3__Binomialverteilung - Schulbuchzentrum Online

3 Binomialverteilung
3__Binomialverteilung
WISSEN
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man BernoulliExperiment. Bei n-maligem Wiederholen eines solchen Zufallsexperiments erhält man eine
Bernoulli-Kette der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X eine Zufallsvariable,
welche die Anzahl k der Treffer angibt, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer:
( n)
P (X = k) = k · pk · (1 — p)n — k (Formel von Bernoulli).
Die zu X gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Man nennt X dann Bn;p-verteilte Zufallsvariable und schreibt für P (X = k) auch
Bn;p (k).
Neben der Binomialverteilung benötigt man häufig die zugehörige Summenverteilung, für
deren Wahrscheinlichkeiten die Schreibweise P (X # k) üblich ist.
Die Kenngrößen Erwartungswert und Varianz einer Bn;p-verteilten Zufallsvariable werden
mit E (X) = n · p und V (X) = n · p · (1 — p) berechnet.
Aufgabe 3.1
a) Gegeben ist die B20;0,1-verteilte Zufallsvariable X.
Bestimmen Sie: P (X = 7), P (X , 7), P (3 # x # 8), P (X $ 5)
b) Gegeben ist die B15;0,7 -verteilte Zufallsvariable Y.
Bestimmen Sie: P (Y = 12), P (Y # 10), P (Y . 9), P (7 , Y , 13)
Aufgabe 3.2
Ein Schütze trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0,96. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der
Treffer bei 3 Schüssen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X
a) mit der Formel von Bernoulli,
b) mit einem Baumdiagramm.
Aufgabe 3.3
Aus einem Skatkartenspiel mit den Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo wird 8-mal eine Karte gezogen
und wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
a) 5-mal Karo,
b) höchstens 6-mal Herz,
c) nur Pik oder Kreuz,
d) entweder nur Pik oder nur Kreuz,
e) 2-mal Herz und 6-mal Karo zu ziehen?
Aufgabe 3.4
Bei einem aus 20 Fragen bestehenden Test gibt es bei jeder Frage 5 verschiedene Antworten, von
denen nur eine richtig ist. Ein Student hat nichts gelernt.
a) Mit welcher prozentualen Wahrscheinlichkeit erreicht er durch Raten genau 40 % richtige Antworten?
b) Wenn er weniger als 15 % der richtigen Antworten errät, hat er die Note ungenügend.
Wie groß ist sein prozentuales Risiko für diesen Fall?
c) Wie viele richtige Antworten kann er statistisch erwarten? Wie groß ist die Varianz?
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3__BINOMIALVERTEILUNG
3 Binomialverteilung
Aufgabe 3.5
b) T bedeutet Treffer, F Fehlschuss
P
Bei einer Tombola gewinnt jedes 4. Los.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Prozent
a) bei 10 gekauften Losen 5 Gewinne,
b) bei 8 gekauften Losen mindestens 2 und höchstens 4 Gewinne,
c) bei 5 gekauften Losen höchstens 4 Gewinne,
d) bei 7 gekauften Losen mindestens 1 Gewinn zu haben?
0,96
0,96
T
0,04
T
0,96
0,96
0,04
F
0,04
0,96
Aufgabe 3.6
a) Ein Obsthändler erhält vom Großhandel Birnen in Kisten zu je 40 Stück. Es sollen vertragsgemäß
mindestens 95 % der Birnen einwandfrei sein. Der Obsthändler nimmt zufällig eine Kiste und
überprüft wie viele Birnen nicht in Ordnung sind. Bei mehr als 3 schadhaften Birnen reklamiert
er die gesamte Sendung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit entspricht die Lieferung dennoch den
Vertragsbedingungen?
b) Der Obsthändler möchte sich bei seinem Qualitätstest nur mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 2 % irren. Wie viele schadhafte Birnen muss er dann in der gewählten Kiste mindestens
finden?
0,96
0,04
T
0,04
F
0,04
0,96
F
0,04
k
T
0,963
3
F
0,962 · 0,04
2
T
0,962 · 0,04
2
F
0,96 · 0,042
1
T
0,962 · 0,04
2
F
0,96 · 0,042
1
T
0,96 · 0,042
1
F
0,043
0
Aus dem Baumdiagramm entnimmt man nach der Pfadregel:
P (X = 0) = 0,043, P (X = 1) = 3 · 0,96 · 0,042, P (X = 2) = 3 · 0,962 · 0,04, P (X = 3) = 0,963.
Diese Wahrscheinlichkeiten stehen auch in der Tabelle von Teilaufgabe a).
Lösung Aufgabe 3.3
a) X sei B8;0,25-verteilte Zufallsvariable für die Anzahl der gezogenen Karo-Karten. Mit der Formel
(8)
von Bernoulli erhält man P (X = 5) = 5 · 0,255 · 0,753.
Der GTR liefert mit „2nd VARS binompdf (8, 0.25, 5)“ für P (X = 5) < 0,0231.
b) X sei B8;0,25-verteilte Zufallsvariable für die Anzahl der gezogenen Herz-Karten.
Der GTR liefert mit „2nd VARS binomcdf (8, 0.25, 6)“ für P (X # 6) < 0,9996.
c) Auf jeder der 8 Stufen des Zufallsexperiments beträgt die Wahrscheinlichkeit für Pik oder Kreuz
0,5. Nach der Pfadregel ist P = 0,58 < 0,0039.
d) Es müssen entweder 8 Pik- oder 8 Kreuz-Karten gezogen werden.
Dann ist P = 2 · 0,258 < 3,05 · 10—5.
Lösung Aufgabe 3.1
( 20 )
a) P (X = 7) = 7 · 0,17 · 0,913 < 0,0020
>>
HINWEIS ZUM GTR
Mit „2nd VARS binompdf (20, 0.1, 7)“ erhalten Sie für P (X = 7) < 0,0020,
P (X , 7) = P (X # 6) = P (X = 0) + P (X = 1) + … + P (X = 6) < 0,9976
>>
HINWEIS ZUM GTR
(8)
Mit „2nd VARS binomcdf (20, 0.1, 6)“ erhalten Sie für P (X , 7) < 0,9976,
Der GTR liefert mit „2nd VARS binomcdf (20, 0.1, 8) — 2nd VARS binomcdf (20, 0.1, 2)“ für
P (3 # x # 8) < 0,3230 und mit „1 — 2nd VARS binomcdf (20, 0.1, 4)“ für P (X $ 5) < 0,0432.
b) Der GTR liefert mit „2nd VARS binompdf (15, 0.7, 12)“ für P (Y = 12) < 0,1700,
mit „2nd VARS binomcdf (15, 0.7, 10)“ für P (Y # 10) < 0,4845,
mit „1 — 2nd VARS binomcdf (15, 0.7, 9)“ für P(Y . 9) < 0,7216 und mit
„(2nd VARS binomcdf (15, 0.7, 12) — (2nd VARS binomcdf (15, 0.7, 7)“ für
P (7 , Y , 13) < 0,8232.
a) Er müsste 8 richtige Antworten geben. Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der richtigen
Antworten beschreibt, ist B20;0,2-verteilt.
Hieraus ergibt sich P (X = 8) =
a) X ist B3;0,96-verteilt. Hieraus folgt:
k
(8)
Es ist P = 2 · 0,258. (Hinweis: Das ist keine Binomialverteilung.)
Der GTR liefert mit „8 MATH PRB nCr2 · 0,258“ für P < 4,272 · 10—4.
Lösung Aufgabe 3.4
Lösung Aufgabe 3.2
P (X = k)
e) Es gibt 2 Möglichkeiten die 2 Herzkarten zu ziehen. Auf jeder der 8 Stufen des Zufallsexperiments wird eine der beiden Farben mit der Wahrscheinlichkeit von 0,25 gezogen.
0
1
2
3
0,000 064
0,004 608
0,110 592
0,884 736
Der GTR liefert mit „2nd VARS binompdf (3, 0.96, 0)“ für P (X = 0) < 6,4 · 10—5,
mit „2nd VARS binompdf (3, 0.96, 1)“ für P (X = 1) < 0,0046,
mit „2nd VARS binompdf (3, 0.96, 2)“ P (X = 2) < 0,1106
und mit „2nd VARS binompdf (3, 0.96, 3)“ für P (X = 3) < 0,8847.
( 208 ) · 0,2 · 0,8
8
12
< 0,0222 = 2,22 %.
b) Weniger als 15 % richtige Antworten bedeutet, dass er höchstens 2 richtige Antworten gibt.
Der GTR liefert mit „2nd VARS binomcdf (20, 0.2, 2)“ für P (X # 2) < 0,2061 = 20,61 %.
c) E (X) = n · p = 20 · 0,2 = 4, V (X) = n · p · (1 — p) = 20 · 0,2 · 0,8 = 3,2.
Lösung Aufgabe 3.5
Die Zufallsvariable X beschreibe jeweils die Anzahl der Gewinne.
a) X ist B10;0,25-verteilt.
Der GTR liefert mit „2nd VARS binompdf (10, 0.25, 5)“ für P (X = 5) < 0,0584 = 5,84 %.
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b) X ist B8;0,25-verteilt.
Der GTR liefert mit „2nd VARS binomcdf (8, 0.25, 4) — 2nd VARS binomcdf (8,0.25, 1)“ für
P (2 # X # 4) < 0,6056 = 60,56 %.
c) X ist B5;0,25-verteilt.
Der GTR liefert mit „2nd VARS binomcdf (5, 0.25, 4)“ für P (X # 4) < 0,9990 = 99,90 %.
d) X ist B7;0,25-verteilt. Das Gegenereignis ist, überhaupt keinen Gewinn zu haben.
Hierfür beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,75.
Also ist P (X $ 1) = 1 — P (X = 0) = 1 — 0,757 < 0,8665 = 86, 65 %.
Lösung Aufgabe 3.6
a) Man betrachtet die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der nicht einwandfreien Birnen pro Kiste
beschreibt. X ist B40;0,05-verteilt.
P (X . 3) = 1 — P (X # 3)
Der GTR liefert mit „1 — 2nd VARS binomcdf (40, 0.05, 3)“ für P (X . 3) < 0,1381.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 13,81 % reklamiert er die Sendung, obwohl sie vertragsgemäß ist.
b) Gesucht ist der Wert für k mit P (X . k) , 0,02. Ebenso kann man den Wert von k mit
P (X # k) $ 0,98 bestimmen.
X
Y1
4
,95197
5
,98612
Der GTR liefert mit „Y = Y1 = 2nd VARS binomcdf (40, 0.05, X)“ und „ 2nd GRAPH“ die Wertetabelle für die Summenfunktion der Binomialverteilung.
Ihr entnimmt man P (X # 5) < 0,9862 . 0,98.
Deshalb muss der Obsthändler mindestens 5 schadhafte Birnen finden, damit er nur noch mit
einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 2 % irrt.