3. WH
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3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 ck – jaksch Mittwoch, 12. März 2014 Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Ordnen Sie den folgenden Funktionsgleichungen die entsprechende Bezeichung zu: exponentiell steigend exponentiell fallend beschränktes Wachstum x y(x) = Error! W(t) = (K – T)(1 – c 0,8t) 3. 4. x x r(x) = r0 e1,5x 2. logistisches Wachstum b) Skizzieren Sie im beiliegenden Koordinatensystem den Funktionsgraphen für logistisches Wachstum mit der Kapazität 1 000 und dem Anfangswert 100. Der Funktionswert an der Stelle 6 soll 980 sein. a) Ein radioaktives Material hat nach 20 Tagen nur mehr 70 % seiner Anfangsaktivität. Berechnen Sie den Parameter in der Gleichung für die Aktivität A(t) = A0 e t. A0 ist die Anfangsaktivität in Kilobecquerel (kBq). A(t) ist die Aktivität zum Zeitpunkt t in kBq. t ist die Zeit in Tagen (d). 0,7 = e 20 = –0,0178 b) Ein radioaktives Material zerfällt nach der Gleichung A(t) = 70 e –0,02 t. Bezeichnungen und Einheiten wie in 2.a). Berechnen Sie die Halbwertszeit. e–0,02 τ = 0,5 τ = 34,7 d a) Ein Material wird erhitzt und seine Temperatur gehorcht der Gleichung T(t) = 300 (1 – 0,9e–0,2t). t in Stunden (h), T in Grad Celsius (°C). Berechnen Sie seine Temperatur nach 10 Stunden. Berechnen Sie die Konvergenztemperatur (die Temperatur, die zwar annähernd erreicht, aber nie überschritten wird) und die Anfangstemperatur. T(10) = 300 (1 – 0,9 e–2) = 263,5 °C T(0) = 30 °C b) Berechnen Sie die Parameter k und a der Funktion für beschränktes Wachstum: y(x) = k (1 – c ax), wenn die Kapazitätsgrenze 200 sein soll, der Anfangswert 20 beträgt und y(6) = 176,75 ist. k = 200 y(0) = 20 = 200( 1 – c) c = 0,9 176,75 = 200 (1 – 0,9 a6) a = 0,71 a) Schädlinge vermehren sich in einer Monokultur exponentiell. Die Gleichung für die Anzahl der Schädlinge sei S(t) = 3 000 e0,05 t. t in Tagen (d) ab dem 1. April, S als Anzahl. Nach 20 Tagen werden die Schädlinge bekämpft und ihre Anzahl sinkt mit einer Rate von – 20 % pro Woche. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Schädlingszahl auf 1 000 gesunken ist. S(20) = 8154,8 S(u) = 8 154,8 ⋅ 0,8u = 1 000 (u in Wochen) u = 9,4 Wochen = 66 Tage Nach insgesamt 86 Tagen (nach dem 1. April) ist die Schädlingszahl wieder 1 000. b) Geben Sie an, welche Darstellung dem angegebenen Modell entspricht: Graph A linear exponentiell D logistisch x x B C beschränkt x x Beispiel 4.b) Beispiel 1.b) 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 ck – jaksch Mittwoch, 12. März 2014 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Ordnen Sie den folgenden Funktionsgleichungen die entsprechende Bezeichung zu: exponentiell steigend exponentiell fallend W(t) = (K – T)(1 – c 0,8t) beschränktes Wachstum logistisches Wachstum x x y(x) = Error! r(x) = r0 e–1,5x 2. 3. 4. x b) Skizzieren Sie im beiliegenden Koordinatensystem den Funktionsgraphen für logistisches Wachstum mit der Kapazität 1 000 und dem Anfangswert 100. Der Funktionswert an der Stelle 6 soll 980 sein. a) Ein radioaktives Material hat nach 10 Tagen nur mehr 40 % seiner Anfangsaktivität. Berechnen Sie den Parameter in der Gleichung für die Aktivität A(t) = A0 e t. A0 ist die Anfangsaktivität in Kilobecquerel (kBq). A(t) ist die Aktivität zum Zeitpunkt t in kBq. t ist die Zeit in Tagen (d). 0,4 = e 10 = –0,092 b) Ein radioaktives Material zerfällt nach der Gleichung A(t) = 70 e–0,04 t. Bezeichnungen und Einheiten wie in 2.a). Berechnen Sie die Halbwertszeit. e–0,04 τ = 0,5 τ = 17,3 d a) Ein Material wird erhitzt und seine Temperatur gehorcht der Gleichung T(t) = 200 (1 – 0,9e–0,1t). t in Stunden (h), T in Grad Celsius (°C). Berechnen Sie seine Temperatur nach 10 Stunden. Berechnen Sie die Konvergenztemperatur (die Temperatur, die zwar annähernd erreicht wird, aber nie überschritten) T(10) = 200 (1 – 0,9 e–1) = 133,8 °C T(0) = 20 °C b) Berechnen Sie die Parameter k und a der Funktion für beschränktes Wachstum: y(x) = k (1 – c ax), wenn die Kapazitätsgrenze 200 sein soll, der Anfangswert 20 beträgt und y(6) = 176,75 ist. k = 200 y(0) = 20 = 200( 1 – c) c = 0,9 176,75 = 200 (1 – 0,9 a6) a = 0,71 a) Schädlinge vermehren sich in einer Monokultur exponentiell. Die Gleichung für die Anzahl der Schädlinge sei S(t) = 3 000 e0,02 t. t in Tagen (d) ab dem 1. April, S als Anzahl. Nach 20 Tagen werden die Schädlinge bekämpft und ihre Anzahl sinkt mit einer Rate von – 20 % pro Woche. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Schädlingszahl auf 1 000 gesunken ist. S(20) = 4475,5 S(u) =4 4475,5 ⋅ 0,8u = 1 000 (u in Wochen) u = 6,7 Wochen = 47 Tage Nach insgesamt 67 Tagen (nach dem 1. April) ist die Schädlingszahl wieder 1 000. b) Geben Sie an, welche Darstellung dem angegebenen Modell entspricht: Graph A B linear exponentiell beschränkt logistisch x x C D Beispiel 4.b) Beispiel 1.b) x x 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 ck – jaksch Mittwoch, 12. März 2014 Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Ordnen Sie den folgenden Funktionsgleichungen die entsprechende Bezeichung zu: exponentiell steigend exponentiell fallend beschränktes Wachstum logistisches Wachstum y(x) = Error! W(t) = (K – T)(1 – c 0,8t) r(x) = r0 e1,5x 2. 3. 4. b) Skizzieren Sie im beiliegenden Koordinatensystem den Funktionsgraphen für logistisches Wachstum mit der Kapazität 1 000 und dem Anfangswert 100. Der Funktionswert an der Stelle 6 soll 980 sein. a) Ein radioaktives Material hat nach 20 Tagen nur mehr 70 % seiner Anfangsaktivität. Berechnen Sie den Parameter in der Gleichung für die Aktivität A(t) = A0 e t. A0 ist die Anfangsaktivität in Kilobecquerel (kBq). A(t) ist die Aktivität zum Zeitpunkt t in kBq. t ist die Zeit in Tagen (d). b) Ein radioaktives Material zerfällt nach der Gleichung A(t) = 70 e–0,02 t. Bezeichnungen und Einheiten wie in 2.a). Berechnen Sie die Halbwertszeit. a) Ein Material wird erhitzt und seine Temperatur gehorcht der Gleichung T(t) = 300 (1 – 0,9e–0,2t). t in Stunden (h), T in Grad Celsius (°C). Berechnen Sie seine Temperatur nach 10 Stunden. Berechnen Sie die Konvergenztemperatur (die Temperatur, die zwar annähernd erreicht, aber nie überschritten wird) und die Anfangstemperatur. b) Berechnen Sie die Parameter k und a der Funktion für beschränktes Wachstum: y(x) = k (1 – c ax), wenn die Kapazitätsgrenze 200 sein soll, der Anfangswert 20 beträgt und y(6) = 176,75 ist. a) Schädlinge vermehren sich in einer Monokultur exponentiell. Die Gleichung für die Anzahl der Schädlinge sei S(t) = 3 000 e0,05 t. t in Tagen (d) ab dem 1. April, S als Anzahl. Nach 20 Tagen werden die Schädlinge bekämpft und ihre Anzahl sinkt mit einer Rate von – 20 % pro Woche. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Schädlingszahl auf 1 000 gesunken ist. b) Geben Sie an, welche Darstellung dem angegebenen Modell entspricht: Graph A B C D linear exponentiell beschränkt logistisch Beispiel 4.b) Beispiel 1.b) 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 ck – jaksch Mittwoch, 12. März 2014 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Ordnen Sie den folgenden Funktionsgleichungen die entsprechende Bezeichung zu: exponentiell steigend exponentiell fallend beschränktes Wachstum logistisches Wachstum W(t) = (K – T)(1 – c 0,8t) y(x) = Error! r(x) = r0 e–1,5x 2. 3. 4. b) Skizzieren Sie im beiliegenden Koordinatensystem den Funktionsgraphen für logistisches Wachstum mit der Kapazität 1 000 und dem Anfangswert 100. Der Funktionswert an der Stelle 6 soll 980 sein. a) Ein radioaktives Material hat nach 10 Tagen nur mehr 40 % seiner Anfangsaktivität. Berechnen Sie den Parameter in der Gleichung für die Aktivität A(t) = A0 e t. A0 ist die Anfangsaktivität in Kilobecquerel (kBq). A(t) ist die Aktivität zum Zeitpunkt t in kBq. t ist die Zeit in Tagen (d). b) Ein radioaktives Material zerfällt nach der Gleichung A(t) = 70 e –0,04 t. Bezeichnungen und Einheiten wie in 2.a). Berechnen Sie die Halbwertszeit. a) Ein Material wird erhitzt und seine Temperatur gehorcht der Gleichung T(t) = 200 (1 – 0,9e–0,1t). t in Stunden (h), T in Grad Celsius (°C). Berechnen Sie seine Temperatur nach 10 Stunden. Berechnen Sie die Konvergenztemperatur (die Temperatur, die zwar annähernd erreicht wird, aber nie überschritten) b) Berechnen Sie die Parameter k und a der Funktion für beschränktes Wachstum: y(x) = k (1 – c ax), wenn die Kapazitätsgrenze 200 sein soll, der Anfangswert 20 beträgt und y(6) = 176,75 ist. a) Schädlinge vermehren sich in einer Monokultur exponentiell. Die Gleichung für die Anzahl der Schädlinge sei S(t) = 3 000 e0,02 t. t in Tagen (d) ab dem 1. April, S als Anzahl. Nach 20 Tagen werden die Schädlinge bekämpft und ihre Anzahl sinkt mit einer Rate von – 20 % pro Woche. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Schädlingszahl auf 1 000 gesunken ist. b) Geben Sie an, welche Darstellung dem angegebenen Modell entspricht: Graph A B C D linear exponentiell beschränkt logistisch Beispiel 4.b) Beispiel 1.b)
