Experiment: Inelastischer Stoß - Physik
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Experiment: Inelastischer Stoß • Langer Gleiter auf der Luftkissenbahn stößt inelastisch auf einen ruhenden von gleicher Masse. • Gleiter kleben nach dem Stoß zusammen (Klebwachs) . • Messung der Geschwindigkeiten der Gleiter vor und nach dem Stoß durch Lichtschranken. • Verdunklungszeit verdoppelt wegen der doppelten Länge der Gleiter nach dem Stoß; noch einmal verdoppelt wegen der halben Geschwindigkeit! p = m·v 50cm Gleiter Inelastischer Stoß: p1 = p2 p1 = m·v1, p2 = 2·m·v2 m·v1 = 2·m·v2 Also v2 = v1/2 Messgrößen: Mit to = xo/v1 Zeit: t = (2·x0)/(0.5 v1)= 4 · to 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 1 Experiment: elastischer Stoß • Langer Gleiter auf der Luftkissenbahn stößt elastisch auf einen ruhenden von gleicher Masse. • Messung der Geschwindigkeiten der Gleiter vor und nach dem Stoß durch Lichtschranken. • Der erste Gleiter bleibt nach dem Stoß stehen. • Mehrere Stöße hintereinander durch Reflexion am Ende der Bahn. • v ∝ 1/t, t = Verdunkelungszeit. p = mv: wenn m1=m2 dann auch v2,f = v1,i 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 2 Elastische Stöße von zwei Objekten; zweidimensional 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 3 Elastische Stöße von zwei Objekten; zweidimensional 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 4 Beispiel von elastischen Stößen in 2D: Billard 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 5 Billard 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 6 Beispiel: Billard G G G Impuls bleibt erhalten: pi = p f + Pf G G G G G G G pi2 = (p f + Pf )2 = p f2 + Pf2 + 2 ⋅ p f • Pf . Kinetische Energie bleibt erhalten G2 G2 G2 pf Pf G2 G2 G2 pi m ⋅v2 p2 = , da p = m ⋅ v = + ⇒ pi = p f + Pf , da gleiche Masse! E = 2 2⋅m 2m 2m 2m Vergleich beider Gleichungen: G G G G G G p f • Pf = 0!! ( (p f , Pf ) = 90° ∨ p f = 0 ∨ Pf = 0. Nach dem Stoß: Die Richtungen von stoßender und gestoßener Kugel stehen aufeinander senkrecht oder (beim zentralen G Stoß) p f = 0 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 7 Beispiel: Billard 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 8 Drehbewegung Zunächst einige neue Begriffe: Drehmoment Drehimpuls Kraft F ⇒ Drehmoment M Impuls p ⇒ Drehimpuls L 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 9 Das Drehmoment M Definition: G :M G F G G G M = r ×F M = r ⋅ F ⋅ sin ϕ Vektorprodukt ϕ G r G F G G r = 0 ⇒ M = 0! 14.11.2007 G G G r F ⇒ M = 0! Das Drehmoment einer Kraft wir immer bezüglich eines Zentrums angegeben. Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 10 Drehimpuls L Definition: G G G L =r×p L = r ⋅ p ⋅ sin ϕ G L G G r ⊥v G r G G G L = m⋅r ×v 14.11.2007 G r m G G v ⊗L L = r ⋅m⋅v G p m Der Drehimpuls einer bewegten Masse bezieht sich immer auf ein Zentrum Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 11 Drehimpuls Aus der Newtonschen Bewegungsgleichung und der Definition von Drehmoment und Drehimpuls folgt der Zusammenhang: G G dL =M dt Bewegungsgleichung für Drehimpuls, analog zur Newtonschen Bewegungsgleichung für den Impuls: G dpG F = dt Beispiel: Bewegung unter dem Einfluss einer Zentralkraft: G F G v G r m 14.11.2007 G G G G G M = r × F = 0,da r F G G G G M = 0 ⇒ L = m ⋅ r × v = const.!!! Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 12 Experiment: Drehimpulserhaltung Eine Holzkugel ist an einem Faden befestigt, der durch einen durchbohrten Feilenhandgriff geführt ist. Auf diese Weise kann man mit einer Hand am Handgriff die Kugel herumschleudern, während die andere Hand das Ende des Fadens hält und so den Radius des Kreises variiert, auf dem die Kugel umläuft. L = m·r·v = const r = ro/2 ⇒ v = 2·vo 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 13 Drehimpulserhaltung • System aus mehreren Massen, nur innere Kräfte: Gesamtdrehimpuls bleibt erhalten: Satz von der Erhaltung des Drehimpulses. • Drehimpulserhaltung in der Atom- und Kernphysik von großer Bedeutung: Atome und Kerne besitzen bestimmte Werte des Drehimpulses, Summe bleibt bei Reaktionen erhalten. • Elementarteilchen (z.B. Elektronen, Protonen, Neutronen, Quarks) besitzen festen Eigendrehimpuls („Spin“). • Drehimpulse in der Quantenmechanik quantisiert: nur ganz- oder halbzahlige Vielfache einer Grundeinheit: Planck‘sches Wirkungsquantum h = 6,63x10-34 Js. h 2π • Einheiten für den Drehimpuls == • Der Spin des Elektrons ist z.B. 1 s= = 2 14.11.2007 G G L = ∑ Li = const i Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 14 Drehimpulserhaltung • Der Drehimpuls spielt auch bei der Entstehung von Galaxien und Planetensystemen eine wichtige Rolle: • Planetensysteme entstehen aus Gaswolken durch Kontraktion infolge der Gravitation. • Dabei muss der Drehimpuls erhalten bleiben, den die Wolke vor der Kontraktion besitzt. • Er steckt in der Bahnbewegung der Planeten, die wegen der Drehimpulserhaltung nicht in die Sonne stürzen können und in der Eigenrotation. 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 15 Drehstuhlexperimente 1. Man setzt sich auf den Hocker, nimmt zwei Hanteln (je 3 kg) in die Hände und streckt die Arme waagrecht aus. Dann lässt man sich in eine langsame (!) Drehbewegung versetzen. Zieht man die Arme eng an den Körper heran, so vergrößert sich die Winkelgeschwindigkeit merklich. Ein Ausstrecken der Arme verkleinert sie wieder auf den ursprünglichen Wert. 2. Man setzt sich auf den Hocker und nimmt den rotierenden Fahrradkreisel in die Hand. Durch Drehen der Kreiselachse lässt sich der Gesamtdrehimpuls des Systems verändern und so die Drehimpulserhaltung zeigen. Der Kreisel widersetzt sich Änderungen seiner Drehachse. 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 16 Kreiselkompass (Anschütz-Kämpfe, 1907) Magnetnadel: Missweisung, da magnetischer Südpol nicht gleich geographischer Nordpol Prinzip des Kreiselkompass: 14.11.2007 Ausführung Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 17 Der Hebel G r1 G M1 G r2 G M2 Zweiseitiger gerader Hebel: Last und Kraft liegen auf verschiedenen Seiten des Drehpunkts G r1 G M1 G r2 G M2 Einseitiger gerader Hebel: Last und Kraft liegen auf derselben Seite des Drehpunkts Kraft ⊥ Hebelarm, unterschiedlicher Drehsinn!! G G Gleichgewicht: M1 + M2 = 0 ⇒ d1 ⋅ F1 = d 2 ⋅ F2 G G d1 = r1 , d 2 = r2 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 18 Drehimpulserhaltung: Experiment Zug auf Rad • Ring aus Eisenbahnschienen, auf Fahrradfelge montiert, drehbar um horizontale Achse. • Auf den Schienen steht eine Spielzeuglokomotive, Drehachse genau senkrecht. • Zug fährt: Gleiskörper bewegt sich in entgegengesetzter Richtung. • Zug stoppt: Gleiskörper kommt (fast) zur Ruhe. Erhaltung des Drehimpulses • Andere Demonstration: • Zug fährt, Gleiskörper von Hand festgehalten. • Loslassen des Gleiskörpers. • Zug wird stoppt • Gleiskörper und Zug drehen sich in derselben Richtung weiter. 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 19 Starrer Körper Gleichgewichtsbedingungen: Ein starrer Körper bleibt in Ruhe, wenn: Kräftegleichgewicht herrscht, d.h. die Summe aller an ihm angreifender Kräfte NULL ist Momentengleichgewicht herrscht, d.h. Summe aller Drehmomente bezüglich eines beliebigen Zentrums NULL ist 14.11.2007 G ∑ Fj = 0 j G ∑ Mj = 0 j Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 20 Beispiel: Balken auf zwei Stützen G F1 G F2 F1, F2: Stützkräfte FS: Schwerkraft G rS Kräftegleichgewicht: G G G FS + F1 + F2 = 0 G r1 G G FS = m ⋅ g FS = F1 + F2 Momentengleichgewicht: G G G G rS × FS + r1 × F1 = 0 rS·FS = r1·F1 Lösung: F1 = Fs·(rs/r1) , F2 = Fs·[(r1-rs)/r1] 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 21 Rotationsvariable Für Punkt mit Abstand R von der Rotationsachse: α = const ω = ω0 + α ⋅ t θ = θ0 + ω ⋅ t + 14.11.2007 1 ⋅ α ⋅ t2 2 x = R ⋅θ v = R ⋅ω a = R ⋅α Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 24 Analogie lineare Bewegung - Drehung 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 25 Beispiel: Rad und Seil 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 26 Beispiel: Rad und Seil θ0 = 0 ωo = 0 θ = θ 0 + ω0 ⋅ t + 12 ⋅ α ⋅ t 2 ⇒ θ = 0 + 0 ⋅ 10 + 12 ⋅ 10 ⋅ 10 2 = 500 rad 1 rot ⋅ ≈ 2π rad ≈ 80 Umdrehungen θ = 500 rad ⋅ 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 27 Rotationsenergie und Trägheitsmoment 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 28 Rotationsenergie und Trägheitsmoment (Forts.) 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 29 Kinetische Energie rotierender Systeme 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 30 Trägheitsmoment 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 31 Trägheitsmomente - Beispiel Verteilung von N Punktmassen mi, feste Drehachse: N I = ∑ mi ⋅ ri2 , r = Abstand von der Drehachse i =1 r2 = L2/2 14.11.2007 r2 = L2/4 r 2 = L2 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 32 Trägheitsmoment eines beliebigen Körpers 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 33 Trägheitsmoment eines beliebigen Körpers 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 34 Beispiele von Trägheitsmomenten starrer Körper Dichte R I = ∫ r 2 ⋅ 2π rdr ⋅ ρ ⋅ A = 2π ⋅ ρ ⋅ A ⋅ ∫ r 3 dr = π ⋅ ρ ⋅ A ⋅ R 4 /2. 0 V = π ⋅ R 2 ⋅ A ⇒ M = π ⋅ ρ ⋅ A ⋅ R 2 ⇒ I = 12 ⋅ M ⋅ R 2 . r l 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 35 Gesamtenergie Die kinetische Energie eines Systems von Teilchen K ges 1 1 2 = M ⋅ VCM + ICM × ω 2 2 2 d.h.: Gesamtenergie ist die Summe aus der kinetischen Energie des Schwerpunkts plus die Energie, die in der Rotation steckt ! 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 36 Beispiel: Rollender Körper auf schiefer Ebene 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 37 Beispiel: Rollender Körper auf schiefer Ebene Reifen, Hohlzylinder: c = 1 Scheibe, Zylinder: c = ½ Kugel: c = 2/5 Mit und v = ω ·R I = c·M·R2 1 1 I ⋅ ω2 + M ⋅ V 2 2 2 2 1 1 2 v M ⋅ g ⋅ h = c ⋅ M ⋅ R ⋅ 2 + M ⋅ v2 2 2 R 1 1 1 g ⋅ h = c ⋅ v 2 + v 2 = v 2 ⋅ (c + 1) 2 2 2 2⋅g⋅h v= c +1 K = M⋅g⋅h = Rollgeschwindigkeit ist immer kleiner als die Gleitgeschwindigkeit, da die Energie geteilt wird in Schwerpunkts- und Drehbewegung! 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 38 Beispiel: Rollen auf schiefer Ebene v= 14.11.2007 2⋅g⋅h !! c +1 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 39 Experiment: Hohlzylinder und Vollzylinder derselben Masse • Vollzylinder aus Holz und Hohlzylinder aus Messing mit gleicher Masse, gleicher Länge und gleichem Außendurchmesser. • Beide Körper auf schiefer Ebene. • Gleichzeitiger Start des Rollens. Welcher Zylinder kommt später an? a) der Hohlzylinder b) der Vollzylinder c) beide gleichzeitig Der Hohlzylinder ist wegen seines größeren Trägheitsmoments der langsamere. Er kommt deutlich später am Ende der schiefen Ebene an. Vollzylinder: I = (1/2)·m·r2 Hohlzylinder: I = m · r2 14.11.2007 c = 1/2 c=1 v = 0.82 vo v = 0.70 vo v= 2⋅g⋅h c +1 v0 = 2 ⋅ g ⋅ h Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 40 Aufgabe: Horizontaler Stoß beim Billard Kugel: Masse M, Radius R Queue 14.11.2007 Wo muss das Queue die Billardkugel treffen, damit sie rollt, ohne zu gleiten? a) Auf der Höhe des Mittelpunkts, b) tiefer c) höher Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 41 Aufgabe: Horizontaler Stoß beim Billard (Forts.) Kugel: Masse M, Radius R v Impuls:S = M ⋅ v , Queue Drehimpuls:Θ ⋅ ω = Θ ⋅ u h = Höhe des Stoßpunkts über dem Mittelpunkt 14.11.2007 (Kraft-)Stoß S (= ∫ F ⋅ dt) : u = h ⋅ S. R 2 ⋅ M ⋅ R2 ⇒ 5 2 u ⇒ ⋅ M ⋅ R2 ⋅ = h ⋅ M ⋅ v, 5 R 2 u = v ⇒ h = ⋅R 5 Θ= Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 42 Die Keplerschen Gesetze 1. 2. Alle Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Ein von der Sonne zu einem Planeten gezogener Leitstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. G G G G L = r × p = m ⋅ r × v = const. 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 43 Die Keplerschen Gesetze (Forts.) 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen: T ²/a ³ = const. 2 2 2 M ⋅m 4 π T 4 π Kreisbahn: γ ⋅ 2 = m ⋅ ω 2 ⋅ r = m ⋅ 2 ⋅ r ⇒ 3 = γ ⋅M r T r B e is p ie l: M Sonne = 2 ⋅ 1 0 30 k g , γ = ( ⇒ T = 2π 2 = 2π 3 ⋅10 −10 3 3 ⋅10 −10 m³ , rS o n n e - E r d e = kg ⋅ s² 3 2 ⋅ 1 0 11 m ⋅ 1 0 11 m ) = m³ 30 kg ⋅ 2 ⋅10 kg ⋅ s² 3 2 27 ⋅ 3 ⋅ 1 0 14 = 2π 8 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅10 14.11.2007 2 81 9 ⋅ 1 0 7 ≈ 2π ⋅ 1 0 7 = 3,1 5 ⋅ 1 0 7 s = 3 6 5, 2 5 d 320 18 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 44 Die Masse der Erde Gravitationsgesetz MErde ⋅ mProbe F =γ ⋅ = mProbe ⋅ g 2 rErde γ = 6.6742 ⋅10−11 m3kg-1s-2 , rErde = 6378 km, g = 9.80665 m/s2 2 ⎡ m kg s ⋅ ⋅ 2 2⎤ MErde = ⋅ rErde ⎢ 2 3 ⋅ m ⎥ = 5.98⋅1024 kg γ ⎣ s ⋅m ⎦ g 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 45 Der Radius der Erde • Eratosthenes von Kyrene (3. Jahrhundert v. Chr.). • Sonne in Syene (Assuan) im Zenith, in Alexandria unter ϕ = 7.2°. • Entfernung Syene-Alexandria s = 5000 Stadien = 850 km. • r = s/ϕ ≈ 850 km/(2π·7.2°/360°) = 6760 km! • Kenntnisse 1000 Jahre verschollen. • Ältester (erhaltener) Globus von Martin Behaim (1492) Martin Behaim 1512 14.11.2007 Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 46 Die Masse der Erde (Forts.) 3. Keplersches Gesetz 2 TMond 4π 2 = 3 aMond γ ⋅ M Erde Zusammenhang zwischen RE und aMond Mond Gravitationskonstante Erde Licht von der Sonne θ/2 θ/2 aMond 14.11.2007 2 ⋅ RE tan(θ /2) = RE / aMond Exp.-Physik Chemieingenieure und Restauratorinnen 47
