Übungsblatt

Vorbereitung auf
Staatsexamensprüfung
Februar 2014
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Prof. Dr. Eberhard Kaniuth
M. Sc. Theo J. Meier-Hans
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Aufgabe 1
a) Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und Ai ⊂ Ω, i ∈ I. Wann heißt die
Familie der Ereignisse Ai unabhängig?
b) Die Ereignisse A und B seien unabhängig. Zeigen Sie, dass dann auch Ω \ A und B, sowie
Ω \ A und Ω \ B unabhängig sind.
c) Zwei faire Münzen werden geworfen. Sind die folgenden drei Ereignisse unabhängig?
A: die erste Münze zeigt Kopf;
B: die zweite Münze zeigt Kopf;
C: beide Münzen zeigen die gleiche Seite.
d) Es seien A und B Ereignisse mit A ⊂ B. Zeigen Sie: A und B sind genau dann unabhängig,
falls P (A) = 0 oder P (B) = 1.
Aufgabe 2
a) Seien (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Die Elemente A und Ac := Ω \ A bilden
ein vollständiges Ereignissystem. Zeigen Sie die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit und
die Formel von Bayes für diesen Fall.
b) In einem Jahrgang eines Gymnasiums wurde eine Vergleichsarbeit geschrieben. 10% der Schüler sind durchgefallen. 70% dieser durchgefallenen Schüler waren bereits in einem speziellen
Förderkurs. Von den Schülern, die nicht durchgefallen sind waren 10% im Förderkurs. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus dem Förderkurs ausgewählter Schüler
durchgefallen ist.
c) Bei einer Klausur werden Multiple-Choice Aufgaben gestellt, bei denen von 3 vorgegebenen
Antworten genau eine richtig ist. Wir nehmen an, dass ein Teilnehmer auf 70% aller Fragen die
richtige Antwort kennt und sonst zufällig ankreuzt. Nun hat der Student eine Frage richtig
beantwortet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er die Antwort auf die Frage tatsächlich
gewusst?
d) In einem Behälter befinden sich 2 Weiße und 2 Schwarze Kugeln. Ohne zurücklegen werden
2 Kugeln gezogen. Angenommen die zweite gezogene Kugel ist schwarz. Wie wahrscheinlich
ist es, dass die erste gezogene Kugel schwarz ist?
e) Angenommen, dass 1% aller Menschen einen bestimmten Gendefekt besitzt. Es existiert ein
Diagnosetest, welcher bei vorhandenem Defekt diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von 5%
übersieht und bei nicht vorhandenem Defekt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 1% einen
anzeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch bei dem ein (bzw. kein) Defekt
angezeigt wird auch wirklich einen (bzw. keinen) hat?
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Aufgabe 3
a) Wie ist die geometrische Verteilung definiert?
b) Sei X eine geometrisch verteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie den Erwartungswert und die
Varianz von X.
c) Wie ist die Poisson-Verteilung definiert?
d) Sei X eine poisson-verteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
e) Wie ist die Hypergeometrische Verteilung definiert?
f) Sei X eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie den Erwartungswert von
X. (optional auch Varianz, aber hierfür werden komplizierte Termumformungen benötigt,
welche mit Stochastik nichts zu tun haben.)
Hinweis: Verifizieren und verwenden Sie:
a
a
a−1
= ·
b
b
b−1
Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass für eine Zufallsvariable X ∼ N (µ, σ 2 ) gilt EX = µ und VX = σ 2 .
Aufgabe 5
Sei X eine Zufallsvariable, die nur Werte in Z+ = N ∪ {0} annimmt. Zeigen Sie
EX =
∞
X
n=1
P (X ≥ n).
Aufgabe 6
Wir spielen Euro-Lotto 5 aus 50 mit Superzahlen 2 aus 8. Wir tippen zunächst 5 aus 50 Zahlen
und dann 2 aus 8 seperaten Superzahlen. In einer Ziehung werden dann aus einer Urne mit 50
Kugeln 5 Kugeln gezogen und dann aus einer zweiten Urne 2 aus 8 Superzahlen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
• genau 3 Richtige beim Spiel 5 aus 50,
• genau 5 Richtige beim Spiel 5 aus 50,
• genau 5 Richtige beim Spiel 5 aus 50 und zusätzlich beide Superzahlen richtig
zu haben?
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b) Die Wahrscheinlichkeit genau 2 Richtige und genau eine Superzahl richtig zu haben beträgt
0.0287. 100 Spieler füllen den Tippschein aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben
• genau 5 Spieler,
• höchstens 2 Spieler,
• mindestens 1 Spieler
genau 2 Richtige und genau einer Superzahl? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten sowohl
exakt, als auch mit der Poisson-Approximation.
Aufgabe 7
Gegeben sei die Funktion
(
β(5 − z)z, wenn z ∈ [0, 5] ,
f (z) =
0,
sonst.
(1)
a) Für welches β ∈ R ist f (z) eine Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen Z?
b) Für das berechnete β bestimme man die Verteilungsfunktion von Z. Welche Bedingungen
muss eine solche Verteilungsfunktion erfüllen?
c) Berechnen Sie P (Z < 2).
d) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Z.
Aufgabe 8
Formulieren und beweisen Sie die Ungleichungen von Markoff und Tschebyscheff.
Aufgabe 9
Bei einem Zufallsexperiment trete ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit P (A) ein. Hn (A)
gebe die beobachtete relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n unabhängigen Wiederholungen
des Experimentes an. Zeigen Sie, dass für jedes ε > 0 gilt
lim P |Hn (A) − P (A)| < ε = 1.
n→∞
(Hinweis: Für festes n gibt die Zufallsvariable Sn = nHn (A) die Anzahl der Experimente an, bei
denen das Ereignis A eintritt. Sn ist also binomialverteilt mit Paramentern n und P (A)).
Aufgabe 10
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a) Es seien X und Y zwei Zufallsvariablen und α, β ∈ R. Welche der folgende Eigenschaften gelten im Allgemeinen? Welche zusätzlichen Bedingungen müssen erfüllt sein damit die Übrigen
gelten?
E(αX + βY ) = αEX + βEY ;
E(X · Y ) = EX · EY ;
VX = E(X 2 ) − (EX)2 ;
V(αX + β) = α2 V(X);
V(X + Y ) = V(X) + V(Y ).
(Dabei bezeichne VX die Varianz der Zufallsvariablen X.)
b) Die Abfüllanlage einer Molkerei füllt im Mittel 500ml Kakao in einen Karton. Die Standartabweichung beträgt 10ml. Die genaue Füllmenge eines Kartons werde als normalverteilt
angenommen. Ein Karton hat ein Volumen von 525ml. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein
Karton bei der Abfüllung überläuft?
c) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Karton überläuft, wenn neben der Füllmenge auch das
Volumen des Kartons als normalverteilt angesehen wird? Hierzu habe ein Karton ein mittleres
Volumen von 525ml bei einer Standartabweichung von 2ml.
d) Ein Kunde kauft im Laden 4 Kartons des obig beschriebenen Kakaos. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kauft er mindestens die von ihm erwarteten 2l Kakao? Wie wahrscheinlich ist
es, dass er mindestens 25ml weniger erhält als er erwartet?
Aufgabe 11
a) Es seien X1 , . . . , Xn , n ∈ N unabhängige
Pn und identisch verteilte Zufallsvariablen mit P (X1 =
1
1) = P (X1 = −1) = 2 . Es sei Sn := i=1 Xi . Zeigen Sie, dass gilt
!
Sn
P a < √ < b → Φ(b) − Φ(a).
n
Nutzen Sie hierzu eine Folgerung des Zentralen Grenzwertsatzes.
b) Ein fairer Tetraeder ("Würfel"mit 4 Seiten und den Zahlen 1 bis 4) werde 2000 mal geworfen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der geworfenen Vieren um weniger als
15 von 500 abweicht.
c) Wie oft muss ein Tetraeder mindestens geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit
von 99 % die relative Häufigkeit der Vieren um weniger als 0.01 von 0.25 abweicht.
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