Wdh Erwartungswert

Modul 6: Erwartungswert
1. Einheit: Erwartungswert
Beispiel 1: Bei einem einfachen Glücksspiel möchte der Anbieter eines Glücksspiels
(Zufallsexperiment) wissen, wie groß die Summe ist, die er pro Spiel an den Spieler auszahlen
muss.
Zufallsexperiment
1maliger Würfelwurf
Spieler zahlt keinen Einsatz.
Der Spieler gewinnt einen 1€, wenn er eine 6 würfelt.
Sonst, keine Gewinnausschüttung
Wie hoch ist der zu erwartende Gewinnausschüttung des Anbieters des Glücksspiels pro
Spiel? (Erwartungswert)
1. Zugang: Simulation des Spiels
10 Würfe (10 Spiele)
Ereignis
(Augenzahl)
2
3
5
1
4
6
5
6
5
6
Gewinnausschüttung
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
Gewinnausschüttung pro Spiel: 2/10 = 0,2€ pro Spiel
2. Zugang: Wahrscheinlichkeitsrechnung:
a.) Zufallsgröße
X: {1,2,3,4,5,6}→Gewinn
X(1)=0
X(2)=0
X(3)=0
X(4)=0
X(5)=0
X(6)=1
b.) Wahrscheinlichkeitsverteilung
k
P(X=k)
0
5/6
1
1/6
c.) Ermittlung der durchschnittlichen Gewinnausschüttung pro Spiel
Zu erwartende Gewinnausschüttung pro Spiel = 5/6 * 0 + 1/6 * 1 = 1/6 ≈0,17 €
Antwort: Langfristig wird der Glücksspieler einen Verlust von 0,17€ machen. Nehme er zum Beispiel
einen Einsatz von 0,2€ wäre langfristig ein Gewinn für den Glücksspielanbieter von 0,03€ zu
erwarten.
Modul 6: Erwartungswert
Merke:
Dieser zu erwartende Gewinn pro Spiel wird als Erwartungswert bezeichnet.
Er ist die Summe der Produkte, die aus den Werten der Zufallsgröße und der zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten gebildet werden.
Beispiel 2: Zufallsexperiment
Eine Münze wird dreimal geworfen.
Ein Spieler gewinnt 10€: (ZZZ)
Ein Spieler gewinnt 5€: (ZZW), (ZWZ),(WZZ)
Ein Spieler gewinnt 9€: (WWW)
Ansonsten verliert der Spieler. Es wird kein Einsatz erhoben.
Wie groß wird der Verlust des Glücksspielanbieters durchschnittlich pro Spiel sein?
(Erwartungswert)
Antwort:
a. Die Zufallsgröße und die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Gruppe von Elementarereignisses =
günstige Ereignisse
ZWW,WZW,WWZ
Gewinn: X
Wahrscheinlichkeit
0
3
8
(3 Elementarereignisse,
die den Gewinn 0 haben;
8 Elementarereignisse
insgesamt; alle
gleichwahrscheinlich)
3
8
(3 Elementarereignisse,
die den Gewinn 5 haben;
8 Elementarereignisse
insgesamt; alle
gleichwahrscheinlich)
1
8
(1 Elementarereignis, das
den Gewinn 9 hat; 8
Elementarereignisse
insgesamt; alle
gleichwahrscheinlich)
1
8
ZZW, ZWZ, WZZ,
5
WWW
9
ZZZ
10
Modul 6: Erwartungswert
(1 Elementarereignis, das
den Gewinn 10 hat; 8
Elementarereignisse
insgesamt; alle
gleichwahrscheinlich)
b. Wahrscheinlichkeitsverteilung
3
P(X=0) = 8
(Die Zufallsgröße für X=0 hat die Wahrscheinlichkeit 3/8.)
3
P(X=5) = 8
(Die Zufallsgröße für X = 5 hat die Wahrscheinlichkeit 3/8.)
1
8
(Die Zufallsgröße für X = 9 hat die Wahrscheinlichkeit 1/8.)
P(X=9) =
P(X=10) =
1
8
Die Zufallsgröße für X= 10 hat die Wahrscheinlichkeit 30/8.)
Oft wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer Tabelle angegeben.
k
P(X=k)
0
5
3
8
3
8
9
10
1
8
1
8
c. Erwartungswert (durchschnittlicher Gewinnausschüttung pro Spiel durch den Anbieter)
Durchschnittliche
Gewinnausschüttung pro Spiel
= P(X=0)* 0 + P(X=5)*5 + P(X=9)*9 + P(X=10)*10
=
3
8
*0
=
0+15+9+10
8
=
34
8
+
3
8
* 5 +
1
8
* 9 +
1
8
* 10
= 4,25 €
Antwort: Pro Spiel kann eine Gewinnausschüttung von 4,25 € erwartet werden, wenn viele Spiele
durchgeführt werden. Der Glücksspielanbieter sollte von daher einen höheren Einsatz als diesen
Erwartungswert von den Spielern verlangen.
Merke:
Dieser zu erwartende Gewinn pro Spiel wird als Erwartungswert bezeichnet.
Er ist die Summe der Produkte, die aus den Werten der Zufallsgröße und der zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten gebildet werden.
Achtung: Siehe Buch Seite 181
Modul 6: Erwartungswert
Aufgabe 7:
Modul 6: Erwartungswert
Aufgaben:
1. Wie groß ist die relative Häufigkeit bei dem Ereignis 00? (siehe evtl. Seite 182)
2. Aufgabe: Bestimme die relative Häufigkeit des Ergebnisses 5€ Gewinn, 2 € Gewinn,
1€ Gewinn und 0 € Gewinn! (Nutze dein Schulbuch, wenn erforderlich!)
3. Zeichne ein Baumdiagramm zu dem Zufallsversuch! Schreibe an die Zweige des
Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten und berechne die Wahrscheinlichkeit für
das Ergebnis 2 € Gewinn! (Seite 182)
4. Die Tabelle weist jedem Ereignis eine Zufallsgröße zu. Fülle die Tabelle aus! Was
gibt die Zufallsgröße an? (Info: Seite 352)
Ereignis
Zufallsgröße X
00
5
11, 22,..
2
01,
12, 13, ….
0
X: {Ereignisse} -> {0,1,2,5}
5. Was bedeutet P(X=5) = 0,01? Fülle die Lücken aus!
Die Zufallsgröße 5, hinter der das Ereignis____, hat eine Wahrscheinlichkeit von
____.
6. Wie groß hätte der Einsatz bei den 100 Testspielen sein müssen, damit der Anbieter
keinen Verlust gemacht hätte?
7. Berechne den Erwartungswert wie im hier oder im Buch Seite 181! Was gibt der
Erwartungswert an?
8. Welchen Einsatz pro Spiel würdest du festlegen?
Modul 6: Erwartungswert
Modul 6: Erwartungswert
Modul 6: Erwartungswert