Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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Zufallsvariablen und ihre Verteilungen
Beispiele von Zufallsvariablen
Beispiel 1: Augenzahl eines Würfels
Beim Werfen eines Würfels kann die Augenzahl die
Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6 annehmen. Bei einem idealen
Würfel sind die Wahrscheinlichkeiten für das
Auftreten dieser Werte gleich groß und in der
folgenden Tabelle und in neben stehendem
Stabdiagramm eingetragen.
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeit
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
2
3
4
5
6
Beispiel 2: Augensumme zweier Würfel
•
•
Die Augensumme 2 tritt in den 36 möglichen
1
Fällen nur 1-mal auf ⇒ p 2 =
36
die Augensumme 3 tritt in den 36 m;glichen
2
Fällen insgesamt 2-mal auf ⇒ p 2 =
36
Augenzahl des 1. Würfels
Augenzahl des 2. Würfels
Beim Werfen zweier Würfel kann die Augenzahl jedes
Würfels die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6 annehmen. Bildet
man die Augensumme ergeben sich die in der Tabelle
dargestellten Werte. Die Augensumme nimmt dabei
die Werte 2, 3, …, 12 an. Unter der Annahme, dass
wir mit zwei idealen Würfeln spielen, d.h. die
Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 sind für jeden Würfel
gleich wahrscheinlich, treten die Werte der
Augensumme
mit
unterschiedlichen
Wahrscheinlichkeiten auf:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Entsprechend ergeben sich für die weiteren möglichen Versuchsausfälle die in der
folgenden Tabelle dargestellten Wahrscheinlichkeiten:
Augensumme
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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Wahrscheinlichkeit
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Entsprechend der Wahrscheinlichkeiten ergibt sich
für die Augensumme das neben stehende
Stabdiagramm
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Beispiel 3: Anzahl von „Kopf“ bei dreimaligem Münzwurf
Eine Münze wird dreimal geworfen und es wird gezählt, wie oft dabei das Ereignis „Kopf“
eintritt. Die Kopfanzahl kann damit die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Zur Bestimmung der
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines dieser Ereignisse bestimmen wir mit Hilfe
eines Baumdiagrammes sämtliche Möglichkeiten von Versuchsausfällen.
Es gibt genau 1 Möglichkeit, dass „Kopf“
nicht vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit für
dieses Ereignis ist:
1 1 1 1
p0−mal Kopf  = ⋅ ⋅ =
2 2 2 8
Das Ereignis 1-mal Kopf kommt insgesamt
3-mal vor, entsprechend ergibt sich für dessen Wahrscheinlichkeit:
p1−mal Kopf  =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
⋅ ⋅  ⋅ ⋅  ⋅ ⋅
=
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3
8
Das Ereignis 2-mal Kopf tritt ebenfalls 3-mal auf, d.h. dessen Wahrscheinlichkeit ist:
p2−mal Kopf  =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
⋅ ⋅  ⋅ ⋅  ⋅ ⋅
2 2 2
2 2 2
2 2 2
=
3
8
Das Ereignis 3-mal Kopf triff nur 1-mal auf, damit ist die Wahrscheinlichkeit für sein
Eintreten:
1 1 1 1
p3−mal Kopf  = ⋅ ⋅ =
2 2 2 8
Mit diesen Ergebnissen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis „Anzahl von
Kopf“ in der folgenden Tabelle und dem folgenden Stabdiagramm darstellen:
Anzahl Kopf
0
1
2
3
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Wahrscheinlichkeit
1
8
3
8
3
8
1
8
0
1
2
3
Beispiel 4: Wurfanzahl bis zum ersten Sechser
Ein Würfel wird solange geworfen, bis eine Sechs gewürfelt wird. Die Anzahl der dafür
nötigen Würfe wird festgehalten. Sie kann die Werte 1, 2, 3, … annehmen. Zur
Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines dieser Ereignisse zeichnen wir
das folgende Baumdiagramm:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Sechs
beim ersten Wurf kommt, ist:
p6 beim 1. Wurf  =
1
= 0,1667
6
Kommt die Sechs beim zweiten Wurf,
erhalten wir die Wahrscheinlichkeit:
p6 beim 2. Wurf  =
5 1
⋅ = 0,1389
6 6
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Sechs beim dritten Wurf kommt, errechnet sich aus:
p6 beim 3. Wurf 
=
5 5 1
⋅ ⋅
6 6 6
2
=

5
1
⋅
6
6
=
0,1157
Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Sechs beim n-ten Wurf auftritt, kann die folgende
Beziehung hergeleitet werden:
n−1
5
1
p6 beim n−ten.Wurf  =
⋅
6
6

Mit dieser Beziehung lassen sich nun die folgende Tabelle und das folgende
Stabdiagramm für die Wahrscheinlichkeiten bilden:
Wurfanzahl
1
2
3
...
n
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Wahrscheinlichkeit
1
= 0,1667
6
5 1
⋅ = 0,1389
6 6
2
...
5
1
⋅ = 0,1157
6
6

n−1

5
6
⋅
1
6
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
In jedem der betrachteten Beispiele liegt ein Zufallsexperiment vor, in dem einer Variablen
ein bestimmter Wert zugewiesen wird (z.B. dem Wurfergebnis zweier Würfel wird deren
Augensumme zugewiesen). Da das Ergebnis eines derartigen Versuches vom Zufall
abhängig ist, bezeichnet man die Variable eines derartigen Experimentes als
Zufallsvariable.
Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ausfall eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl zu.
Zufallsvariable werden mit Großbuchstaben (z.B. X , Y ) bezeichnet. Nimmt eine
Zufallsvariable einen bestimmten Wert, z.B. a an, schreibt man X = a . Mit p X = a
bezeichnet man jene Wahrscheinlichkeit, die dem Versuchsausfall a der Zufallsvariable
X zugeordnet
ist.
Der
Ausdruck p X  a bedeutet
entsprechend,
die
Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert  a annimmt. Analog sind die Schreibweisen
p X  a, p  X ≤ a und p X ≥ a zu verstehen. Mit pa  X  b bezeichnet man die
Wahrscheinlichkeit, dass die Variable X einen Wert zwischen a und b annimmt.
Analog sind pa ≤ X ≤ b, pa ≤ X  b und p a  X ≤ b  zu verstehen.
Die Werte einer Zufallsvariablen müssen nicht unbedingt Zahlen sein. Betrachtet man die
„Augenfarbe“ von willkürlich ausgewählten Personen, dann nimmt die Zufallsvariable die
Werte blau, grün, grau, etc. an. Man kann jedoch durch eine geeignete
Zuordnugsvorschrift, jedem Wert der Zufallsvariablen eine eindeutige Zahl zuordnen.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
In den oben angeführten Beispielen haben wir für jeden Wert der betrachteten
Zufallsvariablen
eine
Wahrscheinlichkeit
bestimmt.
Die
Bestimmung
der
Wahrscheinlichkeiten erfolgte dabei über Tabellen, Baumdiagramme bzw. im Falle des
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letzten Beispiels durch eine Formel.
Zuordnungen, die den Werten von Zufallsvariablen bestimmte Wahrscheinlichkeiten
zuordnen, werden als Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezeichnet:
Definition:
Sei X eine Zufallsvariable, die die (endlich oder unendlich vielen) Werte a1, a2, a3, 
annehmen kann. Wird jedem Wert ai eine Wahrscheinlichkeit p X = ai zugeordnet,
so wird diese Zuordnung als Wahrscheinlichkeitsverteilung von X bezeichnet.
Manche Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben auf Grund ihrer charakteristischen Form
bestimmte Namen:
•
Gleichverteilung (Beispiel 1)
•
Dreiecksverteilung (Beispiel 2)
•
Binomialverteilung (Beispiel 3)
•
geometrische Verteilung (Beispiel 4)
Zusammenhang
zwischen
Häufigkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
und
Führen wir ein Zufallsexperiment durch, können wir die absoluten Häufigkeiten der
Versuchsausfälle registrieren, bzw. aus den absoluten Häufigkeiten die relativen
Häufigkeiten bestimmen. Damit erhält man ein (absolute bzw. relative)
Häufigkeitsverteilung der Zufallsvariablen X .
In der folgenden Abbildung sind die relativen Häufigkeitsverteilungen für die die
Augensumme für n = 20, n = 100 bzw. n = 10000 dargestellt.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Mit steigendem n nähern sich die relativen Häufigkeitswerte immer mehr den
Wahrscheinlichkeiten p X = a an. Dies führt zum:
Empirisches Gesetz der großen Zahl:
Wird eine Versuchsserie zu je n Versuchen mehrfach durchgeführt und ist n groß, so
weichen die einzelnen Häufigkeitsverteilungen nur wenig voneinander ab und schwanke
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um die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Mittelwert und empirische Varianz einer Häufigkeitsverteilung
Definition:
Es seien a1, a2,  , ak die möglichen Werte einer Zufallsvariablen X . Bei n -maliger
Durchführung des Zufallsexperimentes ergebe sich eine Liste von n Variablenwerten,
wobei der Wert ai mit der absoluten Häufigkeit H n a i bzw. mit der relativen Häufigkeit
hn  ai  1 ≤ i ≤ k auftritt. Man setzt:
Mittelwert x der Liste:
a ⋅ H n a 1  a2 ⋅ H n a2     a k ⋅ H n  ak 
x= 1
= a1 ⋅ hn a1   a2 ⋅h n a2     a k ⋅h n ak 
n
Empirische Varianz s 2 der Liste:
2
2
2
a 1 − x  ⋅ H n a1    a2 − x  ⋅ H n a 2     ak − x  ⋅ H n  ak 

2
s =
n
2
2
2
=  a1 − x  ⋅hn  a1  a 2 − x  ⋅ hn a 2     ak − x  ⋅h n ak 
Empirische Standardabweichung s der Liste:
Varianz.
s = s 2
=
s ist die Wurzel aus der empirischen
Die oben angegebene Formel zur Berechnung der empirischen Varianz eignet sich gut als
Streuungsmaß für die Häufigkeitsverteilung von X , für die praktische Berechnung ist
allerdings die folgende Formel besser geeignet:
Satz:
Tritt jeder mögliche Wert ai einer Zufallsvariablen mit der absoluten Häufigkeit H n a i
bzw. mit der relativen Häufigkeit hn  ai  auf( 1 ≤ i ≤ k ), so gilt:
s
2
=
=
a21 ⋅ H n  a1  a22 ⋅ H n a2    a 2k ⋅ H n ak 
− x2
n
2
2
[ a1 ⋅h n a1   a2 ⋅h n a2    a2k ⋅hn ak  ] − x 2
=
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Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen
Erwartungswert
Das neben stehende Glücksrad ist in 4 Sektoren
geteilt. Der relative Anteil eines Sektors an der
Gesamtfläche ist in jedem Sektor eingetragen. Die
Zahlen am Rande legen die Höhe des Gewinnes für
jeden Sektor fest.
Wird nun das Glücksrad sehr oft gedreht, stellt sich
die Frage, wie hoch der mittlere Gewinn ausfallen
wird?
Es sei „Gewinn“ die Zufallsvariable, die die Werte 0, 2, 5, 10 annehmen kann. Wird das
Glücksrad n-mal gedreht, tritt jeder dieser Werte mit der relativen Häufigkeit
hn 0 , hn 2 , hn 5 und hn 10 auf. Der Mittelwert x der Gewinne aller Spiele ist dann:
x = 0⋅ hn 0  2 ⋅hn 2  5⋅ hn 5  10 ⋅hn 10 .
Wenn n sehr groß ist, nähern sich die Werte der relativen Häufigkeiten den
entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:
hn 0 = 0,4 ,
hn 2 = 0,3 ,
h n 5 = 0,2 ,
hn 10 = 0,1
Im Durchschnitt werden wir bei jeder Drehung des Glücksrades mit einem Gewinn von
x = 0⋅0,4  2⋅ 0,3  5⋅0,2  10 ⋅0,1 = 2,6
zu rechnen haben.
In einem Zufallsexperiment, dessen Zufallsvariable X die Werte a1, a2,  , ak annehmen
kann nähert sich große n der Mittelwert x dem Wert:
a1 ⋅ p a1   a2 ⋅ p a2     ak ⋅ pa k 
Definition:
Es
sei X eine
Zufallsvariable
mit
den
Werten a1, a2,  , ak denen
p
p

,
p
Wahrscheinlichkeiten 1, 2,
k zugeordnet sind. Dann nennt man
 = E  X  = a1 ⋅ p1  a 2 ⋅ p 2    a k ⋅ p k
den Erwartungswert von X
die
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Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist näherungsweise gleich dem Mittelwert einer
sehr langen Liste von Variablenwerten.
Varianz und Standardabweichung
Ähnliches wie für den Mittelwert x einer Häufigkeitsverteilung gilt auch für die empirische
Varianz. Führt man ein Zufallsexperiment sehr oft durch, nähern sich die relativen
Häufigkeiten den Wahrscheinlichkeiten. Damit nähert sich die empirische Varianz
s2
=
2
 a1 − x 
2
2
⋅hn  a1  a 2 − x  ⋅ hn a 2     ak − x  ⋅h n ak 
immer mehr dem Ausdruck
2
2
2
a 1 −   ⋅ p1  a 2 −   ⋅ p2    a k −   ⋅ p k
Dieser Ausdruck wird als Varianz von X bezeichnet.
Definition:
Es
sei X eine
Zufallsvariable
mit
den
Werten a1, a2,  , ak denen
p
p

,
p
Wahrscheinlichkeiten 1, 2,
k zugeordnet sind. Dann nennt man
2
2
die
2
 2 = V  X  = a1 −   ⋅ p1  a2 −   ⋅ p2    ak −   ⋅ pk
die Varianz von X
Die Zahl  = V  X 
heißt Standardabweichung von X .
Die Varianz (Standardabweichung) einer Zufallsvariablen ist näherungsweise gleich der
empirischen Varianz (empirischen Standardabweichung) einer sehr langen Liste von
Variablenwerten.
Ähnlich wie für die empirische Varianz gilt auch hie der Satz:
Satz:
Tritt jeder mögliche Wert ai einer Zufallsvariablen mit der Wahrscheinlichkeit pi auf
( 1 ≤ i ≤ k ), so gilt:

2
=
[ a21 ⋅ p 1  a 22 ⋅ p2   a2k ⋅ p k ] − 2
Übung:
Zehn Jugendliche nehmen an einem Test teil, bei dem 5 Begriffe zu erraten sind. Die
Anzahlen der erratenen Begriffe sind in der folgenden Liste angegeben: 1, 3, 2, 2, 4, 5, 0,
4, 5, 4
1. Welche Werte kann die Zufallsvariable „Anzahl erratener Begriffe“ annehmen?
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Berechne die absoluten und relativen Häufigkeiten dieser Werte.
2. Berechne den Mittelwert x der Liste auf zwei Arten, einmal mit den absoluten und
einmal mit den relativen Häufigkeiten.
3. Berechne die empirische Varianz s 2 der Liste nach der unten stehender Definition
auf zwei Arten, einmal mit den absoluten und einmal mit den relativen Häufigkeiten.
4. Berechne die empirische Varianz s 2 der Liste nach dem folgenden Satz und
vergleiche mit den Ergebnissen von 3)
s
2
=
=
a21 ⋅ H n a1   a22 ⋅ H n a2     a2k ⋅ H n a k 
− x2
n
2
2
[ a1 ⋅h n a1   a2 ⋅h n a2     a2k ⋅hn ak 2 ] − x 2
=
5. Berechne die Standardabweichung s der Liste
(ad 1: 0, 1, 2, 3, 4, 5
ad 2: x = 3 ,
ad 3: s 2 = 2,6 ,
ad 4: s 2 = 2,6 ,
ad 5:  = 2,6 )
Übung:
Die SchülerInnen der Klassen 7a und 7b treten zu einem Mathematikwettbewerb an. Es
sind sechs etwa gleich schwere Aufgaben zu lösen, wobei nur vollständig gelöste
Aufgaben zählen. Die Anzahlen der gelösten Aufgaben sind für die einzelnen SchülerInnen
in der folgenden Liste angegeben:
7a: 3, 3, 5, 1, 0, 1, 2, 4, 4, 2, 0, 3, 4, 1, 4, 5, 2, 6, 1, 4, 2, 3, 5, 4, 3
7b: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 4, 2, 2, 0, 1, 3, 2, 6, 3, 1, 2, 5, 1, 3, 2, 3, 3
1. Stelle die Verteilung der relativen Häufigkeiten der Anzahl gelöster Aufgaben für
jede Klasse durch ein Stabdiagramm dar.
2. Berechne für jede Klasse den Mittelwert, die empirische Varianz und die empirische
Standardabweichung.
3. Welche Klasse hat besser abgeschnitten? Wie lassen sich die unterschiedlichen
Standardabweichungen deuten?
(ad 2: x a = 2,88 , x b = 2,739 s 2a = 2,586 , s 2b = 0,975  a = 1,608 ,  b = 0,987 ,
ad 3: in der Klasse 7a haben die Schüler im Schnitt mehr Aufgaben gelöst, allerdings ist
die Standardabweichung für die Klasse 7b geringer, d.h. die Anzahl der gelösten Aufgaben
weicht weniger stark vom Durchschnitt ab.)
Übung:
Ein Werkstück wurde mit zwei Waagen jeweils zehnmal gewogen. Dabei ergaben sich die
folgenden, leicht schwankenden Messergebnisse (in Milligramm)
1. Waage: 42, 43, 43, 41, 42, 42, 42, 43, 43, 41
2. Waage: 43, 42, 42, 43, 42, 42, 41, 42, 42, 43
Zeige, dass beide Waagen das selbe mittlere Gewicht des Werkstückes liefern. Welche
Waage kann man als genauer bezeichnen? Begründe!
( x 1 = x 2 = 42,2  1 = 0,56 ,  2 = 0,36 )
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Übung:
Reißnägel der Marke A und B werden in Schachteln zu je 100 Stück verpackt, doch
ergeben sich bei der Serienabfüllung leichte Schwankungen. Bei der Untersuchung von 20
Schachteln jeder Marke ergaben sich die folgenden absoluten Häufigkeiten:
Marke A: Schachtelinhalt (Stück) 97 98 99 100 101 102 103
Absolute Häufigkeit
1
2
4
8
3
1
1
Marke B: Schachtelinhalt (Stück) 97 98 99 100 101 102 103
Absolute Häufigkeit
2
2
5
7
3
0
1
1. Berechne die relativen Häufigkeiten.
2. Berechne für beide Marken den Mittelwert, die empirische Varianz und die
empirische Standardabweichung des Schachtelinhaltes.
3. Welche Marke soll man eher kaufen, wenn eine Schachtel der Marke A gleich teuer
ist wie eine Schachtel der Marke B? Bei welcher Marke muss die Herstellerfirma
eher mit einer Reklamation rechnen? Begründe die Antworten.
( x A = 99,85 , x B = 99,55  A = 1,828 ,  B = 1,948 )
Die Binomialkoeffizienten
Betrachten wir ein Glücksrad, das in zwei Sektoren
geteilt ist. Das rote Feld bezeichne dabei einen
Treffer (T), entsprechend bezeichne das grüne Feld
einen Nichttreffer (N). Drehen wir das Glücksrad nun
z.B. viermal, erhalten wir vier Versuchsausfälle, die
als Quadrupel (z.B. TTNT) angeschrieben werden
können.
Zur Beantwortung der Frage, wie viele mögliche
Quadrupel gebildet werden können, betrachten wir
das folgende Baumdiagramm:
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In diesem Baumdiagramm entspricht jedem Treffer
eine nach rechts führende, jedem Nichttreffer eine
nach links führende Strecke. Jedem Versuchsausfall
entspricht ein Weg von der Spitze bis zu einem
Knoten ganz unten. Die Zahlen an den rot
eingefärbten Knoten geben die Anzahl der möglichen
Wege an, die von der Spitze zu diesem Knoten
führen. Zu diesen Zahlen kommt man, indem man
alle Wege, die zu einem Endknoten führen abzählt.
Wird das Glücksrad allerdings öfter als 4-mal
gedreht, wird das Abzählen der möglichen Wege
sehr schnell unübersichtlich und mühsam. Es stellt sich die Frage, ob diese Zahlen auf
einem anderen Weg bestimmt werden können. Dazu überlegen wir nochmals, wie man zu
den Zahlen in der untersten Reihe kommen kann:
• zum ersten und zum letzten Knoten der letzten Zeile führt jeweils ein einziger Weg.
• Für den zweiten Knoten der letzten Zeile gibt es zwei Möglichkeiten: zum links
darüber stehenden Knoten führt genau ein Weg. Durch Anhängen eines T's kommt
man zum gewünschten Knoten. Die zweite Möglichkeit führt über den rechts
darüber stehenden Knoten. Zu diesem Knoten führen 3 Wege und durch Anhängen
eines N's kommen wir wieder zum gewünschten Knoten. Damit gibt es insgesamt
1  3 = 4 mögliche Wege.
• Durch analoge Schlüsse stellt man fest, dass zum 3. Knoten der letzten Zeile
3  3 = 6 , zum 4. Knoten 3  1 = 4 Wege und zum letzten Knoten wieder
genau ein Weg führen.
Diese Überlegungen lassen sich in analoger Weise für jede beliebige Zeile anstellen, d.h.
es gibt ein allgemeines Schema, mit dem das Baumdiagramm beliebig weit fortgesetzt
werden kann:
In jeder Zeile schreibt man am linken und am rechten Rand die Zahl 1. Die übrigen
Zahlen ergeben sich aus der Summer der unmittelbar darüber stehenden Knoten.
In der folgenden Abbildung wurde das Baumdiagramm bis zur 7-ten Zeile fortgesetzt.
Dieses, beliebig weit fortsetzbare Schema, wird als Pascal'sches Dreick bezeichnet.
n=1
1
1
n=2
1
n=3
1
n=4
1
n=5
1
n=6
n=7
1
1
3
4
5
6
7
2
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
Aus dem Pascal'schen Dreieck ist zu erkennen, dass der k-1 - te Knoten in der n-ten Zeile
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angibt, wie viele n-Tupel es gibt, in denen T k-mal vorkommt.
In der dritten Zeile z.B. gibt der erste Knoten an, dass es 1 Tripel gibt, in dem T 0-mal
vorkommt. Der zweite Knoten besagt, dass es 3 Tripel gibt, in denen T genau 1-mal
vorkommt, der dritte Knote besagt, dass es ebenfalls 3 Tripel gibt, in denen T 2-mal
vorkommt. Die vierte Knoten schließlich besagt, dass es genau 1 Tripel gibt in dem T 3mal vorkommt.
Für die Anzahl der n-Tupel gibt es in der Mathematik ein eigenes Symbol:
Definition:
Die Anzahl der aus zwei Elementen (z.B. T und N) gebildeten n-Tupel, in denen eines der
beiden Elemente (z.B. T) genau k-mal vorkommt, bezeichnet man mit
n
[sprich: n über k] ( n ≤ 1, 0 ≤ k ≤ n )
k

Die Zahlen
nk heißen Binomialkoeffizienten.
Berechnung der Binomialkoeffizienten
Zur Berechnung der Binomialkoeffizienten kann prinzipiell das Pascal'sche Dreieck
herangezogen werden, daneben gibt es aber auch die folgende Formel:
n − k  1 
n!
=
nk = n⋅ n −k ⋅1k⋅−n1−⋅2k⋅⋅
− 2  ⋅ 1
k !⋅  n − k  !
Dabei ist n ! = 1⋅ 2⋅3 ⋅⋅ n
Übung:
Berechne
126 , 1711 und 195 . (924, 12376, 11628)
Übung:
Wir betrachten sinnlose „Wörter“ aus 10 Buchstaben, wobei nur die Buchstaben A und
B verwendet werden, zum Beispiel AAABBABABB. Wie viele solche „Wörter“ kann man
bilden, wenn der Buchstaben A
a. nie
b. genau zweimal
c. genau fünfmal
d. genau siebenmal
e. genau zehnmal
vorkommen soll?
(1, 45, 252, 120, 1)
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Übung:
Eine Münze wird zweimal geworfen. Bei jedem Wurf kann Kopf (K) oder Zahl (Z) kommen.
a. Zeichne ein Diagramm
b. Schreib alle Versuchsausfälle als Paare mit Hilfe der Elemente K und Z an (also
KK, KZ, …). In wie vielen Versuchsausfällen kommt k genau 0-mal, 1-mal bzw. 2mal vor? Wie kann man diese Anzahlen auch mit Hilfe der Binomialkoeffizienten
berechnen?
(ad b: in 1 Versuchsausfällen kommt K genau 0-mal vor, in 2 Versuchsausfällen kommt K
genau 1-mal vor, in 1 Versuchsausfällen kommt K genau 2-mal vor)
Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
Aus dem Pascal'schen Dreieck ist zu erkennen:
1. in jeder Zeile steht am linken und am rechten Rand die Zahl 1
2. Die Zahlen in einer Zeile sind symmetrisch angeordnet. Die erste Zahle ist gleich
der letzten, die zweite ist gleich der vorletzten, usw.
3. ab der zweiten Zeile kann jede nicht am linke oder rechten Rand stehende Zahl als
Summe der unmittelbar darüber stehenden Zahlen gebildet werden.
Mit Hilfe des Symbols
nk lassen sich diese Beobachtungen wie folgt formulieren:
Satz:
1. Für all n ∈ ℕ ∗ gilt:
n0= 1
und
nn= 1
2. für all n ∈ ℕ∗ und alle k ∈ ℕ mit 0 ≤ k ≤ n gilt:
nk= n −n k 
3. für all n ∈ ℕ ∗ mit n ≥ 2 und alle k ∈ ℕ mit 1 ≤ k ≤ n − 1 gilt:
n = n− 1  n− 1
k
k−1
k
    
Der Binomiallehrsatz
Die Bezeichnung Binomialkoeffizienten rührt daher, dass die Zahlen
nk als Koeffizienten
n
in den binomischen Formeln  a  b  vorkommen. Es gilt der folgende Satz:
Satz (Binomiallehrsatz): für alle a , b ∈ ℝ und alle n ∈ ℕ ∗ gilt:
0 
1
2
n 
 a  b n = n ⋅an b 0  n ⋅ an − 1 b 1  n ⋅a n − 2 b2    n ⋅ a0 b n 
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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Die Binomialverteilung
Wir betrachten wieder ein Glücksrad, das in zwei
Sektoren geteilt ist. Das rote Feld bezeichne dabei
einen Treffer (T), entsprechend bezeichne das grüne
Feld einen Nichttreffer (N). Das Glücksrad werde nmal gedreht. Die absolute Häufigkeit der Anzahl der
Treffer T kann dabei die Werte H = 0,1, 2,... , n
annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten
des Ereignisses T sei PT  = p , entsprechend
ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von N
p N  = 1 − p .
Wir fragen uns nun, mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsvariable H die
Werte H = 0,1, 2,.... , n an.
Zur Beantwortung dieser Frage betrachten wir das folgende Baumdiagramm.
Einem Versuchsausfall H des Zufallsexperimentes, in dem das Glücksrad k-mal auf T
stehen bleibt, entspricht einem Weg von der Spitze bis zu einem bestimmten Endknoten
des Baumes. Auf diesem Weg, der aus n Strecken besteht, gibt es k T-Knoten und
entsprechend n − k N-Knoten. Zu jedem der T-Knoten führt eine Strecke, die mit der
Wahrscheinlichkeit p eingeschlagen wird. Umgekehrt führt zu jedem N-Knoten eine
Strecke, die mit der Wahrscheinlichkeit p N  = 1 − p eingeschlagen wird. Für den
n−k
vollständigen Weg ergibt sich damit die Wahrscheinlichkeit pk ⋅ 1 − p 
. Da es
n
insgesamt
solcher Wege gibt, erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit p H = k  :
k


n−k
p H = k  = n ⋅ p k ⋅  1 − p 
k
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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Es gilt der folgende Satz:
Satz:
Bei einem Zufallsversuch trete ein Ereignis E (Treffer) mit der Wahrscheinlichkeit p
ein. Der Versuch werde n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt. Ist H die
Anzahl der Versuch, bei denen E eintritt, dann gilt:
n−k
k
p H = k  = n ⋅ p ⋅  1 − p 
(für 0 ≤ k ≤ n )
k

Mit der Formel aus obigen Satz kann für jeden Wert k der Zufallsvariable H die
zugehörige
Wahrscheinlichkeit
berechnet
werden.
Damit
ist
aber
eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung festgelegt. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung hat einen
eigenen Namen:
Definition:
Es sei H eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten 0, 1, 2,..., n. Wird jedem dieser
Werte die Wahrscheinlichkeit
n−k
k
p H = k  = n ⋅ p ⋅  1 − p 
mit 0 ≤ k ≤ n und 0 ≤ p ≤ 1
k
zugeordnet, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung
als Binomialverteilung mit den Parametern n und p . Die Zufallsvariable nennt man
binomialverteilt mit den Parametern n und p .

Beispiel:
Ein Münze wird zwölfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a. genau viermal
b. genau sechsmal
c. genau achtmal
„Kopf“ kommt?
1
Die Wahrscheinlichkeit, dass „Kopf“ kommt, ist p Kopf  =
, entsprechend ist die
2
1
Wahrscheinlichkeit, eine „Zahl“ zu werfen p  Zahl  =
2
ad a)
Die Anzahl n = 12 ist die Anzahl der Würfe. k = 4 bedeutet, dass „Kopf“ in den 12
Würfen genau viermal vorkommen soll.
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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4
pH = 4 =
4
=
12 − 4
  
1
1
495 ⋅  ⋅  
2
2
1
495 ⋅ 
2
12 ⋅ 1 ⋅ 1
2
2
4
=
8
=
12
=
=
=
0,1208
ad b)
Die Anzahl n = 12 ist die Anzahl der Würfe. k = 6 bedeutet, dass „Kopf“ in den 12
Würfen genau sechsmal vorkommen soll.
6
pH = 6 =
6
=
12 − 6
  
1
1
924 ⋅   ⋅  
2
2
1
924 ⋅  
2
12 ⋅ 1 ⋅ 1
2
2
6
=
6
=
12
=
=
=
0,2256
ad c)
Die Anzahl n = 12 ist die Anzahl der Würfe. k = 8 bedeutet, dass „Kopf“ in den 12
Würfen genau sechsmal vorkommen soll.
8
p  H = 8 =
8
=
12 − 8
  
1
1
495 ⋅   ⋅  
2
2
1
495 ⋅  
2
12 ⋅ 1 ⋅ 1
2
2
8
=
4
=
12
=
=
=
0,1208
Beispiel:
Eine Schülerin hat einen Wortschatz von 70% aller erlernten Vokabeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sie von 10 zufällig gewählten Vokabeln mindestens 8 weiß?
Die Wahrscheinlichkeit, ein Vokabel zu wissen ist pV  =
70
= 0,7 .
100
Die Anzahl n = 10 ist die Anzahl der abgefragten Vokabeln. Sollen unter den 10
abgefragten Vokabeln mindestens 8 richtig sein, haben wir zu berechnen:
p H ≥ 8 = p  H = 8  p H = 9  p  H = 10 .
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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Zunächst berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten p H = 8 , p H = 9, p  H = 10 :
p  H = 8
=
108⋅ 0,7 ⋅ 0,3
p  H = 9
=
109⋅ 0,7 ⋅ 0,3
p  H = 10  =
8
9
10 − 8
=
45⋅ 0,78 ⋅ 0,32
=
0,23347
10 − 9
=
10 ⋅0,7 9 ⋅0,3 1
=
0,12106
=
1 ⋅0,710 ⋅ 0,30
=
0,02825
1010⋅ 0,7 ⋅ 0,3
10
10 − 10
Insgesamt erhalten wir:
p H ≥ 8
=
=
=
p H = 8  p  H = 9  p H = 10 =
0,23347  0,12106  0,02825
=
0,38278
Übung:
Ein Würfel wird viermal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl
6
a. nie
b. genau einmal
c. genau zweimal
d. genau dreimal
e. genau viermal
kommt?
(0.4823, 0.3858, 0.1157, 0.0154, 0.0008)
Übung:
Unter 30 Jugendlichen einer Schulklasse sind 2 Blauäugige. Es werden 5 Jugendliche aus
dieser Klasse zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den
ausgewählten Jugendlichen
a. kein Blauäugiger
b. genau 1 Blauäugiger
c. genau 2 Blauäugige
sind?
(0.7082, 0.2529, 0.0361)
Übung:
Max spielt beim Roulette nur sogenannte „einfache Chancen“ (Ereignisse mit der
18
Wahrscheinlichkeit
, z.B. „Rot“ oder „Gerade“). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
37
dass Max unter 8 Spielen
a. nie
b. genau dreimal
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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c. genau sechsmal
gewinnt?
(0.0048, 0.2302, 0.0979)
Übung:
Bei einem Automaten gewinnt man in 30% der Spiele. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass man
a. bei 10 Spielen,
b. bei 20 Spielen
genau 8-mal gewinnt?
(0.001447, 0.114397)
Übung:
Bei einer Fließbandproduktion sind ca. 5% der Produkte defekt. Zur Kontrolle werden 10
Produkte zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a. 0 Produkte
b. genau 2 Produkte
c. genau 3 Produkte
defekt sind?
( 0.598737, 0.074635, 0.010475)
Übung:
Bei einer Prüfung sind 10 Fragen mit „ja“ bzw. „nein“ zu beantworten. Ein Schüler
beantwortet die Fragen blind, d.h. er wählt die Antwort „ja“ bzw. „nein“ jeweils mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit 0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von 10
gestellten Fragen
a. mindestens 5
b. mindestens 7
c. alle 10
richtig beantwortet?
( p H ≥ 5 = 0.62305, p H ≥ 7 = 0.17188, p  H = 10  = 0,00098 )
Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen
Die Herleitung der Formeln für den Erwartungswert und die Varianz der Binomialverteilung
sind schwierig, daher wird der folgende Satz ohne Herleitung angegeben:
Satz: Ist H eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p , dann
gilt für den Erwartungswert und die Varianz von H :
 = EH = n⋅ p,
 2 = np ⋅  n − p 
Beispiel:
Es wird 20-mal gewürfelt. Es sei H die Anzahl der erhaltenen Sechser.
1. Berechne den Erwartungswert  , die Varianz  2 und die Standardabweichung
 von H.
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass H größer als    ist?
Ist H eine binomialverteilte Zufallsvariable, dann gilt:

2
=
=
EH =
V H =
np
np⋅ 1 − p 
ad 1)
Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, ist p =
1
= 0,166667 .
6
Die Anzahl n = 10 ist die Anzahl der Würfe. Für den Erwartungswert und die Varianz
erhalten wir dann:

=
EH
=
np
2
=
V H
=
np⋅ 1 − p  =

=
V  H
=
1,39
ad 2)
Für die Wahrscheinlichkeit, dass
=
=
1
6
1
1
10 ⋅ ⋅ 1 −
6
6
1,18
10 ⋅
 
=
1,67
=
1,39
H     ist, haben wir zu berechnen
p H     = p H  1,667  1,179 = p H  2,846
Die Anzahl der erhaltenen Sechser soll also > 2,846 sein, d.h. wir haben zu berechnen:
p H = 3  p H = 4   p H = 10 .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich einfacher über die Gegenwahrscheinlichkeit
berechnen:
p H  2,846 = 1 − p  H ≤2,846 = 1 − p H = 0 − p  H = 1 − p  H = 2
Wir berechnen zunächst:
0
p H = 0 =
1
p H = 1 =
2
p H = 2 =
10 − 0
    
101⋅16  ⋅56 
10 ⋅ 1 ⋅ 5
 2  6  6 
10 ⋅ 1 ⋅ 5
6
6
0
10
=

=
10⋅
=
1
5
45⋅
⋅
6
6
5
6
10 − 1
1
10 − 2
2
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich damit aus:
0,161506
=
0,323011
=
0,29071
9


1
5
⋅
6
6
=
8
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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p H  2,846
=
=
=
1 − p H = 0 − p H = 1 − p  H = 2
1 − 0,161506 − 0,323011 − 0,29071
0,224773
=
=
Übung:
Eine Münze wird 6-mal geworfen. H sei die absolute Häufigkeit von „Zahl“.
1. Berechne den Erwartungswert  , die Varianz  2 und die Standardabweichung
 von H.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass H größer als  −  ist?
(ad 1:  = 3,  = 1.5 , ad 2: p  H   −   = 0,984375 )
Übung:
Jemand setzt beim Roulette 20-mal hintereinander auf Rot. Es sei H die Häufigkeit, mit der
Rot eintritt.
1. Berechne den Erwartungswert  , die Varianz  2 und die Standardabweichung
 von H.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  −  ≤ H ≤   ist?
(ad 1:  = 9.7297,  = 2.2352 , ad 2:) p   −  ≤ H ≤     = 0.6263 )
Normalverteilung:
Bisher haben wir nur diskrete Verteilungen betrachtet, d.h. Zufallsexperimente, deren
Ausgänge nur ganz bestimmte (meist ganzzahlige) Werte annehmen können. Variablen
wie z.B. die Größe einer Person oder die Wartezeit auf einen Bus können aber jeden
beliebigen Wert annehmen. Für derartige Variablen ist es sinnlos nach der
Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert zu fragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Mensch 170,012345678901234....cm groß ist, ist 0. Sinnvoller ist es zu fragen, mit welcher
Wahrscheinlichkeit eine Variable in einem bestimmten Intervall liegt, z.B. dass die Größe
einer Person zwischen 170 und 175 cm liegt.
Die wichtigste stetige Verteilung ist die Normalverteilung. Sie eignet sich als Näherung
für viele Variablen, die in der Praxis auftreten.
Eine Normalverteilung wird durch ihren Erwartungswert  und ihre Standardabweichung
 festgelegt.
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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Der Graph der Normalverteilung ist die charakteristische Gauß'sche Glockenkurve. Sie
liegt symmetrisch zu  , hat dort einen Hochpunkt und bei  ±  Wendepunkte.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in einem bestimmten Intervall [ a ; b ] liegt,
entspricht der Fläche unter der Kurve in diesem Intervall.
Die Fläche unter der gesamten Kurve entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 100% und
ist also 1.
Faustregel:
P  −   x     
=
2
≡ 68 %
3
P   − 2   x    2  =
0,95 ≡ 95 %
P  − 3   x    3   =
0,997 ≡ 99,7 %
Das für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit Pa  x  b benötigte Integral kann nur
näherungsweise berechnet werden. Zu dessen Bestimmung stehen Tabellen zur
Verfügung. In diesen Tabellen sind die Wahrscheinlichkeitswerte für die Normalverteilung
mit Erwartungswert  = 0 und Standardabweichung  = 1 angegeben.
Eine Normalverteilung mit Erwartungswert  = 0 und Standardabweichung  = 1 wird
als standardisierte Normalverteilung  Z  bezeichnet.
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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Mit der Beziehung
Z=
x−

kann jede Normalverteilung auf die standardisierte Normalverteilung transformiert werden.
Mit dieser Transformation kann die Wahrscheinlichkeit für p x  a wie folgt berechnet
werden:
P x  a = P Z  z =   z  mit z =
Der Wert  z  gibt die Fläche links von z an.
Für negative
wegen
der
Glockenkurve:
Werte von z gilt
Symmetrie
der
 Z  −z  =  −z = 1 −   z
a−

Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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Für die Wahrscheinlichkeit, dass
Z  z ist (Fläche rechts von z )
erhält man:
 Z  z = 1 −   z
Für negative z ist
 Z  −z 
=
=
=
1 − −z 
=
1 − [ 1 −   z ] =
  z
Die Wahrscheinlichkeit, dass Z
zwischen zwei gegebenen Werten
liegt (Fläche zwischen z 1 und z 2 )
beträgt:
 z 1  Z  z 2 =  z 2  −   z 1
Beispiel:
Die Größe von 18-jährigen Burschen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert
180 cm und der Standardabweichung 6cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
18-jähriger Bursche
a. kleiner als 185 cm,
b. größer als 185 cm,
c. kleiner als 170 cm,
d. zwischen 170 und 185 cm
groß ist?
Aus der Angabe wissen wir:  = 180,  = 6
ad a)
Um P x  185 berechnen zu können, müssen wir x = 185 zu
z=
x −  185 − 180
=
= 0,83

6
transformieren. Aus der Tabelle ergibt sich dann:
P x  185 = P Z  0,83 = 0,83 = 0,79673 ≡ 79,673 %
ad b)
Um P x  185 berechnen zu können, müssen wir x = 185 zu
z=
x −  185 − 180
=
= 0,83

6
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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transformieren. Aus der Tabelle ergibt sich dann:
P x  185 = P Z  0,83 = 1 − 0,83 = 1 − 0,79673 = 0,20327 ≡ 20,3 %
ad c)
Um P x  170 berechnen zu können, müssen wir x = 170 zu
z=
x −  170 − 180
=
= −1,67

6
transformieren. Aus der Tabelle ergibt sich dann:
P x  170 = P Z −1,67 = 1 −  1,67 = 0,04746 ≡ 4,7 %
ad d)
Um P170  x  185 berechnen zu können, müssen wir x 1 = 170 und x 2 = 185 zu
z1
=
z2
=
x1 − 

x2 − 

=
=
170 − 180
6
185 − 180
6
= −1,67
=
0,83
transformieren. Aus der Tabelle ergibt sich dann:
P170  x  185  =
=
=
=
=
P −1,67  Z  0,83
 0,83 − −1,67
 0,83 −  1 −  1,67 
0,79673 − 0,04746
=
=
=
=
0,74927 ≡ 74,927 %
Umkehraufgaben
In der Praxis stellt sich manchmal die Aufgabe, zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
den x- bzw. den z-Wert zu finden. Besonders oft wird ein Bereich gesucht, in dem die
Werte einer Variablen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegen, ein sogenannter
Streubereich. Normalerweise wird dabei verlangt, dass der Erwartungswert in der Mitte
dieses Bereiches liegt.
Beispiel:
In welchem um den Erwartungswert symmetrischen Bereich liegt die Größe von 90% aller
18-jährigen Burschen?
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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Sollen 90% aller Werte innerhalb des Bereichs liegen, müssen je 5% darüber und darunter
liegen. Wir suchen also  −z  = 0,05 bzw.  z  = 0,95 . In der Tabelle finden wir
 1,64  =
 1,65 =
0,9495
0,9505
Der gesuchte Wert für z liegt also zwischen den Werten 1,64 und 1,65. Wir rechnen mit
dem arithmetischen Mittel z = 1,645 . Zur Bestimmung der Intervallgrenzen formen wir
die Standardisierungsformel um:
Linke Intervallgrenze
−z
=
−z ⋅ 
=
xl − 

xl − 
xl
=
 − z ⋅
Rechte Intervallgrenze
|⋅
z
=
| 
z ⋅
=
xr − 

xr − 
xr
=
  z⋅
| ⋅
|
Als Intervallgrenzen erhalten wir damit:
xl
xr
=
=
180 − 1,645⋅ 6
180  1,645⋅ 6
=
=
170,13
189,87
Es sind also 90% aller 18-jährigen Burschen ca. 170 – 190 cm groß.
Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Die folgenden Bilder zeigen das Histogramm der Binomialverteilung für p =
1
2
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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n = 4, p =
1
2
n = 10, p =
1
2
n = 20, p =
1
2
Es ist zu erkennen, dass der treppenförmige Graph der Binomialverteilung immer mehr zu
einer Kurve wird, die einer Glockenform ähnlich ist. Mit zunehmendem n nähert sich die
Kurve immer mehr der Normalverteilung. Diese hat den selben Erwartungswert und die
selbe Standardabweichung.
Für große n darf man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit
 = E  H  = n ⋅ p ,  2 = np ⋅  n − p 
annähern. Faustregel: die Annäherung ist für   3 erlaubt
Hypothesen testen
Zufall oder Gesetzmäßigkeit?
Beispiel:
Aus früheren Untersuchungen weiß man, dass die Zahncreme „Strahleweiß“ bei 40% der
Bevölkerung bekannt ist. Kürzlich hat die Herstellerfirma eine Werbekampagne in Auftrag
gegeben. Die Marketingabteilung möchte nun wissen, ob der Bekanntheitsgrad des
Produktes gestiegen ist. Dazu wird eine Befragung durchgeführt, bei der von 100
Befragten 45 angeben, die Zahncreme zu kennen. Kann man also sagen, dass die
Kampagne erfolgreich war?
45 ist offensichtlich mehr als 40% von 100. Es könnte allerdings auch sein, dass sich der
Bekanntheitsgrad der Zahncreme nicht geändert hat und in der Stichprobe zufällig mehr
Personen das Produkt kannten, als zu erwarten war.
Wir formulieren die Fragestellung etwas anders:
Angenommen 40% der Bevölkerung kennen das Produkt. Wie hoch ist
Wahrscheinlichkeit, dass von 100 Personen mindestens 45 die Zahncreme kennen.
die
Bei unserem Problem handelt es sich um eine Binomialverteilung mit n = 100 und
p = 0,4 . Für  und  erhalten wir:
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
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

=
=
n⋅ p
=
n⋅ p ⋅  1 − p  =
100⋅ 0,4
100⋅ 0,4⋅ 0,6
=
=
40
4,899
Die Standardabweichung ist > 3, d.h. wir können die Binomialverteilung durch die
Normalverteilung annähern:
45 − 40
z=
= 1,021
4,899
p  x ≥ 45  = 1 − 1,021 = 1 − 0,8461 = 0,154 ≡ 15,4 %
Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 15,4%, dass das Befragungsergebnis zufällig
zustande gekommen ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist ziemlich hoch, man kann also nicht
mit Sicherheit sagen, dass die Werbekampagne erfolgreich war.
Zusammenfassung:
Beim Testen von Hypothesen gehen wir von der Annahme aus, dass es keinen Effekt bzw.
keinen Zusammenhang gibt. Diese Annahme wird als Nullhypothese bezeichnet. Unter
Verwendung dieser Annahme berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit, dass das
Untersuchungsergebnis zufällig so stark vom Erwartungswert (  ) abweicht. Ist diese
Wahrscheinlichkeit
genügend
klein,
können
wir
schließen,
dass
das
Untersuchungsergebnis nicht durch Zufall zustande gekommen ist, sondern dass es
tatsächlich eine Veränderung gegeben hat (Alternativhypothese). Die Nullhypothese wird
abgelehnt (verworfen).
Was heißt genügend klein? Meist entscheidet man sich für einen Grenzwert von 5%. Liegt
die Wahrscheinlichkeit für einen Zufallstreffer darunter, bezeichnet man das Ergebnis als
statistisch signifikant. Man kann diesen Zusammenhang auch so formulieren: die
Wahrscheinlichkeit, dass man einen Zusammenhang annimmt, obwohl in Wirklichkeit kein
Zusammenhang existiert (Irrtumswahrscheinlichkeit) ist kleiner als 5%.
Scheint die Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% zu hoch zu sein, kann man auch 1% bzw.
0,3% wählen. In letzterem Fall spricht man von einem hochsignifikantem Ergebnis.
Beispiel:
Der Zahnpastahersteller möchte die Untersuchung zum Bekanntheitsgrad des Produktes
„Strahleweiß“ mit 500 Teilnehmern wiederholen. Ab welchem Ergebnis wird die
Nullhypothese
„der
Bekanntheitsgrad
ist
40%“
abgelehnt,
wenn
die
Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen soll?
Zunächst berechnen wir


=
=
 und  :
n⋅ p
=
n⋅ p ⋅  1 − p  =
500⋅ 0,4
500⋅ 0,4 ⋅0,6
=
=
200
120
Wenn die Nullhypothese richtig sein soll, müssen mindestens 95% der Ergebnisse im
Intervall [−z ; z ] liegen. Wir müssen also z so bestimmen, dass
p −z  x  z  ≥ 0,95
ist.
Wahrscheinlichkeitsrverteilungen
Lernunterlagen
Berechnung von p −z  x  z  :
p −z  x  z  =
  z −  −z 
  z −  1 −  z  
2  z  − 1
2  z 
  z
≥
≥
≥
≥
≥
0,95
0,95
0,95 |  1
1,95 | ÷ 2
0,975
z
≥
1,96
Mit der Umkehrung der Standardisierungsformel erhalten wir:
xl
xr
=
=
200 − 120 ⋅1,96
200  120 ⋅1,96
=
=
178,529
221,471
Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn entweder weniger als 178 oder mehr als 221
Befragte angeben, das Produkt zu kennen.
WICHTIG:
Angenommen 225 Befragte ( ≡ 45%) kennen das Produkt, dann können wir nicht
sagen, mit 95% Wahrscheinlichkeit ist der Bekanntheitsgrad des Produktes gestiegen. Wir
können nur sagen: falls der Bekanntheitsgrad des Produktes gleich geblieben ist, ist die
Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis weniger als 5%.