QFT-Zusammenfassung

Quantenfeldtheorie
Prof. Michael Thies
Sommersemester 2006, Universität Erlangen
I. Spezielle Relativitätstheorie und Poincaré-Gruppe
Besetzungszahldarstellung der QM (2. Quantisierung)
Das natürliche Einheitensystem
Fockraum F = ⊕∞
n=1 Hn (direkte Summe der Einteilchen-Hilberträume)
→ Besetzungszahldarstellung, auf festgelegten Einteilchen-Zuständen basierend:
~ = c = 1.
|n1 , n2 , ...i = ... √2n ! √1n ! |0i mit den Erzeugungsoperatoren â†i .
2
1
für Bosonen: âi , â†j = δij , âi , âj = â†i , â†j = 0,
für Fermionen: âi , â†j = δij , âi , âj = â†i , â†j = 0
(↠)n2
SI: ~ c = 197.3 MeV fm
Spezielle Relativitätstheorie
invariante Länge s2 = t2 − ~x2
µ
µ
x · y = xµ y = gµν x y
ν
⇒
T
Minkovski-Metrik gµν = diag(1, −1, −1, −1)
!
= (x) (g)(y) = (Λx)T (g)(Λy)
⇔
(g) = (Λ)T (g)(Λ)
Die Lorentzgruppe
~ · J),
~
~
Λ ∈ SO(3; 1). Drehungen: Λ = exp(−i ϑ
Boosts: Λ = exp(−i ξ~ · K)
~ = i I~ mit (Ik )ij = δi0 δjk + δj0 δik .
mit (Jk )ij = −iijk und K
Die Lie-Gruppe entsteht durch Exponentiation der zugehörigen Lie-Algebra.
Die Poincaré-Gruppe
inhomogene Lorentzgruppe ⊇ Translationen in Raum exp(−i ~x · P~ ) und Zeit exp(−i tP0 )
Poincaré-Algebra:
P0 , Pi = 0,
Pi , Pj = 0,
P0 , J i = 0
~ K
~ sind Vektoren.)
(⇒ P~ , J,
Pi , Jj = iijk Pk , Ji , Jj = iijk Jk , Ki , Jj = iijk Kk
K , K = −iijk Jk
i j
P0 , Ki = iPi , Pi , Kj = iδij P0
(⇒ (P0 , P~ ) ist ein Vierervektor.)
(↠)n1
Poincaré-Algebra für freie Spin-0-Teilchen
P
P
1-Teilchen-Operatoren A = α,β hα|A|βi â†α âβ , B = α,β hα|B|βi â†α âβ
P
⇒ A, B = α,β hα|[A, B]|βi â†α âβ
Impulsdarstellung:
p
~ = −i ω ∂ +
P0 = ω = ~k 2 + m2 , P~ = ~k, J~ = ~r × p~ = i ∂∂~k × ~k = −i~k × ∂∂~k , K
2
∂~
k
∂
ω
∂~
k
Klassifikation von Teilchen
~2
2 Casimir-Operatoren der Poincaré-Gruppe: P µ Pµ = P02 − P~ 2 = M 2 und W µ Wµ = −M 2 S
µ
~ × P~ ).
mit dem Pauli-Lubanski-Vektor W = (J~ · P~ , P0 J~ + K
M 2 > 0 → Darstellung durch E, p~ und Helizität λ = ~j · p̂ (Projektion des Spins)
M 2 = 0 ⇒ Spin ist nicht definiert (Es gibt kein Ruhesystem.), aber die Helizität λ = ~j · p~
(Falls die Parität erhalten ist, stellen ±λ das selbe Teilchen dar, z.B. (zirkulare) Photonen)
III. Quantisierung des Skalarfeldes
II. Relativitätstheorie und Quantenmechanik
Darstellung einer Lie-Algebra / Lie-Gruppe
Klassische Feldtheorie
R
R
R
Wirkung S = dt L = d4 x L(φ, ∂µ φ) → δS = d4 x ∂L
∂φ δφ +
∂L
⇒ (Euler-Lagrange) Feldgleichung ∂L
∂φ = ∂µ ∂(∂µ φ)
für freies Skalarfeld L = 21 (∂µ φ)(∂ µ φ) − 21 m2 φ2 :
∂µ ∂ µ φ + m2 φ = ( + m2 )φ = 0 (Klein-Gordon-Gleichung)
∂L
∂(∂µ φ) δ(∂µ φ)
!
=0
Darstellung = Gruppenhomomorphismus zwischen der abstrakten Algebra bzw. Gruppe
und einem beliebigen Vektorraum (z.B. Hilbertraum): D(g1 ) · D(g2 ) = D(g1 · g2 ).
~ L)
~ |j, mi der Drehimpulsalgebra:
(2j + 1)-dimensionale Darstellungen hj, m0 | exp(−i ϑ·
j = 0: (triviale) 1-dimensionale Spin-0-Darstellung (Skalare): D(g) ≡ 1I
Kanonische Quantisierung
j = 21 : 2-dimensionale Spin- 12 -Darstellung (Spinoren): J~ = 21 ~σ
j = 1: 3-dimensionale Darstellung (Vektoren).
Forderung kanonischer Vertauschungsrelationen
zwischen
dem Feld0 und
dem
konjugierten
∂L
0
Irreduzible Darstellungen (IRREPs) besitzen keine invarianten Unterräume, lassen sich also Impuls Π = ∂(∂
zur
gleichen
Zeit:
φ(~
x
,
t),
Π(~
x
,
t)
=
iδ(~
x
−
~
x
),
φ,
φ
= Π, Π = 0.
0 φ)
nicht in Blockdiagonalgestalt faktorisieren.
~ 2 + m2 φ2
⇒ Π = φ̇ ⇒ H = Π φ̇ − L = 12 Π2 + (∇φ)
R
⇒ Hamilton-Operator H = 12 d3 x Π2 + φ(−∇2 + m2 )φ
⇒ Heisenberg-Bewegungsgleichungen: φ̇ = i H, φ = Π, φ̈ = Π̇ = i H, Π = (∇2 −m2 )φ
⇒ ( + m2 ) φ = 0 Der Feldoperator genügtder Klein-Gordon-Gleichung.
P
Entwicklung nach eb. Wellen: φ(x) = √1V ~k φ̃(~k) e−i k·x + φ̃∗ (~k) ei k·x mit k = (ω~k , ~k)
P
⇒ Π(x) = φ̇(x) = √−iV ~k ω~k φ̃(~k) e−i k·x − φ̃∗ (~k) ei k·x
R
~
→ φ̃(~k, t), φ̃† (~k 0 , t) = ... = 2ω1~ δ~k,~k0
⇒ φ̃(~k, t) = 2√1V d3 ~x e−i k·~x φ(x) + ωi~ Π(x)
k
k
1
⇒ Interpretation als Erzeuger/Vernichter im Impulsraum: φ̃(~k, t) = √2ω
â~k (t)
~
k
P
→ H = ... = ~k ω~k (â~† â~k + 21 ) – nur für Bosonen! (Fermionen lassen sich nicht kanonisch
k
quantisieren, sondern nur durch Forderung von Antivertauschungsrelationen.)
L=
1
2
~ 2 − m2 φ2
φ̇2 − (∇φ)
Casimir-Effekt
V. Die Dirac-Gleichung, Spin 1/2
Irreduzible Darstellungen der Lorentzgruppe
~ K
~
~ K
~
~ = J+i
~ = J−i
Unteralgebra
der Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe: A
, B
2
2
⇒ Ai , Aj = iijk Ak ; Bi , Bj = iijk Bk ; Ai , Bj = 0
⇒ Die Struktur der Lorentzgruppe SO(3;1) ist SO(3) ⊗ SO(3).
~ 2 , A3 ; B
~ 2 , B3 :
⇒ Darstellung |a, α; b, βi durch Eigenwerte von A
a = b = 0 ⇒ 1-dimensionale Darstellung (Skalare)
P ~
~↔
B
(a, b) = (0, 21 ) und ( 12 , 0) ⇒ 2-dimensionale Darstellungen, Zusammenhang: A
!
1
1
1
i
(0, 21 )
~
~
~
~
D
in (0, 2 ) : A = 0, B = 2 ~σ ⇒ J = 2 ~σ , K = 2 ~σ
⇒ 4-dim. Darst.
1
~ = 1 ~σ , B
~ = 0 ⇒ J~ = 1 ~σ , K
~ = − i ~σ
in ( 12 , 0) : A
D( 2 ,0)
2
2
2


!
√E+m+~σ·~p
0
Kinematik
0
exp( 21 ξ~ · ~σ )
2m(E+m)

=
⇒ Boost:
√E+m−~σ·~p
cosh ξ = γ
0
0
exp(− 12 ξ~ · ~σ )
2m(E+m)
nπ
Zwischen zwei Platten im Abstand d: quantisierte
P Vakuumfluktuationen mit kz = d
→ (quadratisch divergente) Energiedichte E = ~k k ⇒ heat-kernel-Regularisierung:
h
i Die Dirac-Gleichung
q
R
P
P∞
2
L 2
2
2 e−λk = L2 3d − 1 − π
) d2 kk kk2 + ( nπ
)
+
O(λ
)
E = ~k k e−λk = n=1 ( 2π
2
4
3
3
d
π λ
2πλ
720d
2
relativistische Schrödingergleichung (i∂t − HD )ψ =0 mit H 2 = p~2 + m
Kraft
∂ E
3
π2
π 2 ~c
⇒ Fläche = ∂d L2 = π2 λ4 + 240d4 (divergente) konstante Kraft trägt nicht bei → 240d
4
HD = α
~ ·~
p +βm mit Matrizen α
~ =α
~ † , β = β † ⇒ αi , αj =2δij 1I, αi , β = 0, β 2 =1I,
0 ~
σ
1I 0
Dirac-Pauli-Darstellung (für nicht-relativist. Grenzfall): α
~=
, β=
~
σ 0
0 −1I
IV. Spontane Symmetriebrechung
~
σ 0
0 1I
Weyl-Darstellung (für ultra-relativistischen Grenzfall): α
~=
, β=
0 −~
σ
1I 0
1
1
Allgemeines Phänomen
unitäre Transformation zwischen den Darstellungen: U = √12
1 −1
Spontane Symmetriebrechung: Der Grundzustand eines Systems mit unendlich vielen
m−E
~
σ ·~
p
!
Lösung der Dirac-Gleichung: Eigenwerte: det
= E 2 − m2 − p~2 = 0
Freiheitsgraden verletzt die Symmetrie des zugrundeliegenden Hamilton-Operators.
~
σ ·~
p −m−E
(E+m) χs
−(~
σ ·~
p) χs
, vs (~
p) = √ 1
normierte Eigenvektoren us (~
p) = √ 1
SSB bei Feldtheorien mit diskreter Symmetrie
2E(E+m)
(~
σ ·~
p) χs
2E(E+m)
(E+m) χs
Interpretation der Lösungen mit negativer Energie: Dirac-Gleichung beschreibt Fermionen,
2
Bsp: reelles Skalarfeld L = 12 (∂µ φ)(∂ µ φ)− µ2 φ2 −λφ4 mit diskreter Z2 -Symmetrie φ 7→ −φ im Vakuum sind alle Zustände mit negativer Energie bereits besetzt.
q
2
→ Vielteilchen-Theorie,
Eigenzustände
P
Pnur als Einteilchenbasis:
Für µ2 < 0 (Doppelmulden-Potential): klassisches Potential-Minimum φ0 = −µ
4λ
HD = p~, s Ep~ (â†p~,s âp~,s − b̂†p~,s b̂p~,s ) = p~, s Ep~ (â†p~,s âp~,s + b̂p~,s b̂†p~,s − 1) für ferm. b̂p~,s =: dˆ†p~,s .
e µ φ)
e + µ2 φe2 − 4λφ0 φe3 − λφe4
Entwicklung φ = φ0 + φe ⇒ “hidden symmetry” Le = 21 (∂µ φ)(∂
↠erzeugt Elektron-Feld, dˆ† erzeugt Positron-Feld.
2
2
3
⇒ meff = −2µ > 0, induzierte φe -WW (mit φ0 aus Kondensat), keine infinit. Anregung
Kovariante Formulierung, γ-Matrizen
SSB bei Feldtheorien mit kontinuierlicher Symmetrie
~
µ
0
iβ∂0 ψ = (β~
α· ∇
α.
i + m)ψ ⇔ (i∂/ − m)2 ψ := (iγ 2 ∂µ − m) µψ = 0 mit γ = β, ~γ = β~
Anregung ohne Energielücke → masselose Goldstone-Bosonen
Eigenschaften:
γ
,
γ
=
2g
⇒
(γ
)
=
−(γ
)
=
1I,
γ
γ
=
4
·
1I;
Tr{γ
}
=
0
µ
ν
µν
0
i
µ
µ
2
Bsp: komplexes Skalarfeld L = 12 (∂µ φ∗ )(∂ µ φ)− µ2 |φ|2 −λ|φ|4 mit U(1)-Symmetrie φR7→ eiα φ γ0† = γ0 , γi† = −γi ⇒ Dirac-Adjunktion: Operatoren: A = γ0 Aγ0 , Spinoren: ψ = ψ † γ0
⇒ erhaltener Noether-Strom q
µ = i [(∂ µ φ∗ )φ − φ∗ (∂ µ φ)], erhaltene Ladung Q = d3 ~x j 0
2
e
e = 0 (Goldstone-B): Die Dirac-Gleichung für Teilchen im elektromagnetischen Feld
⇒ meff (e
ρ) = −2µ2 und meff (ϑ)
φ = (ρ0 + ρe)ei(ϑ0 +ϑ) mit ρ0 = −µ
4λ
L = 12 (∂µ ρe)(∂ µ ρe) + µ2 ρe2 +
ρ20
e µe
e µ e e + 1 (∂µ ϑ)(∂
e µ ϑ)e
e ρ2 − 4λρ0 ρe3 − λe
ρ4
2 (∂µ ϑ)(∂ ϑ) + (∂µ ϑ)(∂ ϑ)ρ0 ρ
2
minimale Kopplung: π µ = pµ − eAµ
⇒
(~σ · ~π )
1
E+m−eφ
(~σ · ~π ) ϕ = (E − m − eφ) · ϕ
klassische E-Dynamik als U(1)-Eichtheorie
VI. Quantisiertes Dirac-Feld, Spin und Statistik
iα
komplexes Skalarfeld L0 = (∂µ φ∗ )(∂ µ φ) − m2 φ∗ φ mit globaler U(1)-Symmetrie
φ 7→ e φ.
iα(x)
µ
iα(x)
µ
µ
bei Eichtransformation φ(x) 7→ e
φ(x) : ∂ φ(x) 7→ e
∂ + i(∂ α(x)) φ(x)
→ minimale Substitution Dµ = ∂ µ + igAµ mit dem Eichfeld Aµ 7→ Aµ − g1 ∂ µ α
⇒ Eichinvariante Erweiterung L = (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − m2 φ∗ φ enthält Wechselwirkungen.
Kovarianz der Dirac-Gleichung
0ν
0
ν 0
Transformationen: ψ 0 (x0 ) = S(Λ) ψ, x0ν = Λνµ xµ ⇒ ∂µ = ∂x
∂xµ ∂ν = Λµ ∂ν
!
Forminvarianz iS(Λ) γ µ S −1 (Λ) ∂µ − m S(Λ) ψ(x) = (iγ ν ∂ν0 − m)ψ 0 (x 0 )
i µν
µ −1
ν
ν
⇔ S(Λ) γ S (Λ) Λµ = γ
⇒ S(Λ) = exp(− 4 ω σµν ) mit σµν = 2i γµ , γν




0
−ξ1 !
ω µν = 
 −ξ2
−ξ3
ξ1
ξ2
ξ3
0
−ϑ2 
0
ϑ3
−ϑ3
0
ϑ1
ϑ2
−ϑ1
0
,

1
2 σµν
K1
K2
K3
−K1
=

0
J3
−J2 
−K3
J2
−K2 −J3
0
J1
−J1
0
 ⇒

1 µν
4 ω σµν
einfachste Eichfeld-Wirkung aus eichinvarianten Größen wie φ∗ (y) UC (y; x) φ(x) :
Eichtransporterentlang infinitesimaler Schleife (Plaquette P) in der µ̂-ν̂-Ebene
µν
~
~
~
~
= ξ · K + ϑ · J UP (x; x) = exp −ig Aµ (x)dξ+Aν (x+dξ µ̂)dη−Aµ (x+dη ν̂)dξ−Aν (x)dη =: e−igF dξ dη


0
−Ex −Ey −Ez
0
−Bz
Bz
0
−By
Bx
S(Λ) ist nicht unitär, aber es gilt S(Λ) = γ0 S(Λ) γ0 = S −1 (Λ)
†
ψ transformiert sich durch ψ(x0 ) = S(Λ) ψ(x) γ0 = ψ † (x) γ0 γ0 S † (Λ) γ0 = ψ(x) S(Λ).
⇒ ψ(x) ψ(x) ist ein Skalar, ψ(x) γ µ ψ(x) ist ein Vektor.
Ex
mit dem (eichinvarianten) Feldstärketensor F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ = 
Ey
1
1
µν
2
2
µν
Ez
⇒ LEichfeld ∼ Fµν F
Es ist − 4 Fµν F = 2 (E − B ).
Quantisierung des Dirac-Felds
L = (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − 41 Fµν F µν − m2 φ∗ φ
⇒ Euler-Lagrange-Gleichungen: Dµ Dµ φ + m2 φ = 0 für das Skalarfeld
und ∂µ F µν = gi [(Dν φ)∗ φ − φ∗ (Dν φ)] = j ν = (ρ, ~j) (inhomogene Maxwell-Gleichungen)
Πψ =
∂L
∂(∂0 ψ)
= 2i ψ † , Πψ =
∂L
∂(∂0 ψ)
i
2
µ
ψ γ (∂µ ψ) − (∂µ ψ) γ µ ψ) − mψψ
R
~
= − 2i γ0 ψ ⇒ HD = d3 ~x ψ † (~
α · ∇i + βm) ψ
L = ψ (i∂/ − m) ψ, bzw. symmetrisiert: L =
By


−Bx 
0
P
~
~
Diagonalisierung: ψ(~x) = √1V ~k,s b(~k, s) u(~k, s) ei k·~x + d† (~k, s) v(−~k, s) e−i k·~x
P
⇒ HD = p~, s E~k (b̂~† b̂~k,s − dˆ~k,s dˆ~† ) → antikommutierende Fermionen-Operatoren...
VIII. Quantisierung des freien Maxwell-Feldes
innere globale U(1)-Symmetrie von L ⇒ erhaltener Noether-Strom µ = ψ γ µ ψ,
R
R
P
ˆ ~k, s)
erhaltene Fermionen-Zahl Q = d3 ~x j 0 = d3 ~x ψ † ψ = ~k,s b̂† (~k, s)b̂(~k, s) − dˆ† (~k, s)d(
~ x) = A
~ l (~x) + A
~ tr (~x):
Zerlegung in longitudinale und transversale Vektorfelder: A(~
P
~
~
~ A(~
~ x),
~ l (~x) = √1
~ 1 2 ∇·
Mit ~(~k, 0) = |~kk| , ~(~k, i)·~(~k, j) = δij : A
(~k, 0) Ã0 (~k) ei k·~x = ∇
~
k~
∇
V
~k, λ) Ãλ (~k) ei ~k·~x = − 1 2 ∇
~ tr (x) = √1 P~
~ × (∇
~ × A(~x)). 12 f (~x)=R d3 ~y −f (~y)
A
~
(
4π|~
x
−~
y
|
k,
λ=1,2
∇
∇
V
k,s
k,s
†
ˆ ~k, s), dˆ† (~k 0 , s0 ) = δ~ ~ 0 δs,s0 , b̂, b̂ = d,
ˆ dˆ = b̂, dˆ = b̂, dˆ = 0
b̂(~k, s), b̂† (~k 0 , s0 ) = d(
k,k
µ
~ A
~ tr = 0 ⇒ ∂µ Atr µ = 0
†
Maxwell-Gl. ∂µ F µν = Aν − ∂ ν (∂
A0 := 0, ∇·
⇒ ψα (~x, t), ψβ (~x0 , t) = δαβ δ 3 (~x − ~x0 ), ψα (~x, t), ψβ (~x0 , t) = 0
µ A ) = 0 im Vak.
P
~
1
1
~k, λ) a(~k, λ) ei(k·~x−kt) + ~∗ (~k, λ) a∗ (~k, λ) e−i(~k·~x−kt)
~ tr (~x, t) = √
~
√
⇒ A
~
(
∇
~
k,
λ=1,2
Heisenberg’sche Bewegungsgleichung für ψ : i ∂ψ
=
(~
α
·
+
βm)
ψ
(Dirac-Gl.)
V
2k
∂t
i
R
~ tr= - ∂ A~ tr, B
~ = ∇×
~ A
~ ⇒ E = 1 d3 ~x (E
~ tr2+B
~ 2 ) = 1 P~ k a(~k, λ)a∗ (~k, λ) + a∗ (~k, λ)a(~k, λ)
E
∂t
2
2 k, λ
P
Spin-Statistik-Theorem
bosonische Quantisierung: H = ~k, λ=1,2 k a† (~k, λ)a(~k, λ) + 12
!
tr
Der kan. konj. Impuls zu Aν ∂(∂∂L
= −F0ν = −Eν erfüllt Ai (~x), −Ej (~y ) = iδij
(~x − ~y ).
Das Dirac-Feld kann nicht bosonisch quantisiert werden (denn EGrundzustand > −∞).
0 Aν )
Das Klein-Gordon-Feld kann nicht fermionisch quantisiert werden (→ Mikrokausalität).
VII. Lokale Symmetrien, Eichprinzip, klass. E-Dynamik
Eichtransformationen
lokale (innere) Transformation: φ(x) 7→ e−iΛ(x) φ(x) ⇒
∂φ
∂x
7→ e−iΛ(x) −i dΛ
dx φ(x) +
∂φ
∂x
IX. QED in der Strahlungseichung
~ l durch ∇
~ ·E
~ = ρ bestimmt. → Elektrostatische Wechselwirkungsenergie:
Klassisch
wird E
R 3
R 3
R
R
R
1
1
1
l
2
~ ) =
~ 2 ρ)(∇
~ 1 2 ρ) = − 1 d3 ~x ρ 1 2 ρ = 1 d3 ~x d3 ~y ρ(~x)·ρ(~y)
d ~x (E
d ~x (∇
2
2
∇
∇
2
∇
8π
|~
x−~
y|
1
µν
0
0
φ∗ (y) φ(x) 7→ ei(Λ(y)−Λ(x)) φ∗ (y) φ(x) ist nicht eichinvariant → φ∗ (y) U (y; x) φ(x) mit Quantisierung: L = − 4 Fµν F enthält kein ∂0 A . ⇒ A = const. := 0 (Weyl-Eichung)
Ry 0 0 !
~
Ai (~x), −Ej (~y ) = iiδij δ(~x − ~y )
dem Paralleltransporter U (y; x) = ei x f (x ) dx 7→ e−i(Λ(y)−Λ(x)) U (y; x) und dem Eichfeld kanonische Quantisierung von A durch
h
R 3
R 3
~
dΛ
1
2
2
†
~
~
~ x) + βm ψ(~x) enthält auch E
~ l und A
~l.
f (x) 7→ f (x) − dx (‘connection’, verbindet lokale Koordinatensysteme)
H = 2 d ~x (E + B ) + d ~x ψ (~x) α
~ · ∇i − eA(~
∂
U (x + dx; x) ≈ 1I + i f (x) dx ⇒ kovariante Ableitung Dx φ = ( ∂x − if (x)) φ
iα(~
x)
~ x) 7→ A(~
~ x) +
ρ(~x) = e ψ † (~x)ψ(~
ψ(~x), A(~
x) Rgeneriert Eichtransf. ψ(~x) 7→ e
R
~ y ) · ∇α(~
~ y ) = exp i d3 ~y α(~y ) G(~y )
Für Uα = exp − ei d3 ~y (α(~y ) ρ(~y ) + E(~
e
~ · E(~
~ y ) − ρ(~y )
~ x) Uᆠ= A(~x) +
G(~y ) = ∇
gilt Uα ψ(~x) Uα† = eiα(~x) ψ(~x), Uα A(~
1~
x):
e ∇α(~
Ladungsrenormierung, laufende Kopplungskonstante
2
2
mit Die Photon-Selbstenergie e Π(k ) ist UV- (für kµν→ ∞) divergent.
1
e2
2
2
Dyson-Reihe für “angezogenen” Propagator: −ig
k2 +iε · 1−e2 Π(k2 ) ⇒ eeff (k ) = 1−e2 Π(k2 )
1~
x).
e ∇α(~
e2 (µ2 )
e2eff (µ2 )
1
Man beobachtet eff4π ≈ 137
(log. Anwachsen mit Q2 )
. ⇒ e2eff (Q2 ) =
e2 (µ2 )
2
eff
1− 12π2 ln( Q
2 )
µ
H, G(~x) = 0 (H eichinvariant) → simultane Diagonalisierung von H und G(~x) mögl.
Für physikalische Zustände |Φi gilt jedoch G(~x) |Φi = 0. Im Unterraum der eichinvarianten Massenrenormierung
R
i
~ ·E
~ |Φi = ∇
~ 1 2 ρ |Φi. ⇒ hΦ| 1 d3 ~x (E
~ l (~x))2 |Φi = Dyson-Reihe für e-Selbstenergie iΣ(p) : iSF (p) → p/−m−Σ(p)
~ l |Φi = ∇
~ 12 ∇
. Σ(p) ≈ ∆m für p/ ≈ m.
Zustände gilt nun E
∇
∇
2
R
R
2 R
e
1
1
1
3
3
3
†
†
d ~x ρ(~x) 2 ρ(~x) Φi = hΦ
d ~x d ~y ψ (~x) ψ(~x)
= hΦ −
ψ (~y ) ψ(~y ) Φi
2
∇
8π
|~
x−~
y|
~
⇒ Die longitudinale Komponente des E-Felds
erzeugt die Coulomb-Wechselwirkung.
~
Die longitudinale
Komponente
des A-Felds
kann durch eine Redefinition
weggeeicht werden:
~
~
~ A
~ ψe gilt ( ∇
~ A
~ (∇
~ ψ = exp ie 1 2 ∇·
~ tr ) ψe . Eich-Tr.:
Für ψ = exp ie ∇1 2 ∇·
−
e
A)
−
e
A
i
∇
i
~ A
~ + 1 ∇α)
~
~ A
~ ψ → eichinv. ”angezogenes” ψ
eiα ψ = exp −ie ∇1 2 ∇·
ψe 7→ exp −ie ∇1 2 ∇·(
e
R
R
~
e x)
~ tr (~x)2 + B(~
~ x)2 + HCoulomb + d3 ~x ψe† (~x) α
~ tr (~x) + βm ψ(~
H = 21 d3 ~x (E
~ · ∇i − ieA
~ tr enthält a, a† .
Physikalischer Inhalt des QED-Hamilton-Operators:
ψ enthält b, d†, A
R 3
R 3
~
1
tr
2
2
†
e
e x)
~
~
d ~x (E (~x) + B(~x) und d ~x ψ (~x) α
~ · ∇ + βm ψ(~
Terme mit 2 Feldoperatoren
XI. Abel’scher Higgs-Mechanismus, massive Photonen
2
U(1)-Eichung im Goldstone-Modell: L = 12 (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − 41 Fµν F µν − λ |φ|2 − ρ20
∗
(Dµ φ)∗ (Dµ φ) = [(∂µ − ieAµ )φ
][(∂ µ +ieAµ )φ] = (∂µ φ∗ )(∂ µ φ) − ieAµ j µ + e2 Aµ Aµ φ∗ φ.
i α+G(x)
φ(x) := ρ0 + H(x) e
mit dem Higgs-Feld H und dem Goldstone-Feld G
8λρ2
... ⇒ L0 = 21 (∂µ H)(∂ µ H) − 2 0 H 2 − 41 Fµν F µν + 12 e2 ρ20 Bµ B µ mit Bµ := Aµ + 1e ∂µ G
|{z}
⇒ F µν = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ
=:m2B
→ Proca-Gl. für massives Spin-1-Feld mit 3 Komponenten: ( + m2B )B ν = ∂ ν (∂µ B µ ) = 0
(Nebenbedingung ∂µ B µ = 0; Bµ -Feld enthält 2 komponentiges Aµ -Feld und G-Feld.)
2
i
iα
~ tr ) ψe = Die neuen Felder H und B sind eichinvariant: φ 7→ e φ ⇒ G 7→ G + α ⇒ Bµ 7→ Bµ
beschreiben die freie Maxwell-/Dirac-Theorie, kubischer WW-Term eV1 = ψe† (~
α·A
Elitzur-Theorem: Eine lokale Symmetrie kann nicht spontan gebrochen werden.
~ tr beschreibt die Kopplung der Photonen an den elektromagnetischen Strom.
= ~j · A
e2 V2 = HCoulomb beschreibt die (instantane) Coulomb-Wechselwirkung.
Anwendungen in der nicht-relativistischen Vielteilchenphysik
1
E−H0 +iε
P
Störungstheorie für Streuprozesse: H = H0 +V ⇒ Tf i = hf |V |ii+hf |V
V |ii+...
~
Plasma: Abseparation der Schwerpunktsbewegung P~ = i p~i und dem zero-mode-A-Feld:
2
~
V = eV1 + e V2 ergibt zusammen die retardierte
e-m-Wechselwirkung:
(Born’sche
Reihe)
2
P
2
~ )
~
N ( −eA
~ 0 7→ A
~ 0 +~c
HCM = (E0 ) + N 2m 0
⇒ Im Fall ohne Materie tritt für V → ∞ SSB ein: A
Tf i = e2 hf |V2 |ii + hf |V1 E−H10 +iε V1 |ii .
(ehf |V1 |ii trägt nicht bei: (E, p~)-Erhaltung) (vgl. m = 2V
∞ Teilchen) ⇒ kein Higgs-Mechanismus, Photon ist masseloses Goldstone-Boson.
ne2
1 N e2
Im Fall N > 0 : harmonischer Oszillator mit Plasmafrequenz ωP2 = 4 2V
2m = m .
X. Kov. Störungsth., Feynman-Propagator und –Diagr. Symmetrie: A~ 0 7→ A~ 0 + ~c, P~ 7→ P~ + N e ~c ⇒ A~ 0 − NP~e und Grundzustand sind invariant,
Eichsymmetrie ist wiederhergestellt. ⇒ Keine SSB, massives Photon möglich.
Die kovariante Störungstheorie unterscheidet nicht zwischen der Zeitordnung der Wech- Supraleitung: Cooper-Paare (e− e− mit p~1 =−~
p2 , ~s1 =−~s2 , an der Fermi-Kante) werden
selwirkungen. Der Feynman-Propagator gewährleistet, daß sich positive Energiewellen durch ein Skalarfeld φ 6= 0 beschrieben (Ginzburg-Landau-Theorie).
~ = 0 ⇒ statische Lösung A(x)
~
~
nur vorwärts und negative Energiewellen nur rückwärts in der Zeit ausbreiten können.
( + m2γ ) A
= A(0)
e−mγ x (Meißner-Effekt)
!
Green’s-Funktion der Klein-Gordon-Gleichung: (+m2 )∆F (x−x0 ) = −δ (4) (x−x0 )
R d4 p −ip·x
⇒ ∆F (x) = (2π)
∆F (p) mit ∆F (p) = p2 −m1 2 +iε (komplexe Pole p0 = ±Ep~ ∓ iε0 )
4 e
!
Dirac’sche Green’s-Funktion: (p
/ + m)SF (p) = 1I ⇒ SF (p) =
p
/+m
p2 −m2 +iε
XII. Nicht-abel’sche Eichtheorie (Yang-Mills-Theorie)
= (i∂/ + m) ∆F (p). Verallgemeinerung der lokalen U(1)-Symmetrie (' SO(2) ' kommutative Drehungen um
feste Achse) auf SU(2) (' SO(3) ' nicht-kommutative Drehungen um beliebige Achsen):
(2) ~
1
2 (1) ~
~ · (∂ µ φ)
~ = (φ1 , φ2 , φ3 )T , L = 1 (∂µ φ)
~ − m2 φ
~·φ
~
Photon-Propagator: Die Summe aus statischem
Coulombpotential
e
j
(
k)
j
(
k)
reelle
Vektoren im internen Raum: φ
0
0
2
~
ki kj
|k|
2
2
δ
−
ij
−
−
→
2
(2) ~
|~
k|
2 (1) ~
~
~
~
~
~
~
α(x)× φ ⇒ kovariante Ableitung Dµ φ = ∂µ φ+g Aµ × φ
und transversalen Photonen e ji (k) k2 +iε jj (k) ergibt (unter Ausnutzung der Strom- infinitesimale Eichtransf. φ 7→ φ+~
µν
1
~
~
~µ.
~ ν − ∂ν A
~ µ + g(A
~µ × A
~ ν ) enthält
(1)
(2)
~ +α
~ ×A
Wegen F~µν = ∂µ A
erhaltung k0 j 0 = ~k · ~j) den Propagator in Feynman-’Eichung’: e2 jµ (~k) − kg2 +iε jν (~k). mit Aµ 7→ Aµ − g ∂µ α
1~
µν
~
LYM = − 4 Fµν · F selbst-wechselwirkende Terme; es gibt keine freie Yang-Mills-Theorie.
Feynman-Regeln für Feynman-Diagramme: äußere Linien → ein-/auslaufende Teilchen,
innere Linien → Propagatoren, Vertizes → Wechselwirkungen.
Die Ladung der Eichfelder legt die Kopplung g auch für Materiefelder universell fest.
γ 5 , γµ = 0 ⇒ LF = ψ (i∂/ − m) ψ = i(ψ R ∂/ ψR + ψ L ∂/ ψL ) − m (ψ R ψL + ψ L ψR )
m > 0 ⇒ U(1)-Symmetrie ψ 7→ eiα ψ ⇒ Erhaltung der Fermion-Zahl
NF = NR + N
L .
Verallgemeinerung auf andere Gruppen
5
5
→ kompakte Lie-Gruppe mit N Generatoren T a , die die Lie-Algebra T a , T b = if abc T c
i α( 1+γ
)+β( 1−γ
)
iα
iβ
2
2
abc
a
ψ
m
=
0
⇒
U(1)
⊗U(1)
-Symm.
χ
→
7
e
χ
,
χ
→
7
e
χ
⇔
ψ
→
7
e
mit Strukturkonstanten f
erfüllen; T wie Materiefeld φi in n-dimensionaler Darstellung
R
L
R
R
L
L
a
a
0
−iα (x)T
a
a ⇒ getrennte Erhaltung von N
und
N
.
Unter
Einschluß
der
Flavor-Symmetrie
⇒ endliche Eichtransformation: φ (x) = U(x) φ(x) mit U(x) = e
≈ 1 − iα (x)T
R
L
= SU(2)V ⊗ SU(2)A -Symmetrie vor.
kovariante Ableitung Dµ = ∂µ −igAaµ T a =: ∂µ −igAµ mit N Eichfeldern Aaµ bzw. der n×n- SU(2)Isospin liegt für m = 0 eine SU(2)R ⊗ SU(2)L ∼
0 5
iα0
!
(Vektortransformationen: ψ 7→ e ψ, Axialvektortransformationen: ψ 7→ eiβ γ ψ)
1
∂µ ) U †
Matrix Aµ . Transformation der Aµ : (Dµ φ)0 = U (Dµ φ) ⇔ A0µ = U (Aµ − ig
Da keine Paritätspartner zu den Isospin-Multipletts beobachtet werden, ist SU(2)A (mit 3
a
Fµν = gi Dµ , Dν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ − ig Aµ , Aν , d.h. Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf abc Abµ Acν .
Generatoren) spontan gebrochen. → 3 Goldstone-Bosonen mit J P = 0− : π + , π 0 , π −
0
= U Fµν U † .
Wegen Dµ0 = U Dµ U † transformiert sich auch der Feldstärke-Tensor durch Fµν
abc b c
a
a
a0
a
infinitesimale Eichtransformation U = 1 − iα (x)T ⇒ Aµ = Aµ + f α Aµ − g1 ∂µ αa
a
XIV. GSW-Theorie der el.-schwachen Wechselwirkung
Lagrange-Dichte L = 21 (Dµ φ)i (Dµ φ)i − 12 m2 φi φi − 41 Fµν
F a,µν (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ a ≤ N )
Eichgruppe
XIII. Starke Wechselwirkung und Quantenchromodyn.
Das Quark-Modell ist sehr erfolgreich in der Spektroskopie der Hadronen. Die Flavor-Symmetrie (SU(2)Isospin , SU(3)flavor ) ist jedoch nur eine (approximative) globale Symmetrie.
Die (exakte) SU(3)color -Eichsymmetrie führt zu asymptotischer Freiheit (→Störungstheorie), confinement, chiraler Symmetriebrechung (mq → 0 ⇒ SSB mit Goldstone-Pionen).
Darstellung der Quarks durch die fundamentale (3-dimensionale) Darstellung der SU(3):
Die unitären 3×3-Matrizen mit Determinante 1 können von den 8 hermite’schen, spurlosen
a
Gell-Mann-Matrizen T a = λ2 generiert werden.
PNf
a
ψ f (iD
/ − mf ) ψf , LG = − 14 Fµν
F a,µν
QCD-Lagrange-Dichte: LF = f =1
a
schwacher Isospin und schwache Hyperladung SU(2) ⊗ U(1)
1 Generatoren
a mit
3 + abc
a T , Y
b
c
mit T , T = i T ,
T , Y = 0.
Materiefelder
Paritätsverletzung: Es treten nur linkshändige Neutrinos und rechtshändige Antineutrinos
auf. ⇒ Elektronen werden durch Dirac-Felder, Neutrinos durch Weyl-Spinoren beschrieben.
(νL , eL ) bilden ein SU(2)-Dublett (Iw = 21 , Yw = −1) und (eR ) ein Singulett (Iw = 0, Yw = −2).
 




0
0
νL
τa
−1
0
→ Darstellung: ψMaterie =  eL , Generatoren T a =  2 0 , Y = 
eR
0 0

0
0
0 0
0
gA3
µ −g Bµ
kovariante Ableitung Dµ = ∂µ −igAaµ T a −i g2 Bµ Y = ∂µ − 2i g(A1µ +iA2µ )
Asymptotische Freiheit
−2
2
g(A1
µ −iAµ )
0
0
−gA3
µ −g Bµ
0
0
−2g 0 Bµ
0


p
p
exp.
0
◦
2
02
2
02
Nicht-physikalische Zwischenzustände der Gluon-Selbstwechselwirkung ermöglichen anti- Parametrisiert man g = g + g cos ΘW , g = g + g sin ΘW (ΘWeinberg = 22 ),
0
3
0
0
3
2
αS (µ )
Zµ ⊥ Aµ = sin ΘW Aµ + cos ΘW Bµ
Die Kopplungskonstante nimmt mit Q2 ab. Zµ = cos ΘW Aµ − sin ΘW Bµ (ν koppelt nur an Z ),
screening: αS (Q2 ) =
2 .
α (µ2 )
A1 ∓A2
1− S3π ( 23 Nf −11) ln( Q
)
2
0
±
µ
(Z und Photon), sowie die geladenen Eichbosonen Wµ = µ√2 µ ,
erhält man mit
⇒ Störungstheorie wird bei hohen Energien möglich; quasi-freie Quarks im Parton-Modell



 − Z0
µ
+ 0
0 Wµ
0
0
sin(2Θ)
0
g sin ΘW
ie
Wµ− 0 0 + ie  0 (Aµ +cot(2Θ)Zµ0 ) 0 .
e = √ g2g 02 = 0
: Dµ = ∂µ − √2 sin
ΘW
g +g
g cos ΘW
Confinement
0
0
0
0
0
0
(Aµ −tan ΘZµ )
/ ψ = i ν L ∂/ νL + i e ∂/ e − e e A/ e +
+ eL W
/ − νL )
Aus der Eichinvarianz folgt, daß Farbe ‘confined’ ist und nur Farb-Singuletts (Mesonen qq, LFermionen = i ψ D
†
a
† λa
e
Baryonen qqq) beobachtbar sind: ρQED = ψ ψ ist eichinv., ρQCD = ψ 2 ψ transformiert
+ sin(2Θ
/ 0 νL − e cot(2ΘW ) eL Z
/ eL + e tan ΘW eR Z
/ 0 eR
) νL Z
W
sich wie 8-komp. Vektor. ⇒ Es gibt keine Hadronen mit drittelzahliger el. Ladung.
Die Kopplungskonstanten aller 6 Vertizes sind schon durch e und ΘW festgelegt.
String-formation: screening durch dynamische Quarks. ⇒ Das Potential zwischen statischen Farbladungen wächst in der reinen Yang-Mills-Theorie linear mit dem Abstand an.
a
LEichfelder = − 14 Fµν F µν − 14 Fµν
F a,µν enthält kinetische Terme und nicht-abel’sche WW.
√
Chirale Symmetriebrechung
e
(ν L W
/ + eL
2 sin ΘW
0
Masse der Eichbosonen – nicht-abel’scher Higgs-Mechanismus
5
0 1 2 3
Für m = 0 entkoppeln
die Chiralitätseigenzustände zu
γ = iγ γ γ γ .In derWeyl
1I 0
~σ · p~ m
χR
χR
5
Darstellung ist γ =
und die Dirac-Gleichung
=E·
.
0 −1I
m −~σ · p~
χL
χL
1 ± γ5
χR
χR
0
0
γ5
=+
, γ5
=−
, ⇒ Projektionsoperatoren PR/L =
0
0
χL
χL
2
zusätzliches komplexes Skalarfeld mit (zunächst globaler) SU(2)w.I. ⊗U(1)w.Y - Symmetrie:
φ = (φ1 , φ2 )T (Iw = 12 , Yw = 1) mit Lφ = (∂µ φ)† (∂ µ φ)−V (φ† φ), V = −µ2 φ† φ+λ(φ† φ)2 .
klassische Vakua: φ† φ =
3
exp(i( α2 +β))
3
φ(0,0,α ,β ) =
0
µ2
2λ
=:
ρ20
2
0
3
~
τ
ρ0 T
⇒ φ = ei( 2 ·~α+Y β) (0, √
) . (4 Parameter: α
~ , β,
2
3
0
aber mit “ α2 = β ” - Invarianz.)
ρ
√0
exp(−i( α2 −β))
2
kann in der geeichten Theorie durch φ 7→ Uφ† φ entfernt werden:
√
√
In der unitären Eichung φ(x) = (0, ρ0 +H(x)
)T ist V = µ2 H 2 + µ λH 3 + λ4 H 4 + const.
2
ρ0 T
√
)
2
Uφ aus φ = Uφ (0,
a
0
ρ0 T
Aus der kovarianten Ableitung Dµ φ = (∂µ −igAaµ τ2 −i g2 Yφ Bµ ) (0, √
) ergibt sich nur für
√ 2 02 2
g +g
Yφ = 1 kein Photon-Beitrag in Dµ φ = (−i g2 Wµ+ ρ, √12 ∂µ H +i 2√2 Zµ0 ρ)T (mit ρ = ρ0 +H).
2
02
g2
+µ 2
−
ρ + g +g
4 Wµ W
8
e2 ρ2
g 2 +g 02 2
ρ0 = sin2 (2Θ0 ) , mγ
4
W
0
Aus (Dµ φ)† (Dµ φ) = 21 (∂µ H)(∂ µ H) +
Zµ0 Z 0 µ ρ2 folgen die Massen
m2W =
=0
g 2 ρ20
4
2
kungen (ρ
2
=
−ρ20
e ρ20
4 sin2 ΘW
, m2Z =
2
und neue Wechselwir-
= 2ρ0 H +H ) mit durch g, g (↔ e, ΘW ) und µ, λ bestimmten Kopplungen.
Eichsymmetrie: Die durch die Eichfixierung Uφ† erzeugten Felder Uφ† ψ sind eichinvariant:
ψL 7→ V ψL ⇒ Uφ 7→ V Uφ ⇒ Uφ† ψL 7→ Uφ† V † V ψL = Uφ† ψL (2-dim. SU(2)-Singulett)
Massen der Fermionen (im Standardmodell)