Mathematische Begriffe und Hilfsmittel

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Mathematische Begriffe und Hilfsmittel
Formelzeichen
a

a
Begriff
Erklärung
Skalar
Zahl, z.B. für die Masse eines Körpers, die Zeit.
Vektor
Vektoren werden benötigt, um außer einer
Maßzahl, seinem Betrag, eine zu dieser
gehörende Richtung anzuzeigen.

a

e3
 a1 
  
a   a2 
a 
 3
Darstellung
des Vektors in
Komponenten

e1
a2

e2
a3
a1
Die Komponenten a1 , a2 und a3 des Vektors
zeigen die Achsenabschnitte eines
Koordinatensystems.
 

e1 , e2 und e3 sind die Basisvektoren des




a  a1  e1  a2  e2  a3  e3 Basisvektoren
Koordinatensystems
Meistens sind die Komponenten in einem rechtwinkligen, orthonormierten
„kartesischen“ Koordinatensystem angegeben.
Die Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander,
Orthonormiert sind von der Länge 1 und bilden ein
 

es
Rechtssystem, d.h. e1 , e2 und e3 stehen
Koordinatensy
zueinander wie Daumen, Zeige- und
stem
Mittelfinger der rechten Hand.
a  a12  a22  a32
Betrag
Zeigt die Länge des Vektors

Manchmal ist es sinnvoll, einen Vektor durch Betrag a und Richtung ea anzugeben


a  a  ea
Darstellu
ng des
Vektors
durch
Betrag
und
Richtung
 a1 

1  
ea    a 2 
a  
 a3 
Einheitsvektor, d.h. Vektor vom Betrag 1, der die

Richtung von a angibt.
Beispiel: Geschwindigkeit Kraft,
Beschleunigung in einer vorgegeben Richtung,
2
Vektoren werden komponentenweise addiert. Dem
entspricht die folgende geometrische Konstruktion:
 a1  b1 

  
a  b   a2  b2 
a b 
3
 3
Summe
zweier
Vektoren
 
a b

b

a
Beispiel: Kräfteparallelogramm

b
Multiplik
ation mit
einem
Skalar


b  k a
 
 
 
a  b  a  b  cos  a , b

a


Beispiel: F  m  a
(Kraft=Masse*Beschleunigung)
Entspricht dem Produkt zwischen a und der


Projektion von b auf a :
 
 
b  cos  a , b

a
Skalarpro
dukt

b
Beispiel: Die Arbeit ist das Skalarprodukt aus
dem Kraft- und dem Wegvektor
Speziell im dreidimensionalen Raum ist das Vektorprodukt definiert:

 
Ergebnis: Vektor a  b


Richtung: Senkrecht auf a und b
 
a b
 
a b


b
Vektorpro
dukt
Betrag:

a
 
 
 
a  b  a  b  sin  a , b
Dieser entspricht der grau eingezeichneten Fläche


des von a und b aufgespannten
Parallelogramms
  
Beispiel: L  r  p Der Drehimpulsvektor steht
senkrecht auf Radius- und Impulsvektor
3
Funktionen, Ableitungen, Integrale
y  f x 
y ist eine
Funktion
der
Variablen
x
Bei vorgegebenem x hat y den Wert f  x 
f  x  kann durch eine Wertetabelle gegeben sein, z.B. bei einer
Abzählung: Ist x die Nummer der Beobachtung, dann gibt f  x 
die beobachtete Zahl.
f  x  kann eine analytische Funktion sein, z.B. y  sin x
y 
df
 x 0   x
dx
y
f ( x0 )
x
x0
df
(x)
dx
Mit Hilfe der Ableitung kann die Änderung  y des Funktionswerts an
der Stelle x 0 bei Änderung x des Arguments abgeschätzt werden.
Anwendung in der Physik und Meßtechnik: Fehlerfortpflanzung.
df
 x0   x zeigt, daß die Abweichung x vom Argument x 0
y 
dx
die Abweichung  y in der Funktion f bewirkt.
Ist f  x  als Wertetabelle gegeben, dann wird die Ableitung numerisch
als „Differenzenquotient“ berechnet:
f ( x0  x)  f ( x0 )
f
( x0 ) 
x
x
Differenti
Ist die Funktion f  x  analytisch bekannt, dann liefert die Mathematik
ation,
Ableitung für deren Ableitung die Funktion y   f x .
Die Ableitungen wichtiger Funktionen sind:
( x r )  r  x r 1
e   e
x
c  0
ln x   1
x
sin x   cos x
(c  const.)
x
cos x    sin x
In der Physik sind die Ableitungen nach der Zeit t für folgende
Größen besonders wichtig:
f(t )
f (t )
f (t )
Mechanik
Elektrizitätsl
ehre
Weg
Geschwindigkeit
Beschleunigung
s (t )
v(t )  s(t )
a (t )  v(t )  s(t )
Ladung
Strom
Stromänderung
Q(t )
I (t )  Q (t )
(t )
I(t )  Q
4

df
(x)
dx
Ableitung
eines
Vektors
nach einer
Variablen
Vektoren werden komponentenweise abgeleitet
Beispiel für eine Anwendung in der Physik: Die Komponenten des
Vektors der Geschwindigkeit sind die zeitlichen Ableitungen der
Komponenten des Vektors der Bahn.
Wird eine Funktion nach einem Vektor abgeleitet, dann entsteht ein
Vektor, dessen Komponenten die Ableitungen der Funktion nach den
Komponenten des Vektors sind.
Beispiel für eine wichtige Anwendung in Physik und Meßtechnik:
Die Fehlerfortpflanzung auf eine Funktion von mehreren Variablen.
Der Wert y sei eine Funktion von vier Beobachtungen
xi , i  1,2,3,4 , es gelte also y  f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) . Zur Berechnung
der Abweichung  y bei Abweichungen xi , i  1,2,3,4 der
Variablen von den Werten xi0 , i  1,2,3,4 konstruiert man den
Vektor
df 
 (x )
dx
Ableitung
einer
Funktion
nach
einem
Vektor
 df

 dx1
 df
  dx
y   2
 df
 dx3
 df

 dx 4
x  x




x 20  x 2 

0
x3  x3 


x 40  x 4 

0
1
1
 
 
 
Die gesuchte Abweichung in  y ist dessen Betrag:
 df 0

y   
xi  xi 
i 1  dxi

4
J
Tensor
 
2
Ein Tensor verknüpft zwei vektorielle physikalische Eigenschaften, so
daß Betrag und Richtung der einen in Abhängigkeit von Betrag und
Richtung der anderen gegeben ist.
Beispiel: Der Tensor J des Trägheitsmoments verknüpft die


Vektoren von Drehimpuls L und Winkelgeschwindigkeit  , beide
unterscheiden sich im allgemeinen nicht nur im Betrag, sondern
auch in der Richtung:


L  J 
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Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Eine Gleichung dieses Typs erhält man immer dann, wenn die
2. Ableitung einer Funktion nach der Zeit umgekehrt
proportional zur Funktion selbst ist.
Beispiele:
In der Mechanik: Wenn auf einen Körper eine zum Weg x(t )
proportionale Kraft beschleunigend wirkt, dann ist die
Trägheitskraft immer proportional zu x(t ) und der
beschleunigenden Kraft entgegengerichtet. (Mechanische
Schwingung)
m  x  k  x
Die Elektrodynamik: Man erhält die analoge Gleichung, wenn
eine zur Ladung Q(t ) proportionale Spannung eine
(t )
Gegenspannung induziert, weil letztere proportional zu Q
und der erzeugenden entgegengerichtet ist. (Elektrischer
Schwingkreis aus Kondensator und Spule)
Auch die Regeltechnik führt auf eine Gleichung dieses Typs,
wenn die Regelgröße x(t ) im Takt ihrer zweiten Ableitung
x(t ) verändert wird. (Es gibt z. B. Duschen, die man nur
abwechselnd zu heiß oder zu kalt einstellen kann. Die
mathematische Eigenschaft dieses Systems kann man mit
T(t ) ~ T (t ) beschreiben.)
x(t )  x0  sin t
x(t )   x0   2  sin t
m  2  k

k
m
 
2
T
Lösung der Gleichung, man bezeichnet sie als „harmonische
Schwingung“ und das System als „harmonischen Oszillator“
Zweite Ableitung der Funktion
Folgt nach Einsetzen von x(t ) und x(t )
Die Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) der Schwingung
ist unabhängig von der Amplitude x 0
T ist die Periode der Schwingung
Auslenkung einer Schwingung, als komplexe Zahl formuliert:
Komplexe Zahl mit Betrag r und Phase 
  r  e i
e i  cos   i  sin 
1
cos   e i  e i 
2
Eulersche Beziehung
Winkelfunktionen in komplexer Schreibweise
6
sin  
  r e

1 i
e  e  i
2i
i

Aufteilung in Real- und Imaginärteil:
Realteil
Imaginärteil
r  cos 
r  sin 
 r  cos   i  r  sin 
Imaginärteil

r

i  r  sin 
Realteil
r  cos 
Darstellung einer
komplexen Zahl als
Vektor mit Betrag
und Phase. Die
beiden kartesischen
Komponenten
beschreiben eine
harmonische
Schwingung, wenn
der Zeiger mit
konstanter
Winkelgeschwindigk
eit rotiert.
7
Verteilungen, Erwartungswerte
Verteilungen beschreiben die Eigenschaften der Gesamtheit der Ergebnisse aus sehr vielen
Beobachtungen. Als Beispiel diene die Gaußverteilung auf dem 10 DM Schein. Man denke
an wiederholte Messungen einer Größe x , die um den Wert   3 schwankt. Trägt man die
Ergebnisse in einem Histogramm auf, dann wird dieses Histogramm durch die
Gaußverteilung angenähert. Die Breite der Verteilung   1 ist ein Maß für die Schwankung
der Meßwerte.
F4
p (x )
0,4
 1
Y Axis Title
0,3
0,2
Verteilung f (x)
0,1
0,0
0
1
2
3
4
5
x
X Axis Title
 3
f x  
1
 2
6
Das Beispiel zeigt die auf dem 10 DM
Schein abgebildete Gaußverteilung
 x   2
e
2 2
F4
p (x )
0,4
Y Axis Title
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
2
3
4
x0
F ( x  x)  F ( x) 
5
x
x0  x
X Axis Title
x0  x
 f x dx
x0
6
Das Integral (orange gefärbte Fläche) über
die Verteilung f (x) gibt an, mit welcher
Wahrscheinlichkeit bei einem einzigen
Versuch ein Wert zwischen x 0 und
x0  x zu erwarten ist.
8

E ( x) 
 x  f x dx
Erwartungswert der Größe x . Er ist ihr
Mittelwert bei sehr vielen Beobachtungen
und entspricht- für beliebige Verteilungendem physikalischen Schwerpunkt einer
Massenverteilung von gleicher Form. Die
bei der Schwerpunktbestimmung im Nenner
stehende Gesamtmasse ist „1“.

Anwendung in der Vorlesung: Berechnung
der mittleren freien Weglänge aus der
Verteilung der freien Flugwege der
Teilchen in einem Gas.

E ( H ( x)) 
 H ( x)  f x dx

Erwartungswert einer Funktion H (x ) ,
wenn x nach der Funktion f (x) verteilt
ist. Es ist der Mittelwert der Funktion H (x )
bei sehr vielen Beobachtungen.
Anwendung: Berechnung der mittleren
freien Weglänge aus der Verteilung der
freien Flugwege der Teilchen in einem Gas.
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Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.
Die Integration glättet, wie am folgenden Beispiel zu erkennen ist:
s
Beschleunigung
t
Diffe
rentia
tion
s
 f ( x)dx
Integ
ratio
n
Geschwindigkeit
t
s
Weg
t
Tabelle 1