15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen
Von besonderem Interesse sind Zufallsexperimente, bei denen die Ergebnismenge
aus reellen Zahlen besteht bzw. jedem Elementarereignis eine reelle Zahl zugeordnet
werden kann. Solche Zufallsexperiment heißen Zufallsvariable ( ZV ) .
Definition 7
1.) Ein Zufallsexperiment, dessen Ergebnismenge M aus reellen Zahlen besteht und
bei dem die Wahrscheinlichkeit eines jeden Elementarereignisses größer als 0 ist,
heißt diskrete Zufallsvariable.
2.) Bei einer diskreten Zufallsvariablen heißt die Funktion
p:M
0;1
mit
p ( m ) = 1 , die jedem Elementarereignis m seine Wahrscheinlichkeit
mεM
zuordnet, Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariablen.
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Analysis 15.4
Folie 1
Beispiel
Würfeln mit zwei Würfeln
Betrachtet man dieses Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge
M =
( 1/ 1 ) ; ( 1/ 2 ) ; ( 1/ 3 ) ; ( 1/ 4 ) ; ( 1/ 5 ) ; ( 1/ 6 ) ;
( 2/ 1 ) ; ( 2/ 2 ) ; ( 2/ 3 ) ; ( 2/ 4 ) ; ( 2/ 5 ) ; ( 2/ 6 ) ;
( 3/ 1 ) ; ( 3/ 2 ) ; ( 3/ 3 ) ; ( 3/ 4 ) ; ( 3/ 5 ) ; ( 3/ 6 ) ;
( 4/ 1 ) ; ( 4/ 2 ) ; ( 4/ 3 ) ; ( 4/ 4 ) ; ( 4/ 5 ) ; ( 4/ 6 ) ;
( 5/ 1 ) ; ( 5/ 2 ) ; ( 5/ 3 ) ; ( 5/ 4 ) ; ( 5/ 5 ) ; ( 5/ 6 ) ;
( 6/ 1 ) ; ( 6/ 2 ) ; ( 6/ 3 ) ; ( 6/ 4 ) ; ( 6/ 5 ) ; ( 6/ 6 ) ,
so liegt keine Zufallsvariable vor, da die Ergebnisse keine reellen Zahlen sind.
Betrachtet man jedoch z.B. die Summe bzw. Differenz der beiden Augenzahlen,
so erhält man Zufallsvariablen mit den Ergebnismengen
bzw.
M =
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12
Summe
M =
0; 1; 2; 3; 4; 5
Differenz
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Analysis 15.4
Folie 2
Wertetabellen und Graphen der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
Summe m
Wahrscheinlichkeit p ( m )
Differenz m
Wahrscheinlichkeit p ( m )
M =
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
0
1
2
3
4
5
6
36
10
36
8
36
6
36
4
36
2
36
( 1/ 1 ) ; ( 1/ 2 ) ; ( 1/ 3 ) ; ( 1/ 4 ) ; ( 1/ 5 ) ; ( 1/ 6 ) ;
( 2/ 1 ) ; ( 2/ 2 ) ; ( 2/ 3 ) ; ( 2/ 4 ) ; ( 2/ 5 ) ; ( 2/ 6 ) ;
( 3/ 1 ) ; ( 3/ 2 ) ; ( 3/ 3 ) ; ( 3/ 4 ) ; ( 3/ 5 ) ; ( 3/ 6 ) ;
( 4/ 1 ) ; ( 4/ 2 ) ; ( 4/ 3 ) ; ( 4/ 4 ) ; ( 4/ 5 ) ; ( 4/ 6 ) ;
( 5/ 1 ) ; ( 5/ 2 ) ; ( 5/ 3 ) ; ( 5/ 4 ) ; ( 5/ 5 ) ; ( 5/ 6 ) ;
( 6/ 1 ) ; ( 6/ 2 ) ; ( 6/ 3 ) ; ( 6/ 4 ) ; ( 6/ 5 ) ; ( 6/ 6 )
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Analysis 15.4
Folie 3
Wertetabellen und Graphen der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
Summe m
Wahrscheinlichkeit p ( m )
Differenz m
Wahrscheinlichkeit p ( m )
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
0
1
2
3
4
5
6
36
10
36
8
36
6
36
4
36
2
36
p(m)
p(m)
10
36
Summe
10
36
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 m
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Differenz
1 2 3 4 5 m
Analysis 15.4
Folie 4
Definition 8 ( Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten ZV )
Für eine diskrete Zufallsvariable mit Ergebnismenge M und Wahrscheinlichkeitsfunktion p ( m ) definiert man den Erwartungswert µ , die Varianz σ
2
sowie die
Standardabweichung σ als Quadratwurzel aus der Varianz wie folgt:
1.)
µ
Erwartungswert µ
einer diskreten
Zufallsvariablen
m . p(m)
=
mεM
2
2.)
σ
2
Varianz σ
einer diskreten
Zufallsvariablen
2
(m - µ) . p(m)
=
mεM
3.)
σ
2
(m - µ) . p(m)
=
mεM
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( µ = „mü“ )
( σ = „sigma“ )
Standardabeichung σ
einer diskreten
Zufallsvariablen
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Analysis 15.4
Folie 5
Beispiel 1: Würfeln
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet
m
1
2
3
4
5
6
p(m)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Der Erwartungswert beträgt
µ =
m . p(m) = 1.
1
1
1
1
1
1
+ 3.
+ 4.
+ 5.
+ 6.
+ 2.
6
6
6
6
6
6
= 3,5
mεM
Die Varianz beträgt
σ
2
2
(m - µ) . p(m) =
=
mεM
2 1
2 1
2 1
( 1 - 3,5 ) . + ( 2 - 3,5 ) .
+ ( 3 - 3,5 ) .
6
6
6
2 1
2 1
2 1
+ ( 4 - 3,5 ) . + ( 5 - 3,5 ) .
+ ( 6 - 3,5 ) .
6
6
6
= 2,916
Die Standardabweichung beträgt daher
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σ =
2,916
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= 1,708 .
Analysis 15.4
Folie 6
.
Beispiel 2: Augendifferenz beim Würfeln mit 2 Würfeln
m
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet
p(m)
0
1
2
3
4
5
6
36
10
36
8
36
6
36
4
36
2
36
.
Der Erwartungswert beträgt
µ =
m . p(m) = 0.
6
10
8
6
2
4
+ 2.
+ 3.
+ 4.
+ 5.
+ 1.
36
36
36
36
36
36
= 1,94
mεM
Die Varianz beträgt
σ
2
2
(m - µ) . p(m) =
=
mεM
=
=
2 6
2
( 0 - 1,94 ) .
+ ( 1 - 1,94 ) .
36
2 6
2
( 3 - 1,94 ) .
+ ( 4 - 1,94 ) .
36
10
2
+ ( 2 - 1,94 ) .
36
4
2
+ ( 5 - 1,94 ) .
36
8
36
2
36
2,052
Die Standardabweichung beträgt daher
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σ =
2,052
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= 1,433 .
Analysis 15.4
Folie 7
Bemerkungen
1.)
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist der Wert, der „im Durchschnitt“
unter Berücksichtigung der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu erwarten ist.
Bei Laplace - Experimenten ( wenn also alle Elementarereignisse die gleiche
Wahrscheinlichkeit haben ) entspricht der Erwartungswert dem arithmetischen
Mittel aller Elementarereignisse.
2.)
Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen ist ein Maß für die Streuung der
Elementarereignisse um den Erwartungswert, also dafür, wie stark sich die
Elementarereignisse „im Durchschnitt“ unter Berücksichtigung der jeweiligen
Wahrscheinlichkeiten vom Erwartungswert unterscheiden.
Die Standardabweichung ist aber nicht das arithmetische Mittel der auftretenden
Abweichungen ( auch nicht bei Laplace - Experimenten ) , sondern wegen der
besonderen Art der Durchschnittsberechnung stets mindestens so groß wie dieses arithmetische Mittel ( jeweils unter Berücksichtigung der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ) .
Beispielsweise beträgt die Standardabweichung beim Würfeln σ = 1,708 ( siehe
Beispiel 1 ) , während die durchschnittliche Abweichung nur den Wert 1,5 hat.
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Analysis 15.4
Folie 8
n
n
3
n .( n + 1 )
i =
2
Beispiel 3: Roulette
2
i
i=1
=
2
2n + 3n + n
6
i=1
Das Roulette - Spiel ist ein Laplace - Experiment mit M =
0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 35 ; 36 als
1
Ergebnismenge, bei dem jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit
hat.
37
Der Erwartungswert beträgt daher
µ =
36
1
=
m.
37
m . p(m) =
mεM
2
36
mεM
18
2 1
( m - 18 ) .
=
37
2
(m - µ) . p(m) =
=
= 18
m=0
Die Varianz beträgt
σ
36 . 37 . 1
2
37
1 . .
2
37
m=0
i=1
3
=
Die Standardabweichung beträgt damit
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σ =
2
i
2
2 . 2 . 18 + 3 . 18 + 18
37
6
= 114
114 = 10,677 .
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Analysis 15.4
Folie 9
Bemerkungen
1.)
Der Erwartungswert und damit auch Varianz und Standardabweichungen sind
nicht für alle Zufallsexperimente definiert, sondern nur für Zufallsvariablen, da
mit den Elementarereignissen gerechnet wird und diese daher reelle Zahlen
sein müssen.
Es gibt also z.B. keinen Erwartungswert beim Würfeln mit einem Farbenwürfel.
2.)
Andererseits ist es nicht bei jeder Zufallsvariablen sinnvoll, den Erwartungswert sowie Varianz und Standardabweichung zu bestimmen.
So ist es z.B. für einen Roulettespieler völlig nutzlos zu wissen, dass der Erwartungswert 18 ist ( siehe Beispiel 3 ) , und es wäre absolut sinnlos, deswegen
vermehrt auf die Zahl 18 zu setzen.
Dies liegt daran, dass die Elementarereignisse beim Roulette nur formal reelle
Zahlen sind; diese reellen Zahlen werden aber nicht zur Angabe der Größe der
jeweiligen Elementarereignisse, sondern nur zu ihrer Unterscheidung benutzt.
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Analysis 15.4
Folie 10
Beispiel 4: Roulette
Mit wie viel Gewinn kann man durchschnittlich rechen, wenn man beim Roulette 37 €
auf „Rot“ setzt ?
Dies kann man als Zufallsvariable auffassen mit der Ergebnismenge M =
und den Wahrscheinlichkeiten p ( 0 ) =
Der Erwartungswert beträgt daher
19
37
und p ( 74 ) =
µ = 0.
0 ; 74
18
.
37
19
18
+ 74 .
37
37
= 36 € .
Setzt man hingegen 37 € auf die Zahl 0 ( oder eine beliebige andere Zahl ) , so kann
man auch dies als Zufallsvariable auffassen mit der Ergebnismenge M =
und den Wahrscheinlichkeiten p ( 0 ) =
Der Erwartungswert beträgt dann
36
37
und p ( 1332 ) =
µ = 0.
1
.
37
36
1
+ 1332 .
37
37
0 ; 1332
= 36 . 37
= 36 € .
Der Erwartungswert beim Roulette ist also bei beiden Spielarten ( und auch allen anderen ) gleich. Unterschiedlich sind aber die Standardabweichungen:
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Analysis 15.4
Folie 11
Beispiel 4: Roulette
Beim Setzen von 37 € auf „Rot“ beträgt die Varianz
σ
2
2
(m - µ) . p(m) =
=
2 19
2 18
( 0 - 36 ) .
+ ( 74 - 36 ) .
37
37
=
1 368
mεM
und damit die Standardabweichung
σ =
1368 = 36,986 € .
Beim Setzen von 37 € auf die Zahl 0 beträgt die Varianz
σ
2
2
(m - µ) . p(m) =
=
2 36
2 1
( 0 - 36 ) .
+ ( 1332 - 36 ) .
37
37
=
46 656
mεM
und damit die Standardabweichung
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σ =
46656 = 216 € .
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Analysis 15.4
Folie 12
Beispiel 5: Würfeln, bis eine „6“ gewürfelt wird
Wie oft muss man „erwartungsgemäß“ würfeln, wenn man so lange würfelt, bis man
eine „6“ gewürfelt hat ?
Dies ist eine diskrete Zufallsvariable mit der Ergebnismenge M = N+ .
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet p ( m ) =
5
6
m-1
. 1
6
Anzahl Würfe
1
2
3
4
Wahrscheinlichkeit
1
6
5 . 1
6 6
5 . 5 . 1
6 6 6
5 . 5 . 5 . 1
6 6 6 6
=
1
.
5
5
6
...
...
m
.
m
5
6
m-1
. 1
6
Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf eine „6“ zu würfeln
Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf keine „6“ zu würfeln
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Analysis 15.4
Folie 13
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet p ( m ) =
5
6
m-1
. 1
6
=
1
.
5
5
6
m
8
Der Erwartungswert beträgt daher µ =
8
mεM
n .(x-3)
n
x- 3
=
(4 - x)
Mit
x=3
für x ε
5
6
m.
gilt daher
2;4
5
6
1
5
.
5
6
m
= 6
m=1
( 11.2 , Beispiel 6 )
8
n=1
2
m.
m . p(m) =
.
m
=
m=1
5
6
1
6
2
=
30
Bemerkung
Ist die Ergebnismenge unendlich, so muss bei der Bestimmung des Erwartungswerts
der Grenzwert einer unendlichen Reihe berechnet werden. Dabei ist zu beachten:
•
Falls dies nicht möglich ist, kann der Erwartungswert nicht bestimmt werden.
•
Falls die Reihe divergent ist, hat die Zufallsvariable keinen Erwartungswert.
Gleiches gilt auch für die Varianz und damit auch für die Standardabweichung.
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Analysis 15.4
Folie 14
Beispiel 6: Lebenserwartung
In der Bundesrepublik Deutschland beträgt die durchschnittliche Lebenserwartung für
neugeborene Jungen 76,6 Jahre und für neugeborene Mädchen 82,1 Jahre. Ein Jahr zuvor waren es 76,2 beziehungsweise 81,8 Jahre. ( Statistisches Bundesamt , Februar 2008 )
Auch die Lebenserwartung ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen.
Das zugrundeliegende Zufallsexperiment besteht in der Geburt eines Kindes:
•
die Elementarereignisse sind z.B. die natürlichen Zahlen bis ( etwa ) 115 ;
sie bedeuten das Sterbealter in Jahren ( evtl. genauere Datenerhebung )
•
die Wahrscheinlichkeit für die Elementarereignisse wird statistisch ermittelt
Die Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeiten ist aber offenbar erst möglich, wenn
alle im Jahr 2008 geborenen Kinder gestorben sind !
Was bedeutet die obige Statistik für einen 85-jährigen Mann?
a) Er ist seit 9 Jahren tot
b) Er sollte kein großes Bier mehr bestellen
c) Er sollte auch kein kleines Bier mehr bestellen
d) Er sollte keinerlei besondere Maßnahmen ergreifen ( evtl. Statistik studieren )
Richtig ist d), da seine weitere Lebenserwartung als bedingte Wahrscheinlichkeit
berechnet werden muss und ihm wahrscheinlich noch einige Lebensjahre bleiben.
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Analysis 15.4
Folie 15
Binomialverteilung
Ein beliebiges Zufallsexperiment wird n - mal durchgeführt.
Bei jeder dieser n Durchführungen achtet man darauf, ob ein Ereignis A eintritt oder
nicht.
Dann erhält man eine Zufallsvariable mit Ergebnismenge M =
0; 1; 2; . . . ; n
,
bei der jedes Elementarereignis für die Anzahl steht, mit der das Ereignis A bei den
n Durchführungen des obigen Zufallsexperiments eingetreten ist.
Ist p = p ( A ) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A , so heißt diese neue Zufallsvariable binomialverteilt mit Parametern n und p oder kurz B ( n ; p ) - verteilt.
Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung betrachten
das folgende Beispiel:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 - maliger Durchführung des Zufallexperiments das Ereignis A genau 3 - mal eintritt ?
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Analysis 15.4
Folie 16
Zufallsexperiment
4 - mal durchführen
p
1-p
A
A
p
1-p
A A
p
1-p
A A
A A
A A
p
1-p
p
1-p
p
1-p
p
1-p
A A A
A A A
A A A
A A A
A A A
A A A
A A A
A A A
p
p
p
p
p
p
p
p
1-p
AAAA
AAAA
1-p
AAAA
1-p
AAAA
AAAA
AAAA
1-p
AAAA
1-p
AAAA
AAAA
1-p
AAAA
AAAA
AAAA
1-p
AAAA
AAAA
1-p
AAAA
AAAA
4
= 4 Möglichkeiten, aus den 4 Durchführungen des Zu3
fallsexperiments die 3 Durchführungen auszuwählen, in denen das Ereignis A eintritt.
Nach 15.2 gibt es genau
()
3
1
Jede dieser 3 Durchführungen hat die Wahrscheinlichkeit p . p . p . ( 1 - p ) = p . ( 1 - p ) .
4 . 3.
1
Das Ereignis A tritt also mit Wahrscheinlichkeit
p ( 1 - p ) genau 3 - mal auf.
3
()
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Analysis 15.4
Folie 17
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 - maliger Durchführung des Zufallexperiments das Ereignis A genau 3 - mal eintritt ?
Das Ereignis A tritt also mit Wahrscheinlichkeit
4
3
()
. p3 . ( 1 - p )1 genau 3 - mal auf.
Allgemein gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments
p = p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl k
n . k.
n-k
zwischen 0 und n genau k - mal eintritt, beträgt
p(k) =
p (1-p)
.
k
ein Ereignis A
( mit Wahrscheinlichkeit
()
Beispiel
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 60 - maligem Würfeln genau 10 - mal die Zahl „6“ gewürfelt wird, beträgt
p ( 10 ) =
60
10
( )
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10
60 - 10
1
1
.
. 1= 0,137 = 13,7 %
6
6
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Analysis 15.4
Folie 18
Bemerkungen zur Binomialverteilung
1.)
Wie bei jedem Zufallsexperiment ( vgl. Satz 2a aus 15.1 ) hat die Summe der
Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse auch bei der Binomialverteilung den Wert 1 :
n
p(m)
mεM
2.)
n
k
()
=
. pk . ( 1 - p ) n - k =
k=0
(p + ( 1 - p )) n
n
= 1
= 1
binomischer
Satz
Eine B ( n ; p ) - verteilte Zufallsvariable hat den Erwartungswert n . p , denn:
n
n
. pk . ( 1 - p ) n - k
k.
µ =
m . p(m) =
k
()
mεM
k=0
n
=
k.
n!
. pk . ( 1 - p ) n - k
k! . (n-k)!
k=1
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Analysis 15.4
Folie 19
n
k.
=
n!
. pk . ( 1 - p ) n - k
k! . (n-k)!
k=1
n
n . (n-1)!
=
( k - 1 ) ! . (( n - 1 ) - ( k - 1 )) !
. p . pk - 1 . ( 1 - p ) n - k
k=1
n
n-1
k-1
. pk - 1 . ( 1 - p ) (n - 1) - (k - 1
n-1
j
. p j . ( 1 - p ) ( n - 1 ) - j = n . p . (p + ( 1 - p )) n - 1 = n . p
( )
. .
=
) n p
k=1
n-1
( )
= n.p.
j=k-1
j=0
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binomischer
Satz
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Analysis 15.4
Folie 20
Bemerkungen zur Binomialverteilung
3.)
Mit ähnlichen Umformungen wie in Bemerkung 2 kann man auch die Varianz
einer B ( n ; p ) - verteilten Zufallsvariablen berechnen; sie beträgt n . p . ( 1 - p ) .
Es gilt damit allgemein für jede B ( n ; p ) - verteilte Zufallsvariable :
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Erwartungswert:
Varianz:
Standardabeichung:
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p(k) =
n
. pk . ( 1 - p ) n - k
k
()
µ = n.p
σ
2
= n.p.(1-p)
σ =
n.p.(1-p)
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Analysis 15.4
Folie 21
Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung
Beispiel: n = 14 , p = 0,3
k
0
1
2
14
. 0,3k . 0,7 n - k
k
()
, also p ( k ) =
3
4
5
6
7
8
9
10
11
p ( k ) 0,007 0,041 0,113 0,194 0,229 0,196 0,126 0,062 0,023 0,007 0,001 0,0002
k
p(k)
12
p(k)
13
14
0,00002 0,000002 0,00000005
0,2
1
2
3
4
5
6
Institut für Automatisierungstechnik
7
8
9
10
Prof. Dr. Ch. Bold
11
12
13
Analysis 15.4
14
k
Folie 22
p(k)
Erwartungswert:
0,2
µ = n.p
µ = 14 . 0,3 = 4,2
1
2
3
4 4,2 5
kmax µ
6
7
8
9
10
11
12
13
14
k
Ist kmax das Elementarereignis mit der größten Wahrscheinlichkeit, so liegt der
Erwartungswert µ stets zwischen kmax - p ( A ) und kmax + p ( A ) :
kmax - p < µ < kmax + 1 - p
4 - 0,3 < µ < 4 + 0,7
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bzw.
µ+p-1 <
bzw.
4,2 - 0,7 < kmax < 4,2 + 0,3
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kmax < µ + p
Analysis 15.4
Folie 23