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Lineare Algebra
11. Matrizen
Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m
Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2n 
 ...
... ... ... 


 am1 am 2 ... amn 
= (aij)
Addition von Matrizen
A = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen.
elementweise
A+B=C
mit
cij = aij + bij
A-B=C
mit
cij = aij – bij
Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die
gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen.
Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ.
 1 2


3 4
5 6


+
2
1 2



 0 0  = 3
4
 -1 - 7



4

4
- 1
Addition von Matrizen
A = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen.
elementweise
A+B=C
mit
cij = aij + bij
A-B=C
mit
cij = aij – bij
Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die
gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen.
Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ.
 1 2


3 4
5 6


-
0
1 2



0 0 = 3
6
 -1 - 7



0

4
13 
n
Multiplikation von Matrizen
cij =
 aik bkj
k 1
A
B
=
Man kann nur solche Matrizen A und B miteinander
multiplizieren, für die gilt:
A = mn-Matrix, B = np-Matrix
Das Ergebnis ist eine mp-Matrix.
C
1 2 3
4 5 6
1a + 2c + 3e
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f
a
b
c
d
e
f
1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f
4a + 5c + 6e
a
b
c
d
e
f
( 4a + 5c + 6e , 4b + 5d + 6f )
1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f
n
cij =
 aik bkj
k 1
=
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des
zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix
n
cij =
 aik bkj
k 1
=
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des
zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix
Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist
selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die
sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
AB≠BA
 1 0   0 1  0 1

 
 = 

0 0 0 0 0 0
n
cij =
 aik bkj
k 1
=
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des
zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix
Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist
selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die
sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
AB≠BA
 1 0   0 1  0 1
 0 1  1 0   0 0 

 
 = 
 aber 
 
 = 

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 2 3
4 5 6
a
b
c
d
e
f
1a+2c+3e
4a+5c+6e
1b+2d+3f
4b+5d+6f
 1

 0
2
3 

 1  2
1

 0
3

2

 1 =
2 
 1

 0
2
3 

 1  2
1

 0
3

2

 1 =
2 
 1  0  9 2  2  6   10 6 

 = 

 0  0  6 0  1 4    6  3 
 1

 0
2
3 

 1  2
1

 0
3

2

 1 =
2 
 1  0  9 2  2  6   10 6 

 = 

 0  0  6 0  1 4    6  3 
 b1 
(a1, a2)   = (a1b1 + a2b2) 
 b2 
 1

 0
2
3 

 1  2
1

 0
3

2

 1 =
2 
 1  0  9 2  2  6   10 6 

 = 

 0  0  6 0  1 4    6  3 
 b1 
(a1, a2)   = (a1b1 + a2b2) 
 b2 
11.1 Erklären Sie folgendes Schema:
1
4
1
2
5
1
3
6
2
2
3
2
14
35
9
2
5
1
15
39
9
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt
A (B C) = (A B) C
Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv
über die Matrixaddition +:
A (B + C) = (A B) + (A C)
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt
A (B C) = (A B) C
Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv
über die Matrixaddition +:
A (B + C) = (A B) + (A C)
Es gibt eine nn-Matrix I, die nn-Einheitsmatrix,
 1 0 ... 0 


0
1
...
0


I= 
= (ij)
... ... ... ... 


 0 0 ... 1 
so dass für jede nn-Matrix A gilt
(11.4)
A I = A = I A.
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt
A (B C) = (A B) C
Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv
über die Matrixaddition +:
A (B + C) = (A B) + (A C)
Es gibt eine nn-Matrix I, die nn-Einheitsmatrix,
 1 0 ... 0 


0
1
...
0


I= 
= (ij)
... ... ... ... 


 0 0 ... 1 
so dass für jede nn-Matrix A gilt
(11.4)
A I = A = I A.
Eine 11 Matrix ist eine Zahl.
Eine 1n Matrix heißt Zeilenvektor.
Eine n1 Matrix heißt Spaltenvektor oder einfach Vektor.
11.2 A =
1
4

7
A A
A B
C A
B C
C B
2 3

5 6 ,B=

8 9
1

3
5

2

4, C =
6 
-1

- 2
0
-3
- 1

0
11.4 Inversion von Matrizen
Mit Hilfe der inversen Matrix kann man bestimmte lineare
Gleichungssysteme lösen.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...........................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
(S)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und
bezeichnet B mit A-1.
 1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
I= 
= (ij)

... ... ... ...


 0 0 ... 1 
(11.4)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und
bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist,
muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem
Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die
beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A, d.h.
L A = I
und R das Rechtsinverse
A R = I
 1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
I= 
= (ij)

... ... ... ...


 0 0 ... 1 
(11.4)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und
bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist,
muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem
Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die
beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A
L A = I
und R das Rechtsinverse
A R = I
Eine Matrix heißt umkehrbar, wenn ein Linksinverses L und ein Rechtsinverses R existieren. In diesem Falle gilt L = R, denn
R = I R = (L A) R = L (A R) = L I = L
1 2 0 


A =  4 3 - 1
 6 5 - 1


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 2 0 


 0 - 5 - 1
 0 - 7 - 1


 1 0 0


- 4 1 0
 - 6 0 1


0 
1 2


 0 1 1/5 
0 - 7 - 1 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 -6
0
1 

1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


A =  4 3 - 1
 6 5 - 1


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 2 0 


 0 - 5 - 1
 0 - 7 - 1


 1 0 0


- 4 1 0
 - 6 0 1


0 
1 2


 0 1 1/5 
0 - 7 - 1 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 -6
0
1 

1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


A =  4 3 - 1
 6 5 - 1


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 2 0 


 0 - 5 - 1
 0 - 7 - 1


 1 0 0


- 4 1 0
 - 6 0 1


0 
1 2


 0 1 1/5 
0 - 7 - 1 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 -6
0
1 

1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


A =  4 3 - 1
 6 5 - 1


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 2 0 


 0 - 5 - 1
 0 - 7 - 1


 1 0 0


- 4 1 0
 - 6 0 1


0 
1 2


 0 1 1/5 
0 - 7 - 1 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 -6
0
1 

1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


0
1
1/5


0 0 1 


0
0 
 1


4/5
1/5
0


 - 1 - 7/2 5/2 


 1 2 0


0 1 0
 0 0 1


0
0 
1


 1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 
-1 -1


A-1 =  1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


Ergebnis:
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


0
1
1/5


0 0 1 


0
0 
 1


4/5
1/5
0


 - 1 - 7/2 5/2 


 1 2 0


0 1 0
 0 0 1


0
0 
1


 1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 
-1 -1


A-1 =  1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


Ergebnis:
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


0
1
1/5


0 0 1 


0
0 
 1


4/5
1/5
0


 - 1 - 7/2 5/2 


 1 2 0


0 1 0
 0 0 1


0
0 
1


 1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 
-1 -1


A-1 =  1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


Ergebnis:
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


 0 1 1/5 
0 0 1 


0
0 
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 2 0


0
1
0


 0 0 1


0
0 
1


 1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 
-1 -1


A-1 =  1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


Ergebnis:
Probe: A A-1 = I = A-1 A
1 2 0 


4
3
1


 6 5 - 1


11.5 Das Matrixinversionsverfahren
Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als
Matrix-Gleichung schreiben
A X = B
(11.6)
wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten
und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist.
Solch eine einfache Gleichung löst man durch
A-1 A X = X = A-1 B
(11.7)
Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in
jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen
Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen
Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die
entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik
wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt.
Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem
Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix
11.5 Das Matrixinversionsverfahren
Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als
Matrix-Gleichung schreiben
A X = B
(11.6)
wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten
und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist.
Solch eine einfache Gleichung löst man durch
A-1 A X = X = A-1 B
(11.7)
Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in
jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen
Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen
Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die
entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik
wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt.
Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem
Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix
11.5 Das Matrixinversionsverfahren
Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als
Matrix-Gleichung schreiben
A X = B
(11.6)
wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten
und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist.
Solch eine einfache Gleichung löst man durch
A-1 A X = X = A-1 B
(11.7)
Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in
jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen
Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen
Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die
entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik
wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt.
Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem
Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix
11.5 Das Matrixinversionsverfahren
Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als
Matrix-Gleichung schreiben
A X = B
(11.6)
wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten
und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist.
Solch eine einfache Gleichung löst man durch
A-1 A X = X = A-1 B
(11.7)
Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in
jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen
Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen
Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die
entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik
wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt.
Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem
Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix
Beispiel:
x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

1
1/2
1/2
x
2
1/2
=

=
 2 

  

 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  .
 - 1
 
11.5 Invertieren Sie die Matrix
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
3
2

3
6

1
.

4
1
zu invertieren.

2
Schreiben Sie das Gleichungssystem
2x + 4y = 1
x + 3y = 1
als Matrixgleichung
 2 4   x   1

    
 1 3   y   1
 x   2
2 3 1


A   y    4 
2
0
0
-1
A = 

 z  6
0 4 1
   


 x  x
 2   22 
A 1  A   y    y   A 1   4    4 
z z
 6   22 
   
   