Physik für Mediziner und Zahmediziner

Physik für Mediziner und Zahnmediziner
Vorlesung 0010
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1
Satz von Bernoulli
In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit
ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und
potentieller Energiedichte konstant.
1 2
ρv + p + ρgh = konstant
2
Alle diese Terme umschreiben „Druck“!
Der Satz von Bernoulli ist eine direkte Folge des
Energieerhaltungssatzes.
Zur Erinnerung (Mechanik):
Ekin + E D + E pot = const.
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Versuch: rotierender Zylinder
Magnus Effekt
vrot,oben
Zylinder bewegt sich nach
rechts
vZylinder
vLuft
vrot,oben
= - vrot,unten
voben = │vLuft │ + │ vrot │
vunten = │vLuft │ - │ vrot │
vrot,unten
 Die Luft strömt ihn von
links an.
poben < punten
Auftrieb!
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noch einmal Bernoulli: Freistoß um die
Ecke...
aus: Physik-Journal, Juni 2006
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Flugzeugflügel
Erklärung über den Bernoulli-Effekt
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Kontinuitätsgleichung
Folge der Inkompressibilität von Flüssigkeiten:
„die pro Zeit in ein Volumen hineinfließende Flüssigkeit muss
auch wieder herausfließen“
Querschnittsfläche A2
Querschnittsfläche A1
s1
Gleichheit der Volumenelemente
Gleichheit des Transports
Ergibt umgekehrte
Proportionalität zw.
Flächen und
Geschwindigkeiten
⇒
s2
s1 ⋅ A 1 = s2 ⋅ A 2
⇒ v 1∆tA 1 = v 2 ∆tA 2
v1 A 2
=
v 2 A1
Je kleiner der Rohrquerschnitt
desto größer die (mittlere)
Strömungsgeschwindigkeit
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...das „aufgebogene“ U-Rohr-Manometer
pLuft
h
p
p = pLuft + ρgh
⇒ Druck p messbar über Höhe h der Flüssigkeitssäule
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Bernoulli
Experimente
Beobachtung:
Deutung:
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Erklärung mit dem Satz von Bernoulli
1 2
ρv + p + ρgh = konstant
2
Wir haben: veng > vbreit
Damit ergibt sich peng < pbreit
Wegen:
unterschiedliches h
Also: mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich:
an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische)
Druck in der Flüssigkeit
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Bernoulli mit weichen Scheiben
Experimente
Beobachtung:
Deutung:
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Stimmritze: Gummimembran-Modell
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Phonation
1. Luftströmung aus Trachea
(Luftröhre) führt zum Öffnen
der Stimmritze (Glottis)
2. erhöhte
Strömungsgeschwindigkeit
erniedrigt den Druck
(Bernoulli)
3. ⇒ Schließen der Glottis
Folge: periodisches Öffnen und
Schließen führt zur
Tonerzeugung
aus: Klinke/Silbernagel:
„Lehrbuch der Physiologie“
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Phonation und Artikulation
• Form des Resonanzkörpers
(=Rachen und Mundhöhle)
bestimmt den produzierten Laut
• Stimmgebung über
Rückkopplung mit dem Gehör
aus: Klinke/Silbernagel:
„Lehrbuch der Physiologie“
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Buchhaltung: Bernoulli und Kontinuität
Je kleiner der
Rohrquerschnitt desto
größer die (mittlere)
Strömungsgeschwindigkeit
Satz von Bernoulli
Kontinuitätsgleichung
v1 A 2
⇒
=
v 2 A1
1 2
ρv + p + ρgh = konstant
2
In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen
Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie,
Druck und potentieller Energie konstant.
Mit Kontinuitätsgleichung ergibt sich:
an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische)
Druck in der Flüssigkeit
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Ströme: Vorgehensweise
• Erarbeiten wichtiger Zusammenhänge am Beispiel der
Flüssigkeitsströmung
• Übertragen allgemeiner Ergebnisse auf elektrische Ströme
und Spannungen  Kirchhoffsche Gesetze,
Widerstandsnetzwerke
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elektrische Spannung und Druckabfall
Experimente
Beobachtung:
Deutung:
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Druckverlust in fließenden Flüssigkeiten
v=0
v
p
p
R=
∆p
∆p
I
x
x
Widerstand ist unendlich: kein
Druckabfall und kein Stromfluß
Druckabfall entlang des Widerstands
sowie Stromfluß
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elektrische Spannung und Druckabfall
Experimente
Beobachtung:
Deutung:
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reale elektrische Leiter
V
V
φ
φ
R=
U=∆φ
x
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U
I
x
Das Ohm‘sche Gesetz
Zumeist geschrieben
als:
V
U=R.I
φ
U=∆φ
U
R=
I
x
WIKIPEDIA: Uri Geller erregte in den 1970erJahren erstmals Aufsehen mit seinen
Fernsehauftritten, in denen er angeblich durch
telepathische Kräfte versteckt gemalte
Zeichnungen nachmalte, stehengebliebene Uhren
zum Ticken brachte und Besteck verbog. Er sagt in
Interviews gelegentlich, dass er glaubt, seine
Kräfte von Außerirdischen vom Planeten
„Hoova“,erhalten zu haben. Ob das bei der
Physikklausur auch hilft……?
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Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit
unterschiedlichen Widerständen
Verzweigungen: „Knoten“
geschlossene Kreise: „Maschen“
aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen
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Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung
von Widerständen
Serienschaltung:
Parallelschaltung:
aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen
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Kirchhoffsche Gesetze
In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige
physikalische Größen konstant:
Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)
1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe
aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der
hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden
Ströme)
Energie: Spannung (Druckdifferenz)
2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der
treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich
Null
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1. Kirchhoffsches Gesetz
Knotenregel
In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null
∑ Ij = 0
j
I1
I4
I2
Zufließende und
abfließende Ströme
vorzeichenrichtig addieren!
I3
I3 + I4 − I1 − I2 = 0
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2. Kirchhoffsches Gesetz
Maschenregel
Für Spannungen gilt dasselbe.
Einmal rum:
A →B → A
Einmal rum: Druckdifferenz
P1-P1 muß Null sein
P2
− U1 + U2 = 0
P1
V
Masche
P4
P3
In einer Masche ist die
Summe der Spannungen
gleich Null
A
U1
R1
B
R2
V
U2
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Flüssigkeitswiderstände
R = R1 + R 2
R2
R1
R1
1 1
1
=
+
R R1 R 2
R2
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Leitfähigkeit und Widerstand
R1
1
1 1
=
+
R R1 R 2
R2
Verschließen!
Z.B. fließen jetzt 10ml pro Sekunde
Nach dem Öffnen: Wieviel fließt etwa??
Der Widerstand R hat abgenommen  Die Leitfähigkeit g hat zugenommen!
Es gilt: g = 1/R
Wichtig bei Membranen!
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Serienschaltung
U
I2
I1
I
I.
II.
Equivalent
zu
R1
R2
U1
U2
I
R
U
Knotenreg.:
Maschenreg.:
und
Ohm‘sches Ges.:
und
II.
I. Alle Ströme sind gleich:
X
X
X
R = R1 + R 2
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Parallelschaltung
U1
Wie ist der Wert von R?
I1
R1
I
I
Equivalent
zu
I
R
I2
R2
U
I.
U2
Knotenreg.:
II.Maschenreg.:
Ohm‘sches Ges.:
Damit:
X
und
und
I.
II.
X
1 1
1
=
+
R R1 R 2
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Flüssigkeitswiderstände
R = R1 + R 2
R2
R1
R1
1 1
1
=
+
R R1 R 2
R2
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...wrap up
Flüssigkeitsstrom
elektr.Strom
allgemein
Volumenstrom
elektrischer
Strom
Strom
dV 
I=
=V
dt
I=
dQ 
=Q
dt
Druckdifferenz
∆p
Spannung
U
treibende Kraft
im Knoten
im Knoten
1.Kirchhoff
(Teilchen)
∑I = 0
i
i
i
i
i
in der Masche
∑ ∆p
∑I = 0
i
=0
in der Masche
∑U
i
=0
2.Kirchhoff
(Energie)
i
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Schaltsymbole
• Widerstand R
• Zuleitung (widerstandsfrei)
• Voltmeter (großer Innenwiderstand Ri;
V
ideal: Ri=∞)
• Amperemeter (kleiner Innenwiderstand
A
Ri; ideal Ri=0)
• Gleichspannungsquelle
-
+
• Kondensator
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Versuch: Viskosität
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reale Flüssigkeiten: Widerstand durch
innere Reibung
Alltag: Flüssigkeiten besitzen unterschiedliche
„Fließeigenschaften“
Ursache: Viskosität oder Zähigkeit, auch: innere Reibung
v0
F
A
Def.: Viskosität η
x
F = η⋅ A
∆x
∆v
v=0
v
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Δv
Δx
laminares Strömungsprofil
Experimente
Beobachtung:
Deutung:
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kreisförmiger Röhrenquerschnitt:
laminares Geschwindigkeitsprofil
v(ρ=r) = 0
v(ρ2) > 0
v(ρ3) >> 0
v(ρ=0) = max.
r
ρ Radius: ρ
v, Geschwindigkeit
(
v (ρ) ∝ r 2 − ρ2
)
•Strömungsgeschwindigkeit am Gefäßrand Null
• max. Strömungsgeschwindigkeit in der Röhrenmitte
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laminare Strömung: mikroskopische
Vorstellung
• Flüssigkeit am Gefäßrand ruht (v=0)
• „Abgleiten“ der Flüssigkeitsschichten aneinander
• Reibung aufgrund der Viskosität der Flüssigkeit
v(ρ)
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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
Betrachung einzelner
Flüssigkeitszylinder
v(ρ+dρ)
v(ρ)
dρ
ρ
L
Flüssigkeitskraft:
(vom Druck)
Viskosität:
Wenn‘s gleichmäßig
fließt:
Umstellen:
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 38
laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
Integration
Die Ableitung ist eine lineare Funktion von ρ
Also:
Integrationskonstante
Rand- oder Nebenbedingungen treten in der Physik oft auf. Sie geben an, wie sich
ein System an bestimmten „charakteristischen“ Stellen verhält. Damit kann man
dann ‚uneindeutige Gleichungen‘ endgültig bestimmen.
Wenn wir hier v0=0 setzen, bekommen wir für den Rand des Zylinders (der „Randwert“
– hier sprichwörtlich!) was unsinniges raus, nämlich:
Der Rand des Zylinders:
Sollte NULL sein !
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 39
laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
Wir hatten:
Und setzten:
Damit ist:
Also insgesamt:
Und nun zum Fluß (laminare Strömung):
A
∆x
Jedoch: v ist nicht konstant, wir haben: v(ρ) !
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 40
laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
Von vorn
Strömung eines Rings:
A
ARing
ρ
∆x
∆ρ
Fluß eines einzelnen Rings:
Fluß gesamt:
Weil:
Damit:
(Geschw. mal Fläche, wie vor)
Summe über alle Ringe!
Einsetzen von v(ρ):
Dann in Integralform (und
Rausziehen aller Konstanten):
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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
Stammfunktionen:
Und endlich:
Bemerkenswert!
4te Potenz des Radius!
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Hagen-Poiseuille
Experimente
Beobachtung:
Deutung:
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 43
laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
πr 4
I=
∆p
8η ⋅ L
oder
R=
8η ⋅ L
πr 4
Der Strömungswiderstand einer newtonschen Flüssigkeit
(Viskosität unabhängig vom Druck) in einer Kapillaren ist
• proportional zur Viskosität der Flüssigkeit
• proportional zur Länge der Kapillaren
• umgekehrt proportional zur vierten Potenz des Kapillarradius
Folgerung: der Strömungswiderstand - und damit der Volumenstrom
bei festem Druck - kann über den Röhrendurchmesser empfindlich
verändert werden
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 44
einige Kreislaufdaten
• Blut ist keine newtonsche
Flüssigkeit!
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
• Blutvolumen: 5l
• Herzschlagvolumen: ca 70ml
≈(4-6)l/min
• unter Belastung: 20l/min
• statischer Druck: (6-8)mmHg
(ca. 1kPa) (ohne Herzschlag!)
• mittlerer Blutdruck: 100mmHg
(13kPa)
• 0.25l/min O2-Verbrauch in
Ruhe
• 3l/min O2-Verbrauch unter
Belastung
...abhängig vom Gefäßdurchmesser
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 45
Blut ist keine newtonsche Flüssigkeit
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
Aggragation bei
kleinen Schubspannungen
Desaggragation bei
großen Schubspannungen
...abhängig von der Schubspannung (Druck)
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Stromstärke-Druck-Diagramm
Durchblutung
dehnbares, aber druckpassives Gefäß
(z.B. Lunge, Skelettmuskel)
dehnbares, aber autoregulierendes
Gefäsystem
(z.B. Gehirn, Darm, Niere)
starres Rohr
Blutgefäße ändern
passiv oder aktiv ihren
Strömungswiderstand
und regulieren so die
Durchblutung
arteriovenöse Druckdifferenz
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Fluß-Muster
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laminare und turbulente Strömung
Experimente
Beobachtung:
Deutung:
laminar
turbulent
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Strömungsarten
laminare Strömung:
Flüssigkeitsteilchen bewegen sich nur in Fließrichtung
turbulente Strömung:
auch Geschwindigkeitskomponenten senkrecht und entgegen
der Fließrichtung  Wirbelbildung
Blutkreislauf:
vorwiegend laminare Strömung; turbulente Strömung in der
Aorta; pathologisch bei Gefäßverengungen ( Auskultation
Strömungsgeräusche)
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 50
Übergang laminar  turbulent:
Reynoldszahl
• laminare Strömung für kleine
Strömungsgeschwindigkeiten
• Strömungswiderstand im
turbulenten Bereich erhöht
• Übergang durch Reynoldszahl
beschrieben:
r ⋅v ⋅ρ
Re =
η
oberhalb von Re≈1000 nimmt der
turbulente Strömungsanteil zu
laminar
turbulent
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 51
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Zusätzliche Folien
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 53
Schaltung von Widerständen
Sie haben 3 Widerstände mit jeweils R=2kΩ zur
Verfügung. Entwerfen Sie mit diesen Widerständen
eine Schaltung mit dem Gesamwtiderstand
Rges=3kΩ.
R
R
R
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Serienschaltung
U=32V
II
I
15Ω
12Ω
18Ω
27Ω
24Ω
Die Spannung zwischen den Klemmen I und II des Widerstandes R2 beträgt
in dem oben gezeigten Schaltbild:
1. U=2V
2. U=4V
3. U=5V
4. U=12V
5. U=15V
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 55
...Kategorien
Grundlagen:
notwendige Kenntnisse und Fähigkeiten
Wissenswertes:
Informationen jenseits des Notwendigen
Für Experten:
Medzinische Physik...
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 56
...das U-Rohr-Manometer
p
p
p
p+∆p
h
Δp = ρgh
hydrostatischer Druck
der hydrostatische Druck hängt nur von der Höhe der Flüssigkeitssäule
ab; insbesondere hängt er nicht von der Gefäßform ab
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Blutdruckmessung
syst.Druck ≥ Manschettendruck
>> diast. Druck
Manschettendruck ≥
syst.Druck >> diast. Druck
Manschettendruck < syst. und
diast. Druck
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner
und Zahnmediziner 58
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
Manschettendruck >
syst.Druck >> diast. Druck
Widerstand
I
I
∆p
I: Volumenstromstärke [m3/s]
∆p: Druckdifferenz [Pa=N/m2]
U
I: elektr. Stromstärke [A]
U: Spannung [V]
Def.: Widerstand R
Def.: Widerstand R
∆p
R=
I
U
R=
I
Pa ⋅ s Ns
[R] =
= 5
3
m
m
V
[R] = = Ω (Ohm)
A
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Ergänzung: Leitwert G
I
I
∆p
I: Volumenstromstärke [m3/s]
∆p: Druckdifferenz [Pa=N/m2]
Def.: Leitwert G
G=
I
∆p
ungebräuchlich!
U
I: elektr. Stromstärke [A]
U: Spannung [V]
Def.: Leitwert G
I 1
G= =
U R
A
[G] = = S (Siemens )
V
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Folge: Druckverlust in fließenden
Flüssigkeiten
v=0
v
p
p
R=
∆p
∆p
I
x
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x
reale elektrische Leiter
V
V
φ
φ
R=
U=∆φ
x
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 62
U
I
x
reale elektrische Leiter...
elektrische Leiter: Ladung wird transportiert durch
• Elektronen (Metalle)
• Ionen (Elektrolyte, biologische Systeme)
Widerstand aufgrund von Stößen der Ladungsträger
Beschreibung durch die „Beweglichkeit“ μ:
F
v =μ
q
v: Geschwindigkeit des Ladungsträgers
F: Kraft auf den Ladungstträger
q: Ladung des Ladungsträgers
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 63
Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit
unterschiedlichen Widerständen
Verzweigungen: „Knoten“
geschlossene Kreise: „Maschen“
aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 64
Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung
von Widerständen
Serienschaltung:
Parallelschaltung:
aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen
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Buchhaltung: Kirchhoffsche Gesetze
In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige
physikalische Größen konstant:
Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)
1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe
aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der
hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden
Ströme)
Energie: Spannung (Druckdifferenz)
2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der
treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich
Null
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 66
1. Kirchhoffsches Gesetz
In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null
∑ Ij = 0
j
I1
I4
I2
Zufließende und
abfließende Ströme
vorzeichenrichtig addieren!
I3
I3 + I4 − I1 − I2 = 0
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1. Kirchhoffsches Gesetz
∑I
j
=0
j
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2. Kirchhoffsches Gesetz
In einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null
V
A
U1
R1
B
A →B → A
− U1 + U2 = 0
R2
V
U2
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 69
Parallelschaltung
R1
Rp
R2
1
1
1
=
+
Rp R1 R 2
denn:
U1 = U2 = U ⇒ U1 = R1I1 = U2 = R 2I2 = U = RpI
RpI RpI
+
=I
I1 + I2 = I ⇒
R1 R 2
÷ (RpI)
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 70
Serienschaltung
R1
R2
Rs
R s = R1 + R 2
denn:
I = I1 = I2
U U1 U2
⇒ I=
=
=
R s R1 R 2
U = U1 + U2
⇒ R sI = IR1 + IR 2 ÷ I
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 71
Schaltungen
R s = R1 + R 2
Serienschaltung
R2
R1
Parallelschaltung
R1
1
1
1
=
+
Rp R1 R 2
R2
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 72
...wrap up
Flüssigkeitsstrom
elektr.Strom
allgemein
Volumenstromdichte
elektrischer
Strom
Strom
dV 
I=
=V
dt
I=
dQ 
=Q
dt
Druckdifferenz
∆p
Spannung
U
treibende Kraft
im Knoten
im Knoten
1.Kirchhoff
(Teilchen)
∑I = 0
i
i
i
i
i
in der Masche
∑ ∆p
∑I = 0
i
=0
in der Masche
∑U
i
=0
2.Kirchhoff
(Energie)
i
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 73
Schaltsymbole
• Widerstand R
• Zuleitung (widerstandsfrei)
• Voltmeter (großer Innenwiderstand Ri;
V
ideal: Ri=∞)
• Amperemeter (kleiner Innenwiderstand
A
Ri; ideal Ri=0)
• Gleichspannungsquelle
-
+
• Kondensator
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