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Lösungen der 6 Zusatzaufgaben
Original siehe:
http://www.tutor2u.net/blog/index.php/economics/comments/economics-questions-andcalcluations-for-oxbridge-candidates
Auswahl und Uebersetzung durch RM
Abkürzungen:
TK = Gesamtkosten
DK = Durchschnittskosten
GK = Grenzkosten
FK = Fixe Kosten
VK = Variable Kosten
Q = Menge
TE = Gesamterlös
DE = Durchschnittserlös
GE = Grenzerlös
DFK = fixe Durchschnittskosten (= FK/Q)
DVK = variable Durchschnittskosten (= VK/Q)
P = Preis
Lösung Aufgabe 1
In einer Unternehmen verhalten sich die Gesamtkosten wie folgt:
TK = 28'000 + 95Q - 0.025Q2, wobei Q = 10
Berechnen Sie die folgenden Grössen:
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FK = TK - VK
FK = 28'000
VK = TK - FK
VK = 28'000 + 950 - 2.5 - 28'000 = 947.50
DFK = FK/Q
DFK = 28'000/10 = 2'800
DVK = VK/Q
DVK = 947.50/10 = 94.75
DK = TK/Q
DK = 28947.50/10 = 2'894.75 oder
DK = DVK + DFK
DK = 94.75 + 2'800 = 2'894.75
GK
GK = (TK)' = 95 - 0.05Q
Lösung Aufgabe 2
Kostenfunktion in einer Industrieunternehmung, die Fernsehgeräte herstellt:
TK = 250 + 150Q - 2.5Q2 + 0.5Q3
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Wie lauten die Funktionen für die GK und die DK?
GK = (TK)' = 150 - 5Q + 1.5Q2
DK = TK/Q = 250/Q + 150 - 2.5Q + 0.5Q2
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Seite 1 (von 4)
Stand 12. Dezember 2014
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Wie hoch sind die TK und die DK bei einer Menge von 123 Geräten?
TK = 250 + 150*123 - 2.5*1232 + 0.5*1232
= 250 + 18'450 - 37'822.5 + 930'433.5 = 911'311
DK = TK/Q = 911'311/123 = 7'409
Wie lassen sich die minimalen DK ermitteln? Lösungsweg skizzieren, keine
zahlenmässigen Endergebnisse
(1)
(DK)' = 0
250/Q2 - 2.5 + Q = 0
250 - 2.5Q2 + Q3 = 0
(2)
(DK)'' > 0 (weil AK-Kurve nach dem Minimum eine positive Steigung haben
muss)
- 5Q + 3Q2 > 0
Welches sind die minimalen GK?
(1)
(GK)' = 0
-5 +3Q = 0
Q = 1.67
GK = 150 - 5*1.67 + 1.5*1.672 = 150 - 8.35 + 4.18 = 145.83
(2)
(GK)'' > 0
3>0
Lösung Aufgabe 3
Nachfragefunktion: Q = 20 - 0.2P
GK = 10 + 5Q
FK = $ 2'000
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Wie lautet die Gleichung für die Berechnung der Gesamtkosten (Hinweis: GK
integrieren)?
GK = 10 + 5Q
TK = 2'000 + 10Q + 2.5Q2
Berechnen Sie den maximalen Gewinn bzw. den minimalen Verlust.
(1)
Q = 20 - 0.2P
P = 100 - 5Q
TE = P*Q = 100Q - 5Q2
GE = 100 - 10Q
(2)
Gewinnmaximum bzw. Verlustminimum bei GE = GK
100 - 10Q = 10 + 5Q
90 = 15Q
Q=6
(3)
P = 100 - 5Q = 100 - 5*6 = 70
TE = P*Q = 70*6 = 420
(4)
Gewinn = TE - TK
TE = 420
TK = 2'000 + 10Q + 2.5Q2 = 2'000 + 10*6 + 2.5*62 = 2'000 + 60 +2.5*36 = 2'150
TE - TK = 420 - 2150 = - 1'730
(5)
Verlustminimum von 1'730 bei Q = 6
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Lösung Aufgabe 4
In einer Kleiderfabrik betragen die Gesamtkosten (TK):
TK = 5'000 + 4'100Q - 8Q2 + 0.004Q3
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Bei welcher Menge wird die Produktion eingestellt (shutdown)? Es wird ein konstanter
Preis angenommen. (Hinweis: Beim Shutdown-Punkt gilt: P = GK = DVK)
GK = DVK
4'100 - 16Q + 0.012Q2 = 4'100 - 8Q + 0.004Q2
- 8Q = - 0.008Q2
- 8 = - 0.008Q
Q = 1'000  Einstellung, falls Q < 1'000
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Wie hoch ist der tiefste Preis, den die Unternehmung akzeptieren kann?
P = GK
P = 4'100 - 16*1'000 + 0.012*1'0002 = 4'100 - 16'000 + 0.012*1'000'000 = 100
Lösung Aufgabe 5
Ein TV-Station beabsichtigt, Werbevideos zu verkaufen. Die Videos können von zwei
Produktionsgesellschaften hergestellt werden, und zwar zu folgenden Bedingungen:
Firma A:
Feste Gebühr von $ 1'200 sowie $ 2 je Kassette
Firma B:
$ 4 je Kassette
Nachfrage: Q = 1'600 - 200P
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Wieviele Kassetten und von welcher Firma bestellt die TV-Station, falls diese die
Kassetten gratis abgibt?
(1)
Gratisabgabe:
Q = 1'600 - 200*0 = 1'600
(2)
Firma A:
TK = 1'200 + 2Q = 1'200 + 3'200 = 4'400
Firma B:
TK = 4Q = 6'400
Ergebnis: Bestellung bei Firma A, weil 4'400 < 6'400
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Falls die TV-Station den Gewinn maximieren will, wieviele Kassetten bestellt sie bei
den beiden Firmen und wie hoch wird sie den Preis festsetzen?
(1)
Berechnung GE (GK Firma A = 2 / GK Firma B = 4)
Q = 1'600 - 200P
P = 1'600/200 - Q/200 = 8 - 0.005Q
TE = P*Q = 8Q - 0.005Q2
GE = 8 - 0.01Q
(2)
Menge Firma A
GE = GK (maximaler Gewinn)
8 - 0.01Q = 2
0.01Q = 8 - 2
Q = 600
(3)
Menge Firma B
GE = GK
8 - 0.01Q = 4
0.01Q = 8 - 4
Q = 400
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(4)
Preis (Q = 600 + 400 = 1'000)
P = 8 - 0.005Q = 8 - 0.005*1000 = 8 - 5 = 3
Lösung Aufgabe 6
Eine Unternehmung stellt Digitaluhren her. Sie führt eine einzige Produktionslinie mit einer
Tagesschicht. Die maximale Produktionskapazität beträgt 120'000 Uhren pro Monat, welche
60'000 monatliche Arbeitsstunden erfordert. Weitere Angaben:
FK je Monat:
$ 600'000
Arbeitskosten je Stunde:
$8
Weitere VK je Uhr
$6
Nachfrage:
Q = 560'000 - 20'000P
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Wieviele zusätzliche Uhren lassen sich in einer zusätzlichen Arbeitsstunde herstellen?
Zusätzliche Uhren = 120'000/60'000 = 2
Welches sind die GK einer zusätzlichen Uhr?
Arbeitskosten je Uhr:
8/2
Weitere VK je Uhr:
6
GK einer zusätzlichen Uhr = 4 + 6 = 10
Welchen Preis sollte die Unternehmen festlegen, um den Gewinn zu maximieren?
GE = GK (Gewinnmaximum)
(1)
GE
Q = 560'000 - 20'000P
Q/20'000 = 560'000/20'000 - P
P = 28 - Q/20'000 = 28 - 0.00005Q
TE = P*Q = 28Q - 0.00005Q2
GE = 28 - 0.0001Q
(2)
GK = 10
(3)
Gewinnmaximum
28 - 0.0001Q = 10
0.0001Q = 28 - 10
Q = 180'000
(4)
Preis mit Gewinnmaximum
P = 28 - 00005Q = 28 - 0.00005*180'000 = 19
Die Unternehmung könnte die Produktionskapazität durch Einführung einer
Nachtschicht um 100 % erhöhen. Die Arbeitskosten betragen in der Nacht $ 12 je
Stunde. Welches sind die GK einer zusätzlichen Uhr in der Nachtschicht?
GK je Uhr in der Nachtschicht:
Arbeitskosten je Uhr
= $ 12/2
=$6
Weitere VK je Uhr
=$6
GK je Uhr der Nachtschicht
= $ 12
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