Sphärische Trigonometrie

Sphärische Trigonometrie
Die gelbe Fläche soll ein sphärisches Dreieck auf der Einheitskugel
darstellen. 0 sei der Kugelmittelpunkt, A,B,C seien die Eckpunkte. Der Radius
0A sei bis D verlängert, wo die eine Tangente von C schneidet. Entsprechendes
gilt für 0E. a sei der Winkel B0C, b der von A0C und c der von A0B. Die
Winkel im sphärischen Dreieck seien bei A= α bei B= β und bei C= γ . Die
Winkel 0CD und 0CE sind 90° . In den Dreiecken D0E und DCE wird jeweils
die Strecke DE durch den Kosinussatz ausgedrückt:
DE2 = 0D2 + 0E2 - 2 • 0D • 0E • cos c
DE2 = CD2 + CE2 - 2 • CD • CE • cos γ Subtrahiert man jetzt die zweite
Gleichung von der ersten und berücksichtigt, daß (0D2 - CD2) = 1 und auch
(0E2 - CE2) = 1 (wegen R der Einheitskugel = 1 ) so erhält man:
0 = 1 + 1 - 2 • 0D • 0E • cos c + 2 • CD • CE • cos γ
Auflösen der Gleichung nach cos c ergibt:
1
CD⋅CE

⋅cos  schaut man sich die Quotienten in den entsprechenden Dreiecken an :
0D⋅0 E 0D⋅0 E
1
1
CD
CE
= cos b ;
= cos a ;
= sin b ;
= sin a so erhält man den
0D
0E
0D
0E
cos c=
„Seitenkosinussatz“ :
cos c = cos a⋅cosbsin a⋅sin b⋅cos 
0 = Erdmittelpunkt. Winkel bei A, B, C sind α , β , γ des sphärrischen
Dreiecks. CE ist das Lot auf 0AB . CF ist das Lot auf 0B und CD das
Lot auf 0A . Dann ist α = CDE und β = CFE ,
CD = sinb und CF = sina .
CE/CF = sinβ und CE/CD = sinα => sinβ ∙ sina = CE = sinα ∙ sinb
Sinussatz:
sin a sin 
=
sin b sin 
Mit diesen Sätzen ist man gerüstet „Großkreisberechnungen“
durchzuführen. Dabei ist nur noch zu beachten, daß beim Erdradius
R = 6371 km folgende Umrechnung gilt: 1° auf jedem Großkreis
entspricht 60 sm bzw 111,12 km .
Flug: Hamburg - San Francisco
Gesucht wird die kürzeste Flugstrecke von Hamburg (HH : 53,5° N 010° E)
nach SanFrancisco (SF : 37,5° N 123° W)
Ausserdem soll berechnet werden der Abflugkurs und der nördlichste Punkt der
Flugbahn.
Zur Berechnung wird das sphäriche Dreieck Hamburg-Nordpol-San Francisco
betrachtet. Aus den Koordinaten kann man die benötigten Winkel für das
spärische Dreieck ermitteln: (HH-N) = a = (90°-53,5°) = 36,5° und (N-SF) = b
= (90°-37,5°) = 52,5° . Der Winkel zwischen den beiden Meridianen beträgt
(123° + 10°) = 133° . Da der Pol senkrecht über der Äquatorebene steht ist das
auch zugleich der Winkel γ im sphärischen Dreieck, welches durch zwei Seiten
und den eingeschlossenen Winkel gegeben ist.
c = arc cos [cos a ∙ cos b + sin a ∙ sin b ∙ cos γ] = 80,356°
Ein Fall für den Kosinussatz:
Damit beträgt die Flugstrecke = 8929 km
Der Abflugwinkel ist der Winkel β . Er berechnet sich mit dem Sinussatz:
Daraus ergibt sich der Kurs zu (360°-36,053°) = 223,9°
=arc sin
[
]
sin ⋅sin b
=36,053 °
sin c
Der nördlichste Punkt ist der Polabstand von c = hc
hc = sin a ∙ sin β = 20,492° (Sinussatz im Dreieck HH-Pol-Fußpunkt hc)
Die geographische Breite dieses Punktes beträgt (90°-20,492°) = 69,50°
Aus dem Winkel δ zwischen hc und a kann man die Länge dieses Punktes
bestimmen. Wegen des rechten Winkels zwischen hc und c benötigt man nicht
den Kosinussatz, sondern rechnet direkt:
=arc cos
[ ]
tan h c
=59,67°
tan a
Daraus berechnet sich die Länge zu (59,67°-10°) = 49,67° W
Weil zwischen Breite eines Ortes und seinem Polabstand die Beziehung gilt:
a = 90°-φ kann man sina durch cosφ bzw cosa durch sinφ ersetzen, wodurch
man Formeln direkt für nautische Anwendungen erhält. γ ist immer Δλ .