Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 Formelsammlung Elektrotechnik für Maschinentechniker/-innen Florian Gschwend 1 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 Inhaltsverzeichnis 1 Gleichstromtechnik...................................................................................................................... 3 1.1 Grundlagen ......................................................................................................................... 3 1.2 Spannungsteiler, Stromteiler ............................................................................................... 3 1.3 Leistung und Energie .......................................................................................................... 4 1.4 Quellen ................................................................................................................................ 4 1.5 Ersatzquellen ...................................................................................................................... 5 2 Wechselstromtechnik .................................................................................................................. 6 2.1 Grundbegriffe ...................................................................................................................... 6 2.2 Periodische Wechselgrössen .............................................................................................. 6 2.3 Sinusförmige Wechselgrössen ............................................................................................ 6 2.4 Komplexe Zahlen ................................................................................................................ 7 2.5 U und I komplex .................................................................................................................. 7 2.6 Komplexe Widerstände ....................................................................................................... 7 2.7 U/I-Verlauf von R, L, C im Zeitbereich ................................................................................. 8 2.8 U/I-Zeigerdiagramm von R, L, C im Bildbereich ................................................................... 9 2.9 Serieschaltung komplexer Widerstände .............................................................................. 9 2.10 Parallelschaltung komplexer Widerstände ........................................................................... 9 2.11 Komplexe Leistung .............................................................................................................. 9 2.12 Blindleistungs-Kompensation ............................................................................................ 10 3 Einphasen-Transformator ......................................................................................................... 11 3.1 Ersatzschaltung ................................................................................................................. 11 3.2 Parameter aus Leerlaufmessung ....................................................................................... 11 3.3 Parameter aus Kurzschlussmessung ................................................................................ 12 4 Dreiphasen-System................................................................................................................... 13 4.1 Dreieck-Schaltung ............................................................................................................. 13 4.2 Stern-Schaltung................................................................................................................. 13 4.3 Stern Dreieck-Umwandlung .......................................................................................... 14 4.4 Klemmbrett bei einem Drehstromverbraucher ................................................................... 14 4.5 Stern-Schaltung bei asymmetrischer Last ......................................................................... 15 Florian Gschwend 2 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 1 Gleichstromtechnik 1.1 Grundlagen R U I Ohmsches Gesetz Leitwert G 1 R V A S R R1 R2 R3 Serieschaltung I I1 I 2 I 3 U U1 U 2 U 3 Parallelschaltung 1 1 1 1 R1 R 2 R3 R R R1 R2 R1 R2 I I1 I 2 I 3 U U1 U 2 U 3 Knotenregel Maschenregel 1.2 I I U U i i 1 I 2 ... I n 0 1. Kirchhoffsches Gesetz 1 U2 ... Un 0 2. Kirchhoffsches Gesetz Spannungsteiler, Stromteiler Spannungsteiler U1 R1 U R1 R2 U2 R2 U R1 R2 Stromteiler I1 R2 I R1 R2 I2 R1 I R1 R2 Florian Gschwend 3 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 1.3 Leistung und Energie Leistung Elektrische Energie P U I W P t U I t Wirkungsgrad 1.4 U2 I2 R R W Ws J Pab Pzu Quellen Ri 0 Ideale Spannungsquelle U Kl UQ I Ri 0 Reale Spannungsquelle Ra UQ Ra R i U Kl I Pmax Kurzschluss U Kl Ra UQ Ra Ri bei Ra Ri Ra 0 UKl 0 Ik Leerlauf UQ Ri Ra U L UQ I 0 Florian Gschwend 4 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 1.5 Ersatzquellen ErsatzSpannungsquelle Ersatz-Stromquelle UQ I k Ri U UQ I Ri UQ I k Ri I Ik Florian Gschwend U Ri 5 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 2 Wechselstromtechnik 2.1 Grundbegriffe 2.2 Scheitelwert X Periodendauer T Frequenz f Kreisfrequenz 2 f Phasenwinkel φ 1 T Periodische Wechselgrössen Gleichanteil T 1 x x t dt T0 Gleichrichtwert Effektivwert T x Formfaktor 1 x t dt T 0 T 1 2 x t dt T 0 X X eff Scheitelfaktor 2.3 2 T Scheitelwe rt X ks Effektivwe rt X kf Effektivwe rt X Gleichrichtwert x Sinusförmige Wechselgrössen Momentanwert der Spannung u t U sin t u t u t 2 U sin 2 u T Momentanwert des Strom i t I sin t i t i t 2 I sin 2 i T Florian Gschwend ut 0 für t u U 2 U i t 0 für t i I 2 I 6 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 2.4 Komplexe Zahlen z x j y Kartesische Form j 1 ; j 2 1 z z e j Exponentialform Konjugiert Komplex z x j y z e j Eulersche Formel e j cos j sin x Rez y Imz z z x2 y 2 * sin Im e cos Re e j j Trigonometrische Form 2.5 z z cos j z sin U und I komplex Zeitbereich Reeller Momentanwert Komplexer Momentanwert u t U e jt U e ju e jt i t I e jt I e ji e jt u t U sin t u i t I sin t i 2.6 Bildbereich Komplexer Effektivwert U U e ju I I e ji Komplexe Widerstände Komplexer Widerstand Z u t R j X Z e jZ i t X u i R Z arctan Scheinwiderstand Komplexer Leitwert Z Z R2 X 2 Y Z = Impedanz R = Resistanz X = Reaktanz 1 i t G j B Y e jY Z u t B i u G Y arctan Scheinleitwert Florian Gschwend Y Y G2 B 2 Y = Admittanz G = Konduktanz B = Suszeptanz 7 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 Widerstand Induktivität Z R Z j L Wirkwiderstand (Resistanz) R R0 Blindwiderstand (Reaktanz) X 0 XL L Scheinwiderstand (Impedanz) Z R Z L XL Komplexer Widerstand Z Y j Komplexer Leitwert Y 1 R Wirkleitwert (Konduktanz) G 1 R Blindleitwert (Suzeptanz) Scheinleitwert (Admitanz) BL B0 Y 2 1 L G0 1 R Y Y 0 2.7 Z 0 1 L 1 L Y 2 Kapazität Z j 1 C R0 XC Z 1 C 1 XC C Z 2 Y j C G0 BC C Y C Y 2 U/I-Verlauf von R, L, C im Zeitbereich Ohmscher Widerstand uR t i R t R uR und iR sind in Phase: u i Ideale Induktivität (Spule) u L t L di L dt uL eilt iL voraus: u i Ideale Kapazität (Kondensator) uC t 2 1 i C dt C uC eilt iC hinterher: u i Florian Gschwend 2 8 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 2.8 U/I-Zeigerdiagramm von R, L, C im Bildbereich Widerstand R u und i sind in Phase: u i 2.9 Induktivität L Kapazität C u eilt i voraus: u eilt i hinterher: u i u i 2 2 Serieschaltung komplexer Widerstände R und L in Serie Z R j L R und C in Serie Z R j R, L und C in Serie 1 C 1 Z R j L C 2.10 Parallelschaltung komplexer Widerstände R und L parallel Y 1 1 j R L R und C parallel Y 1 j C R R, L und C parallel Y 1 1 j C R L 2.11 Komplexe Leistung Komplexe Leistung Wirkleistung S U I P j Q S e j S * P U I cos P ReS Re U I Blindleistung * Q U I sin Q Im S Im U I Scheinleistung Leistungsfaktor Florian Gschwend VAr * S S U I P 2 Q2 cosS W VA P S 9 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 2.12 Blindleistungs-Kompensation Ausgangslage Kompensation Schaltung Zeigerdiagramm I K I R I L IC Leistungsdiagramm C Florian Gschwend QC U2 10 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 3 Einphasen-Transformator 3.1 Ersatzschaltung Übersetzungsverhältnis ü U '2 w1 w2 w1 U2 w2 w I '2 2 I 2 w1 3.2 2 w R '2 1 R2 w2 2 w X ' 2 1 X 2 w2 Spannung am Eingang U 1 R1 I 1 j X1 I 1 j Zh I 1 I '2 Spannung am Ausgang U '2 R'2 I '2 j X '2 I '2 j Zh I 1 I '2 Parameter aus Leerlaufmessung I1Fe I10 cos0 RFe U10 I1Fe I1 I10 sin0 Xh U10 I1 Florian Gschwend P10 U10 I10 cos0 cos0 P10 U10 I10 11 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 3.3 Parameter aus Kurzschlussmessung U1K cosK I1K UR1R '2 U1K cosK R1 R '2 U X 1X ' 2 U1K cosK X1 X '2 U1K sinK I1K PK U1K I1K cosK cosK PK U1K I1K In der Regel Annahme: X1 X '2 Florian Gschwend 12 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 4 Dreiphasen-System 4.1 Dreieck-Schaltung Strang-Spannung Aussenleiter-Spannung 4.2 UStr U1,U2 ,U3 U UStr Strang-Strom IStr I1, I 2 , I3 Aussenleiter-Strom I IStr 3 U U12 ,U 23 ,U31 I I12 , I 23 , I31 Stern-Schaltung Strang-Spannung UStr U1,U2 ,U3 Aussenleiter-Spannung U UStr 3 Strang-Strom IStr I1, I 2 , I3 Aussenleiter-Strom Florian Gschwend I IStr U U12 ,U 23 ,U31 I I12 , I 23 , I31 13 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 4.3 Stern Dreieck-Umwandlung Stern Dreieck 4.4 Dreieck Stern R12 R10 R20 R10 R30 R20 R30 R30 R10 R12 R31 R12 R23 R31 R23 R10 R20 R10 R30 R20 R30 R10 R20 R12 R23 R12 R23 R31 R31 R10 R20 R10 R30 R20 R30 R20 R30 R23 R31 R12 R23 R31 Klemmbrett bei einem Drehstromverbraucher Stern-Schaltung Dreieck-Schaltung Angaben auf dem Leistungsschild: 230V heisst, dass die anliegende Spannung max. 230V betragen darf, bzw. dass der Drehstromverbraucher an einem 3x230V-Netz in oder einem 3x400VNetz in Y betrieben werden darf. 400/230V heisst, dass die Strangspannung die kleinere Spannung ist, also 230V. Florian Gschwend 14 / 15 Elektrotechnik 1 Version 1.0 WS 2005/06 4.5 Stern-Schaltung bei asymmetrischer Last Sternpunkt mit Neutralleiter verbunden Sternpunkt nicht mit Neutralleiter verbunden USN Z1 Z 2 Z 3 I1 U1 Z1 I2 U2 Z2 I N I1 I 2 I 3 U Str U Stern Z1 Z 2 Z 3 I3 U3 Z3 I1 U Str 1 Z1 I2 IN 0 U Str 2 Z2 I3 U Str 3 Z3 I1 I 2 I 3 0 U Str 1 U 1 U SN U Str 2 U 2 U SN U Str 3 U 3 U SN U SN Florian Gschwend U1 U 2 U 3 Z1 Z 2 Z 3 1 1 1 Z1 Z 2 Z 3 15 / 15
