[6,10] (10,12] (12,15] (15,21] Absolute Häufigkeit Wohnungssgröÿe 2

Hochschule Darmstadt
Fachbereich MN
Prof. Dr. Dietrich Baumgarten
Darmstadt, den 12.5.2012
Probeklausur zur Vorlesung Statistik für BWL
(30 P). In einer psychologischen Untersuchung haben 40 Personen eine Denksportaufgabe zu lösen. Der Zeitaufwand wurde registriert und
in folgende Klassen eingeteilt:
Aufgabe 1.
Zeitaufwand in min
[6, 10]
(10, 12]
(12, 15]
(15, 21]
8
8
12
12
Absolute Häufigkeit
a) Was ist die statistische Einheit und was ist die statistische Gesamtheit
der Untersuchung? Welcher Art ist das untersuchte Merkmal und welche
möglichen Werte hat es? (5 P)
b) Stellen Sie die Verteilung der Lösungszeit als Häugkeitstabelle dar. Bestimmen Sie mit Formeln die 25 und 75 % Quartile. (15 P)
c) Zeichnen Sie das Histogramm und die approximierte empirische Verteilungsfunktion. Ermitteln Sie zeichnerisch den Median. (10 P)
(30 P). In einem Wohnprojekt für ökologisches Bauen gibt es
nur Wohnungen mit 2, 3, 4, 6 Zimmern pro Wohnung. Die Wohnungsgröÿen
sind wie folgt verteilt:
Aufgabe 2.
Wohnungssgröÿe
2
Absolute Häufigkeiten
3
4
6
20 30 40 10
a) Was ist die statistische Einheit und was ist die statistische Gesamtheit
der Untersuchung? Welcher Art ist das untersuchte Merkmal und welche
möglichen Werte hat es? (5 P)
b) Stellen Sie die Verteilung des Merkmals als Häugkeitstabelle dar. Bestimmen Sie daraus die 25 % und 75 % Quartile sowie den Median. Bestimmen
Sie den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung sowie den Variationskoezient. (15 P)
c) Stellen Sie die Daten als Stabdiagramm dar und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion. (10 P)
1
(15 P). Sei die Konzentration auf einem Produktmarkt mit 5
Anbietern wie folgt: 3 Anbieter besitzen je 5% Marktanteil, ein Anbieter 15%
und einer 70% Marktanteil. Stellen Sie die zugehörige Lorenzkurve auf.
Aufgabe 3.
Aufgabe 4.
(15 P). Es seien 5 % der Männer und 0,25 % der Frauen far-
benblind.
a) Aus einer Menge von 40 Männern und von 60 Frauen wird zufällig eine
Person ausgewählt. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte
Person farbenblind ist? (6 P.)
b) Die ausgewählte Person stellt sich als farbenblind heraus. Wie groÿ sind
die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die ausgewählte Person ein Mann bzw.
eine Frau ist? (9 P.)
(15 P). Zwei Spieler A und B spielen folgendes Spiel: Es wird
mit zwei Würfeln gewürfelt. Ist die Augensumme kleiner als 5, so bekommt
A von B 5 Euro; ansonsten bekommt B von A 1 Euro. Bestimme für die
Zufallsvariable X = Gewinn aus der Sicht des Spielers A die Verteilung, den
Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
Aufgabe 5.
(15 P). In einer riesigen Werkshalle gehen pro Tag duchschnittlich 4 Neonröhren kaputt. Welche Verteilung hat die Zufallsvariable X der
ausgefallenen Neonröhren? Welche Werte haben Erwartungswert, Varianz
und die Standardabweichung von X ? Abgebildet sind die Verteilung und die
kumulierte Verteilung. Ergänzen Sie die fehlenden Werte. Wie hoch sind die
Wahrscheinlichkeiten, dass genau 5, weniger als 5 und mehr als 5 Neonröhren
an einem Tag ausfallen?
Aufgabe 6.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0183156
0,0732626
0,1465251
0,1953668
0,1953668
0,1562935
0,1041956
0,0595404
0,0297702
0,0132312
0,0052925
0,0183156
0,0915782
0,2381033
0,4334701
0,6288369
0,7851304
0,8893260
0,9488664
0,9786366
0,9918678
0,9971602
Histogramm von
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(15 P). Jede zwanzigste Frucht eines Paumenbaumes sei madig.
Wenn man 6 Paumen isst, wie ist dann die Zufallsvariable X der madigen
Paumen verteilt? Welche Werte haben Erwartungswert, Varianz und die
Standardabweichung von X ? Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 7.
2
a) keine madige zu essen? (5 P)
b) genau eine madige zu essen? (5 P)
c) mindestens zwei madige zu essen? ( 5 P)
(15 P). Von 100 Glühbirnen eines Groÿhändlers sind 10 schadhaft. Es wird zufällig eine Stichprobe von drei Glühbirnen erhoben. Welche Verteilung hat die Zufallsvariable X der schadhaften Glühbirnen? Welche Werte haben Erwartungswert, Varianz und die Standardabweichung von
X ? Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten genau drei und weniger als drei
schadhafte Glühbirnen zu nden?
Aufgabe 8.
(10 P).
a) Ein Unternehmen möchte 7 neue Firmenwagen anschaen und betrachtet dabei 4 Autotypen als gleichwertig geeignet. Wieviele Möglichkeiten der
Anschaung hat das Unternehmen? (5 P).
b) Der Chef muss für eine Dienstreise unter 10 gleich qualizierten Mitarbeitern 5 für ein Montageteam aussuchen. Wieviel unterschiedliche Zusammensetzungen sind möglich? (5 P).
Aufgabe 9.
3
Lösungen der Probeklausur zur Vorlesung Statistik für BWL
(30 P). In einer psychologischen Untersuchung haben 40 Personen eine Denksportaufgabe zu lösen. Der Zeitaufwand wurde registriert und
in folgende Klassen eingeteilt:
Aufgabe 1.
Zeitaufwand in min
[6, 10]
(10, 12]
(12, 15]
(15, 21]
8
8
12
12
Absolute Häufigkeit
a) Was ist die statistische Einheit und was ist die statistische Gesamtheit der
Untersuchung? Welcher Art ist das untersuchte Merkmal und welche möglichen Werte hat es? (5 P).
Die statistischen Einheiten sind die Teilnehmer der Untersuchung, die zusammen die statistische Gesamtheit bilden. Das Merkmal ist die Länge der
Zeit bis zur Lösung. Dieses Merkmal ist metrisch stetig, die möglichen Werte
sind alle positiven Zahlen.
b) Stellen Sie die Verteilung der Lösungszeit als Häugkeitstabelle dar. Bestimmen Sie mit Formeln die 25 und 75 % Quartile. (15 P).
c) Zeichnen Sie das Histogramm und die approximierte empirische Verteilungsfunktion. Ermitteln Sie zeichnerisch den Median. (10 P).
Die Lösungen von a) und b) sind abgebildet.
i UG OG ni Ni
fi
fi*
Fi
1 6 10 8 8 0,2 0,05 0,2
2 10 12 8 16 0,2 0,1 0,4
3 12 15 12 28 0,3 0,1 0,7
4 15 21 12 40 0,3 0,05
1
x0,25=10+(0,25-0,2)*(12-10)/(0,4-0,2) 10,5
x0,5=12+(0,5-0,4)*(15-12)/(0,7-0,4)
x0,75=15+(0,75-0,7)*(21-15)/(1-0,7)
13
16
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0,05
0
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
4
(30 P). In einem Wohnprojekt für ökologisches Bauen gibt es
nur Wohnungen mit 2, 3, 4, 6 Zimmern pro Wohnung. Die Wohnungsgröÿen
sind wie folgt verteilt:
Aufgabe 2.
Wohnungssgröÿe
2
Absolute Häufigkeiten
3
4
6
20 30 40 10
a) Was ist die statistische Einheit und was ist die statistische Gesamtheit der
Untersuchung? Welcher Art ist das untersuchte Merkmal und welche möglichen Werte hat es? (5 P)
Die statistischen Einheiten sind die Wohnungen, die zusammen die Gesamtheit bilden. Das Merkmal sind die Anzahl der Zimmer. Dieses Merkmal ist
metrisch diskret, mögliche Werte sind alle natürlichen Zahlen.
b) Stellen Sie die Verteilung des Merkmals als Häugkeitstabelle dar. Bestimmen Sie daraus die 25 % und 75 % Quartile sowie den Median. Bestimmen
Sie den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung sowie den Variationskoezient. (15 P)
c) Stellen Sie die Daten als Stabdiagramm dar und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion. (10 P)
Die Häugkeitstabelle und die Graken sind abgebildet.
xi ni
2
3
4
6
Ni
20 20
30 50
40 90
10 100
fi
0,2
0,3
0,4
0,1
Fi
0,6
0,2 0,4
0,5
0,2
0,9
0
1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Wegen F1 < 0, 25 < F2 ist Q1 = x2 = 3.
Wegen F2 = 0, 5 ist Q2 = (x2 + x3 )/2 = 3, 5.
Wegen F2 < 0, 75 < F3 ist Q3 = x3 = 4.
x̄ = 2 · 0, 2 + 3 · 0, 3 + 4 · 0, 4 + 6 · 0, 1 = 3, 5,
σ 2 = 22 · 0, 2 + 32 · 0, 3 + 42 · 0, 4 + 62 · 0, 1 − 3, 52 = 1, 25,
√
σ = σ 2 = 1, 1180,
v = σ/x̄ = 0, 3194
(15 P). Sei die Konzentration auf einem Produktmarkt mit 5
Anbietern wie folgt: 3 Anbieter besitzen je 5% Marktanteil, ein Anbieter 15%
und einer 70% Marktanteil. Stellen Sie die zugehörige Lorenzkurve auf.
Aufgabe 3.
5
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
E
fi
qi
0,05
0,05
0,05
0,15
0,70
1,00
Qi
0,00
0,05
0,10
0,15
0,30
1,00
0,00
Gi
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
Fi
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00
F
G
1,0
0,8
0,0100
0,0300
0,0500
0,0900
0,2600
0,5600
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
(15 P). Es seien 5 % der Männer und 0,25 % der Frauen farbenblind.
a) Aus einer Menge von 40 Männern und von 60 Frauen wird zufällig eine
Person ausgewählt. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte
Person farbenblind ist? (6 P.)
2,15 Prozent.
b) Die ausgewählte Person stellt sich als farbenblind heraus. Wie groÿ sind
die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die ausgewählte Person ein Mann bzw.
eine Frau ist? (9 P.)
93,0233 bzw. 6,9767 Prozent, siehe Abbildung.
Aufgabe 4.
A
B
C
D
E
P(Bi) P(A|Bi) P(Bi)*P(A|Bi) P(Bi|A)
1
i
2
1 0,4
0,05
0,02 0,930233
3
2 0,6 0,0025
0,0015 0,069767
4 Summen
1
0,0215
1
(15 P). Zwei Spieler A und B spielen folgendes Spiel: Es wird
mit zwei Würfeln gewürfelt. Ist die Augensumme kleiner als 5, so bekommt
A von B 5 Euro; ansonsten bekommt B von A 1 Euro. Bestimme für die
Zufallsvariable X = Gewinn aus der Sicht des Spielers A die Verteilung, den
Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
Die Augensumme ist kleiner als 5, wenn eine der folgenden 6 Zahlenpaare
fällt:
Aufgabe 5.
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1).
Die Verteilung ist somit
xi
fi
-1
5
5/6 1/6
6
x̄ = −1 · 5/6 + 5 · 1/6 = 0,
σ 2 = (−1)2 · 5/6 + 52 · 1/6 − 02 = 30/6 = 5,
√
σ = 5 = 2, 236067977
(15 P). In einer riesigen Werkshalle gehen pro Tag duchschnittlich 4 Neonröhren kaputt. Welche Verteilung hat die Zufallsvariable X der
ausgefallenen Neonröhren? Welche Werte haben Erwartungswert, Varianz
und die Standardabweichung von X ? Abgebildet sind die Verteilung und die
kumulierte Verteilung. Ergänzen Sie die fehlenden Werte. Wie hoch sind die
Wahrscheinlichkeiten, dass genau 5, weniger als 5 und mehr als 5 Neonröhren
an einem Tag ausfallen?
Die Zufallsvariable hat eine Poissonverteilung mit Parameter λ = 4. Also
haben Erwartungswert, Varianz und die Standardabweichung die Werte 4, 4
und 2. Die fehlenden Werte und die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind
Aufgabe 6.
P (X
P (X
P (X
P (X
P (X
≤ 5) = P (X = 5) + P (X ≤ 4) = 0, 15629 + 0, 628836 = 0, 7851304
= 6) = e−4 46 /6! = 0, 104195635
= 5) = 0, 1562935
< 5) = P (X ≤ 4) = 0, 6288369
> 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 − 0, 7851304 = 0, 2148696
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ps(x;λ)
0,0183156
0,0732626
0,1465251
0,1953668
0,1953668
0,1562935
0,1041956
0,0595404
0,0297702
0,0132312
0,0052925
Ps(x;λ)
0,0183156
0,0915782
0,2381033
0,4334701
0,6288369
0,7851304
0,8893260
0,9488664
0,9786366
0,9918678
0,9971602
λ
4
Histogramm von Ps(4)
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aufgabe 7. (15 P). Jede zwanzigste Frucht eines Paumenbaumes sei madig.
Wenn man 6 Paumen isst, wie ist dann die Zufallsvariable X der madigen
Paumen verteilt? Welche Werte haben Erwartungswert, Varianz und die
Standardabweichung von X ? Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit
a) keine madige zu essen? (5 P).
7
b) genau eine madige zu essen? (5 P).
c) mindestens zwei madige zu essen? ( 5 P).
Die Zufallsvariable ist binomialverteilt mit den Parametern n = 6 und p =
1/20, also X ∼ B(6, 1/20). Also haben Erwartungswert, Varianz und die
Standardabweichung die Werte 0,3, 0,285 und 0,533853913. Die gesuchten
Wahrscheinlichkeiten sind
P (X = 0) = (19/20)6 = 0, 735091891
P (X = 1) = 6 · (1/20) · (19/20)5 = 0, 232134281
P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0, 032773828
(15 P). Von 100 Glühbirnen eines Groÿhändlers sind 10 schadhaft. Es wird zufällig eine Stichprobe von drei Glühbirnen erhoben. Welche Verteilung hat die Zufallsvariable X der schadhaften Glühbirnen? Welche Werte haben Erwartungswert, Varianz und die Standardabweichung von
X ? Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten genau drei und weniger als drei
schadhafte Glühbirnen zu nden?
Die Zufallsvariable ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern n = 3,
M = 10 und N = 100, also X ∼ H(3, 10, 100). Also haben Erwartungswert,
Varianz und die Standardabweichung sowie die gesuchten Wahrscheinlichkeiten die abgebildeten Werte.
Aufgabe 8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
n
3
E(X)
0,3
x
0
1
2
3
B
M
C
N
10
Var(X)
0,2645455
h(x;n,M,N)
0,72653061
0,24768089
0,02504638
0,00074212
D
100
Std(X)
0,5143398
H(x;n,M,N)
0,72653061
0,97421150
0,99925788
1,00000000
E
F
G
H
100*99*98/6 161700
Histogramm von X ~H(3, 10, 100)
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
90*89*88/6
10*90*89/2
45*90
10*9*8/6
117480
40050
4050
120
Die Werte der Zufallsvariablen liegen zwischen 0 und min(n = 3, M =
10) = 3. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind
10
x
90
n−x
100
3
h(x; 3, 10, 100) =
Der gemeinsame Zähler 100
steht in der Zelle H1, die Zähler in den Zellen
3
H6 bis H9. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind
P (X = 3) = 0, 00074212
P (X < 3) = P (X ≤ 2) = 0, 99925788
8
Aufgabe 9. (10 P).
a) Ein Unternehmen möchte 7 neue Firmenwagen anschaen und betrachtet
dabei 4 Autotypen als gleichwertig geeignet. Wieviele Möglichkeiten der Anschaung hat das Unternehmen? (5 P).
Da jeder Autotyp mehrfach vorkommen darf, handelt es sich um eine Variation, und zwar ohne Berücksichtigung der Reihenfolge mit n = 4 und k = 7.
Somit gibt es
n+k−1
10
10
10 · 9 · 8
= 120
=
=
=
1·2·3
k
7
3
Möglichkeiten.
b) Der Chef muss für eine Dienstreise unter 10 gleich qualizierten Mitarbeitern 5 für ein Montageteam aussuchen. Wieviel unterschiedliche Zusammensetzungen sind möglich? (5 P).
Da jeder Mitarbeiter nur einmal ausgewählt werden kann, handelt es sich
um eine Kombination, und zwar ohne Berücksichtigung der Reihenfolge mit
n = 10 und k = 5. Somit gibt es
n
10
10 · 9 · 8 · 7 · 6
= 252
=
=
1·2·3·4·5
k
5
Möglichkeiten.
9