Beispiele 32-52

Übungsbeispiele
Algebra für LAK
Sommersemester 2016
Michael Schlosser
32. Leiten Sie aus den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus,
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x,
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y,
das folgende Additionstheorem für den Tangens her:
tan x ± tan y
.
tan(x ± y) =
1 ∓ tan x tan y
33. Leiten Sie (aus den Formeln von Beispiel 32) die folgende Formel her:
x
sin x
tan =
.
2
1 + cos x
Verwenden Sie diese Formel nun, um ohne Taschenrechner tan π8 zu berechnen.
34. Drücken Sie
x
x
und cos
2
2
als Funktionen von cos x aus und verwenden Sie diese, um
π
π
sin
und cos
8
8
zu berechnen. Überprüfen Sie außerdem den erhaltenen Ausdruck für
sin x2
cos x2
sin
mit der obigen (aus Beispiel 33) für tan x2 .
35. Man verschlüssele jede Ziffer x der 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 des Dezimalsystems einzeln gemäß der Vorschrift
y ≡ 7x − 2 (mod 10)
und ordne diese (mod 10) wieder den Ziffern 0, 1, . . . , 9 zu. Da zum Beispiel x1 = 5
mit y1 = 3 (es gilt 3 ≡ 7 · 5 − 2 (mod 10)) und x2 = 8 mit y2 = 4 (es gilt 4 ≡
7 · 8 − 2 (mod 10)) verschlüsselt wird, wird die Ziffernfolge 58 mit 34 kodiert.
(a) Kodieren Sie Ihre Matrikelnummer!
(b) Wie lautet die allgemeine Entschlüsselungsvorschrift (als lineare Kongruenz)?
(c) Wie oft muss wiederholt die obige Kodierung auf eine beliebige Ziffernfolge
angewandt werden, damit als Ergebnis wieder die ursprüngliche Ziffernfolge herauskommt?
(d) Angenommen, die Kodierung der 10 Ziffern wäre von der Form y ≡ ax +
b (mod 10). Bestimmen Sie alle ganzen a und b, deren zugehörige Entschlüsselungsvorschrift gleich der Verschlüsselungsvorschrift ist.
2
36. Man ordne den 26 Buchstaben A, B, C, . . . , Z des gewöhnlichen Alphabets einzeln
die Werte 0, 1, 2, . . . , 25 zu, verschlüssele diese gemäß der Vorschrift
y ≡ 7x − 2 (mod 26)
und ordne sie wieder den Buchstaben A, B, C, . . . , Z zu. Da zum Beispiel x1 = H
mit y1 = V (es gilt 21 ≡ 7 · 7 − 2 (mod 26)) und x2 = I mit y2 = C (es gilt
2 ≡ 7 · 8 − 2 (mod 26)) verschlüsselt wird, wird das Wort HI mit VC kodiert. Kodieren
Sie das Wort
ATTACKE
und Ihren Vornamen. Wie lautet weiters die allgemeine Entschlüsselungsvorschrift
(als lineare Kongruenz)? Entschlüsseln Sie damit die Wortfolge
YIHOYFAL YXXACLA EYMVAL
und Ihren Vornamen!
37. Geben Sie einen Isomorphismus zwischen (Q+ , ·, 1), den positiven rationalen
Zahlen bezüglich Multiplikation, und (Z[X], +, 0), den Polynomen über Z in einer
Veränderlichen bezüglich Addition, an. [Hinweis: Verwenden Sie die eindeutige Primfaktorzerlegung in Z.]
38. Bestimmen Sie alle selbstinversen Elemente der multiplikativen Gruppe SL2 (Z3 )
(der (2 × 2)-Matrizen über Z3 mit Determinante 1).
39. Zeigen Sie, dass die Menge der Matrizen
1 0
1 0
2 0
2 0
,
,
,
0 1
0 2
0 1
0 2
mit Einträgen aus Z3 eine Untergruppe der GL2 (Z3 ) (der multiplikativen Gruppe der
invertierbaren (2 × 2)-Matrizen über Z3 ) ist.
40. (a) Zeigen Sie, dass die Matrizen der Gestalt


1 a b
0 1 c  ,
a, b, c ∈ Z3
0 0 1
eine nicht-abelsche multiplikative Gruppe G bildet, in der jedes Element außer I3 die
Ordnung 3 besitzt.
(b) Bestimmen Sie alle Untergruppen von G.
41. Sei G = (G, ·, e) eine endliche Gruppe, und g ∈ G mit ord(g) = k. (Die Ordnung
eines Gruppenelements g ist bekanntlich die kleinste positive natürliche Zahl k für
die g k = e gilt.) Zeigen Sie
(a) g n = e genau dann, wenn k | n.
(b) ord(g t ) =
k
,
ggT(k,t)
∀t ∈ N.
3
42. Sei R ein (assoziativer, aber nicht notwendigerweise kommutativer) Ring mit
Einselement I, und A, B, C ∈ R (z.B. ist R = Matn (K), die Menge der n×n Matrizen
über einem Körper K, ein solcher Ring). Zeigen Sie, dass falls C und A + B − C
invertierbar sind,
I − C −1 A(A + B − C)−1 B = C −1 (C − B)(C − A − B)−1 (C − A)
gilt.
[Bemerkung: Das verallgemeinert die (einfach überprüfbare) Gleichung
1+
ab
(c − a)(c − b)
=
,
c(c − a − b)
c(c − a − b)
die für Elemente aus K gilt, sofern c 6= 0 und c − a − b 6= 0.]
43. Betrachten Sie
f (X) = X 4 + X 3 + X + 1
und
g(X) = X 3 − X 2 − X + 1
als Polynome in Q[X].
(a) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von f und g.
(b) Schreiben Sie diesen als “polynomiale Linearkombination” von f und g. D.h.,
bestimmen Sie a, b ∈ Q[x], sodass für d = ggT(f, g) die Beziehung
a(X)f (X) + b(X)g(X) = d(X)
gilt.
(c) Bestimmen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von f und g.
44. Sei auf Q, der aus den acht verschiedenen Elementen bestehende Menge
{±1, ±i, ±j, ±k}, auf folgende Weise eine assoziative Multiplikation · definiert:
1 · x = x · 1 = x, −1 · x = −x,
x · x = −1, ∀x 6= ±1,
∀x ∈ Q
(−1) · (−1) = 1
i · j = k, j · i = −k
Zeigen Sie, dass (Q, ·, 1) eine Gruppe bildet.
45. Gegeben sei die Menge der Matrizen
α β
| α, β ∈ C .
H=
−β α
(Hier, wie auch sonst, bezeichnet α die konjugiert komplexe Zahl zu α ∈ C.)
(a) Zeigen Sie, dass (H, +, ·) ein assoziativer Unterring von (Mat2 (C), +, ·) ist.
(b) Wieso ist (H, +, ·) kein Körper?
(Bemerkung: (H, +, ·) bildet allerdings einen Schiefkörper, den sogenannten “Quaternionenschiefkörper”.)
4
46. Verwenden Sie die Cardanosche Formel um alle (auch komplexen) Lösungen von
x3 + 9x + 6 = 0
zu bestimmen.
47. Zeigen Sie: Ist an − 1 (a, n ∈ N, n 6= 1) eine Primzahl, dann muss a = 2 und n
eine Primzahl sein.
Hinweis: Zeigen Sie die Gleichung
xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + . . . + xy n−2 + y n−1 ).
48. Zeigen Sie: Ist an + 1 (a, n ∈ N \ {1}) eine Primzahl, dann muss a eine gerade
Zahl und n eine Potenz von 2 sein.
Hinweis: Zeigen Sie für ungerade n die Gleichung
xn + y n = (x + y)(xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − . . . + y n−1 ).
n
49. Zeigen Sie, dass die Zahlen Fn = 22 + 1 paarweise relativ prim sind und schließen
Sie daraus, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst mit Induktion, dass
Fn − 2 = F0 F1 . . . Fn−1
gilt und schließen Sie weiter.
√
50. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von i + 2 über
√
√
(a) Q(i),
(b) Q( 2),
(c) Q(i 2),
(d) Q.
51. Bestimmen Sie einen Körper mit 8 Elementen.
52. Bestimmen Sie einen Körper mit 9 Elementen.