P-11 - Kreisbewegun..

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6.3 Die Kreisbewegung
6.3.1 Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
Bei einer Kreisbewegung bewegt sich ein Körper auf einer Kreislinie.
Da es sich um eine 2-dimensionale Bewegung handelt, werden zur Beschreibung der Bahn zwei Koordinaten
benötigt. Fasst man diese beiden Koordinaten zusammen, so erhält man den
x(t)
Ortsvektor r ( t ) =
y( t )
des Körpers. Die beiden Komponenten x=x(t) und y=y(t) sind Funktionen der Zeit t, deshalb ist auch der
Ortsvektor r = r ( t ) eine Funktion der Zeit.
Als Koordinatenursprung wählt man zweckmäßigerweise den Mittelpunkt M des Kreises mit dem Radius r. Zum
Zeitpunkt t=0 befinde sich der Körper auf der positiven x-Achse.
Bezeichnungen und Definitionen
- Drehwinkel ϕ = Winkel um den sich der Ortsvektor r im
Zeitintervall t dreht.
y
P2
Der Drehwinkel wird üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn
gemessen, ϕ = 0 entspricht der positiven x-Achse.
r (t 2 )
ϕ
Bewegt sich ein Körper im Zeitintervall t=t2-t1 vom Punkt P1
zum Punkt P2, so legt er auf der Kreislinie den Weg s (=
Länge des Kreisbogens von P1 nach P2) zurück. Dabei hat sich
der Drehwinkel um ϕ von ϕ1 auf ϕ2 erhöht.
M
s
ϕ2
ϕ1
P1
r ( t1 )
x
Zwischen Bogenlänge und Drehwinkel besteht die Beziehung
∆s =
π⋅r
⋅ ∆ϕ , wobei
180°
ϕ in Grad angegeben wird.
Gibt man dagegen ϕ im Bogenmaß an, so gilt: ∆s = r ⋅ ∆ϕ
Im Allgemeinen wird ϕ im Bogenmaß angegeben.
- Winkelgeschwindigkeit ω = die Änderung des Drehwinkels
∆ϕ
1 rad
rad
somit gilt: ω =
Einheit [ω] =
=1
∆t
1s
s
ϕ im Zeitintervall
t
Hinweis: Wir betrachten nur Kreisbewegungen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.
- Umlaufdauer T = Zeit für eine volle Umdrehung, d. h. für
2π
2π
bzw. T =
somit gilt: ω =
T
ω
ϕ = 2π .
- Frequenz f = Anzahl der Umdrehungen k in der Zeit t,
k
1
somit gilt: f =
Einheit [f ] =
=1 Hz = 1 Hertz
t
1s
Speziell für k=1 folgt: t = T
mit ω =
f=
1
T
bzw. T =
1
f
ω
2π
1
= 2π ⋅ folgt: ω = 2π ⋅ f bzw. f =
2π
T
T
zus. gestellt von OStR Rainer Martin, Ehrenbürg-Gymnasium Forchheim, 21.01.2007,
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6.3 Die Kreisbewegung
- Bahngeschwindigkeit v = Geschwindigkeit des Körpers auf der Kreisbahn
∆s r ⋅ ∆ϕ
∆ϕ
=
=r⋅
= r ⋅ ω , also v = r ⋅ ω
Es gilt: v =
∆t
∆t
∆t
Hinweis: Die Bahngeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die der Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt
besitzt. Wenn ω konstant ist, dann ist auch die Bahngeschwindigkeit vom Betrag her zu jedem Zeitpunkt
konstant. Dann gilt v ~ r.
Beispiel:
Eine veraltete Langspielplatte, kurz LP, hatte einen Durchmesser von 30cm drehte sich einst mit 33 13
Umdrehungen pro Minute. Berechne f, T, ω, v am Plattenrand sowie den Drehwinkel nach 3min bzw. nach 45min.
Lösungen: f=0,56Hz; T=1,8s; ω=3,5rad/s; v=0,52m/s; ϕ(3min)=630rad=36100°(=100Umdr.); ϕ(45min)=5,4⋅105 °
6.3.2 Die Bewegungsgleichungen bei der Kreisbewegung
Allgemein gilt:
Die Ableitung der Ortsfunktion r(t) ist gleich der Geschwindigkeitsfunktion v(t), also v( t ) = r ( t ) .
Die Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion v(t) ist gleich der Beschleunigungsfunktion a(t), also a ( t ) = v( t ) .
Diese Beziehungen gelten auch bei mehrdimensionalen Bewegungen bei denen das Superpositionsprinzip gilt, also
auch bei der Kreisbewegung.
x (t )
Aus dem Ortsvektor r ( t ) =
folgen somit der
y( t )
der Geschwindigkeitsvektor v( t ) = r ( t ) =
v (t )
x (t )
= x
und
v y (t)
y( t )
der Beschleunigungsvektor a ( t ) = v( t ) =
v x (t )
a (t )
= x
v y (t)
a y (t)
Herleitung des Ortsvektors
Die Länge des Ortsvektors ist zu jedem Zeitpunkt gleich dem
Radius r, also konstant.
y
Kurz: r ( t ) = r .
Es sei ϕ(0) = 0. Dann gilt für die beiden Komponenten des
Ortsvektors:
x(t) = r⋅cosϕ = r⋅cosωt
y(t) = r⋅sinϕ = r⋅sinωt
y(t) er(t)
ϕ
x(t)
r (t ) =
= r ⋅ cos ωt = r ⋅ cos ωt = r ⋅ e r ( t )
r ⋅ sin ωt
sin ωt
y( t )
cos ωt
Der Vektor e r ( t ) = sin ωt
M
r(t)
x(t)
x
hat die Länge 1 und zeigt zu jedem
Zeitpunkt t in die Richtung des Ortsvektors.
Er heißt deshalb Einheitsvektor in r -Richtung.
Damit gilt für den Ortsvektor: r ( t ) = r ⋅ e r ( t )
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6.3 Die Kreisbewegung
Herleitung des Geschwindigkeitsvektors
Die beiden Komponenten vx und vy des Geschwindigkeitsvektors erhält man dadurch, dass man die x- und yKomponente des Ortsvektors einzeln ableitet. Es gilt also:
y
•
v x ( t ) = x ( t ) = (r ⋅ cos ωt ) = r ⋅ (− sin ωt ) ⋅ ω
•
v(t)
v y ( t ) = y( t ) = (r ⋅ sin ωt ) = r ⋅ cos ωt ⋅ ω
v( t ) = rω ⋅ − sin ωt = rω ⋅ e t ( t )
cos ωt
etr(t)
Entsprechend zu e r ( t ) hat auch der Vektor e t ( t ) die Länge
1, ist also ebenfalls ein Einheitsvektor. e t ( t ) zeigt z jedem
Zeitpunkt t in die Richtung des Geschwindigkeitsvektors.
er(t)
r(t)
M
x
Er heißt deshalb Einheitsvektor in v -Richtung.
Man erkennt, dass e t ( t ) auf e r ( t ) senkrecht steht.
Folgerung:
Der Geschwindigkeitsvektor ist stets tangential zum Ortsvektor.
Damit gilt für den Geschwindigkeitsvektor: v( t ) = rω ⋅ e t ( t )
Beachte:
Der Geschwindigkeitsvektor ändert ständig seine Richtung, hat aber den konstanten Betrag v = v = rω .
D. h. der Betrag des Geschwindigkeitsvektors ist gleich der Bahngeschwindigkeit v.
Herleitung des Beschleunigungsvektors
Zur Erinnerung: Eine beschleunigte Bewegung liegt vor, wenn sich die Geschwindigkeit des Körpers ändert. Bei
der Kreisbewegung ist zwar der Betrag der Geschwindigkeit zeitlich konstant, jedoch ändert sich ständig die
Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Damit ändert sich die Geschwindigkeit des Körpers und deshalb gilt:
Die Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung.
Die beiden Komponenten ax und ay des Beschleunigungsvektors erhält man analog durch Ableiten der beiden
Geschwindigkeitskomponenten.
2
Es folgt für den Beschleunigungsvektor: a ( t ) = − rω ⋅ e r ( t )
Man erkennt:
1. Die Richtung des Beschleunigungsvektors zeigt stets entgegengesetzt zum Ortsvektor, ist also zum
Kreismittelpunkt M hin gerichtet (= zentripetal).
Die Beschleunigung wird deshalb als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet.
2
2. Der Betrag des Beschleunigungsvektors ist zeitlich konstant, nämlich: a = a ( t ) = rω .
3. Mit v = rω folgt: a =
v2
.
r
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