Mathematische Begriffe und Hilfsmittel

1
Mathematische Begriffe und Hilfsmittel
Formelzeichen
Begriff
a
Skalar

a
Vektor
 a1 
  
a   a2 
a 
 3
Darstellung des
Vektors in
Komponenten
Erklärung
Zahl, z.B. für die Masse eines Körpers, die Zeit.
Vektoren werden benützt, wenn eine einzige Zahl zur
Beschreibung einer Situation nicht ausreicht. In einem Vektor
sind mehrere Zahlen zusammengefasst. Die Bedeutung der
„Komponenten“ oder „Koordinaten des Vektors“ genannten
Zahlen wird durch die Wahl des „Koordinatensystems“
festgelegt. Z. B. zeigt der Vektor der Geschwindigkeit bei einer
geradlinigen Bewegungen auf einer Bahn den Betrag der
Geschwindigkeit und die Richtung der Bewegung.

a

e3

e1
a2

e2
a3
a1
Die Komponenten a1 , a2 und a3 des Vektors zeigen die
Achsenabschnitte eines Koordinatensystems.




a  a1  e1  a2  e2  a3  e3
Basisvektoren
 

e1 , e2 und e3 sind die Basisvektoren des Koordinatensystems
Meistens sind die Komponenten in einem rechtwinkligen, orthonormierten
„kartesischen“ Koordinatensystem angegeben.
Orthonormiertes
Koordinatensystem
a  a12  a22  a32
Betrag
Die Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander, sind von der
 

Länge 1 und bilden ein Rechtssystem, d.h. e1 , e2 und e3 stehen
zueinander wie Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten
Hand.
Zeigt die Länge des Vektors
2

Manchmal ist es sinnvoll, einen Vektor durch Betrag a und Richtung ea anzugeben


a  a  ea
Darstellung des
Vektors durch Betrag
und Richtung
 a1  b1 

  
a  b   a2  b2 
a b 
3
 3
Summe zweier
Vektoren
 a1 

1  
ea    a 2 
a  
 a3 
Einheitsvektor, d.h. Vektor vom Betrag 1, der die Richtung von

a angibt.
Beispiel: Geschwindigkeit Kraft, Beschleunigung in einer
vorgegeben Richtung,
Vektoren werden komponentenweise addiert. Dem entspricht
die folgende geometrische Konstruktion:
 
a b

a

b
Beispiel: Kräfteparallelogramm

b


b  k a
Multiplikation mit
einem Skalar

a


Beispiel: F  m  a (Kraft=Masse*Beschleunigung)

Entspricht dem Produkt zwischen a und der Projektion von b

auf a :
 
b  cos  a , b

 
 
a
a  b  a  b  cos  a , b
 
 
Skalarprodukt

b
Beispiel: Die Arbeit ist das Skalarprodukt aus dem Kraft- und
dem Wegvektor
3
Speziell im dreidimensionalen Raum ist das Vektorprodukt definiert:
 
Ergebnis: Vektor a  b


Richtung: Senkrecht auf a und b
 
a b



b
 
a b
Vektorprodukt
Betrag:

a
 
 
 
a  b  a  b  sin  a , b

Dieser entspricht der grau eingezeichneten Fläche des von a und

b aufgespannten Parallelogramms
  
Beispiel: L  r  p Der Drehimpulsvektor steht senkrecht auf
Radius- und Impulsvektor
Funktionen, Ableitungen, Integrale
Bei vorgegebenem x hat y den Wert f  x 
y  f x 
f  x  kann durch eine Wertetabelle gegeben sein, z.B. bei einer
y ist eine
Abzählung: Ist x die Nummer der Beobachtung, dann gibt f  x  die
Funktion der
beobachtete Zahl.
Variablen x
f  x  kann eine analytische Funktion sein, z.B. y  sin x
Anwendung der Ableitung zur Linearisierung einer beliebigen Funktion:
y
df
(x)
dx
df
 x 0   x
Differentiatio y 
dx
n, Ableitung
f ( x0 )
x
x0
Mit Hilfe der Ableitung kann die Änderung  y des Funktionswerts an der
Stelle x 0 bei Änderung x des Arguments abgeschätzt werden. Beliebig
komplizierte Funktionen werden damit - in einer genügend kleinen
Umgebung von x 0 - durch eine in x lineare Funktion angenähert.
4
Anwendung der in Physik und Meßtechnik: Oft genügt eine lineare
Funktion, wenn nur eine Umgebung x eines bevorzugten Punktes x 0
von Interesse ist. Die lineare Funktion ist
df
 x 0   x
y 
dx
Die Abweichung x vom Argument x 0 bewirkt - in Näherung- die
Abweichung  y vom Funktionswert f ( x0 ) .
(Beispiele: Standardabweichung  y als Funktion der Standardabweichung
x (Fehlerfortpflanzung), Änderung der Schwerkraft als Funktion der
Höhe nahe der Erdoberfläche)
Ist f  x  als Wertetabelle gegeben, dann wird die Ableitung numerisch als
„Differenzenquotient“ berechnet:
f ( x0  x)  f ( x0 )
f
( x0 ) 
x
x
Ist die Funktion f  x  analytisch bekannt, dann liefert die Mathematik für
deren Ableitung die Funktion y  f x .
Die Ableitungen wichtiger Funktionen sind:
( x r )  r  x r 1
e   e
x

sin x 
c  0
(c  const.)
ln x   1
x
x
cos x    sin x
 cos x
In der Physik sind die Ableitungen nach der Zeit t für folgende Größen
besonders wichtig:
Mechanik
Elektrizitätslehre
f (t )
f (t )
f(t )
Weg
Geschwindigkeit
Beschleunigung
s (t )
v(t )  s(t )
a (t )  v(t )  s(t )
Ladung
Strom
Stromänderung
Q(t )
I (t )  Q (t )
(t )
I(t )  Q
5

df
(x)
dx
Ableitung
eines Vektors
nach einer
Variablen
df 
 (x )
dx
Ableitung
einer
Funktion
nach einem
Vektor
Vektoren werden komponentenweise abgeleitet
Beispiel für eine Anwendung in der Physik: Die Komponenten des Vektors
der Geschwindigkeit sind die zeitlichen Ableitungen der Komponenten des
Vektors der Bahn.
Wird eine Funktion nach einem Vektor abgeleitet, dann entsteht ein Vektor,
dessen Komponenten die Ableitungen der Funktion nach den Komponenten
des Vektors sind.
Beispiel für eine wichtige Anwendung in Physik und Meßtechnik: Die
Fehlerfortpflanzung auf eine Funktion von mehreren Variablen. Der Wert
y sei eine Funktion von vier Beobachtungen xi , i  1,2,3,4 , es gelte also
y  f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) . Zur Berechnung der Abweichung  y bei
Abweichungen xi , i  1,2,3,4 der Variablen von den Werten xi0 , i  1,2,3,4 ,

die im Vektor x 0 zusammengefasst sind, konstruiert man den Vektor
df 
 (x )
dx
Ableitung
einer
Funktion
nach einem
Vektor
 df 
 x0   x1 

 dx1

 df 
 x   x 2 
  dx 2 0

y  
 df  x   x 
3
 dx3 0

 df 


 x0   x 4 
 dx 4

Die gesuchte Abweichung in  y ist dessen Betrag:
 df 0

y   
xi  xi 
i 1  dxi

4
 
2
6
Beispiel: Standardabweichung der Geschwindigkeit bei gleichförmiger
Bewegung entlang einer geradlinigen Bahn. Der Weg s und die Zeit t seien
mit den Standardabweichungen s, t gemessen:
s
v
t
 dv
  1  s 
(
s
,
t
)


s


0
0
t


 0
v   ds
 dv ( s , t )  t    s0  t 

 
0 0

 dt
  t0 2

2
s 
1
v     s 2   02   t 2
 t0 
 t0 
Übersichtlicher wird die Formel, wenn man die Funktion v an der Stelle
s 0 , t 0 , wieder einsetzt: v0  v( s0 , t 0 )
2
2
 s   t 
v  v0      
 s0   t 0 
2
Ein Tensor verknüpft zwei vektorielle physikalische Eigenschaften, so daß
Betrag und Richtung der einen in Abhängigkeit von Betrag und Richtung der
anderen gegeben ist.
Beispiel: Der Tensor J des Trägheitsmoments verknüpft die Vektoren von


Drehimpuls L und Winkelgeschwindigkeit  , beide unterscheiden sich im
allgemeinen nicht nur im Betrag, sondern auch in der Richtung:
Tensor


L  J 
 L1   J 11
  
 L2    J 21
L  J
 3   31
J 12
J 22
J 32
J 13    1 
  
J 23    2 
J 33   3 
3
Li   J ik   k
k 1
Komponenten des Drehimpulses
7
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Eine Gleichung dieses Typs erhält man immer dann, wenn die 2.
Ableitung einer Funktion nach der Zeit umgekehrt proportional zur
Funktion selbst ist.
Beispiele:
In der Mechanik: Wenn auf einen Körper eine zum Weg x(t )
proportionale Kraft beschleunigend wirkt, dann ist die Trägheitskraft
immer proportional zu x(t ) und der beschleunigenden Kraft
entgegengerichtet. (Mechanische Schwingung)
m  x  k  x
Die Elektrodynamik: Man erhält die analoge Gleichung, wenn eine zur
Ladung Q(t ) proportionale Spannung eine Gegenspannung induziert, weil
(t ) und der erzeugenden entgegengerichtet ist.
letztere proportional zu Q
(Elektrischer Schwingkreis aus Kondensator und Spule)
Auch die Regeltechnik führt auf eine Gleichung dieses Typs, wenn die
Regelgröße x(t ) im Takt ihrer zweiten Ableitung x(t ) verändert wird. (Es
gibt z. B. Duschen, die man nur abwechselnd zu heiß oder zu kalt
einstellen kann. Die mathematische Eigenschaft dieses Systems kann man
mit T(t ) ~ T (t ) beschreiben.)
Lösung der Gleichung, man bezeichnet sie als „harmonische Schwingung“
x(t )  x0  sin t
und das System als „harmonischen Oszillator“
2
x(t )   x0    sin t
Zweite Ableitung der Funktion
m  2  k

k
m
 
2
T
Folgt nach Einsetzen von x(t ) und x(t )
Die Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) der Schwingung ist
unabhängig von der Amplitude x 0
T ist die Periode der Schwingung
8
Auslenkung einer Schwingung, als komplexe Zahl formuliert:
Komplexe Zahl mit Betrag r und Phase 
  r  e i
e i  cos   i  sin 
1
cos   e i  e i 
2
1 i

sin  
e  e  i 
2i
  r e
i
Eulersche Beziehung
Winkelfunktionen in komplexer Schreibweise
Aufteilung in Real- und Imaginärteil:
Realteil
Imaginärteil
r  cos 
r  sin 
 r  cos   i  r  sin 

r  sin t   0 
t
F1
F2
1,0
r
0,5
x,
y
0
0,0
-0,5
-1,0
x, y
0
1
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0
1
2
r  cost   0 
2
3
t
4
5
6
3
t
Darstellung einer
komplexen Zahl als
Vektor mit Betrag
und Phase. Die
beiden kartesischen
Komponenten
beschreiben eine
harmonische
Schwingung, wenn
der Zeiger mit
konstanter
Winkelgeschwindigk
eit rotiert.
4
5
6
F1
F2
Tabelle 1 Auslenkungen der harmonischen Schwingung als Komponenten eines Zeigers in der
komplexen Zahlenebene: Horizontal reelle, vertikal: imaginäre Achse
9
Verteilungen, Erwartungswerte
Verteilungen beschreiben die Eigenschaften der Gesamtheit der Ergebnisse aus sehr vielen
Beobachtungen. Als Beispiel diene die Gaußverteilung auf dem 10 DM Schein. Man denke
an wiederholte Messungen einer Größe x , die um den Wert   3 schwankt. Trägt man die
Ergebnisse in einem Histogramm auf, dann wird dieses Histogramm durch die
Gaußverteilung angenähert. Die Breite der Verteilung   1 ist ein Maß für die Schwankung
der Meßwerte.
F4
p (x )
0,4
 1
Y Axis Title
0,3
0,2
Verteilung f (x)
0,1
0,0
0
1
2
3
4
5
x
X Axis Title
 3
f x  
1
 2
6
Das Beispiel zeigt die auf dem 10 DM
Schein abgebildete Gaußverteilung
 x   2
e
2 2
F4
p (x )
0,4
Y Axis Title
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
2
3
4
x0
F ( x  x)  F ( x) 
5
x
x0  x
X Axis Title
x0  x
 f x dx
x0
6
Das Integral (orange gefärbte Fläche) über
die Verteilung f (x) gibt an, mit welcher
Wahrscheinlichkeit bei einem einzigen
Versuch ein Wert zwischen x 0 und
x0  x zu erwarten ist.
10

E ( x) 
 x  f x dx
Erwartungswert der Größe x . Er ist ihr
Mittelwert bei sehr vielen Beobachtungen
und entspricht- für beliebige Verteilungendem physikalischen Schwerpunkt einer
Massenverteilung von gleicher Form. Die
bei der Schwerpunktbestimmung im Nenner
stehende Gesamtmasse ist „1“.

Anwendung in der Vorlesung: Berechnung
der mittleren freien Weglänge aus der
Verteilung der freien Flugwege der
Teilchen in einem Gas.

E ( H ( x)) 
 H ( x)  f x dx

Erwartungswert einer Funktion H (x ) ,
wenn x nach der Funktion f (x) verteilt
ist. Es ist der Mittelwert der Funktion H (x )
bei sehr vielen Beobachtungen.
Anwendung: Berechnung der mittleren
freien Weglänge aus der Verteilung der
freien Flugwege der Teilchen in einem Gas.
11
Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.
Die Integration glättet, wie am folgenden Beispiel zu erkennen ist:
s
Beschleunigung
t
Diffe
rentia
tion
s
 f ( x)dx
Integ
ratio
n
Geschwindigkeit
t
s
Weg
t
Tabelle 2