe 4: Berechene Sie die folgenden Grenzwerte G mit der Regel von de
l’Hospital:
sin 5x
, Lösung G = 5/3,
3x
ex −1
, Lösung G = 1/2,
limx→0 sin
2x
, Lösung G = 1,
limx→1 x−1
ln x
limx→∞ lnxx , Lösung G = 0,
(a) limx→0
(b)
(c)
(d)
(e) limx→0+ x ln x, Lösung G = 0,
(f) limx→0+ xx , Lösung G = 1,
(g) limx→∞ x1/x , Lösung G = 1.
5.5
Höhere Ableitungen
Für eine Funktion y = f (x) ist die Ableitung x 7−→ f ′ (x) eine neue Funktion, die eventuell wiederum differenzierbar ist. Daher definiert man die höheren
Ableitungen einer Funktion induktiv wie folgt:
f (0) (x) := f (x) und f (i+1) (x) :=
d (i)
f (x) für i ∈ N0 .
dx
Beispiel: Für y = f (x) = sin x wird
f (0) (x) = sin x,
f (1) (x) = cos x,
f (2) (x) = − sin x,
f (3) (x) = − cos x,
f (4) (x) = sin x.
Für die n-te Ableitung einer Funktion y = f (x) schreibt man neben f (n) (x) auch
dn f
= f (n) (x).
n
dx
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
192
Abbildung 5.3: Der Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und der
Krümmung des Funktionsgraphen
Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung: Ist auf einem Intervall
f ′′ > 0 bzw. f ′′ < 0, so wächst bzw. fällt dort die Steigung f ′ streng monoton
— der Funktionsgraph y = f (x) ist also linksgekrümmt bzw rechtsgekrümmt —
siehe Abbildung 5.3. Dort ist (an der Stelle x0 ) auch zu sehen, daß bei einem
Vorzeichenwechsel von f ′′ ein sogenannter Wendepunkt vorliegt. Diesen hat man
sicher, wenn f ′′ (x0 ) = 0 und f ′′′ (x0 ) 6= 0.
Aufgabe 5: Bilden Sie von folgenden Funktionen die erste und die zweite Ableitung:
(a) y = y(t) = cos t · sin t,
(b) x = x(t) = cos2 t,
(c) v = v(s) =
s
,
s−1
4
(d) w = w(s) = s ln s,
(e) y = y(x) =
x3
.
x−1
193
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Aufgabe 6: Bilden Sie von folgenden Funktionen die ersten vier Ableituungen:
(a) y = sin x,
(b) y = ln x,
√
(c) y = x + 1,
(d) y = cos 3x.
Aufgabe 7: Bestimmen Sie den allgemeinen Ausdruck f (n) , wenn gebeben ist
(a) y = f (x) =
1+x
,
1−x
ax
(b) y = f (x) = e .
5.6
Stammfunktionen
Eine relle Funktion y = F (x) heißt auf dem Intervall I Stammfunktion zur Funktion y = f (x), wenn
dF (x)
= f (x) für alle x ∈ I.
dx
(5.18)
Aus Gleichung (5.15) folgt, daß die Stammfunktion zu einer Funktion f nur bis
auf eine Konstante bestimmt ist, für je zwei Stammfunktionen F und G von f
gilt:
(5.19)
F ′ = G′ ⇔ F − G ≡ const.
Aus Gründen, die später klar werden, nennt man die Stammfunktion y = F (x)
zu y = f (x) auch das unbestimmte Integral von y = f (x) und schreibt:
F (x) =
Z
Um also auszudrücken, da’s y = ln |x| eine Stammfunktion von y =
man auch
Z
(5.20)
f (x) dx
1
dx = ln |x| + const.
x
1
x
ist, schreibt
(5.21)
194
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
(*)Aufgabe 8: Bestimmen Sie — durch geschicktes Ausprobieren — Stammfunktionen y = F (x) zu folgenden Funktionen y = f (x):
(a) y = x1 ,
(b) y =
(c) y =
1
, für |x|
1−x
a
, wobei
b+cx
cx
< 1.
c 6= 0,
(d) y = ae , wobei c 6= 0,
(e) y = axn ,
(f) y = a cos(cx), für c 6= 0,
(g) y = a sin(cx), für c 6= 0,
(h) y =
5.7
1
.
1+x2
Die Taylorsche Formel
5.7.1
Potenzreihen
Wir haben schon einige Reihendarstellungen von Funktionen kennengelernt:
• Die Geometrische Reihe (Gleichung (1.33)):
N
∞
X
X
1
k
zk
z := lim
=
N→∞
1 − z k=0
k=0
für |z| < 1,
• Die Reihe für die Exponentialfunktion (Gleichung (2.19)):
∞
X
zn
exp(z) =
n=0 n!
für alle z ∈ C.
Wie angedeutet, gelten diese Darstellungen ohne Änderung auch für komplexes
Funktionsargument.
Wir wollen nun allgemeiner Funktionen f untersuchen, die eine Darstellung der
Art (x0 ∈ R, ρ ∈ [0, ∞]iv )
f (x) =
∞
X
k=0
iv
k
ak (x − x0 ) := lim
N→∞
N
X
k=0
ak (x − x0 )k ,
Kurzschreibweise für “ρ ∈ [0, ∞) oder ρ = ∞”
für |x − x0 | < ρ
(5.22)
195
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
zulassen. Diese Darstellung heißt Potenzreihendarstellung der Funktion y = f (x)
zum Entwicklungspunkt x0 . Der größte mögliche Wert für ρ heißt der Konvergenzradius der Reihe.
Um die Koeffizienten ak in dieser Darstellung zu ermitteln differenzieren wir die
Gleichung (5.22) wiederholt und setzen x = x0 :
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + · · · ,
f ′ (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) + 3a3 (x − x0 )2 + · · · ,
f ′′ (x) = 2a2 + 2 · 3a3 (x − x0 ) + · · · ,
f ′′′ (x) = 2 · 3a3 + · · · ,
woraus wir für x = x0
f ′′ (x0 )
f ′′′ (x0 )
f (k)
a0 = f (x0 ), a1 = f (x0 ), a2 =
, a3 =
, · · · , ak =
2
2·3
k!
′
(5.23)
erhalten, woraus die grundlegende Formel
Potenzreihendarstellung: Ist die Funktion y = f (x) durch eine Potenzreihe
mit Entwicklungspunkt x0 darstellbar, so ist diese Darstellung eindeutig durch
f (x) =
∞
X
f (k)
(x − x0 )k
k=0 k!
= f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +
f ′′′ (x0 )
f ′′ (x0 )
(x − x0 )2 +
(x − x0 )3 + · · ·
2!
3!
(5.24)
gegeben.
Diese Reihe heißt die Taylorreihe von y = f (x) zum Entwicklungspunkt x0 .
Sprechweise: Man sagt, die Funktion y = f (x) wird in eine Potenzreihe (Taylorreihe) um den Punkt x0 entwickelt.
Beispiel: Potenzreihendarstellung der Sinusfunktion: Mit y = f (x) = sin x
und x0 = 0 rechnen wir so:
f (x) = sin x, f ′ (x) = cos x, f ′′ (x) = − sin x, ; f ′′′ (x) = − cos x, f iv (x) = sin x,
also
f (0) = 0, f ′ (0) = 1, f ′′ (0) = 0, ; f ′′′ (0) = −1, f iv (0) = 0,
196
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
also
f (2k) (0) = 0 und f (2k+1) (0) = (−1)k
für k ∈ N0 .
Damit folgt für die Potenzreihendarstellungv der Sinusfunktion:
∞
X
(−1)k 2k+1
x
.
sin x =
(2k + 1)!
k=0
Weiter unten sind in Figur 5.5 die ersten Partialsummen dieser Reihe dargestellt.
Versucht man y = ln x in eine Potenzreihe um x0 = 0 zu entwickln, so stellt
man fest, daß das nicht möglich ist, da dort weder Funktionswert noch Ableitung
existieren. Statt dessen entwickelt man die Funktion y = f (x) = ln(1 + x) um
x0 = 0 und erhält mit
f (0) = 0, f ′ (0) = 1, f ′′ (0) = −1, f ′′′ (0) = 2, · · ·
die Entwicklung
1
1
1
ln(1 + x) = x − x2 + x3 − x4 + · · ·
2
3
4
Tatsächlich (siehe weiter unten) läßt y = ln(1 + x) eine Potenzreihendarstellung
für |x| < ρ = 1 zu; die Darstellung gilt sogar für x = 1 (ohne Beweis), konvergiert
an dieser Stelle aber nicht gut (siehe Abbildung 5.4)
v
Aufgrund der Eulerschen Formel und der Potenzreihendarstellung für die Exponentialfunktion wissen wir bereits, daß y = sin x durch eine Potenzreihe darstellbar ist
197
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
1
0.9
0.8
Y-Achse: ln 2 = 1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
± ···
1
n
≈ 0.693
1.1
0.7
0.6
0.5
0.4
0
5
10
15
20
25
30
X-Achse: n = 1, 2, 3, . . .
Abbildung 5.4: Reihendarstellung von ln(2) ≈ 0.693
Nachdem man sich irgendwie ln 2 ≈ 0.693 verschafft hat, berechnet man beliebige
Logarithmen y = ln z für z > 0 wie folgt
* Man sucht ein k ∈ z so, daß 2k < z < 2k+1 .
* Man formt um:
y = ln(z) = ln(2k+1 ·
z
2
) = (k + 1) ln 2 + ln(1 + x), mit x =
k+1
z − 2k+1
,
2k+1
dann ist − 12 < x ≤ 0.
* Für den oben auftretenden Term ln 1 + x setzt man eine Reihenentwicklung
ein, die bei hinreichender Genauigkeit abgebrochen wird.
Diese Rezept ist in folgendem Octave-Programm durchgeführt:
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
198
#!/ usr/ local/bin/octave -qf
N
= 4;
LOG2 = 0 . 6 9 3 ;
arg_list = argv ( ) ;
# ln (1+x) bis zur Ordnung n berechnen:
# ln (1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
function retval = log1px ( n , x )
retval = 0 ;
i = 1;
while ( i <= n )
retval = retval + ( −1)^( i+1) ∗ 1/ i ∗ x^i ;
i = i + 1;
endwhile ;
endfunction
printf ( "%12s | %12s | %12s\n" , "z" , "ln_4 (z)" , "ln(z)" ) ;
#
0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
printf ( " ------------------------------------------------------------\n"
for i = 1 : nargin
z = sscanf ( arg_list{i } , "%f" ) ;
if ( z <= 0 )
fprintf ( stderr ,
" Negative argument z =%f --- not allowed\n" , z ) ;
exit ( 1 ) ;
elseif ( z == 1 )
retval = 0 ;
else
k = 0;
if ( z > 1 )
while ( z > 2^( k+1) )
k = k + 1;
endwhile
else
while ( 2^k >= z )
k = k − 1;
endwhile
endif
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
199
44
retval = ( k + 1 ) ∗ LOG2 + log1px ( N , ( z−2^(k +1))/2^( k + 1 ) ) ;
45
endif
46
47
printf ( " %12.3f | %12.3f | %12.3f\n" , z , retval , log ( z ) ) ;
48 endfor
49
50
51
52 # EOF
Das Resultat einiger Berechnungen zeigt folgende Tabelle, wobei ln_4(z) den
berechneten Nähreungswert bezeichnet.
z |
ln_4(z) |
ln(z)
-----------------------------------------------------------0.100 |
-2.302 |
-2.303
0.300 |
-1.201 |
-1.204
0.500 |
-0.693 |
-0.693
0.700 |
-0.356 |
-0.357
0.900 |
-0.105 |
-0.105
1.000 |
0.000 |
0.000
1.200 |
0.185 |
0.182
1.500 |
0.406 |
0.405
2.000 |
0.693 |
0.693
3.000 |
1.099 |
1.099
5.000 |
1.611 |
1.609
10.000 |
2.304 |
2.303
20.000 |
2.997 |
2.996
40.000 |
3.690 |
3.689
80.000 |
4.383 |
4.382
1
Beispiel: Die Potenzreihendarstellung der Funktion y = f (x) = 1+x
2
zum Entwicklungspunkt x0 = 0 erhalten wir zum einen durch Berechnung der
Ableitungen:
2x
f ′ (x) = (−1)
,
(1 + x2 )2
(5.25)
2
8x
2
+
,
f ′′ (x) = (−1)
(1 + x2 )2 (1 + x2 )3
womit die Potenzreihendarstellung wie
1
= 1 − x2 + · · ·
2
1+x
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
200
anfängt, aber umständlich weiter zu berechnen ist. Viel einfacher ist es, in der
1
die Substitution z = −x2 vorzunehmen:
Geometrische Reihe für y = 1−z
∞
X
1
(−1)k x2k = 1 − x2 + x4 − · · · .
=
2
1+x
k=0
(5.26)
Wie die Herleitung zeigt, ist diese Reihe für |x| < 1 gültig.
Methoden der Potenzreihenentwicklung: Die Gleichungen (5.22) und (5.23)
zeigen, daß die Potenzreihe eindeutig durch die Funktion bestimmt ist, das hat
zur Folge, daß die Potenzreihe einer Funktion auf vielerlei Arten bestimmt werden
kann:
• Berechnung aller Ableitungen,
• Substitution in eine vorhandene Potenzreihe,
• Differentiation einer gegebenen Potenzreihe,
• Unbestimmte Integration einer gegebenen Potenzreihe,
• Addition und Multiplikation von Potenzreihen,
• ...
1
Die Potenzreihe von y = f (x) = arctan x: Wir beachten daß f ′ (x) = 1+x
2 ist
′
— die Potenzreihe für f haben wir also schon, die für f erhalten wir, indem wir
1
die Stammfunktion der Potenzreihe für y = 1+x
2 bilden, die an der Stelle x = 0
wie der Arcustangens den Wert 0 annimt:
∞
X
(−1)k 2k+1
x
arctan(x) =
2k
+
1
k=0
für |x| < 1.
Damit können wir leicht π berechnen: Es ist doch
√
sin π/6 = 1/2, cos π/6 = 3/2,
also
√
tan π/6 = 1/ 3 und
√
arctan(1/ 3) = π/6,
(5.27)
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
201
und damit folgt:
1
1 11 1
π
1 1 1
=√ −√
· +√
· − ···
6
3
33 3
333 5
1
1 1
1 1
1 1
= √ 1 − · + 2 · − 3 · ··· ,
3 3 3 5 3 7
3
so daß
∞
√ X
(−1)k 1
π=2 3
.
3k 2k + 1
k=0
(5.28)
Aus den ersten fünf Gliedern der Reihe erhält man
√ √
1
1
1
1
π ≈2 3 1− +
−
+
= 2 3 · 0.907 = 3.142
9 45 189 729
als Näherungswert für π.
Gültigkeit der Potenzreihendarstellung: Eine Funktion y = f (z) der komplexen Variablen z ist im Innern des größten Kreises um x0 mit Radius ρ , innerhalb dessen sie bezüglich der komplexen Variablen z differenzierbar ist, durch
eine Potenzreihe darstellbar; außerhalb dieses Kreises gilt die Darstellung nicht.
Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Potenzreihendarstellung der
(a) Exponentialfunktion y = ex ,
(b) Cosinusfunktion y = cos x
für den Entwicklungspunkt x0 = 0.
1
(*)Aufgabe 10: In welchem Kreis um 0 ist die Funktion y = 1+x
2 durch eine
Potenzreihe darstellbar? Ermitteln Sie dazu, an welchen Orten der komplexen
1
Ebene die ins Komplexe fortgesetzte Funktion y = 1+z
2 nicht differenzierbar ist.
Aufgabe 11: Enwickeln Sie
(a) f (x) = 3 + 11x − 9x2 + 2x3 nach Potenzen von (x − 2),
(b) f (x) = −1000 + 300(x + 5) − 30(x + 5)2 + (x + 5)3 nach Potenzen von x,
(c) f (x) = x4 − x2 nach Potenzen von (x + 3).
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
202
Aufgabe 12: Geben Sie für die folgenden Funktionen die ersten drei nichtverschwindenden Glieder ihrer Taylorreihe mit dem angegebenen Entwicklungspunkt x0 an:
(a) f (x) = ecos x , x0 = 0,
√
(b) f (x) = x3 , x0 = 1,
(c) f (x) = x1 , x0 = 2,
(d) f (x) = ln cos x, x0 = 0.
5.7.2
Taylorpolynome
Einen etwas anderen Zugang zu diesem Themenkreis erhält man, wenn man das
Problem betrachtet, eine weitgehend beliebige Funktion y = f (x) in der Nähe
eines Punktes x0 möglichts gut durch ein Polynom y = p(x) zu approximieren.
Die geometrische Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung legen es nahe,
von einem Polynom mit vorgegebenem Grad n ∈ N0 auszugehen und es so zu
bestimmen, daß sämtliche Ableitungen bis zur n-ten Ordnung an der Stelle x0
mit den entsprechenden Ableitungen von f übereinstimmen — Man gewinnt ein
Polynom, daß sich möglichts gut an die vorgegebene Funktion f anschiegt:
Wir starten mit dem Ansatz
p(x) := a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n ,
wobei wir die unbekannten Koeffizienten a0 , a1 , . . . an so bestimmen wollen, daß
die Gleichungen
p(x0 ) = f (x0 )
p′ (x0 ) = f ′ (x0 )
p′′ (x0 ) = f ′′ (x0 )
..
.
(5.29)
p(n) (x0 ) = f (n) (x0 )
erfüllt sind; das sind n + 1 Gleichungen für die n + 1 Unbekannten aj , j = 0 . . . n.
203
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Beachtet man nun, daß die Ableitungen von y = p(x) durch die Gleichungen
p(x) = a0
+
p′ (x) =
a1 (x − x0 )
+···
+
a1
+···
+
ak (x − x0 )k
kak (x − x0 )k−1
an (x − x0 )n
+ ···
+
+ ···
+
nan (x − x0 )n−1
+ ···
+
n!
an (x − x0 )n−k
(n − k)!
..
.
p(k) (x) =
k!ak
..
.
p(n) (x) =
n!an
gegeben sind, so kann man zunächst
ak =
1 (k)
p (x0 ) für k = 0 . . . n
k!
feststellen — eine Formel, die die Koeffizienten eines Polynoms mit seinen Ableitungen an der Stelle x0 verknüpft. Dann aber folgt aus der Gleichung (5.29), daß
die Koeffizienten des Polynoms durch
ak =
1 (k)
f (x0 ) für k = 0 . . . n
k!
(5.30)
gegeben sind. Damit wissen wir, wie zu einer gegebenen Funktion f das Taylorpolynom der Ordnung n zum Entwicklungspunkt x0 , das dadurch bestimmt ist, daß
Funktion und Polynom an der Stelle x0 in allen Ableitungen bis zur Ordnung n
übereinstimmen, zu berechnen ist — wir nennen dieses Polynom y = Tf,x0 ,n (x):
Tf,x0 ,n (x) :=
n
X
1 (k)
f (x0 )(x − x0 )k
k=0 k!
(5.31)
Die so bestimmten Taylorpolynome sind also für Funktionen mit einer Potenzreihendarstellung nach Gleichung (5.24) gerade die Teilsummen der Potenzreihe; daher vereinbaren wir die folgende — nicht allgemein übliche — vereinfachte
Schreibweise:
∞
. X 1 (k)
f (x) =
f (x0 )(x − x0 )k ,
k!
k=0
(5.32)
soll bedeuten, daß für jedes n ∈ N0 das Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x0
durch die Gleichung (5.31) gegeben ist.
204
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
y = f (x) = sin(x)
y = Tf,0,1 (x)
y = Tf,0,3 (x)
y = Tf,0,5 (x)
1.5
1
Y-Achse
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
X-Achse
Abbildung 5.5: Die ersten Taylorpolynome des Sinus
In Figur 5.5 sind die ersten Taylorpolynome des Sinus zu sehen.
√
Beispiel: Die Funktion y = f (x) = x, Taylorpolynome für x0 = 1: Wir
betrachten allgemeiner die Funktion y = xα für relles α. Zunächst berechnen wir
der Reihe nach die Ableitungen an der Stelle x = 1:
f (x) = xα ,
f ′ (x) = αxα−1 ,
f ′′ (x) = α(α − 1)xα−2 ,
..
.
f (1) = 1,
f ′ (1) = α,
f ′′ (1) = α(α − 1),
f (k) (x) = α(α − 1) · · · (α − k + 1)xα−k , f (k) (1) = α(α − 1) · · · (α − k + 1),
und mit dem auf reellen “Zähler” erweiterten Binomialkoeffizienten
!
α
α · (α − 1) · · · (α − (k − 1))
=
k
1 · 2···k
(5.33)
205
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
erählt man für die Taylorkoeffizienten ak =
1 (k)
f (x0 ):
k!
!
α
ak =
,
k
und damit für die Taylorpolynome von y = xα zum Entwicklungspunkt x0 = 1:
!
∞
. X α
(x − 1)k .
x =
k
k=0
α
(5.34)
q
Speziell für α = 1/2, also y = (x) wollen wir die Taylorpolynome der Ordnungen
n = 1, n = 2, n = 3 und n = 4 zum Entwicklungspunkt x0 = 1 angeben:
1
Tf,1,1 (x) = 1 + (x − 1)
2
1
1
Tf,1,2 (x) = 1 + (x − 1) − (x − 1)2
2
8
(5.35)
1
1
1
2
3
Tf,1,3 (x) = 1 + (x − 1) − (x − 1) + (x − 1)
2
8
16
1
1
5
1
Tf,1,4 (x) = 1 + (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 −
(x − 1)4
2
8
16
128
2
√
y= x
y = Tf,1,1 (x)
y = Tf,1,4 (x)
y = Tf,1,20 (x)
Y-Achse
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
X-Achse
Abbildung 5.6: Einige Taylorpolynome zu y =
√
x
3
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
206
In Abbildung 5.6 sind einige dieser Taylorpolynome und ein Taylorpolynom sehr
hoher (n = 20) Ordnung zu sehen; die Abbildung illustriert:
√
• Für x ∈ (0, 2) also für |x − x0 | < 1 läßt sich y = x beliebig genau durch
die Taylorpolynome annähern, wobei die Näherung mit höherem Grad des
Polynoms besser wird.
• Die Näherung wird umso besser, je näher x bei x0 liegt.
• Für |x − x0 | > 1 weicht das Taylorpolynom auch bei sehr hoher Ordnung
stark von der Funktion ab.
Diese Beobachtungen erweisen sich bei vielen Funktionen als typisch für die Approximation durch Taylorpolynome: Es existiert ein ρ ∈ (0, ∞] (auch ρ = ∞ zugelassen!) so, daß für alle Werte x, die |x − x0 | < ρ erfüllen, die Funktion y = f (x)
durch die Taylorpolynome mit wachsendem n immer besser approximiert wird.
Die obige Zeichnung wurde mit folgendem Octave-Programm erstellt:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
%%
% Taylorpolynome der Wurzelfunktion plotten
%%
% x- Werte definieren (Das ist ein Vektor!):
x = (0.0: 0.005: 3.0);
% Potenzen
%
% Octave(Matlab) rechnet "am liebsten" mit
% Vektoren bzw. Matrizen.
% ’.<operator >’ = Komponentenweise
% Anwendung eines Operators
%
F = sqrt ( x ) ;
T1 = 1 .+ 0 . 5 ∗ ( x .− 1 ) ;
T2 = T1 .− 1 . 0 / 8 . 0 ∗ ( x . − 1 ) . ^ 2 ;
T3 = T2 .+ 1 . 0 / 1 6 . 0 ∗ ( x . − 1 ) . ^ 3 ;
T4 = T3 .− 5 . 0 / 1 2 8 . 0 ∗ ( x . − 1 ) . ^ 4 ;
function ret = choose_1_2 ( n )
if ( n <= 0 )
ret = 1 ;
elseif ( n <= 1 )
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
207
ret = 0 . 5 ;
else
ret= (0.5 − n+1)∗ choose_1_2 ( n−1)/n ;
endif
endfunction
M =20;
clear T20 ;
T20 = zeros ( 1 , length ( x ) ) ;
for l = 0 : M
T20 = T20 .+ choose_1_2 ( l ) ∗ ( x . − 1 ) .^ l ;
endfor
%
% Plot - Kommando: X, Y, [<Format >] {, X, Y, [<FORMAT >]}
%
%plot (x, T1 , ’+r’, x, T2 , ’*g’, x, T3 , ’ob ’, x, T4 , ’xm ’);
%plot (x, F, x, T1 , x, T2 , x, T3 , x, T4 );
%plot (x, F, x, T1 , x, T4);
plot ( x , F , x , T1 , x , T4 , x , T20 ) ;
%
% Zusatzinformationen zum Plot:
%
% Zu jedem Y, Y, [<FORMAT >]-Argument gehoert ein Legendenstring
% legend(’$y = (1/2)^x$ ’, ’$y = 2^x$ ’, ’’, ’$y = \log_ {1/2}(x)$’,
%
’$y = \log_2(x)$’, ’location ’, ’outside ’);
% legend(’$y = \sqrt{x}$’,
%
’$y = T_{f ,1 ,1}(x)$’,
%
’$y = T_{f ,1 ,2}(x)$’,
%
’$y = T_{f ,1 ,3}(x)$’,
%
’$y = T_{f ,1 ,4}(x)$ ’);
legend ( ’$y = \sqrt{x}$’ ,
’$y = T_{f ,1 ,1}(x)$’ ,
’$y = T_{f ,1 ,4}(x)$’ ,
’$y = T_{f ,1 ,20}(x)$’
);
% legend(’hide ’);
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
208
legend ( ’boxon’ ) ;
% x-y- Achsenabschnitte spezifizieren
% Ascpect - Ratio: Quadratisch
axis ( [ 0 . 0 , 3 . 0 , 0 . 0 , 2 . 0 ] , ’square’ ) ;
% x-y-Achsen benennen
xlabel ( ’X- Achse’ ) ;
ylabel ( ’Y- Achse’ ) ;
% Kein Titel , wird ueber die Bildunterschrift gemacht
% title(’ Taylorpolynome der Wurzelfunktion ’);
% Koordinatengitter
grid on
print ( ’taylor -sqrt.tex’ , ’-depslatexstandalone’ , ’-mono ’ ,
’-F:8’ ) ;
% Falls wir das File direkt uebergeben (octave taylor -sqrt.m,
% matlab -r taylor -sqrt) muessen wir bei Octave anhalten um
% etwas zu sehen:
% pause
%%
% EOF vi:ts =2:sw =2: expandtab:nu
%%
Um obiges Resultat zur Berechnung der Wurzel einer positiven Zahl w zu verwenden, gehen wir so vor (Beispiel w = 97):
1. Zunächst wird w gemäß w = k 2 + α mit k ∈ N0 und |α| < k 2 zerlegt: Wir
wählen 97 = 92 + 16, denn 92 ≤ 97 < 102 .
q
√
2. Dann ist w = k 1 + α/k 2 . Hier setzen wir obiges Taylorpolynom ein und
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
209
erhalten:
√
1
w = k[1 + α/k 2 ]
2
oder auch
√
1
1
w = k[1 + α/k 2 − (α/k 2 )2 ]
2
8
Hier folgt:
√
1
97 = 9[1 + 16/81] = 9.889
2
oder auch
√
1
1
97 = 9[1 + 16/8 − (16/81)2 ] = 9.845
2
8
√
Der auf drei Stellen gerundete exakte Wert beträgt 97 = 9.849: Mit dem Taylorpolynom erster Ordnung sind wir auf eine Dezimalstelle genau, mit dem Polynom
zweiter Ordnung auf zwei Dezimalstellen.
Die Binomialreihe: Wir suchen die Taylorpolynome der Funktion y = f (u) =
(1 + u)α für den Entwicklungspunkt u0 = 0, die wir aus der Entwicklung (5.34)
durch die Substitution x = (1 + u)α erhalten:
Tf,0,n (u) =
n
X
k=0
!
α k
u .
k
(5.36)
Setzen wir hier α = −1 so folgen
*
∞
1
. X
(−1)k xk , und daraus mit x → −x:
=
1 + x k=0
∞
1
. X k
*
x , das sind die Teilsummen der oben behandelten Geometri=
1 − x k=0
schen Reihe,
Aufgabe 13: Ermitteln Sie die Reihenentwicklung von y = ln(1 − x) um x0 = 0
1
durch Auffinden einer Stammaus der bekannten Reihenentwicklung von y = 1−x
funktion.
210
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
5.7.3
Herleitung der Taylorschen Formel
Es sei y = p(x) ein Polynom n-ten Grades, bei dem alle Ableitungen an der Stelle
x0 bis zur Ordnung n mit den Ableitungen von f übereinstimmen. Dann gilt für
die Funktion r(x) := f (x) − p(x):
r(0) (x0 ) = r(1) (x0 ) = · · · r(n) (x0 ) = 0,
und r(n+1) (x) = f (n+1) (x),
wobei die letzte Gleichung daraus folgt, daß der Grad von p gleich n ist, und daher
p(n+1) ≡ 0.
Sei darüberhinaus
ϕ(x) := (x − x0 )n+1 ,
dann gilt für ϕ:
ϕ(0) (x0 ) = ϕ(1) (x0 ) = · · · ϕ(n) (x0 ) = 0,
und ϕ(n+1) (x) = (n + 1)!.
Es wird mit ∆x := x − x0
r(x0 + ∆x)
r(x0 + ∆x) − r(x0 )
r(x)
=
=
,
n+1
n+1
(x − x0 )
(∆x)
ϕ(x0 + ∆x) − ϕ(x0 )
und dieser Ausdruck fordert zur Anwendung des Mittelwertsatzes von Cauchy
auf:
r(x)
r(x0 + ∆x) − r(x0 )
=
(x − x0 )n+1
ϕ(x0 + ∆x) − ϕ(x0 )
r′ (x0 + θ1 ∆x) − r′ (x0 )
r′ (x0 + θ1 ∆x)
= ′
= ′
ϕ (x0 + θ1 ∆x)
ϕ (x0 + θ1 ∆x) − ϕ′ (x0 )
r′′ (x0 + θ2 θ1 ∆x) − r′′ (x0 )
r′′ (x0 + θ2 θ1 ∆x)
= ′′
= ′′
ϕ (x0 + θ2 θ1 ∆x)
ϕ (x0 + θ2 θ1 ∆x) − ϕ′′ (x0 )
..
.
f (n+1) (x0 + Θ∆x)
r(n+1) (x0 + θn+1 · · · θ2 θ1 ∆x)
=
,
=
(n + 1)!
(n + 1)!
wobei θi ∈ (0, 1) für i ∈ {1, . . . , n + 1} und Θ :=
f (n+1) (x0 + Θ∆x)
(∆x)n+1
(n + 1)!
bzw. mit ∆x = x − x0
Qn+1
i=0
θi ∈ (0, 1). Also ist
r(x0 + ∆x) =
r(x) =
f (n+1) (x0 + Θ(x − x0 ))
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
211
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
r(x) ist aber gerade die Differenz zwischen der Funktion f (x) und deren Taylorpolynom vom Grad n, nämlich Tf,x0 ,n (x) (siehe Gleichung (5.31)) deshalb folgt
die Taylorsche Formel:
n
X
1 (k)
f (n+1) (x0 + Θ(x − x0 ))
k
f (x) =
f (x0 )(x − x0 ) +
(x − x0 )n+1 (5.37)
(n + 1)!
k=0 k!
Dabei heißt der hier auftretende Term
f (n+1) (x0 + Θ(x − x0 ))
(x − x0 )n+1
Rn+1 (x) :=
(n + 1)!
(5.38)
das Lagrangesche Restglied. Ist f (n+1) in einer Umgebung von x0 beschränkt (also
etwa stetig), so gilt mit dem oben eingeführten Landau Symbol Rn+1 (x) = O((x −
x0 )n+1 ), und die Taylorsche Formel kann auch als
f (x) =
n
X
1 (k)
f (x0 )(x − x0 )k + O((x − x0 )n+1 )
k!
k=0
(5.39)
geschrieben werden.
5.7.3.1
Anwendung der Taylorschen Formel
Abschätzung des Fehlers bei der obigen angenäherten Berechnung von
π: Wir hatten oben (nach Gleichung (5.28)) für π ≈ 3.142 erhalten. Wie genau ist
dieser Wert? Dazu betrachten wir das k = 5-Glied in der Taylorentwicklung des
Arcustangens nach Gleichung (5.27), das uns das Restglied 11-ter Ordnung als
R11 (x) = r11 (Θx)x11
mit r11 (u) :=
1
arctan(11) (u),
11!
liefert und z.B. mit Hilfe eines Computer Algebra Systems berechnet man
r11 (u) = 1/11 ∗ (11u10 − 165u8 + 462u6 − 330u4 + 55u2 − 1)/(u2 + 1)11 .
Dann wird also
4
X
(−1)k 2k+1
arctan(x) =
x
+ R11 (x)
2k
+
1
k=0
√
und wegen π = 6 arctan(1/ 3) folgt für den Fehler δ der bei der angenäherten
Berechnung von π gemacht wurde:
δ = 6 · R11 (x).
212
0.1
y = r11 (u) =
1
11!
arctan(11) (u)
0.05
0
Y-Achse: r11 (u) =
1
11!
·
11u10 −165u8 +462u6 −330u4 +55u2 −1
(u2 +1)11
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
-0.05
-0.1
-1
-0.5
0
0.5
1
X-Achse: u
Abbildung 5.7: Der Restgliedkoeffizient 11-ter Ordung für den Arcustangens bei
x0 = 0 im Intervall [−1, 1]
213
0.1
y = r11 (u) =
1
11!
arctan(11) (u)
0.05
0
Y-Achse: r11 (u) =
1
11!
·
11u10 −165u8 +462u6 −330u4 +55u2 −1
(u2 +1)11
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
-0.05
-0.1
-10
-5
0
5
10
X-Achse: u
Abbildung 5.8: Der Restgliedkoeffizient 11-ter Ordung für den Arcustangens bei
x0 = 0 im Intervall [−10, 10]
Die Abbildung 5.7 zeigt, daß im betrachteten Bereich |r11 (u)| ≤ |r11 (0)| gilt, so
daß wir zum Zwecke der Fehlerabschätzung mit der vereinfachenden Faustformel
Restglied Rn+1 ≈ Nächstes Glied der Taylorentwicklung
weiterrechnen “dürfen”:
−1 11
x ,
R11 (x) =
11
womit sich
max√ |R11 (x)| =
x∈[0,1/ 3]
1
1 1
√
√
=
11( 3)11
3 2673
ergibt, und es folgt
π = 3.142 + δ,
√
2 3
2
wobei |δ| ≤
<
,
2673
1000
f (n+1) (x0 )
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
214
also
π = 3.142 ± 0.002.
Kriterien für Extremwerte von Funktionen: Wir schreiben
1
∆f := f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′ (x0 )∆x + f ′′ (x0 )(∆x)2 + O((∆x)3 ) (5.40)
2
und erkennen daß
* f extremal bei x0 ⇒ f ′ (x0 ) = 0,
* f ′ (x0 ) = 0, f ′′ (x0 ) > 0 ⇒ f (x0 ) minimal,
* f ′ (x0 ) = 0, f ′′ (x0 ) < 0 ⇒ f (x0 ) maximal.
Offensichtlich läßt sich dieses Verfahren auch auf andere Fälle — z.B. auf
f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = f ′′′ (x0 ) = 0 und f iv (x0 ) 6= 0
erweitern
Die Formel von de l’Hospital gewinnen wir wieder aus
f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + O((x − x0 )2 )
f (x)
=
.
g(x)
g(x0 ) + g ′ (x0 )(x − x0 ) + O((x − x0 )2 )
Aufgabe 14: Entwickeln Sie mit Hilfe der Taylor-Formel
(a) f (x) = ex nach Potenzen von (x + 1) bis zum Glied mit (x + 1)3 ,
(b) f (x) = ln x nach Potenzen von x − 1 bis zum Glied mit (x − 1)2 ,
und geben Sie das Lagrangesche Restglied an.
Aufgabe 15: Zeigen Sie, daß sin(x0 + h) von sin x0 + h cos x0 um nicht mehr als
1 2
h abweicht.
2
Aufgabe 16: Schätzen Sie den Fehler der Formel
e≈2+
ab.
1
1
1
+ +
2! 3! 4!
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
215
Aufgabe 17: Zeigen Sie, daß die Kettenlinie
y = a · cosh
x
a
für |x| ≤ a näherungsweise durch die Parabel
x2
y =a+
2a
ersetzt werden kannvi . Schätzen Sie den Fehler ab.
Aufgabe 18: Berechnen Sie ln 1.5 nach der Näherungsformel
ln(1 + x) = x −
x2 x3 x4
+
−
2
3
4
und schätzen Sie den Fehler ab.
Aufgabe 19: Berechnen Sie den Grenzwert
sin x − arctan x
.
x→0 x2 · ln(1 + x)
lim
(a) Mit Hilfe der Regel von de l’Hospital.
(b) Mit Hilfe der Taylorschen Formel für die Funktionen y = sin x, y = arctan x
und y = ln(1 + x) am Entwicklungspunkt x0 = 0; drücken Sie die Restglieder jeweils mit dem Landau-Symbol aus.
5.8
Aufgaben
vi
cosh x :=
ex + e−x
2
und
sinh x :=
ex − e−x
2
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
216
Aufgabe 20: Berechnen Sie aus der gegebenen Definition der Ableitung die Ableitung f ′ wobei f :
(a) Eine Konstante K,
(b) x,
(c) x2 − 1,
(d) x3 ,
√
x,
(e)
(f)
1
1+x
Aufgabe 21: Wir befassen uns mit der Funktion y = f (x) = 2x2 − 5x − 12.
Ermitteln Sie
(a) Die Ableitung von y = f (x) aus der Definition der Ableitung.
(b) Die Änderungsrate von y = f (x) an der Stelle x = 1.
(c) Die Punkte, an denen die Linie durch (1, −15) mit der Steigung m den
Graphen von f schneidet.
(d) Den Wert von m, bei dem die in (5.21.c) gefundenen Punkte zusammenfallen.
(e) Die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (1, −15).
Aufgabe 22: Wir befassen uns mit der Funktion y = f (x) = 2x3 − 3x2 + x + 3.
Ermitteln Sie
(a) Die Ableitung von y = f (x) aus der Definition der Ableitung.
(b) Die Änderungsrate von y = f (x) an der Stelle x = 1.
(c) Die Punkte, an denen die Linie durch (1, 3) mit der Steigung m den Graphen von f schneidet.
(d) Den Wert von m, bei dem die in (5.22.c) gefundenen Punkte zusammenfallen.
(e) Die Gleichung der Tangenten an den Graphen von f für x = 1 und x = 14 .
217
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Aufgabe 23: Zeigen Sie, daß für f (x) = ax3 + bx2 + cx + d gilt:
f (x + ∆x) = ax3 + bx2 + cx + d
+(3ax2 + 2bx + c)∆x
+(3ax + b)(∆x)2
+a(∆x)3 .
Leiten Sie daraus die Formel für f ′ (x) ab.
Aufgabe 24: Finden Sie die Ableitungen der Funktionen
(a) y = (3x3 − 2x2 + 1)5
Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariable z = 3x3 − 2x2 + 1 ein.
(b) y =
1
(5x2 −2)7
Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariable z = 5x2 − 2 ein.
√
(c) y = (x2 + 1)3 x − 1
√
Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariablen u = (x2 + 1)3 und v = x − 1 ein.
(d) y =
√
2x+1
(x2 +1)3
Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariablen u =
√
2x + 1 und v = (x2 + 1)3 ein.
Aufgabe 25: Aus Blech einer vorgegebenen Fläche A soll ein Kreiszylinder mit
maximalem Volumen hergestellt werden. Wie sind der Radius R und die Länge L
des Zylinders zu wählen?
Aufgabe 26: Aus drei Brettern der Breite a soll eine symmetrische Rinne mit
maximalem Querschnitt gelegt werden:
b
a
b
___ ________ ___
\ .
. /
a \ .
. / a
\.________./
a
Wie ist b zu wählen?
218
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Aufgabe 27: Finden Sie die Ableitung der Funktion y =
Sie die Funktion und ihre Ableitung für 0 ≤ x ≤ 2π.
q
1 + sin(x) Zeichnen
Aufgabe 28: Differenzieren Sie die Funktionen
(a) y = sin(3x − 2)
(b) y = cos4 (x)
(c) y = cos2 (3x)
(d) y = sin(2x) cos(3x)
(e) y = x sin(x)
(f) y =
q
2 + cos(2x)
(g) y = a cos(x + θ)
(h) y = tan(4x)
Aufgabe 29: Differenzieren Sie die Funktionen
(a) y = arcsin(x). Ergebniss: y ′ =
1
cos(y)
=√
1
,
1−sin2 (y)
also y =
√ 1
.
1−x2
(b) y = arccos(x). Hinweis: Verfahren Sie so wie in Aufgabe 5.29.a.
(c) y = arctan(x)
Aufgabe 30: Durch Erwärmen vergrößert sich der Radius einer Kugel von
r1 = 2.000cm auf r2 = 2.034cm. Wie groß ist die relative vii Zunahme des Kugelvolumens (V = 43 πr3 )? Verwenden Sie zur Berechnung das Differential der
Funktion r 7−→ V (r).
Aufgabe 31: Wie lautet für y = f (x) = x3 auf Grund der Gleichung ∆y =
f ′ (x0 )∆x + R das Restglied R.
vii
Unter der relativen Änderung einer Größe U versteht man die Änderung (den Zuwachs) der
Größe dividiert durch die Größe selbst, also
∆U
.
U
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
219
Aufgabe 32: Man berechne (Taschenrechner) für die Funktion y = sin(x):
∆y := y(x + ∆x) − y(x) und dy = y ′ (x)∆x an der Stelle x = 2 (Bogenmaß!)
jeweils für
(a) ∆x = 0.1
(b) ∆x = 0.01
Aufgabe 33: Wie groß ist in linearer Approximation die prozentuale Änderung
des Kugelvolumens, wenn sich der Radius um 2% vergrößert?
Aufgabe 34: Für das in einem Rohr vom Radius r pro Zeit transportierte Flüssigkeitsvolumen gilt bei laminarer Strömung
π r4 ∆p
.
V =
8 η l
Dabei ist ∆p die Druckdifferenz an den Enden, l die Rohrlänge und η die Zähigkeit
der Flüssigkeit.
(a) Um wieviel Prozent muß man r ändern um V um 10% zu steigern?
(b) Durch welche prozentuale Änderung von ∆p läßt sich dies erst erreichen?
Aufgabe 35: Berechnen Sie sin(25o ) und sin(35o ) mit Hilfe der Linearisierung
um α0 = 30o = π/6
sin α ≈ sin α0 + d sin(α0 ; ∆α)
= sin α0 + sin′ (α0 )(α − α0 )
Verwenden Sie die exakten Werte von sin(π/6) und cos(π/6). Vergleichen Sie die
aus dieser Linearisierung gewonnenen Werte für sin(25o ) und sin(35o ) mit den per
Taschenrechner gewonnenen Werten (3 Dezimalstellen).
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
220
Aufgabe 36: Berechnen Sie zu y = ln(1+x) das Taylorpolynom zweiter Ordung
um den Entwicklungspunkt x = 0. Verwenden Sie dieses Polynom zur Berechnung
von
(a) ln(1)
(b) ln(1/2)
(c) ln(3/2)
(d) ln(3/4)
(e) ln(5/4)
Vergleichen Sie mit den per Taschenrechner ermittelten Werten.
Aufgabe 37: Ermitteln Sie die Taylorreihen folgender Funktionen
(a) y = exp(x),
(b) y = cos(x),
(c) y = ln(1 + x)
jeweils um den Entwicklungspunkt x0 = 0.
Kapitel 6
Integralrechnung
6.1
Bespiele für das Auftreten von Integralen
6.1.1
Bewegung im Kraftfeld (eindimensional)
Wirkt auf einen Körper die konstante Kraft F und wird der Körper in Richtung
von F um die gerichtetei Strecke l verschoben, so verrichtet die Kraft die Arbeit
W =F ·l
Häufig ist die Kraft nicht mehr konstant, sondern hängt von der durch s bezeicheten Position des Körpers auf einer Geraden ab — also F = F (s) — das ist etwa
bei der radialen Bewegung einer Probeladung q im Feld einer Ladung Q gegeben:
Die Kraft des von einer Ladung Q erzeugten elektrischen Feldes auf eine
Probeladung q beträgt
F (s) =
qQ 1
,
4πǫ s2
wobei s den Abstrand zwischen Q und q bezeichnet und die Kraft in radialer
Richtung wirkt.
i
l wird also positiv bzw. negativ gezählt, je nachdem ob der Körper in oder gegen die Richtung
von F bewegt wird
221
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
222
Abbildung 6.1: Bewegung im Feld einer Punktladung
Das ist in Abbildung 6.1 zu sehen. Wir wollen z.B. die Arbeit W berechnen,
die das elektrische Feld an der Punktladung leistet, wenn diese von P1 nach
P2 — also entlang der Feldlinien — verschoben wird.
In diesem Fall geht man zur Berechnung der Arbeit bei der Verschiebung des
Körpers von der Position sα nach sω = sα + l so vor, daß die gesamte Strecke in
kleine Stücke unterteilt wird, auf denen
1. Die Kraft so gut wie konstant ist.
Auf jedem dieser Stücke kann man dann wie im einfachen Fall rechnen! Um das
zu erreichen, teilen wir das Intervall [sα, sω ] in N Teile
sα = s0 < s1 < s2 < · · · < sN = sω ,
bzw — falls sα > sω — das Intervall [sω , sα ] in n Teile ein:
sα = s0 > s1 > s2 > · · · > sN = sω ,
wobei solche Zerlegungen Z so zu verstehen sind, daß mit N → ∞ auch der
maximale Abstand benachbarter Streckenpunkte
∆si := si+1 − si
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
223
gegen Null geht: Das wollen wir mit Z → ∞ bezeichnen:
Z → ∞ :⇔ N → ∞ und
max |∆si | → 0.
i
Außerdem wählen wir auf jedem Teilintervall [si , si+1 ] bzw. [si+1 , si ] noch einen
beliebigen Zwischenwert ξi zwischen si und si+1 — also ξ = si + θi ∆si mit θi ∈
[0, 1] ausii .
Der Beitrag eines Stückes zur gesamten Arbeit ist approximativ durch
∆Wi ≈ F (ξi ) · ∆si
Durch Aufsummieren aller dieser Beiträge erhält man die gesamte geleistete Arbeit approximativ zu
W =
N−1
X
i=0
∆Wi ≈
N−1
X
i=0
F (ξi ) · ∆si
Abschließend lassen wir die Zerlegung gegen unendlich gehen und schreiben dann
W =
Z
sω
sα
F (s) ds := lim
Z →∞
N−1
X
i=0
F (ξi ) · ∆si ,
(6.1)
falls dieser Grenzwert unabhängig von der gewählten Zerlegung und der Auswahl
der Zwischenwerte existiert und jedesmal den gleichen Wert hat.
Im Fall der Bewegung im Felde einer Punktladung ergäbe sich
W =
wobei sα =
6.1.2
Z
sω
sα
qQ 1
ds,
4πǫ s2
OP1 und sω =
OP2 .
Weg-Zeitgesetze
Ein Körper bewegt sich längs einer Geraden mit der zeitabhängigen Geschwindigkeit t 7−→ v(t) Er startet zur Zeit tα . Welche Strecke hat er zur späteren Zeit tω
zurückgelegt?
ii
θ kann also auch die Werte 0 und 1 annehmen, da ξ auch in einem Randpunkt des jeweiligen
Teilintervalls liegen darf
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
224
Wieder unterteilen wir das Zeitintervall [tα , tω ] in N Teile ein
tα = t0 < t1 < t2 < · · · < tN = tω ,
wobei in jedem Teilintervall [ti , ti+1 ] der Länge ∆ti die Geschwindigkeit nahezu
konstant ist und deshalb die zurückgelegte Strecke ∆Si approximativ durch
∆Si ≈ v(ξ) · ∆ti
gegeben ist, wobei ξ ∈ [ti , ti+1 ] wieder einen Zwischenwert bezeichnet.
Die Gesamtstrecke ergibt sich zu
S=
N−1
X
i=0
∆Si ≈
N−1
X
i=0
v(ξ) · ∆ti .
Wieder lassen wir die Zerlegung gegen unendlich gehen und erhalten
S=
6.1.3
Z
tω
v(t) dt := lim
Z →∞
tα
N−1
X
i=0
v(ξi ) · ∆ti .
Fläche unter einem Funktionsgraphen
Eine Funktion y = f (x) sei auf dem Intervall [a, b] beschränkt und nichtnegativ.
Wir wollen die Fläche berechnen, die durch die x=Achse, den Graphen der Funktion y = f (x) und die Geraden x = a und x = b begrenzt wird — “die Fläche
unter der Kurve y = f (x)”. Dazu unterteilen wir das Intervall [a, b] in N Teile ein,
auf denen f nahezu konstant ist:
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xN = b.
Das zu [xi, xi+1 ] mit der Länge ∆xi = xi+1 − xi gehörende Flächenstück ∆Fi ist
durch
∆Fi ≈ f (ξi ) · ∆xi
gegeben, wobei ξ ∈ [xi , xi+1 ] ein beliebiger Zwischenwert ist. Die gesuchte Fläche
F ergibt sich daher als
F =
N−1
X
i=0
∆Fi ≈
N−1
X
i=0
f (ξ) · ∆xi .
Wieder lassen wir die Zerlegung gegen unendlich gehen und erhalten
F =
Z
a
b
f (x) dx := lim
Z →∞
N−1
X
i=0
f (ξi ) · ∆xi .
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
6.2
225
Definition und Eigenschaften des Riemannschen Integrals
6.2.1
Definition
Die Funktion y = f (x) sei auf dem Intervall [a, b] bzw. [b, a] definiert und beschränkt. Das Intervall [a, b] bzw. [b, a] wird durch die Punkte x1 , x2 , . . . , xn−1
mit
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xN = b.
bzw.
a = x0 > x1 > x2 > · · · > xN = b.
in N Teilintervalle zerlegt.
Solche Zerlegungen Z sind so zu verstehen, daß mit N → ∞ auch der maximale
Abstand benachbarter Streckenpunkte
∆xi := xi+1 − xi
gegen Null geht: Das wollen wir mit Z → ∞ bezeichnen:
Z → ∞ :⇔ N → ∞ und
max |∆xi | → 0.
i
Man wählt noch aus jedem Teilintervall [xi , xi+1 ] bzw. [xi+1 , xi ] einen beliebigen
Zwischenwert ξi zwischen xi und xi+1 — also ξ = xi + θi ∆xi mit θi ∈ [0, 1] aus.
Wir nennen
ξ := (ξ0 , ξ1 , . . . , ξN−1 ).
Man beachte, daß mit jeder neuen Wahl einer Zerlegung Z auch neue Zwischenwerte ξ zu wählen sind. In diesem Sinne gilt daher
ξ = ξ(Z ).
Nun bildet man die Riemannsche Summe
S(Z , ξ, f ) :=
N−1
X
i=0
f (ξ) · ∆xi .
(6.2)
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
226
Konvergiert S(Z , ξ, f ) stets gegen den gleichen Grenzwert S für Z → ∞, wie
auch immer die Zerlegung Z und die Zwischenwerte ξ gewählt wurden, so heißt
f auf [a, b] Riemann-integrierbar und man nennt den Grenzwert S = limZ →∞ SN
das Integral über f von a nach b:
Z
b
a
f (x) dx := lim
Z →∞
N−1
X
i=0
f (ξi ) · ∆xi .
6.2.2
Berechnung des Integrals durch Auswertung von
Riemansummen
6.2.2.1
y = f (x) ≡ c
Wir wählen
xi = a + i
b−a
N
für i = 0, . . . , N
sowie
xi + xi+1
2
und erhalten
ξi :=
S(Z , ξ, f ) =
=
=
für i = 0, . . . , N − 1
N−1
X
i=1
N−1
X
i=1
N−1
X
i=1
f (ξi )∆xi
f (ξi )(xi+1 − xi )
f (ξi )
b−a
N
X
b − a N−1
f (ξi )
=
N i=1
=
X
b − a N−1
c
N i=1
X
b − a N−1
=
c
1
N
i=1
b−a
cN
=
N
= (b − a)c
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
227
y = f (x) = x2 , a = 0
6.2.2.2
Wir wählen
xi = a + i
b−a
b
=i
N
N
für i = 0, . . . , N
sowie
ξi := xi
für i = 0, . . . , N − 1
und erhalten
S(Z , ξ, f ) =
=
=
=
=
N−1
X
i=1
N−1
X
i=1
N−1
X
f (ξi )∆xi
f (xi )(xi+1 − xi )
f (xi )
i=1
N−1
X
b
N
b−a
N
f (i
b
)
N
i=1
!3 N−1
X
b
N
i2 .
i=1
Um weiterzurechnen benötigen wir eine Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
die man durch Induktion beweist; damit wird
N−1
X
i=1
i2 =
(N − 1)N (2N − 1)
6
und
S(Z , ξ, f ) =
N−1
X
=
b
N
f (ξi )∆xi
i=1
!3
·
(N − 1)N (2N − 1)
6
1
= b3 (1 − 1/N )(2 − 1/N ),
6
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
also
Z
b
0
1
x2 dx = lim S(Z , ξ, f ) = b3 .
Z →∞
3
228
229
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
R
Aufgabe 1: Berechnen Sie das Integral ab x dx mittels des Grenzübergans Z →
∞ aus einer geeigneten Riemann-Summe. Hinweise:
1. Wählen Sie die Zwischenpunkte ξi =
xi+1 +xi
.
2
2
2. Beachten Sie (u + v)(u − v) = u2 − v .
3. Eine Teleskopsumme läßt sich leicht berechnen:
N−1
X
i=0
6.2.3
(qi+1 − qi ) = q1 − q0 + q2 − q1 + · · · + qN − qN−1 = qN − q0 .
Eigenschaften
Satz: (Mindestens) folgende Funktionen sind integrierbar:
• Stückweise stetige Funktionen.
• Stückweise monotone Funktionen.
Aus der Definition des Integrals als Grenzwert von Riemann-Summen ergeben
sich sofort folgende Eigenschaften (y = f (x) und y = g(x) seien integrierbare
Funktionen):
1.
Z
2.
Z
3.
Z
4.
Z
b
f (x) dx = −
a
a
a
c
a
b
a
Z
a
b
f (x) dx .
f (x) dx = 0
f (x) dx =
Z
(αf (x) + βg(x)) dx = α
Z
f (x) dx +
Z
b
c
b
a
b
a
f (x) dx
f (x) dx +β
Z
b
a
g(x) dx .
5. Ist auf a ≤ b und f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ [a, b], so gilt
Z
a
b
f (x) dx ≤
Z
b
a
g(x) dx .
Aus Gleichung (6.3) schließt man
(6.3)
230
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
1. Ist auf a ≤ b und g(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] und f stetig auf [a, b], so gilt
min f (u)
u∈[a,b]
Z
b
a
g(x) dx ≤
Z
b
a
f (x)g(x) dx ≤ max f (u)
u∈[a,b]
Z
b
a
g(x) dx,
2. Ist f stetig auf dem Integrationsintervall [a, b] bzw [b, a] und wechselt g dort
nicht sein Vorzeichen, so existiert ein ξ ∈ [a, b] so, daß
Z
a
b
f (x)g(x) dx = f (ξ)
Z
b
a
g(x) dx .
Wird in der letzten Beziehung g ≡ 1 gesetzt so ergibt sich der
Mittelwertsatz der Integralrechnung: Ist f stetig auf [a, b], so existiert ein
ξ ∈ [a, b] so, daß
Z
b
a
6.3
(6.4)
f (x) dx = (b − a)f (ξ).
Der Hauptsätz der Differential- und Integralrechnung
6.3.1
Vorbemerkung
Der sogenannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hat eigentlich
zwei Teile, von denen wir zuerst den zweiten und dann den ersten behandeln.
Wesentlicher Inhalt ist, daß die Integration als Umkehrung der Differentiation
aufgefaßt werden kann.
6.3.2
Der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
6.3.2.1
Formulierung
Ist y = F (x) eine auf dem Intervall [a, b] differenzierbare Funktion mit integrierbarer (also z.B. stetiger) Ableitung y = dFdx(x) , so gilt
Z
b
a
x=b
Z b
dF (x)
dx =
dF(x) = F (x) = F (b) − F (a).
dx
a
x=a
(6.5)
231
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
Besitzt also y = f (x) die Stammfunktion y = F (x), so daß F ′ (x) = f (x), dann
kann das Integral über f leicht als
Z
Z
b
a
f (x) dx =
b
a
berechnet werden.
6.3.2.2
x=b
Z b
dF (x)
dx =
dF(x) = F (x) = F (b) − F (a)
dx
a
x=a
(6.6)
Beispiele
Zur Anwendung des Hauptsatzes ist es außerordentlich hilfreich die Leibnizsche
Schreibweise für Ableitungen zu verwenden und bei Bedarf auch mit dem Differential der unabhängigen Variablen zu multiplizieren:
f (x) = F ′ (x) also f (x) =
dF (x)
dx
also f (x) dx =
dF (x)
dx = dF(x), (6.7)
dx
zum Beispiel
cos(x) = sin′ (x) also
1.
Z
b
a
c dx =
Z
b
a
xr dx =
3. Für r = −1:
Z
4.
Z
b
a
π
0
also
cos dx = d sin(x) . (6.8)
x=b
a
Z
d sin(x)
dx
Z b
dcx
= c(b − a).
dx =
dcx = cx dx
a
x=a
b
2. Für r 6= −1:
Z
cos(x) =
b
a
x=b
1 dxr+1
br+1 − ar+1
1 Z b r+1
1 r+1 =
dx =
x .
dx
=
r + 1 dx
r+1 a
r+1
r
+
1
x=a
x=b
dx Z b
= ln |b| − ln |a| = ln(|b| / |a|).
=
d ln |x| = ln |x| x
a
x=a
sin x dx = −
Z
π
0
d cos x =
x=π
− cos(x) x=0
= 2.
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
6.3.2.3
232
Beweis
Idee:
Z
b
a
f (x) dx ≈
x=b
X
f (x)∆x =
x=a
x=b
X
x=b
X
dF (x)
∆x
dx
x=a
x=b
N−1
X
X
∆F (x)
∆x =
F (xi+1 ) − F (xi ) = F (b) − F (a).
∆F (x) =
≈
∆x
x=a
x=a
i=0
Exakte Begründung: Wir stellen das Integral über als Grenzwert der RiemannSumme dar:
Z
b
a
f (x) dx := lim
Z →∞
= lim
Z →∞
N−1
X
i=0
N−1
X
i=0
f (ξi ) · ∆xi
(6.9)
F ′ (ξi ) · ∆xi .
Und dann denken wir an den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für die Funktion y = F (x), der ja lautet
∆y
F (x0 + ∆x) − F (x0 )
=
= F ′ (ξ) = F ′ (x0 + Θ∆x)
∆x
∆x
also hier
F (xi+1 )−F (xi ) = F (xi +∆xi )−F (xi ) = ∆F (xi ) = F ′ (ξ˜i )∆xi
ξ˜i zwischen xi und xi+1 .
In den in Gleichung (6.9) sind die Zwischenstellen frei wählbar. Wir nehmen
speziell ξi := ξ˜i und erhalten dann
Z
b
a
f (x) dx := lim
Z →∞
= lim
Z →∞
= lim
Z →∞
= lim
Z →∞
N−1
X
i=0
N−1
X
i=0
N−1
X
i=0
N−1
X
i=0
f (ξ˜i ) · ∆xi
F ′ (ξ˜i ) · ∆xi
∆F (xi )
F (xi+1 ) − F (xi )
= F (b) − F (a).
(6.10)
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
6.3.3
Aufgaben
Zur Lösung der Übungen benötigen Sie folgende Integraltabelle
Funktion f (x) Stammfunktion F (x)
R
f (x) = F ′ (x) F (x) = f (x′ )dx′
1
xn , n 6= −1 n+1
xn+1
1
x
1
ln |x|
x
x
e
ex
sin x
− cos x
cos x
sin x
1
arctan x
1+x2
1
√
arcsin x
1−x2
1
tan x
cos2 x
Aufgabe 2: Man berechne die Integrale
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
R2
3
0 x dx,
Rπ
0 cos t dt,
Re 1
1 x dx,
R2 1
1 x3 dx,
R 2π
0 sin t dt,
Rπ
0 sin t dt,
R1 ξ
0 e dξ,
R 4 dx
√ .
1
x
233
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
234
Aufgabe 3: Es ist
arcsin x =
Z
x
0
√
dt
1 − t2
Ermitteln Sie aus diesem Ausdruck die ersten drei Glieder der Taylorentwicklung
von y = arcsin x indem Sie die Taylorreihe von y = (1 + x)r , nämlich (Binomialreihe!)
(1 + x)r = 1 + rx +
einsetzen.
r(r − 1)x2 r(r − 1)(r − 2)x3
+
+ ···
2!
3!
235
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
R
Aufgabe 4: Geben Sie eine Reihenentwicklung für das Integral 01 e x−1 dx an,
indem Sie die Taylorreihe für y = e−x einsetzen. Berechnen Sie die ersten drei
Glieder der Reihe.
6.3.4
−x
Der erste Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Unbestimmtes Integral: f sei eine im Intervall [a, b] stetige Funktion. Wir
betrachten die Funktion
F (x) :=
Z
x
a
(6.11)
f (t) dt,
fassen die obere Integrationsgrenze also jetzt als variabel auf. F nennen wir eine
Integralfunktion von f . Ist G eine Integralfunktion mit einer anderen unteren
Grenze ã, so unterscheidet es sich von F nur durch Addition einer Konstanten,
denn
G(x) =
Z
x
ã
f (t) dt =
Z
a
| ã
f (t) dt +
Z
x
a
{z
}
Z
f (x) dx
=:const
f (t) dt = F (x) + const.
Kommt es auf diese Konstante nicht an, so schreibt man dafür auch
Z
x
f (t) dt
oder auch
und nennt die dadurch gegebene Funktionenschar das unbestimmte Integral von f .
Man unterscheidet also
•
•
•
iii
Rb
a
f (x) dx, das bestimmteiii Integral von f — es ist eine Zahl.
Rx
f (t) dt, eine Integralfunktion (Flächenfunktion) von f — das ist eine
Funktion.
a
Rx
R
f (t) dt oder f (x) dx, das unbestimmte Integral von F — es ist eine
Funktionenschar.
Wir benutzen diesen Begriff, um das Integral vom eben eingeführten unbestimmten Integral
abzusetzen
236
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
Wir berechnen die Ableitung der Integralfunktion F , indem wir den Differenzenquotienten studieren:
"
#
Z x0
F (x0 + ∆x) − F (x0 )
1 Z x0 +∆x
f (t) dt −
=
f (t) dt
∆x
∆x a
a
1 Z x0 +∆x
f (t) dt = f (ξ),
=
∆x x0
wobei ξ ∈ [x0 , x0 + ∆x] bzw. ξ ∈ [x0 + ∆x, x0 ].
Im letzten Schritt haben wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung eingesetzt.
Der Grenzwert ∆x → 0 zeigt uns jetzt, daß
F ′ (x) = f (x),
also
d Zx
f (t) dt = f (x) oder auch
dx a
d Zx
f (t) dt = f (x)
dx
(6.12)
gilt: Das unbestimmte Integral von f ist eine Stammfunktion von f . Das ist der
erste Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.
Anmerkungen:
1. Wir sehen also insbesondere, daß jede stetige Funktion eine Stammfunktion
besitzt.
2. Da sich Stammfunktionen höchstens um eine Konstante unterscheiden können, gilt also mit irgendeiner Stammfunktion y = H(x) zu y = f (x):
Z
f (x) dx = H(x) + const.
3. Obigen zweiten Hauptsatz gewinnt man aus dem ersten so: Ist
y = H(x)
Rx
′
Stammfunktion von y = f (x), also H = f , und F (x) = a f (t) dt, so
unterscheiden sich F und H als Stammfunktionen nur um eine Konstante:
F (x) = H(x) + C und es wird
Z
β
α
f (x) dx = F (β) − F (α) = H(β) − H(α).
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
6.3.5
Analytische Integrationsmethoden
6.3.5.1
Vorbemerkungen
237
Im Gegensatz zur Differentiation läßt sich ein vorgegebenes Integral nicht immer
“lösen”, also durch bekannte Funktionen ausdrücken. Manchmal entstehen durch
den Integrationsprozess neue Funktionen, z.B.
Z
x
e
−t2
dt
oder
Z
x
sin t
dt .
t
Da die Differentiation im Sinne des Hauptsatzes die Umkehrung der Integration
ist, liefern Differentiationsregeln automatisch Integrationsregeln, denen wir uns
nun zuwenden.
6.3.5.2
Partielle Integration
Die Produktregel der Differentiation
du
dv
d
(uv) =
v+u
dx
dx
dx
schreiben wir zu
u
dv
d
du
=
(uv) − v
dx
dx
dx
um und integrieren nach x:
Z
Z
du
dv
dx = uv − v
dx
u
dx
dx
(6.13)
Das ist die Regel der partiellen Integrationr: Man muß den Integrandeniv also in
dv
zerlegen.
ein Produkt u dx
Beispiel: Wir berechnen die unbestimmten Integrale von Ry = x2 cos x und y =
π/2
ln
x
und
die
dazu
korrespondierenden
bestimmten
Integrale
x2 cos x dx sowie
−π/2
Re
1 ln x dx.
y = x2 cos x: Wir identifizieren
u = x2
iv
und
dv
= cos x,
dx
Ein anderes Wort für die zu integrierende Funktion
238
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
so daß
du
= 2x und v = sin x,
dx
und setzen in Gleichung (6.13) ein, womit wir
Z
2
2
x cos x dx = x (sin x) −
Z
2
(sin x)(2x) dx = x sin x − 2
Z
x sin x dx
erhalten. Auf das letzte Integral wenden wir diese Technik noch einmal an,
wobei wir
dv
= sin x
u = x und
dx
setzen, womit wir
du
= 1 und v = − cos x
dx
und daher
Z
Z
x sin x dx = −x cos x +
Z
x2 cos x dx = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + const.
cos x dx = −x cos x + sin x + const.
erhalten. Rücksubstitution ergibt:
Nun berechnen wir das bestimmte Integral:
Z
π/2
−π/2
x2 cos x dx =
x=π/2
[x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + const] x=−π/2
= [(x2
x=π/2
− 2) sin x] x=−π/2
y = ln x: Wir schreiben
y = ln x = 1 ln x =
= π 2 /2 − 4.
dx
dx
ln x = ln x ,
dx
dx
und erhalten
Z
Z
Z
dx
d ln x
ln x dx = ln x
dx = x ln x −
x dx = x ln x − x + const.
dx
dx
Nun berechnen wir das bestimmte Integral:
Z
e
1
ln x dx =
x=e
[x ln x − x + const] x=1
= 1.
239
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
6.3.5.3
Die Substitutionsregel
Ausgangspunkt ist hier die Kettenregel der Differentialrechnung: Es sei
• F Stammfunktion zu f , also F ′ = f ,
• y = u(x) eine differenzierbare Funktion,
• f und u′ stetig.
Dann gilt ja
dF (u(x))
du(x)
= f (u(x))
.
dx
dx
Diese Beziehung integrieren wir von α bis β über x (“
Z
b
a
f (u) du = F (b) − F (a) =
mit a = u(α), b = u(β).
Z
β
α
f (u(x))
Rβ
α
dx”) und erhalten:
du(x)
dx
dx
(6.14)
(6.15)
Das ist die Substitutionsregel, die es gestattet, ein Integral in ein anderes zu überführen. Der Nutzen besteht darin, da:s es sein kann, daß eines der Integrale einfacher zu berechnen ist als das andere:
“−→”: Berechnungsverfahren: In
Rb
a
f (u) du setzt man
u = u(x), x = α, β ⇒ u = a, b sowie
R
du =
du
dx,
dx
und erhält das transformierte Integral αβ f (u(x)) du
dx.
dx
√
Rb
Beispiel: Zur Berechnung von a sin( √u) du mit a ≥ 0 und b ≥ 0 versuchen
wir den Wurzelterm durch x = u, also
√ √
u = x2 , x = a, b ⇒ u = a, b sowie du = 2x dx
240
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
zu eliminieren und erhalten:
Z
b
a
√
√
a
a
Z b
Z b
√
sin( u) du = √ sin(x)2x dx = 2 √ sin(x)x dx
Jetzt geht es mit partieller Integration weiter:
= −2
=
=
Z
√
√
b
a
cos′ (x)x dx
√b

−2 (cos(x)x) √

a
−
√b
2[sin x − x cos x] √
Z
√
√
b
a

cos x dx
.
a
R
“←−”: Berechnungsverfahren: Wir haben ein Integral αβ ϕ(x)u′ (x) dx vorliegen
und erkennen, daß die Substitution u = u(x) wegen du = du
dx =
dx
′
u dx den Integranden vereinfachen kann:
u = u(x), x = α, β ⇒ u = a, b du =
sowie ϕ(x) =: f (u),
du
dx = u′ dx
dx
es muß sich also ϕ(x) = f (u) ausdrücken lassen! Dann erhält man das
transformierte Integral
Z
b
a
f (u) du .
R
Beispiel: Berechnung von αβ sin(x) cos(x) dx: Wir erkennen, cos x dx =
sin′ (x) dx = d( sin x), wir versuchen also die Substitution
u = sin x, x = α, β ⇒ u = sin α, sin β, du =
sowie
sin x = u,
und erhalten das transformierte Integral:
Z
Beispiele:
sin β
sin α
1
u du = (sin2 β − sin2 α).
2
du
dx = cos x dx
dx
241
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
(*) Um das Integral
Z
b
a
e2x dx
zu berechnen, setzen wir t = 2x. Das ergibt
1
1
dx
=
also dx = dt .
dt
2
2
Die neuen Integrationsgrenzen ergeben sich aus
x = t/2 und
x = a, b ⇒ t = 2a, 2b also α = 2a β = 2b.
Somit erhält man für das Integral
Z
b
a
e2x dx =
Z
2b
2a
t=2b
e2b − e2a
1 1
=
.
et dt = et 2
2 t=2a
2
(*) Wir berechnen das Integral
R2
1
2x ln x dx. Zunächst sehen wir, daß
d(x2 )
= 2x also 2x dx = dx2
dx
und wir rechnen
Z
2
1
2x ln x dx =
Z
x=2
2
ln x dx =
x=1
1 Z x=2
Z
x=2
x=1
ln(x2 ) dx2
2 x=1
t = x2 , x = 1, 2 ⇔ t = 1, 4
=
1
=
2
Z
4
1
1
ln((x2 ) 2 ) dx2
4
1
ln t dt = [t ln t − t] 2
1
= 4 ln 2 − 3/2
(*) Wir berechnen für x > 0 das unbestimmte Integral
Z
2x ln x dx =
Z
x
2u ln u du
R
2x ln x dx: Es ist
Substitution t = u2 , dt = 2u du u = x ⇔ t = x2
Z x2
1
1 Z x2
=
ln(t 2 ) dt =
ln t dt
2
x2
1
= [t ln t − t] +const
2
1
= [x2 2 ln x − x2 ] + const = x2 ln x − x2 /2 + const.
2
242
KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG
Wir machen noch die Probe:
1
d(x2 ln x − x2 /2)
= 2x ln x + x2 − x = 2x ln x.
dx
x
6.3.5.4
Aufgaben
Aufgabe 5: Berechnen Sie das Integral A =
tegration.
R2
1
2x ln x dx mittels partieller In-
Aufgabe 6: Berechnen Sie das unbestimmte Integral
eller Integration.
Aufgabe 7: Berechnen Sie das Integral
Substitution.
R1
0
2
Aufgabe 9: Berechnen Sie das unbestimmte Integral
R9
0
x sin x dx mittels parti-
xex dx mit Hilfe einer geeigneten
Aufgabe 8: Berechnen Sie das unbestimmte Integral
Aufgabe 10: Berechnen Sie
R
ln(1 + x) dx.
R
R
2
xe−x dx.
ln(1 + x) dx.
Aufgabe 11: Berechnen Sie mit einer geeigneten Substitution
R
tan ϕ dϕ
Aufgabe 12: Man bestimme mittels Substitution die folgenden unbestimmten
Integrale:
R
(a)
R
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
R
R
1
dx,
x+2
x
dx,
x2 −1
x2
dx,
1−2x3
8
(3s + 4) ds,
sin(ωt + ϕ) dt,
R
cos 3t dt
R −x
e dx.
R
Aufgabe 13: Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:
R
(a)
e−x (1 − x) dx = xe−x + const,
R
(b)
cos(x)esin(x) dx = esin(x) + const.
Aufgabe 14: Man löse das Integral
R
Aufgabe 15: Man löse das integral
sin u.
2−x
√
1+ x
R
√
dx mit der Substitution u = 1 + x.
√
x 1 − x2 dx mit der Substitution x =
Kapitel 7
Gewöhnliche
Differentialgleichungen
7.1
Vorbemerkungen
In diesem Kapitel sollen — vorwiegend anhand von Beispielen — einige Grundbegriffe und Lösungstechniken für Differentialgleichungen erarbeitet werden.
Wie der Titel schon andeutet, gibt es neben den “gewöhnlichen” noch andere
Differentialgleichungen, nämlich die sogenannten “partiellen Differentialgleichungen” für Funktionen mehrerer Veränderlicher — um diese wollen wir uns hier nicht
kümmern.
Das Gebiet der Differentialgleichungen ist so umfangreich, daß hier nur ein allererster Eindruck vermittelt werden kann.
Ein Teil der Aufgaben zu diesem Kapitel sind den Büchern [26], [18] und [28]
entnommen.
243
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
7.2
244
Die Differentialgleichung der Kettenlinie
Abbildung 7.1: Ein Stück eines beidseitig aufgehängten Kabels unter dem Einfluß
der Schwerkraft. ~t(x̃) ist der Tangenteneinkeitsvektor an die Kurve. Betrachtet
wird das Segment zwischen P (x0 , y0 ) und P (x0 + ∆x, y0 + ∆y).
Die Abbildung 7.1 zeigt das Kräftegleichgewicht an dem zwischen x0 und x0 + ∆x
liegenden Segment eines Kabels: Bezeichnet ∆m die Masse des Segments, und
F~ (x) die Zugkraft in Abhängigkeit von der Koordinate x, so gilt
~0 = −F~ (x0 ) + ∆m~g + F~ (x0 + ∆x),
(7.1)
da das Segment in Ruhe ist. Es bezeichne ~t(x) den Tangenteneinheitsvektor an
die dargestellte Kurve — also den auf die Länge 1 normierten Tangentenvektor.
Dieser ist durch
′
′
~t(x) = q( dx, dy) = √(1, y ) = q (1, y (x))
1 + y ′2
1 + (y ′ (x))2
dx2 + dy2
gegeben. Seine über den Satz des Pythagoras berechenbare Länge ist dann 1
(nachrechnen!). Zerlegt man den Tangenteneinheitsvektor in seine x- und yKomponenten, also
~t(x) =: (tx (x), ty (x)),
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
245
so ergeben sich diese zu
tx (x) = q
y ′ (x)
1
.
und ty (x) = q
1 + (y ′ (x))2
1 + (y ′ (x))2
Die Zugkraft F~ (x) des Seils hat die Richtung der Tangente. Es gilt also mit einer
reellwertigen Funktion x 7−→ F (x):
F~ (x) = F (x)~t(x).
Ist µ die konstante Linienmassendichte des Seils — also die Masse pro Längeneinheit, so ist die Masse des betrachteten Segments durch
q
∆m = µ (∆x)2 + (∆y)2
(Pythagoras) gegeben.
Wir setzen das alles nun in Gleichung (7.1) ein und erhalten
q
~0 = −F (x0 )~t(x0 ) + µ (∆x)2 + (∆y)2~g + F (x0 + ∆x)~t(x0 + ∆x0 ).
Davon betrachten wir zunächst die x-Komponente:
0 = −F (x0 )tx (x0 ) + F (x0 + ∆x)tx (x0 + ∆x0 ).
also
F (x0 + ∆x)tx (x0 + ∆x0 ) = F (x0 )tx (x0 ).
Die Funktion x → F (x)tx (x) ist also unabhängig von x — also eine Konstante,
die wir f nennen wollen:
F (x)tx (x) = q
F (x)
1 + (y ′ (x))2
= const =: f.
Nun geht es an die y-Komponente, wobei ~g = −g(0, 1) gilt:
q
0 = −F (x0 )ty (x0 ) − µ (∆x)2 + (∆y)2 g + F (x0 + ∆x)ty (x0 + ∆x0 ).
Hier beachten wir
F (x)ty (x) =
F (x) q
y ′ (x)
1 + (y ′ (x))2
= f y ′ (x)
246
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
und erhalten
q
0 = −f y ′ (x0 ) − µ (∆x)2 + (∆y)2 g + f y ′ (x0 + ∆x),
also
′
′
′
∆y = y (x0 + ∆x) − y (x0 ) =
µg q
f
(∆x)2 + (∆y)2 =
v
u
µg u
t1 +
f
∆y
∆x
!2
∆x.
Mit a := µg/f ergibt die Division durch ∆x und der anschließende Grenzwert
∆x → 0 die Differentialgleichung der Kettenlinie
q
(7.2)
y ′′ = a 1 + y ′2 .
Das ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für die gesuchte Funktion
x 7−→ y(x). Die Ordnung der Differentialgleichung bezeichnet die Ordnung der
höchsten in der Gleichung vorkommenden Ableitung der gesuchten Funktion.
Lösung dieser Gleichung: Wir substituieren u = y ′ und erhalten
√
u′ = a 1 + u2
bzw.
√
du
= a 1 + u2 .
dx
Das ist eine Differentialgleichung erster Ordnung für die gesuchte Funktion x 7−→
u(x). Das Wort “Differentialgleichung” kürzen wir auch häufig mit “DGL” ab.
Trennung der Variablen: Wir schreiben die Gleichung so um, daß auf der einen
Seite nur die Variable u und das Differential du und auf der anderen Seite nur
die Variable x und das Differential dx vorkommen:
√
du
= a dx
1 + u2
— tatsächlich eine Differentialgleichung: Rechts steht die Änderung von x, nämlich dx und links die dazugehörige Änderung der abhängigen Variablen u, nämlich
du. Läuft x von x0 bis x, so läuft u von u0 := u(x0 ) bis u := u(x). Daher liefert
eine Integration:
Z
u
u0
Z x
du
√
=
a dx .
x0
1 + u2
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
247
Nun verwenden wir im Integral noch eine neue Integrationsvariable:
Z
u
u0
Z x
dt
√
=a
dt,
x0
1 + t2
beziehungsweise mit der häufig günstigeren Schreibweise mit unbestimmten Integralen
Z
u
Z
dt
√
=a
1 + t2
x
dt .
Ein Blick in die Integraltabelle entlarvt die Stammfunktion des linken Integranden
und es folgt
arsinh u = ax + const also u = sinh(ax + C1 ).
Schließlich liefert eine weitere Integration (y =
y=
1
cosh(ax + C1 ) + C2 .
a
R
u dx):
(7.3)
Allgemeine Lösung Das ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung der
Kettenlinie (7.2) — sie enthält in diesem Fall zwei frei wählbare Konstanten C1
und C2 .
Bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung für eine gesuchte
Funktion enthält die allgemeine Lösung n frei wählbare Konstanten, die von
den n erforderlichen Integrationen herrühren.
Deren Sinn besteht nun gerade darin, die allgemeine Lösung den speziellen Gegebenheiten anzupassen:
Sei etwa gefordert, daß der Fußpunkt der Kettenline bei (xf , yf ) liege: Da cosh an
der Stelle 0 den minimalen Wert 1 hat, ist zunächst axf + C1 = 0, also C1 = −axf
und weiter yf = 1 + C2 , also C2 = yf − 1. Damit folgt:
y = yf − 1 +
1
cosh(a(x − xf )).
a
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
7.3
248
Definitionen
Eine gewöhnliche Differentialgleichung (Abkürzung: DGL) n-ter Ordnung
für eine gesuchte reell- oder komplexwertige Funktion y = f (x) der reellen Variablen x ist eine Gleichung der Form
y (n) = φ(x, y, y ′ , . . . , y (n−1) )
Genauer
(7.4)
y (n) (x) = φ(x, y(x), y ′ (x), . . . , y (n−1) (x)) für alle x ∈ I.
Gesucht ist hierbei nicht eine Zahl, sondern eine Funktion!
Allgemeine Lösung einer solchen Differentialgleichung ist eine Funktion y =
f (x), die eingesetzt in Gleichung (7.4) die Gleichung erfüllt und überdies noch
von n voneinender unabhängigen Konstanten C1 , C2 , . . . , Cn abhängt:
y = y(x; C1 , C2 , . . . , Cn ).
Die n Konstanten resultieren aus den n Integrationen, die zur Berechnung von
y = f (x) erforderlich sind.
Anfangswertproblem für die Differentialgleichuchung (7.4) ist die Aufgabe, eine
Lösung y = f (x) von (7.4) zu finden, die zusätzlich noch die n Anfangsbedingungen
y(x0 ) = y0 ,
y ′ (x0 ) = y0′ ,
..
.
(7.5)
(n−1)
y (n−1) (x0 ) = y0
(n−1)
mit vorgegebenen Konstanten y0 , y0′ , . . . , y0
erfüllt.
Um das Anfangswertproblem zu lösen, kann man so vorgehen, daß zunächst die
allgemeine Lösung gesucht wird, und dann die Gleichungen der Anfangsbedingungen (7.5) aufgestellt werden:
y(x0 ; C1 , C2 , . . . , Cn ) = y0 ,
y ′ (x0 ; C1 , C2 , . . . , Cn ) = y0′ ,
..
.
(n−1)
y (n−1) (x0 ; C1 , C2 , . . . , Cn ) = y0
Das sind n Gleichungen für die n Unbekannten C1 , C2 , . . . , Cn .
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
249
Beispiel: Radioaktiver Zerfall
Sei N = N (t) die Anzahl der Atome eines radioaktiveni Materials. Die Anzahl
−dN der Atome, die in der Zeit dt zerfallen ist proportional zu N und zur Zeitspanne dt, also gilt mit einer Proportionalitätskonstanten α > 0:
−dN = αN dt,
also
dN
= −αN,
dt
oder auch mit der Schreibweise Ṅ :=
dN
dt
für die “Ableitung nach der Zeit t”
Ṅ = −αN.
Hierfür soll das Anfangswertproblem mit N (t0 ) = N0 gelöst werden: Mit Trennung
der Variablen folgt:
dN
dN
= −αN ⇔
= −α dt ⇔
dt
N
also
Z
dN
= −α
N
Z
dt,
ln |N | = −αt + const also N (t) = Ce−αt .
Einarbeiten der Anfangsbedingung:
also
N (t0 ) = N0 ⇒ Ce−αt0 = N0 ⇒ C = N0 eαt0 ,
N (t) = N0 e−α(t−t0 ) .
7.4
(7.6)
Lösungsrezepte für Differentialgleichungen
erster Ordnung
7.4.1
Vorbemerkung
Wir schreiben die Differentialgleichung erster Ordnung als
y ′ = φ(x, y).
je nach der speziellen Form von φ lassen sich verschiedene Lösungsstrategien finden.
i
Zum Beispiel ist 137 Cs ein Betastrahler mit einer Halbwertszeit von 30.1 Jahren.
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
7.4.2
250
Trennung der Variablen: y ′ = φ(x, y) = g(x)h(y)
Das ist das wichtigste Verfahren für DGLn erster Ordnung: Wir schreiben
Z
Z
dy
dy
dy
= g(x)h(y) ⇔
= g(x) dx ⇔
= g(x) dx .
(7.7)
dx
h(y)
h(y)
Bezeichung: Eine DGL, die in dieser Form (φ(x, y) = g(x)h(y)) vorliegt wird
separabel genannt.
7.4.3
Substitutionen, die auf separable Differentialgleichungen führen
7.4.3.1
φ(x, y) = f (y/x): Substitution u = y/x
Dann erfüllt u die Differentialgleichung
(f (u) − u)
,
u′ = y ′ /x − y/x2 =
x
die separabel ist.
7.4.4
Die lineare Differentialgleichung: y ′ + p(x)y = r(x)
7.4.4.1
Vorkommen dieser DGL
Einschaltvorgang an RL-Serienschaltung: Ein RL-Glied wird zur Zeit t0 = 0
an eine Spannungsquelle mit der Spannung Ua = Ua (t) angelegt. Zum Anfangszeitpunkt fließt kein Strom, also I(0) = 0. Wie ist der zeitliche Verlauf des Stromes?
Als erstes müssen wir die zugehörige Differentialgleichung aufstellen: Für die Spannungen UL an der Spule mit der Induktivität L und und UR an dem ohmschen
Widerstand der Größe R gelten
UL = LI˙ und UR = RI.
Man erh’alt wegen Ua = UL + UR die Differentialgleichung
1 dI
+ I = Ua /R
LI˙ + RI = Ua also
R/L dt
Wir substituieren noch x = (R/L)t, also dx = (R/L) dt und u(x) := Ua (t)/R und
erhalten das Anfangswertproblem
dI
+ I = u(x), I(0) = 0.
(7.8)
dx
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
7.4.4.2
251
Herleitung der allgemeinen Lösungsformel
Ist in der Differentialgleichung r(x) ≡ 0, so spricht man von der homogenen
linearen Differentialgleichung ansonsten von der inhomogenen linearen Differentialgleichung.
Bezeichnung: Da die Gleichung meistens im Zusammenhang mit zeitabhängigen Problemen auftritt, wollen wir hier auch die unabhägngige Variable mit t
bezeichnen und gehen daher von der Gleichung
dy
+ p(t)y = r(t)
dt
(7.9)
beziehungsweise — mit der für Zeitableitungen beliebten Schreibweise ẏ :=
von der Gleichung
dy
dt
—
ẏ + p(t)y = r(t)
aus.
Wir behandeln zunächst den homogenen Fall. Dann liegt die Gleichung
dy
+ p(t)y = 0
dt
vor — eine separable Gleichung. Wir erhalten
dy
= −p(t) dt,
y
also y = Ce
−
Rt
t0
p(s) ds
.
Diese Lösung bestätigt man durch Probe (Aufgabe!).
Lösung des inhomogenen Falles durch die Methode der Variation der
Konstanten: Zur Lösung der inhomogenen Gleichung verwenden wir einen im
Zusammenhang mit Differentialgleichungen oft benutzten Kniff: In der bekannten
allgemeinen Lösung einer ähnlichen Gleichung fassen wir die dort auftretenden
Konstanten als von der unabhängigen Variablen (hier t) abhängende Größen auf.
Zur Lösung der inhomogenen Gleichung
y ′ + p(t)y = r(t)
machen wir daher den Ansatz C = C(t) also
y = C(t)e
−
Rt
t0
p(s) ds
,
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
252
und erhalten nacheinander
′
′
y = C (t)e
= C ′ (t)e
y ′ + p(t)y = C ′ (t)e
−
−
−
Damit folgt:
′
r(t) = C (t)e
C ′ (t) = r(t)e
C(t) =
Z
−
Rt
t0
r(t)e
C(t) = C0 +
Z
Rt
t0
Rt
p(s) ds
t0
Rt
p(s) ds
t0
Rt
p(s) ds
t0
p(s) ds
+ C(t)e
−
Rt
t0
p(s) ds
− y(t)p(t),
(−p(t))
also
.
also
,
p(s) ds
Rt
t0
t
t0
p(s) ds
r(τ )e
dt
Rτ
t0
p(s) ds
dτ
Tatsächlich finden wir also so eine Lösung für die unbekannte Funktion C = C(t)
und damit schließlich für y = y(t):
y(t) = y0 e
−
Rt
t0
p(s) ds
+e
−
Rt
t0
p(s) ds
Z
t
t0
r(τ )e
Rτ
t0
p(s) ds
dτ .
(7.10)
Hier haben wir noch y0 = C0 gesetzt. Es ist offensichtlich y(t0 ) = y0 und damit
haben wir mit der Formel (7.10) eine explizite Lösungsformel für die Anfangswertaufgabe zur Differentialgleichung (7.9)!
7.4.4.3
7.4.4.3.1
Schritte zur praktischen Berechnung von Lösungen
Vorbenerkung
Es dazu verschiedene Möglichkeiten, die hier durchgespielt werden.
7.4.4.3.2
I: Anwendung der Lösungsformel
Man geht am besten in folgenden Schritten vor:
• Aufschreiben der Differentialgleichung und Identifikation der Funktionen
p = p(t) und r = r(t):
ẏ + p(t)y = r(t).
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
• Wir berechnen ϕ(t) := e
−
Rt
t0
p(s) ds
253
.
• Die Lösung ergibt sich dann zu
y(t) = y0 ϕ(t) + ϕ(t)
Z
t
t0
r(τ )
dτ .
ϕ(τ )
(7.11)
Wir wollen (7.8) mit dem Verfahren behandeln: Es ist
Rx
dI
−
+ I = u(x) also ϕ(x) = e 0 ds = e−x ,
dx
und damit
I(x) = I0 e
−x
+e
−x
Z
x
0
u(τ )eτ dτ ,
wegen I0 = 0, also
I(x) = e
−x
Z
x
0
u(τ )eτ dτ ,
Ist speziell u = const, so folgt
I(x) = e−x u(ex − 1) = u(1 − e−x ),
und Rücksubstitution (x = (R/L)t und u = UA /R) ergibt
I(t) =
t
UA
(1 − e− L/R ),
R
(7.12)
Struktur der Lösungsformel: Wir schreiben noch einmal C = y0 in (7.11) und
sehen
y(t) = Cϕ(t) + ϕ(t)
| {z }
=:yh (t)
dabei ist
|
Z
t
t0
r(τ )
dτ ,
ϕ(τ )
{z
=:yp (t)
}
yh : Die allgemeine Lösung der homogenen DGL,
yp : eine spezielle — partikuläre — Lösung der inhomogenen DGL.
Das ist allgemein für die lineare DGL richtig:
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
254
Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ergibt sich als Summe der
allgemeinen Lösung der homogenen DGL plus einer partikulären (speziellen)
Lösung der inhomogenen DGL:
y = yh + yp ,
yh allgemeine Lösung von
dyh
+ p(t)yh = 0,
dt
yp ist eine partikuläre (z.B. geratene) Lösung von
dyp
+ p(t)yp = r(t).
dt
Daß y Lösung ist, ist durch Einsetzen leicht nachzuweisen:
dyh dyp
dy
=
+
= −p(t)yh − p(t)yp + r(t) = −p(t)y + r(t).
dt
dt
dt
7.4.4.3.3
II: Lösung “zu Fuß”
Häufig ist es einfacher nicht die Lösungsformel anzuwenden, sondern die beiden
Schritte, die zu Ihrer Konstruktion verwendet wurden konkret nachzuvollziehen:
• Aufschreiben der Differentialgleichung und Identifikation der Funktionen
p = p(t) und r = r(t):
ẏ + p(t)y = r(t).
• Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL
ẏ + p(t)y = 0.
bestimmen. Darin taucht eine frei wählbare Konstante C auf.
• “Variation der Konstanten”: Die Konstante als Funktion von t auffassen —
C = C(t) — und damit in die Ausgangsgleichung eingehen.
• C = C(t) und damit y = y(t) ermitteln.
• Anfangswertaufgabe lösen.
255
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
7.4.4.3.4
III: Lösung mit speziellem Ansatz für yp
Das ist meistens der schnellste Weg:
• Aufschreiben der Differentialgleichung und Identifikation der Funktionen
p = p(t) und r = r(t):
ẏ + p(t)y = r(t).
• Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL
ẏh + p(t)yh = 0.
bestimmen. Darin taucht eine frei wählbare Konstante C auf.
• Spezielle Lösung der inhomogenen DGL bestimmen: Man versucht einen
geeigneten Ansatz für yp zu machen, so, daß yp die DGL löst:
ẏp + p(t)yp = r(t).
• Anfangswertaufgabe lösen: y = yh + yp . Die freie Konstante in yh wird durch
die Bedingung y(t0 ) = y0 bestimmt.
7.5
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
7.5.1
Schwingungsgleichungen
7.5.1.1
Lineare Schwingungen
7.5.1.1.1
Physikalische Problemstellung
Für Strom I und Spannung U an Kondensator (Kapazität C), Spule (Induktivität L) und ohmschen Widerstand (Widerstand R) gelten die Gesetze
1 Z
I dt,
UC =
C
UL = L
dI
,
dt
UR = RI.
(7.13)
Eine Reihenschaltung von Kondensator, Spule und Widerstand erfüllt daher (weH
~ · d~s = 0 — Maschenregel):
gen E
dI
1 Z
I dt = 0,
L + RI +
dt
C
(7.14)
256
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
beziehungsweise, falls eine (i.allg zeitabhängige) äußere Spannung Ua anliegt zu
dI
1 Z
L + RI +
I dt = Ua (t),
dt
C
R
(7.15)
also mit y := I dt (Ladung), ω02 := 1/(LC), 2δ := R/L und r(t) := Ua (t)/L:
ÿ + 2δ ẏ + ω02 y = r(t).
(7.16)
Das ist die Differentialgleichung für lineare Schwingungen.. Wir unterscheiden
zwei Fälle:
r(t) ≡ 0: Freie Schwingungen, das ist die homogene Differentialgleichung
r(t) 6≡ 0: Erzwungene Schwingungen, das ist die inhomogene Differentialgleichung.
7.5.1.1.2
Mit D :=
Struktur der Differentialgleichung
d
dt
schreiben wir die Differentialgleichung (7.16) etwas um:
D2 y + 2δDy + ω02 y = r,
also
(D2 + 2δD + ω02 )y = r.
Nun definieren wir den Differentialoperator L durch
2
2
L := (D + 2δD + ω0 ).
(7.17)
Dann ist L eine Abbildung, die jeder (genügend oft differenzierbaren Funktion)
eine neue Funktion zuordnet, z.B.:
n
n−2
+ 2δntn−1 + ω02 tn ,
Lt = n(n − 1)t
2
L sin(t) = − sin(t) + 2δ cos(t) + ω0 sin(t),
(7.18)
2
2 λt
λt
2 λt
λt
2 λt
Le = λ e + 2δλe + ω0 e = (λ + 2δλ + ω0 )e .
Besonders einfach verhält sich L also, wenn er auf y = eλt angewendet wird: L ist
nämlich ein Polynom pL in dem Differentialoperator D:
L = pL (D),
hier: pL (s) = s2 + 2δs + ω02 ,
(7.19)
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
257
dieses Polynom heißt das charakteristische Polynom des Differentialoperators L
bzw. der zugehörigen Differentialgleichung. Wir sehen jetzt:
λt
λt
Le = pL (λ)e .
(7.20)
L ist linear: Aus der Definition von L können wir sofort folgende Rechenregel
überprüfen: Sind v und w zwei Funktionen und β und γ zwei Zahlen, so gilt:
L(βv + γw) = β Lv + γ Lw,
man sagt, “L ist ein linearer Operator”.
Die Differentialgleichung (7.16) können wir nun als
Ly = r
(7.21)
Ly = 0
(7.22)
formulieren, und die zugehörige homogene DGL als
Sind y1 und y2 zwei beliebige Lösungen der (inhomogenen) DGL (7.21), so gilt
L(y2 − y1 ) = Ly1 − Ly2 = r − r = 0.
Die Differenz zweier Lösungen der inhomogenen DGL ist eine Lösung der homogenen DGL. Das hat eine weitreichende Folgerung: Ist nämlich yp irgendeine
spezielle Lösung der inhomogenen DGL und y die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL, so ist y − yp Lösung der homogenen Gleichung, ja sogar — da
genügend freie Konstanten vorhanden sind — allgemeine Lösung der homogenen
Gleichung. Das heißt:
Struktur der Lösungsmenge von Ly = r: Die allgemeine Lösung der y inhomogenen Differentialgleichung (Anzahl der freien Konstanten gleich der Ordnung der höchsten Ableitung (= Grad(pL )) erhält man als Summe irgendeiner
— z.B. geratenen oder durch Ansatz gefundenen — speziellen — “partikulären”
— Lösung yp der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung yh der
homogenen Gleichung:
y = yh + yp .
Außerdem folgt aus der Linearität von L für je zwei Lösungen y1 und y2 der
homogenen DGL Ly1,2 = 0 und Zahlen C1 und C2 :
also
L(C1 y1 + C2 y2 ) = C1 Ly1 + C2 Ly2 = C1 · 0 + C2 · 0 = 0,
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
258
Struktur der Lösungsmenge von Ly = 0: Beliebige Linearkombinationen von
Lösungen von Ly = 0 ergeben wieder eine Lösung.
Damit ist die Lösungsstrategie klar:
• Allgemeine Lösung yh der homogenen Gleichung suchen: Wegen der “besonderen Wirkung” von L auf eλt liegt ein Ansatz yh = eλt nahe.
• Spezielle Lösung yp der inhomogenen Gleichung finden — Die dazu sinnvolle
Strategie hängt möglicherweise von der Struktur der “rechten Seite” r = r(t)
ab.
• Beide Anteile addieren: y = yp + yh .
7.5.1.1.3
Freie Schwingungen
Zur Lösung der DGL
ÿ + 2δ ẏ + ω02 y = Ly = 0
machen wir also den Ansatz y = eλt , setzen in die Gleichung ein und erhalten
(λ2 + 2δλ + ω02 )eλt = pL (λ)eλt = 0,
wir haben also die charakteristische Gleichung
0 = pL (λ) = (λ2 + 2δλ + ω02 )
zu lösen und erhalten
λ1,2 = −δ ±
q
δ2
−
ω02
= −δ ± jω
mit ω :=
q
ω02 − δ 2 ,
also die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
yh = C1 e−δt ejωt + C2 e−δt e−jωt ,
und eine relle allgemeine Lösung ergibt sich mit C2 = C1 , also mit (C1 = a2 ejϕ )
yh (t) = ae−δt Re ej(ωt+ϕ) = ae−δt cos(ωt + ϕ) mit a, ϕ ∈ R, a ≥ 0. (7.23)
7.5.1.1.4
Erzwungene Schwingungen
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
259
Form der Schwingungsanregung
Wir nehmen eine spezielle “rechte Seite” an, die sowohl praktisch bedeutsam wie
auch theoretisch weiterführendii ist:
r(t) = û cos(Ωt + Φ) = Re(U ejΩt ) û > 0, Ω > 0, U := ûejΦ .
Ermitteln einer spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
Zunächst suchen wir eine komplexe Lösung der DGL
ÿ + 2δ ẏ + ω02 y = U ejΩt ,
und setzen dazu y = AejΩt an:
A[−Ω2 + 2jδΩ + ω02 ]ejΩt = U ejΩt
A[−Ω2 + 2jδΩ + ω02 ] = U
also
U
−Ω2 + 2jδΩ + ω02
uejΦ (ω02 − Ω2 − 2jδΩ)
A=
(ω02 − Ω2 )2 + 4δ 2 Ω2
uejΦ ejΘ
mit Θ := arg(ω02 − Ω2 − 2jδΩ).
A= q
(ω02 − Ω2 )2 + 4δ 2 Ω2
A=
Damit folgt:
y=q
uej(Ωt+Φ+Θ)
(ω02 − Ω2 )2 + 4δ 2 Ω2
mit Θ := arg(ω02 − Ω2 − 2jδΩ).
und eine relle Lösung ist yp = Re y, also
ii
û cos(Ωt + Φ + Θ)
yp = q
(ω02 − Ω2 )2 + 4δ 2 Ω2
mit Θ := arg(ω02 − Ω2 − 2jδΩ).
(7.24)
Im Rahmen der Fouriertransformation wird gezeigt, daß sich weitgehend beliebige Funktionen u = u(t) aus Funktionen dieser Art additiv kombinieren lassen.
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
260
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
Dazu addieren wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und die oben
ermittelte spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung:
y(t) = ae
−δt
cos(ωt + ϕ) + q
uej(Ωt+Φ+Θ)
(ω02 − Ω2 )2 + 4δ 2 Ω2
mit a, ϕ ∈ R, a ≥ 0, Θ := arg(ω02 − Ω2 − 2jδΩ).
7.5.1.1.5
(7.25)
(7.26)
Verallgemeinerung auf DGLn n-ter Ordnung
Gleichungen der hier behandelten Art heißen in mathematischer Sprechweise lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Mit D := dtd sei
n
n−1
+ · · · + l1 D + l0 = pL (D),
L := D + ln−1 D
(7.27)
und die Differentialgleichung n-ter Ordnung
Ly = r(t)
(7.28)
gegeben.
Sie werden genau so gelöst wie bei der Schwingungsgleichung gezeigt:
1. Eine allgemeine Lösung yh der homogenen Gleichung suchen: Das geht über
den Ansatz y = eλt . Ist die Ordnung der DGL n, so ergeben sich i.allg
n verschiedene λ1 , λ2 , . . . λn und die allgemeine Lösung der homogenen
Gleichung ist als Linearkombination der partikulären Lösungen y = eλ1 t ,
. . . y = eλn t zu wählen:
yh = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t + · · · + Cn eλn t ,
mit frei wählbaren Konstanten C1 , C2 , . . . Cn .
Ausnahme: Ist λq mehrfache Nullstelleiii des charakteristischen Polynoms
pL , kommt also etwa r-mal als Nullstelle der charakteristische Gleichung
pL (λ) = 0
iii
Unter einer mehrfachen — etwa k-fachen Nullstelle — x0 einer Funktion y = f(x) versteht
man eine Zahl x0 derart, daß
0 = f(x0 ) = f ′ (x0 ) = · · · = f (k−1) (x0 ).
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
261
vor, so gehen für λq in die allgemeine Lösung die partikulären Lösungen
y = eλq t , y = teλq t , y = t2 eλq t , . . . y = tr−1 eλq t
ein.
2. Man sucht eine spezielle Lösung yp der inhomogenen Lösung durch einen
der “rechten Seite” angepaßten Ansatz. Die “rechte Seite” wird auch Störfunktion genannt. Allgemeine Regel: Die Art des Ansatzes gleicht der Störfunktion. Man beachte, daß Ansätze linear kombiniert werden können:
Ly1 = r1
und Ly2 = r2 ,
dann folgt L(y1 + y2 ) = r1 + r2 = r,
falls r = r1 + r2 und
Lỹ = r̃ ⇒ Lαỹ = αr̃ = r,
falls r = αr̃.
Die folgende Tabelle gibt Hinweise für solche Ansätze.
Störfunktion r(t)
DGL Ly = r(t)
tn
eαt
tn eαt
sin αt
cos αt
Ansatzfunktion für yp (t)
Lyp = r(t)
A0 + A1 t + · · · An tn
Aeαt
(A0 + A1 t + · · · An tn )eαt
A sin αt + B sin αt
A sin αt + B sin αt
Natürlich erhält man die Ansätze für die Sinus- und Cosinus-Störfunktionen auch
durch Kombination der Ansätze für die Exponentialfunktion.
Ausnahme: Resonanzfall: Wendet man obiges Rezept auf die Gleichung
ẍ + x = ejt
an, so wäre der Ansatz yp = Aejt zu wählen — und man erleidet Schiffbruch:
!
(j 2 + 1)Aejt = ejt
läßt sich nicht lösen! Das liegt daran, daß hier die Störfunktion, die ja im Ansatz wiederverwendet wird, eine Lösung der homogenen DGL ist. Abhilfe schafft
folgender allgemeiner verwendbarer Ansatz:
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
262
Allgemeiner Ansatz für Lyp = qm (t)eαt :
• Es sei qm (t) ein Polynom vom Grad m,
• p sei das charakteristische Polynom von L,
• α sei k-fache (k ≥ 0) Nullstelleiv von p.
Dann liefert der Ansatz
yp (t) = Qm (t)tk eαt ,
mit einem mit unbestimmten Koeffizienten angesetzten Polynom m-ten Grades
Qm eine spezielle Lösungv .
Wir wollen das auf obiges Beispiel anwenden:
• p(λ) = λ2 + 1
• p(λ) = λ2 − j 2 = (λ − (−j))(λ − j)
• α = j ist einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
• Ansatz: yp = Atejt : ẏp = Aejt + jyp und ÿp = jAejt + jAejt − yp also
!
ÿp + yp = 2jAejt = ejt , ⇒ yp =
1 jt
te .
2j
Zum Abschluß wollen wir noch — ohne Beweisvi , siehe dazu aber [29] (für DGLn
zweiter Ordnung) — eine Lösungsformel angeben, mit der für jede Störfunktion
r(t) eine partikuläre Lösung yp (t) ermittelt werden kann (siehe auch [30]):
iv
Unter einer k-fachen Nullstelle x0 einer Funktion y = f(x) versteht man eine Zahl x0 derart,
daß
0 = f(x0 ) = f ′ (x0 ) = · · · = f (k−1) (x0 ).
v
Den Beweis (für eine DGL zweiter Ordnung) findet man in [30].
Für Interessierte hier nun doch ein Beweis:
zunächst benötigen wir die Leibniz-Formel:
Z t
Z t
∂g(t, s)
′
ds +g(t, t).
g(t, s) ds ⇒ G (t) =
G(t) :=
∂t
a
a
vi
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
263
Die Duhamel-Formel: Gegeben sei die lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Ly = r(t).
Folgende Schritte führen zur Lösung:
• Man ermittle zunächst die allgemeine Lösung der homogenen DGL Lyh = 0
als
yh = C1 y1 + · · · Cn yn ,
wobei wie oben die yi aus einem “e-Ansatz” gewonnen werden.
Diese Formel sieht man so ein:
Z t
Z t+∆t
g(t, s) ds
g(t + ∆t, s) ds −
∆G =
a
a
=
=
Z
Z
t
[g(t + ∆t, s) − g(t, s)] ds +
a
t
a
Z
t+∆t
g(t + ∆t, s) ds
t
[g(t + ∆t, s) − g(t, s)] ds +∆tg(t + ∆t, t + Θ∆t).
Damit geht es weiter:
Z t
ϕ(t + t0 − s)r(s) ds,
yp (t) =
yp′ (t) =
Z
yp′′ (t) =
Z
t0
t
t0
t
t0
..
.
yp(n−1) (t)
=
yp(n) (t) =
Z
Z
also
Ly p =
Z
ϕ′ (t + t0 − s)r(s) ds + ϕ(t0 )r(t),
| {z }
=0
ϕ′′ (t + t0 − s)r(s) ds + ϕ′ (t0 )r(t),
| {z }
=0
t
t0
t
t0
ϕ(n−1) (t + t0 − s)r(s) ds + ϕ(n−2) (t0 )r(t),
{z
}
|
=0
ϕ(n) (t + t0 − s)r(s) ds + ϕ(n−1) (t0 )r(t),
|
{z
}
=r(t)
t
t0
Lϕ (t + t0 − s)r(s) ds +r(t) = r(t),
|{z}
≡0
denn ϕ ist löst ja die homogene DGL Ly = 0.
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
264
• Daraus errechnet man die spezielle Lösung ϕ der homogenen Gleichung, die
der Anfangsbedingung (t0 beliebig, z.B. t0 = 0)
ϕ(t0 ) = ϕ′ (t0 ) = · · · ϕ(n−2) (t0 ) = 0 und ϕ(n−1) (t0 ) = 1
genügt: Dazu setzt man ϕ = yh und bestimmt die C1 , . . . Cn aus obigen
n Gleichungen.
• Dann erhält man:
yp (t) =
Z
t
t0
ϕ(t + t0 − s)r(s) ds .
(7.29)
• Und — wie oben —
y(t) = yh (t) + yp (t)
als allgemeine Lösung.
7.5.1.2
Nichtlineare Schwingungen
Abbildung 7.2: Schwingkreis mit Rückkopplung (Meißner-Schaltung)
(7.30)
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
265
Abbildung 7.3: Schwingkreis mit Rückkopplung (Röhre als verstärkendes Element)
Die oben betrachteten Schwingungen werden für t → ∞ angefacht (δ < 0) oder
(δ > 0, für diesen Fall galt auch die Herleitung) gedämpft. Um selbsterregte
Schwingungen zu beschreiben, wie sie etwa in rückgekoppleten Schwingkreisen
auftreten sollte daher δ nicht konstant sein, sondern von der Schwingungsamplitude abhängen:
Für kleine |ẏ| sollte δ < 0 gelten, während für größere |ẏ| δ > 0 sein sollte.
Daher liegt der Ansatz
2δ = −A + B ẏ 2
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
266
nahe, der die Differentialgleichung zunächst in
(7.31)
ÿ + [−A + B ẏ 2 ]ẏ + ω 2 y = 0
überführt. Wir substituieren
τ = ωt,
x=ω
ǫ=
s
3B dy
,
A dτ
(7.32)
A
,
ω
und erhalten für x die DGL (wieder ẋ :=
dx
):
dτ
ẍ − ǫ(1 − x2 )ẋ + x = 0,
(7.33)
die Van-der-Pol-Gleichung.
Man kann keinen geschlossenen Ausdruck für die Lösung dieser Gleichung angeben, es läßt sich aber auf Gleichungen dieses Typs ein einfaches Näherungsverfahren anwenden, das im nächsten Abschnitt beschrieben wird. Dazu schreiben wir
die Gleichung leicht um:
ẍ + x = ǫ(1 − x2 )ẋ =: ǫf (x, ẋ)
7.5.1.2.1
Die Mittelungsmethode von Bogoliubov und Krylov
Es soll ein Näherungsverfahren für Differentialgleichungen des Typs
ẍ + ω02 x = ǫf (αt, x, ẋ)
(7.34)
entwickelt werden. Die Funktion s 7−→ f (s, u, v) sei 2π-periodisch. Der Parameter
ǫ soll als klein betrachtet werden können.
Mit y := ẋ transformiert man in ein System erster Ordnung:
ẋ = y,
ẏ = −ω02 x + ǫf (αt, x, y).
(7.35)
x = a cos(ω0 t + ϕ)
y = −aω0 sin(ω0 t + ϕ).
(7.36)
Für ǫ = 0 kennen wir die Lösung, nämlich
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
267
mit Konstanten a und ϕ. Damit können wir die ursprüngliche Differentialgleichung (7.35) auf neue Variablen a und ϕ transformieren, die für ǫ = 0 konstant
sind: Wir definieren also die Koordinatentransformation zwischen (x, y) und (a, ϕ)
durch Gleichung (7.36) und fassen daher a und ϕ jetzt als von t abhängig auf:
“Variation der Konstanten”.
Umrechnen von (7.35) auf (a, ϕ): Wir differenzieren (7.36) nach t
ẋ = ȧ cos(ω0 t + ϕ) − a(ω0 + ϕ̇) sin(ω0 t + ϕ)
ẏ = −ȧω0 sin(ω0 t + ϕ) − aω0 (ω0 + ϕ̇) cos(ω0 t + ϕ),
also mit (7.36)
ȧ
ẋ = x + (1 + ϕ̇/ω0 )y
a
ȧ
ẏ = y − (1 + ϕ̇/ω0 )ω02 x
a
Multiplikation dieser Gleichungen mit ω02 x und y bzw. y und x und Addition bzw.
Subtraktion der Gleichungen liefert:
ȧ
ω02 xẋ + y ẏ = (ω02 x2 + y 2 ),
a
y ẋ − xẏ = (1 + ϕ̇/ω0 )(ω02 x2 + y 2 )
Für ẋ und ẏ setzen wir die Differentialgleichung (7.35) ein und erhalten mit ω02 x2 +
y 2 = a2 ω02
ȧ 2 2
a ω0 = ǫf (x, y)y,
a
(1 + ϕ̇/ω0 )a2 ω02 = y 2 + ω02 x2 − ǫf (x, y)x,
was dann schließlich mit (7.36) zu
ǫ
f (αt, a cos ψ, −aω0 sin ψ) sin ψ,
ω0
ǫ 1
ϕ̇ = −
f (αt, a cos ψ, −aω0 sin ψ) cos ψ,
ω0 a
Mit ψ := ω0 t + ϕ.
ȧ = −
α
ǫ
f ( (ψ − ϕ), a cos ψ, −aω0 sin ψ) sin ψ,
ω0 ω0
ǫ 1 α
f ( (ψ − ϕ), a cos ψ, −aω0 sin ψ) cos ψ,
ϕ̇ = −
ω0 a ω0
Mit ψ := ω0 t + ϕ.
ȧ = −
(7.37)
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
268
Das ist die transformierte Differentialgleichung (7.35), sie ist äquivalent zur Ausgangsgleichung.
Mittelung der Gleichung (7.37): Wir definieren die Mittelung u einer Funktion u = u(t) über ein (festes) Zeitintervall T > 0 als
1 Z t+T
u(t) :=
u(τ ) dτ .
T t
(7.38)
Dafür gilt insbesondere
du
u(t + T ) − u(t)
1 Z t+T du
du
=
=
dτ =
,
dt
T
T t
dτ
dt
Mittelung und Zeitableitung vertauschen also.
Wir wollen Gleichung (7.37) über das Intervall T = 2π/ω0 mitteln. Wir setzen
voraus, daß
α ist ganzzahliges Vielfaches von ω0
also α = nω0 .
(7.39)
Wir nehmen folgende Näherung vor:
• a und ϕ ändern sich während T nur wenig.
• a und ϕ können daher auf der rechten Seite der Gleichung bei der Mittelung
wie Konstante behandelt werden.
• Daher durchläuft ψ näherungsweise ein Intervall der Länge 2π/ω0 , wenn t
ein Intervall dieser Länge durchläuft.
• Für a und ϕ gilt dann auch
a ≈ a und ϕ ≈ ϕ.
(7.40)
Die Mittelung der rechten Seite von (7.37) entspricht daher einer Integration bezüglich ψ über ein Intervall der Länge 2π und Division durch 2π. Diese rechte
Seite ist ein 2π-periodische Funktion von ψ. Daher kann das Integrationsintervall beliebig verschoben werden — wir wählen das Intervall [0, 2π]. Es folgt die
Näherungsgleichung der Mittelungsmethode von Bogoliubov und Krylov: Für die
Differentialgleichung
ẍ + ω02 x = ǫf (nω0 t, x, ẋ)
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
269
berechne man a und ϕ als Lösungen von
ǫ 1 Z 2π
f (n(ψ − ϕ), a cos ψ, −aω0 sin ψ) sin ψ dψ,
ȧ = −
ω0 2π 0
ǫ 1 Z 2π
ϕ̇ = −
f (n(ψ − ϕ), a cos ψ, −aω0 sin ψ) cos ψ dψ .
ω0 2πa 0
(7.41)
Hängt f nicht explizit von t ab, also f (αt, u, v) = f (u, v) — autonomer Fall, so ist
die erste dieser Gleichungen durch die Methode der Trennung der Variablen
lösbar, woraus dann ϕ aus der zweiten Gleichung durch eine Integration berechnet
wird. Die Näherungslösung der Differentialgleichung (gültig für kleine |ǫ|) ist dann
durch
x(t) = a(t) cos(t + ϕ(t))
gegeben.
Anwendung auf die Van-der-Pol-Gleichung: Wir haben hier
f (x, y) = (1 − x2 )y
und erhalten
1 Z 2π
1 Z 2π
f (a cos ψ, −a sin ψ) sin ψ dψ = −a
(1 − a2 cos2 ψ) sin2 ψ dψ
2π 0
2π 0
2 !
1
a
a
1
− a2
=−
1−
,
= −a
2
8
2
2
1 Z 2π
1 Z 2π
f (a cos ψ, −a sin ψ) cos ψ dψ = −
(1 − a2 cos2 ψ) sin ψ cos ψ dψ
2πa 0
2π 0
= 0.
Das ergiebt die Differentialgleichungen
2 !
a
a
1−
ȧ = ǫ
2
2
ϕ̇ = 0,
,
woraus die Lösung zu
ǫ
x(t) = q
1+
|
ẋ(t) = − q
a0 e 2 t
a20 ǫt
(e
4
{z
− 1)
a(t)
a0 e
1+
ǫ
t
2
a20 ǫt
(e
4
cos(t + ϕ0 ),
}
− 1)
(7.42)
sin(t + ϕ0 )
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
270
folgtvii .
7.6
Aufgaben
Aufgabe 1: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für die folgenden DGLn erster
Ordnung durch Trennung der Variablen:
(a) x2 y ′ = y 2 , Lösung: y =
x
.
1+Cx
√
(b) y ′ (1 + x2 ) = xy, Lösung: y = C 1 + x2 .
(c) y ′ = 1 − y 2 , Lösung: y =
(d) y ′ = (1 − y)2 , Lösung: y
(e) y ′ sin y = −x, Lösung: y
e2x+2C −1
.
e2x+2C +1
1
.
= 1 − x+C
= arccos( 12 x2
+ C).
*(f) y ′ = ey cos x, Lösung: y = − ln(− sin x + C).
Aufgabe 2: Die folgenden Differentialgleichungen können nicht direkt durch
Trennung der Variablen gelöst werden, sondern erst nach der Substitution u =
y/x. Das führt immer dann zum Ziel, wenn die Differentialgleichung die Form
y ′ = f (y/x)
hat, denn dann erfüllt u die Differentialgleichung
u′ = y ′ /x − y/x2 =
(f (u) − u)
,
x
bei der die Variablen getrennt werden können.
*(a) xy ′ = y + 4x
(b) x2 y ′ = 14 x2 + y 2
vii
Berechnet man ẋ durch differenzieren der ersten Gleichung von (7.42), so erhält man nicht
die zweite Gleichung (7.42), sondern
ẋ = ȧ(t) cos(t + ϕ0 ) −a(t) sin(t + ϕ0 ),
{z
}
|
∝ǫ
der zu ǫ proportionale Term fehlt in Gleichung (7.42), was im Rahmen der gewählten Näherung (∝ ǫ0 ) für x konsistent ist.
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
271
Aufgabe 3: Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme für die angegebenen
Differentialgleichungen erster Ordnung — ermitteln Sie also zunächst die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und passen Sie die darin auftretende Konstante so an, daß die vorgegebene Anfangsbedingung y(x0 ) = y0 erfüllt wird —
damit erhalten Sie eine partikuläre (spezielle) Lösung der Differentialgleichung:
*(a) y ′ + cos(x) · y = 0; y(π/2) = 2π. Lösung: y(x) = 2πe− sin x+1 .
x
(b) x(x + 1)y ′ = y; y(1) = 1/2. Lösung: y(x) = x+1
.
√
(c) y 2 y ′ + x2 = 1; y(2) = 1. Lösung: 3 3 + 3x − x3 .
(d) x2 y ′ = y 2 + xy; y(1) = −1 (Substitution: u = y/x). Lösung: y =
√
(e) yy ′ = 2e2 x; y(0) = 2. Lösung: y = 2 + 2e2x .
x
.
−1−ln x
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
272
Aufgabe 4: Freier Fall mit Reibung — Fallschirmspringer
Die Bewegung eines Fallschirmspringers nach dem Absprung soll beschrieben werden. Newtons zweites Gesetz “Kraft(F ) = Masse(M ) ∗ Beschleunigung(a)”
F =m∗a
liefert uns die Beschleunigung, wenn die Masse m (eine Eigenschaft des “Systems”)
und die von außen wirkende Kraft (eine Eigenschaft der “Umgebung”) bekannt
sind zu
a=
F
m
F setzt sich zusammen aus der “nach unten” wirkenden Schwerkraft FD = mg
(g = 9.81m/s2) und der “nach oben” wirkenden, von der Geschwindigkeit v abhängenden Kraft des Luftwiderstands FU . Für FU sind verschiedene Modelle möglich:
Laminare Widerstandskraft Bei kleinen Geschwindigkeiten v gilt
FU = −cv,
mit dem Widerstandskoeffizienten c ([c] = kg/s) — Stokessche-Reibung.
Turbulente Widerstandskraft Bei großen Geschwindigkeiten v gilt
FU = −kv 2 ,
mit dem Widerstandskoeffizienten k ([k] = kg∗m−1 ) — Newtonsche Reibung.
Reynolds-Kriterium: Eine Strömung mit der Geschwindigkeit U um einen Körper
mit der Längsabmessung L in einem Medium mit der Zähigkeit η und der Dichte
ρ ist laminar bzw. turbulent, wenn für die Reynoldszahl
Re =
UL
η/ρ
Re ≪ 1000 bzw. Re ≫ 1000 gilt.
Für Luft ist η = 1.8 ∗ 10−5 kg ∗ m−1 ∗ s−1 und ρ = 1.2kg ∗ m−3 , also Re =
U L/(1.5 ∗ 10−5 m2 ∗ s−1 ), für L ≈ 0.5m folgt also Re ≈ U/(m/s) ∗ 3 ∗ 104 , so
daß für realistische Probleme eigentlich immer mit der Newtonschen Reibung
gerechnet werden muß.
Weil ja die Beschleunigung die erste Ableitung der Geschwindigkeit ist, erhalten
wir die Differentialgleichungen:
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
273
Stokessche Reibung
dv
c
=g− v
dt
m
(7.43)
Newtonsche Reibung
k
dv
= g − v2
dt
m
(7.44)
Als Anfangsbedingung haben wir jeweils v(t = 0) = 0.
Zahlenwerte: k = 0.25kg/m, m = 68.1kg, c = 12.5kg/s, g = 9.81m/s2 .
Bestimmen Sie die Lösungen des Anfangswertproblems fur den Anfangswert
v(0) = 0. setzen Sie die angegebene Zahlenwerte ein. Skizzieren Sie die Lösung im
Bereich 0 ≤ t ≤ 20s. Führen Sie das durch für
(a) Stokessche Reibung,
(b) Newtonsche Reibung.
Aufgabe 5: Bestimmen Sie eine Näherungslösung für die Duffingsche Differentialgleichung
ẍ + ω 2 x + µx3 = 0
indem Sie zunächst durch geeignetes Umskalieren der Zeit, also die Substitution
τ = αt mit geeignetem α die Gleichung auf die Form
ẍ + x + ǫx3 = 0
bringen und dann die Mittelungsmethode von Bogoliubov und Krylov
anwenden.
Aufgabe 6: Finden Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen:
(a) ẍ − 2ẋ − 3x = t,
(b) ẍ − 2ẋ − 5x = t2 − 2t,
(c) ẍ − 5ẋ − x = 5et .
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
274
Aufgabe 7: Finden Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen:
(a) ẍ − 3ẋ + 4x = cos 4t − 2 sin 4t,
(b) 9ẍ − 12ẋ + 4x = e−3t ,
(c) 2ẍ + 4ẋ − 7x = 7 cos 2t.
Aufgabe 8: Zeigen Sie, daß die charakteristische Gleichung der folgenden Differentialgleichung (D := dtd )
D3 x − 9D2 x + 27Dx − 27x = 0
durch
pL (λ) = (λ − 3)3 = 0
gegeben ist und verwenden Sie diese Information, um die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen anzugeben:
(a) D3 x − 9D2 x + 27Dx − 27x = cos t − sin t + t,
(b) D3 x − 9D2 x + 27Dx − 27x = et ,
(c) D3 x − 9D2 x + 27Dx − 27x = e3t + t.
Aufgabe 9: Bestimmen Sie mit Hilfe der Duhamel-Formel die DGL
ÿ + y = t.
Hinweis: Wählen Sie t0 = 0
Aufgabe 10: Bestimmen Sie mit Hilfe der Duhamel-Formel die DGL
ÿ + y = sin t.
Hinweis: Wählen Sie t0 = 0 und verwenden Sie später die Additionstheoreme der
trigonometrischen Funktionen.
Interpretieren Sie die physikalische Bedeutung der Lösung!
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
275
Aufgabe 11: Lösen Sie die DGL
ÿ + y = sin t,
indem Sie für yp einen geeigneten Ansatz verwenden.
Hinweis: Beachten Sie, daß sin t =
kombiniert werden können!
ejt −e−jt
2j
ist, und daß Ansätze für yp linear
Aufgabe 12: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen:
(a) ÿ + 9y = e5t ; Lösung: y = C1 cos 3t + C2 sin 3t +
1 5t
e ,
34
(b) ÿ − y = et (t2 − 1); Lösung: y = et ( 16 t3 − 41 t2 − 41 t) + C1 e−t + C2 et ,
(c) ÿ + 4y = cos 2t; Lösung: y = C1 cos 2t + (C2 + 4t ) sin 2t,
(d) ÿ + y = t + 2et ; Lösung: y = C1 cos t + C2 sin t + t + et ,
(e) y ′′ + 3y ′ = 9x; Lösung: y = C1 + C2 e−3x + 32 x2 − x.
Aufgabe 13: geben Sie die allgemeine Lösung an:
(a) y ′′ + 4y =
1
;
sin 2x
Lösung: y = (C1 − x2 ) cos 2x + (C2 + 14 ln sin 2x) sin 2x,
(b) y ′′ + y = tan x; Lösung: y = C1 cos x + C2 sin x − cos x ln tan( x2 + π4 ),
(c) y ′′ + y ′ =
(d) y ′′ +4y =
1
;
1+ex
1
;
sin2 x
Lösung: y = C1 + C2 e−x − (1 + e−x ) ln(1 + ex ) + x,
Lösung: y = (C1 −ln |sin x|) cos 2x+(C2 −x− 12 cot x) sin 2x.
KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
276
Aufgabe 14: Ein Motoradmotor wird durch die Massenkräfte seines Kurbeltriebs von innen zu Schwingungen erregt. Ist n die Motordrehzahl, so gilt annähernd für die Motordrehzahl x(t)
2
ẍ + 2dẋ + k x = Aω
2
1
cos ωt + cos 2ωt ,
4
mit ω = 2πn und k = 4d = 240 21 .
(a) Welche Eigenfrequenz ω1 hat die Motoraufhängung? (Zu ihrer Berechnung
setze man setze A = 0!)
(b) In welchem Drehzahlbereich läuft das Motorad besonders rauh? Dazu setze
man
x(t) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(2ωt + ϕ2 ),
berechne A1 , A2 und bestimme die n, für welche A1 bzw. A2 maximal
werden. Mit einem (Taschen-) rechner bestimmeman den Drehzahlbereich,
für welchen
q
A21 + A22 > 2A.
Aufgabe 15: Man zeichne das Phasenportrait ((x, ẋ)-Ebene für die gedämpfte freie Schwingung
ẍ + 2dẋ + k 2 x = 0,
mit ω = 2πn und k = 4d = 240 21 .
Aufgabe 16: Das ebene autonome DGL-System
ẋ = −y + xf (x2 + y 2 )
ẏ = x + yf (x2 + y 2 )
hat in Polarkoordinaten r = r(t), ϕ = ϕ(t) die einfache Gestalt
ṙ = rf (r2 ),
ϕ̇ = 1.
(a) Man bestätige dies mit der Kettenregel aus
x(t) = r(t) cos ϕ(t) und y(t) = r(t) sin ϕ(t).
(b) Bestimmen Sie eine Lösung für den Fall f (u) = 1 −
(c) Zeichen Sie für diesen Fall das Phasenportrait.
q
(u).
Kapitel 8
Matrizen und lineare
Gleichungssysteme
Matrizeni
8.1
8.1.1
Einführung
Matrix-Techniken werden z.B. in folgenden Bereichen eingesetzt:
• Lösung linearer Geleichungssysteme
• Ausdrücken der Beziehung zwischen Vektorkomponenten in verschiedenen
— z.B. gegeneinander gedrehten — Koordinatensystemen
• Darstellung geometrischer Transformationen wie
– Drehungen
– Spiegelungen
– Dehnungen
durch Matrixoperationen auf den Komponenten der beteiligten Vektoren.
i
Dieser Abschitt lehnt sich an Mathematik für Ingenieure, Wolfgang Brauch,
Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haake, Wiesbaden: Teubner, 2006 ([3]) und an Modern Engineering Mathematics, James Glyn et. al., Harlow,. . . : Prentice Hall, 2001 ([18])
an.
277
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
8.1.2
278
Grundbegriffe, Definitionen
Zwischen zwei Größensystemen x1 , x2 , x3 ,. . . , xn und y1 , y2 , y3 ,. . . , ym bestehe
folgender Zusammenhang
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = y1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = y2
..........................................
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = ym
(8.1)
Derartige lineare Beziehungen kommen häufig vor. Oft ist eines der beiden Systemem xk oder yi gegeben, das andere gesucht. Die Größen xk , yi und aik können
z.B. folgende Bedeutungen haben:
Gebiet
Elastizitätstheorie
elektrisches Netzwerk
Kostenrechnung
Geometrie
xk
Deformationen
Ströme
Warenmengen
Koordinaten
aik
elastische Konstanten
Widerstände
Kostenfaktoren
Transformationskoeffizienten
yi
Spannungen
Spannungen
Kostenarten
Transformierte Koordin
Für die Beschreibung von Rechenverfahren oder für Beweisführungen ist es zweckmäßig, irgendwelche Umformungen von Gleichung 8.1 nicht mühsam mit den einzelnen Elementen, sondern in einer Kurzschrift mit dem ganzen System vorzunehmen und erst am Schluß die Einzelberechnung durchzuführen. Man schreibt
deshalb Gleichung 8.1 in der Form
(8.2)
Ax = y
und nennt das Koeffizientenschema A einen Matrix.
Definition: Eine rechteckige Anordnung von Koeffizienten aik aus m Zeilen und
n Spalten heißt eine (m, n)-Matrix A. Man schreibt
A = (aik ) =






a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
am1 am2
a13 · · · a1n
a23 · · · a2n
..
.
. · · · ..
am3 · · · amn






(8.3)
Die Koeffizienten aik heißen Elemente der Matrix. Alle nebeneinanderstehenden
Elemente der Matrix bilden eine Zeile, alle untereinander stehenden Elemnte eine
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
279
Spalte der Matrix. Wegen der formalen Ähnlichkeit mit der Koordinatenschreibweise der Vektoren nennt man sie auch Zeilen- oder Spaltenvektoren:
ai = (ai1 , ai2 , . . . , ain ) i-ter Zeilenvektor


a1k


 a2k 

ak =  .. 
 k-ter Spaltenvektor
 . 
amk
Auch die schematisch zusammengefaßten Größen
x=





x1
x2
...
xn





und y =





y1
y2
...
ym





werden wegen ihrer formalen Ähnlichkeit mit Vektoren oft Vektoren genannt. Sie
sind eine Matrix mit n bzw. m Zeilen und einer Spalte und können z.B. die untereinander geschriebenen Ströme (x) und Spannungen (y) in einem elektrischen
Netzwerk bedeuten.
Abbildung 8.1: Koordinatentransformation
Beispiel: Wir betrachten die Koordinatentransformation in Abbildung 8.1. Aus
trigonometrischen Überlegungen folgt:
x′ = OL + LM + M N
= x cos θ + QM sin θ + M P sin θ
= x cos θ + (QM + M P ) sin θ
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
280
und daher
(8.4)
x′ = x cos θ + y sin θ
ähnlich folgt
(8.5)
y ′ = −x sin θ + y cos θ
Definiert man jetzt
T =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
!
,
x
y
x=
!
,
x′
y′
′
x =
!
(8.6)
dann kann man die Gleichungen 8.4 und 8.5 als
(8.7)
x′ = T x
umschreiben.
Es folgt die Definition einiger Begriffe:
Transponierte Matrix: Vertauscht man in einer Matrix A alle Zeilen mit den
Ihenen entsprechenden Spalten, so erhält man die zur Matrix A transponierte
Matrix AT .
Beispiel:
A=
A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
1 2 3
4 5 6
!
!


a11 a21

T
A =  a12 a22 

a13 a23


1 4

T
A = 2 5 

3 6
Die Elemente der Matrix mit zwei gleichen Inizes (a11 , a22 ) bleiben dabei an der
gleichen Stelle.
Quadratische Matrix: Matrizen, bei denen die Anzahl der Zeilen und ide Anzahl der Spalten gleich groß sind, heißen quadratische Matrizen. Die Elemente mit
zwei gleichen Indizes, also a11 , a22 , . . . , ann bilden die Hauptdiagonale der Matrix.
A = (aik ) =






a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
..
..
..
.
.
.
. · · · ..
an1 an2 an3 · · · ann






(8.8)
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
281
Einheitsmatrix: Eine quadratische Matrix, in der die Elemente in der Hauptdiagonale alle den Wert Eins haben, während alle übrigen Elemente den Wert
Null haben, heißt Einheitsmatrix. Sie spielt in der Matrrizenrechnung die gleiche
Rolle wie die Zahl Eins in der Arithmetik und wird mit E bezeichnet:



E=

1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1





Einheitsmatrix
Zeilenvektoren dieser Matrix:
e1
e2
e3
e4
=
=
=
=
(1,
(0,
(0,
(0,
0,
1,
0,
0,
0,
0,
1,
0,
0)
0)
0)
1)
Spaltenvektoren dieser Matrix:
e1 =





1
0
0
0



,

e2 =





0
1
0
0



,

e3 =





0
0
1
0



,

e4 =





0
0
0
1





Die Zeilen- und Spaltenvektoren der Einheitsmatrix E sind also die sogennanten
kanonischen Einheitsvektoren des Rn .
Die Einkeitsmatrix E = (δij ) hat die Elemente
δij =
(
1
0
für i = j
für i =
6 j
Null-Matrix: Eine Matrix bei der sämtliche Elemente den Wert Null haben
heißt Null-Matrix; sie wird mit 0 bezeichnet:


0 0 0 0


0= 0 0 0 0 
0 0 0 0
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
8.1.3
282
Rechenregeln für Matrizen
Definition: Stimmen zwei Matrizen in Spalten- und Zeilenanzahl überein, so sind
sie vom gleichen Typ.
Gleichheit zweier Matrizen: Zwei Matrizen A = (aik ) und B = (bik ) heißen
gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und alle ihre Elemente übereinstimmen:
aik = bik
8.1.3.1
für alle i und k
Einfache Operationen
Addition von Matrizen: Die Addition vom Matrizen ist einfach: Man kann
nur Matrizen vom gleichen Typ addieren und die Elemente der Summenmatrix
A + B = C = (cij ) der Matrizen A = (aij ) und B = (bij ) ergeben sich als die
Summe der entsprechenden Elemente der Matrizen A und B:
A+B = C
⇐⇒
aij + bij = cij
 

a11 a12 a13 · · ·
 

 a21 a22 a23 · · · +
 

..
..
..
.
.
.



a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 · · ·
b11 b12 b13 · · ·



b21 b22 b23 · · ·  =  a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 · · · 



..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
Multiplikation mit einem Skalar: Die Matrix λA hat die Elemente λaij ; man
multipliziert also jedes Element mit einem Skalar λ:




a11 a12 a13 · · ·
λa11 λa12 λa13 · · ·




 λa21 λa22 λa23 · · · 
a
a22 a23 · · · 
λ
=

 21
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation mit einem Skalar:
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
A+B =B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
λ(A + B) = λA + λB
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
283
Aufgabe 1: Es seien


1 2 1

A= 1 1 2 
,
1 1 1


2 1

B= 1 0 
,
1 1
Bestimmen Sie — falls es möglich ist —


0 1 1

C= 0 0 1 

1 0 0
(a) A + B
(b) A + C
(c) C − A
(d) 3A
(e) 4B
(f) C + B
(g) 3A + 2C
(h) A + AT
(i) A − AT
(j) A + C T + B T
Was fällt Ihnen bei den Teilen 8.1.h und 8.1.i auf?
8.1.3.2
Matrix Multiplikation
Wir haben oben gesehen, wie der Zusammenhang zwischen zwei Größensystemen x1 , x2 , x3 ,. . . , xn und y1 , y2 , y3 ,. . . , ym repräsentiert durch die einT
und y =
spaltigen Matrizen (Spaltenvektoren) x = x1 x2 x3 · · · xn
T
y1 y2 y3 · · · yn
in der Form Ax = y ausgedrückt wird. Das ist der einfachste Fall der Matrizenmultiplikation, nämlich die Multiplikation einer Matrix
mit einer einspaltigen Matrix x. Für die i-te Komponente des resultierenden Vektors y gilt:
yi =
n
X
aij xj
(8.9)
j=1
Die Multiplikation einer (m, n)-Matrix A mit einem (n, 1)-Spaltenvektor x, der
also die gleiche Zeilenanzahl wie die Matrix besitzt, ergibt also einen (m, 1)Spaltenvektor y.
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
284
Deshalb kann man die Multiplikation einer (m, n)-Matrix A mit einer (n, p)Matrix B dadurch definieren, das man A mit jedem der p Spaltenvektoren der
Matrix B, d.h also mit bl , l ∈ {1, . . . , p}, auf obige Weise verknüpft. Es entstehen p Spaltenvektoren cl , l ∈ {1, . . . , p} mit jeweils m-Zeilen; schreibt man diese
nacheinander in die resultierende Matrix C, so ergibt sich eine (m, p)-Matrix; in
Formeln:
A = (aij ), B = (bij ), C = (cij )
C = A∗B
⇐⇒
cl = Abl
für l ∈ {1, . . . , p}
⇐⇒
(8.10)
(8.11)
(8.12)
(8.13)
(8.14)
cil =
(8.15)
n
X
aij bjl
j=1
(8.16)
(8.17)
⇐⇒
cil = ai · bl
Matrix-Produkt: Man erhält das Element cij der Produktmatrix C = (cij ) =
A ∗ B indem man ai , den i-ten Zeilenvektor von A, skalar mit bj , dem j-ten
Spaltenvektor von B multipliziert. Voraussetzung für die Durchführbarbeit ist,
daß die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. Ist A
eine (m, n)-Matrix und B eine (n, p)-Matrix so wird C eine (m, p) − M atrix.
In C = A ∗ B wird meistens das Multiplikationszeichen weggelassen, man schreibt
also C = AB.
Beispiel: Um zu sehen, daß diese Definition sinnvoll ist, betrachten wir die Transformation der Größen x1 , x2 auf neue Variablen y1 und y2 sowie eine darauf folgende Transformation von y1 , y2 nach z1 und z2 , die durch folgende Gleichungen
vermittelt wird:
z1 = a11 y1 + a12 y2 ,
z2 = a21 y1 + a22 y2 ,
y1 = b11 x1 + b12 x2
y2 = b21 x1 + b22 x2
Substituiert man nun die Gleichungen für die y1 und y2 in die Gleichungen für
z1/2 so ergibt sich nachdem die Terme vor x1/2 gruppiert wurden:
z1 = (a11 b11 + a12 b21 )x1 + (a11 b12 + a12 b22 )x2
z2 = (a21 b11 + a22 b21 )x1 + (a21 b12 + a22 b22 )x2
(8.18)
(8.19)
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
285
Mit
A=
a11 a12
a21 a22
!
und B =
b11 b12
b21 b22
!
gilt also z = Ay und y = Bx sowie z = Cx, wobei C nach Gleichung 8.18 durch
C=
a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22
a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22
!
gegeben ist — und das ist genau die Definition des Matrixproduktes C = A ∗ B.
Zur Berechnung des Matrixproduktes ist folgende Anordnung der Matrizen nützlich:
a11 a12
a21 a22
!
b11 b12
b21 b22
!
c11 c12
c21 c22
!
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
286
Aufgabe 2: Es seien die Beziehungen
z1 = y1 + 3y2
z2 = 2y1 − y2
und
y1 = −x1 + 2x2
y2 = 2x1 − x2
gegeben.
(a) Eliminieren Sie die y1/2 aus diesen Beziehungen, und geben Sie die zwischen
den z1/2 und x1/2 geltenden Gleichungen an.
(b) Schreiben Sie die Gleichungen zwischen y1/2 und x1/2 in Matrix-Form als
y = Bx und die Gleichungen zwischen z1/2 und y1/2 in Matrix-Form als
z = Ay und die zwischen z1/2 und x1/2 als z = Cx an.
(c) Berechnen Sie A ∗ B und vergleichen Sie mit C aus der vorigen Aufgabe.
Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation:
Kommutativgesetz Im allgemeinen gilt nicht das Komutativgesetz, d.h. es ist
im allgemeinen AB 6= BA. Verifizieren Sie das an den Matrizen
A=
1 0
0 0
!
und
B=
1 2
1 0
!
.
Assoziativgesetz A(BC) = (AB)C
Distributivgesetz für Multiplikation mit Skalaren (µA)B = A(µB) =
µ(AB)
Distributivgesetz (A + C)B = AC + BC und A(B + C) = AB + AC
Multiplikation mit der Einheitsmatrix EA = A und AE = A
Transponierung (AB)T = B T AT
287
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
8.2
Lineare Gleichungssysteme
8.2.1
Einleitung
Wir wollen uns mit Systemen von n linearen Gleichungen für n Unbekannte beschäftigen. Die komplizierteren Fälle, in denen die Anzahl der Unbekannten von
der Anzahl der Gleichungen abweicht sollen jetzt nicht betrachtet werden.
Beispiel:
x1 + 2x2 = 4
2x1 + x2 = 5
(8.20)
Hier ist n = 2, man hat zwei Gleichungen für die zwei Unbekanten x1 und x2 .
Zur Lösung subtrahiert man 2×Gleichung 1 von Gleichung 2 und erhält:
x1 + 2x2 = 4
−3x2 = −3
Aus der zweiten Gleichung folgt x2 = 1; das wird in die erste Gleichung eingesetzt,
woraaus dann x1 = 2 folgt.
Dieses Beispiel illustriert die grundlegende Idee des Gaußschen Eliminationsverfahrens (nach Carl Friedrich Gauß; ∗Braunschweig 30.4.1777, †Göttingen
23.2.1855).
8.2.2
Bezeichnungen
Um dieses Verfahren für beliebig viele Unbekannte formulieren zu können, benötigen wir einige neue Bezeichnungen:
Zunächst sieht man, daß obiges Gleichungssystem (8.20) sich mit Hilfe der Matrix
A=
1 2
2 1
des Vektors
x=
x1
x2
!
!
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
288
und des Vektors
!
4
5
y=
formal als
(8.21)
Ax = y,
also als
1 2
2 1
!
x1
x2
!
4
5
=
!
schreiben läßt. Dabei ist Ax ein neuer Vektor x′ , der sich durch Multiplikation
der Matrix A mit dem Vektor x nach folgender Vorschrift ergibt:
x′1
x′2
′
Ax = x =
!
1
2
:= x1
!
+ x2
2
1
!
Für eine allgemeine 2 × 2-Matrix
!
a11 a12
a21 a22
A=
und eine allgemeine rechte Seite y = (y1 , y2 )T wäre also die Matrix-Gleichung
a11 a12
a21 a22
!
x1
x2
!
y1
y2
=
!
eine Kurzschreibweise für das Gleichungssystem
(8.22)
(8.23)
a11 x1 + a12 x2 = y1
a21 x1 + a22 x2 = y2 ,
das man vektoriell als
x1
a11
a21
!
+ x2
a12
a22
!
=
y1
y2
!
,
beziehungsweise mit den Spaltenvektoren
a1 :=
a11
a21
!
,
a2 :=
a12
a22
!
(8.24)
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
289
der Matrix A als
(8.25)
x1 a1 + x2 a2 = y.
schreiben kann.
Man sieht daraus, daß das Lösen eines linearen Gleichungssystems gleichbedeutend ist mit der Zerlegung eines vorgegebenen Vektors (hier y) in vorgegebene
Richtungen (hier a1 und a2 ).
In obigem Beispiel (8.20) ist also
a11 a12
a21 a22
!
=
1 2
2 1
!
sowie
y1
y2
!
=
4
5
!
Der Fall von n linearen Gleichungen für n Unbekannte läßt sich weitgehend analog
behandeln:
Gesucht sind die n Unbekannten x1 , x2 , . . . xn, für die n lineare Gleichungen
bestehen:
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = y2
.................................
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = yn
(8.26)
Die “rechte Seite” der Gleichung ist durch den Vektor y = (y1 , y2 , · · · , yn )T gegeben. Die Zahlen aij mit i, j ∈ 1, 2, . . . n sind vorgegebene Konstanten.
In der Form (8.21) Ax = y sieht das so aus:






a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..
..
..
...
.
.
.
an1 an2 · · · ann






x1
x2
..
.
xn






=






y1
y2
..
.
yn






(8.27)
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
290
Dabei ist






A =






x =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..
..
..
...
.
.
.
an1 an2 · · · ann
x1
x2
..
.
xn



,


y=












y1
y2
..
.
yn






Die vektorielle Form des Gleichungssystems ergibts sich ganz analog zum zweidimensionalen Fall:
Wie in (8.24) definieren wir die Spaltenvektoren der Matrix A:
a1



:= 



a11
a21
..
.
an1


,


a2



:= 


a12
a22
..
.
an2



,


··· ,
an



:= 


a1n
a2n
..
.
ann



.


(8.28)
Damit ergibt sich wie im zweidimensionalen Fall (8.25) die vektorielle Form des
Gleichungssystems
(8.29)
x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = y,
die auch hier wieder als die Aufgabe interpretiert werden kann, den Vektor y nach
den vorgegebenen Richtungen a1 , a2 , . . . , an zu zerlegen.
Wir führen schließlich noch die erweiterte Matrix dieses Gleichungssystems ein:
(A|y) =
8.2.3






a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..
..
..
...
.
.
.
an1 an2 · · · ann
y1
y2
..
.
yn






(8.30)
Äquivalente Umformungen
Bei linearen Gleichungssystemen der Form (8.26) ändert sich die Lösung (exakter
die Lösungsmenge) nicht, wenn folgende Operationen, die sogenannten elementaren Operationen auf das Gleichungssystem angewandt werden:
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
291
1. Austausch zweier Gleichungen von (8.26) — Das entspricht bei der erweiterten Matrix (8.30) dem Austausch zweier Zeilen der Matrix (A|y).
2. Addition des Vielfachen einer Gleichung des Gleichungssystems (8.26) zu
einer anderen Gleichung — für die erweiterte Matrix (8.30) (A|y) heißt das,
daß das Vielfache einer Matrixzeile zu einer anderen addiert wird.
8.2.4
Gaußsches Eliminationsverfahren
Die elementaren Umformungen sollen nun verwendet werden, um ein vorgegebenes
Gleichungssysten mit der erweiterten Matrix (A|y) in eine Form (A′ |y′ ) umzuformen, bei der links unterhalb der Diagonalen von A′ nur noch Nullen stehen. Wir
wollen uns das an einem Beispiel klar machen, das auch zeigen wird, daß dann
die Lösung des Gleichungssystems ganz einfach wird.
Vorgelegt sei das lineare Gleichungssystem
(8.31)
(8.32)
(8.33)
x2 + x3 = 3
2x1 + x2 + 2x3 = 7
3x1 + 2x2 − x3 = 12
In Matrix-Form ist das





x1
3
0 1 1





 2 1 2   x2  =  7  ,
12
x2
3 2 −1
woraus sich die erweiterte Matrix

0 1 1

 2 1 2
3 2 −1
ergibt.

3
7 

12
(8.34)
Zunächst betrachten wir die erste Spalte. Die Gleichungen werden so vertauscht,
daß in der ersten Spalte in der ersten Zeile ein von Null verschiedenes Element plaziert wird, falls ein solches vorhanden ist. Für das numerische Rechnen (Computer
oder Taschenrechner) ist es günstig wenn dort das betragsmäßig größte Element
steht. Deshalb vertauschen wir jetzt die 3. Zeile mit der ersten Zeile und erhalten

3 2 −1

 2 1 2
0 1 1

12
7 

3
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
292
Nun wird das −2/3-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addiert:

3
2
−1

 0 −1/3 8/3
0
1
1

12
−1 
.
3
Nachdem in der 1. Spalte alle Elemente unterhalb der 1. Zeile gleich Null sind
wenden wir uns der zweiten Spalte zu: Ziel ist es hier, daß alle Elemente unterhalb
der 2. Zeile zu Null werden.
Wir addieren das 3-fache der 2. Zeile zur 3. Zeile, und erhalten:

3
2
−1

 0 −1/3 8/3
0
0
9

12
′ ′
−1 
 = (A |y ).
0
Das heißt, wir haben jetzt eine neue erweiterte Matrix (A′ |y′ ) wobei in A′ unterhalb der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) nur Nullen stehen.
Das zugehörige Gleichungssystem lautet:
(8.35)
(8.36)
(8.37)
3 x1 + 2 x2 − x3 = 12
−1/3 x2 + 8/3 x3 = −1
9 x3 = 0
Jetzt wird von unten nach oben zurück substituiert:
• Aus der dritten Gleichung folgt x3 = 0.
• Damit liefert die zweite Gleichung x2 = 3.
• Schließlich gewinnt man aus der ersten Gleichung x1 = 2.




x1
2




Man hat also den Lösungsvektor x =  x2  =  3 .
0
x3
Das an diesem Beispiel durchgerechnete Verfahren ist das Gaußsche Eliminationsverfahren, das man allgemein so beschreiben kann:
293
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
Vorgelegt sie ein lineares (n × n)-Gleichungssystem, das wir gleich in der erweiterten Form aufschreiben:
(A|y) =






a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..
..
..
...
.
.
.
an1 an2 · · · ann
y1
y2
..
.
yn






Man arbeitet sich nun beginnend mit der 1. Spalte von links nach rechts bis zur
n-ten Spalte vor. Bei der Bearbeitung der i-ten Spalte geht man so vor:
1. Wenn alle Elemente unterhalb der i-ten Zeile Null sind, ist man fertig.
2. Andernfalls vertauscht man die i-te Zeile mit der unterhalb stehenden Zeile,
die das betragsmäßig größte Element enthält.
3. Dann subtrahiert man Vielfache der i-ten Zeile von den darunterliegenden
Zeilen; die Vielfachen werden dabei so gewählt, daß alle Elemente unterhalb
der i-ten Zeile Null werden.
So entsteht eine erweiterte Matrix in der oberen Dreiecksform.

(A′ |y′ ) =








a′11 a′12 a′13
0 a′22 a′23
0
0 a′33
..
..
..
.
.
.
0
0
0
···
···
···
...
a′1n
a′2n
a′3n
..
.
y1′
y2′
y3′
..
.
···
a′nn
yn′









(8.38)
das zugehörige Gleichungssystem läßt sich — wie im Beispiel — von unten nach
oben durch “Rücksubstitution” lösen.
8.2.5
Das Gauß-Jordan-Verfahren
Es sei s := ±1, je nachdem, ob die Anzahl der Gleichungsvertausschungen in
obigem Verfahren positiv (s = 1) oder negativ (s = −1) war. Dann ist die Zahl
s×
n
Y
i=1
a′ii
(8.39)
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
294
gleich der Determinante ii Det A der Matrix A.
Ist nun Det A 6= 0, so kann Gleichung 8.38 weiter in folgenden Schritten umgeformt werden:
1. Jede Zeile wird durch das entsprechende Diagonalelement dividiert, die i-te
Zeile also durch aii .
2. Von rechts beginnend arbeitet man sich von der n-ten Spalte bis zur 1-ten
Spalte vor, wobei auf Position i folgendes getan wird:
Geeignete Vielfache der i-ten Zeile werden zu den darüberliegenden Zeilen
addiert, so daß in Spalte Nr. i nur noch aii von Null verschieden — nämlich
gleich eins — ist.
In obigem Beispiel führt das zu:
3
2
−1

 0 −1/3 8/3
0
0
9

1 2/3 0

1 0
 0
0 0 1




1 2/3 −1/3
12


−8
−1  →  0 1
0
0 0
1

1 0 0
4


3 → 0 1 0
0 0 1
0


2
3 

0

4
3 
→
0

2

Hier kann die Lösung direkt als x =  3 
 abgelesen werden.
0
In allgemeiner Form folgt:

(A′′ |y′′ ) =








··· 0
··· 0
··· 0
. . . ..
.
0 0 0 ··· 1
1
0
0
..
.
0
1
0
..
.
0
0
1
..
.
y1′′
y2′′
y3′′
..
.
yn′′









= (E|y′′ )
(8.40)
Die rechte Seite y′′ der so umgeformten erweiterten Koeffizentenmatrix ist also
bereits die Lösung x der Gleichung. Das hier angewendete Verfahren heißt GaußJordan-Elimiationsverfahren.
ii
Es ist hier nicht offensichtlich, daß so Det A eindeutig bestimmt ist, es gibt aber andere
“direktere” Methoden zur Berechnung von Det A, z.B. den Entwicklungssatz von Laplace, der
aber wesentlich rechenaufwändiger ist.
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
295
Existenz der Inversen zur Matrix A: Genau dann, wenn für eine Matrix
Det A 6= 0, ist die Gleichung Ax = y für jede rechte Seite y eindeutig (durch nur
ein x) lösbar. Die obige Konstruktion des Gauß-Jordan-Verfahrens zeigt, daß x
(oben y′′ ) linear von y abhängtiii und daß deshalb x durch eine Matrixmultiplikation mit einer Matrix L aus y hervorgeht: x = Ly
Die so definierte Matrix L heißt die zu A inverse Matrix und wird mit A−1 bezeichnet.
Auch L = A−1 ist in diesem Sinne umkehrbar mit L−1 = A, weil eben auch die
Gleichung Ly = x für jede rechte Seite x eindeutig lösbar ist.
8.2.6
Die inverse Matrix
Für eine Matrix A mit Det A 6= 0 läßt sich die Gleichung Ax = y durch x = A−1 y
lösen. Es gilt also
Ax = y
⇐⇒
A A−1 y = y
Die letzte Gleichung gilt für jeden Vektor y insbesondere also auch für die kanonischen Einheitsvektoren e1 , e2 ,. . . , en iv . Setzt man diese für y ein, so ergibt
sich, daß die Spaltenvektoren von A A−1 auch diese kanonischen Einheitsvektoren
sind, also gilt:
(8.41)
AA−1 = E
iii
Denn durch die elementaren Umformungen und den Divisionsschritt (Division durch aii )
wird jedes y′′i als Linearkombination der yρ dargestellt, d.h. es existieren Konstanten liρ so, daß
y′′i
=
n
X
liρ yρ .
ρ=1
iv



e1 = 

1
0
..
.
0






,
e
=
 2 


0
1
..
.
0






,
.
.
.
,
e
=


n


0
0
..
.
1





KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
296
Oben war angedeutet worden, daß L = A−1 die inverse Matrix A besitzt. Daher
gilt
(8.42)
A−1 A = E
Mit der inversen Matrix lassen sich lineare Gleichungsssysteme durch “Multiplikation von links mit der Inversen” lösen:
Ax = y
⇐⇒
A−1 Ax = A−1 y
⇐⇒
Ex = A−1 y
⇐⇒
x = A−1 y
Ist die Inverse A−1 bekannt, erhält man also die Lösung für jede rechte Seite y
durch Multiplikation mit A−1 .
Berechnung der Inversen: Löst man die lineare Gleichung
Ax = ei ,
wobei wieder ei den i-ten kanonischen Einheitsvektor bezeichnet, so ist die Lösung
x = A−1 ei der i-te Spaltenvektor von A−1 .
Deshalb berechnet man die Inverse indem man obiges Gauß-Jordan-Verfahren auf
die um n rechte Seiten e1 , e2 , . . . , en , also um die Einheitsmatrix E erweiterte
Koeffizientenmatrix (A|E) anwendet:
(A|E)
→
···
→
(E|A−1 )
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
297


2 0 0

Beispiel: Wir wollen die Inverse zu A =  2 1 −6 
 berechnen:
6 0 −1


2 0 0

(A|E) =  2 1 −6
6 0 −1
1 0 0
0 1 0 

0 0 1


2 0 0
1 0 0

−1 1 0 
→  0 1 −6

0 0 −1
−3 0 1
Nebenergebnis: Det A = 2 ∗ 1 ∗ (−1) = −2


1/2 0 0
1 0 0

−1 1 0 
→  0 1 −6

3 0 −1
0 0 1


1 0 0

→  0 1 0
0 0 1
Also ist A−1
8.2.7
1/2 0 0
−1
17 1 −6 
 = (E|A )
3 0 −1


1/2 0 0

=  17 1 −6 
.
3 0 −1
Die Determinante einer Matrix
Eine Matrix A, bei der links unterhalb der Diagonalen von A nur noch Nullen
stehen, heißt eine (obere) Dreiecksmatrix. In Gleichung 8.39 haben wir für die
obere Dreiecksmatrix A′ aus Gleichung 8.38 das Produkt der Diagonalelmente
berechnet. Dieses Produkt hat eine wichtige geometrische Bedeutung:
Satz: Das Produkt der Diagonalelemente einer Dreiecksmatrix ist gleich dem
Volumen des von den Spaltenvektoren gebildeten Parallelotops und gleich dem
Volumen des von den Zeilenvektoren gebildeten Parallelotops.
Begründung: Für die Matrix


1 2 3

A= 0 4 5 

0 0 6
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME





298

3
2
1





mit den Spaltenvektoren a1 =  0 , a2 =  4  und a3 =  5 
 ist 6 die Höhe
6
0
0
des Vektors a3 über dem in der x-y-Ebene liegenden, von a1 und a2 aufgespannten
Parallelogramm, also ist das Volumen des Parallelotops durch
6 × Fläche des von a1 u. a2 erzeugten Parallelogramms,
und die Parallelogrammfläche ergibt sich über “Grundseite mal Höhe”, daraus,
daß 4 die Höhe dieses Paralellogramms über der parallel zur x-Achse liegenden
Grundseite der Länge 1 ist, so daß sich schließlich das Volumen 6 × 4 × 1 ergibt.
Offensichtlich kann man das Verfahren dieses Beispiels auch im allgemeinen Fall
anwenden.
Das von n Vektoren eingeschlossene Volumen: Mit Vol(a1 , a2 , . . . , an ) soll
das gerichtete Volumen des von den n (Zeilen- oder Spalten-) Vektoren a1 , a2 ,
. . . , an gebildeten Parallelotops bezeichnet werden; mit “gerichtet” ist gemeint,
daß dieses Volumen auch negativ werden kann. Dieses Volumen hat folgende Eigenschaften:
1. Linearität in jedem Argument:
(a) Vol(. . . , αx, . . .) = α Vol(. . . , x, . . .) (Verlängerung einer Seite führt zu
proportionaler Vergrößerung des Volumens)
(b) Vol(. . . , x + y, . . .) = Vol(. . . , x, . . .) + Vol(. . . , y, . . .) (über eine Zeichnung für den zweidimensionalen Fall klarmachen)
2. Vol(. . . , x, . . . x, . . .) = 0 (Zwei gleiche Seiten lassen das Volumen zusammenklappen und das Volumen schrumft auf Null).
Verhalten des Volumens bei elementaren Umformungen: Die Vektoren
a1 , a2 , . . . , an werden jetzt als die Zeilenvektoren einer Matrix A interpretiert.
Dann gelten:
1. Bei der Vertauschung zweier Zeilen ändert Vol sein Vorzeichen:
Vol(. . . , x, . . . , y, . . .) = − Vol(. . . , y, . . . x, . . .)
Zum Beweis multipliziert man unter Beachtung der Linearität die Gleichung
0 = Vol(. . . , x + y, . . . , x + y, . . .)
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
299
aus:
0 = Vol(. . . , x + y, . . . , x + y, . . .)
= Vol(. . . , x, . . . , x, . . .) + Vol(. . . , x, . . . , y, . . .)
|
{z
}
=0
+ Vol(. . . , y, . . . , x, . . .) + Vol(. . . , y, . . . y, . . .)
|
{z
=0
}
2. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile ändert Vol nicht:
Vol(. . . , x + αy, . . . y, . . .) =
Vol(. . . , x, . . . y, . . .) + α Vol(. . . , y, . . . y, . . .)
= Vol(. . . , x, . . . y, . . .)
|
{z
=0
}
Vol bleibt also bis auf die durch Zeilenvertauschung hervorgerufenen Vorzeichenwechsel bei elementaren Umformungen unverändert. Das heißt:
Ist A = (a1 , . . . an ) die Matrix mit den Zeilenvektoren a1 , . . . an und ensteht
die Matrix A′ = (a′1 , . . . a′n ) mit den Zeilenvektoren a′1 , . . . a′n aus A durch
elementare Umformungen, so gilt:
Vol(a1 , . . . an ) = (−1)s Vol(a′1 , . . . a′n )
= (−1)s
n
Y
a′ii
i=1
= Det A
Hierbei ist s die Anzahl der durchgeführten Zeilenvertauschungen. Damit ist gezeigt:
Bedeutung der Determinante: Die in Gleichung 8.39 berechnete Determinante der Matrix A ist gleich dem Volumen des von den Zeilenvektoren a1 , a2 , . . . ,
an aufgespannten Parallelotops, also
Det A = Det(a1 , a2 , . . . , an ) = Vol(a1 , a2 , . . . , an );
insbesondere gelten die oben für Vol aufgestellten Rechenregeln auch für die Determinante Det.
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
300
Man kann zeigen, daß Det A auch gleich dem Volumen des von den Spaltenvektoren a1 , a2 , . . . , an aufgespannten Parallelotops ist.
Bezeichnung: Statt Det A schreibt man auch |A| bzw. in Elementenform auch
a11 a12 · · ·
..
..
Det A = |A| =
.
.
an1 an2 · · ·
a1n
..
.
ann
.
Mit Aij sei die Matrix bezeichet, die aus A durch Streichen der Zeile i und der
Spalte j entsteht, z.B.:


1 2 3

A =  4 5 6 

7 8 9
A11 =
5 6
8 9
!
A12 =
4 6
7 9
!
A21 =
2 3
8 9
!
A33 =
1 2
4 5
!
Der Laplacesche Entwicklungssatz: Die Determinante einer Matrix kann folgendermaßen berechnet werden:
1. Ist n = 1 so gilt A =
a11
und |A| = a11 .
2. Ist n > 1, so läßt sich das Berechnen der Determinante einer (n, n)-Matrix
A auf das Berechnen der Determinanten der (n−1, n−1)-Matrizen Aik über
folgende Formeln zurückführen:
(a) Entwicklung nach der i-ten Zeile:
|A| =
n
X
j=1
(−1)i+j aij × |Aij |.
Dabei ist i eine fest gewählte (konstante) Zeile.
(8.43)
301
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
(b) Entwicklung nach der j-ten Spalte:
|A| =
n
X
i=1
(8.44)
(−1)i+j aij × |Aij |.
Dabei ist j eine fest gewählte (konstante) Spalte.
Zum Beweis dieses Satzes zeigt man, daß die durch Gleichung 8.43 bzw. durch
Gleichung 8.44 definierten Matrixfunktionen alle Eigenschaften haben, die auch
die oben diskutierte Volumenfunktion Vol hat, und zeigt darüberhinaus, daß man
für eine Dreiecksmatrix als Wert das Produkt der Diagonalelemente erhält.
a11 a12
a21 a22
Beispiel: Für eine (2, 2)-Matrix A =
a12 a21 .
!
erhält man |A| = a11 a22 −
Für obige Matrix soll die Determinante durch Entwickeln nach der ersten Zeile
bestimmt werden:
|A| =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 × −2×
+3×
4 5
4 6
5 6
7 8
7 9
8 9
= 1 × (5 × 9 − 6 × 8) − 2 × (4 × 9 − 6 × 7) + 3 × (4 × 8 − 5 × 7)
=
8.2.8
Die Cramersche Regel
Einen ganz anderen Weg zur Lösung linearer Gleichungssysteme wird über die
Cramersche Regel beschritten:
Wir gehen aus von der vektoriellen Schreibweise (8.29) des linearen Gleichungssystems Ax = y, mit den Spaltenvektoren a1 , a2 , . . . an der Matrix A wobei wir
nur y auf der linken Seite der Gleichung stehen haben:
y = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an =
n
X
xi ai .
(8.45)
i=1
Nun bilden wir Det(y, a2 , . . . , an ), d.h. die Determinante der Matrix, bei der die
erste Spalte von A durch y ersetzt ist, und setzen dann für y die Darstellung
(8.45) ein:
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
n
X
Det(y, a2 , a3 , . . . , an ) = Det(
xi ai , a2 , . . . , an ) =
i=1
n
X
302
xi Det(ai , a2 , . . . , an ).
i=1
(8.46)
Hier wurde die Linearität der Determinante in jedem Argument (“jeder Spalte”)
ausgenutzt. Von dieser Summe bleibt nur der Summand mit i = 1 übrig — alle
anderen sind gleich Null, weil die Determinanten zwei gleiche Vektoren enthalten,
also etwa Det(a2 , a2 , . . . , an ). Das heißt von (8.46) bleibt
Det(y, a2 , a3 , . . . , an ) = x1 Det(a1 , a2 , . . . , an ) = x1 |A|
übrig. Das kann man für |A| =
6 0 nach x1 auflösen und erhält so
1
Det(y, a2 , a3 , . . . , an )
|A|
1
=
Det(a1 , y, a3 , . . . , an )
|A|
1
=
Det(a1 , a2 , y, . . . , an )
|A|
..
.
1
=
Det(a1 , a2 , . . . , an−1 , y),
|A|
x1 =
x2
x3
xn
Hier wurde auch gleich das Resultat für die übrigen Variablen mit angegeben. Das
ist die Cramersche Regel.
Beispiel:
Obiges Gleichungssystem





x1
3
0 1 1





 2 1 2   x2  =  7  ,
12
x2
3 2 −1
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
303
soll mit der Cramerschen Regel gelöst werden:
x1 =
x2 =
x3 =
3
7
12
0
2
3
1
1 1
2 2 −1 3 ∗ (−1 − 4) − (−7 − 24) + (14 − 12)
=
= 18/9 = 2
(−1) ∗ (−2 − 6) + 1 ∗ (4 − 3)
1
1 1
2 2 −1 0
2
3
0
2
3
3
1 7
2 12 −1 (−3) ∗ (−2 − 6) + 1 ∗ (24 − 21)
=
= 27/9 = 3
9
1
1 1
2 2 −1 1 3 1 7 2 12 (−1) ∗ (24 − 21) + 3 ∗ (4 − 3)
=
= 0/9 = 0
9
1
1 1
2 2 −1 0
2
3
0
2
3
Die Cramersche Regel sollte nur bei kleinen linearen Gleichungssystemen (n ≤ 3
angewendet werden, weil der Rechenaufwand bei größeren Werten von n sehr groß
wird.
Die Cramersche Regel ist für |A| = 0 nicht anwendbar. Ganz allgemein liegt bei
|A| = 0 ein Sonderfall vor: Enweder ist die lineare Gleichung Ax = y dann nicht
lösbar, oder sie hat unendlich viele Lösungen. Die dann vorliegenden Verhältnisse
können aber mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren geklärt werden.
Aufgaben
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
Aufgabe 3: Es seien


1

A =  2 
,
0
B=
3 2 1
1 2 −1
C =
!
,
0 1 1


5 6


D =  7 8 .
9 10
Berechnen Sie, falls es möglich ist,
(a) A + B
(b) B T + A
(c) B + C T
(d) C + D
(e) DT + C
Aufgabe 4: Gegeben sei die Matrix
A=λ
1 0
0 1
!
+µ
1 1
0 1
!
+ν
0 0
1 0
!
(a) Finden Sie die Werte von λ, µ, ν so, daß A =
0 −1
0 3
(b) Zeigen Sie, daß keine Lösung möglich ist, wenn A =
!
.
1 −1
1 0
!
.
304
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
Aufgabe 5: Gegeben seien
A =
b =
1 1 0
2 0 1
−1
2
Berechnen Sie
(a) AB
(b) BA
(c) Bb
(d) AT b
(e) cT (AT b)
(f) AC
!
,
!

,


2 0

B= 0 1 

1 3

1


c= 1 
−1


1 −2


und C =  −1 2 
−2 4
305
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
306
Aufgabe 6: Sei T (θ) die in Gleichung 8.6 definierte Transformationsmatrix für
zweidimensionale Drehungen. Dann wird durch
D(θ) = T (−θ) =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
!
eine Drehung um den Winkel θ im Gegenuhrzeigersinn um den Koordinatenur!
x
sprung beschrieben: Der Punkt P mit den Koordinaten x =
wird in den
y
!
x′
′
′
Punkt P mit den Koordinaten x =
überführt, wobei gilt:
y′
x′ = D(θ)x.
(a) Berechnen Sie exaktv das Resultat der Drehung um θ = 45o des Quadrates
P1 (1, −1), P2 (3, −1), P3 (3, 1), P4 (1, 1); skizzieren Sie das Quadrat und das
gedrehte Quadrat.
(b) Für diese Drehungen gilt
D(α + β) = D(α)D(β)
1. Erklären Sie in Worten, was diese Formel bedeutet.
2. Führen Sie die in der Formel angegebene Matrixmultiplikation aus und
leiten Sie daraus die Additionstheoreme für cos und sin her.
Aufgabe 7: Lösen Sie das Gleichungssystem
x1 + x2 = 3
2x1 + x2 + x3 = 7
−x1 + 2x2 + 3x3 = 12
mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren und mit der Cramerschen Regel. Ermitteln Sie als Nebenergebniss die Determinante der Koeffizientenmatrix.
v
analytisch, also insbesondere ohne Rechner
KAPITEL 8. MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
307
Aufgabe 8: Lösen Sie das Gleichungssystem
x+y+z = 6
x + 2y + 3z = 14
x + 4y + 9z = 36
mit dem Gauß-Jordan-Verfahren . Ermitteln Sie als Nebenergebniss die Determinante der Koeffizientenmatrix.
Aufgabe 9: Lösen Sie die Gleichungssysteme
x + 2y + 3z + t
2x + y + z + t
x + 2y + z
y + z + 2t
=
=
=
=
5
3
4
0
x + 2y + 3z + t
2x + y + z + t
x + 2y + z
y + z + 2t
=
=
=
=
1
1
1
1,
und
indem Sie die Inverse der Koeffizientenmatrix berechnen und auf die rechte Seite
anwenden.
Aufgabe 10: Lösen Sie, wenn möglich, die Gleichungssysteme
x+y+z = 6
x + 2y + 3z = 14
2x + 3y + 4z = 10
x+y+z = 6
x + 2y + 3z = 14
2x + 3y + 4z = 20
mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Ermitteln Sie als Nebenergebniss die
Determinante der Koeffizientenmatrix.
Versuchen Sie die Inverse der Koeffizientenmatrix mit dem Gauß-JordanVerfahren zu berechnen.
Kapitel 9
Weitere Aufgaben — zum Teil
mit Lösungen
Aufgabe 1: Aus einem Kreis wird ein Sektor mit dem Zentriwinkel α herausgeschnitten. Der Sektor wird zu einem kegelförmigen Trichter zusammengerollt.
Bei welcher Größe des Winkels α wird das Volumen des Kegels am größten?
Lösung: Für α = 2π
q
2
.
3
Aufgabe 2: Einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypothenuse 8cm und einem
Winkel von 60o wird ein Rechteck einbeschrieben, dessen eine Seite in die Hypothenuse fällt. Welche Abmessungen erhält das Rechteck, wenn sein Flächeninhalt
möglichst groß sein soll?
√
Lösung: 4cm und 3cm.
Aufgabe 3: Einem Halbkreis mit Radius r wird ein Rechteck maximalen Flächeninhalts einbeschrieben. Bestimmen Sie die Abmessungen dieses Rechtefcks
sowie seinen Inhalt.
Lösung: AM ax = r2 bei einer Höhe von x =
√r .
2
Aufgabe 4: Mit
√ welcher Genauigkeit (|∆x|) muß man man die Abszisse der
2
Kurve y = x x im Bereich x ≤ 4 messen, damit der Fehler (|∆y|) bei der
Berechnung ihrer Ordinate den Wert 0.1 nicht überschreitet.
Hinweis: Nähern Sie ∆y durch das Differential dy an!
Lösung: |∆x| ≤
1
.
200
308
KAPITEL 9. WEITERE AUFGABEN — ZUM TEIL MIT LÖSUNGEN
309
Aufgabe 5: Die Kantenlänge eines Würfels ist
x = 5m ± 0.01m.
Bestimmen Sie den absoluten und den relativen Fehler bei der Berechnung des
Würfelvolumens.
Hinweis:
Die absolute Fehler einer Größe V ist ∆V , der relative Fehler ist der
∆V Wert V . Verwenden Sie zur Berechnung das Differential.
Lösung: ∆V = 0.75m3 und ∆V /V = 0.6%.
Aufgabe 6: Mit welcher relativen Genauigkeit muß man den Radius einer Kugel
messen, damit der relative Fehler bei der Berechnung des Kugelvolumens 1% nicht
übersteigt?
Lösung:
∆R R ≤ 31 %.