Mathematik 1 für InformatikerInnen - Informatik

Mathematik 1 für InformatikerInnen
basierend auf der Vorlesung von Ao.Univ.Prof. Dr.phil. Günther KARIGL
Andreas Monitzer
29. März 2004
Inhaltsverzeichnis
I
Grundlagen
3
1 Zahlen
1.1 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Beweisprinzip der vollständigen Induktion .
1.2 Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen . . . . .
1.3 Wie groß“ sind diese Zahlenmengen? . . . . . . .
”
1.4 Wie werden Zahlen im Computer dargestellt . . .
1.4.1 Darstellung zur Basis b > 1 . . . . . . . .
1.4.2 Darstellung im Computer . . . . . . . . .
1.5 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Rechnen in C . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Darstellung in der Gauß’schen Zahlenebene
1.5.3 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Multiplikation in Polarkoordinaten . . . . .
1.6 Die Restklassen modulo m . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Rechnen mit Kongruenzen . . . . . . . . .
1.6.2 Prüfziffernverfahren zur Fehlererkennung .
2 Mengen, Relationen und Abbildungen
2.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Relationen . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Äquivalenzrelationen . . . . .
2.2.2 Halbordnungsrelation . . . .
2.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
3 Elementare Logik und Beweismethoden
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
7
9
10
10
11
11
11
12
12
13
14
15
16
.
.
.
.
.
18
18
19
21
23
25
29
INHALTSVERZEICHNIS
3.1
3.2
II
2
Aussagen und Prädikate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Umformung von aussagenlogischen Formeln . . . . . . . . . . . 33
Diskrete Mathematik
35
4 Kombinatorik
36
4.1 Grundregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Das Inklusions-Exklusionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Graphentheorie
44
5.1 Wege und Kreise: Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Teil I
Grundlagen
3
4
Grundlagen der Mathematik:
• Logik: sprachlicher Rahmen
• Mengenlehre: begrifflicher Rahmen
Kapitel 1
Zahlen
1.1
Die natürlichen Zahlen
N = {0, 1, 2, 3, . . .} (lt. ÖNORM mit Null)
Axiome: 0, n → n+ , @n : n+ = 0, m 6= n ⇒ m+ 6= n+ , Induktionsprinzip
(n+ = Nachfolger; siehe Folie Peanoaxiome“)
”
Rechenoperationen: +, ·: uneingeschränkt ausführbar
−, ÷: partiell ausführbar
Ordnungsrelation:
≤
1.1.1
Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Beispiel(e) 1.1.1.
1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
Vermutung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ergibt n2 .
sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
Proof.
0 = 02
1 = 12
n=0:
n=1:
5
∀n ∈ N
KAPITEL 1. ZAHLEN
6
allgemeiner Schritt: k → k + 1
sk+1
sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) =
k2
| +(2k + 1)
2
= 1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = k + (2k + 1)
= k 2 + 2k + 1
=
(k + 1)2
damit gilt allgemein: sn = n2
∀n ∈ N
⇒
n
X
2k + 1 = (n + 1)2
k=0
QED
Satz 1.1.1 (Prinzip der vollständigen Induktion). Gilt für eine Aussage A(n),
n ∈ N, dass
(i) A(0) wahr
(ii) A(k) ⇒ A(k + 1) für alle k ∈ N,
dann ist A(n) wahr ∀n ∈ N
A(0)
Induktionsanfang“
A(n) ∈ N
”
A(k) ⇒ A(k + 1) Induktionsschritt“
”
(A(k). . . Induktionsvoraussetzung, A(k + 1). . . Induktionsschritt)
Bemerkung 1.1.1.
• statt A(0) ist auch ein beliebiger Induktionsanfang A(n0 )
möglich, damit gilt dann ∀n ≥ n0
• statt (ii) kann auch (ii’) verwendet werden:
A(0), A(1), . . . , A(k) ⇒ A(k + 1)
∀k ∈ N
Beispiel(e) 1.1.2. A(n) : 1 + 2 + · · · + n =
vollständige Induktion:
(i) A(0) : 0 =
A(1) : 1 =
0·1
2
1·2
2
√
√
n(n+1)
2
(nicht notwendig)
(ii) es gelte bereits A(k):
1 + 2 + ··· + k =
k(k + 1)
2
∀n ∈ N Beweis durch
KAPITEL 1. ZAHLEN
7
zu zeigen: A(k + 1):
1 + 2 + · · · + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2)
2
Proof.
1| + 2 +{z· · · + k} +(k + 1) =
k(k + 1)
+ (k + 1)
2
A(k)
k
= (k + 1)( + 1)
2
(k + 1)(k + 2)
=
2
∀n ∈ N
Damit gilt A(n)
1.2
QED
Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen
'
'
'
$
$
$
0, 1, 2, . . .
N
1
0, ±1, ±2, . . .
Z
&
&
&
, − 34 , · · ·
2
Q
√ √
2, 3, π, e, . . .
R
%
%
N⊂Z⊂Q⊂R
%
In Z = {0, ±1, ±2, . . .} kann +, ·, − uneingeschränkt ausgeführt werden. D.h. a+x = b
ist stets lösbar in Z.
Q = ab |a, b ∈ Z, b 6= 0 wobei ab = dc falls a · d = b · c → erweitern, kürzen; uneingeschränkt: +, ·, −, ÷ (Ausnahme: Division durch 0)
ax = b lösbar (a 6= 0)
KAPITEL 1. ZAHLEN
−3
−2
−1
8
0
1
0
1
011 1
42
-N
2
a
3
a+b
2
√
-Z
- Q (liegen dicht)
b
√
2
2 = ab ?
0
1
√
√
Behauptung 1.2.1. 2 ∈
/ Q, d.h. 2 ist keine rationale Zahl
√
Proof. angenommen 2 = ab , wobei a, b ∈ N, b 6= 0, a, b teilerfremd
⇒ b2 = 2a2 ⇒ b2 gerade ⇒ b gerade, d.h. b = 2c mit c ∈ N.
-R
(2c)2 = 2a2
a2 = 2c2
⇒ a2 gerade ⇒ a gerade
⇒
√ a, b gerade ⇒ Widerspruch: nicht teilerfremd! D.h. Annahme ist falsch, also ist
2∈
/ Q (indirekter Beweis)
QED
R = Menge der reellen Zahlen
= Menge aller Punkte auf der Zahlengeraden
Rechenoperationen +, ·
= Menge aller endlichen und unendlichen Dezimalzahlen
in R besitzen folgende Eigenschaften:
(i) Abgeschlossenheit: a, b ∈ R ⇒ a + b, a · b ∈ R
∀a, b ∈ R
(ii) Assoziativgesetze:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
∀a, b, c ∈ R
(iii) Existenz von neutralen Elementen: 0, 1 ∈ R
a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ R
a·1=1·a=a
∀a ∈ R
(iv) Existenz von inversen Elementen:
a + (−a) = (−a) + a = 0 ∀a ∈ R
a · a1 = a1 · a = 1
∀a ∈ R \ {0}
KAPITEL 1. ZAHLEN
9
(v) Kommunikativgesetze:
a + b = b + a ∀a, b ∈ R
a · b = b · a ∀a, b ∈ R
(vi) Distributivgesetze:
a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ R
(a + b) · c = a · c + b · c ∀a, b, c ∈ R
hR; +, ·i: Körper
hR, +i: Gruppe
hR \ {0}, ·i: Gruppe
hR, ≤i: ≤ natürliche Ordnung, verträglich mit + und ·
a≤b→a+c≤b+c
a ≤ b, c ≥ 0 → a · c ≤ b · c
c≤0→a·c≥b·c
1.3
∀a, b, c ∈ R
∀a, b, c ∈ R
∀a, b, c ∈ R
Wie groß“ sind diese Zahlenmengen?
”
A Menge: |A| Mächtigkeit der Menge A
endlich
unendlich
endlich: # Elemente, z.B. |0, 1, 2, 3, . . . , n| = n + 1
|N| = ℵ0 Aleph Null“
”
N ist abzählbar [unendlich]
|Z| = ℵ0 , |Q| = ℵ0 → Z und Q sind abzählbar
1. Cantor’sches Diagonalverfahren⇒ genau so viele Brüche wie natürliche Zahlen
KAPITEL 1. ZAHLEN
10
1
1
2
1
3
1
4
1
···
1
2
2
2
3
2
4
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
···
···
···
···
···
···
|R| = c Mächtigkeit des Kontinuums, c > ℵ0 ,
Kontinuumshypothese: c = ℵ1
1.4
Wie werden Zahlen im Computer dargestellt
126.5 = 1 · 102 + 2 · 101 + 6 · 100 + 5 · 10−1 Darstellung im Dezimalsystem
x = ±xk xk−1 . . . x1 x0 .y1 y2 . . .
= ±(xk 10k + xk 10k−1 + . . . + x1 101 + x0 100 + y1 10−1 + y2 10−2 + . . .)
|
{z
}
endlich oder unendlich
wobei 0 ≤ xi < 10, 0 ≤ yi < 10
(Bem: Darstellung in R nicht eindeutig: 0.249̇ = 0.25, 0.9̇ = 1)
1.4.1
Darstellung zur Basis b > 1
x = ±(xk bk + . . . + x1 b1 + x0 b0 + y1 b−1 + y2 b−2 + . . .)
0 ≤ xi < b, 0 ≤ yi < b
zumeist: b = 10, b = 2n
z.B. 126.5 = 26 + 25 + 24 + 23 + 21 + 2−1 = (1111110.1)2
KAPITEL 1. ZAHLEN
1.4.2
11
Darstellung im Computer
Gleitkommadarstellung zur Basis b:
x = |{z}
±
0.x1 x2 . . . xn E ±e1 e2 e3 . . . em
|
{z
} |
{z
}
V orzeichen
M antisse
−1
−n
Exponent
P
m−i
± n
i=1 ei b
d.h. x = ±(x1 b + . . . + xn b ) · b
xi , ej ∈ 0, 1, . . . , b − 1; x1 6= 0 ⇒ Darstellung normiert
Menge aller in Computern darstellbaren Zahlen ⇒ Menge M der Maschinenzahlen
festgelegt durch b, n, m
eng
weit
weit
@
0 @
größte Zahl
@
kleinste positive Zahl
(siehe Folie Rundungsfehler“)
”
kleinste Zahl
1.5
Die komplexen Zahlen
quadratische Gleichung:
ax2 + bx + c = 0
√
2
x1,2 = −b± 2ab −4ac

 < 0 keine Lösung in R
eine Lösung in R
Diskriminante D = b2 − 4ac = 0

> 0 zwei Lösungen in R
√
x2 + 1 = 0, x = ± | {z
−1}
ı . . . imaginäre Einheit
ı
C = {a + bı|a, b ∈ R mit ı2 = −1} Menge der komplexen Zahlen
z = |{z}
a + |{z}
b
ı
Realteil
<(z)
1.5.1
Imaginärteil
=(z)
Rechnen in C
(a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d)
(a + ıb) · (c + ıd) = (ac − bd) + ı(bc + ad)
KAPITEL 1. ZAHLEN
12
hC, +, ·i ist wieder ein Körper, R ⊂ C; eine Ordnung ≤, welche mit +, · verträglich ist, gibt es nicht mehr!
1.5.2
Darstellung in der Gauß’schen Zahlenebene
Im
6
r z = a + ıb
b
a
@
@
@
@
@
Rr
@
- Re
z = a + ıb = (a, b)
Darstellung in kartesischen Koordinaten,
insbesondere ı = (0, 1)
z̄ = a − ıb
konjugiert komplexe Zahl zu z
Im
6
z = r(cosφ + ı sin φ) = [r, φ]
Darstellung in Polarkoordinaten
rz
r
φ
1.5.3
- Re
Zusammenhang
• [r, φ] → (a, b):
a=r cos φ =Realteil
b=r sin φ =Imaginärteil
• (a, b) → [r, φ]:
KAPITEL 1. ZAHLEN
13
√
r= a2 + b2 =Radius

 arctan ab (±π) falls a 6= 0
±π
falls a = 0, b 6= 0
φ=

unbestimmt
falls a = b = 0
π
2
2.
1.
π
0 bzw. 2π
?
6
3.
es gelte −π < φ ≤ φ (Hauptwert)
6
3π
2
4.
Beispiel(e) 1.5.1. 2ı = (0, 2) = [2, π2 ] (trivial)
√
√
−1 + 3ı = (−1, 3) = [2, 2π
]
3
√
√
r = a2 + b 2 √
= 1+3=2
φ = arctan − 3 = − π3
falscher Quadrant, daher +π ⇒ φ =
1.5.4
2π
3
Multiplikation in Polarkoordinaten
zk = rk (cos φk + ı sin φk )
k = 1, 2
z1 z2 = r1 (cos φ1 + sin φ1 ) · r(cos φ2 + ı sin φ2 )
= r1 r2 (cos φ1 cos φ2 = sin φ1 sin φ2 +ı(sin φ1 cos φ2 + cos φ1 sin φ2 ))
|
{z
}
|
{z
}
cos(φ1 +φ2 )
sin(φ1 +φ2 )
= [r1 r2 , φ1 + φ2 ]
Also [r1 , φ1 ] · [r2 , φ2 ] = [r1 r2 , φ1 + φ2 ] (Drehstreckung)
Folgerung: z = [r, φ] 6= 0 ⇒ z −1 = [ 1r , −φ], denn zz −1 = [r, φ][ 1r , −φ] = [1, 0] = 1
z = [r, φ] ⇒ z n = [rn , nφ]
n ∈ Z, insbesonders r = 1: [1, φ]n = [1, nφ]
Satz 1.5.1 (Moivre’sche Formel).
(cos φ + ı sin φ)n = cos nφ + ı sin nφ
√
wenn wn = z = [r, φ] ⇒ w = [ n r, φ+2kπ
]
für k = 0, 1, . . . , (n − 1),
n
d.h. es gibt n verschiedene n-te Wurzeln von z in C
KAPITEL 1. ZAHLEN
14
Beispiel(e) 1.5.2. w3 = 8 = [8, 0]
⇒
w
w0
w1
w2
w1
u
√
0 + 2kπ
3
= [ 8,
]
k = 0, 1, 2
3
= [2, 0]
√
2π
2π
2π
= [2, ] = 2(cos
+ ı sin ) = −1 + 3ı
3
3
3
√
4π
4π
4π
= [2, ] = 2(cos
+ ı sin ) = −1 − 3ı
3
3
3
Im
6
Hauptwert
u
-Re
w0
8=z
u
w2
(Die n-ten Wurzeln liegen immer auf den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks)
Satz 1.5.2 (Fundamentalsatz der Algebra). Jede quadratische Gleichung ist in C
lösbar und hat dort im Allgemeinen 2 Lösungen. Jede algebraische Gleichung cn z n +
. . . + c1 z 1 + c0 = 0 mit Grad n ≥ 1 mit reellen oder komplexen Koeffizienten besitzt
in C im Allgemeinen n Lösungen.
1.6
Die Restklassen modulo m
Seien a, b ∈ Z ( Modul“)
”
a ≡ b mod m ⇔ m | (a − b), d.h.
|{z}
teilt
∃q ∈ Z
m·q =a−b
a kongruent b modulo m“
”
Beispiel(e) 1.6.1. 12 ≡ 26 mod 7, 12 ≡ 26(7), denn 7| 12
− 26}
| {z
−14
Bemerkung 1.6.1. a ≡ b mod
m gilt genau dann, wenn a mod b bei Division durch
a = q1 m + r
m den selben Rest hat, denn
⇔ a − b = (q1 − q2 )m ⇔ m|a − b
b = q2 m + r
KAPITEL 1. ZAHLEN
1.6.1
15
Rechnen mit Kongruenzen
a + c ≡ b + c mod m
∀a, b, c ∈ Z
a·c≡b·c
mod m
a · c ≡ b · c mod m, ggT (c, m) = 1 größter gemeinsamer Teiler“
”
c und m sind teilerfremd.
wenn a ≡ b mod m ⇒
Beweis für letzte Aussage.
a·c
≡
a·c−b·c ≡
(a − b)c
≡
m|(a − b)c,
⇒ m|(a − b)
⇒a
≡
b · c mod m
0
mod m
0
mod m
m und c teilerfremd
b
mod m
QED
Beispiel(e) 1.6.2.
√
12 ≡ 26 mod 7 | + 2 ⇒ 14 ≡ 28 mod 7 √
| − 3 ⇒ 9 ≡ 23 mod 7 √
| ÷ 2 ⇒ 6 ≡ 13 mod 7
denn ggT (2, 7) = 1
Betrachte ā = {x ∈ Z|x ≡ a mod m} (Restklasse von a mod m.)


dh. 0̄ = {0, ±m, ±2m, ±3m, . . .}


1̄ = {1, m + 1, 2m + 1, −m + 1, −2m + 1, . . .} das sind endlich
..

viele Restklassen
.



m − 1 = {m − 1, 2(m − 1), . . . , −m − 1}
Z = 0̄ ∪ 1̄ ∪ . . . ∪ m − 1 Klasseneinteilung in die Restklassen mod m
Zm = {0̄, 1̄, . . . , m − 1} Menge der Restklassen mod m
Beispiel(e) 1.6.3. m = 4 :
@
0, 4, −4, 8, . . .
@
@
@
@
@
Z = 0̄ ∪ 1̄ ∪ 2̄ ∪ 3̄
@
3, 7, 11,@@ 1, 5, −3,
−1, . . . @ 9, −7, . . .
@
@
2, 6, 10, . . . @
@
@
0
@
@
3
@
@
Z4
2
1
@
@
@
@
@
KAPITEL 1. ZAHLEN
1.6.2
16
Prüfziffernverfahren zur Fehlererkennung
z.B. ISBN (Internationale Standard-Buchnummer)
ISBN
3 − |{z}
211 − 82084
1
|{z}
| {z } − |{z}
Gruppe Verlag Titel Prüfziffer
Allgemein: ISBN x1 − x2 x3 x4 − x5 x6 x7 x8 x9 − P
wobei 10x1 + 9x2 + . . . + 2x9 + p ≡ 0 mod 11
p ≡ −10x1 − 9x2 − . . . − 2x9 mod 11
p ≡ x1 + 2x2 + . . . + 9x9 mod 11
p ∈ {0, 1, . . . , 9, X}
| + 11(x1 + . . . + x9 )
zum Beispiel vorhin:
p = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 + 4 · 1 + . . . + 9 · 4 = 166 ≡ 1 mod 11
Behauptung 1.6.1. Jeder Fehler in einer Ziffer wird vom ISBN-Code erkannt.
Proof. Angenommen 2 ISBN-Nummern unterscheiden sich höchstens in einer Stelle:
x bzw. y
s + nx ≡ s + ny mod 11 n ∈ {1, 2, . . . , 10}
y ∈ {0, . . . , 9, X}
s . . .Summe der restlichen Ziffern
n(x − y) ≡ 0 mod 11
x − y ≡ 0 mod 11
da n teilerfremd zu 11
x ≡ y mod 11
x=y
da x, y ∈ {0, . . . , 9, X}
QED
Wenn man 2 gültige ISBN-Nummern hat, die sich an höchstens einer Stelle unterscheiden, so unterscheiden sie sich an keiner Stelle, d.h. jeder Einzelfehler wird erkannt.
Behauptung 1.6.2. Alle Vertauschungen zweier Ziffern werden vom ISBN-Code erkannt
Proof. 2 ISBN-Zahlen: . . . x . . . y, . . . y . . . x (Rest gleich)
angenommen beide Zahlen gültig⇒
s + nx + my ≡ s + ny + mx mod 11
n(x − y) + m(y − x) ≡ 0 mod 11
n, m ∈ {1, . . . , 10}
(n − m)(x − y) ≡ 0 mod 11
n 6= m
⇒ x − y ≡ 0 mod 11
da ggT (n − m, 11) = 1
−9 ≤ n − m ≤ 9
⇒ x ≡ y mod 11
x=y
KAPITEL 1. ZAHLEN
17
QED
Kapitel 2
Mengen, Relationen und
Abbildungen
2.1
Mengen
Eine Menge ist lt. Cantor eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen
Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte
heißen Elemente der Menge. → naı̈ve Mengenlehre (1895)
Problematisch, beispielsweise Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten“
”
Beispiele:
ASCII = {0, 1, . . . , 9, a, . . . , z, A, . . . , Z, =, :, &, . . .}
passwd = {D7Zbk7$m, . . .}
( Die 7 Zwerge brauchen keine 7 $ mehr“)
”
N, Z, . . . , C, Zm
P = {x ∈ N|x ist eine Primzahl}
x ∈ A, A ⊆ B, A ∩ B, A ∪ B, A 4 B, A × B (alles bekannt)
M Menge, P (M ) = {A|A ⊆ M } Menge aller Teilmengen (Potenzmenge)
z.B. M = {0, 1} ⇒ P (M ) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}
Behauptung 2.1.1. Ist M endlich, so gilt |P (M )| = 2|M |
Proof. (durch vollständige Induktion nach |M | = n)
(i) n = 0 :
M = ∅, |P (M ) = {∅}| = 20 = 1
√
(ii) k → k + 1, d.h. M = {a1 , . . . , ak , ak+1 }
P (M ) =
P ({a1 , . . . , ak }) ∪ {A ∪ {ak + 1}|A ⊆ {a1 , . . . , ak }}
|
{z
}
|
{z
}
Teilmengen ohne ak+1
Teilmengen mit ak+1
⇒ |P (M )| = |P ({a1 , . . . , ak })| + |{A ∪ {ak }|A ∈ P ({a1 , . . . , ak })}|
18
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
19
= 2k + 2k = 2k (1 + 1) = 2k · 21 = 2k+1
also |P ({a1 , . . . , ak+1 })| = 2k+1 , damit gilt |P (M )| = 2|M | für alle endlichen
Mengen M .
QED
2.2
Relationen
z.B.
1≤3
5 ≡ mod 3
2|10
Z⊆Q
allgemein a steht in Relation zu b“, aRb
”
A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} kartesisches Produkt der Menge A und B
A1 × A2 × . . . × An = {(a1 , . . . , an )|ai ∈ Ai für i = 1, . . . , n}
Beispiel(e) 2.2.1.
• A, B endlich, |A × B| = |A| · |B|
B
6
b2
b1
'
u
u
u
u
u
&
u
$
A×B
a1
a2
%
a3
-A
• R2 = R × R, R3 , R4 , . . . , Rn
• A = {0, 1}: A3 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), . . . , (1, 1, 1)}
Definition 2.2.1. Unter einer Relation R zwischen den Mengen A und B versteht
man eine Teilmenge R ⊆ A × B. Im Fall A = B heißt dieses R ⊆ A2 eine zweistellige
Relation auf A. Anstelle von (a, b) ∈ R schreibt man zumeist aRb.
Beispiel(e) 2.2.2.
• M Menge aller Einwohner von Wien
R1 ⊆ M × M : aR1 b wenn a verheiratet mit b
R2 :
aR2 b wenn a und b in dem selben Bezirk gemeldet sind
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
20
• A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}
R = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)} ⊆ A × B
A
B
1
3
2
4
5
Definition 2.2.2. Allgemein versteht man unter einer Relation R zwischen den Mengen A1 , . . . , An eine Teilmenge R ⊆ A1 × . . . × An . Sind insbesondere alle Ai = A,
so nennt man R ⊆ An eine n-stellige Relation auf A.
Beispiel(e) 2.2.3.
• M Menge aller Einwohner von Wien
R3 ⊆ M × M × M : (a, b, c) ∈ R3 wenn a Vater und b Mutter von c
• Tabelle einer Datenbank, z.B. Kundendaten:
KdNr
Name Gebdatum
Record →
0025
Huber 5.8.1981
.
.
.
...
...
|{z}
Feld einer Tabelle
Tabelle=Relation, Record=Element der Relation
Adresse
1150 Wien
...
TelNr
01/7021963
...
Betrachtung einer zweistelligen Relation R auf einer Menge A: R ⊆ A2 → zugehöriger
Graph GR
GR :
1. Menge von Punkten (Knoten) entsprechend der Elemente von A
2. Menge von Pfeilen (Kanten), welche zwei Knoten a, b verbinden, wenn aRb gilt.
z.B. A = {a, b, c, d}, R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (a, c), (d, c)}
GR :
(
bd
9 a =h =
==
==
==
/c
d
Definition 2.2.3. Sei R eine zweistellige Relation auf einer Menge A. R heißt
(R) reflexiv, falls aRa
∀a ∈ A
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
(S) symmetrisch, falls aRb ⇔ bRa
∀a, b ∈ A
(A) antisymmetrisch, falls aRb, bRa ⇒ a = b
(T) transitiv, falls aRb&bRc ⇒ aRc
21
∀a, b ∈ A
∀a, b, c ∈ A
Eine Relation R mit den Eigenschaften (R), (S), (T) heißt Äquivalenzrelation, eine
Relation R mit den Eigenschaften (R), (A), (T) heißt Halbordnungsrelation.
Beispiel(e) 2.2.4.
• R1 erfüllt (S)
R2 erfüllt (R), (S), (T) → Äquivalenzrelation
• R ⊆ Z2 , aRb ⇔ a ≡ b mod 3 erfüllt (R), (S), (T) → Äquivalenzrelation
• R ⊆ P (M )2 , ARB ⇔ A ⊆ B erfüllt (R), (A), (T) → Halbordnungsrelation
• R ⊆ R2 , aRb ⇔ a ≤ b (natürliche Ordnung in R) erfüllt (R), (A), (T) →
Halbordnungsrelation
ferner a, b: es gilt stets a ≤ b oder b ≤ a
∀a, b ∈ R → Vollordnungsrelation
• Sei A beliebige, α = A × A Allrelation“ erfüllt (R), (S), (T)
”
ε = {(a, a)|a ∈ A} identische Relation, erfüllt (R), (S), (A), (T) → Äquivalenzrelation und Halbordnung
2.2.1
Äquivalenzrelationen
z.B. A = {1, 2, 3, 4, 5}, a ≡ b mod 3 ist eine Äquivalenzrelation:
9 I1
94
I2
3e
5X
→ Klasseneinteilung:
K1 = {1, 4}
K2 = {2, 5}
K3 = {3}
A = K 1 ∪ K2 ∪ K3
Definition 2.2.4. Unter einer Klasseneinteilung (Partition) einer Menge A versteht
man ein System von Teilmengen {Ki |i ∈ I} mit den Eigenschaften
(1) Ki 6= ∅
∀i ∈ I
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
(2) Ki ∩ Kj = ∅
S
(3) i∈I Ki = A
22
∀i, j ∈ I mit i 6= j
angenommen a ∈ K: K = K(a)
a heißt ein Vertreter“ ( Representant“) der Klasse K. Jedes Element aus K ist ein
”
”
Vertreter, K wird über ein beliebiges Element aus der Menge referenziert.
Satz 2.2.1. Die Äquivalenzrelationen auf einer beliebigen Menge A entsprechen einander umkehrbar eindeutig.
Proof. (i) Jeder Partition {Ki |i ∈ I} der Menge A entspricht folgende Äquivalenzrelation R: a, b ∈ A: aRb ⇔ ∃Ki mit a ∈ Ki , b ∈ Ki
R erfüllt:
√
(R)
√
(S)
(R) aRb, bRc ⇒ a, b ∈ Ki , b, c ∈ Kj
b ∈ Ki ∩ Kj ⇒ Ki = Kj , a, c ∈ Ki ⇒ aRc
√
(ii) Jeder Äquivalenzrelation R auf der Menge A entspricht die Partition {K(a)|a ∈
A}, wobei K(a) = {b ∈ A|bRa} und es gilt aRb genau dann, wenn a und b in
derselben Klasse liegen.
Überprüfung der Klasseneigenschaften:
(1) K(a) 6= ∅, denn a ∈ K(a), da aRa
(2) K(a), K(b), angenommen K(a) ∩ K(b) 6= ∅. Z.z.: K(a) = K(b)
sei c ∈ K(a) ∩ K(b). cRa, cRb ⇒ aRc, cRb ⇒ aRb ⇒ K(a) = K(b)
(3) a ∈ K(a)
A⊆
[
a∈A
K(a) ⊆ A ⇒ A =
| {z }
∈A
[
K(a)
a∈A
Ferner gilt aRb ⇒ a ∈ K(b) ⇔ K(a) = K(b).
QED
Beispiel(e) 2.2.5.
• Z, a ≡ b mod m(m ≥ 2)
zugehörige Klassen:
K(0)
0̄
1̄
2̄
=
=
=
=
..
.
{b ∈ Z|b ≡ 0 mod m}
{0, ±m, ±2m, ±3m, . . .}
{1, 1 ± m, 1 ± 2m, . . .}
{2, 2 ± m, 2 ± 2m, . . .}
m − 1 = K(m − 1) = {m − 1, 2m − 1, 3m − 1, −1, −m − 1, . . .}
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
23
0̄, 1̄, . . . , m − 1 heißen Restklassen modulo m
Z = 0̄ ∪ 1̄ ∪ . . . ∪ m − 1 Restklassenzerlegung von Z
Zm = {0̄, 1̄, . . . , m − 1} heißt auch Faktormenge von Z nach ≡ mod m.
Allgemein: R Äquivalenzrelation: A/R Faktormenge von A nach R; Insbesondere Z/ ≡
mod m = Zm
•
2.2.2
A beliebig, α Allrelation:
A/α = {A}, d.h. nur eine Klasse
ε identische Relation: A/ε = {{a}|a ∈ A} d.h. jedes Element ist eine
Klasse für sich
Halbordnungsrelation
R ⊆ A × A, kurz ≤“ statt R
”
Eigenschaften: (R), (A), (T)
a ≤ b bedeutet (a, b) ∈≤
a ≥ b bedeutet b ≤ a
a < b bedeutet a ≤ b und a 6= b
a > b bedeutet b < a
hA, ≤i heißt Halbordnung, z.B. hZ, ≤i
Definition 2.2.5. Sei hA, ≤i eine Halbordnung. Dann heißt ein Element g ∈ A
größtes Element“, falls g ≥ a∀a ∈ A“. Ein Element k ∈ A heißt kleinstes Ele”
”
ment“, falls k ≤ a∀a ∈ A. Ein Element M ∈ A heißt maximales Element“, falls @a ∈
”
A : a > M . Ein Element m ∈ A heißt minimales Element“, falls @a ∈ A : a < m.
”
Beispiel(e) 2.2.6.
• hN, ≤i: 0 ist kleinstes Element, es gibt kein größtes Element.
• hR, ≤i: es existiert weder ein kleinstes, noch ein größtes Element.
• hP (M ), ⊆i: ∅ ist kleinstes Element, M größtes Element.
• hP (M ) \ {∅}, ⊆i: @ kleinstes Element (für |M | > 1). Alle Mengen der Form {a}
(a ∈ M ) sind minimal.
Graphische Darstellung einer Halbordnungsrelation
• durch Graphen G≤
• durch Hasse-Diagramm
Definition 2.2.6. Ein Element a ∈ Aheißt unterer Nachbar von b ∈ A (bzw. b heißt
dann deren Nachbar von a), falls a < b und kein c ∈ A existiert mit a < c < b.
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
24
Sei hA, ≤i Halbordnungsrelation, R die zugehörige Nachbarrelation. Bei der Betrach/ b einfach a (seitliche Verschiebung von a möglich),
tung des Graphen GR , statt a
b
erhalten damit das Hasse-Diagramm von ≤.
Beispiel(e) 2.2.7.
G⊆ :
• hP ({0, 1}), ⊆i: {∅, {0}, {1}, {0, 1}}
{0}
?





9 ∅ ??
??
??
??
{1}U
FF
FF
FF
FF
"
/ {0, 1}
<
xx
x
x
xx
xx
Hasse-Diagramm:
{0, 1}
FF
FF
FF
FF
xx
xx
x
x
xx
{0} G
GG
GG
GG
GG
A = {a, b, c, d, e, f } mit x ≤ x
x≤a
•
e≤d
f ≤d
∅
w
ww
ww
w
w
ww
{1}
∀x
∀x
a>
>>
>>
>>
b
c
e
d ==
==
==
==
f
a größtes Element (es kann nur null oder ein größtes Element geben). b, c, e, f
sind minimale Elemente, es existiert kein kleinstes Element.
Es gibt Elemente, die nicht mit allen anderen Elementen vergleichbar sind, daher
existiert hier kein kleinstes Element, daher ist die Definition eines minimalen
Elmenets erst notwendig.
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
25
• hZ, ≤i:
3
2
1
0
Kette
−1
−2
−3
• n ∈ N, n > 1, Tn = {m ∈ N|m | n}
| . . . teilt; Tn . . . Menge aller positiven Teile von n.
Relation | erfüllt (R), (A), (T) → hTn , |i ist eine Halbordnung, z.B. T12 =
{1, 2, 3, 4, 6, 12}
12 @
~
~~
~
~~
~~
4 @@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@
~~
~~
~
~
~~
2 @@
@@
@@
@@
6 ==
==
==
=
1
2.3
3
Abbildungen
Sonderfall einer Relation, damit Sonderfall einer Menge.
Definition 2.3.1. Eine Relation R ⊆ A × B heißt Abbildung (Funktion), wenn zu
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
26
jedem a ∈ A genau ein b ∈ B existiert mit aRb.
Schreibweise: statt R ⊆ A × B jetzt f : A → B
A . . .Definitionsmenge, B . . .Bildmenge (Wertemenge)
statt aRb jetzt f (a) = b (a . . . Urbild, b . . . Bild/Wert)
z.B.
A
B
A
a1
b1
a2
a1
b1
b3
a2
b3
b4
a3
b2
a3
B
R
(keine Abbildung)
b2
b4
ƒ
Definition 2.3.2. Eine Funktion f : A → B heißt
(i) injektiv, wenn es zu jedem b ∈ B höchstens ein a ∈ A gibt, mit f (a) = b (d.h.
falls f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ∀a1 , a2 ),
(ii) surjektiv, wenn es zu jedem b ∈ B mindestens ein a ∈ A gibt, sodass f (a) = b,
(iii) bijektiv, wenn es zu jedem b ∈ B genau ein a ∈ A gibt, sodass f (a) = b, also
wenn f injektiv und surjektiv ist. Ist f bijektiv, dann existiert die Umkehrabbildung
f −1 : B → A mit der Eigenschaft f −1 (b) = a, wenn f (a) = b.
Beispiel(e) 2.3.1.
• Studierender→Matrikelnummer“: injektiv (nicht surjektiv,
”
nachdem es auch tote“ Nummern gibt)
”
Studierender→(Stamm-)Universität“: surjektiv
”
Rektor→Universität“: bijektiv
”
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
A
B
ƒ
2
b1
b
2
b3
a3
b4
a1
a
A
injektiv
(aber nicht surjektiv wegen b4)
B
ƒ
a1
b1
a2
b2
surjektiv
(aber nicht injektiv)
a3
A
B
ƒ
a1
b1
a2
b3
b2
bijektiv
a3
•
•
27
f :R→R
f (x) = y = x2
f nicht injektiv
f nicht surjektiv
2
G : R → R+
0 mit g(x) = x
√
2
∀y ≥ 0∃x mit g(x) = x = y z.B. x = y
+
2
R+
0 → R0 mit h(x) = x
√
+ −1
h ist bijektiv, inverse Abbildung h−1 : R+
=+ y
0 → R0 h
Nun betrachten wir die Abbildung f : A → A, wobei A endlich ist, z.B.:
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
A
a1
a2
a3
28
B
b1
b2
b3
Satz 2.3.1. Ist f : A → A eine Abbildung auf einer endlichen Menge A, dann sind
folgende Bedingungen äquivalent:
(i) f ist injektiv
(ii) f ist surjektiv
(iii) f ist bijektiv
Proof.
• (i)⇒(ii): sei A endlich, A = {a1 , . . . , an }, f : A →injektiv
→ f (A) = {f (a1 ), f (a2 ), . . . , f (an )} ⊆ A mit |f (A)| = n ⇒ f (A) = A, d.h.
f ist surjektiv
• (ii)⇒(iii) f : A → A, surjektiv, d.h. f (A) = A zu zeigen: f injektiv
angenommen: F nicht injektiv, ∃ai , aj mit i 6= j : f (ai ) = f (aj )
⇒ |f (A)| = |{f (a1 ), . . . , f (an )}| ≤ n − 1 < |A| Widerspruch zu f (A) = A,
also muss f injektiv, und damit bijektiv sein.
• (iii)⇒(i) trivial
QED
Kapitel 3
Elementare Logik und
Beweismethoden
3.1
Aussagen und Prädikate
Aussagen sind Sätze, welche wahr oder falsch sein können, d.h. einen Wahrheitswert
aus der Menge B = {1, 0} (1. . . wahr, 0. . . falsch) annehmen können.
Prädikate (Aussageformen) sind Ausdrücke der Form P (x1 , x2 , . . . , xn ), welche die
Variablen x1 , . . . , xn enthalten und erst nach Belegung dieser Variablen mit Werten in
einer gegebenen Grundmenge zu Aussagen werden.
Beispiel(e) 3.1.1. Aussagen:
• Die Erde ist ein Planet“
”
• 1 + 1 = 3“
”
• Jede gerade Zahl gröer als 2 ist die Summe zweier Primzahlen“ (Goldbach’sche
”
Vermutung)
Prädikate:
• P (x) = x ist ein Planet“, x ∈ {Erde, M ond, Sonne}
”
• T uip(x, y, z) = x ist Vater, y ist Mutter von z“, x, y, z ∈ Menge der Einwohner
”
von Wien
Wie kann man aus Aussagen bzw. Prädikaten neue logische Ausdrücke gewinnen?
29
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
30
1. Durch Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren: A, B Aussagen:
¬A:
A ∩ B:
A ∪ B:
A → B:
A ↔ B:
A xor B:
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
ausschließliches Oder
2. Durch Bindung von Variablen in Prädikate mittels Operatoren:
P (x) Prädikat: ∃xP (x), ∀xP (x) → Prädikatenlogik (∃ . . .Existenzquantor, ∀ . . .Allquantor)
Beispiel(e) 3.1.2. P (x, y) : x < y für x, y ∈ N
• ∀x∃yP (x, y) wahre Aussage
• ∃x∀yP (x, y) falsche Aussage
• Q(y) = ∃xP (x, y): einstelliges Prädikat in y
z.B. Q(0) = ∃xP (x, 0)
falsche Aussage
Q(10) = ∃xP (x, 10) wahre Aussage
Definition der logischen Junktoren mittels Wahrheitstafel:
A
1
1
0
0
B ¬A A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B A xor B
1 0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0 0
0
1
1
0
1
1 1
0 1
0
0
1
1
0
Es gilt: A → B ist gleichbedeutend mit ¬A ∨ B, denn
A
1
1
0
0
B ¬A ¬A ∨ B A → B
1 0
1
1
0 0
0
0
1 1
1
1
0 1
1
1
→ identisch. Ferner ist A ↔ B gleichbedeutend mit (A → B) ∧ (B → A).
Definition 3.1.1. Unter einer Formel der Aussagenlogik versteht man einen Ausdruck
F (A, B, C, . . .), der sich in endlich vielen Schritten aus Aussagenvariablen A, B, C, . . .
und Junktoren aufbauen lässt. z.B. F (A, B, C) = ¬(A ∨ B) → C
Eine Formel F heißt
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
31
(i) gültig (Tautologie), falls F für jede Belegung der Aussagenvariablen mit Werten
aus B wahr ist,
(ii) erfüllbar, falls F für mindestens eine Belegung wahr ist,
(iii) unterfüllbar (Kontradiktion), falls F für keine Belegung wahr ist, d.h. stets den
Wahrheitswert falsch besitzt.
Beispiel(e) 3.1.3.
Tautologie?
• F (A, B, C) = (A → B) → [(A ∨ C) → (B ∨ C)] ist eine
A B C A → B usw. F (A, B, C)
1 1 1
1
.. .. ..
..
..
. . .
.
.
0 0 0
1
• F (A) = A ∨ ¬A ist eine Tautologie (Satz vom ausgeschlossenen Dritten)
Kräht der Hahn am Mist, ändert sich das Wetter, oder es bleibt wie es ist.“
”
• G(A) = A ∧ ¬A ist eine Kontradiktion (Satz vom Widerspruch)
• H(A) = A ∧ B ist erfüllbar
Grundfrage nach Gültigkeit bezüglich Erfüllbarkeit einer Formel der Aussagenlogik:
F (A, B, . . . , Z ) erfüllbar? gültig?
|
{z
}
n Variablen
Für die enumerative Bestimmung durch eine Wahrheitstabelle werden 2n Zeilen benötigt!
Wann sind 2 Formeln F1 , F2 gleichbedeutend“?
”
z.B. A ∧ B, B ∧ A sind syntaktisch verschieden, aber semantisch gleich
F1 ↔ F2
eine Tautologie, d.h.
| {z }
logische Äquivalenz
wenn die Formeln F1 und F2 bei beliebiger Belegung ihrer Aussagevariablen entweder beide wahr oder beide falsch sind. ⇔“ = semantische (mathematische)
”
Äquivalenz.
Definition 3.1.2.
• F1 ⇔ F2 , wenn
• F1 ⇒ F2 , wenn F1 → F2 eine Tautologie ist, d.h. dass immer dann, wenn F1
wahr ist, auch F2 wahr sein muss: semantische (mathematische) Implikation.
Beispiel(e) 3.1.4.
• A ∧ B 6= B ∧ A, aber A ∧ B ⇔ B ∧ A
• A → B ⇔ ¬A ∨ B (gleiche Wahrscheinlichkeitstafeln)
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
32
• A → B ⇒ (A ∨ C) → (B ∨ C), denn (A → B) → [(A ∨ C) → (B ∨ C)] ist
Tautologie
• siehe Folie Sätze der Aussagen- und Prädikatenlogik
Herleitung von mathematischen Sätzen erfolgt mittels ⇔ und ⇒:
mathematischer Satz: A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An ⇒
B
, kurz A ⇒ B
|{z}
|
{z
}
Vorraussetzung
3.2
Behauptung
Beweismethoden
1. Direkter Beweis: Z.z.: A → B ist Tautologie
2. Indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis): z.z.: A ∧ ¬B ist Kontradiktion (denn
A → B ⇔ ¬A ∨ B ⇔ ¬(A ∧ ¬B))
3. Beweis durch Kontraposition. Z.z.: ¬B → ¬A (denn A → B ⇔ ¬B → ¬A)
4. Beweis durch vollständige Induktion, falls B = B(n), n ∈ N (siehe Seite 5)
Beispiel(e) 3.2.1. Wenn eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch
durch 3 teilbar: 6 | n ⇒ 3 | n
∀n ∈ N
Beweis 1 (direkt).
6 | n, d.h. ∃k : 6k = n ⇒ 3 · (2k) = n, also 3 | n
QED
Beweis 2 (indirekt, durch Widerspruch).
6 | n, angenommen 3 - n
∃l : 6l = n,
∃k : n = 3k + 1 oder n = 3k + 2
⇒ 6l = 3k + 1 oder 6l = 3k + 2
3(2l − 4) = 1 oder 3(2l − k) = 2
Widerspruch
Widerspruch
QED
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
33
Beweis 3 (Kontraposition). Z.z.: 3 - n ⇒ 6 - n
3 - n, d.h. ∃k : n = 3k + 1 oder n = 3k + 2
wobei k = 2l (gerade) oder k = 2l + 1 (ungerade)
⇒ n = 6l + 1, n = 6l + 2, n = 6l + 4, n = 6l + 5
(einer dieser 4 Fälle müsste auftreten)
⇒6-n
QED
Beweis 4 (vollständige Induktion). Hier nicht wirklich angebracht, nur zur Demonstrationszwecken:
(i) Induktionsanfang: n = 0 : 6 | 0 ⇒ 3 | 0
√
(ii) Induktionsschritt von k auf k + 1 → hier nicht beweisbar, daher die Alternative:
Induktionsschritt von 0, 1, . . . , k auf k + 1
1. Fall 6 | k + 1 √
⇒ 6 | k − 5 ⇒ (lt. Induktionsvorraussetzung) 3 | k − 5 ⇒ k |
k+1
2. Fall 6 - k + 1, dann
√ ist 6 | k + 1 ⇒ 3 | k + 1 automatisch richtig (”ex falso quod
libet“)
QED
Sprechweise: A ⇒ B
A ist hinreichend für B“
”
B ist notwendig für A“
”
3.2.1
Umformung von aussagenlogischen Formeln
Geg.: Formel F (A, B, C, . . .)
Ges.: Semantisch äquivalente Formel G in möglichst einfacher Form, oder in standardisierter Form
zB. G =
_
(Xi ∧ Yi ∧ . . .)
Xi , Yi , . . . ∈ {A, B, C, . . . , ¬A, ¬B, ¬C, . . .}
i
das ist eine Disjunktion von Konjunktionen von Aussagevariablen oder deren Negation
= DNF (Disjunktive Normalform)
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
34
Umwandlung in DNF
1. Darstellung von F mittels ¬, ∨, ∧
(A → B ↔ ¬A ∨ B, A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A)))
2. Junktor ¬ unmittelbar von Aussagevariablen und nicht vor Klammern
(¬(¬A) ⇔ A, ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B, ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B → DeMorgan)
3. Klammern mittels Distributivgesetz auflösen, sodass ∧ nur Aussagevariable und
deren Negation (beides zusammen nennt man Literale“) verbindet
”
Beispiel(e) 3.2.2.
F (A, B, C) = (A ∨ B) → (A ∧ (¬A ∨ ¬C))
⇔ ¬(A ∨ B) ∨ (A ∧ (¬A ∨ ¬C))
Implikation
⇔ (¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ (¬A ∨ ¬C))
DeMorgan
⇔ (¬A ∧ ¬B) ∨ ((A ∧ ¬A) ∨(A ∧ ¬C)) Distributivgesetz
| {z }
⇔0
⇔ (¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ ¬C)
DNF
Analog ist auch die Darstellung als Konjunktive Normalform“ (KNF) möglich.
”
Teil II
Diskrete Mathematik
35
Kapitel 4
Kombinatorik
Kombinatorik = Kunst des Zählens. In diesem Kapitel sind alle betrachteten Mengen
endlich.
4.1
Grundregeln
• Summenregel: Gibt es m Elemente vom Typ A und n Elemente vom Typ B,
dann gibt es n + m Möglichkeiten, ein Element vom Typ A oder B zu wählen,
kurz |A ∪ B| = |A| + |B| falls A ∩ B = ∅.
Beispiel(e) 4.1.1 (Autovermietung). Zur Auswahl stehen 5 VW und 3 Opel,
also stehen insgesamt 8 Autos zur Auswahl.
• Produktregel: Unter obigen Annahmen gibt es m·n Möglichkeiten, ein Element
von Typ A und ein Element von Typ B zu wählen, kurz |A × B| = |A| · |B|
Beispiel(e) 4.1.2.
– Computerprogramm für 4 verschiedene Betriebssysteme, 7 verschiedene Benutzersprachen ⇒ 24 Versionen
– Anzahl aller Binärfolgen der Länge n: 2 · 2 · . . . · 2 = 2n
• Gleichheitsregel: Entsprechen die Typen A und B einander umkehrbar eindeutig, dann gibt es genauso viele Möglichkeiten, ein Element vom Typ A auszuwählen, wie für B, kurz A ∼
= B ⇒ |A| = |B| (∼
= . . .bijektiv/isomorph)
Beispiel(e) 4.1.3. Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge M :P (M ) (mit
|M | = n)
P (M ) ∼
= {0, 1}, z.B. {a1 , a3 , a4 , an } ↔ (1, 0, 1, 1, 0, . . . , 0, 1) ⇒ |P (M )| =
n
|{0, 1} | = 2n
36
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
37
Wir betrachten nun die Anordnung der Elemente einer n-elementigen Menge A.
Definition 4.1.1. Eine Permutation ist eine (lineare) Anordnung der Elemente einer
Menge A.
Beispiel(e) 4.1.4. 3 Gläser mit Bier, Schnaps, Wein:
A = {B, S, W }
BSW
BW S
SBW
SW B
W BS
W SB








das sind 6 Permutationen: P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6







Anzahl der Permutationen von A mit |A| = n: Pn = n!
1. Platz
2. Platz
...
n. Platz
n
· (n − 1) · . . . ·
1
= n! Möglichkeiten
A = {a1 , a2 , . . . , an }
n versch. Elemente: Menge
A = {a1 , . . . , a1 , a2 , . . . , a2 , . . . , ar , . . . , ar }
| {z } | {z }
| {z }
k1 -mal
k2 -mal
kr -mal
Menge“, bei der das i-te Element ki -mal vorkommt = Multimenge
”
k1 + k 2 + . . . + kr = n
Definition 4.1.2. Eine Permutation mit Wiederholdung ist eine Anordnung der Elemente einer Multimenge.
z.B. 3 Gläser mit Bier, Bier, Wein
A = {B, B, W }

BBW 
W BB
3 Permutationen: P32,1

BW B
3!
=3
P32,1 = 2!1!
Anzahl der Permutationen mit Wiederholung einer Multimenge A, bei der das i-te
Element ki -mal auftritt (i = 1, . . . , r) und k1 + k2 + . . . + kr = n :
Prk1 ,k2 ,...,kr =
n!
k1 !k2 ! . . . kr !
Proof. insgesamt n! Permutationen, wobei jeweils k1 !k2 ! . . . kr ! Permutationen zusamQED
menfallen, also verbleiben k1 !k2n!!...kr ! Anordnungen.
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
38
Einschub 4.1.1 (Schreibweisen).
n! = 1 · 2 · . . . · n
n Faktorielle“ / n Fakultät“
”
”
0! = 1
n
n!
= k!(n−k)!
= n·(n−1)·...·(n−k+1)
, n0 = 1
1·2·...·k
k
n über k“ (engl. “n choose k”): Binomialkoeffizient
”
z.B.
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
5
= 1, 51 = 51 = 5, 52 =
0
1
2
0
0
0
0
2
1
1
1
5·4
1·2
= 10,
5
3
= 10,
5
4
= 5,
5
5
=1
Pascal’sches Dreieck:
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
4
8
1
3
3
1
16
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1 32
Es gilt für 0 ≤ k ≤ n:
n
(i) nk = n−k
n
(ii) nk + k+1
= n+1
k+1
Pn
n
n
(iii)
k=0 k = 2 (ohne Beweis)
Sei x, y ∈ R : (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
(x + y)n = (x + y) · (x + y) · . . . · (x + y)
|
{z
}
n-mal
Summe von Produkten der Form:
xk y n−k
n
n!
= k
Anzahl: Pnk,n−k = k!(n−k)!
also:
P
(x + y)n = nk=0
n
k
(k = 0, . . . , n)
xk y n−k (Binomischer Lehrsatz)
Nun betrachten wir Auswahlen von k Elementen aus n Elementen:
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
39
Definition 4.1.3. Eine Variation (k-Permutation) ist ein geordnetes k-tupel (a1 , . . . , ak )
verschiedener Elemente von A = {a1 , . . . , an }.
Anzahl der Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse:
Vnk = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) =
1. Platz
n
2. Platz
n−1
...
...
Sonderfall k = n: Vnn =
k-ten Platz
(n − k + 1)
n!
0!
=
n!
(n−k)!
n!
(n − k)!
Möglichkeiten
= n! = Pn
z.B. Wie viele verschiedene Wörter kann man aus je 3 der 4 Buchstaben W, I, E, N
bilden? V43 = 4 · 3 · 2 = 24
Definition 4.1.4. Eine Variation mit Wiederholung ist ein geordnetes k-tupel (a1 , . . . , ak )
von nicht notwendig verschiedenen Elementen von A = {a1 , . . . , an }.
k
Anzahl der Variationen mit Wiederholung: W V n = nk .
1. Platz 2. Platz . . . k-ten Platz
n
n
...
n
= nk Möglichkeiten
z.B. Fußballtoto: 12 Spiele: Tipps 1,2,X
12
n = 3, k = 12, W V 3 = 312 mögliche Tipps
Definition 4.1.5. Eine Kombination ist ein ungeordnetes k-tupel {a1 , . . . , ak } verschiedener Elemente von A, das ist eine k-elementige Teilmenge von A.
Anzahl der Kombinationen:
Vnk
n!
1
n
k
Cn =
=
=
Binomialkoeffizient
k!
(n − k)! k!
k
45
z.B. Lotto 6 aus 45“ 45·44·43·42·41·40
=
= 8.145.060 Tipps
6!
6
”
Definition 4.1.6. Eine Kombination mit Wiederholung ist ein ungeordnetes k-tupel
{a1 , . . . , ak } von nicht notwendig verschiedenen Elementen von A = {a1 , . . . , an }, das
ist eine k-elementige Multimenge mit Elementen von A.
k
Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen: W C n = n+k−1
k
Proof. Sei A = {1, 2, . . . , n} Kombination ohne Wiederholung: {a1 , . . . , ak } mit 1 ≤
a1 < a2 < . . . < ak ≤ n
Cnk = |{(a1 , . . . , ak ) | 1 ≤ a1 < . . . < ak ≤ n}| = nk
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
40
Kombination mit Wiederholung: {a1 , . . . , ak } mit 1 ≤ a1 ≤ . . . ak ≤ n
⇔ 1 ≤ a1 < a2 + 1 ≤ a3 + 1 ≤ . . . ≤ ak + 1 ≤ n + 1
⇔ 1 ≤ a1 < a2 + 1 < a3 + 2 < . . . < ak + k − 1 ≤ n + k − 1
|{z} | {z } | {z }
| {z }
b1
b2
b3
bn
⇔ 1 ≤ b 1 < b 2 < b 3 < . . . < bk ≤ n + k − 1
wobei bi = a1 + i − 1
(i = 1, . . . , k)
W
k
C n = |{(a1 , . . . , ak ) | 1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ ak ≤ n}| = |{(b1 , . . . , bk ) | 1 ≤ b1 <
k
b2 < . . . < bk ≤ n + k − 1}| = Cn+k−1
= n+k−1
QED
k
Beispiel(e) 4.1.5. Wie viele verschiedene Würfe sind mit 3 Würfeln möglich, falls
man die Würfel nicht unterscheidet?
6+3−1
8
8·7·6
W 3
C6 =
=
=
= 56
3
3
1·2·3
(Übersicht: siehe Folie Grundaufgaben der Kombinatorik“)
”
Beispiel(e) 4.1.6. Alphabet: A = {a, b, c, d}
• Permutationen von A:
abcd
abdc
acbd
acdb
..
.









P4 = 4! = 24







dcba 
• Permutationen mit Wiederholung von {a, a, b, b}:

aabb 


abab 



4!
abba
P42,2 =
=6
baab 
2!2!


baba 



bbaa
• Variationen mit 2 Buchstaben:
ab, ac, ad, ba, bc, bd,
ca, cb, cd, da, db, dc
V42
4!
= 4 · 3 = 12 =
(4 − 2)!
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
41
• Variation mit Wiederholung: siehe oben + aa, bb, cc, dd
W
2
V 4 = 42 = 16
• Kombinationen mit 2 Buchstaben:
4·3
4
ab, ac, ad,
2
C4 =
=
=6
bc, bd, cd
2
1·2
• Kombinationen mit Wiederholung: siehe oben + aa, bb, cc, dd
4+2−1
5
W 2
= 10
C4 =
=
2
2
Viele Probleme lassen sich auf diese Operationen abbilden!
4.2
Das Inklusions-Exklusionsprinzip
'$
'$
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
| {z }
Anzahl der Elemente, welche mindestens eine der
&%
&%
Eigenschaften A oder B besitzen.
G
A
B
Anzahl aller Elemente, welche keine der Eigenschaften A bzw. B besitzen: |Ā ∩ B̄|
|Ā ∩ B̄| = |A ∪ B| = |G| − |A ∪ B| = |G| − |A| − |B| + |A ∩ B|
'$
C
'$
'$
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A ∩ B ∩ C|
&%
|
{z
}
A
B
Mitte
&%
&%
Satz 4.2.1 (Inklusions-Exklusionsprinzip, Siebformel). Sind A1 , . . . , An Teilmengen einer endlichen Menge A, dann gilt:
n
[
X
X
X
|A| −
|Ai ∩ Aj | +
|Ai ∩ Aj ∩ Ak | − + . . .
Ai =
i−1
i
i<j
i<j<k
\ X
+(−1)n−1 |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An | =
(−1)|I|−1 Ai I⊆{1,...,n},I6=∅
i∈I
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
42
Beweis durch vollständige Induktion nach n.
[ \ √
X
n=1:
(−1)0 Ai Ai = |A1 | =
i=1
I={1}
i=1
n → n + 1: A1 , . . . , An , An+1 ⊆ A, Formel gelte schon für A1 , . . . , An
n+1
[
Ai =
i=1
n
[
Ai ∪ An+1
i=1
n (3)
[
( Ai ) ∩ An+1 }
| i=1 {z
n
[
(Ai ∩ An+1 )
|
{z
}
i=1
Bi
|
{z
}
\ X
−
(−1)|I|−1 Bi i∈I
I⊆{1,...,n},I6=∅
|
{z
}
T
P
− I⊆{1,...,n+1},{n+1}⊂I (−1)|I| i∈I Ai n
[
\ X
lt. Vorraussetzung
=
(−1)|I|−1 Ai Ai n+1 n
[ [ ⇒
Ai = Ai + |An+1 | −
i=1
i=1
(2)
i=1
i∈I
I⊆{1,...,n},I6=∅
(1)
(1) I ⊆ {1, . . . , n}
(2) I = {n + 1}
(3) I ⊆ {1, . . . , n + 1}, wo n + 1 ∈ I
(1)+(2)+(3) =
X
I⊆{1,...,n+1},I6=∅
\ (−1)|I|−1 Ai i∈I
QED
|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An | = |A| − |A1 ∪ . . . ∪ An | =
|A| − |A1 | − |A2 | − . . . − |An | + |A1 ∩ A2 | + . . . − + . . .
+(−1)n |A1 ∩ . . . ∩ An |
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
43
Beispiel(e) 4.2.1.
• Gesucht ist die Anzahl aller Wörter der Länge 4 aus den
Buchstaben {a, b, c, d, e}, welche mindestens ein a, b und c enthalten.
Wa : Wörter ohne a, analog Wb , Wc ⊆ W . . . Wörter der Länge 4
Wa = W \ Wa Wörter mit mindestens einem a,
Wb , Wc analog
|Wa ∩ Wb ∩ Wc | = |W | − |Wa ∪ Wb ∪ Wc | =
|W | − |Wa | − |Wb | − |Wc | + |Wa ∩ Wb | + |Wa ∩ Wc |+
|Wb ∩ Wc | − |Wa ∩ Wb ∩ Wc | = 54 − 3 · 44 + 3 · 34 − 24 = 84
• Wie viele Permutationen von n Elementen besitzen mindestens einen Fixpunkt
(d.h. ein Element, welches seinen Platz behält)?
z.B. {1, 2, 3} 1 2 3
132
2 1 3 also 4 von 6 Permutationen
2 3 1 mit mindestens einem Fixpunkt
312
321
A1 Menge aller Permutationen mit Fixpunkt 1, analog A2 , . . . , An ⊆ A (alle
Permutationen)
Sei xn = # Permutationen mit mindestens einem Fixpunkt
xn = |A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An | = |A1 | + . .. + |An | − |A1 ∩ A2 | − . . . =
= n · (n − 1)! − n2 (n − 2)! + n3 (n − 3)! − + . . . +
n−1
· 1 = n!(1 − 2!1 + 3!1 − + . . . + (−1)n−1 n!1 ) =
P(−1)
n
n! i=1 (−1)i−1 i!1
insbesondere n = 3 : 3!(1 − 12 + 16 ) = 6 ·
2
3
√
=4
Anteil der fixpunktfreien Permutationen an allen Permutationen:
1−
1 − (1 − 2!1 + 3!1 − + . . . ) P
= 1 − 1 + 2!1 − 3!1 + − . . . = ni=0 (−1)i i!1 ≈ e−1 ≈ 0, 37
xn
=
n!
Kapitel 5
Graphentheorie
Als Beispiel nehmen wir das Königsberger Brückenproblem, das von Euler aus dem
Jahre 1736 stammt. In Köngisberg (heute: Kaliningrad) gibt es 7 Brücken über den
Fluss Pregel:
44
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
45
Eulers Frage ist nun: Kann man auf einem Spaziergang durch Königsberg jede der 7
Brücken genau einmal passieren?1
Dieses Problem lässt sich leicht auf ein s.g. Graphenproblem reduzieren.
Definition 5.0.1. Unter einem gerichteten bzw. ungerichteten Graphen G versteh man
ein Tripel hV, E, f h bestehend aus einer Knotenmenge V = V (G), einer Kantenmenge
E = E(G) und der Inzidenzabbildung f : E → V bzw. f : E → {{v, w}|v, w ∈ V }.
Dabei gilt f (e) = (v, w) bzw. f (e) = {v, w}, wenn die Kante e vom Anfangsknoten v
zum Endknoten w führt.
Beispiel(e) 5.0.2.
G = hV, E, f i V = {a, b, c, d}
E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 }
f : E → V 2 f (e1 ) = (a, a), f (e2 ) = (a, b)
f (e3 ) = f (e4 ) = (b, c), f (e5 ) = (c, b)
6 b
nnn • c
e2 nnnn
e1
6 •a
nn
nnn
n
n
n
e4
e3
e5
#
•c
•d
(isolierter Knoten)
Schlingen:
9•
Zumeist betrachten wir Graphen ohne Mehrfachkanten und Schlingen → schlichter
”
Graph“.
G = hV, Ei E ⊆ V × V
gerichtet
E ⊆ {{v, w}|v, w ∈ V } ungerichtet
w
•
|=
Knoten v, w sind adjazent,
e |||
|
|
die Kante e ist inzident mit v und w.
||
•v
Sei V = {v1 , v2 , . . . ,
vn } eine endliche Knotenmenge. Nun betrachten wir die Maske
1 wenn vi , vj adjazent
A = (aij ) mit ai j =
.
0 sonst
A = A(G) Adjazenzmatrix des Graphen G
1
siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/K%F6nigsberger_Br%FCckenproblem
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
46
Beispiel(e) 5.0.3.
G = hV, Ei mit V = {a, b, c, d, e}
E = {ab, bc, bd, cd}
•b P
nnn 0 PPP
a
•
nn
nnn
n
n
nn
nnn
e•
00 PPP
PPP
00
PPP
00
PP
00
•c
00
}
}
00
}}
0 }}}}
a
b
c
d
e
A = A(G) =
 a
0
 1

 0

 0
0
b
1
0
1
1
0
c
0
1
0
1
0
d
0
1
1
0
0
e
0
0
0
0
0






•d
Analog: B = B(G) Inzidenzmatrix (zwischen Knoten und Kanten)
Definition 5.0.2. G Graph, A(G) Adjazenzmatrix, vi ∈ V (G)
(i) G ungerichtet: Knotengrad d(vi ) =
X
aij
=
j
X
aji
j
| {z }
| {z }
Zeilensumme Spaltensumme
= Anzahl der Kanten, welche mit vi verbunden sind.
(ii) G gerichtet
P
Weggrad: d+ (vi ) = j aij
Anzahl der Kanten, welche von vi wegführen
P
Hingrad: d− (vi ) = j aji
Anzahl der Kanten, welche zu vi hinführen.
ad Bsp: d(a) = 1, d(b) = 3, d(c) = 2, d(d) = 2, d(e) = 0
⇒ d(a) + d(b) + d(c) + d(d) + d(e) = 8 = 2 · 4 = 2 · |E|
P
Satz 5.0.2 (Handschlaglemma). In einem ungerichteten Graphen G gilt v∈V (G) d(v) =
P
P
2·|E(G)|, ist G hingegen gerichtet, so gilt v∈V (G) d+ (v) = v∈V (G) d− (v) = |E(G)|
(Beweis wäre am Besten durch vollständige Induktion möglich).
Beispiel(e) 5.0.4. Betrachten wir schlichte, ungerichtete Graphen, wo je 2 verschiedene Knoten durch eine Kante verbunden sind. Diese nennt man vollständige Graphen“.
”
Kn : vollständiger Graph mit n Knoten
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
•
K1 :
K2 :
47
•
•
K3 :
•
K4 :
•@
•
•
•
@@ ~~
@~
~~@@@
~
~
K5 :
~
~~
~
~
~~
•@
@@
@@
@@
•
o •/ OO
ooo // OOOOO
o
o
OOO
o
//
OOO
ooo
//
O
ooo
o
/
U
• @UUUU
//
ii~ •
i
i
@@ UUUU
i
i
@@
~~
i/i/ii
UU
@@ UiUiUiUiUiUiUi // ~~~
UUU ~
iiii
•
•
n(n−1)
|V (K
Pnn)| = n, |E(Vn )| = 2 = 2 , d(v
√i ) = n − 1
⇒ i=1 d(vi ) = n(n − 1) = 2 · |E(Vn )|
n
Definition 5.0.3. G1 = hV1 , E1 i heißt Teilgraph von G = hV, Ei, falls V1 ⊆ V, E1 ⊆ E.
5.1
Wege und Kreise: Zusammenhang
Definition 5.1.1. Sei G = hV, Ei ein ungerichteter oder gerichteter Graph. Eine Folge
x0 , (x0 , x1 ), x1 , (x1 , x2 ), x2 , . . . , xk−1 , (xk−1 , xk ), xk mit xi ∈ V, (xi , xj ) ∈ E, k ∈ N
heißt
• Kantenfolge der Länge k von x0 nach xk ,
• offene oder geschlossene Kantenfolge, falls x0 6= xk respektive x0 = xk ,
• Kantenzug, falls alle Kanten paarweise verschieden sind,
• Weg (oder auch Bahn), falls alle Knoten (und damit auch alle Kanten) verschieden sind,
• Kreis (oder auch Zyklus), falls alle Kanten und alle Knoten verschieden sind, mit
Ausnahme von x0 = xk .
Schreibweise für Kantenfolgen: x0 , x1 , x2 , . . . , xk
|
|
Anfangspunkt Endpunkt
Beispiel(e) 5.1.1. G = hV, Ei
b
•O
a•
/ •c
/ d
`@@ ~ •
@@ ~
@~
~~ @@
~~~ @ f•
•e
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
a, b, c, d, e, c, d, f
a, b, c, d, e, c, f
a, b, c, d, e, f
c, d, e, c
Hinweis:
K2 : a •
Kantenfolge der Länge 7 von a nach f
Kantenzug
Weg (=Bahn)
Kreis (=Zyklus)
•b aba ist kein Kreis, da die Kante zweimal enthalten ist!
48