5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Allgemein kann man bei Erhöhung der Anzahl der Versuchsdurchführungen feststellen, dass eine
Stabilisierung der relativen Häufigkeiten eines Ereignisses A eintritt. Bei großem
Stichprobenumfang (oder großer Anzahl von Versuchen) schwanken die relativen Häufigkeiten
mehr oder minder stark um einen festen Zahlenwert.
Den festen Zahlenwert, um den die relativen Häufigkeiten schwanken, nennt man die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann als ein Schätzwert
für die relative Häufigkeit verwendet werden.
Den Stabilisierungseffekt nennt man auch das Gesetz der großen Zahlen. Dieser
Stabilisierungseffekt tritt nur unter den Bedingungen ein,
a) dass der Versuch jedes Mal unter derselben Bedingung durchgeführt wird.
b) dass die einzelnen Versuche keinen Einfluss auf die Ergebnisse nachfolgender Versuche
haben.
!
Ein Häufgikeitspolygon ist ein Liniendiagram, bei dem die Klassenmitten auf den Spitzen der
Rechtecke im Histogramm mit einander verbunden werden. Der Inhalt der Fläche unter dem
Polygon ist gleich dem der Rechtecke des Histograms.
Das Diagramm, das die relativen kumulierten Häufigkeiten für klassierten Häufigkeiten darstellt,
wird kumulatives relatives Häufigkeitspolygon, Summenkurve oder Empirische
Verteilungsfunktion der klassierten Häufigkeitsverteilungen genannt.
"
Aus der folgende Liste für die Wochenlöhne in $ von 10 Angestellten der Firma P&R wurde eine
Tabelle der klassierten Häufigkeiten erstellt.
{ 241,5 ; 244 ; 244 ; 248 ; 248 ; 250,4 ; 251 ; 254,1 ; 255 ; 256,2 }
# Erstellen Sie eine Tabelle der Häufigkeiten, ein Histogramm der Klassendichten der relativen
Häufigkeiten, ein Polygon sowie die Empirische Verteilungsfunktion.
# Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Löhne weniger als 248 [$] sind?
$%
&
# M = 5 ; N = 10
Spannweite: 256,2 – 241 = 15,2
j
Wochenlohn Klassen Klassen
-Breite: -Mitte:
Klasse:
Kj
dj
mj
1
[ 240 ; 244 )
4
242
2
[ 244 ; 248 )
4
246
3
[ 248 ; 252 )
4
250
4
[ 252 ; 256 )
4
254
5
[ 256 ; 260 )
4
258
260 – 240 = 20
Abs.
Rel.
Häufig. Häufigkeit:
hj
fj
1
1 / 10 = 0,1
2
0,2
4
0,4
2
0,2
1
0,1
Klassen-Dichte
der Rel. Häufig.
*
f j
0,1 / 4 = 0,025
0,05
0,1
0,05
0,025
Kumulierte
Rel.
Häufig F j
0,1
0,3
0,7
0,9
1,0
1
0,075
f *j
Histogramm der
Klassendichten der
rel. Häufigkeiten
Polygon
0,05
Empirische Verteilungsfunktion
Fj
Häufigkeiten
Häufigkeiten
0,1
Kumulatives Relatives
Häufigkeitspolygon
1
0,8
0,6
0,4
0,025
0,2
238
242
246
250
254
258
262
240
244
248
252
256
260
# aus dem Histogramm:
*
*
P ( X < 248 ) = f 1 ⋅ d 1 + f 2 ⋅ d 2 = 4 ⋅ 0,025 + 4 ⋅ 0,05 = 0,3
oder einfacher aus der Empirische Verteilungsfunktion (Kumulierte Relativen Häufigkeiten:
P ( X < 248 ) = F 2 = 0,3
'(
#
Wählt man aus einer Grundgesamtheit eine Stichprobe mit sehr großem Umfang, so sind viele
Beobachtungen vorhanden. Somit ist es theoretisch möglich die Klassenintervalle sehr klein zu
wählen und trotzdem eine erfassbare Anzahl von Beobachtungen in jeder Klasse zu erhalten.
Folglich kann das relative Häufigkeitspolygon durch ein geglättetes Häufigkeitspolygon oder
auch Häufigkeitskurve genannt ersetzt werden.
In ähnlicher Weise erhält man geglättete kumulative relative Häufigkeitspolygone (geglättete
Summenkurven). Im Allgemeinen ist es leichter, ein kumulatives relatives Häufigkeitspolygon
(eine Summenkurve) zu glätten.
In der Praxis nehmen Häufigkeitskurven gewisse Formen an, wie Parabeln, symmetrische oder
unsymmetrische Gaußsche Glockenkurve oder Graphen von Exponentialfunktionen. Mit Hilfe der
Methoden der Interpolation können anschließend Funktionsgleichungen für diese Kurven erstellt
werden.
)
*
Definition 1) Zufallsvariable
Die Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem ElementarErEigniss aus der Ergebnismenge
eines Zufallsexperimentes genau eine Zahl zuordnet.
Die Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie endlich viele oder abzählbar unendlich viele reelle
Werte annehmen kann.
Die Zufallsvariable heißt stetig, wenn sie jeden beliebigen reellen Wert in einem endlichen
oder unendlichen Intervall annehmen kann.
" +
&
X : Zufallsvariable (Funktion) mit großen Buchstaben.
x k : Werte, die die Zufallsvariable annimmt, mit kleinen Buchstaben.
X = x k ; mit k = 1 ; 2 ; . . .
2
"
Folgende Zufallsvariable ist gegeben:
X : „Ereichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels“
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten, für das Eintreten der jeweiligen Augenzahlen an.
$%
&
P ( X = x 1 ) = P ( X = 1 ) = 1/6 ;
P ( X = x 3 ) = P ( X = 3 ) = 1/6 ;
P ( X = x 5 ) = P ( X = 5 ) = 1/6 ;
P ( X = x 2 ) = P ( X = 2 ) = 1/6 ;
P ( X = x 4 ) = P ( X = 4 ) = 1/6 ;
P ( X = x 6 ) = P ( X = 6 ) = 1/6 .
)
*
Definition 2) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Werten x 1 , x 2 , . . . .
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable X kann wie folgt durch die
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x ) beschrieben werden.
f (x k ) = p k = P ( X = x k )
Dabei ist p k die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert x k annimmt.
Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen Zahl x
ist.
F(x
) = P( X≤x ) =
(
f x
k
)
xk ≤ x
Bemerkung:
Die Wahrscheinlichkeiten f (x k ) = p k haben eine Analogie zu den relativen Häufigkeiten f j
Die Verteilungsfunktion F (x ) hat eine Analogie zu den kumulierten relativen Häufigkeiten F j
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Werten x 1 , x 2 , . . . ., so besitzt die
Wahrscheinlichkeitsfunktion folgende Eigenschaft:
(
f x
k
)
= 1 ,
mit f (x k)
0
k
Bemerkung:
Die Ereignisse X = x k bilden eine disjunkte Zerlegung von
und wegen P ( ) = 1 gilt:
pk
1 =
P( Ω
f (xk
)=
)
k
3
"
)
Folgende Zufallsvariable ist gegeben:
X : „Ereichte Augenzahl , beim Wurf eines homogenen Würfels“
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X graphisch dar.
X= xk = k
P (X = x k ) = P (X = k ) = f ( k )
F(xk) = F(k)
1
1/6
1/6
2
1/6
2/6
Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsfunktion
f ( xk )
3
1/6
3/6
4
1/6
4/6
5
1/6
5/6
6
1/6
6/6
Verteilungsfunktion
FF (( xxkk) )
1
1/6
0,15
0,10
2/6
0,05
1/6
0
0
1
2
3
4
Augenzahl
5
6
xk
)
–1
0
1
2
3 4
5
Augenzahl
6
xk
*
Definition 3) Dichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable X lässt sich durch die
Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) oder durch die dazugehörige
Verteilungsfunktion:
x
F(x) = P( X ≤x
) =
f ( u ) du
− ∞
beschreiben.
Die Dichtefunktion erfüllt folgende Eigenschaften:
f (x)
0
f ist stetig bis auf endliche Punkte
∞
f ( x ) dx = 1
− ∞
4
"
,
Die Lebensdauer T (in Jahren) eines bestimmten elektronischen Bauteils sei eine
exponentialverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion:
f (t
0
)=
0 ,1 e
t ≤ 0
für
− 0 , 1t
t > 0
für
# Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von T graphisch dar.
# Wie groß ist der Anteil an Bauelemente, deren Lebensdauer den Wert t = 10 Jahren
überschreitet?
$%
&
# Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist
0
0d u
t
F (t
)=
f (u )d u =
− ∞
t ≤ 0
für
− ∞
0
für
t ≤ 0
für
t > 0
=
t
0 ,1 e −
0 ,1 u
du
1 − e−
t > 0
für
0 , 1t
0
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
F(t)
f(t)
t
t
# Die Zufallsvariable ist: T. Die Wahrscheinlichkeit für alle Zeiten unterhalb von t = 10 Jahren
lässt sich berechnen durch:
10
P ( T ≤ 10
) = F ( 10 ) =
0
f (t )d t =
0 ⋅d t +
− ∞
= 0 +
10
0 ,1 ⋅
− 0 ,1 t
( − 0 ,1 )
− 0 ,1 t
⋅d t
0
− ∞
e
0 ,1e
10
=
[ ( − e −1 ) − ( − 1 ) ]
= 0 , 632
0
oder einfacher mit der Verteilungsfunktion F ( t )
P ( T ≤ 10
) = F ( 10 ) = 1 − e
− 0 , 1 ⋅ 10
= 0 , 632
5
∞
f (t ) dt = 1
Für die Gesamtwahrscheinlichkeit der Dichtefunktion gilt:
− ∞
Folglich ist die Wahrscheinlichkeit für alle Zeiten oberhalb von t = 10 Jahren:
P ( T > 10 ) = 1 −
[
P ( T ≤ 10 )
]
= 1 − 0 , 632 =
0 , 368
Also rund 36,8% der Bauteile sind nach t = 10 Jahren noch funktionsfähig.
f(t)
F ( 10 ) = P ( T
10 )
P ( T > 10 )
t
,
- .
.
'
/
.
#
Führt man ein Zufallsexperiment sehr oft durch (N
∞) , so nähern sich die relativen
Häufigkeiten fk für die jeweiligen Werte xk den jeweiligen Werten der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (xk) = pk an.
Definition 4) Erwartungswert
einer Zufallsvariable
Der Erwartungswert E( X ) einer Zufallsvariable X ist:
pk
µ
xk ⋅ f (xk
=
)
,
falls X diskret ist.
k
Dabei ist p k = f ( x k ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariable.
∞
x ⋅ f ( x ) dx
µ =
,
falls X stetig ist.
− ∞
Dabei ist f ( x ) die Dichtefunktion der stetigen Zufallsvariable.
6
"
Folgende Zufallsvariable ist für das Zufallsexperiment „Wurf eines homogenen Würfels“ gegeben:
X : Ereichte Augenzahl beim einmaligem Wurf eines Würfels
Bestimmen Sie den Erwartungswert für diese Zufallsvariable des Zufallsexperiments.
$%
&
Die Zufallsvariable X kann die Werte x k = k = 1 ; 2 ; . . . ; 6 annehmen
xk ⋅
µ =
pk
6
f (xk )
==
k
k =1
6
k ⋅f (k
) = 1⋅
k = 1
1
6
+ 2⋅
1
6
+
+ 6⋅
1
= 3 ,5
6
"
0
Die Lebensdauer T (in Jahren) eines bestimmten elektronischen Bauteils sei eine
exponentialverteilt Zufallsgröße mit der Dichtefunktion:
f(t)
f (t
0
)=
0 ,1 e
t ≤ 0
für
− 0 , 1t
für
t > 0
t
Berechnen Sie die mittlere Lebensdauer des Bauteils.
$%
&
0
∞
t ⋅ f (t ) d t =
µ =
− ∞
= 0,1 ⋅
∞
t ⋅ 0 ⋅ dt +
t → ∞
− 0,1 t − 1
⋅e
0,1 2
dt = 0,1 ⋅
0
− ∞
lim
t ⋅ 0,1 e
− 0 ,1t
− 0 ,1t
−
− 0,1 ⋅ 0 − 1
⋅e
0,1 2
− 0 ,1⋅ 0
1
− 0,1 t − 1
⋅e
0,1 2
= 0,1 ⋅
∞
− 0 ,1t
0
1
= 10 [ Jahre ]
0,1 2
0
Also beträgt die mittlere Lebensdauer des Bauteils 10 Jahre.
7
,
1
+
.
Varianz der Stichprobe für Stichproben mit sehr großem Umfang
Ist die Anzahl der Wiederholungen eines Zufallsexperiments (die Anzahl der Elemente einer
Stichprobe) sehr groß (N
∞) so kann die Varianz mit Hilfe von absoluten bzw. relativen
Häufigkeiten wie folgt berechnet werden.
M
h
k
⋅ (xk − x
M
)2
k
s2 =
M
f
k
⋅ (xk − x
⋅ (xk − x
k
)2
M
k
===
N − 1
=
h
Sehr große N
=
N
k
h
k
N
⋅ (xk − x
)2
)2
k
Dabei gibt M die Anzahl der verschiedenen Merkmalausprägungen.
Führt man ein Zufallsexperiment sehr oft durch (N
∞) , so nähern sich die relativen
Häufigkeiten f k für die jeweiligen Werte k den jeweiligen Werten der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (k) = f (xk) = pk an.
Definition 5) Varianz
² und Standardabweichung
einer Zufallsvariable
Die Varianz VAR( X ) einer Zufallsvariable X ist:
pk
σ
2
f (xk
=
) ⋅(
xk − µ
)2
,
falls X diskret ist.
k
Dabei sind p k = f ( x k ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion und
diskreten Zufallsvariable.
der Erwartungswert der
∞
σ
2
f (x)⋅( x − µ
=
) 2 dx ,
falls X stetig ist.
− ∞
Dabei sind f ( x ) die Dichtefunktion und
Die Standardabweichung ist: σ =
σ
der Erwartungswert der stetigen Zufallsvariable.
2
Bemerkung:
Die Varianz für diskrete bzw. stetige Zufallsvariablen kann auch mit der bequemeren Formel
berechnet werden.
σ
2
2
k
− µ
dx
− µ
f ( x k )⋅ x
=
2
,
falls X diskret ist.
,
falls X stetig ist.
k
∞
σ
2
f (x)⋅ x
=
2
2
− ∞
8
"
2
Folgende Zufallsvariable ist für das Zufallsexperiment „Wurf eines homogenen Würfels“ gegeben:
X : Ereichte Augenzahl beim einmaligem Wurf eines Würfels
Berechnen Sie die Varianz für diese Zufallsvariable des Zufallsexperiments.
$%
&
Die Zufallsvariable X kann die Werte x k = k = 1 ; 2 ; . . . ; 6 annehmen.
Im Beispiel 5 ergab sich für den Erwartungswert: µ = 3,5 .Somit ergibt sich für die Varianz:
6
2
σ
f (xk
=
)⋅ (
)
xk − µ
2
k
⋅ ( 1− 3 , 5
6
)2 +
1
6
)2
k = 1
k =1
1
=
f (k )⋅ ( k − 3,5
==
⋅ ( 2 − 3,5
)2 +
1
+
6
⋅ ( 6 − 3,5
)2
= 2 , 916
Man kann die Varianz auch mit Hilfe der bequemeren Formel ausrechnen.
6
σ
2
f (k ) ⋅ k 2
=
− 3 ,5
2
1
=
6
k =1
⋅ 12 +
+
1
6
⋅ 62
− 3 , 5 2 = 2 , 916
"
3
Die Lebensdauer T (in Jahren) eines bestimmten elektronischen Bauteils sei eine
exponentialverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion:
f (t
0
)=
t ≤ 0
für
− 0 , 1t
0 ,1 e
für
t > 0
Die mittlere Lebensdauer dieses Bauteils beträgt 10 Jahre (s. Bsp. 6). Berechnen Sie die
Standardabweichung für die Lebensdauer des Bauteils.
$%
&
0
∞
σ
2
∞
2
f ( t ) ⋅ ( t − µ ) d t ==
=
− ∞
0 ⋅ ( t − 10 )
2
0 , 1t
⋅ ( t − 10 ) 2 dt = 100
0
µ = 10 − ∞
Also beträgt die Standardabweichung:
0 ,1e −
dt +
= 10 [Jahre]
Man kann die Varianz auch mit Hilfe der bequemeren Formel ausrechnen.
0
σ
2
∞
0⋅t
=
2
− ∞
0 ,1e −
⋅ dt +
0 , 1t
⋅ t 2 ⋅ dt
− 10
2
= 100
0
= 10 [Jahre]
9