Einführung in die Physik III

Einführung in die Physik III
Prof. Dr. Dario Anselmetti
4. Februar 2004
Eine Mitschrift von Matthias Stephan
Mail: [email protected]
Inhaltsverzeichnis
1 Lehrbücher
2
5 Dualität von Welle und Teilchen
5.8 Einführung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Die Postulate der Quantenmechanik . . . . . . . . . .
5.10 Das Teilchen im Kastenpotential (mit unendlich hohen
5.11 Die vollständige Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . .
5.12 Der harmonische quantenmechanische Oszillator . . .
5.13 Reflexion und Transmission von Wellen (Teilchen) . .
. . . . . .
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Wänden)
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3
3
4
4
6
7
8
6 Atomphysik
6.1 Die dreidimensionale Schrödingergleichung . . . . . . . .
6.2 Die Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten . . . . . .
6.3 Lösung der Schrödingergleichung für Zentralfeldpotential
6.4 Der quantenmechanische Drehimpuls . . . . . . . . . . .
6.5 Der Spin des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Das magnetische Moment des Elektrons . . . . . . . . .
6.7 Der Stern-Gerlach-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Das Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Emission und Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Maser und Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Statistische Physik - Einige Betrachtungen . . . . . . . .
6.12 Bindungen zwischen Atomen . . . . . . . . . . . . . . .
6.12.1 Ionische Bindung (heteropolare Bindung) . . . .
6.12.2 Kovalente Bindung (homöopolare Bindung) . . .
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10
10
10
11
15
16
17
20
20
22
24
24
26
26
27
7 Festkörperphysik
7.1 Die klassische Theorie der Elektrischen Leitung
7.2 Das Elektronengasmodell mit freien Elektronen
7.3 Das elektronische Bändermodell . . . . . . . . .
7.4 Dotierte Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Halbleiterübergänge und Halbleiterbauelemente
7.6 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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33
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1
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8 Kernphysik
8.0.1 Der Atomkern . . . . . . .
8.1 Die Masse des Atomkerns . . . . .
8.2 Die Kernkraft . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Eigenschaften der Kernkraft
8.2.2 Vergleich einiger Kräfte . .
8.3 Die Stabilität von Kernen . . . . .
8.3.1 Zerfallsreihen . . . . . . . .
8.3.2 Datierungsmethoden . . . .
8.4 Der α-Zerfall . . . . . . . . . . . .
8.5 Der β-Zerfall . . . . . . . . . . . .
8.6 Der γ-Zerfall . . . . . . . . . . . .
8.7 Kernreaktion . . . . . . . . . . . .
8.7.1 Compoundkern . . . . . . .
8.7.2 Wirkungsquerschnitt . . . .
8.7.3 Angeregte Kernzustände . .
8.7.4 Reaktionen mit Neutronen
8.8 Die Kernspaltung . . . . . . . . . .
8.8.1 Kritische Masse . . . . . . .
8.8.2 Brutreaktoren . . . . . . . .
8.9 Die Kernfusion . . . . . . . . . . .
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9 Teilchenphysik
0
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49
Lehrbücher
1. Paul A. Tipler - Physik (ISBN: 3860251228)
2. Paul A. Tipler - Moderne Physik (ISBN: 2486255649)
3. Hallyday, Resnick, Walker - Physik (ISBN: 3527403663)
4. Haken,Wolf - Atom- und Quantenphysik (ISBN: 3540026215)
2
5
5.8
Dualität von Welle und Teilchen
Einführung von Operatoren
Differentiation der Wellenfunktion des freien Teilchens nach Ortskoordinate x:
∂
∂ i(kx−ωt)
Ψ(x, t) =
e
= ikΨ
∂x
∂x
mit de Broglie p = ~k ⇔ k = ~p folgt nun
∂
p
Ψ=i Ψ
∂x
~
⇒ −i · ~ ·
∂
∂x Ψ
= px · Ψ
Interpretation unserer Ergebnisse (Fundamente der QM)
Operatorbild auf die Energie angewandt:
E = Ekin + Epot =
p~2
+ V (x, y, z)
2m
mit
p~2 = p2 = p2x + p2y + p2z
Übergang in die Quantenmechanik:
px = i~
∂
,
∂x
E = +i~
p2x + p2y + p2z
~2
+ V (x, y, z) = −
E=
2m
2m
∂
∂t
∂2
∂2
∂2
+
+
+V (x, y, z)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
{z
}
|
=∆
H ≡−
~2
∆ + V (x, y, z)
2m
Hamilton-Operator
Vergleich mit der Srödingergleichung:
H · Ψ(r) = E · Ψ
H · Ψ(r, t) = i~ ·
zeitunabhg. Schrödingergleichung
∂Ψ(r, t)
zeitabhg. Schrödingergleichung
∂t
Eigenwertproblem:
H ·Ψ=E·Ψ
Hier sind:
H : Operator/lineare Abbildung (dargestellt durch Matrix), E: Eigenwert (Skalar) und Ψ: Wellenfunktion/Eigenvektor.
3
5.9
Die Postulate der Quantenmechanik
1. Die Zustandsfunktion
2. Die Interpretation (Max Born)
3. Die Zuordnung eines Operators
4. Die Wellengleichung D
5. Der Erwartungswert
zu 5)
< x >=
n
X
i=1
x · pi ⇒
Z
x · pn dτ =
Z
2
x · |Ψ(r, t)| dτ =
Z
Ψ∗ (r, t) · x · Ψ(r, t)dτ
(Hier ist * die komplexe Konjugation)
Z
< ô >= Ψ∗ (~r, t) · ô · Ψ(~r, t)dτ
Bemerkung: Die beobachteten Werte der physikalischen Größen müssen reell
sein:
< ô >∈ R
< ô >=< ô >∗ (Hermitischer Operator)
Z
Z
∗
Ψ · ô · Ψdτ = Ψ · ô∗ · Ψ∗ dτ
5.10
Das Teilchen im Kastenpotential (mit unendlich hohen
Wänden)
Man betrachte hier erstmal das einfachste Problem.
Lösung mit Schrödingergleichung:
V (0 < x < L) = 0
V (x < 0, x > L) = +∞
Stelle die Schrödingergleichung für V (x; t) auf, soll nur von x abhängen (V(x)):
H ·Ψ=E·Ψ
−
(1D)
~2
∆Ψ(x) = E · Ψ(x)
2m
~2 ∂ 2
2m
Ψ(x) = EΨ(x) ⇒ Ψ′′ (x) + 2 · E · Ψ(x) = 0
2m ∂x2
~
Die Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung! Also gilt:
−
2mE
= k2
~2
4
mit Lösung für Ψ(x):
Ψ(x) = A · sin(kx)
Ψ(x) = B · cos(kx)
Hier sind A und B konstant.
Betrachtet man die Randbedingungen, so folgt:
1. Ψ(x = 0) = 0 ⇒ B = 0
2. Ψ(x = L) = 0 ⇒ A sin(kL) = 0 mit kL = nπ, n ∈ N
Nichttriviale Lösung:
nπ
l
Für die Wellenfunktion ergibt sich somit:
kn =
Ψ(x) = A · sin
mit
nπ
L
·x
2π
2π
nλ
λ
⇒
⇒L=
=n
λ
L
2
2
ergibt sich das Konzept der stehenden Wellen!
Betrachtung der Energie:
kn =
En =
~2 kn2
~2 n 2 π 2
=
= n 2 E1
2m
2m L2
~2 π 2
2mL2
Graphische Betrachtung des Energiespektrums im Kastenpotential
Folge: Die Abstände der Niveaus sind nicht mehr äquidistant.
E1 =
Bestimmung der Konstanten A: (Normierungsrelation)
Z
Z ∞
∗
Ψ (x)Ψ(x)dτ = |Ψ(x)|2 dτ
Z
∞
−∞
nπ x dx = 1 . . . (Ü bung)
L
−∞
q
Als Resultat ergibt sich: A = L2 unabhängig von n!
Schließlich erhält man die Wellenfunktion:
q
Ψn (x) = L2 · sin nπ
L ·x
=
A2 sin2
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist proportional zu |Ψn (x)|2 .
Bemerkungen:
1. Die Teilchen sind offenbar nicht gleichmäßig im Kostenpotential verteilt!
Somit hängt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von n ab!
(Orbitale im H-Atom später)
2. Anwendungen: Quanten-Dots/Qdots:
CdSe, CdS, CdTe... → kleine Nanopartikel besitzen optische Emission
5
5.11
Die vollständige Wellenfunktion
Man beziehe sich auf die zeitunabhängige Schrödingergleichung.
Annahme: V (x, t) = V (x)(zeitunabhängig)
Lösungsansatz: Lösung der Wellenfunktion: Ψ(x, t) = Λ(x) · Φ(t).
In die zeitunabhängige Schrödingergleichung eingesetzt:
−
~2 ∂ 2
d
(Λ(x) · Φ(t)) + V (x) · Λ(x) · Φ(t) = i~ Λ(x)Φ(t)
2
2m ∂x
dt
⇒−
~2
∂2
d
Φ(t) 2 Λ(x) + V (x) · Λ(x) · Φ(t) = i~ · Λ(x) Φ(t)
2m
∂x
dt
⇒−
1
d
~2 1 ∂ 2
Λ(x) + V (x) =
i~ Φ(t) = C
2
2m Λ(x) ∂x
Φ(t) dt
Beide Seiten sind konstant, so dass zwei getrennte Differentialgleichungen folgen:
1.
d
1 dΦ(t)
dΦ(t)
C
i·C
1
i~ Φ(t) = C ⇒
i~ = C ⇒
= dt = −
dt
Φ(t) dt
Φ(t) dt
Φ(t)
i~
~
mit
C
~
⇒ Φ(t) = e−
i·C
t
~
= ω ⇒ C = ~ω = hν folgt schließlich:
Φ(t) = e−
iE
t
~
2. Durch Einsetzen erhält man die zeitunabhängige Schrödingergleichung für
Λ(x).
Bemerkungen:
1. Die vollständige Lösung der Schrödingergleichung (V(x)) lautet:
iE
Ψ(x, t) = Λ(x) · Φ(t) = Λ(x) · e− h t
2. Beispiel - Kastenpotential:
r
r 2
2 eikn x − e−ikn x
t
− iE
−iωt
Ψ(x, t) = Ψn (x)e ~ =
eiωt
sin(kn x)e
=
Λ
L
2i
r
1 2 i(kn x−ωt)
Ψ(x, t) =
· e
− e−i(kn x+ωt)
2i L
Die stehende Welle im Potential entspricht einer Überlagerung gegenläufiger Wellen gleicher Amplitude.
6
5.12
Der harmonische quantenmechanische Oszillator
Schrödingergleichung (zeitunabhängig):
−
~2 ∂ 2
Ψ(x) + V (x) · Ψ(x) = EΨ(x)
2m ∂x2
mit V (x) = 21 kx2 folgt:
mkx2
2mE
∂2
Ψ(x)
+
Ψ(x) =
Ψ(x)
2
2
∂x
~
~2
Einführung einer neuen Variablen:
−
ξ=
Hiermit folgt:
−
−
nun wähle ε4 =
x
ε
(ε frei wählbar) ⇒
∂ξ
1
=
∂x
ε
∂ 2 Ψ(ξ) mkξ 2 ε2
2mE
+
Ψ(ξ) =
· Ψ(ξ)
2
2
2
∂ξ ε
~
~2
mkξε4
2mEε2
∂2
Ψ(ξ)
+
Ψ(ξ)
=
· Ψ(ξ)
∂ξ 2
~2
~2
~2
mk :
2E
2mEε2
2mE ~
√
=
=
~2
~2
~
mk
r
m
≡λ
k
also:
∂2
Ψ + ξ 2 Ψ = λΨ
∂ξ 2
Schließlich erhält man die Eigenwertgleichung mit λ als Eigenwert:
∂2
2 ·Ψ=λ·Ψ
+
ξ
− ∂ξ
2
−
⇒ Ô · Ψ = λ · Ψ
Literatur: Haken & Wolf - Atomphysik→ Hermitische Differentialglgen. ⇒ Ψn (x)
Lösung der Eigenfunktion:
Ψn (x) = αn e−
x2
√
km
2~
Hn (x)
√
Hier sind αn die Normierungskonstante [αn = πε2n n!] und
2 dn
−x2 ]
Hn (x) die Hermitischen Polynome [⇒ Hn (x) = (−1)n ex dx
ne
Die zugehörigen Eigenwerte sind mit (2n + 1) = λ, n ∈ N:
r
2E m
= 2n + 1
λ≡
~
k
r
r
k
k
1 h
1
1
~
hν
= n+
= n−
⇒ En = n +
2
m
2 2π m
2
mit ν: Schwingungsfrequenz des klassischen Oszillators.
Fazit:
7
1. Disktretes E- Spektrum: ∆E = hν (Plank → äquidistantes Spektrum)
2. Tiefste Energie 6= 0 ⇒ 21 hν → Nullpunktenergie
Bemerkungen:
1. Aus Symmetrie des Potentials fordern wir die Symmetrie der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!
|Ψ(x)|2 = |Ψ(−x)|2
Realisierung durch 2 verschiedene Typen von Wellenfunktionen:
a) symmetrische Wellenfunktion (Hn (x) n gerade):
Ψ(x) = Ψ(−x)
b) antisymmetische Wellenfunktion(Hn (x) n ungerade):
Ψ(−x) = −Ψ(x)
2. Wichtige Eigenschaften um Teilchen zu beschreiben:
Ψ antisymmetrisch → halbzahliger Spin (Fermionen)
Ψ symmetrisch → ganzzahliger Spin (Bosonen)
3. klassische Limiten QM (n gross) n → ∞
5.13
Reflexion und Transmission von Wellen (Teilchen)
Bisher haben wir die Schrödingergleichung für gebundene Teilchen gelöst. (E <
0) Sie ist auch anwendbar auf ungebundene Systeme (E > 0). Somit ist die
Berechnung der Wellenfunktion, der Energieeigenwerte und der Aufenthaltswahrscheinlichkeit p(x) möglich.
Beispiele:
1. Potentialstufe
Reflexion, Abklingen der Teilchenwelle
2. Potentialwall
TUNNELN, Amplitude wird kleiner
Anwendungen:
1. α-Zerfall bei der Radioaktivität
2. Rastertunnelmikroskop: (1986 NP)
Obwohl keine Berührung zwischen der Mikroskopspitze und den Atomen
vorliegt, wird eine Spannung aufgebaut. Für den Tunnelstrom gilt:
8
It = f (Ut )e−2κd ≈ f (VT )e−1,025
mit d: Messdistanz, Φ: Potentialhöhe.
Erkenntnis:
It ist extrem abhängig von d.
◦
∆d ≃ 1A ⇒ ∆It = 10
9
√
Φd
6
Atomphysik
Hier wird die Quantenmechanik auf atomare Systeme angewandt. 1926 betrachtete E.Schrödinger das H-Atom.
Bemerkung: Für das H-Atom sind die Lösungen exakt! Bei grösseren Atomen
(Mehrteilchensysteme) gibt es gute Näherungen!
6.1
Die dreidimensionale Schrödingergleichung
Die Welt ist dreidimensional. Somit folgt für die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
H Ψ = En Ψ
(3D − Hamilton)
~2 ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ
+ V Ψ = En Ψ
+
+
2m ∂x2
∂y 2
∂z 2
mit Ψ = Ψ(x, y, z) und V = V (x, y, z).
Beispiel: 3D-Kastenpotential (Würfel- oder Kastenpotential):
Es existieren drei unabhängige Raumbedingungen. Mit dem Ansatz:
Ψ(x, y, z) = Ψ1 (x) · Ψ2 (y) · Ψ3 (z)
folgt für die Lösung der Schrödingergleichung:
Ψ(x, y, z) = A · sin(k1 x) · sin(k2 y) · sin(k3 z)
mit
ki =
mi π
.
Li
~2 π 2
2m
Für die Energien gilt:
En1 ,n2 ,n3 =
n2
n2
n21
+ 22 + 32
2
L1 L2 L3
Das Tripel (n1 , n2 , n3 ) kann beliebige natürliche Zahlen annehmen, angefangen
bei (1,1,1).
Bemerkungen:
1. Im Würfelpotential liegt eine Entartung vor, so dass mehrere unterschiedliche Wellenfunktionen existieren.
2. Beim Kastenpotential ist die Entartung aufgehoben.
6.2
Die Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten
Oft ist es zwegmässig, ein Problem in Kugelkoordinaten zu rechnen und nicht
in kathesischen, falls das Potential radialsymmetrisch ist. Es liegt in diesem Fall
ein Zentralfeld vor.
Koordinatentransformation:
10
Übergang von den kathesischen Koordinaten (x,y,z) zu den Polarkoordinaten
(r, θ, ϕ). Hier ist θ der Polarwinkel und ϕ der Azimutalwinkel.
Betrachtung des Wertebereichs:
x, y, z ∈ [−∞, ∞]
und
r ∈ [0, ∞], θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].
Transformation:
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos ϕ
Es ergibt sich die zeitunabhängige Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten:
~2
1 ∂
1 ∂
1
∂
1 ∂2
2 ∂
r
+ 2
sin θ
+
·Ψ+V (r)·Ψ = E·Ψ
2m r2 ∂r
∂r
r
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
6.3
Lösung der Schrödingergleichung für Zentralfeldpotential
Man betrachte ein Zentralpotential V (r) für drei unabhängige Raumrichtungen
r, θ, ϕ.
Separationsansatz:
!
Ψ(r, θ, ϕ) = R(r) · Y (θ, ϕ) = R(r) · F (θ) · G(φ)
eingesetzt in die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
~2
∆R · Y + V · R · Y = E · Y · R
2m
Also:
1 ∂
~2
2 ∂
· Y (θ, ϕ) 2
r
R(r)
−
2m
r ∂r
∂r
~2
∂
∂
1
1
1 ∂
−
sin θ
+
Y (θ, ϕ)
R(r) 2
2m
r
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ 2 ϕ2
+V R(r)Y (θ, ϕ) − ER(r)Y (θ, ϕ) = 0
Durch Multiplikation mit
1
2m 2
r
2
~
R(r)y(θ, ϕ)
folgt:
1 d
−
R dr
r
2 dR
dr
2mr2
1
+ (V (r) − E) 2 =
~
Y
1 ∂
sin θ ∂θ
∂
1 ∂2
sinθ
+
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
Die linke Seite ist nur von r, die rechte nur von (θ, ϕ) abhängig, somit müssen
beide eine Konstante sein. Es resultieren
11
1. Radialgleichung:
~2 d
λ~2
2 dR(r)
−
r
+ V (r) +
R(r) = E · R(r)
2m dr
dr
2mr2
Die Differentialgleichung in R enthält V(r).
2. Winkelgleichung:
∂
1 ∂2
1 ∂
sin θ
+
·Y = −λ · Y
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
|
{z
}
Legendre-Operator
Mit dem Ansatz Y (θ, ϕ) = F (θ) · G(ϕ) ergibt sich:
∂F (θ)
1 ∂ 2 G(ϕ)
sin θ ∂
= m2 (const.)
sin θ
+ λ sin2 θ = −
F (θ) ∂θ
∂θ
G(ϕ) ∂ϕ2
(a) Polargleichung für F (θ):
d
dF (θ)
sin θ
sin θ
+ (λ sin2 θ − m2 )F (θ) = 0
dθ
dθ
(b) Azimutalgleichung für G(ϕ):
d2 G(ϕ)
+ m2 G(ϕ) = 0
dϕ2
A) Die Azimutalgleichung:
Gm (ϕ) = keimϕ ,
wobei k konstant ist. Aus der Eindeutigkeitsbedingung folgt:
Gm (ϕ) = g(ϕ − 2πm), m ∈ Z∗
Normierte Bedingung:
1
Gm (ϕ) = √ eimϕ
2π
B) Polargleichung (Herleitung relativ schwierig):
(sin θ)|m|
F (θ) =
2l · l!
d
d(cos θ)
l+|m|
· (cos2 θ − 1)l
Diese Polynome heißen auch assoziierte Legendre’sche Polynome, für m=0
einfach Legendre’sche Polynome und es gilt:
(a) λ = l(l + 1), l ∈ N
(b) |m| ≤ l
12
Beispiel:
l = 2 ⇒ m = −2, −1, 0, +1, +2
Zusammenfassung von Azimutal- und Polargleichung:
Y (θ, ϕ) = Flm (θ) · Gm (ϕ) = αlm · Flm (θ) · eimϕ
mit αlm als Normierungskonstante.
Diese berümten Funktionen heißen auch Kugelflächenfunktionen!
Als Eigenschaft der Kugelfunktionen Yem (θ, ϕ), Hermite Funktionen
Hn (x) und Legendre Funktionen Flm ist zu nennen, dass sie alle orthonormale Funktionen Funktionen sind!
Mathematische Bemerkung zu den Legendrefunktionen Fem (θ, ϕ):
Z
π
θ=0
Z
2π
ϕ=0
Ye∗1 m1 (θ, ϕ) · Ye2 m2 (θ, ϕ) · sin(θ)dθdϕ = δe1 ,e2 δm1 ,m2 s ,
wobei δ das Kronecker-Symbol ist.
C) Lösung der Radialgleichung:
~2 1 d
λ~2
2 dR(r)
−
r
+ V (r) +
R(r) = E · R(r)
2m r2 dr
dr
2mr2
Aus der Polargleichung folgt:
(a) λ = l(l + 1)
(b) Es ist folgende Substitution zweckmäßig:
U (r) = r · R(r)
also:
dR
d U (r)
d
1 dU
1
=
= (U (r) · r−1 ) =
− 2 U (r)
dr
dr r
dr
r dr
r
Durch Einsetzen erhält man das folgende Resultat:
~2 d2 U (r)
−
+ V (r) +
2m dr2
l(l + 1)~2
{z }
| 2mr
Zentrifugalpotential
U (r) = E · U (r)
Dies ist nichts anderes als eine eindimensionale Schrödingergleichung
von U (R). Der Zentrifugalterm ist ein neuer Term zur potentiellen Energie, der zeitunabhängig ist.
Klassischer Vergleich:
2
FZ = mv
r mit L = mvr
⇒ FZ
13
L2
mr3
Mit
FZ = − grad V (r) = −
und durch Integration resultiert
Z
Z
Z
dV = −FZ dr =
Vzklass.
dV (r)
dr
L2
dr
mr3
L2 1 r
L2
dV (r) =
=
=
(Erwartungswert)
2m r2 ∞ 2mr2
∞
Z
r
Nach dem zweiten Bohr’schen Postulat gilt:
L = n~ ⇒ L2 = n2 ~2 ≈ l(l + 1)~2
⇒ VZ (r) =
l(l + 1)~2
2mr2
Hier ist l die Bahndrehimpulsquantenzahl.
Für die Betrachtung des H-Atoms folgt nun:
V (r) =
1 e2 Z
4πε0 r
(Coulomb)
Dies ist die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom!
Allgemeine Lösung der Radialwellenfunktion:
Un,l (r)
r l
r
Rn,l (r) =
= cn,l
Ln,l
r
na0
a0
mit cn.l : Normierungsfaktor,
◦
2
~
a0 = 4πε0 me
2 = 0, 529A: Bohr’scher Radius,
L: (assozierte) Lagere’sche Polynome im Orthonormalsysten und
n: Hauptquantenzahl (l < n).
Man erhält folgende Energieeigenwerte:
En = −
1
4πε0
2
Z2
Z2
Z 2 e4 me
=
−E
·
=
−13,
6eV
·
0
2~2 n2
n2
n2
Bemerkungen:
(a) Vollständige Wellenfunktion des H-Atoms:
En
Ψn,l,m (r, θ, ϕ) = cn,l,m · Rn,l (r) · Fl,m (θ) · Gm (ϕ) · |e−i{z~ }t
| {z } | {z } |
{z
}
N orm.
Radial
Yl,m (θ,ϕ)W inkel
Zeit
(b) Quantenzahlen:
Hauptquantenzahl: n = 1, 2, 3, . . . (Energie)
Bahndrehimpulsquantenzahl: l = 0, 1, 2, . . . , (n − 1)
magnetische Quantenzahl: m = −l, . . . , 0, . . . , +l [(2l+1) Werte]
Chemie: (Schalenmodell) S:sharp P:prinziple D: diffuse F . . .
14
6.4
Der quantenmechanische Drehimpuls
klassische Definition:

 
 
 
Lx
ypz − zpy
px
x
~ = ~r × p~ =  y  ×  py  =  zpx − xpz  =  Ly 
L
Lz
xpy − ypx
pz
z

Übergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik:
p̂x = −i~
eingesetzt:
∂
,
∂x
p̂y = −i~
∂
,
∂y
p̂z = −i~
∂
∂z
∂
∂
L̂x = −i~ y
−z
∂z
∂y
∂
∂
L̂y = −i~ x
−z
∂z
∂x
∂
∂
−y
L̂z = −i~ x
∂y
∂x
Transformation in Kugelkoordinaten:
∂
∂
L̂x = −i~ sin ϕ
− cot θ cos ϕ
∂θ
∂ϕ
∂
∂
L̂y = −i~ cos ϕ
− cot θ sin ϕ
∂θ
∂ϕ
L̂z = −i~
∂
∂ϕ
⇒ L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z
Resultat:
∂
1 ∂2
1 d
(sin θ ) +
L̂ = ~
sin θ dθ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
|
{z
}
2
2
Legendre-Operator
L̂2
Yl,m (θ, ϕ) = l(l + 1) · Yl,m (θ, ϕ)
~2
L̂2 YL;M (θ, ϕ) = l(l + 1)~2 · Yl,m (θ, ϕ)
Fazit:
1. Yl,m (θ, ϕ) ist auch eine Eigenfunktion zu L̂2 .
2. beobachtbarer Eigenwert:
l(l + 1)~2 ⇔
15
L2
2m2
3. Der Drehimpuls ist quantisiert:
~ =
|L|
p
l(l + 1)~
Betrachte nun L̂z :
L̂z = −i~
∀ V (r)
∂
,
∂ϕ
angewendet auf
Gm (ϕ) = c · eimϕ ,
c = const.
ergibt die Eigenwertgleichung
L̂z · Gm (ϕ) = −i~(im)Gm (ϕ) = |{z}
m~ ·Gm (ϕ).
EW
Ferner gilt:
L̂z · Y,lm (θ, ϕ) = |{z}
m~ ·Yl,m (θ, ϕ)
EW
mit m~ als Eigenwert zu L̂z .
Graphische Darstellung:
l = 2 ⇒ m = −2, −1, 0, 1, 2
~ =
|L|
p
√
Bsp. p
l(l + 1)~ =
2(3)~ = 6~
mögliche Werte für Lz : −2~, −~, 0, ~, 2~
Bemerkungen:
~ kann nur ganz bestimmte Positionen einnehmen! (Raumquantisierung!)
1. L
~ kann nie in z-Richtung zeigen!!! (Konsequenz aus der Unschärferelation)
2. L
3. Lx , Ly angewendet auf Y ergibt keine Eigenwerte.
4. Wir stellen fest:
L̂2 , L̂z , Hˆ (für Zentralfelder) besitzen die gleichen Eigenfunktionen
Yl,m (θ, ϕ)!
Quantenmechanisch vertauschen die Operatoren!
[Hˆ , L̂z ] = Hˆ · L̂z − L̂z · Hˆ = 0̂ (Nulloperator)
Also sind alle Operatoren, die mit Hˆ vertauschen Erhaltungsgrößen!
6.5
Der Spin des Elektrons
Viele Emissionslinien sind Dubletts. Ein Beispiel ist die Hα -Linie aus der Bal◦
merserie mit λ = 6563A. In Wirklichkeit findet man ein Dublett mit
◦
∆λ = 0, 14A.
16
Die richtige Idee hatte 1925 Wolfgang Pauli: Er postulierte, dass das Elektron
vier Quantenzahlen hat! Die vierte Quantenzahl kann nur zwei Werte annehmen. Goudsmith und Uhlenbeck interpretierten die vierte Quantenzahl als
~
inneren Drehimpuls (Spin). Der Mathematische Formalismus ist analog zu L:
p
~ = s(s + 1)~
|S|
mit (2s + 1) Werten. Es muss s =
1
2
gelten.
Bemerkungen:
1. Der Spin kann als Operator S aufgefasst werden. Daraus folgt eine Eigenwertgleichung:
Ŝ 2 · χms = s(s + 1) · ~2 · χms
Ŝz · χms = ms · ~ · χms
2. Die Gesamtwellenfunktion des Elektrons im H-Atom:
Ψn,l,ml ,ms = cn,l,ml ,ms · Rn,l (r) · Yl,ml (θ, ϕ) · χms e−i
6.6
En
t
~
Das magnetische Moment des Elektrons
v 1
πr2 = qvr (nicht die reduzierte Masse!)
2πr
2
Mit dem Drehimpuls L = mvr folgt:
q ~
µ
~=
L
2m
|~
µ| = I · A = q
a) angewendet auf den Bahndrehimpuls l (für ein Elektron (q = −e)):
µL = −
~
L
e~ p
e p
l(l + 1)~ = −
l(l + 1) = −µB
2m
2m
~
|{z}
µB
mit µB als Bohr’sches Magneton.
Für die Masse des Elektrons gilt:
µlz −
e~
me = −µB me
2m
Dies ist richtig für den einfachsten Fall des einzeln rotierenden Teilchens. Für
die allgemeine rotierende Ladungsverteilung gilt ferner:
µl = −gL · µB
~|L|
~
gL : g-Faktor oder gyromagnetisches Verhältnis. (gLel. = 1)
b) angewendet auf den Spin (analog):
√
p
3
|~
µs | = µB s(s + 1) =
µB
2
17
1
µsz = −µB ms = ± µB
2
Diese Vorstellung ist falsch!
Richtig ist hier:
µsz = −gs µB
~|S|
⇒ gsel. = 2, 002319
~
aus der quantenmechanischen Elektrodynamik (Theorie von Dirac).
Betrachtung der Energien:
1.
~
~ = − −gL µB L
E = −~
µB
~
!
~
~
~ = gL µB |L| B
B
~
~
B-Feld
in z-Richtung:
E = gL · µB · ml · B
ml liefert (2l + 1) + 1 Werte im B-Feld.
→ ∆E = gL · µB · B = ~ω = hν
Die Frequenz wird auch Larmor-Frequenz genannt und fürht zur ElektronenSpin-Resonanz.
2. Die Energieaufspaltung (Aufhebung der Entartung) im äusseren
Magnetfeld (normaler Zeeman-Effekt!):
Interpretation mit dem Drehimpuls L ohne Spin:
Auswahlregeln für Energieübergänge, die zur Emission führen:
(a) ∆l = ±1
Beispiel: 2p → 2s
Der Grund ist, dass das Photon einen Drehimpuls 1 · ~ hat.
(b) ∆ml = ±1, 0
(+1): rechtspolarisiertes Photon (zirkulär)
(−1): linkspolarisiertes Photon
(0): linear polarisiertes Photon
Als Resultat erhält man drei Linien im äußeren Magnetfeld!
~ 6= 0. Dies
3. Experimentell beobachtet man oft mehr als drei Linien bei B
wird anomaler Zeeman-Effekt genannt. Der Spin des Elektrons ist:
µS = −gs µB
~|S|
~
Man berüchsichtige den Bahndrehimpuls des Elektrons:
E = −µs B
18
Addition zweier Drehimpulse (klassisch):
~ +S
~ = J,
~
L
J~ : totaler Drehimpuls
Umsetzung auf die Quantenmechanik mit Quantenzahlen:
p
~ = j(j + 1)1~
|J|
mit j = l + s, j = |l − s| und wird Spin-Bahn-Kopplung genannt!
Man betrachte die z-Komponente:
Jz = mj · ~,
mj = −j, (−j + 1), . . . , (j − 1), j
und:
µj = gj · µB
J~
~
gj ist der Landé’sche g-Faktor:
gi = 1 +
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
2j(j + 1)
Wegen
E = −~
µi B
sind die Energien hier verschieden.
4. Spin-Bahn-Kopplung und Feinstruktur (B
= 0):
1
Das Elektron mit Spinquantenzahl ms = ± 2 bewegt sich um den positiv geladenen Kern. Aus der Sicht des Elektrons bewegt sich der Kern
um das Elektron und erzeugt ein magnetisches Moment µ
~ parallel zum
~
Drehimpuls L, also:
~ L
~
B||
Somit koppelt der Spin des Elektrons mit dem Bahndrehimpuls!
~
E = −~
µ·B
Das Magnetfeld wird vom Drehimpuls erzeugt. Die Energie ist für µ
~ s anti~ groß, für µ
~ klein. Zusätzlich ist S
~ antiparallel
parallel zu B
~ s parallel zu B
~ B||
~ L
~ und klein, wenn S
~ antiparzu µ
~ s . Also ist die Energie groß, wenn S||
~
~
allel zu B||L.
Spektroskopische Notation:
allgemeine Notation für Einelektronenzustände:
n2s+1 lj
mit n: Hauptquantenzahl, s: Spin und l: S,P,D,... Der erste Faktor
wird auch oft weggelassen. Der Grundzustand des H-Atoms wird wie folgt
notiert:
19
a) n = 1, l = 0, s =
1
2
:
12 S 1
2
22 S 1 ,
b) n = 2, l = 0 ∨ 1, s = +1 ∨ −2 :
2
22 P 1 ,
2
22 P 3
2
Bemerkung:
H: Beim Wasserstoff ist der Kern ein Proton.
D: Beim Deuterium ist der Kern ein Proton und ein Neutron.
T: ...
Einführung der reduzierten Masse:
µ=
mel
mel Mk
=
el
mel + Mk
1+ m
Mk
En =
1 Z 2 e4 µ
4πε ~2 2n2
Mk ր⇒ µ ր⇒ En ր⇒ ν ր⇒ λ ց
6.7
Der Stern-Gerlach-Versuch
(Otto Stern und Walter Gerlach 1922)
Man betrachte einen Atomstrahl von neturalen Ag-Atomen in einem inhomogenen Magnetfeld zur Untersuchung der Raumquantisierung.
~ ⇒ F = − grad ·E = −∇ · E
E = −~
µB
Wenn das Magnetfeld nur in z-Richtung inhomogen ist, dann gilt für die Kraft:
Fz = µB
∂B
∂B
= mj · g · µB
∂z
∂z
Bemerkung: Ag-Atome sind Mehrteilchensysteme (47 e− ). 46, der Elektronen
bilden eine geschlossene Schale, so dass nur noch ein Elektron mit dem Spin 12
übrig bleibt.
~ = 0, S
~ = 1~
→L
2
6.8
Das Pauli-Prinzip
Im Normalfall ist das Elektron im Wasserstoffatom praktisch immer im Grundzustand. Was passiert nun bei Mehrelektronensystem? Die experimentellen Fakten sprechen dagegen, dass sich alle Elektronen auf dem gleichen Niveau ansiedeln.
Man betrachte zu Beispiel: Z=10 (Neon). Durch Übergang zu einem neuen
Element Z=11 (Natrium) zeigt sich, dass die chemischen Eigenschaften völlig
verschieden sind. Hier setzt nun das Pauli-Ausschlussprinzip (1925) ein:
In einem Atom dürfen keine zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen, die
zu seiner Zustandsbeschreibung notwendig sind, übereinstimmen.
20
Dies erklärt nun das bekannte Periodensystem der Elemente!
Beispiel: Im He-Atom befinden sich zwei unabhängige Elektronen:
n = 1, l = 0, ml = 0, ms = ±
1
2
1
1
(n, l, ml , ms ) = (1, 0, 0, ) ∨ (1, 0, 0, − )
2
2
Das Problem bei einem Mehrteilchensystem ist, dass die Energieeigenwerte
und Wellenfunktion nicht mehr exakt lösbar sind! (Vergleiche hierzu ein
mechanisches 3-Körperproblem.)
Die Folge ist eine Elektronen-Elektronen-Wechselwirkung!
Wir betrachten ein einfaches Mehrelektronensystem, das He-Atom mit zwei
unabhängigen Elektronen. Zwischen dem zweimal positiv geladenen Atomkern
und den beiden Elektronen wirken zwar Kräfte, zur Vereinfachung aber nicht
zwischen den beiden Elektronen.
Man betrachte zwei Zustände:
a) (n,l,m) und
b) (n’,l’,m’).
Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit des Elektrons A im Zustand a und!
Elektron B im Zustand b:
Pa (1) · Rb (2) = Patom (1, 2) = |Ψatom (1, 2)|2
⇒ Ψatom (1, 2) = Ψa (1) · Ψb (2),
aufgrund der Unabhängigkeit der Elektronen.
Wir betrachten nun den Austausch der Teilchen: 1 ←→ 2. und fordern den
gleichen Zustand und Energie des Atoms vor und nach dem Austausch! Dies
bedeutet aber, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung invariant gegenüber dem
Austausch sein muss! Dies wird auch Austauschentartung genannt!
Ψ′atom (1, 2) = Ψa (2) · Ψb (1)
Somit sind die Wellenfunktionen vor und nach dem Austausch nicht gleich.
Wie könnte also ein solcher Austausch aussehen?
Ψ±
atom (1, 2) = (Ψa (1) · Ψb (2) ± Ψa (2) · Ψb (1)) · n,
mit n = √12 als Normierungsfaktor.
also folgt:
|Ψatom (1, 2)|2 =
|Ψa (1)|2 · |Ψb (2)|2 ± 2 · Ψa (1)Ψb (2)Ψa (2)Ψb (1) + |Ψa (2)|2 · |Ψa (1)|2 · |{z}
n2
1
2
Bemerkungen:
1. Die beiden Funktionen Ψ±
atom (1, 2) erfüllen die Invarianzforderung!
2. Die Funktion Ψ±
atom heißt orbitale Wellenfunktion.
+
3. Ψ+
atom (1, 2) = Ψatom (2, 1) symmetrisch bezüglich des Elektronenaustauschs.
21
+
4. Ψ−
atom (1, 2) = −Ψatom (1, 2) antisymmetrisch bezüglich des Elektronenaustauschs.
5. Man überführe den Zustand b in den Zustand a:
1
Ψ−
atom (1, 2) = 0 Fermionen (Spin- 2 -Teilchen)
+
2
2
Ψatom (1, 2) = 2|Ψa (1)| · Ψb (2)| Bosonen (Spin-1-Teilchen)
⇒a=b
6. Dies ist das eigentliche Pauliprinzip!
7. Diese Betrachtung ist unabhängig von der ursprünglichen Randbedingung
der unabhängigen Elektronen.
8. Unter Miteinbezug des Elektronenspins folgt:
Ψtotal
atom = Ψatom · χs
mit χs als Spinwellenfunktion.
für das Fermionen:
Ψ−,total
atom
6.9
=
−
Ψ+
atom χs
−
+
Ψatom χs
Emission und Absorption
Wir nehmen uns ein einfaches Atom mit zwei Energieniveaus (E1 , E2 ). Im einen
Fall des Energiewechsels liegt eine Absorption (bei Anregung) und im anderen
Fall eine Emission vor. Für die entsprechenden Atombesetzungszahlen N1 , N2
muss stets gelten: E2 > E1 .
Einstein unterschied 1917 zwei Fälle von Emission!
1. spontane Emission: Dies ist eine zufällige Deaktivierung des Atoms
(Lebensdauer im Bereich 10−8 s) und ist vollkommen inkohärent!
2. induzierte Emission: Die Deaktivierung wird durch ein externes Photon
mit der Energie E2 − E1 induziert!
Das Resultat ist, dass die Deaktivierung des Atoms durch Photonen gleicher
Richtung, gleicher Energie und gleicher Phasenlage erfolgt. Dieses Prinzip wird
auch Kohärenz genannt.
Einstein wollte nun die Übergangswahrscheinlichkeit mathematisch formulieren:
Für die Absorbtion von den ersten in den zweiten Zutand führte er die Größe
B12 · u(ν) ein, für die spontane Emission (2 → 1) A21 und für die induzierte
Emission (2 → 1) B21 · u(ν). Diese Koeffizienten werden auch Einsteinkoeffizienten genannt. u(ν) ist die Energiedichte pro Frequenzeinheit und heisst
spezielle Energiedichte.
22
Im thermischen Gleichgewicht sind die Absorptionsereignisse (in dt) gleich
den Emissionsereignissen (in dt):
B12 · u(ν) · N1 · dt = N2 · A21 · dt + N2 · B21 · u(ν) · dt
N1 · B12 · u(ν) = N2 (A21 + B21 u(ν))
N1
B12
· u(ν) = A21 + B21 · u(ν)
N2
Nach der Bolzmannstatistik gilt:
N2
− ~ν
− ∆E
= e kB T = e kB T
N1
− k~νT
B12 · e
B
· u(ν) = A21 + B21 · u(ν)
⇒ u(ν) =
A21
− k~νT
B12 · e
B
− B21
Einsteins Forderung war, dass das Ergebnis im klassischen Grenzfall korespon= x ց 0,
diert, d.h. T ր ∞ ⇒ khν
BT
also sollte u(ν) dem Rayleigh-Jeans-Gesetz (UV) entsprechen:
u(ν, T ) =
8π · ν 2
· kB T
c3
mit kleinem x gilt:
ex = 1 + x + x2 + . . . ≈ 1 + x
A21
A12
.
=
⇒ u(ν) =
−
B
B12 + B12 khν
21
−
B
B12 1 + khν
T
21
B
BT
Dies ist nur erfüllt, wenn B12 = B21 , also:
A21 kB T
8π · ν 2
=
· kB T
B12 hν
c3
u(ν) =
⇒
A21
8πhν 3
A21
=
=
B12
B21
c3
eingesetzt, ergibt:
⇒ u(ν, T ) =
Bemerkungen:
A21
=
~ν
B12 · e kB T − B21
A21
B21
~ν
e kB T − 1
=
8πhν 3
1
~ν
3
c
e kB T − 1
1. Die Quantenmechanik ist konsistent!
2.
A21
∼ ν 3 ∼ ∆E 3
B21
Dabei ist es das Verhältnis zwischen spontantem Emission und induzierter
Emission.
Fazit: je grösser ∆E ist, desto mehr spontane Emission liegt vor.
3. Im Normalfall (T=300 K) liegt stets eine spontane Emission vor.
→
hν
≈ 1 ⇒ hν = kB T ⇒ ν ∼ 1012 Hz → λ ∼ µm(M ikrowellen)
kB T
23
6.10
Maser und Laser
Abkürzungen:
MASER: Microvwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation
LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Die Wirkungsweise ist unmittelbar klar, wenn man Stimulated Emission of Radiation kennt.
Wichtige Randbedingungen:
Die Besetzungsinversion steht im Widerspruch zur Bolzmannstatistik. Jedoch ist es möglich, ein solches System für nur kurze Zeit zu generieren, also
im Nichtgleichgewicht. Der entsprechende Fachausdruck ist optisches Pumpen. Es wird hierbei ein metastabiler Zustand benötigt, im Bereich τ =
10−3 − 10−4 s. Die erste Anwendung dieses Prinzips machte 1960 Th. Mainman:
Ein Rubin-Kristall wird durch Al2 O3 verunreinigt (∼ 0, 05% Cr) und verursacht
Absorptionsbanden.
Betrachtung von Energieniveauschema:
Es seinen E1 der Grundzustand und E3 der angeregte Zustand. Durch die
Pumpstrahlung wird das Elektron von E1 nach E3 angeregt. Danach fällt es
ohne Strahlung in den Energiezustand E2 zurück. Dort sammeln sich die Elektronen an, bis sie gemeinsam in den Grundzustand E1 zurückfallen und dabei
eine Energie (6943nm) emittieren.
optische Resonator:
Ein Kristallstab ist als Resonator ausgelegt, d.h. L = n λ2 . Die Enden sind teilweise verspiegelt: Ende 1: 99,99% und Ende 2: 99%.
Verschiedene Lasersysteme:
1. Gaslaser (He-Ne)
2. Halbleiterlaser (GaAs-AlGaAs-GaAs)
Sie unterscheiden sich in der Tatsache, ob sie gepulst oder ein CW-Stystem
(Continous Wave) sind.
6.11
Statistische Physik - Einige Betrachtungen
Wir haben bisher einige statistische Phänomene kennenglernt:
1. Boltzmann-Verteilung:
− k ET
fB (E) = A · e
B
mit A: Normierungskonstante. Dies ist die grundlegende Verteilungsfunktion der statistischen Physik.
Ein Beispiel:
N2
− ∆E
= e kB T
N1
24
2. Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung: (Maxwell-Boltzmann)
E
− k kin
T
n(ν) = cosnt(T ) · v 2 · e
B
3. Wärmekapazität - spezifische Wärme fur einen Festkörper:
∂U
Cv =
∂T v
für N Atome im Festkörper! klassisch gilt:
1
1
1
1
1
1
E = mvx2 + mvy2 + mvz2 + kx2 + ky 2 + f kz 2
2 {z
2 } |2
2 {z
2 }
|2
Ekin
Epot
Somit haben wir 6 Freiheitsgrade, im Festkörper 6N.
kB T
(Äquvipartitionsprinzip)
2
J
kB
∂U
= 6N
= 3R = 24, 9
→ Cv =
∂T v
2
K · mol
u = 6N ·
Dies ist nun nicht mehr abängig von der Temperatur.
Jedoch ist experimentell eine starke Abweichung von diesem theoretischen Ergebnis bei T → 0 beobachtbar. Nun hatte Einstein den Ansatz, den Festkörper
als Ansammlung von Oszilatoren zu behandeln, die (der Einfachheit halber) alle
mit der Frequenz ν0 schwingen. Hier gilt für die Energie
E = hν0 n (quantisiert)
hν0
U (F K) = 3N < Eosz >= 3N
e
hν0
kB T
Man erhält das Ergebnis:
CV =
∂k
d
= 3N hν
∂T
dT
−1
hν
−1
0
e kB T − 1
= 3R
mit
x=
x2 ex
− 1)2
(ex
hν0
.
kB T
Betrachte man nun das Verhalten bei Extremwerten:
T →∞:
x2 (1 + x)
= 3R(1 + x) = 3R
lim 3R
T →∞,x→0
x2
T → 0:
lim
T →0,x→∞
3R
x2 ex
= 3Rx2 e−x
e2x
Spätere Verbesserung:
Experimentell wurde ein T 3 -Verhalten bei tiefen Temperaturen gefunden. Der
25
Ansatz von Debye war eine sogenannte Zustandsdichte D(ν) für die Gitterstäbe.
ν gegen D(ν) aufgetragen, zeigt in dieser Theorie eine stetige Verteilung um ν0
herum.
Es muss das folgende Integral gelöst werden:
Z νD
D(r) < Eosz (ν, T ) > dr
U=
0
Das Resultat ist wie folgt:
Cv (x) = gR
mit
θd =
hνD
kB
T
θD
3 Z
θD
T
0
ex x4
dx
(ex − 1)2
(Debye-Temperatur)
spezifische Wärme im zweiatomaren Gas (N2 , O2 , . . .)
Man hat drei Freiheitsgrade für die Translation, zwei für die Rotation und
zwei für die Vibration (Phase, Gegenphase).
Die Energie ist beschrieben durch:
U =N
6.12
kb T
dU
N kB
N
⇒ Cv =
=
= R
2
dT
2
2
Bindungen zwischen Atomen
Isolierte Atome kommen in der Natur nur sehr selten vor. Normalerweise verbinden sie sich mit gleichen oder anderen Atomen. Dadurch entstehen Moleküle
oder Festkörper. Nun gibt es folgende Bindungstypen:
6.12.1
Ionische Bindung (heteropolare Bindung)
Ein Beispiel ist (NaCl, Kochsalz). Betrachte man nun den Atomaufbau:
[1s2 2s2 p6 3s1 ]
Es befindet sich nur ein einzelnes Elektron in der äußeren Schale. In einer niedrigen Ionisierungsenergie von 5, 14 eV wäre die äußere Schale abgeschlossen.
Bei dem Clor gilt die folgende Konfiguration:
[1s2 2s2 p6 3s2 3p5 ]
Somit fehlt ein Elektron in der äußeren Schale. Die Elektronenaffinität liegt
hier bei 3, 61eV . Dies ist die Energie, die freigegeben wird, wenn ein Elektron in
die Schale eingebaut wird. Im Fall eines grösseren Abstands zwischen einem Na
und einem Cl muss die Energie 5, 14eV − 3, 61eV = 1, 53eV zugeführt werden,
um ein Elektron vom Natrium zum Chlor zu überführen.
Der Grund für die darauf folgende, feste Bindung ist die Coulombenergie
1 e2
4πε0 r (Potentialtopf ).
Für r < 0, 94nm ist die Gesamtenergie kleiner 0. Die Abstoßung erklärt das
Pauli-Prinzip, dass in einem beiliebigen Zustand nur ein Elektron sein darf.
Die Überlapung der Elektronenhüllen wird somit verhindert.
Aus dem Potentialverlauf für Natriumchlorid lässt sich ein Gleichgewichtsabstand von r0 = 0, 236 nm herleiten. Im Kristall liegt der Abstand bei
r0 = 0, 28nm.
26
6.12.2
Kovalente Bindung (homöopolare Bindung)
Dieser Bindungstyp tritt bei identischen Atomen oder Atomen mit ähnlichen
Elektronenaffinitäten auf. Als Beispiel sei hier das Wasserstoffmolekül bzw. das
Wasserstoff-Ion (H2+ ) erwähnt.
Man verfolge folgenden Ansatz:
Es befinden sich zwei Protonen im Abstand R voneinander. Die potentielle
Energie eines Elektrons ist gegeben durch
e2
1
1
V =
.
+
4πε0 rA rB
Born-Oppenheihmer-Näherung
Schwere Kerne bewegen sich langsam im Vergleich zu den Elektronen. Es folgt
für die Schrödingergleichung:
−
~2 2
∇ Ψ + V = EΨ
2me
Die Lösungen von Ψ stellen nun die Molekülorbitale dar, |Ψ|2 liefert die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen.
Bemerkung: Befindet sich das Elektron nahe bei dem Atomkern A, so folgt
(für den Atomkern B analog):
1
1
e2 1
≫
⇒V =−
rA
rB
4πε0 rA
Dies ist die Schrödingergleichung eines H-Atoms. Die Lösungen der niedrigsten
Energie ist das 1S-Orbital.
Mit dem Ansatz, dass die gemischte Wellenfunktion Ψ die Linearkombination
der Atomorbitalen (1S) ist, gilt:
Ψ = 1SA + 1SB
Dieser Ansatz wird auch LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals) genannt.
Betrachtung der Wahrscheinlichkeitssdichte:
|Ψ|2 = Ψ∗ Ψ = (1SA + 1SB )2 = (1SA )2 + (1SB )2 + 2(1SA )(1SB )
Der Term 2(1SA )(1SB ) erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Elektron
zwischen den Kernen aufhält.
Zusammenfassend gilt:
Ψ = 1SA + 1SB = σ
(bindend)
Analog gilt:
Ψ = 1SA − 1SB = σ ∗
(antibindend)
⇒ |Ψ|2 = Ψ∗ Ψ = (1SA − 1SB )2 = (1SA )2 + (1SB )2 − 2(1SA )(1SB )
Betrachte man zum Beispiel den Wasserstoff :
Jedes Wasserstoffatom trägt ein 1S-Orbital bei. (σ, σ ∗ ) Für einen bestimmten
Kernabstand erhält man eine Aufsplittung der Energie (Graphik).
27
7
Festkörperphysik
Anwendungen der Festkörperphysik sind Kristallographie, Halbleiterphysik, Laser, Ingenieurwesen, Magnetismus, etc.
Man unterscheidet zwischen 3 / 5 Agregatszuständen:
1. Fest
2. Flüssig
3. Gasförmig
4. Plasma
5. Bose-Einstein-Kondensat
Hier ist das Verhältnis zwischen kinetischer und potentieller Energie ausschlaggebend. Man betrachtet Bindungen und Wechselwirkungen (kurzfristig/langfristig)
zwischen den Atomen: Ion, Kovalent, metallisch, ...¸¸ Man unterscheidet Festkörpertypen:
1. Kristall:
Die Atome besitzen eine periodische, langreichweitige Anordnung, sowohl
Nah-, als auch Fernordnung. Die Symmetrien sind stets 2,3,4,6-zählig.
2. Glas:
Das Glas besitzt nur eine Nahordnung.
3. Quasikristall:
Dies ist ein perfekter, ungeordneter Kristall. Im Gegensatz zu den Kristallen besitzt der Quasikristall nur die Symmetrie 5 und 10.
Beispiele:
1. Perfekte Kristalle und Kristallgitter:
NaCL, Silizium, Kohlenstoff
→ 14 Bravovis-Gitter Kubische Metalle:
FCC: Face Centered Cubic
BCC: Body Centered Cubic
2. Glas: durchsichtiger Isolator:
Fensterglas SiO2
opak,leitend to metallisches Glas (nicht durchsichtig):
Zr65 Al7,5 Cu17,5 N i10
Herstellung durch Abschreckung: Abschreckungsraten von 106 Ks . Dieses
Verfahren wird auch splat cooling genannt.
3. Quasikristalle:
Al72 N i12 Co16 (Legierungen)
28
7.1
Die klassische Theorie der Elektrischen Leitung
Paul Drude (1903/1905) behandelte den Festkörper als Gitter von positiv geladenen Ionen und frei beweglichen Elektronen.
Man wende hier die Maxwell-Bolzmannverteilung für die Geschwindigkeiten an:
r
8kB T
m
< v >=
= 105
πme
s
Aufgrund von Elektronenstößen müssen folgende Grössen unterschieden werden:
1. mittlere freie Weglänge: s0
2. Driftgeschwindigkeit: vD
vD =
hier ist
S0
<v>
~
−e| · E|
S0
·
me
<v>
die mittlere Stroßzeit.
Stromdichte:
I
= n(−e) · vD
A
e
n(cu) = 8 · 1022 3 ⇒ vD ≈ 100µm/s
cm
~ S0
(−e)|E|
I = A · j = A · n · (−e) · VD = An(−e)
me < v >
mit dem Ohm’schen Gesetz folgt:
j=
I=
~
U
|E|L
= L
R
̺A
insgesammt folgt also der spezifische Widerstand:
̺=
und die spezifische Leitfähigkeit
me · < v >
n · e2 · S0
σ=
7.2
1
̺
Das Elektronengasmodell mit freien Elektronen
Man betrachte den quantenmechanischen eindimensionalen Potentialtopf. Dieser lange dünne Draht ist nun mit N Elektronen gefüllt. Es gilt für die Zustandsenergien:
n2 h2
= n 2 · E1
En =
8mL2
Man fülle den Topf mit N-Elektronen. So definiere man die Energie des letzten
besetzten Zustands als Fermienergie EF (Enrico Fermi):
2
N 2
· h2
h2
N
2
=
EF = E N =
2
8mL2
32m L
29
mit n als Elektronendichte.
Beispiel: Cu-Draht:
h2
e
· 8 · 1022 3 = 1, 82 eV
32m
cm
Graphisch erhält man quasikontinuierliche Energiespektren, die Abstände zwischen den Energienieveaus sind sehr klein.
Man berechne nun eine Zustandsdichte der Elektronen im eindimensionalen
Fall:
Die Anzahl der Zustände E und E +dE, geteilt durch dE multipliziert
mit 2 (wegen Spin):
EF =
dn
dE
· 2 mit E = E1 · n2
= 2 · n · E1
dE
dn
1/2
E
n=
En
dn
h
−1/2
· E −1/2 = const · E −1/2
D(E) = 2
= E1
· E −1/2 = √
dE
L 8mL
Die elektronische Zustandsdichte für den dreidimensionalen Fall:
3D-Kastenpotential oder Berechnung der freien Hohlraumschwingungen.
D(E) =
8π · ν 2
c3
Man erhält als Resultat:
n(ν) =
mit
1
D(E) = 2
2π
2m
~
k=
3
2
2π
~2 · k
⇒ Ekin =
λ
2m
1
1
· E 2 = konst · E 2
Die mittlere Energie eines Elektrons im Festkörper (MFE) ist:
Z
1 EF
< E >=
E · D(E)dE
N 0
⇒< E >=
3
· EF
5
Elektronen sind Fermiteilchen (Spin 21 ) und gehorchen nicht der BoltzmannStatistik, sondern der Fermi-Dirac-Statistik!
1
fF D (E) =
e
E−EF
kB T
±1
• (+) Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion
• (−) Bose-Einstein-Verteilungsfunktion (Spin 1: Photon, Phononen)
graphik;
Bestezten Zustände im Festkörper (MFE):
n(E) = D(E) · fF D (E)
graphik;
Bemerkungen:
30
1. Ein Metall bei Raumtemperatur (300K) befindet sich in guter Näherung
im Grundzustand. Man erhält also hier eine scharfe Fermikante.
2. Beispiele: EF (Cu) = 7, 04eV , EF (Ag) = 5, 51eV , EF (Al) = 11, 9eV
3. Fermitemperatur:
EF = kB · T
⇒ TF =
7.3
EF
kB
Das elektronische Bändermodell
Was ist Konsequenzen beim Zusammenfügen von Atomen hinsichtlich der atomaren, diskreten Energieniveaus? Diese Information ist nicht im Modell der
freien Elektronen enthalten!
Das Energiespektrum spaltet sich in sogenannte Bänder auf. Sie sind für die
Elektronen die erlaubten Zonen, die verbotenen Zonen sind die Zwischenräume.
Man unterscheidet zwischen:
• Metalle/Leiter
• Metalle/Halbleiter
• Isolatoren/Nichtleiter
Folgendes Unterscheidungskriterium ist von zentraler Frage:
Es existieren knapp oberhalb von EF freie, unbesetzte Zustände!
Man vergleich dies mit der thermischen Energie: kB · T ≈ 0, 026 eV .
Ein wichtiges Kriterium ist die Energielücke (Bandgap).
Halbleiter
Si
Ge ZnS CdSe GaAs
Eg [eV ]300K 1,11 0,67 3,54 1,74
1,93
Bemerkungen:
1. Interessante Eigenschaft:
Es existiert eine Temperaturabhängigkeit von σ, ̺
1
n · e2 · S0
σ ∼ n, ̺ ∼
n
me < v >
(a) Leiter /Metalle:
Streung an Phononen ⇒ Kaltleiter
̺∼
1
∼T
n
graphik;
(b) Halbleiter
Eq
σ ∼ n ∼ exp −
2kB T
graphik; ⇒ Heissleiter
31
2. Die Leitfähigkeit hängt stark von der Struktur des Festkörpers (Aggregatzustand) ab! Flüssiges Silizium und flüssiges Germanium sind z.B. gute
Leiter!
3. Die eigentliche Relevanz der Halbleiter liegt aber auf einem anderen Gebiet:
Die Leitfähigkeit ist nämlich durch eine geziehlte Verunreihnigung
(Dotierung) steuerbar.
Es gibt verschiedene Typen:
(a) Intinsischen Halbleiter (reine Halbleiter-Materie)
(b) Extrischen (dotiert)
7.4
Dotierte Halbleiter
Eine Dotierung ist eine gezielte Verunreinigung des Halbleiters. wird durch Ionenbeschuss oder Ionenimplantation durchgeführt. Alternativ ist es auch durch
Diffusion möglich.
Man unterscheidet zwischen
1. n-Halbleitern
2. p-Halbleitern
Das Silizium besitzt 4 Valenzelektronen. In 1) ist ein As (5 Valenzelektronen)
von Silizium umschlossen, in 2) ein Ga (3 Valenzelektronen). Man erhält also
im Fall 1) ein zusätzliches Elektron (Donor), im Fall 2) eine Elektronenfehlstelle (Akzeptor).
Energieniveauschema:
graphik;
1. Man erhält ein besetztes Valenzband, und ein leeres Leitungsband. Knapp
unterhalb der Kante des Leitungsbands liegt das durch Elektronen besetzte Donorniveau. Die dort liegende Elektronen können zum Übergang ins
Leitungsband angeregt werden. (Beispiel: As, P)
2. Hier liegt knapp oberhalb des besetzten Valenzbands ein Elektronenniveau, dass jedoch nicht besetzt ist. Aus dem Valenzband können nun
Elektronen zum Übergang in dieses Band angeregt werden.
Man unterscheidet weiterhin die Majoritätsladungsträger. Dies sind im Fall
1. die Elektron
2. die Löcher
Bemerkungen:
1. Das Kriterium für die Leitfähigkeit eines Halbleiters ist die Dichte der
Majoritätsladungsträger.
2. Messung von n(E) über den Hallefekt (Physik II, klassisch):
32
RH =
UH
1
B
=
·
I
n·q d
3. Quantenhalleffekt (v. Klitzing (1981)⇒PTB) Klassisch erwartet man
bei der graphischen Darstellung von B gegen RH eine Gerade mit der
1
Steigung n·q·d
. Experimentell erhällt man entsprechend Platous.
RQHE =
Rk
h
= 2 (≈ 25813Ω)
i
e ·i
Bei einem 2D-Elektronengas in einem großen magnetischen Feld (GaAs)
ändert sich die Bandstruktur. (Landau- Niveaus!)
4. Bei intrinsischen Halbleiter:
n(−) = n(+)
Bei extrinsischen Halbleiter:
n(−) 6= n(+)
5. Anwendungen:
(a) Sensorik: Extrem gute Tieftemperaturthermometer
(b) Halbleiter-Bauelemente: pn-Übergänge, Diode, Transistor
7.5
Halbleiterübergänge und Halbleiterbauelemente
Ein Halbleiterbauelement ist ein Hybrit aus einem p-HL und einem nHL. Bei dem p-HL hat man positive Ladungen als Majoritätsladungsträger,
bei n-HL entsprechend negative. Durch Diffusion stauen sich Ladungen in der
Mitte an, so dass eine Ladungsdoppelschicht entsteht. Diesem Effekt wirkt ein
elektrisches Potential entgegen, so dass ein Gleichgewicht entsteht. Die Potentialdifferenz entspircht einer Spannung.
Betrachtet man nun das Energieschema, so stellt sich ein stetiger Energieübergang ein.
Die Energiedifferenz des p-HL ist ∆Ey und die des n-HL ∆Ey′ .
Als einfachste Konfiguration erhält man die Diode:
Der Strom wird gleichgerichtet. In der Durchlassrichtung liegt der positive
Pol am p-HL und der negative am n-HL, in Sperrichtung entsprechend umgekehrt.
Mathematische Formulierung:
e·U
I(U ) = I0 e KB T − 1
Anwendungen:
1. Solarzelle (hν → e/(+)-Paar erzeugen!)(nachlesen)
2. Leuchtdiode/Photodiode
33
3. Transistor:
n-p-n-System oder p-n-p-System mit drei Anschlüssen:
Kollektor, Basis und Emitter. Man kann mit dem Transistor Strom- und
Spannungen verstärken. (Faktor: 108 − 1012 )
7.6
Supraleitung
1911 entdeckte H. Kamerlingh-Onnes die Supraleitung, indem er Quecksilber
auf 4,2 K abkülte. Bei dieser kritischen Temperatur geht der Widerstand gegen
null.
Bei einem Nicht-Supraleiter (z.B. Gold) konvergiert der Widerstand bei niedriger Temperatur gegen einen konkreten Widerstand.
Das Resultat ist ein verlustfreier Transport von Ladung!
• Es existieren 27 metallische Elemente: P b, T i, V, Hg, . . .
• Unter Druck werden auch Si und Ge zu Halbleitern.
• Weiterhin haben viele Legierungen N bN, N b3 Ge, Rb3 C6 0, C6 Li supraleitende Eigenschaften.
• Bei einigen kuriosen Verbindungen Er, Rh, B werden diese bei einer
bestimmten Temperatur zu Supraleitern, kühlt man sie noch weiter ab,
so werden sie wieder zu normalen Leitern.
Das wichtigste Kriterium für Supraleitung ist die kritische Temperatur:
Material
TC [K]
Al
1,175
Hg
4,2
Pb
7,2
N b3 Ge
23,2
La2 CuO4
34
y1 Ba2 Cu3 O7
92
Die Supraleitung hängt extrem von der Anwesenheit von Magnetfeldern ab,
das bis zur Zerstörung der Supraleitung führen kann. Man kann ein kritisches
Feld Hc (T ) definieren, unter der die Probe nicht mehr supraleitend ist:
Hc (T ) ∼
=1−
Hc (0)
T
Tc
2
(BCS-Theorie)
1937 wurde der Meissner-Ochsenfeld-Effekt entdeckt:
Es existiert eine Verdrängung des magnetischen Feldes auf dem Supraleiter.
Analog zur Lenzschen Regel werden Kreisströme an der Oberfläche in einer
Oberflächenschicht von 10nm induziert (London’sche Eindringtiefe λL ). Ein
Supraleiter ist ein idealer Diamagnet.
Man unterscheidet die Supraleiter mit der Kohärenzlänge ξ0 zwischen
• Typ I (elementares System)
ξ0 > λL
• Typ II (Legierungen)
ξ0 < λL
34
Der magnetische Fluss dringt in den Supraleiter ein:
Dies geschieht durch sogenannte Vortices, Wirbel, oder auch Flussschläuche.
Innerhalb der Flussschläuche ist Supraleiter normal leitend, außerhalb bleibt
die Supraleitung erhalten. Man erhält in den meisten Fällen analog zur Kristallstruktur eine hexagonale Anordnung. (andernfalls ungeordnet) Durch
Erhöhung der magnetischen Flussdichte steigt auch die Dichte dieser Flussschläuche.
Der magnetische Fluss ist quantisiert:
φmag = n ·
h
≈ n · 2, 067 · 10−15 W b n ∈ N
2e
Die Ursache der Supraleitung wurde von (1957) untersucht:
Bardeen, Cooper, Shrieffer (BCS-Theorie) NP: 1972
Es existiert eine Wecheselwirkung zwischen Elektronen und Photonen. Man
führe ein neues Teilchen (Quasiteilchen) ein, das Cooper-Paar. Das CooperPaar besteht aus zwei Elektronen mit entgegengesetzten Spin und Impuls
gekoppelt durch eine Gitterschwingung (Phonon, entspricht einer Deformation
des Gitters). Das Resultat ist ein Teilchen mit einer Ladung 2e und einem inneren Drehimpuls Spin = 0. Dies nun ist eine Art Boson und muss nun nicht
mehr dem Pauli-Ausschlussprinzip folgen.
Die Ausdehnung des Cooperpaars ist beschrieben durch die Kohärenzlänge
ξ0 .
Als Konsequenz entsteht eine Energielücke. Unterhalb der Energielücke befinden sich die Cooper-Paare, darüber liegen ungepaarte Elektronen vor.
Aus der BCS-Theorie folgt:
2∆E
= 3, 5
kB TC
graphik;
Beispiele:
1. Hg : TC = 42K
2 · ∆E = 1, 2meV
2. N b3 Ge : TC = 23, 2K
3. Y B(0) : TC = 92K
2 · ∆E = 7meV
2 · ∆E = 28meV
T-Abhängigkeit von 2∆E
graphik;
∆(T )
=
∆(T = 0)
Bemerkungen:
1
T 2
1−
· 1, 74
TC
1. ξ0 = 100 − 1000nm
2. Mit Tunnelbarierenexperimente lässt sich ∆E messen:
Man nehme zwei Normalleiter mit einem Abstand von 1 nm voneinander.
Dazwischen liegt eine Oxidbarriere (Al2 O3 ). Klassisch darf kein Strom fließen, quantenmechanisch können die Elektronen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere durchtunneln.
Tausche man nun einen Leiter durch einen Supraleiter aus, so erhält man
als Resultat wieder eine Energielücke (graphik).
35
3. Tunnelexperimente zwischen zwei Supraleitern: (Brian Josephson - NP
1973)
(a) Tunneln von Cooperpaaren:
Ein Strom fliesst, obwohl noch gar keine Spannung anliegt!
(b) Beim Anlegen einer Gleichspannung erhält man einen Wechselstrom
am Tunnelkontakt.
2 · e · UDC
f=
h
Dies ist ein Spannungsstandard (PTB).
(c) Mit einem Squid lassen sich kleinste magnetische Ströme messen.
36
8
Kernphysik
8.0.1
Der Atomkern
• Die Grösse des Atomkerns liegt bei etwa 10−15 m = 1f m = 1 FERMI.
• Die Ladung ist positiv.
• Es gibt eine Wechselwirkung zwischen Elektronen und Atomkern (Coulomb).
• Die Masse des Kerns ist viel größer als die des Elektrons.
• Das Elektron befindet sich aufgrund des Unschärfeprinzips nicht im Kern.
Der Kern besteht aus Protonen und Neutronen (Nukleonen). 1920 postulierte Rutherford die Existenz der Neutronen, die Chadwick 1932 entdeckte.
Das Bohr’sches Magneton ist beschrieben durch
µB =
e·~
2me
µk =
e·~
2mp
Kernmagnet:
Wir führen die folgenden Grössen ein:
• Massenzahl A, A = Z + N
• Ordnungszahl Z, Anzahl Protonen
• Neutronenzahl N, Anzahl Neutronen
Notation:
A
Z XN
Z und N werden oft weggelassen, da sie sich aus den anderen ergeben.
Beispiel:
35
17 Cl18
Nuklid: bestimmte Kernart mit gleicher Eigenschaft!
Isotop: Nuklide mit gleichem: Z 11 H, 21 H(Deuteron, Deuterium) , 31 H2 (Trizium)
14
Isoton: Nuklide mit gleichem N: 13
6 C7 , 7 N7
14
Isobar: Nuklide mit gleichem A: 14
6 C8 , 7 N7
Man untersucht das Kriterium der Stabilität.
8.1
Die Masse des Atomkerns
q
Es lässt sich mit einem Massenspektrometer die Masse sehr präzise über m
bestimmen.
Feststellung: Die Massen der Kerne sind stets kleiner als die Summe der Massen von Protonen und Neutronen. Dieses Phänomen wird Massendefekt genannt. Dieser Massendefekt entspricht der Bindungsenergie, die frei wird, wenn
37
sich die einzelnen Nukleonen im Kern vereinigen. Aus E = mc2 folgt für die
Bindungenergie:
B(Z, N ) = [Zmp + N mn − mk (Z, N )]c2
mk (Z, N ) = Zmp + N mn −
B(Z, N )
c2
Eine wichtige Grösse ist der Quotinet aus Bindungsenergie und Nukleon
Als Mittelwert ergibt sich 7, 38, 5M eV .
Bemerkungen:
B(Z,N )
.
A
16
20
1. Man erhält besonders hohe Werte für 42 He2 , 46 Be4 , 12
6 C6 , 8 O6 , 10 N e10 . Dies
tritt auf, wenn die Anzahl an Neutronen und Protonen gleich ist (Paarung)
2. Es existiert ein Maximum der Bindungsenergie bei etwa
56 F e.
3. Wichtig für die Energiegewinnung, d.h. Umwandlung von Bindungsenergie, ist:
(a) Spaltung von schweren Kernen
(b) Fusion von kleinen Kernen
Beide Verfahren liefern Energie.
Betrachte man die Kernspaltung eines Kerns mit A > 230. Dieser geht in zwei
näherungsweise gleich schwere Kerne über. Dann wird etwa 1 Mev pro Nukleon
an Energie freigegeben. Dies entspricht 200 MeV pro Spaltung.
Bei der Kernfusion läuft folgende Reaktion ab:
2
8.2
H + 3 H → 4 He + 17, 6M eV
Die Kernkraft
Schon aus der Existenz von positiven, aus vielen/mehreren Teilchen aufgebeuten Kernen folgt, dass es eine attraktive Wechselwirkung geben muss, die die
repulsive Coulombkraft kompensiert.
1
Die Kerngrößen liegen im Bereich von 1 − 10 f m.(R = R0 A 3 )
Diese Kraft wird Kernkraft, hadronische Kraft oder starke Wecheslwirkung genannt.
Beispiel: Man betrachte die elektrostatische Energie zweier Protonen eines
4 He-Kerns im Abstand von 1 pm:
V =
1 e2
= . . . = 1, 44 M eV
4πε0 r
Aber die Energie, die nötig ist, um ein Proton oder ein Neutron aus dem Kern
zu entfernen, beträgt etwa 20 M eV .
38
8.2.1
Eigenschaften der Kernkraft
• Die Kraft ist sehr stark bei kurzen Entfernungen < 2, 5 f m
Aber schon bei 3 f m ist sie praktisch Null (scharfer Verlauf)
• Man nennt die Kraft gesättigte Kraft, d.h.: Ein Nukleon aus dem Kern
wechselwirkt nicht mit den gesamten anderen Nukleonen.
• Die Kernkraft hängt nicht mit der elektrischen Ladung zusammen.
• Für Entfernungen kleiner als < 0, 5 f m hat man eine extrem starke Abstossung. (harter Kern)
8.2.2
Vergleich einiger Kräfte
Gravitation:
M
r
Das entsprechende Teilchen, das die Wechselwirkung beschreibt, ist das Graviton (mG = 0) mit unendlicher Reichweite.
Elektromagnetische Kraft:
1 q
V (r) =
4πε0 r
V (r) = −G
Analog nennt man das Teilchen Photon (mP h = 0) ebenfalls mit unendlicher
Reichweite.
Kernkraft:
g mπ c
V (r) = e− ~ ·r
r
mit g als Kopplungskonstante. Das entsprechende Austauschteilchen wird
Pion genannt. Hier nun ist die Reichweite nicht mehr endlich (mπ 6= 0) und
liegt in der Grössenordnung des Kernradius. Dieses Potential wird YukawaPotential genannt (NP 1949).
Bemerkung zur Quantenfeldtheorie:
Wir werden bald noch sehen, dass es noch eine weitere fundamentale Kraft im
Kern gibt, die Schwache Wechselwirkung.
8.3
Die Stabilität von Kernen
Von den mehr als 3000 bekannten Nukliden sind nur 266 stabil. Alle anderen
zerfallen unter Aussendung von Strahlen in andere Nuklide.
Die Entdeckung der Radioaktivität geht zurück auf H. Becqueral (1895), als
man herausfand, dass der Zerfall ein statistischer Prozess ist. Dies wird durch
die Halbwertszeit T 1 beschrieben, in der genau die Hälfte der vorhandenen Ker2
ne zerfallen sind.
Sei N die Anzahl der Kerne und λ die Zerfallskonstante. So gilt das Zerfallsgesetz:
dN = λN · dt
39
Hieraus folgt:
dN
= λdt
N
⇒ ln N = −λt + C mit C als Konstante
−
⇒ N (t) = e−λt+C = N0 · e−λt
Für die Halbwertszeit ergibt sich:
N
0
N t = T1 =
2
2
−λT 1
N0
2
= N0 · e
2
T1 =
2
ln 2
λ
Bemerkung: Die Einheit einer gewissen Radioaktivität wurde als 1 Curie
definiert. (NP 1903 P, NP 1911 C)
1Curie = 1C = 3, 7 · 1n10
Zerf älle
s
all
.
Heute benutzt man die Einheit 1Bq = Zerf
s
Wir unterscheiden die folgenden Zerfallstypen:
1. α-Zerfall: Aussendung von Kernteilchen (42 He)
2. β-Zerfall: Umwandlung von Nukleonen
3. γ-Zerfall: Umorientierung von Nukleonen
4. (spontane Spaltung von schweren Kernen)
8.3.1
Zerfallsreihen
Eine Muttersubstanz zerfällt sukzessive über α- und β- Zerfälle. Als Resultat
erhält man Folgeprodukte.
Beim α-Zerfall ändert sich A um 4 und Z um 2. Beim Betazerfall bleibt A
konstant und Z ändert sich um 1.
Für alle Kerne einer bestimmten Zerfallsreihe muss folgendes gelten:
A = 4n + S
S ∈ N, n ∈ Z
Bemerkungen:
1. Bei der Neptuniumreihe ist die Halbwertszeit bei 2 · 106 a, was bedeutet,
dass die Elemente dieser Reihe nicht mehr natürlich vorkommen.
2. In den Zerfallsreihen sind Verzweigungen möglich.
40
8.3.2
Datierungsmethoden
Zur Datierung von archeologischen Objekten eignet sich 14 C (nat. Struktur):
Ständig wird in der Atmosphäre 14 C gebildet (14 N → 14 C). 14 C zerfällt mit
einer Halbwertszeit von 5730 Jahren wieder 14 N . Nun ist das Verhältnis von
14 C zu 12 C in der Atmosphäre bekannt. Ein lebender Organismus nimmt 14 in
der Gleichgewichtskonzentration auf. Nach dem Absterben zerfällt das 14 C mit
T 1 . Das Alter lässt sich aus dem vorhandenen Verhältnis nun ermitteln.
2
8.4
Der α-Zerfall
Dies Zerfall verursacht eine Emission eines Alphateilchens (Heliumkern).
Man betrachtet ein sogenanntes Reaktionsdiagramm:
Zustand1
Zustand2
M utterkern Z
A
T ochterkern Z − 2 A − 4
Es muss folgende Bedingung nach dem Energiesatz für den Alphazerfall gelten:
m(Z, A) ≥ m(Z − 2, A − 4) + mα
Allgemein formuliert:
1.
mM utterkern (Z, A) ≥
2.
X
m(Zi , Ai )
Zerf allsprodukte
Bα ≥ B(Z, A) − B(Z − 2, A − 4)
Zerfallsmechanismus:
Man betrachte das Potential V (r) für Annäherung von Helium Z1 = 2 Kern
und Kern mit Z2 . Umgekehrt den Abstand gegen das Potential aufgetragen,
erhält man eine Barriere und im gebunden Fall den quasistationären Zustand.
graphik;
Beispiel:
226
88 Ra
→ VCexp = 26M eV
Abschätzung:
VC =
Aber:
1
Z1 · Z2
1
2 · 86
·
=
·
= 29 M eV
4πε0
R
4πε0 1, 4 f m · A1/3
Ekin (α) = 4, 9M eV
Somit ist klassisch diese Reaktion nicht möglich! Quantenmechanisch
ist jedoch ein Durchtunneln erlaubt! Somit ist der Alphazerfall ein
Beispiel für den quantenmechanischen Tunneleffekt!
Bemerkungen:
1. Die kinetische Energie für Alphateilchen ist scharf, besitzen gleiche
Geschwindigkeit. graphik;
41
2. Die Abschirmung von Alphateilchen ist sehr einfach! (Papier)
3. Es existieren für den Alphazerfall vier Zerfallsreihen!
8.5
Der β-Zerfall
Die Grundlage ist eine Umwandlung von Nukleonen im Kern. Die Massenzahl
A im Kern bleibt gleich. N und Z ändern sich um ±1. Wir unterscheiden
1. β − -Zerfall: n → p
2. β + -Zerfall: p → n
3. Elektroneneinfang, EC-Prozess (Electron capture): p → n
zu 1.) Der Mutterkern (Z+1,A) geht über in den Tochterkern (Z+1,A).
Experimentell fand man heraus bei der Detektion von e− ≡ β − , dass man keine
scharfe Energie (graphik;). Dies warf einige Widersprüche auf:
• Energiesatz (definierte Zustände)
• Drehimpulssatz 12 ~ → 12 ~ + 21 ~
Dieses Dilemma wurde 1930 von Wolfgang Pauli gelöst:
Pauli postulierte ein neues Teilchen mit den Eigenschaften, dass
• die Ladung 0 ist,
• der Spin 12 ~
• Ruhe-Masse 0 oder sehr klein
Fermi nannte diese Teilchen Neutrino. Durch diese Einführung wurden die
Erhaltungssätze gerettet.
Bemerkungen:
1. 1956 wurde von Cowan + Renes der Nachweis des Neutrinos νe erbracht.
2. Man unterscheidet zwischen verschiedenen Neutrino-Typen
(a) Elektron-Neutrino νe und seinem Antineutrino ν̄e Durch Zusammenführen eines Teilchens und eines Antiteilchens (Materie und Antimaterie) wird reine Energie erzeugt.
(b) Müon-Neutrino νµ und sein Antineutrino ν̄µ
(c) Tau-Neutrino ντ und sein Antineutrino ν̄τ
3. Vollständige β − -Reaktion: n → p + e− + ν̄e
4. Beispiel:
Es ist nicht möglich, aus Quecksilber Gold herzustellen:
198
Der stabile Zustand ist
β − 198
Au →
198 Au
118 .
79
42
Hg + β − = ν̄e
5. Die Ruhemasse von νe ist nicht! 0 sondern:
0, 07
eV
eV
≤ mνe ≤ 16 2
2
c
c
Hieraus folgt eine Neutrinooszillationen.
6. Die Neutrinos haben einen extrem kleinen Wirkungsquerschnitt.
7. Beispiel:
Ein freies Neutron zerfällt mit einer Halbwertszeit von 10,8 min:
β−
n →→ p + e− + ν̄e
zu β + :
Der Zerfall eines Protons im Kern ist beschrieben durch:
p → n + e+ νe
Ein freies Proton ist stabil!
13
+
Beispiel: 13
7 N → 6 C + β νe
Bemerkungen:
1. e− /e+ entstehen neu. Energie geht über zu Masse!
2. Dies ist ein Hauptbeispiel für die schache Wechselwirkung!
3. Elektroneneinfang (EC):
Ein Proton aus dem Kern absorbiert ein hüllenelektron (p → n)
Ausgehend von β + gilt:
p → n + β + νe
| + β − = e−
p + e− → n + β + + β − +νe
| {z }
Energie
4. Auch die Betastrahlung lässt sich gut abschrimen.
8.6
Der γ-Zerfall
Der Gammastrahlung ist verknüpft mit einer Umorientierung der Nukleonen.
Der Kern geht vom angeregten Zustand in den Grundzustand über und ist
gleichbedeutend mit einer Strahlungsemission des Atomkerns (Analog zum Schalenmodell des Kerns)!
1. Energieniveaus:
Atom
Kern
[E]
eV
M eV
λ 500nm 10−3 nm
De Broglie:
λ=
43
h·c
E
2. Der Gammazerfall kommt nach Alpha- und Betazerfall vor.
3. Die Lebensdauer liegt bei etwa 10−11 s.
4. Beispiel: graphik;
5. Die Abschirmung ist extrem schwierig! (Pb, Stahl)
8.7
Kernreaktion
Stabile Kerne können durch Beschuss von Neutronen, Photonen oder geladenen
Teilchen zur Umwandlung angeregt werden.
Geschoss T argetkern Endkern T eilchen Reaktionsenergie
a
+A
→B
+b
+Q
1. Elastische Streuung (vgl. Rutherford)
2. Bei der inelastischen Streuung wird der Kern angeregt, was zur Emission
von Gammastrahlung führt.
3. Die Absorption geschieht über die Dichtewecheslwirkung oder über den
Compoundkern.
8.7.1
Compoundkern
Dies sind Kernreaktionen, die durch Teilchen nicht zu hoher Energie (z.B. MeV)
ausgelöst werden, kann man als Zweistufenprozess beschreiben:
1. Bildung des Compoundkerns:
Die Lebensdauer des Compoundkerns ist die Zeit, die das Teilchen zum
durchfliegen des Kerns braucht.
Beispiel: Ein Proton mit der Energie von 1 MeV besitzt eine GeschwinR
10−14 m
−21 s
digkeit von v ≈ 107 m
s V = 107 m = 10
s
2. Zerfall des Compoundkerns
8.7.2
Wirkungsquerschnitt
Die Wahrscheinlichkeit einer Kernreation wird mit dem Wirkungsquerschnitt σ
gemessen:
σ=
Anzahl(Reaktionen pro Zeit und Kern)
[s−1 ]
R
=
=
= [cm2 ]
I
T eilchenstromdichte
[cm−2 s−1 ]
Die Einheit ist 1 barn = 10−24 cm2 = 10−28 m2 . Dies beschreibt die Querschnittsfläche um den Zielkern (Target).
Bemerkung: Der Wirkungsquerschnitt σ hängt normalerweise von der kinetischen Energie der Geschosse ab. Hierüber kann man Informationen über
Kernzustände bekommen.
44
8.7.3
Angeregte Kernzustände
1. In Analogie zum Frank-Herz-Versuch (Atomphysik) erhält man bei Betrachtung des Wirkungsquerschnitts gegen die Energie einige Maxima.
Aus diesen Maxima des Wirkungsquerschnitts folgen angeregte Zustände
des Compoundkerns. In diesem Fall liegt eine Resonanz vor. Die Energiebreite entspricht der Lebensdauer (Unschärferelation).
2. Die Energieverteilung ist auf die inelastische Streuung der Teilchen zurückzuführen.
8.7.4
Reaktionen mit Neutronen
Ein Neutron mit einer Energie > 1M eV wird mit hoher Wahrscheinlichkeit
gestreut. Dagegen werden Neutronen mit einer Energie in der Größenordnung
der thermischen Energie kT (kT = 0, 025eV bei Raumtemperatur) mit großer
Wahrscheinlichkeit aufgenommen. Diese Neutronen nennt man auch Thermische Neutronen.
A
n+A
ZM → Z + γ
Beispiel:
n + 107 Ag → 108 Ag + γ
Abgesehen von den Resonanzen findet man den Zusammenhang
σ∼
1
v
mit v: Neutronengeschwindigkeit.
8.8
Die Kernspaltung
235 U
lässt sich besonders gut durch thermische Neutronen spalten. Dies entdeckten 1938 Otto Hahn und Fritz Strassmann.
Allgemein erhält man die Reaktion:
235
U + n(thermisch) → 236 U → X + Y + νn(schnell)
235
U + → 92 Kr + 142 Ba + 2n + 179, 4M eV
Im Mittel werden 2, 47 Neutronen frei (Spaltneutronen). Durch die Coulombabstossung entfernen sich die Spaltprodukte mit einer hohen kinetischen Energie. Es entsteht große Wärme. Im Mittel sind dies pro Reation 160 - 200 MeV.
Hiervon geht 160 MeV in kinetische Energie über. Der Rest in Beta- oder Gammazerfälle der Spaltprodukte. Zum Vergleich produzieren chemische Verbrennung etwa 4 eV. Im Allgemeinen ist der Zerfall asymmetrisch.
Betrachtet man das Energiespektrum der Neutronen, so stellt sich das
Problem, dass die hochenergetischen Neutronen eine relativ geringe Wechselwirkungswahrscheinlichkeit haben (Wirkungsquerschnitt) und abgebremst
werden müssen. Man benötigt einen Moderator. Dies ist ein möglichst leichtes Material (Impulsübertrag - Physik 1), dass die Neutronen rasch abbremsen
kann, ohne selbst die Neutronen zu absorbieren. Beispiele sind
45
1. Wasser (H2 O) [für
235 U ]
2. schweres Wasser (D2 O) [für Natururan]
3. Kohlenstoff (Graphit)
Bei H2 O sind etwa 18 Stösse notwendig, um die Neutronen abzubremsen.
Der erste künstliche Kernreaktor wurde von E. Fermi 1942 in Chicago gebaut.
Ein wichtiger Parameter ist der Vermehrungsfaktor k (für Neutronen).
• k = 1: der Reaktor ist kritisch
• k < 1: der Reaktor ist unterkritisch
• k > 1: der Reaktor ist überkritisch
• k ≫ 1: die Reaktion geht durch. Man erhält die Atombombe.
8.8.1
Kritische Masse
Innerhalb der kritischen Masse verhinderen die Oberflächenverluste der Neutronen eine Kettenreaktion. Die Ursache ist, dass die Neutronenproduktion proportional zum Volumen ∼ r3 ist. Die Sicherverluste sind andererseits proportional
zur Oberfläche ∼ r2 . Also ist ab einem bestimmten Volumen k > 1.
8.8.2
Brutreaktoren
Auch Schnelle Brüter genannt. Dies sind Reaktoren, die mehr spaltvares Material erzeugen, als sie verbrauchen. In der Natur kommt nur 0.7 % 237 U vor, der
Rest ist 238 U .
238
239
239
U + n → 239 U ∗ + γ
U + → 239 N p + β − + ν̄
N p+ → 239 P u + β − + ν̄
Hier ist 239 P u der Spaltstoff. Im Mittel werden 2,7 n frei. Bei diesem Reaktortyp
ist kein Moderator erforderlich. Die Kühlung erfolgt mit flüssigem Natrium.
1g 239 U setzt die Energie frei, die ein Haushalt in 12-18 Monaten verbraucht.
8.9
Die Kernfusion
Dies ist eine vielversprechende Form der Energiegewinnung! Man betrachte hier
die Fusion leichter Kerne (vgl. Tabelle Bindungsenergie pro Nuklon). Diese Art
von Reakton hat viele Vorteile! Das Entsorgungs - und Sicherheitsproblem ist
nicht mehr gegeben.
Eine typische Reaktion läuft folgendermassen ab:
2
H + 3 H → 4 He + n + 17, 6M eV.
Es gibt aber auch Probleme:
Die Coulomabstossung wirkt der Reaktion entgegen. Der Coulombwall liegt bei
1M eV . Es gibt zwei Möglichkeiten, zwei Kerne zu verschmelzen:
46
1. Die Kerne werden mit einem Beschleuniger zusammengebracht. Dies ist
aber technologisch ineffizient.
2. Mit Hilfe Thermischer Verfahren ist dies effizienter erfolgen.
3
Ekin = kB T → Ekin ≈ 10eV
2
Man muss Themperaturen im Bereich von T = 108 K (Plasma) erzeugen,
um eine Fusion hervorzurufen.
Bemerkungen:
1. Als Problem ist zu betrachten, wie das Plasmas eingeschlossen werden
kann.
2. In der Sonne wird die Kernfusion bereits realisiert.
Einsatz findet die Fusion auch in der Wasserstoffbombe.
3. Die Dichte des Plasmas ist wichtig!
4. Break-even-point: Dies ist die Schwelle der energetischen Wirtschaftlichkeit, d.h. man erhält mehr Energie als eingesetzt wird.
5. Zur Herstellung eines eingeschlossenen Plasmas werden zwei Verfahren
angewandt:
(a) magnetischer Einschluss (TOKAMAK)
(b) Trägheitseinschluss
6. Warum nimmt man nicht ein normales Proton?
1
H + 1 H → 2 H + e+ + νe + Q
Es wird nur eine Energie von Q = 0, 42M eV /1, 44M eV freigesetzt.
7. Energieproduktion der Sonne durch Kernfusion:
Hans A. Bethe postulierte eine Reaktionskette (Solarer Fusionszyklus!):
(a) 1 H + 1 H → 2 H + e+ + νe + 0, 42 M eV (Proton-Proton-Zyklus
(pp))
1 H + 1 H + e− → 2 H + ν + 1, 44 M eV (pep-Zyklus)
e
Die Wahrscheinlichkeit dieser Reaktion ist sehr klein, so dass diese
Reaktion der einzige Flaschenhals der Energieproduktion ist. Somit
ist die lange Energieproduktion der Sonne gesichert.
(b) 2H + e+ + 1 H → 3 He + γ + 5, 49 M eV
Diese Reaktion hat eine große Wahrscheinlichkeit.
(c) 3 H + 3 He → 4 He + 2 · 1 H + γ + 12, 86 M eV
Experimentelle Überprüfung:
Man nutzt die Neutrinos als Boten. Durch Aufstellen von theoretischen Modellen wird die Temperatur in der Sonne abgeschätzt, so dass
die Reaktionsraten messbar sind. Somit erhält man Informationen über
47
den Neutrinofluss. Schlı̈eßlich müssen Experimente mit Neutrinos auf
der Erde durchgeführt werden. (Jedoch ist der Wirkungsquerschnitt der
Neutrinos sehr klein!)
Fazit:
Man misst etwa nur die Hälfte der erwarteten Neutrinos! (Solares
Neutrinoproblem)
Die Lösung ist eine Neutrinooszillation (Umwandlung zwischen den
Neutrinoformen)! Dies ist aber nur möglich, wenn Das Neutrino νe eine
Ruhemasse hat!
Weitere Fusionsprozesse:
(a) Wasserstoffbrennen
(b) Heliumbrennen (3α-Prozess) Vereinfachte Darstellung:
4
He + 4 He → 8 Be ⇒ 8 Be + 4 He → 12 C
(c) Kohlenstoffbrennen
Die Konsequenz ist das Schalenbrennen.
Der Endzustand des Fusionsprozesses ist Eisen 5 6F e. Die Fusion stoppt,
der Strahlungsdruck bricht zusammen und der Stern kollabiert (Supanova)!
Als Endstadium erhält man
(a) einen weißen Riesen,
(b) einen Neutronenstern oder
(c) ein schwarzes Loch!
48
9
Teilchenphysik
Bisher wurden nur die Protonen, Neutronen, Photonen, Elektronen, etc. betrachtet. Heute erzeugen Beschleunigerexperimente etliche hundert Teilchen,
wie z.B. folgende:
1. Positron e+
2. Pion π 0 , π − , π +
3. Müon µ
4. Tauon τ
Die Teilchen unterscheiden sich in
• Ruhemasse m
• elektrische Ladung q
• Spin S
• Strangeness S
• Hyperladung Y
• Parität P
• Farbladung, Charm,. . .
Materie und Antimaterie:
Es existieren zwei Effekte, die Paarerzeugung und die Paarvernichtung
oder auch Annihilation. So bleiben zum Beispiel bei der Wechselwirkung zwischen Elektron und Positron zwei (manchmal drei) Gammaquanten übrig.
Die Teilchen wechselwirken untereinander:
• starke Wechselwirkung
• schwache Wechselwirkung (α, β, γ−)Zerfälle
• Elektromagnetische Wechselwirkung
• Gravitation
Bei sehr kleinen Abständen spielen die letzten beiden Kräfte keine Rolle, so
dass hier nun die ersten beiden Kräfte betrachtet werden.
Bei der starken Wechselwirkung sind Teilchen als Kraftüberträger verantwortlich, die Hadronen (Pion, Gluon).
Eine weitere Aufteilung findet in Baryonen (Bsp: p, n, Λ0 ) und Mesonen (Bsp:
π + , π − , π 0 , K 0 , . . .) statt. Die Baryonen haben einen halbzahligen Spin, die
Mesonen einen ganzzahligen.
Die Hadronen sind keine Elementarteilchen, sondern bestehen aus den Quarks
und Antiquarks.
Es werden 6 Arten (Flavors) unterschieden mit Elementarladung ± 13 oder ± 23
Bemerkungen:
49
1. Quarks können nicht isoliert existieren! Somit ist das Konzept der Elementarladung 1 haltbar.
2. Quarks tragen eine Farbladung! In der Natur kommen nur weiße/neutrale
Teilchen vor.
Das Baryon besitzt 3 Quarks.
p
u
u
d
2/3 2/3 −1/3 3/3 = 1
n u
d
d
2/3 −1/3 −1/3 0/3 = 0
Das Meson besitzt 2 Quarks (Quark und Antiquark!)
π+
u
d
2/3 −(−1/3) 31
Es gibt noch eine zweite Familie von Elementarteilchen, die Leptonen. Die Leptonen Wechselwirken nicht unter der starken Wechselwirkung, und wechselwirken somit unter der schwachen Wechselwirkung, sowie unter elektromagnetischen Kräften und Gravitation. Es existieren 6 Teilchen und 6 Antiteilchen.
Dies nun ist das Standardmodell der Teilchenphysik. Die 6 Quarks und
die 6 Leptonen beschreiben nun die gesamte Materie bzw. Antimaterie.
Für die Wechselwirkung zwischen diesen Teilchen sind Vermittlerteilchen Gluonen (8 Arten), Photon und Graviton zuständig.
Die Energie dieser Teilchen ist im Rahmen der Unschärferelation begründbar.
Die Lebenszeit ∆T hängt mit der Energiedifferenz ∆E zusammen:
∆E · ∆T ≥
~
.
2
Es ist gelungen, die schache und die elektromagnetische Wechselwirkung zusammenzuführen.
Bemerkungen:
1. Im letzten Jahr wurde das Pentaquark gefunden τ = 10 − 20s, das aus
einem System aus fünf Quarks/Antiquarks besteht. Dies passt nun nicht
mehr mit dieser Theorie zusammen.
2. Der Urknall (The Big Bang)
50