Trigonometrie

Trigonometrie
10B Mathe (ht)
Bergstadt-Gymnasium
2006-02-10
26. März 2006
Formelsammlung
Trigonometrie
Formelsammlung
1
Definitionen der Winkelfunktionen
1.1
am rechtwinkligen Dreieck
sin α
1.2
=
Gegenkathete
Hypotenuse
cos α
Ankathete
Hypotenuse
=
tan α
=
y
r
cos α
=
x
r
tan α
=
y
x
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
√
sin α = ± 1 − cos2 α
sin α
tan α = p
± 1 − sin2 α
cos α = sin(90◦ − α)
p
cos α = ± √ 1 − sin2 α
± 1 − cos2 α
tan α =
cos α
1
sin α = cos(90◦ − α)
tan α =
tan(90◦ − α)
Das Vorzeichen der Wurzel wird durch den Quadranten bestimmt
sin2 α + cos2 α = 1
sin α
tan α =
cos α
3
=
für beliebige Winkel (am Einheitskreis mit r = 1)
sin α
2
Funktionen von Winkelsummen
sin(α ± β)
cos(α ± β)
=
=
tan(α ± β)
=
sin α · cos β ± cos α · sin β
cos α · cos β ∓ sin α · sin β
tan α ± tan β
1 ∓ tan α · tan β
1
Gegenkathete
Ankathete
Trigonometrie
10B Mathe (ht)
Bergstadt-Gymnasium
4
2006-02-10
26. März 2006
Formelsammlung
Funktionen des mehrfachen Winkels
sin 2α
cos 2α
=
=
tan 2α
=
sin 3α
sin 4α
α
sin
2
=
=
5
2 sin α cos α
cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α
2 tan α
1 − tan2 α
3 sin α − 4 sin3 α | cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α
3
4
2
8 sin
r α cos α − 4 sin α cos α | r cos 4α = 8 cos α − 8 cos α + 1
α
α
sin α
1 − cos α
1 + cos α
±
| cos = ±
| tan =
2
2
2
2
1 + cos α
=
Sätze über das ebene Dreieck
5.1
Sinussatz
a
b
c
=
=
= 2r
sin α
sin β
sin γ
5.2
(r : Umkreisradius)
Cosinussatz
a2
= b2 + c2 − 2bc cos α
2
= a2 + c2 − 2ac cos β
c2
= a2 + b2 − 2ab cos γ
b
5.3
Flächeninhalt
A=
6
1
1
1
ab sin γ = bc sin α = ac sin β = 2r2 sin α sin β sin γ
2
2
2
spezielle Werte
0
x
0◦
sin x
0
cos x
1
tan x
0
π
12
15◦
√
2 √
( 3 − 1)
4
√
2 √
( 3 + 1)
4
√
2− 3
π
8◦
1
p22 2 √
2− 2
p 2 √
2+ 2
p 2 √
2− 2
p
√
2+ 2
π
6
30◦
1
2
√
3
2
√
3
3
π
4
45◦
√
2
2
√
2
2
1
π
3
60◦
√
3
2
1
2
√
3
π
2
90◦
1
0
∞
Weitere genaue Werte erhält man durch Anwenden der Beziehungen wie z.B.
sin(90◦ ± x) = cosx; sin(180◦ ± x) = ∓ sin x usw.
#
Hinweis:
Einschränkende Bedingungen (z.B. bei Division
durch Null oder negativen Radikanden) sind
nicht angegeben
"
!
2