9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Übungsmaterial
9
1
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe
9.1
Erwartungswert
Fragt man nach dem mittleren Wert einer Zufallsgröÿe X pro Versuch, so berechnet man den
tungswert
Erwar-
E(X):
E(X) =
n
X
xi · P (xi )
i=1
Beispiele
1) Eine Laplace-Münze wird zweimal geworfen. Man erhält einen Euro pro erschienener Zahl. Bei
zwei gefallenen Wappen muss man zwei Euro bezahlen.
ω
ZZ
ZW
WZ
WW
X(ω)
2
1
1
-2
Die Zufallsgröÿe X gebe den Gewinn in Euro an. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist P(X).
X
-2
1
2
P(X)
0,25
0,5
0,25
Wir berechnen den Erwartungswert der Zufallsgröÿe X:
E(X) = 2 · 0, 25 + 1 · 0, 5 · (−2) · 0, 25 = 0, 5
Im Durchschnitt wird man also 0,5 Euro pro Spiel gewinnen.
2) Ein Glücksspiel läuft nach folgender Regel ab: Man würfelt einmal, von der doppelten Augenzahl
wird die Zahl 7 abgezogen. Das Ergebnis bekommt der Spieler in Euro ausgezahlt bei negativem
Ergebnis muss der Spieler diesen Betrag an die Bank zahlen.
Ist es sinnvoll, sich auf dieses Glücksspiel einzulassen?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröÿe X (Auszahlung in Euro) ist
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
X
−5
−3
−1
1
3
5
P (X = x)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Der Erwartungswert ist
E(X) =
1
· (−5 − 3 − 1 + 1 + 3 + 5) = 0.
6
Im Mittel macht der Spieler zwar keinen Gewinn, das Spiel verläuft jedoch auch nicht zu Gunnsten
der Bank.
Übungsmaterial
Ein Glücksspiel heiÿt
2
fair , wenn der Erwartungswert 0 ist (weder die Bank noch der Spieler gewinnen
im Mittel).
9.2
Varianz und Standardabweichung
Untersucht man die Streuung einer Zufallsgröÿe, so ist es sinnvoll, ein Maÿ für die Abweichung vom
Erwartungswert zu betrachten.
Wir benutzen die
Varianz
V(X) = E(X − E(X))2
als Maÿ für die Abweichung. Die Varianz einer
Zufallsgröÿe ist also der Erwartungswert der quadratischen Abweichungen vom Erwartungswert.
Darüber hinaus führt man die
Standardabweichung
σ(X) =
p
V(X)
ein.
Beispiele
Wir verwenden die bereits bekannten Beispiele (s.o.)
1) Laplace-Münze wird zweimal geworfen:
X
-2
1
2
P(X)
0,25
0,5
0,25
Den Erwartungswert hatten wir bereits ausgerechnet:
E(X) = 0, 5.
Wir berechnen die Varianz:
V(X) = E(X − E(X))2 = (−2, 5)2 · 0, 25 + 0, 52 · 0, 5 + 1, 52 · 0, 25 = 2, 25
Die quadratische Abweichung vom Erwartungswert ist also im Mittel 2,25.
Die Standardabweichung ist
σ(X) =
√
2, 25 = 1, 5.
2) Glücksspiel:
X
−5
−3
−1
1
3
5
P (X = x)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Erwartungswert:
E(X) = 0.
Wir berechnen die Varianz:
V(X) = E(X − E(X))2 =
70
1 · (−5)2 + (−3)2 + (−1)2 + 12 + 32 + 52 =
≈ 11, 67
6
6
Die quadratische Abweichung vom Erwartungswert
ist also im Mittel 11,67.
q
Die Standardabweichung ist
σ(X) =
70
6
≈ 3, 42.
Übungsmaterial
9.3
Eigenschaften des Erwartungswerts und der Varianz
1) Der Erwartungswert
2)
3
E(X)
muss nicht unbedingt im Wertebereich der Zufallsgröÿe X liegen.
E(a · X + b) = a · E(X) + b
Sonderfall: Ist eine Zufallsgröÿe konstant, so ist auch ihr Erwartungswert konstant mit demselben
E(b) = b
V(a · X + b) = a2 · E(X)
σ(a · X + b) = |a| · σ(X)
Wert:
3) Seien X und Y zwei Zufallsvariablen. Dann gilt
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Sind X und Y darüber hinaus stochastisch unabhängig, gilt auch
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
und
V(aX + bY ) = a2 · V(X) + b2 · V(Y )
Sonderfall:
V(X − Y ) = V(X) + V(Y )
4) Verschiebungssatz (wichtig):
V(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2
5) Eine Zufallsgröÿe X mit
9.4
E(X) = 0
und
σ(X) = 1
heiÿt
standardisiert .
Aufgabe 1
1) Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsvariable X:
Augenzahl beim Würfeln.
2) Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsvariable X:
Augensumme bei zweimaligen Würfeln.
Lösung
1)
E(X) = 16 + 26 + 63 + 46 + 56 + 66 = 3, 5
V(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = 16 + 46 + 96 +
p
σ(X) = V(X) = 1, 71
16
6
+
25
6
+
36
6
− 3, 52 = 2, 92
Übungsmaterial
4
2) Wahrscheinlichkeitsverteilung:
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P (X = x)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Erwartungswert:
E(X) =
2
6
12 20 30 42 40 36 30 22 12
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=7
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Varianz:
V(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 =
18 48 100 180 294 320 324 300 242 144
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
− 49 =
=
36 36 36
36
36
36
36
36
36
36
36
= 5, 83
Standardabweichung:
9.5
σ(X) =
p
V(X) = 2, 41
Aufgabe 2
Ein Laplace-Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröÿe X gibt die Anzahl der ungeraden Augenzahlen, die Zufallsgröÿe Y die Anzahl der Dreier an.
1)
Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsgröÿen X und Y an und berechne jeweils
Erwartungswert und Varianz.
2a) Bestimme die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und Y.
b) Sind X und Y unabhängig?
c) Bestimme Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröÿe Z = 3X + Y.
Lösung
1)
Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
X
0
1
2
P (X = x)
1
4
1
2
1
4
Erwartungswerte:
Varianzen:
E(X) = 1;
V(X) = 0, 5;
Y
0
1
2
P (Y = y)
25
36
10
36
1
36
E(Y ) =
V(Y ) = 0, 39
12
36
=
1
3
Übungsmaterial
5
2a) Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion:
↓ y, x →
0
1
2
0
9
36
1
0
12
36
6
36
2
0
0
1
4
1
2
4
36
4
36
1
36
1
4
25
36
10
36
1
36
b) X und Y sind stochastisch abhängig, weil
P (X = x ∧ Y = y) 6= P (X = x) · P (Y = y),
z.B.
c)
P (X = 1 ∧ Y = 0) =
12
36 , aber
P (X = 1) · P (Y = 0) =
E(Z) = E(3X + Y ) = 3E(X) + E(Y ) = 3 +
1
3
V(Z) = V(3X + Y ) = 9V(X) + V(Y ) = 4, 89
= 3 13
1
2
·
25
36
=
25
72 .