5. Vorlesung EP 5. Vorlesung EP I) Mechanik 1. Kinematik 2.Dynamik a) Newtons Axiome (Begriffe Masse und Kraft) b) Fundamentale Kräfte c) Schwerkraft (Gravitation) d) Federkraft e) Reibungskraft f) Trägheits- und Scheinkräfte 3. Arbeit, Leistung, Energie und Stöße Versuche: Zentrifugalkraft als Trägheitskraft Zentrifugalkraft als Scheinkraft Corioliskraft EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EP 2f) Scheinkrä Scheinkräfte f) Trägheits- und Scheinkräfte Als Trägheitskraft bezeichnet man die Kraft, mit der die träge Masse einer äußeren beschleunigenden Kraft entgegenwirkt, nach Newtons Axiom #3 Actio = reactio. Newtons Prinzip #2: r r F= m⋅ a kann man umschreiben zu einem Kräftegleichgewicht (Actio + reactio= 0): r r F −m⋅a = 0 123 Trägheitskraft Der Körper, der die äußere, beschleunigende Kraft ausübt, verspürt eine Gegenkraft, durch die träge Masse m verursacht. Für Beobachter in beschleunigten Bezugssystemen, z.B. im anfahrenden oder bremsenden Auto oder in der Kurve oder auf einem Karussell, werden solche Trägheitskräfte zu „Scheinkräften“. Die Zentrifugalkraft auf rotierenden Systemen ist ein bekanntes Beispiel. EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EP 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Systeme, in denen die Newton’schen Axiome gelten, heißen Inertialsysteme Bezugssystem Fixsterne galten im letzten Jahrhundert als Inertialsystem. Nach meiner Meinung muß man heute das Bezugssystem, in dem die 3 Kelvin Hintergrundstrahlung isotrop ist, als optimales Inertialsystem definieren. (Unsere Galaxis rotiert). D.h. Fixsterne werden ersetzt durch entfernte Galaxien oder Galaxiencluster. Aber für fast alle anderen Beobachtungen ist Fixsternhimmel ein ausreichend gutes Inertialsystem. Wenn wir ein Inertial-System gefunden haben, dann gilt: Geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu unserem Inertialsystem bewegte Systeme sind ebenfalls Inertialsysteme (Es wird keine Kraft benötigt, das System auf seiner Bahn zu halten, es gibt keine Scheinkräfte, Körper bleiben in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, wenn keine äußeren Kräfte auf sie wirken etc…) EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EP 2f) Scheinkrä Scheinkräfte In beschleunigten Systemen verhalten sich die Dinge anders ... Im ruhenden Inertial-System S (Beobachter außen) bleibt das ruhende Buch in Ruhe (Trägheit) Fschein Beschleunigt der Wagen, rutscht das Buch vom Tisch, ein mitfahrender, mitbeschleunigter Beobachter (S’) misst eine Kraft, die das Buch vom Tisch zu ziehen scheint. Diese für ihn real erscheinende Kraft (messbar mit der dargestellten Feder) nennen wir Scheinkraft, sie ist = der Trägheitskraft, Beschleunigte Systeme sind keine Inertialsysteme. EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EP 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Rotierende Systeme sind beschleunigte Systeme ... (Richtungsänderung der Geschwindigkeit). a) Ruhender Beobachter: Das Buch bewegt sich geradlinig (Trägheit). falls nicht festgehalten. b) Beschleunigter Beobachter (im Zug, um die Kurve): Muss eine Kraft aufbringen, um das Buch auf die Kreisbahn bringen, für ihn wirkt eine Scheinkraft nach Außen (Zentrifugalkraft). EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EP 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Rotation stellt Beschleunigung dar, weil der Geschwindkeitsvektor ständig seine Richtung ändert (zur Erinnerung: a= rω² in radialer Richtung nach innen.) Für einen Beobachter im rotierenden System unterliegen alle Körper mit Masse m zwei Scheinkräften: Zentrifugalkraft Fz und, wenn sich der Körper im rotierenden System bewegt, zusätzlich die von der Geschwindigkeit abhängige Corioliskraft Fc. Die Beschleunigung a kennen wir schon, s. oben, daher ist die Trägheitskraft = Scheinkraft für Beobachter im rotierenden Bezugssystem nach Newton#2, F = ma: FZ = m· r · ω² = m · v² /r Versuch: Rotierende Scheibe mit Körper an Feder EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 2f) Scheinkrä Scheinkräfte 5. Vorlesung EP Zentrifugalkraft Ein rotierender Körper wird durch die Zentripetalkraft (äußere Kraft für den Körper) auf der Kreisbahn gehalten. Als Gegenkraft wird Zentrifugalkraft (Trägheitskraft) empfunden Im rotierenden System erscheint der Körper in Ruhe infolge des Gleichgewichtes zwischen einer Scheinkraft (Folge der Trägheit) und der Zentripetalkraft. FZ = m ⋅ a rotation v2 = m ⋅ = m ⋅ ω2 ⋅ r r Ausführliche Erläuterung zu Versuch: Rotierende Scheibe mit Körper an Feder EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EP 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Die Corioliskraft zieht bei einem linksdrehenden System nach rechts. Ihre Stärke ist auf der nächsten Folie (ohne Herleitung) für den r einfachen Fall eines radial gerichteten Geschwindigkeitsvektors v (im rotierenden System) angegeben und auf der übernächsten Folie für beliebige Richtung r von v . EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EP 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Corioliskraft (wirkt auf bewegte Körper in rotierenden Systemen) a) Ein ruhender Beobachter außerhalb der rotierenden Scheibe, zwei auf Scheibe b) Alle 3 Gestalten rotieren a) Der Fänger verpasst, da er sich wegdreht b) Eine Kraft scheint den Ball nach rechts abzulenken, genannt Corioliskraft Fc = 2m ⋅ v ⋅ ω Sie steht senkrecht zur Drehachse und zur Geschwindigkeit VERSUCH Corioliskraft EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 2f) Scheinkrä Scheinkräfte r r muß man das Vektorprodukt von v und ω (=Vektor 5. Vorlesung EP r Für beliebige Richtung von v in Richtung der Drehachse vom Betrag ω ) einführen: r r r FC = − 2 m ω x v r D.h. |F C | = 2mvωsin(α) r FC ist senkrecht zu v und ω Bei Rotation entgegen Uhrzeigersinn (z.B. Nordhalbkugel der Erde vom Polarstern aus betrachtet): a) Bewegung von außen nach innen: große Anfangstangentialgeschwindigkeit vr = rω folgt Ablenkung nach rechts. b) Bewegung von innen nach außen: kleine Anfangstangentialgeschwindigkeit innen gibt: Scheibe dreht sich unter Masse weg: Daraus folgt im bewegten System Ablenkung nach rechts Bei Umkehr des Drehsinnes : Ablenkung nach links. Anwendungen und Auswirkungen: Luftbewegung auf Erde Passat, Hochdruckgebiet Mäandern von Flüssen EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EP 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Corioliskraft auf der Erde, Wolkenwirbel Luft strömt in ein Tiefdruckgebiet und wird auf Nordhalbkugel nach rechts abgelenkt, ein Wolkenwirbel entsteht. EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie, 3. Arbeit, Leistung, Energie und Stöße a) Arbeit = Kraft . Weg Arbeit ist eine skalare Größe (reine Zahl). Sie wird aus 2 Vektoren berechnet (Skalarprodukt): r r r r W = F ⋅ s = | F | ⋅ | s | ⋅cos θ Einheit: 1 Newton * Meter = 1Joule EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie, Es wird keine Arbeit geleistet, wenn die Richtung der Kraft senkrecht zur Richtung des Weges ist. (Bsp.: Rotationsbewegung -> Mondbewegung um Erde) r r r r F ⋅ s =| F | ⋅ | s | ⋅ cos α = 0 r r wenn F senkrecht auf s Was passiert bei krummlinigen Bewegungen ? Die Verschiebung muss in kleine Stücke zerlegt werden Die Arbeit wird für jedes Stück berechnet und aufsummiert EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie, Übergang zum Intergral: r Zerlegung des Weges in Teilstücke ∆ si Wges für krumme Bahnen und sich ändernde Kräfte: r r r r = Σ Wi = ΣFi ⋅ ∆ si ⇒ ∫ Fd s i EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EP Leistung P = Arbeit W / Zeit ∆t P = ∆W / ∆ t = mittlere Leistung im endlichen Zeitintervall ∆t P = dW /dt = momentane Leistung (Differentialquotient) Einheit der Leistung : 1 Joule /s = 1 Watt = 1W EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie, b) Energie In einem System, an dem Arbeit verrichtet wurde, ist das Vermögen gespeichert, selbst wieder Arbeit zu verrichten. Dieses Vermögen nennt man Energie. Energie ist Zustandsgröße, Arbeit ist Prozessgröße. Formen von mechanischer Energie: Potentielle Energie: Epot, durch die Lage eines Punktes in einem Kraftfeld gegeben (Bsp.: Hubarbeit im Schwerefeld) Kinetische Energie: Ekin, durch den Bewegungszustand eines Körpers gegeben, d.h. durch die Geschwindigkeit EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie, Potentielle Energie im Schwerefeld: F ist eine gegen die Schwerkraft gerichtete Kraft in Richtung s E pot r v = F ⋅ s = mg ⋅ h ⋅ cos(0 ) = m ⋅ g ⋅ h Potentielle Energie einer gespannten Feder: r r F = D⋅x Die Kraft ändert sich längs des Weges ! r r 1 Epot = ∫ F ⋅ dx = ∫ D ⋅ x ⋅ cos(0)dx = Dx 2 2 r v F = D⋅ x EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie, Beschleunigungsarbeit, kinetische Energie: konstante Beschleunigung a E kin r r = F ⋅ s = m ⋅ a ⋅ s ⋅ cos(0) 1 → Ekin = m ⋅ a ⋅ at 2 2 1 v = at ) ( → E kin = mv 2 2 (s = 1 at 2 ) 2 Rotationsenergie, etc.: später EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler
