Vorlesung Experimentalphysik I am 14

1
Vorlesung Experimentalphysik I am 14.12.1998 und 15.12.1998 J. Ihringer
4 Schwingungen und Wellen
Schwingungen sind zeitlich periodische Zustandsänderungen in einem System. Eine beliebige
physikalische Größe schwingt, wenn ihr Betrag in jedem Augenblick ihrer zweiten Ableitung
nach der Zeit entgegengesetzt, aber proportional ist. Die Proportionalitätskonstante ist das
Quadrat der Kreisfrequenz. Man denke an die Auslenkungen eines mechanischen Pendels:
Die Auslenkung ist zu ihrer zweiten zeitlichen Ableitung, der Beschleunigung, immer
entgegengesetzt, aber proportional. Im elektrischen Schwingkreis verhalten sich Ladung und
ihre zweite Ableitung analog. Wellen sind wie Schwingungen periodische Funktionen, die
aber nicht nur in der Zeit, sondern auch im Raum periodisch sind.
In Systemen mit Schwingungen und Wellen gibt es einen Gleichgewichtszustand und
rücktreibende Kräfte, die bei Störungen das Gleichgewicht wieder herzustellen versuchen.
Die Ursache für die Kräfte sind in starren Körpern Federn, in Gasen und Flüssigkeiten
Drucke, bei Diffusion Dichtegefälle, in elektrischen Schwingkreisen elektrische Felder.
Ein schwingendes System kann beliebig viele schwingende Objekte enthalten: Das
Federpendel enthält nur einen Massenpunkt, ein Kristall aus einem mol eines Stoffes 6  10 23
schwingende Bausteine. Bei gekoppelten Objekten spricht man von gekoppelten
Schwingungen. Gekoppelte Teilchen schwingen im allgemeinen abwechselnd mehr oder
weniger stark, die Energie wandert zwischen den Teilchen hin und her. Es gibt aber spezielle
Schwingungen, bei denen alle Teilchen auf gleichbleibende Art schwingen: Das sind die
Eigenschwingungen des Systems. Ihre Anzahl und Schwingungsform ist für das System
spezifisch. Alle anderen Schwingungen sind Überlagerungen von Eigenschwingungen. Sie
führen zu dem oben genannten schwer zu durchschauenden Muster abwechselnd bewegter
Teilchen, das aus der Betrachtung kaum Rückschlüsse auf das System erlaubt.
Abbildung 1 Die Lichtspiele auf den Steinen entstehen durch Lichtbrechung an den in Raum
und Zeit veränderlichen Wellen an der Oberfläche des Wassers
2
4.1 Schwingungen
Die Verknüpfung der rückstellenden Kräfte mit einer Auslenkung aus der Gleichgewichtslage
kann man als Rückkopplung bezeichnen. Schwingungen gibt es immer dann, wenn die
Rückkopplung ein Zeitverhalten zeigt, daß die Antwort entgegengesetzt zur zweiten
Ableitung der Störung wird. Durch geeignete Rückkopplungen werden biologische Systeme
zu Schwingungen angeregt, die den 24 Stunden Takt vieler Lebensvorgänge steuern:
Bei entsprechender Rückkopplung können beliebige Systeme zu Schwingungen angeregt
werden. Das sei an einem Schiff gezeigt, das mit Motorkraft längs einer Boje manövriert mit
dem Ziel, daß die Boje mittschiffs zum Liegen kommt. Das Schiff liege anfangs ein Stück
hinter der Boje und beim Start der Maschine stehe der Maschinentelegraph auf voller Fahrt
voraus. Die Motorkraft könne aufgrund der Mechanik nur stetig und langsam verändert
werden. Der Kapitän sorgt für die Rückkopplung, indem er nach Beobachtung der
Geschwindigkeitsanzeige versucht, die Beschleunigung entsprechend einzustellen. Durch die
Trägheit des Schiffes und die Verzögerung in der Ansteuerung des Motors kommt die Fahrt
des Schiffs ins Schwingen. Es ist unmöglich, mit diesen Startbedingungen und dieser
Mechanik an der Boje mittschiffs anzuhalten.
3
Geschwindigkeitsan
zeige
Maschinentelegraph
a
b
c
d
Abbildung 2 Schwingung in rückgekoppelten Systemen: Ein Schiff liegt hinter der Boje, diese
soll mittschiffs zu liegen kommen. Die Fahrt beginne mit voller Kraft voraus (a), der Kapitän
versucht gleich, die Beschleunigung zurückzunehmen. Die Mechanik zur Motoransteuerung
sei aber schwergängig, deshalb kommt die Maschine erst dann zum Stand, wenn die Boje
schon mittschiffs liegt (b). Um anzuhalten gibt er jetzt zunehmend Kraft rückwärts, das Schiff
wird langsamer bis es bei voller Kraft rückwärts wieder steht (c) und nach rückwärts losfährt.
Jetzt nimmt der Kapitän die Kraft rückwärts zurück, bei der Boje mittschiffs stoppt die
Maschine bei höchster Fahrt zurück und gibt jetzt zunehmend Fahrt voraus.
4
4.1.1 Harmonische Schwingungen
Eine harmonische Schwingung ist die Lösung der Bewegungsgleichung für eine Größe, deren
Betrag in jedem Augenblick ihrer zweiten Ableitung nach der Zeit entgegengesetzt, aber
proportional ist. Die Winkelgeschwindigkeit ist nur durch die Größen der
Bewegungsgleichung bestimmt, sie ist unabhängig von der Amplitude. Die Amplitude ist frei
wählbar, sie ist konstant und behält deshalb ihren Wert der maximalen Auslenkung bei
Beginn der Schwingung („Anfangswert“) bei.
Formel
Erläuterung
m  x  k  x
x(t )  r  sin t   0 
Bewegungsgleichung des „harmonischen Oszillators“
Lösung der Gleichung: Die „harmonische Schwingung“
Amplitude, jeder Wert erfüllt die Bewegungsgleichung
r
  t  0
Phase,  0 Anfangsphase
Mit diesem Lösungsansatz ergibt sich:
x(t )  r   2  sin t   0 
m  2  k
Zweite Ableitung der Funktion
x(t ) und x(t ) in die Bewegungsgleichung eingesetzt
Es folgen die Lösung für die Winkelgeschwindigkeit, r und  0 sind beliebig wählbar:

2
k

T
m
Winkelgeschwindigkeit, T ist die Periode der Schwingung
Tabelle 1 Die harmonische Schwingung.
4.1.1.1
Das Zeigerdiagramm
Die momentane Auslenkung einer Schwingung ist durch ihren Betrag und ihre Phase
gegeben. Die Information enthält also zwei Komponenten, die man am besten als eine
komplexe Zahl angibt. Man wählt dazu die Form der komplexen Exponentialfunktion, weil in
dieser Schreibweise Betrag und Phase klar getrennt hervortreten. Außerdem kann die
Exponentialfunktion bequem differenziert- bzw. integriert werden.
Formel
  r e
i
e i  cos   i  sin 
1
cos   e i  e i 
2
1 i
e  e i 
sin  
2i
  r e
i
 r  cos   i  r  sin 
Anmerkung
Komplexe Zahl mit Betrag r und Phase 
Eulersche Beziehung
Winkelfunktionen in komplexer Schreibweise
Aufteilung in Real- und Imaginärteil:
Realteil
Imaginärteil
r  cos 
r  sin 
Tabelle 2 Komplexe Exponentialfunktion und Eulersche Beziehung
5
Die Schwingung kann auf die Bewegung eines Punktes zurückgeführt werden, der sich mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt. Die zeitliche Abhängigkeit
der Auslenkung einer harmonischen Schwingung ist dann die Projektion eines mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit umlaufenden Zeigers auf die x- oder y-Achse. Zur Darstellung von
Kreisbewegungen ist die komplexe Zahlenebene besonders geeignet, weil Radius und
Phasenwinkel als Betrag und Richtung des Zeigers, der als komplexer Vektor aufgefaßt wird,
unmittelbar abzulesen sind.
Harmonische Schwingung im Zeigerdiagramm
Verknüpfung zum
Komponente
komplexen Vektor
x  r  cos(  t   0 )
Realteil
y  r  sin(   t   0 )

Vektor in der komplexen
Zahlenebene
  r  e i t 
Imagiärteil
0

r  sin t   0 
t
F1
F2
1,0
r
0,5
x,
y
0
0,0
-0,5
-1,0
x, y
0
1
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0
1
2
r  cost   0 
2
3
t
4
5
6
Darstellung einer
komplexen Zahl als Vektor
 mit Betrag und Phase:
Die beiden kartesischen
Komponenten beschreiben
eine harmonische
Schwingung, wenn der
Zeiger mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit
rotiert.
3
t
4
5
6
F1
F2
Tabelle 3 Auslenkungen der harmonischen Schwingung als Komponenten eines Zeigers in der
komplexen Zahlenebene
6
4.1.2 Überlagerung und Zerlegung von Schwingungen
Schwingungen können überlagert werden. Man konstruiert dazu den Zeiger der Summe als
vektorielle Summe der Zeiger der Komponenten im Zeigerdiagramm. Außer diesen
harmonischen Schwingungen gibt es Rechteck- und Sägezahnschwingungen, die als Summe
harmonischer Schwingungen dargestellt werden können. Diese Zerlegung bezeichnet man als
Fourier-Analyse (Näheres folgt beim Kapitel über Optik).
Versuch 1 Sinus- Sägezahn- und Rechteck-Schwingung am Oszilloskop
4.1.2.1
Lissajous-Figuren
Lissajous Figuren entstehen, wenn die Auslenkung einer Schwingung gegen die zeitgleiche
Auslenkung einer zweiten Schwingung aufgetragen wird. Das entstehende Bild hängt vom
Verhältnis der Frequenzen beider Komponenten und von der Phasenlage beider
Schwingungen ab. Feststehende, geschlossene Kurven erhält man, wenn sich die Frequenzen
wie ganze Zahlen verhalten. In der Abbildung wurden als Beispiel die Lissajous Figuren für
die Frequenzverhältnisse 1:2 und 1:2,1 berechnet. Durch Beobachtung der Lissajous Figur
kann man Frequenzen gut vergleichen und auf Vielfache abstimmen.
1,0
1,0
0,5
0,5
sin(2.1 t)
sin(2t)
B
0,0
0,0
-0,5
-0,5
-1,0
-1,0
-1,0
-0,5
0,0
sin(t)
0,5
1,0
B
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
sin(t)
Abbildung 3 Lissajous Figuren für das Frequenzverhältnis y: x=2:1 (links) und y:x=2,1:1
(rechts).
Versuch 2 Lissajous Figuren für unterschiedliche Frequenzen an der x- und y- Achse des
Oszilloskops
4.1.2.2
Schwebungen
Werden Schwingungen mit gleicher Ausbreitungsrichtung überlagert und unterscheiden sich
die Frequenzen nur wenig, dann erhält man eine neue Frequenz, die der Schwebung. Die
Einhüllende der Summe beider Komponenten zeigt eine Modulation, die in auf- und
abschwellender Lautstärke, die man als Schwebung bezeichnet, hörbar wird.
7
Schwebungen:
Schwingungen, die sich überlagern:
2
X
1
x1  A  sin   t
0
-1
x2  A  sin     t
-2
0
2
4
6
8
10
t
Die Überlagerung x  x1  x2 von Schwingungen ähnlicher Frequenz heißt Schwebung, sie ist
die Frequenz der Einhüllenden der Summe der Komponenten:
Überlagerung beider Schwingungen, die

Schwebungsfrequenz ist . Die Berechnung
2
ist am klarsten in komplexer Schreibweise:
2
X
1
x  A  (sin   t  sin     t
  e it  e i   t  e it  (1  e it )
0
e
-1
e
-2
0
2
4
6
8
t
it
 (e

i t
2


i    t
2

e

i t
2
 2  cos
e

i t
2
e

i t
2
)

t
2
10



x  Re( )  2  sin    t  cos t
2
2

Tabelle 4 Schwebungen: Addition von zwei Schwingungen, deren Frequenzen sich nur wenig
unterscheiden.
Versuch 3 Schwebung: Überlagerung von Schwingungen ähnlicher Frequenz bis zur
Überlagerung von um eine Oktave entfernten Schwingungen
4.1.3 Gedämpfte Schwingungen
Wie jede Bewegung unter realen Bedingungen wird auch die harmonische Schwingung durch
Reibung gedämpft. Wird keine Energie zugeführt, dann klingt die Schwingung nach einiger
Zeit ab, indem ihre Amplitude immer kleiner wird. Die mathematische Behandlung zeigt, daß
die Amplitude exponentiell mit der Zeit abklingt. Dazu wird die Bewegungsgleichung des
harmonischen Oszillators um einen Term für die Reibungskraft erweitert. Dieser wird
proportional zur Geschwindigkeit angesetzt. Wird die Dämpfung immer stärker, dann geht
schließlich eine einmalige Auslenkung exponentiell gedämpft in die Ruhelage zurück. Der
aperiodische Grenzfall ist erreicht. Bei noch höherer Dämpfung wird die Rückkehr der
Auslenkung in die Ruhelage als „kriechen“ bezeichnen.
8
Formel
Erläuterung
Bewegungsgleichung des „harmonischen
Oszillators“ bei Reibung
Lösung der Gleichung: Die gedämpfte
harmonische Schwingung
Amplitude, exponentiell gedämpft
m  x  k  x  R  x
x(t )  A(t )  sin   t   r  sin   t   e   t
A(t )  r  e   t
Man findet die Lösung am leichtesten bei einem Ansatz mit komplexer Schreibweise:
 (t )  r  e i t   t
Zeiger in der komplexen Ebene
(t )  i       (t )
Erste Ableitung der Funktion
(t )  i    2   (t )
Zweite Ableitung der Funktion
Funktion und Ableitungen in die
Bewegungsgleichung eingesetzt
Aus dem Vergleich der Real- und Imaginärteile zu beiden Seiten der Gleichung folgen die
Lösungen für die Kreisfrequenz  und die Dämpfungskonstante  :
Die Kreisfrequenz ist gegenüber dieser des ungedämpften
Oszillators verstimmt. Wenn die Wurzel imaginär wird,
2
k


2
dann ist die Schwingung überdämpft: Die einmalige
T
m
Auslenkung geht exponentiell gegen Null.
 m   2  2  i  m      k    R  i    R

R
2m
Dämpfungskonstante
Tabelle 5 Herleitung der gedämpften Schwingung. Die reelle Lösung ist gleich dem Realoder Imaginärteil des Zeigers  (t ) in der komplexen Ebene.
F1
1,0
0,8
0,6
0,4
Y Axis Title
x(t )
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
0
5
10
15
t
X Axis Title
Abbildung 4 Gedämpfte Schwingung: x(t )  sin( t )  e 0.2t
20
25
30
9
4.1.4 Erzwungene Schwingung
Ein zur freien Schwingung fähiges System, seine Eigenfrequenz sei  0 , werde durch einen
äußeren Antrieb mit Frequenz  in Bewegung gesetzt. Der Antrieb prägt dann der
Schwingung des Systems seine eigene Frequenz auf. Das System reagiert auf unterschiedliche
Antriebsfrequenzen mit Änderungen in der Amplitude und in der Phase:
i
System mit Eigenschwingung  0
Die Amplitude der Auslenkung hängt vom Verhältnis der Antriebs- zur Eigenfrequenz ab.
Das gleiche gilt für die Phase zwischen der Schwingung des Antriebs und der Schwingung
des Systems. In Worten des Alltags: Bei zu hoher Frequenz des Antriebs kommt der
Oszillator nicht mehr mit, er zittert nur noch im Gegentakt zum Antrieb, also mit einer halben
Periode Phasenverschiebung, und die Amplitude ist klein. Wird die Antriebsfrequenz bis zur
Eigenfrequenz verkleinert, dann kommt das System in Resonanz. Der Antrieb läuft der
Schwingung des Systems nur noch um eine viertel Periode voraus, die Amplitude wird immer
größer. Ohne Dämpfung kommt es zur „Resonanzkatastrophe“, das System zerfällt, weil die
Amplituden jedes Maß überschreiten.
Amplitude
4
2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
D
0,5
Antr
1,0
iebs
frequ
enz/
Eige
nfreq
uenz
äm
pf
un
g
0
0,0
1,5
1,4
2,0
Abbildung 5 Amplitude einer erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von dem Verhältnis
zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung. Die Resonanzkurve wird mit
abnehmender Dämpfung schärfer
10
100
50
0 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0 3,0
g
fun
mp
Dä
Phase zwischen Antrieb und Oszillator
150
Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz
Abbildung 6 Phase zwischen Antrieb und Schwingung des Systems in Abhängigkeit des
Verhältnisses zwischen den Amplituden und der Dämpfung
Liegt die Antriebsfrequenz unterhalb der Eigenfrequenz, dann läuft das System dem Antrieb
mit nur wenig Abweichung in Amplitude und Phase nach.
Man erkennt an den Bildern, daß bei genügend großer Dämpfung die Amplitude bei der
Resonanzfrequenz nicht mehr überhöht ist. An den Phasen ist aber auch dann zu erkennen, ob
die Antriebsfrequenz kleiner oder größer als die Eigenfrequenz ist.
Versuch 4 Erzwungene Schwingung: Die Eigenfrequenz des freien Systems liegt bei70 Hz.
Man steigert die Antriebsfrequenz, beginnend bei 65 Hz und fährt über die Resonanzstelle zu
höheren Frequenzen.
Versuch 5 Resonante Anregung von 3 Pendeln unterschiedlicher Eigenfrequenzen.
Versuch 6 Im Zungenfrequenzmesser stehen Zungen unterschiedlicher Eigenfrequenz bereit,
die in Resonanz befindliche zeigt die Frequenz der Erregung.
4.1.5 Eigenschwingungen, gekoppelte Systeme
Dieses Thema ist deshalb so wichtig, weil Moleküle und kristalline Festkörper Systeme
gekoppelter mechanischer Oszillatoren sind. Nur aus dieser Sicht ist ihr Verhalten bei Zufuhr
von Wärme zu verstehen. In ihnen sind die Atome durch Wechselwirkungskräfte verbunden,
die bei kleinen Auslenkungen annähernd dem Hookeschen Gesetz folgen. Die Anregung zur
Auslenkung erfolgt durch die Temperaturbewegung der Teilchen in ihrer Umgebung. Das bei
Betrachtung eines Systems zufällig erscheinende Auslenkungsmuster ist eine Überlagerung
spezieller Schwingungszustände, den Eigenschwingungen, die für jedes System spezifisch
sind. Das einfachste gekoppelte System ist das Doppelpendel, das als Modell für ein
11
zweiatomiges Molekül verstanden werden kann. Die dabei gewonnenen Erkenntnisse
erlauben einen Ausblick auf gekoppelte Systeme mit beliebig vielen Teilchen.
Bewegungsart
Auslenkungsmuster
Auslenkung
Anmerkung
Beliebig
Die Pendel schwingen
abwechselnd stärker und
schwächer, während eines
steht schwingt das andere
maximal. Die Feder wird
abwechselnd beansprucht.
Mit gleicher
Amplitude in
gleiche
Richtung
Erste Eigenschwingung:
Die Pendel schwingen in
Gleichphase mit der
Eigenfrequenz der freien
Pendel, die Feder wird gar
nicht beansprucht.
Mit gleicher
Amplitude in
entgegenges
etzteRichtun
g
Zweite Eigenschwingung:
Die Pendel schwingen in
Gegenphase, die Feder ist
immer in Aktion
Beliebig.
Durch Vermittlung der
Feder wandert die
Energie zwischen den
Pendeln hin und her.
Eigenschwingungen:
Beide Pendel
schwingen zeitlich
konstant. Es wird keine
Energie zwischen den
Pendeln ausgetauscht.
Tabelle 6 Schwingungszustände des Doppelpendels
Die Eigenschwingungen sind kollektive Schwingungszustände des ganzen Systems, die sich
dadurch auszeichnen, daß jeder Körper mit konstanter Frequenz und Amplitude schwingt. Zu
jeder Eigenschwingung gehört eine bestimmte Frequenz, die Eigenfrequenz, mit der sich alle
an dieser Schwingung beteiligten Körper bewegen. Die Auslenkungsmuster von
Eigenschwingungen unterscheiden sich in ihrer Symmetrie und stehen orthogonal zueinander,
d. h., das Skalarprodukt zwischen Auslenkungen zu unterschiedlichen Eigenschwingungen ist
Null.
Die Anzahl der Eigenschwingungen entspricht immer der Anzahl der Freiheitsgrade: Das ist
das Produkt aus der Anzahl N der Teilchen und dessen Freiheitsgrade, im Raum 3 für
Auslenkungen in Richtung x, y und z, also 3N . Im Doppelpendel gibt es 2 „Teilchen“, die
aber jeweils nur einen Freiheitsgrad zeigen, nämlich die Auslenkung in eine einzige Richtung.
Deshalb gibt es gerade 2 Eigenschwingungen. Allgemein gilt: Jede beliebige Schwingung
eines Systems kann als die Überlagerung seiner Eigenschwingungen gedeutet werden.
In Systemen mit mehreren Freiheitsgraden kann man die Auslenkungsmuster der
Eigenschwingungen nicht mehr durch Anschauung erkennen. Es gibt aber mathematische
12
Verfahren, die „Hauptachsentransformation“, die aus einem allgemeinen Ansatz der
Bewegungsgleichung die Eigenschwingungen errechnen.
Versuch 7 Eigenschwingungen des gekoppelten Pendels. Bei Verkürzung eines der Pendel
ändern sich die Eigenschwingungen
Versuch 8 Eigenschwingung am Torsionspendel: Die beiden Freiheitsgrade sind Torsion und
Dehnung. Man suche die beiden Eigenschwingungen
Versuch 9 Eigenschwingungen der Saite
Versuch 10 Eigenschwingung der kreisförmigen Scheibe
4.2 Wellen
Wellen sind Schwingungen, die sich in Raum und Zeit ausbreiten. Bei Schwingungen von
Teilchen ist nur die Richtung ihrer Auslenkungs im Raum definiert, bei der Welle noch die
Richtung ihrer Ausbreitung hinzu. Man spricht von Transversalwellen, wenn die Richtung der
Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht, bei Longitudinalwellen sind
Auslenkung und Ausbreitung gleichgerichtet.
Versuch 11 Transversalwellen werden an einer drehbaren Spirale gezeigt: Man sieht in der
Projektion durch einen Spalt daß die Teilchen senkrecht schwingen, ohne Spalt sieht man die
Welle sich waagrecht ausbreiten.
4.2.1 Die Wellengleichung
Die Wellengleichung gilt für unterschiedliche Wellenarten, sie läßt sich leicht für eine
longitudinale Welle in einer linearen Kette aus mit Federn verbundenen Massen herleiten.
i
Abbildung 7 Lineare Kette mit Massenpunkte im Abstand a mit Massen m und Federn mit
Federkonstante D. Der Vektor  i zeigt die Auslenkung des Teilchens i bei einer
Longitudinalschwingung, gleiches gilt für die Nachbarn.
13
Formel
m i  D   i 1   i   D   i   i 1 
 i 1   i
a
 i   i 1
a
d
dx
xi 
a
2


d
dx
xi 
a
2
d
dx
xi 
a
2
d

dx
xi 
a
2
d 2
 a 2
dx
Anmerkung
Bewegungsgleichung für das Teilchen i
Die Abstände zu den Nachbarn werden durch die
Ableitungen nach x zu beiden Seiten des Teilchens
i ersetzt
Die Differenz der Ableitungen ist die zweite
Ableitung nach x. Diese wird in die
Bewegungsgleichung eingesetzt. Damit erhält
man:
xi
D  a2
 
m
 ( x, t )   0  sin k  x  t 
 
Die Wellengleichung
Lösung der Wellengleichung
   
   k 2 
2


   2  
2
2. Ableitungen der Lösung
Aus dem Vergleich dieser Beziehung mit der
Wellengleichung ergibt sich
k
v 
2
2
k2
D  a2

m
v ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Tabelle 7 Die Wellengleichung und ihre Lösung
Für Wellen in unterschiedlichen Medien zeigt die Wellengleichung die gleiche Gestalt, die
Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt von den Materialeigenschaften ab:
Art der Welle
Longitudinal
Transversal
Transversal
Longitudinal
Longitudinal
v2
Materialkonstante
E

G
E Elastizitätsmodul
Festkörper



G Scherungsmodul
K
K
Kompressionsmodul
p Druck
Cp

CV

p

Medium
 Zugspannung
Seil
Flüssigkeit
Tabelle 8 Materialabhängige Ausbreitungsgeschwindigkeit für Wellen
Gas
14
4.2.2 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beschreibt, wie schnell sich ein Wellenberg im Ortsraum
bewegt. Nach dieser Definition wird der Ort eines Maximums zu zwei Zeiten ermittelt, der
Quotient aus Orts- und Zeitdifferenz ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit.
2 
x

 2 
t 

T 2
0
1
2 
x  x

 2 
t  t
T
1,0
Auslenkung (x,t)
0,5
0,0
-0,5
-1,0
2
3
4
5
6
7
x
Abbildung 8 Welle zur Zeit t und t+ t
Formel
t 


T 2
x  x
t  t 
2 
 2 


T
2
 x t 
2  
 0
T 
 
x  
 
t T k
2
 
T
2
k
2 
x
 2 
Anmerkung
Bedingung für maximale Auslenkung: Das
Argument der sin-Funktion ist  2
Maximale Auslenkung zur Zeit t  t
Aus der Differenz beider Gleichungen folgt:
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist der
Quotient aus Kreisfrequenz und Wellenzahl
Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit zur
Periode T

Tabelle 9 Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle
Wellenzahl zur Wellenlänge 
15
4.2.3 Reflexion, Brechung und Interferenz von Wellen
Weil die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Dichte des Mediums abhängt, werden Wellen
beim Übergang zwischen Medien unterschiedlicher Dichte zum Teil reflektiert und zum Teil
durchgelassen, wobei sich die Richtung ändern kann: Die Welle wird gebrochen. Dabei
erfolgt die Brechung beim Übergang vom Medium mit größerer Ausbreitungsgeschwindigkeit
(kleinere Dichte) zu dem mit kleinerer (höhere Dichte) immer zum Lot auf die Grenzfläche
hin. Diese Effekte sind vor allem in der Optik und allgemein für elektromagnetische Wellen
von großer Bedeutung, sie treten aber ebenso bei mechanischen Wellen auf. Als Interferenz
bezeichnet man die Überlagerung von Wellen, die von unterschiedlichen Orten ausgehen.
Versuch 12 In einer Wasserwanne mit flachem Ufer, um Reflektionen zu vermeiden (vgl.
Strandbad in Freiburg), werden mit einem Oszillator Kugel- und Planwellen erzeugt. Die
Planwelle wird a) mit einem Parabolspiegel fokussiert b) an einem Spalt gebeugt c) an einer
Plexiglasplatte zum Lot hin gebrochen. Mit einer 2-Punkt Anregung werden Interferenzen
beobachtet: Von unterschiedlichen Punkten ausgehende Wellen überlagern sich.
4.2.4 Stehende Wellen
Wird eine Welle an einem Medium reflektiert, dann interferiert sie mit sich selbst. Die
einlaufende und die auslaufende Welle überlagern sich, man erhält eine stehende Welle. In
Abhängigkeit von der Dichte des Mediums, an dem reflektiert wird, entstehen an der Grenze
„Knoten“ oder „Bäuche“. Damit immer eine konstruktive Interferenz möglich ist, muß die
Länge des schwingenden Mediums auf die Wellenlänge abgestimmt sein:
Ende
Anfang
Dicht (Knoten)

2
Dicht (Knoten)
n
Dünn (Bauch)
(2n  1) 
Dünn (Bauch)
(2n  1) 

4
n

2

4
Tabelle 10 Längen eines Wellenträgers im Verhältnis zur Wellenlänge bei unterschiedlich
abgeschlossenen Enden
Versuch 13 Stehende Wellen werden mit zwei gegenläufigen Spiralen gezeigt
Versuch 14 Eine stehende Transversalwelle wird mit 30, 60 und 90 Hz angeregt
Versuch 15 Eine eingespannte Feder wird zu Schwingungen angeregt, es bilden sich
sichtbare Knoten
Versuch 16 Die Wellenmaschine für Transversalwellen erzeugt zunächst stehende, dann
laufende Wellen. Abschluß zunächst ohne „Sumpf“: a) Auslenkung oben, die Welle läuft
abwärts, wird am freien Ende reflektiert und läuft auf der anderen Seite wieder hoch. b) Wie
a), aber mit festem Ende: Die Welle läuft auf der gleichen Seite wie abwärts wieder hoch c)
Anregung unten, oben ohne Sumpf: Stehende Wellen d) Anregung unten, oben mit Sumpf: Die
Welle läuft unreflektiert aus.
16
4.2.5 Schallwellen
Schallwellen sind Longitudinalwellen, weil die Moleküle in Gasen wie auch in Flüssigkeiten
keine Kräfte senkrecht zu ihrer Auslenkung weitergeben. Die Anregung der Teilchen wird
durch Stoß weitergeleitet, es resultieren Druckschwankungen. Die Lautstärkeempfindung
durch unsere Ohren ist ein Maß für die Fläche des Trommelfells auftreffende Energie pro
Zeiteinheit, was man als Energieflußdichte bezeichnet.
4.2.5.1
Welle der Auslenkung und Welle des Drucks
Die Kraft zur Beschleunigung der Teilchen in einem kleinen, einer Scheibe ähnlichen
Volumen ist gleich der Differenz der Kräfte durch den Druck auf die Flächen der Scheibe.
Berechnet man die Beschleunigung für die Welle der Auslenkung und setzt diese in die
Kräftegleichung ein, dann ergibt sich eine Welle für den Druck, die aber gegenüber der
Auslenkung um  2 phasenverschoben ist. Man findet auch den Zusammenhang zwischen
der Geschwindigkeit der Auslenkung (Schallschnelle) und der Amplitude des Drucks.
Formel
 ( x, t )   0  sin( k  x    t )
   0   cos(k  x    t )
u 0    0
v
dm 

k
 2
 A  p( x)  A  p( x  dx)
t 2
Anmerkung
Auslenkung der Schallwelle
Geschwindigkeit der Auslenkung
Amplitude der Geschwindigkeit der Auslenkung:
„Schallschnelle“
Ausbreitungsgeschwindigkeit v ,
Winkelgeschwindigkeit  und Wellenzahl k
Bewegungsgleichung der Schallwelle, in
Auslenkung und Druck formuliert:
p( x  dx)
p (x )
 ( x, t )
A  dx   
 2
p


 A  p  A   p   dx 
2
x
t



 2
p

2
x
t
  0  2    sin( t  kx)  
Fläche A
x
p
x
p( x, t )   0  2    sin( t  kx) dx
x  dx
Bewegungsgleichung, die zweimal nach der Zeit
differenzierte Auslenkung eingesetzt
Den Druck erhält man durch Integration über x ,
die Integrationskonstante ist der mittlere Druck p
1
ohne Welle. Man erkennt, daß der Druck
p( x, t )  p   0  2     cos(t  kx)
gegenüber der Auslenkung der Teilchen in der
k
17

verschoben ist. Für die
2
Druckamplitude folgt, mit u 0    0 und

v :
k
Phase um
p( x, t )  p  p0  cos(t  kx)
p0   0    2 
1
 u0    v
k
Druckamplitude, Schallschnelle und
Schallgeschwindigkeit
Tabelle 11 Auslenkungs- und Druckamplitude
4.2.5.2
Energie und Energieflußdichte der Schallwelle
Die Energie einer Schallwelle in einer Volumeneinheit des Mediums ist der zeitliche
Mittelwert der Bewegungsenergie der darin befindlichen Teilchen:
Formel
Anmerkung
Geschwindigkeit der
Teilchen:  ( x, t )
Ekin 1
    2
V
2
Volumenein
heit,
Masse:   1
Ekin 1
2
    u0  cos 2 kx  t 
V
2
Ekin 1
2
    u 0  cos 2 kx  t 
V
2
E kin 1
2
    u0
V
4
Der Mittelwert der cos 2 Funktion ist ½, damit folgt:
Die potentielle Energie ist gleich groß wie die
kinetische, deshalb ist die Gesamtenergie:
E 1
2
    u0
V 2
I
Mittlere Bewegungsenergie der Teilchen
E
v
V
2
1
1 p
2
I     v  u0   0
2
2  v
Energiefluß durch die Einheitsfläche in einer
Zeiteinheit:
z.B.
Fläche
des
Trommel
sfells
v
Tabelle 12 Energieflußdichte der Schallwelle
4.2.5.3
Schallmessung
Für die Schallmessung ist wichtig, daß die subjektive Empfindung der Lautstärke etwa
logarithmisch mit der Intensität verläuft. Das ist der Inhalt des Weber-Fechnerschen Gesetzes.
Der Schallpegel wird deshalb in Dezibel [dB] angegeben. Das ist ein logarithmisches Maß für
die Intensität der Schallwelle in Vielfachen der Intensität an der Hörschwelle. Letztere ist auf
18
10-12 W/m2 festgesetzt, entsprechend einem Schalldruck von 20 Pa . Die Angabe einer
Lautstärke in Phon für einen Ton mit beliebiger Frequenz bezieht sich auf den Schallpegel
eines Vergleichstones mit 1kHz, der als genauso laut wie der zu messende empfunden wird.
Die Phonzahlen (vgl. die Kurve in der folgenden Abbildung) werden in Meßinstrumenten
durch Korrekturkurven angenähert, deren Dezibel Werte, wie die Phon-Skala, nur bei einem
1kHz Ton dem wirklichen Schallpegel entsprechen. Die Korrekturkurve nach Filter A nähert
den komplizierten Verlauf der Phonkurve durch eine monotone Funktion, Filter C gibt den
Schallpegel nur schwach korrigiert.
Einhe
it
N s
m3
Formel
 v
Schallwiderstand
W
m2
Intensität, Schallstärke: Mittlere
Energieflußdichte des Mediums: Energie, die
in einer Zeiteinheit auf eine senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung stehende Ebene trifft
(vgl. Tabelle 12)
I 0  10 12
W
m2
Intensität des gerade noch hörbaren 1kHz
Tones
p 0  20  10 -6
Pa
Schalldruck dazu
2
I
Anmerkung
1
1 p
2
   v  u0   0
2
2  v
Hörschwelle:
Lautstärke, Schallintensität I und Schalldruck p :
Weber-Fechnersches Gesetz :
Die Lautstärke wird etwa logarithmisch zu der
Schallintensität I bzw. dem Schalldruck p
empfunden.
 ~ log 10 I ~ log 10 p 2  2  log 10 p
Lautstärke eines Geräuschs. Bei 1kHz zeigen alle Angaben den echten Schallpegel:
  10  log 10
I 1kHz
p1kHz
 20  log 10
I0
p0
  10  log 10
I
p
 20  log 10
I0
p0
Angabe in Phon: I 1kHz I 0 zeigt das Verhältnis
der Intensität eines 1kHz Tones zu dessen
Intensität an der Hörschwelle, der genauso laut
Phon
wie das zu messende Geräusch empfunden
wird. Analoges gilt für die Schalldrucke
p 1kHz p 0 (vgl. die Abbildung)
dB
Angabe in dB, ein nachgestellter Buchstabe
nennt eine evtl. angewandte Filter-Kurve:
19
Nähert den Verlauf der Phon-Kurve
durch eine einfach gekrümmte
Korrekturkurve an
A
C
Tabelle 13 Begriffe zur Schallmessung
Sehr flache Korrekturkurve, korrigiert
den Schallpegel bei 31,5 Hz und 8 kHz
um –3dB.
20
Pa)
Bei geeigneter Abstimmung kann man stehende Schallwellen erzeugen:
Versuch 17 Quinkesches Resonanzrohr. In ein senkrechtes, in einem Wasserbad stehendes
Rohr wird von oben mit einem Lautsprecher ein Ton eingespielt. Von unten wird das Rohr
stetig „verkürzt“, indem der Wasserspiegel erhöht wird. Wenn die Rohrlänge (2n  1)   / 4
erreicht wird der Ton lauter, weil eine stehende Welle in Resonanz mit dem Lautsprecher am
offenen Ende einen Schwingungsbauch erzeugt.
Versuch 18 Herrn Neu‘s Kundtsches Rohr: In ein einseitig geschlossenes Rohr wird von der
offenen Seite ein Ton variabler Frequenz eingespielt. Erfüllt die Wellenlänge die Bedingung
Rohrlänge= (2n  1)   / 4 , dann bildet sich eine stehende akustische Welle, deren
Druckbäuche und Knoten mit Flämmchen angezeigt werden!
In stehenden Wellen gleichen die schnell bewegten Teilchen die Druckunterschiede aus. An
Stellen der Bäuche der Geschwindigkeit zeigt der Druck Knoten und umgekehrt.