Ergänzung zur Experimentalphysik 2
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Strömungsmechanik Wo spielen Strömungen in den Geowissenschaften eine Rolle? Meeresströmungen (Klima bzw. Paläoklima und Paläoumwelt) Grundwasser (Verfügbarkeit, Verschmutzung) Öl-/Gas-Lagerstätten (Reservoir-Bildung und Förderung) Geothermie („Förderung“ von Thermalwässern) Tektonik (Mantelkonvektionen als Motor von Plattenbewegungen, duktile Deformation) Vulkanismus (Magmaströmung) Sedimentation (Bildung von Sedimentgesteinen) Magnetfeld der Erde (Konvektionen im flüßigen äußeren Erdkern) Bewegung von Tieren im Wasser bzw. Luft (Ausrichtung In Strömung, Bionimetik) Pflanzen (Strömungen in Blattadern oder an Blattoberflächen etc., z.B. als Klimaindikator) Strömungsmechanik Kontinuitätsgleichung dV A1 ds1 dV A2 ds2 ds1 ds2 A1 p2 Die allgemeine Kontinuitätsgleichung berücksichtigt Strömungen in beliebige Richtungen sowie auch räumliche und zeitliche Änderungen der Dichte δρ/δt + div(ρv) = 0 A2 Strömungsmechanik Was ist wichtig zur Beschreibung von Strömungen? Kontinuitätsgleichung (Erhaltung der Masse) Hagen-Poiseuille Gleichung (laminare Strömung in Röhren) Kapillarwirkung (bei langsamer Strömung wichtig) Stokes‘sches Gesetz (Strömung von Partikeln: advektiver Transport) Bernoulli Gleichung (bei schneller Strömung wichtig) Auftrieb (Bewegung im Gravitationsfeld) Wärme (erzeugt Druck- bzw. Dichteunterschiede) Strömungsmechanik Hagen-Poiseuille Gesetz p1 p2-p1=Δp p2 R v(r) p v(r ) (R2 r 2 ) 4 l l dV p R Volumenstrom Q = dt 8 l 4 Strömungsmechanik Kapillarwirkung Molekularkräfte zwischen Flüssigkeitsmolekülen (Kohäsion) bzw. Wand und Flüssigkeit (Adhäsion) Wichtig in dünnen Kapillaren (hohes Verhältnis Oberfläche zu Volumen) für Hydrostatik (z.B. in der Kapillarzone des Grundwasserspiegels) und für geringe Strömungsgeschwindigkeiten Strömungsmechanik Strömungswiderstand – Stokes‘sches Gesetz F 6 r v Reibungskraft auf die Kugel bei laminarer Strömung r Radius der Kugel Strömungsmechanik Laminare Strömung durch innere Reibung Strömung dominiert In turbuenter Strömung gilt: cw Widerstandsbeiwert A Querschnittsfläche Turbulente und Strömung durch Trägheitskräfte dominiert 1 F cW A v 2 2 Strömungswiderstand Strömungsmechanik Ableitung des Strömungswiderstands für turbulente Strömung Strömendes Objekt mit Querschnittsfläche A und Geschwindigkeit v Zurückgelegte Strecke des Objekts in Δt: Δs = v∙Δt Dabei zur Seite geschobenes Volumen: entspricht einer Masse: V = A∙Δs = A∙v∙Δt m = ρ∙V = A∙Δs = ρ∙A∙v∙Δt Annahme: Die beiseite geschobene Teilchen erhalten eine Geschwindigeit von vL~v Damit erhalten sie eine kinetische Energie: E = (1/2)∙m∙vL 2 = (1/2)∙ρ∙A∙v∙Δt∙vL2 mit vL2 = cW∙v2 ergibt sich: E = (1/2)∙ cW∙ρ∙A∙Δt∙v3 Diese Energie geht der kinetischen Energie des strömenden Objekt verloren Mit E = F∙Δs (Kraft∙Weg) und Δs = v∙Δt ergibt sich die Formel 1 F cW A v 2 2 Strömungsmechanik Strömung in Gefäßen (Rohrleitungen, Blutgefäße, Blattadern) Es gibt keine magnetischen Monopole Luftströmung !!! über einem Blatt kann laminar oder turbulent sein Blattoberfläche Strömungsmechanik Strömung des Grundwassers wird meistens als laminar betrachtet Blattoberfläche Quelle: http://www.uwsp.edu/cnr/gndwater/Stevens%20Point-Whiting-Plover%20Groundwater%20Management.htm Strömungsmechanik Bestimmung des cw-Wertes eines Fallschirmspringers (m=80 kg) 1 F cW A v 2 2 Im Gleichgewicht ist F = FG Je nach Haltung wird eine maximale Geschwindigkeit von ca. 180 - 320 km/h (ca. 50 - 90 m/s) erreicht Damit ergibt sich cW 2m g A v2 (ρ=1,2 kg/m3 für Luft) d.h. FG = m∙g cw ≈ 0,7 (für 50 m/s) „Bauchsprung“ (A=0,75m2) cw ≈ 0,6 (für 90 m/s) „Kopfsprung“(A=0,25m2) Wäre der Fallschirmspringer eine Kugel und die Strömung laminar, FG = 6∙π∙∙r∙v (Stokes‘sches Gesetz) Blattoberfläche daraus ergibt sich v ≈ 107 m/s (für r = 0,25 m für kugelförmigen Fallschirmspringer) so wäre im Gleichgewicht Dieser Wert ist natürlich absurd; es zeigt aber den gewaltigen Unterschied zwischen dem Strömungswiderstand bei laminarer und turbuenter Strömung Nach dem Öffnen des Schirms (A=40 m2) ergibt sich im Gleichgewicht (bei turbulenter Strömung) eine Geschwindigkeit von v ≈ 5 m/s ≈ 20 km/h (bei cW=1) Strömungsmechanik Weg x, Geschwindigkeit v=dx/dt, Beschleunigung a=d2x/dt2 (während des Falls vor den Öffnen desReibung Schirms) Fall mit Es gilt die Bewegungsgleichung 1 F cW A v 2 2 Ft = m∙a 60,0 d 2x 1 dx m 2 m g cw A ( ) 2 2 dt 50,0 dt 40,0 30,0 FG = m∙g a in m/s2 v(t) in m/s x(t) in m 20,0 10,0 Die geringere Endgeschwindigkeit von 38 m/s ≈ 140 km/h ergibt sich aufgrund der etwas größer angenommen Werte für cw und A t in s 0,0 0 5 10 15 20 Strömungsmechanik Laminare Strömung Turbulente Strömung bei niederer Reynolds-Zahl Re < ca. 2000 bei hoher Reynolds-Zahl Re > ca. 4000 Bei höheren Reynolds-Zahlen wird die Strömung anfälliger für Störungen Reynolds-Zahl Re = v d / Dichte v Strömungsgeschwindigeit d charakteristische Länge Viskosität Re ist ein Maß für das Verhältnis von Trägheitskraft zu Reibungskraft Strömungsmechanik Beispiele Rohrströmung Bei höherer Strömungsgeschwindigkeit wird die Strömung turbulent Unebenheiten erzeugen zusätzlich Turbulenzen (Strömung durch ein glattes Rohr bleibt eher laminar) Zwei miteinander strömende Flüssigkeiten erzeugen ebenfalls zusätzlich Turbulenzen Quelle: Fachbereich Physik Univ. Kaiserslauten Download Video: http://pen.physik.uni-kl.de/medien/MM_Videos/index.html?/medien/MM_Videos/reynolds/farbfaden-web-ger.htm Strömungsmechanik Beispiele für Reynolds-Zahlen: Wasserströmung im Rohr ≈6000 (0,1 l/s, Durchmesser 2 cm) Luftströmung ≈108 (für d= 100 m) (10 m/s = 36 km/h, ρ= 1,2 kg/m3) Blut in Aorta ≈1000 (Kontraktionsphase) Schwimmer ≈105 Viskosität (Ns/m2 = Pa∙s = 10 Poise): Luft 1,8x10-5 Wasser 10-3, Olivenöl 10-1, Honig 10, Steinsalz 1010-1015, Erdmantel 1018-1022, basaltisches Magma 10-103, äußerer Erdkern ähnlich wie Wasser (??) Will man z.B. den Erdmagnetfeld-Dynamo im Experiment simulieren muss man eine realistische Reynolds-Zahl erzeugen, d.h. v∙d muss dem Erdkern entsprechen. Da d im Experiment viel kleiner ist als im Erdkern müsste v sehr groß werden !! Strömungsmechanik Beispiel Basaltschlot: Viskosität 300 Poise Durchmesser 200 m Vertikaler Druckgradient Δp/Δz = 0,3 kbar/km (1 kbar=108 N/m2) Damit ergibt sich: Q ≈4∙1010 m3/s ≈3,5∙106 km3/Tag aus Hagen-Poiseuille Gesetz mit Δp/l = Δp/Δz d.h. Fließgeschwindigkeit v wäre ≈106 m/s, ein absolut unsinniger Wert Wo liegt der Fehler? 1) Druckgradient: nur Dichteunterschied Festgestein zu Magma ist für Δp/Δz relevant Δp/Δz ca. um Faktor 10 geringer => Q und v um Faktor 10 geringer 2) v.a. Schlotdurchmesser bei d=20 m => Q ≈4∙105 m3/s und v ≈ 103 m/s unrealistisch: bei d=2 m => Q ≈40 m3/s und v ≈10 m/s ; Re ≈2000 Spalte (Dyke) statt zylindrischer Schlot: Es git: dV b d 3 p dt 12 l (parallele Platten mit Länge l, Breite b, Abstand 2d) und damit Q ≈103 m3/s und v ≈5 m/s (Fluss entlang l, b=100 m, 2d=2 m, Δp/l = Δp/Δz = 30 bar/km) Re ≈1000 Strömungsmechanik Poiseuille Strömung zwischen parallelen Platten p1 p2-p1=Δp p2 Parallele Platten d v(r) v(r ) l dV b d p Volumenstrom Q = dt 12 l 3 p 2 l (d 2 r 2 ) Strömungsmechanik Grundwasserströmung durch Porenraum Aus dem Hagen-Poiseuille Gesetz folgt: Röhrenmodell dV p r 4 p r 4 L r 4 p dt 8 l 8 l L 8 T L l r L Strömungsdichte L Darcy Gesetz (Empirisches Gesetz) l/L Tortuosität Φ=π r2 l / L3 = πT (r/L)2 Porosität (0<Φ<1) Spor = 2π r l / π r2 l = 2/r Innere Oberfläche pro Porenvolumen (Stirnflächen vernachlässigt) dV 2 r 4 p u /L 3 dt 8 T L k p k u Hydraulische L Permeabilität Ein Vergleich der Gleichungen liefert: k r 4 2 8TL r 2 8T 2 2S 2porT 2 k kann damit auf geometrische Parameter der Porenräume zurückgeführt werden Strömungsmechanik Porenraumverteilung in Lehmböden Magnetismus Eine stromdurchflossene Spule erzeugt ein Magnetfeld Magnetfeld eines Permanentmagneten Es gibt keine magnetischen Monopole !!! Ursache ??? Maxwell-Gleichung Magnetfeld der Erde GEODYNAMO Wie kann ein Magnetfeld selbsterzeugend und selbsterhaltend sein? Der Rikitake-Dynamo benötigt: •rotierende Scheibe •leifähigen Ring („Spule“) •Startfeld (B-Feld) Ein Zweischeibendynamo kann auch unregelmäßige Umkehrungen erklären Durch Lorentzkraft kommt es zum Stromfluss in der Spule, welcher wiederum ein Magnetfeld parallel zum Startfeld erzeugt (das Startfeld kann dann entfallen und das B-Feld bleibt erhalten, solange die Scheibe rotiert) Magnetismus Woher kommt der Festkörpermagnetismus ? Antwort: Spin der Elektronen = atomarer Ringstrom Jedes Elektron erzeugt ein atomares magnetisches Moment der Stärke 9,274078∙10-24 Am2 (Bohrsches Magneton) Zum Vergleich: Magnetisches Moment der Erde ca. 8∙1022 Am2 Ströme erzeugen immer geschlossene B-Feldlinien, d.h. es gibt Plus-Minus (bzw. N-S) Pole nur in Kombination Formen des Magnetismus Spin des Elektrons Diamagnetismus: Magnetfeld Spinachse (=magnetisches Moment) des Elektrons beschreibt in einem Magnetfeld eine Kreiselbewegung (Präzession) um die Magnetfeldrichtung. Die Kreiselbewegung stellt einen zusätzlichen Ringstrom dar; das hier entstehende magnetische Moment ist dem Magnetfeld entgegengerichtet. Diamagnetismus ist eine Eigenschaft aller Stoffe. Diamagnetismus ist grundsätzlich sehr schwach. Formen des Magnetismus Paramagnetismus: Stoffe mit unkompensierten Spinmomenten von Atomen bzw. Ionen sind paramagnetisch. Die Spinmomente benachbarter Atome / Ionen sind aber statistisch verteilt. In einem äußernen Magnetfeld werden die Spinmomente ausgerichtet und der Stoff wird magnetisch (magnetisches Moment in Magnetfeldrichtung). Nimmt man das Magnetfeld weg, so ist die Magnetisierung wieder null (statistische Ausrichtung wieder hergestellt). Paramagnetismus ist relativ schwach. Formen des Magnetismus Ferromagnetismus: Stoffe mit unkompensierten Spinmomenten (wie beim Paramagnetismus), aber mit Wechselwirkung benachbarter Spins. Diese Wechselwirkung führt zur Parallelstellung der Spinmomente. Ferromagnetismus ist stark. Ferromagnetische Stoffe können permanent magnetisch sein. Fe, Co, Ni und seltene Erden sind bei Zimmertemperatur ferromagnetisch. Oberhalb der Curie-Temperatur (Tc) werden ferromagnetische Stoffe paramagnetisch Formen des Magnetismus Ferromagnetismus: Sättigungmagnetisierung Hysteresekurve M: Magnetisierung H: Magnetfeld (B = μo∙H in Luft) [M] = Am-1 [H] = Am-1 [B] = Tesla = Vsm-2 Ferromagnetismus Wie kann ein ferromagnetisches Teilchen unmagnetisch sein? Antwort: Aufteilung in magnetische Domänen, die durch Domänenwände getrennt sind Magnetismus der Gesteine Domänenstrukturen bei Hämatit In zwei verschiedenen äußeren Magnetfeldern Hämatit 10 10 mm mm Remanenter Magnetismus der Gesteine Die Ozeanbasalte haben eine starke permanente Magnetisierung, welche durch das Erdmagnetfeld entstanden ist (getragen durch Minerale mit ferromagnetischen Eigenschaften). Streifenmuster (antiparallele Magnetisierung) entstehen durch Umkehrungen des Erdmagnetfeldes während des Seafloor-Spreadings. Ferromagnetismus Was führt zu remanenter Magnetisierung? Antwort: (1) Magnetische Momente haben Vorzugsrichtungen im Kristallgitter. Um von einer Richtung in die andere umzuklappen bedarf es hoher Energie (Mr/Ms, Hc sind daher groß, d.h. das Material hat ein gutes magnetisches „Gedächtnis“). (2) Domänenwände werden durch unmagnetische Einschlüße (z.B. Poren) und unregelmäßige Berandung, Gitterfehlstellen sowie innere Spannungen „festgehalten“ (Mr/Ms und Hc relativ kleiner, wenn Domänenwände existieren) Domänenwände exisitieren erst oberhalb einer kritischen Korngröße (diese ist hängt vom Material ab). S S N N Ferromagnetismus Magnetisches Moment m und Magnetisierung M H Halbiert man den Magneten, dann halbiert sich m, aber M (M=m/Volumen) bleibt gleich B-Feld und H-Feld N N In einem schmalen Querschlitz entsteht durch die freien Nund S-Pole ein weiteres Feld =N∙M (= M, da für schmalen Schlitz ist N=1); dieses addiert sich zum äußeren Feld H. B = μo ( H + M ) S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N S N Kernphysik (schwarz) Stabile isotope _ (blau) β -Strahler A Z ~ X Y A Z 1 n p + Elektron + Antineutrino (rot) β+-Strahler A Z X Z A1Y p n + Positron + Neutrino (gelb) α-Strahler A Z X ZA42Y 24 http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph12/umwelt_technik/11nuklidkarte/nuklidkarte.htm α-Teilchen haben diskrete Energie, β-Teilchen nicht da hier die Energie in verschiedener Weise auf das β-Teilchen und das Neutrino bzw. Antineutrino verteilt wird. Nach dem α- bzw. β-Zerfall befindet sich der Atomkern in einem angeregten Zustand, was zur Emission eines γ-Quants mit diskreter Energie führt. Kernphysik Zerfallsreihen nucleon number max. energy of -radiaton of element X [MeV] type of disintegration half life time element symbol Die natürlichen Zerfallsreihen Thorium-232 und Uran-238 sowie K-Zerfall (β-Zerfall zu Ca) Die Zerfallsreihen 238U und 232Th sind im radioaktiven Gleichgewicht, d.h. Die Aktivität A aller Zwischenprodukte sowie des Anfangsisotops ist gleich: A dN (t ) d ( N o e t ) N (t ) const dt dt N: Teilchenzahl, λ: Zerfallskonstante Daraus folgt, dass Zwischenprodukte mit hohem λ (= geringe Halbwertszeit) in relativ geringerer Konzentration vorliegen (z.B. Radon-Gas mit einer Halbwertszeit von ca. 4 Tagen; Anm.: Ra ist ein α-Strahler, kann als Gas durch Klüfte leicht aufsteigen, in den Körper eindringen und ist somit ein natürlicher „Umweltverschmutzer“). Kernphysik Wichtige Wechselwirkungen der Kernbausteine Zwischen den Kernbausteinen (p,n) wirkt die „starke Wechselwirkung“. Sie hat im Atomkern eine sehr geringe Reichweite und führt dazu, dass Protonen nicht durch die elektrische Abstossung auseinander fliegen. Protonen sind stabil, d.h. Sie zerfallen nicht (zumindest ist dies bisher nicht beobachtet worden); im Atomkern kann aber ein p in ein n umgewandelt werden. Freie Neutronen sind nicht stabil, sie zerfallen in Proton+Elektron+Antineutrino (Halbwertszeit ≈ ¼ Stunde). Protonen wechselwirken aufgrund ihrer Ladung stark mit Materie (durch die Coulombkräfte). Neutronen dagegen wechselwirken mit Materie sehr viel schwächer (da sie keine Ladung haben wirken keine Coulombkräfte). Die Wechselwirkung beruht vorwiegend auf direkten Stössen, wobei praktisch nur Kollisionen mit Atomkernen von Bedeutung sind: bei hoher n-Energie rein elastische Stösse (wie Billiardkugeln), bei niedrigerer n-Energie inelastische Stösse (mit Erzeugung eines γ-Quants oder n-Einfang in den Atomkern). In den Geowissenschaften ist dies von Bedeutung bei der Erzeugung kosmogener Nukleide in Gesteinen (die n dazu werden in der Atmosphäre durch hochenergetische kosmische Strahlung gebildet) sowie zur Bestimmung von Wasser- bzw. Kohlenwasserstoffgehalt in der Hydrogeologie und für Öl/Gas-Exploration (Elastische Stösse mit besonders hohem Energieübertrag bei Kollision mit dem etwa gleich schweren HKern). Da Protonen geladen sind und einen Spin besitzen, präzidieren (=kreiseln) sie in einem Magnetfeld B umd die B-Feldrichtung mit der Lamorfrquenz fL Dieser Effekt ist z.B. wichtig als Messprinzip für Magnetfelfdmessungen und für Kernspinresonanz (Messung des Wassergehalts). γ: gyromagnetisches Vehältnis fL B 2 B Spin Kernphysik Prinzip des Massenspektrometers zum Nachweis von Isotopen Ionisierte Teilchen treffen an verschiedenen Stellen auf den Detektor Ablenkung im elektrischen Feld Ionisiertes Teilchen Ablenkung im magnetischen Feld Kernphysik Prinzip des Massenspektrometers zum Nachweis von Isotopen v a t l => m a e E c vo E-Feld vo y v┴ tan l vo => v v e l E 2 vo m vo e l E m vo y c tan e l c E 2 m vo durch E-Feld α E-Feld und B-Feld parallel => Ablenkung x und y in aufeinander senkrechten Richtungen r y l vo e E t m Trägheitskraft = Coulombkraft; e: Elementarladung t α v ++++++++ ++++++++ ++++++++ + + + + + +α+ + ++++++++ B-Feld x α mE x2 2 e B l c Alle Isotope mit e/m=const liegen auf dieser Parabelkurve m vo m r e vo B r 2 => 2 c Zentrifugalkraft 1 e B r m vo = Lorentzkraft ds l tan r r bei kleinem α x c tan l c e B l c r m vo
