Theoretische Physik 2 (Assaad WS 0809)

Theoretische Physik II
gelesen von Prof. Assaad
Wintersemester 08/09
LATEX von Maximilian Michel
15. März 2009
Inhaltsverzeichnis
0. Mathematik Vorkurs
0.1. Distributionen . . . . . . . . .
0.1.1. Motivation/ Beispiel .
0.1.2. Fourier-Transformation
0.2. Vektoranalysis . . . . . . . . .
0.2.1. Der Gradient . . . . .
0.2.2. Distributionen im R3 .
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1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
1.1. Gleichung der Elektrostatik – Coulombkraft . . . . . . . . . .
1.1.1. Ladungen und Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Das Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Skalarpotential und Poisson-Gleichungen . . . . . . . .
1.1.6. Bedeutung von Φ(~x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7. Poisson-Gleichung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8. Zusammenfassung: Gleichung der Elektrostatik . . . .
1.1.9. Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Die Gleichungen der Magnetostatik – Ampère’sches Gesetz . .
1.2.1. Ampère’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Das Ampère’sche Gesetz in Differentialform . . . . . .
1.2.4. Zusammenfassung: Die Gleichungen der Magnetostatik
1.3. Gleichungen der Elektrodynamik – Faraday’sches Gesetz . . .
1.3.1. Das Faraday’sche Induktionsgesetz (1831) . . . . . . .
1.3.2. Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom . . . . . . . . . .
1.4. Erhaltungssätze Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Energiedichte in der Elektrostatik: . . . . . . . . . . .
1.4.2. Energiedichte der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Erhaltungssätze von Energie und Impuls . . . . . . . .
1.5. Homogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Elektromagnetische Wellen (Licht) im Vakuum . . . . .
1.6. Potentiale, vektorielle und skalare Potentiale, Eichungen . . .
1.6.1. Potentiale und Eichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Coulomb Eichung und Lorentz Eichung . . . . . . . . .
1.7. Lösung der Elektromagnetischen Wellengleichung . . . . . . .
1.7.1. Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2. Bestimmung von G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
Inhaltsverzeichnis
2. Maxwell - Gleichungen in Materien
2.1. Makroskopische Maxwell-Gleichung . . . . . . . .
2.1.1. Berechnung der mittleren Stromdichte . .
2.1.2. Mittlere 4-Stromdichte des k-ten Moleküls
2.1.3. Mittlere Stromdichte des k-ten Moleküls .
2.2. Material-Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Anwendung/Beispiel: Reflektion/Brechung
~j . . . . . . . . . .
2.2.2. Intensität/Amplitude A
2.2.3. Der Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . .
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3. Randwertprobleme in der Elektro- und Magnetostatik
3.1. Gleichungen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Eindeutigkeit der Lösung, Randwertproblem . . . . . .
3.1.2. Spezielle Methoden zur Lösung der Randwertprobleme
3.1.3. Separation der Variablen in der Laplace-Gleichung . . .
3.2. Randwertprobleme in der Magnetostatik . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Gleichungen der Magnetostatik in Materie . . . . . . .
3.2.2. Beispiel: Homogene magnetische Kugel . . . . . . . . .
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4. Spezielle Relativitätstheorie
4.1. Beispiel: Klassische Mechanik und Galilei-Transformation
4.1.1. Maxwell-Gleichungen und Galilei Transformation
4.2. Die Einstein’schen Postulate (1905) . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Die Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Ansatz für Lorentz-Transformation . . . . . . . .
4.2.3. Beispiele von Lorentz-Transformationen . . . . . .
4.2.4. Der Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5. Wichtige Unterscheidungen für die Indizes . . . .
4.2.6. Zusammenfassend: . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Lorentzinvarianz der Maxwell-Gleichung . . . . . . . . .
4.3.1. Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Inhomogene Maxwell-Gleichung: . . . . . . . . . .
4.3.3. Homogene Maxwell-Gleichung . . . . . . . . . . .
4.3.4. Forminvarianz der Maxwell-Gleichung . . . . . . .
4.3.5. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Lorentz-Eichung, Inhomogene Wellengleichung . . . . . .
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5. Anwendungen/Ergänzungen
5.1. Lienard-Wiechert Potential – Das Feld einer Punktladung .
5.1.1. Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Synchrotronstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Zylindrischer Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Die Verschiedenen speziellen Moden . . . . . . . . .
5.3.3. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
Inhaltsverzeichnis
5.3.4. Beispiel 2: der zylindrischer Hohlleiter (kreisförmig) . . . . . . . . . 117
A. Bedeutung der Eigenzeit
119
B. Compton-Effekt
120
B.1. Compton Streuung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B.1.1. Beschreibung durch die 4-er Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . 120
C. Die Maxwell-Gleichung in Integralform
121
D. Maxwell-Gleichung in unterschiedlichen Einheitensystemen
122
E. Felder und Quellen im SI -System
123
F. Vektor- und Tensoroperationen
F.1. Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . .
F.2. Differentialoperatoren . . . . . . . . . .
F.3. Integralformeln . . . . . . . . . . . . . .
F.4. Rechenregeln für die Differentialoperatoren
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124
. 124
. 125
. 125
. 126
G. Koordinatensysteme
128
G.1. Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
G.2. Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5
0. Mathematik Vorkurs
0.1. Distributionen
0.1.1. Motivation/ Beispiel
Sei
8
<
1, falls x > 0
Θ=:
.
0, falls x < 0
Θ(x) heißt Heaviside-Funktion.
Frage: Wie sieht die Ableitung von Θ(x) aus?
Es gilt:

1
x π‹
· arctan
+
ε→0 π
ε
2

d
x π‹
d 1
Θ(x) = lim
arctan
+
⇒
dx {z } ε→0 dx π
ε
2
|
Θ(x) = lim
≡Θ0 (x)
1
1
1
€ Š2 ·
ε→0 π
ε
1+ x
= lim
ε
ε
1
= lim
2
ε→0 π x + ε2
Es gilt:
1. Θ0 (x) = 0 ∀x6=0
2.
R +∞
−∞
ε
dxΘ0 (x) = limε→0 π1 dx x2 +ε
2 = limε→0 1 = 1
3.
Definition. Sei ϕ(x) ∈ S(R) mit
(
dβ
S(R) = ϕ(x) | ϕ(x) ∈ C (R), ∧ sup x
ϕ(x)
< ∞, α, β ∈ N0
dxβ
x∈R
∞
)
α
(wobei C ∞ =
ˆ unendlich oft differenzierbar und der letzte Teil „beschränkt“ bedeutet.)
S heißt Testfunktionenraum oder auch Schwarz’scher Raum
Beispiel.
x2
1
∈
/ S(R),
+1
x2
Pn (x)e− 2 ∈ S(R)
6
0.1. Distributionen
Es gilt:
Z +∞
−∞
dxΘ0 (x)ϕ(x) = ϕ = 0
Beweis.
1
lim
ε→0 π
Z +∞
−∞
y= xε
1
ε
= lim
dx 2
ϕ(x)
2
ε→0
x +ε
π
Z +∞
1
ϕ(εy)
−∞
1 + y3
Z +∞
1
= ϕ(0)
dy
−∞
1 + y2
|
dy
{z
}
=1
Definition. ς(x) heißt Dirac-ς-Funktion: (oder auch nur ς-Funktion), falls
Z ∞
−∞
dxϕ(x)ς(x) = ϕ(x),
∀ϕ(x)∈S(R)
ϕ(x) ∈ S(R)
Bemerkung.
• Θ0 (x) = ς(x)
• Die Dirac ς-Funktion kann man nur unter einem Integral definieren.
Beispiel. zu 2.
1
lim
ε→0 π
Z +∞
−∞
 ‹ ∞
ε
1
x dx 2
=
arctan
2
x +ε
π
ε −∞
Definition. Distribution S(R) → C ist linear. Dann ist eine Distribution irgendeine
Funktion die der Gleichung
Lg (ϕ) =
Z +∞
−∞
dxg(x)ϕ(x) ∈ C
Man kann also jede „normale Funktion“ immer als Distribution auffassen (siehe später)
Folgen aus der ς-Funktion
Satz. Sei g1 (x) eine stückweise stetige Funktion mit
R +∞
−∞
dxg1 (x) = 1. Sei
gn (x) = n · g1 (n · x)
Dann gilt:
Z +∞
lim
n→∞ −∞
dxϕ(x) · gn (x) = ϕ(0)
∀ϕ(x)∈S(R)
mit anderen Worten:
lim gn (x) = ς(x)
n→∞
7
0. Mathematik Vorkurs
Beweis. Sei
Z ∞
f (x) =
Z +∞
−∞
dygn (y) =
−∞
dyg1 (n · y)
mit ε = n · y
Z +∞
=
−∞
dzg1 (z)
8
R
< +∞
lim fn (x) = :R−∞
+∞
n→∞
−∞
dzg1 (z) = 1, x > 0
dzg1 (z) = 0, x < 0
Betrachtet man zusätzlich noch limn→∞ fn (z) = Θ(x), so erhält man
8
⇒ n→∞
lim
−∞
9
>
<
Z +∞
+∞
dxϕ(x)gn (x) = n→∞
lim >ϕ(x)fn (x)
:|
=−
n
Z +∞
−∞
{z
−∞
−
Z +∞
}
−∞
≡0
0
dxϕ (x)Θ(x) = −
8
0
<
dxϕ (x)fn (x)>
Z ∞
;
dxϕ0 (x)
0
∞ o
= ϕ(x)
>
=
0
9
=
= − :ϕ(x) −ϕ(0); = ϕ(0)
| {z }
=0
Beispiele.
1
1
Im
= ς(x),
ε→0 π
x − iε
lim
denn es gilt:
1 · (x + iε)
x
ε
1
1
Im
= lim Im 2
+
i
ε→0 π
(x − iε) · (x + iε) ε→0 π
x + ε2
x 2 + ε2
1
ε
= lim
2
ε→0 π x + ε2
lim
Mit n =
1
ε
ergibt sich
1
1
n
π x2 + n12
1
1
= lim n ·
n→∞
π (nx)2 + 1
= n→∞
lim
|
{z
=g1 (n·x)
= n→∞
lim n · g1 (n · x)
mit
R∞
−∞
dxg1 (x) = 1 folgt schließlich
= ς(x)
8
}
0.1. Distributionen
0.1.2. Fourier-Transformation
Bemerkung. Nur 2π-periodische Funktionen sind Fourier-transformierbar
Behauptung: Es gilt:
1
2π
Z +∞
−∞
dk · eikx = ς(x)
Annahme: Wir haben das Dirichlet-Integral
1
2π
Z +∞
−∞
dx
sin(x)
=1
x
Beweis: Sei
gn (x) =
=
=
=
1 Zn
1 1 ikx n
dk · eikx =
e 2π −n
2π ix
−n
1 1 inx
1 1 1 inx
−inx
(e − e
)=
(e − e−inx )
2π ix
π x 2i
11
! 1n 1
sin(n · x) =
sin(nx)
πx
π n nx
1 1
n
sin(nx)
π |nx {z
}
=g1 (nx)
Damit folgt dann für gn (x):
gn (x) = n ·
1 sin(nx)
= n · g1 (nx)
π {z
nx }
|
g1 (n·x)
mit g1 (x) =
1 sin(x)
.
π x
Bemerkung. Es gilt:
1
π
Z +∞
−∞
dx
sin(x)
= 1,
x
Man erhält dann:
gn (x) = g1 (n · x)
mit
Z +∞
−∞
dxg1 (n · x) = 1
Mit dem o.g. Satz folgt:
lim gn (x) = ς(x)
n→∞
9
0. Mathematik Vorkurs
Konsequenz: Fouriertransformation
Es gilt:
Z +∞
ϕ(x) =
−∞
dyϕ(x + y)ς(y),
Sei1 :
ϕ(y) = f (x + y)
Z +∞
−∞
dyϕ(y)ς(y) = ϕ(0) = f (x)
⇒ f (x) =
Z +∞
−∞
1
dyf (x + y)
2π
|
Z +∞
−∞
dkeiky
{z
}
=ς(y)
mit z = x + y
Z +∞
=
−∞
1
=√
2π
1
dzf (z)
2π
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞
dkei(z−x)
1
dkeikx √
2π
|
Z +∞
−∞
dzeikz f (z)
{z
}
=fˆ(k)
wobei fˆ als Fouriertransformation von f
1
⇒ f (x) = √
2π
1
Z +∞
−∞
1
dkeikx fˆ(k) mitfˆ(k) = √
2π
Z +∞
−∞
dzeikz f (z)
denn es ist:
ϕx (y) = f (x + y)
Z +∞
Z +∞
dyf (x + y)ς(y) =
−∞
dyϕx (y)ς(y)
−∞
= ϕ(0) = f (x)
mit anderen Worten: Die Delta-Funktion ist Null außer für die Funktionswerte um y. Man kann es sich
auch so vorstellen, man hat einen Puls Pε (x) mit einer Pulsbreite(∼dauer) von ε. Damit die DirichletFunktion erfüllt ist, muss die Fläche vom (wir nehmen in rechteckig an) Puls =1 sein. Damit wissen wir,
das der Puls 1ε hoch ist. Wir erhalten in diesem Fall:
Z +∞
Pε (x) = lim
ε→0
dyf (x + y)Pε (y),
−∞
da der Puls extrem klein wird, können wir annehmen, dass f (x) in der Dauer des Impulses nahezu
konstant ist, daher folgt:
Z +∞
' lim f (x)
ε→0
10
dxPε (y)
−∞
0.1. Distributionen
Bemerkung. Die Gauß-Funktion ergibt bei einer Fourier-Transformation wieder die
Gauß-Funktion. Man kann sich die Gauß-Funktion auch als die Schwelle zur ebenen Welle
vorstellen.
Beispiele. für Fourier-Transformation:
1. f (x) = a
1
a
⇒ fˆ(k) = √ · 2π
2π
2π
|
Z ∞
ikz
−∞
=
dze
{z
√
2π · aς(k)
}
=ς(k)
x2
2. f (x) = e− 2 :
1
fˆ(k) = √
2π
1
=√
2π
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞
x2
dxeikx · e− 2
1
dxe− 2 (x
2 −2ikx)
mit (x − ik)2 = x2 − 2ikx − k 2 folgt x2 + 2ikx = (x − ik)2 + k 2 und damit:
1
1 Z +∞
2
2
=√
dxe− 2 ((x−ikx) +k )
2π −∞
1
1 − 1 k2 Z +∞
2
=√ e 2
dxe− 2 (x−ik)
−∞
2π
die qad Rechnung („quick and dirty-Rechnung“)liefert:
Z +∞
k2
1
= √ e− 2
2π
|
−∞
x2
dxe− 2 ,
{z
}
=I
wobei hier anzumerken ist, dass man in I in der komplexen Ebene über eine parallele
der reellen Achse integriert, da man diesen Weg sehr schnell mit der reellen Achse
zu einem geschlossenen Weg ergänzen kann. Aus der Funktionentheorie weiß man,
dass das Integral über einen geschlossener Weg =0 ist. Deswegen reicht es, wenn
man nur noch den Realteil der Funktion betrachtet. Damit ist I erklärt.
2
Z ∞
(I) =
Z ∞
rdr
0
|
0
r2
dϕ ·e− 2
{z
}
=2π
2 ∞
− r2 = 2π e
√
⇒ I = 2π
= 2π
0
2
k
⇒ fˆ(k) = e− 2
11
0. Mathematik Vorkurs
0.2. Vektoranalysis
0.2.1. Der Gradient
‚
~ =
∇
∂ ∂ ∂
; ;
∂x ∂y ∂z
Œ
Das Skalarfeld ist Definiert als:
f (~x) = R3 → R
damit folgt für das Produkt aus den beiden Gleichungen:
‚
~ · f (~x) =
∇
Œ
∂f (~x) ∂f (~x) ∂f (~x)
;
;
,
∂x
∂y
∂z
~ · f (~x) ein Vektorfeld mit R3 → R3 ist.
wobei ∇
Beispiel. Sei
1
1
=
1
|~x|
{x2 ; y 2 ; z 2 } 2
~ 1 = − 1 · ~x = − ~x
∇
|~x|
|~x|2 |~x|
|~x|3
f (~x) =
Das Wegintegral über ein Gradientenfeld
Definition. Wegintegral über ein Gradientenfeld
Z B
~
~
A
~ (~x)
d~l · ∇f
~ − f (A)
~
= f (B)
~
x=~l
~l(t) mit t ∈ [0, 1],
~l(0) = A,
~
~l(1) = B,
~
wobei d~l =
d~l(t)
dt
· dt
Z B
~
~
A
~ · f (~x)
d~l · ∇
Z 1
=
0
~
x=~l
d~l(t) ~
dt
· ∇f (~x)
dt
~
x−~l(t)
Z 1
=
dt
0
d ~ ~ − f (A)
~
f l(t) = f (B)
dt
Definition. Divergenz Sei
f~(~x) = (f1 (~x), f2 (~x), f3 (~x)) ,
R3 → R3
dann ist die Divergenz definiert als
~ · f~(~x) = ∂ f1 (~x) + ∂ f2 (~x) + ∂ f3 (~x)
∇
∂x
∂y
∂z
12
0.2. Vektoranalysis
Bemerkung. Die Divergenz gibt also beispielsweise die Quelle eines Kraftfeldes an
Beispiel.
~x
f~(~x) = 3 ;
|~x|
~ · ~x = 0,
∇
∀~x6=0
|~x|3
Gauß
Betrachten wir ein Volumen V mit Normalenvektor ~n und dem Rand ∂V damit folgt:
•Z
~ f~(~x) =
d ~x∇
Z
d~n · f~(~x)
3
V
˜
~
x
∂V
Definition. quellenfreies Feld:
Dies ist ein quellenfreies Feld, Anzahl der Vektoren die in das Volumen gehen ist gleich
der Anzahl die herauskommen
Beispiel. Betrachten wir eine Kugel mit Volumen V . In der Kugel gilt
~ ~x = 0
∇
|~x|3
Frage:
Z
V
Z
⇒
V
~ · ~x = 4π
d3~x∇
|~x|3
Z
~ · ~x =
~ ~x
d3~x∇
d3~x∇
3
V
|~x|
|~x|3
mit Gauß folgt:
Z
d~n(~x) ·
=
∂V
~x
|~x|3
Verwendet man Kugel-Koordinaten, also
…
x
y
z

…
=R
sin ϑ cos ϕ
sin ϑ sin ϕ
cos ϑ

wobei ϑ = [0, π], $ = [0, 2π] ist. Damit erhält man für ~x:
~x = (r · cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ).
13
0. Mathematik Vorkurs
Für das Volumenelement gilt
8
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂ϑ
∂x
>
< ∂r
∂x
det > ∂ϕ
: ∂x
∂ϑ
Z
9
∂z
>
∂r =
∂z
∂ϕ >
∂z ;
∂ϑ
d3~n(~x)
⇒
∂V
= r2 sin(ϑ)
Z π
Z 2π
~x
r~n
=
dϑ
dϕ
r| 2 sin{zϑ · ~n}
· 3
3
0
0
r
|~x|
=d~
n(~
x)=Volumenelement
Z π
= 2π
dϑ sin ϑ = 4π
0
~x
=0
∀~x6=0
|~x|3
Z
~ · ~x = 4π
d3 ∇
V
|~x|3
~ · ~x = 4πς (3) (~x)
⇒∇
|~x|3
~ ·
⇒∇
~x = ~0 ∈ V , Aber
~ 1 = − ~x
∇
|~x|
|~x|3
~ ~x = −∇
~ ·∇
~ 1
⇒∇
3
|~x|
|~x|
∂2
∂2
∂2
1
mit
+
+
=∆
|~x|
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
⇒−
1 1
∆ = ς (3) (~x)
4π ~x
Stokes
~ x) : R3 → R3
Sei A(~
~ x)
Definition. Rotation von A(~
~ ×A
~~(x))i =
(∇
X
εijk
ij=1
∂
Ak (~x)
∂xj
Œ
‚
1 2 3
ε = sign
i j k
‚
Œ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
~ × A(~
~ x) =
⇒∇
Az (~x) − Ay (~x); Ax (~x) −
Az (~x); Ay (~x) −
Ax (~x)
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
ijk
Stokes ist definiert als:
Z
~ ~l) =
d~lA(
∂S
14
Z
S
~ y (~x)Ω(~x)(∇
~ × A(~
~ x))
dA
0.2. Vektoranalysis
~ = (0, 0, B). Gegeben ist das Feld A(~
~ x) und damit
Beispiel. Gesucht ist das Magnetfeld B
folgt:
~ x) = (0, 0, B)
~ × A(~
∇
~ x) = (0, Bx , 0)
A(~
oder
~ x) = (−By , 0, 0)
A(~
Z
~ ∇
~ × A(~
~ x)) = πr2 B
dΩ(
S
Z
~ ~l)
d~lA(
=
∂S
0.2.2. Distributionen im R3
Betrachten wir den ~x
…
x
y
z
~x =

Definition. ς (3) = ς(x)ς(y)ς(z). Damit gilt:
Z
⇒
Z +∞
|
−∞
dx ·
Z +∞
−∞
R
=
dy ·
{z
R3
d3 (~
x)=
R
V
R3
Z +∞
−∞
d3~xς (3) (~x)ϕ(~x) = ϕ(0)
dz ς(x)ς(y)ς8z)ϕ(x, y, z) = ϕ(0)
}
dV
Beispiel.
1 Z ~ i~k~x
ς (~x) =
ke
(2π)3 R3
Z +∞
Z +∞
1 Z +∞
(3)
dkx
dky
dkz · eikx x ėiky y · eikz z
ς (~x) =
3
−∞
−∞
(2π) −∞
1 Z ∞ iky y
1 Z ∞ ikz z
1 Z ∞ ikx x
=
e dx ·
e dy ·
e dz
2π −∞{z
2π −∞{z
2π −∞{z
|
} |
} |
}
(3)
=ς(x)
=ς(y)
=ς(z)
Wendet man nun noch die Fourier-Transformation im 3 Dimensionalen an erhält man:
1
f (~x) =
2π
3 Z
R3
~
d3~ke−ik~x · fˆ(~k) ,
(0.1)
mit der Fouriertransformierten fˆ:
‚
fˆ(~k) =
1
√
2π
Œ3 Z
~
R3
d3~x · eik~x f (~x)
(0.2)
15
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
1.1. Gleichung der Elektrostatik – Coulombkraft
Einheiten: SI-Einheiten
• Länge [m], Masse [kg], Zeit [t], Strom [A] (Ampere)
1.1.1. Ladungen und Ströme
Definition. Ladungsdichte %(~x, t):
Man kann sich das ganze in einem Koordinatensystem vorstellen, wobei im ~x in einem
infinitesimal kleinem Volumen ∆V sich befindet.
• %(~x, t) = lim∆V →0
∆q
∆V
• Einheiten:
[%(~x, t)] =
A·s
m3
Definition. Stromdichte ~j(~x, t):
Man kann sich das ganze Vorstellen, in dem man eine Fläche S (Surface) mit Normalenvektor ~n (|~n| = 1) betrachtet, durch den der Strom I fließt. Als Formel erhält man:
∆q
I(t) = Strom
durch die Fläche S
∆t
Z
S = ds · ~n ·~j(~x, t) =
S
• Einheiten: [~j] =
C
sm2
=
| {z }
~
≡dS
A
m2
Bemerkung. Wir postulieren die Ladungserhaltung.
1.1.2. Ladungserhaltung
Wir betrachten hier die eine Kugel mit Volumen V und der Oberfläche ∂V . Die Frage
ist: Wie groß ist die Gesamtladung Q(t)? Wir gehen davon aus, dass die Gesamtladung
konstant bleibt, also die zeitliche Ableitung von Q(t) gleich 0 ist. Also gilt:
Z
d3~x%(~x, t) = const,
Q(t) =
V
16
1.1. Gleichung der Elektrostatik – Coulombkraft
das heißt, dass die zeitliche Ableitung von Q(t) = 0, also
Z
d
∂
Q(t) =
d3 x %(~x, t)
V
dt
∂t
Z
!
~ · ~j(~x, t)
=−
dS
∂S
Z
~ ~j(~x, t)
d3~x∇
Gauß
=
V
Z
d3~x
⇒
V
Z
∂
~ · ~j(~x, t) = 0
%(~x, t) + d3~x∇
V
∂t
Bemerkung. Woher kommt hier die partiellen Ableitung?
Q(t + ∆t) − Q(t)
d
= Q(t)
∆t→0
∆t
dt
Z
%(~
x
,
t
+
∆t)
−
%(~
x
,
t)
∂
d3~x lim
=
d3~x %(~x, t)
∆t→0
V
∆t
∂t
lim
Z
V
Dies gilt für alle Volumen V :
⇒
∂
~ · ~j(~x, t) = 0
%(~x, t) + ∇
∂t
(1.1)
Das ist die Kontinuitätsgleichung bzw. daraus folgt die Ladungserhaltung
Bemerkung. Ströme und Ladungen erzeugen, wenn sie sich zeitlich ändern, Magnet~ x, t)) und elektrische Felder (E(~
~ x, t)) Daraus leiten sich die Maxwellfelder (B(~
Gleichungen her:
~ · E(~
~ x, t) = %(~x, t)
∇
ε0
~ × B(~
~ x, t) =
∇
Gauß’sches Gesetz (1.2)
µ0~j(~x, t)
|
{z
}
Ampere-Gesetz
+
µ 0 ε0
|
~ x, t)
∂ E(~
∂t }
{z
(1.3)
Maxwell-Verschiebungsstrom
~ · B(~
~ x, t) = 0
∇
~ × E(~
~ x, t) = − ∂ B(~
~ x, t)
∇
∂t
(1.4)
Faraday’sches Gesetz (1.5)
Die Konstanten sind
• µ0 : Permeabilitätskonstante des Vakuums
• ε0 : Dielektrizitätskonstante des Vakuums
Die gesamte Vorlesung beschäftigt sich letztendlich nur mit diesen vier Gleichungen und
ihren erstaunlichen Folgen. . .
Bemerkung. Für die Integralform siehe Anhang C!
Wichtig in dieser Vorlesung ist außerdem auch noch die:
17
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
1.1.3. Lorentzkraft
~ x, t) + ~v (t) × B(~
~ x, t)
F~ (~x, t) = q E(~
(1.6)
Wir betrachten hier zuerst die Fälle, wenn
∂
%(~x, t) = 0
∂t
ist, also wenn sich die Ladungen in Ruhe befinden und damit kein Magnetfeld entsteht.
Die Lorentzkraft in der Magnetostatik
Stellen wir uns ein Koordinatensystem vor, in dem sich zwei Ladungen befinden. Die
erste Ladung bezeichnen wir mit q1 ; diese befindet sich am Ort ~x1 (Der Kürze halber
bezeichnen wird diese mit q1 (~x1 )). Für die zweite Ladung gilt analog: q2 (~x2 ). Für die
Kraft, die zwischen den beiden Körper wirkt, die so genannte Coulombkraft, gilt:
F~1,2 =
1
(~x2 − ~x1 )
q 1 · q2 ·
2πε0
|~x2 − ~x1 |3
(1.7)
Es gilt außerdem das 3. Newtonsche Gesetz, also F~2,1 = −F~1,2 .
2
!
Die Einheit der Coulombkraft ist [F~ ] = kg sm2 = ε10 · (As)
. Die Einheit von ε0 ist:
m2
2
4
A s
[ε0 ] = kg·m
3
Das elektrische Feld der Ladung q2 am Punkt ~x1 entspricht:
~
~ x) = F1,2 = 1 q2 · (~x1 − ~x2 )
E(~
q1
2πε0
|~x1 − ~x2 |3
(1.8)
~ ist [E]
~ = N . Von der Ladung selbst geht ein kugelförmiges elektrisches
Die Einheit von E
c
Feld aus, die Ladung ist also Quelle des elektrischen Feldes.
1.1.4. Das Superpositionsprinzip
Definition. Betrachten wir hierzu ein kartesisches Koordinatensystem mit n Ladungen
q1 (~x1 ); q2 (~x2 );. . . ; qn (~xn ). Dann besagt das Superpositionsprinzip, dass wir die elektrischen Felder einfach (unter der Beachtung der relativen Vorzeichen der Ladungen)
summieren können. Damit erhalten wir:
~ x) =
E(~
18
1
2πε0
n
X
i=1
qi
(~x − ~xi )
|~x − ~xi |3
1.1. Gleichung der Elektrostatik – Coulombkraft
Elektrisches Feld einer allgemeinen Ladungsdichte
Bemerkung. %(~x) kann beliebig gut durch eine Summe von Punktladungen approximiert
werden.
%(~x) =
X
qi ς (3) (~x − ~xi ) ,
(1.9)
i
”
—
wobei ς (3) =
1
Volumen
Bemerkung. Aus dem Mathe-Vorkurs (Kapitel 0) kennen wir die Dirac-ς-Funktion
ς (3) (~x − ~y ) mit den Eigenschaften
1.
2.
R
R3
R
R3
”
—
d3 ~y ς (3) (~x − ~y ) · (~y ) = f (~x) ⇒ ς (3) (~x) =
1
m3
d3 ~y ς (3) (~x − ~y ) = 1
3. ς (3) (~x − ~y ) = 0, falls ~x 6= ~y
Damit folgt für das elektrische Feld:
~ x) =
E(~
1
4πε0
Z
R
d3 ~y %(~y ) ·
3
~x − ~y
|~x − ~y |3
denn:
~ x) =
E(~
1
4πε0
X
Z
qi
|
i
R
d3 ~y ς (3) (~y − ~xi ) ·
3
{z
}
~x − ~y
|~x − ~y |3
xi
=1, wenn ~
y∼
=~
=
1
4πε0
X
qi
i
~x − ~xi
|~x − ~xi |3
Damit erhält man das Coulomb-Gesetz in der Differentialform. Es gilt:
~ · E(~
~ x) = 1 %(~x)
∇
ε0
(1.10)
Das folgt aus der Betrachtung des Feldes E 1 an der Stelle ~x.
~ ~x E(~
~ x) = 1
∇
0
4πε
1
=
ε0
Z
R3
~ ~x ~x − ~y
d3 ~y %(~y ) ∇
|~x − ~y |3
|
{z
}
=
4
πς (3) (~
x−~
y)
Z
R3
d3 %(~y )ς (3) (~x − ~y ) =
%(~x)
ε0
15.10.08
1
welches von ~y ausgeht
19
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
1.1.5. Skalarpotential und Poisson-Gleichungen
Es gilt:
~x − ~y
~x 1
3 = −∇~
|~x − ~y |
|~x − ~y |
(~x − ~y )
1 Z
~
d3 ~y %(~y )
E(~x) =
3
4πε0 R
|~x − ~y |3
Z
%(~y )
3
~ ~x 1
= −∇
d
(~
y
)
4πε0 R3
|~x − ~y |
{z
|
}
≡Φ(~
x)
~ x) = −∇Φ(~
~ x)
⇒ E(~
1.1.6. Bedeutung von Φ(~x)
Dimension:
h
i
~ x)
E(~
N ·m
Joules
[Φ(~x)] = h i =
=
= Volt
~
A·s
Coulomb
∇
~ nach B
~ der durch ein elektrisches Feld E(~
~ x) verläuft.
Betrachten wir einen Weg von A
Dann gilt für die Arbeit:
WA~ B~ = −
Z B
~
~
A
d~l · F~
~ = q · ∇Φ
~
mit F~ = q · E
folgt:
WA~ B~ = −
Z B
~
~
A
Z B
~
=
~
A
=q·
n
~
d~l · q E
~
d~l · q(∇Φ)
Z B
~
~
A
~
d~l · ∇Φ
o
~ − Φ(A)
~
= q Φ(B)
Bemerkung.
1. WA~ B~ ist wegunabhängig, also ist Φ konservativ
~ − Φ(A)
~ ist der Spannungsunterschied (bzw. die Spannungsdifferenz)
2. Φ(B)
~ und B.
~
zwischen den Punkten A
~ ist die potentielle Energie einer Testladung q in diesem Punkt.
3. q · Φ(B)
20
1.1. Gleichung der Elektrostatik – Coulombkraft
1.1.7. Poisson-Gleichung:
~ · E(~
~ x) =
Aus ∇
1
%(~x)
ε0
~ x) = −∇Φ(~
~ x) folgt die Poisson-Gleichung:
und E(~
~ · ∇Φ(~
~ x) = 1 %(~x) ⇒ ∆Φ(~x) = − 1 %(~x)
−∇
ε0
ε0
(1.11)
1.1.8. Zusammenfassung: Gleichung der Elektrostatik
%(~x)
.
&
~ E(~
~ x)
= −∇
↓
~ x)=−∇Φ(~
E(~
x)
~ x)
Φ(~x)
←→
E(~
− ε10 %(~x)
∆Φ(~x) =
↓
(1.12)
1.1.9. Multipolentwicklung
Beispiel. Multipolentwicklung: Wir betrachten ein beliebig geformtes Volumen V mit
Radius R. Außerhalb des Volumens gilt: %(~y ) = 0 ∀~y∈V
/ . Für die Bereiche innerhalb des
Volumens, also ~y ∈ V gilt: |~y | < R, wobei R der Radius ist, der das Volumen beschreibt.
~ x) für |~x| R, also einem
Frage: Wie sieht das elektrische Feld, beschrieben mit E(~
Punkt ~x, der weiter vom Volumen V entfernt ist, aus? (Wichtige Anmerkung: Wie %(~x)
im Volumen V aussieht, interessiert uns hier nicht!)
Antwort: Allgemein gilt:
Φ(~x) =
1
4πε0
Z
d3 ~y
V
%(~y )
|~x − ~y |
Da ~y ∈ V ist, gilt: |~y | < R |~x| ist, entwickeln wir mit dem Taylor um ~y = 0
Allgemein gilt:
f (~x + ~h) =f (~x) +
+
3
X
∂
f (~x) · hi
i=1 ∂xi
3
∂ ∂
1X
f (~x)hi hj
2 i,j ∂xi ∂xj
3
1 X
∂ ∂ ∂
+
f (~x)hi hj hk
3! ijk=1 ∂xi ∂xj ∂xk
In den Übungen verwenden wir:
???
z}|{
1
1
~x
~x
1
=
+
+ 3 ~y +
|~x − ~y |
|~x|
|~x| |~x|
2
3(~x~y )2 − |~x|2 |~y |2
|~x|5
!
(1.13)
21
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
1 Z 3 %(~y )
⇒ Φ(~x) =
d ~y
4πε0 V
|~x − ~y |
Z
1
1
1
=
d3 ~y %(~y ) +
4πε0 V
|~x| 4πε0
|
{z
}
ΦM (~
x)
1
+
4πε0
Z
V
Z
d3 ~y %(~y ) ·
V
|
{z
~x
|~x|
ΦD
8
}
9
3
1 <X
3xi xj
|~x|2 =
d3 ~y %(~y ) :
−
δ
yi yj
ij
2 ij=1 |~x|5
|~x|5 ;
|
{z
}
=ΦQ (~
x)
Mit ΦM = Monopol; ΦD = Dipol; ΦQ = Quadropol; wobei das Monopol heißt, dass
die gesamte Ladung im Volumen V durch
Z
d3 %(~y )
Q=
V
⇒ ΦM (~x) =
1 Q
4πε0 |~x|
Z
d3 ~y %(~y ) · ~y
beschrieben wird. Für den Dipol betrachten wir zusätzlich das Dipolmoment:
V
und damit erhalten wir
⇒ ΦD (~x) =
1 P~ · ~x
4πε0 |~x|3
und schließlich der Quadropol. Hierfür definieren wir uns den Tensor als:
Z
Qi,j =
V
d3 ~y %(~y ) {3yi , yj − δi,j |~y |} ,
was beim Potential zu
⇒ ΦQ (~x) =
1 1
2 4πε0
X
i,j
Qi,j
xi xj
|~x|5
führt.
Daraus können wir für die jeweiligen Felder folgendes ableiten:
Monopol
~ M = −∇Φ
~ M (~x) =
E
Dipol
„
~ D (~x) = −∇Φ
~ D (~x) =
E
1
4πε0
Quadropol
~Q ≈ 1
E
|~x|4
22
1
~x
Q
4πε0 |~x|
3P~ ~x
P~
x− 3
5 ·~
|~x|
|~x|
Ž
.
1.2. Die Gleichungen der Magnetostatik – Ampère’sches Gesetz
1.2. Die Gleichungen der Magnetostatik –
Ampère’sches Gesetz
1.2.1. Ampère’sches Gesetz
Betrachten wir das Bild zweier stromdurchflossener Leiter I1 und I2 auf denen
sich La
dungen ~l1 und ~l2 bewegen. Für den Abstand vom ~l1 und ~l2 gilt: d = ~l1 − ~l2 .
µ0
F~1,2 =
4π
Z
Leiter 1
Ii d~l1 ×
Z
(~l1 − ~l2 )
I2 d~l2 × 3
~
Leiter 2
l1 − ~
l2 (1.14)
One Ampère ist that constant current which, if maintained in two straight
parallel conductors of infinite length, of neglible cross section, and placed at
one meter apart in vacuum, would produce between those who conductors a
force equal to 2 · 10−7 Newton per metere of length.
Einheiten:
m
= [µ0 ] · A2 .
s2
kg · m
⇒ [µ0 ] = 2 2
s ·A
[F1,2 ] = kg ·
In den Übungen werden wir zeigen:
F1,2
2µ0 I 2
=
·
L
4π R
2µ0 !
N
=
= 2 · 10−7
4π
m
Das Magnetfeld des Leiters 2 am Ort ~x ergibt das so genannte Biot-Savart-Gesetz:
~ x) = µ0
B(~
4π
Z
~x − ~l
d~l2 · I2 × 3
Leiter 2
~
x − ~l
Z
⇒ F~1,2 =
R3
(1.15)
~ ~l1 )
d3~l· I1 × B(
Einheiten
[B] =
[F ]
N
Kraft
=
=
= Tesla
m·A
m·A
Stromelement
23
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Wie sieht die Stromdichte eines Leiters aus?
Z
d~l · I ς (3) (~y − ~l)
~j(~x) =
Leiter
|
{z
=
ˆ
}
1
m3
21.10.08
Dann gilt mit dem Biot-Savart-Gesetz:
~ x) = µ0
B(~
4π
Z
d3 ~y~j(~y ) ×
3
R
~x − ~y
,
|~x − ~y |3
da
µ0
4π
Z
Z
d3 ~y ·
3
R
µ0
~x − ~y
d~l1 I1 ς (3) (~y − ~l1 ) ×
3 =
Leiter 1
4π
|~x − ~y |
Z
~x − ~y
d~l1 I1 ×
Leiter 1
|~x − ~y |3
mit dem Superpositionsprinzip folgt
~ x) = B
~ 1 (~x) + B
~ 2 (~x),
~x0 B(~
wobei
~ i (~x) = µ0
B
4π
Z
~x − ~y
d~li Ii ×
.
Leiter i
|~x − ~y |3
Für alle ~j(~y ). ~j(~y ) lässt sich beliebig gut approximieren durch
~j(~y ) =
X
i
Z
Leiter i
Im Allgemeinen gilt für alle ~j(~y ):
~ y ) = µ0
B(~
4π
Z
R3
~x − ~y
d3 ~y − ~j(~y ) ×
|~x − ~y |3
1.2.2. Das Vektorpotential
Definition. Vektorpotential:
Es gilt:
~ x) = ∇
~ × A(~
~ x) ,
B(~
~ x) Vektorpotential heißt.
wobei A(~
Beweis.
24
~ ~x 1 = − ~x−~y 3
1. ∇
|~
x−~
y|
|~
x−~
y|
d~li ς (3) (~y − ~li )Ii
1.2. Die Gleichungen der Magnetostatik – Ampère’sches Gesetz
2. ~j(~y ) ×
~
x−~
y
|~
x−~
y |3
~x 1
~ x × ~j(~y ) 1
= ~j(~y ) × ∇
=∇
|~
x−~
y|
|x−~
y|
der Beweis erfolgt in der Übung! WELCHE???
Aus 1. und 2. folgt:
Z
~x − ~y
d3 ~y · ~j(~y ) ×
|~x − ~y |3
~j(~y )
µ0 Z Z
3 ~
=
d
~
y
∇
x×
4π R3 R3
|~x − ~y |
Z
~j(~y )
3
~ x × µ0
d
~
y
·
=∇
4π R3
|~x − ~y |
~ x) = µ0
B(~
4π
R3
|
{z
}
~ x)
≡A(~
Bemerkung. Das Magnetfeld ist also quellenfrei und es folgt dann:
~ x) = ∇
~ × A(~
~ x)
B(~
~ B(~
~ x) = ∇
~ · ∇
~ ×A
~ = 0,
⇒∇
~ ∇
~ × A)
~ (Siehe Übungsblatt 1)
da ∇⊥(
Z
Z
~ ·B
~ Gauß
dS
=
∂V
V
~B
~ =0
d3~x ∇
| {z }
=0
1.2.3. Das Ampère’sche Gesetz in Differentialform
Falls
∂%
=0
∂t
(gilt für die Elektrostatik), dann folgt aus
~ x) = µ0
B(~
4π
Z
R3
~x − ~y
d3 ~y · ~j(~y ) ×
|~x − ~y |3
~ × B(~
~ x) = µ0~j(~x)
⇒∇
Beweis. Es gilt:
~ × B(~
~ x) = ∇
~ × (∇
~ × A(~
~ x))
∇
Siehe auch Anhang F, dort die Formel (F.36)
~ ∇
~ · A)
~ − (∇
~ ∇)
~ A(~
~ x)
= ∇(
25
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
mit
~ x) = µ0
A(~
4π
Z
d3 (~y )
3
R
~j(~y )
|~x − ~y |
hat man
Z
Z
4π ~
1
3
~
~
~
~
− 3 d3 ~y ∆~x
∇ × B = ∇x 3 d ~y · j(~y )∇x
R
R
µ0
|~x − ~y |
1
|~x − ~y |
|
{z
~j(~y )
}
≡−4πς (3) (~
x−~
y)
Z
~x
= 4π~j(~y ) + ∇
R
partielle
Integration
=
~ ~y
d3 ~y · ~j(~y ) · (−1)∇
3
Z
~ ~x
4π~j(~y ) − ∇
1
|~x − ~y |
~ ~y · ~j(~y )
d3 ~y · ∇
3
R
|
{z
1
x − ~y |
} |~
∂
≡− ∂t
%=0
Wir haben also gezeigt, dass:
4π
1 ~
~ x) = ~j(~
∇~x × B(~
4π
x),
µ0
also
~ ~x × B(~
~ x)
~j(~x) = 1 ∇
µ0
ist.
Bemerkung. Bei der partiellen Integration fallen die Rand-Terme weg, da:
lim
y→∞
~j(~y )
=0
|~x − ~y |
1.2.4. Zusammenfassung: Die Gleichungen der Magnetostatik
~ x) =
A(~
µ0
4π
~j(~x)
.
&
R
~
j(~
y
)
~ × B(~
~ x) = µ0~j(~x)
∇
· R3 d3 |~x−~y|
↓
↓
~ x)=∇×
~ A(~
~ x)
B(~
~ x)
~ x)
A(~
←→
B(~
Beispiel. Stellen wir uns wieder eine beliebige Fläche vor in der gilt: ~j(~y ) 6= 0
Voraussetzungen:
1. Falls ~y ∈
/ V ~j(~y ) = 0
26
(1.16)
1.2. Die Gleichungen der Magnetostatik – Ampère’sches Gesetz
2. Es ist statisch, also
∂%(~y )
~ ~y~j(~y )
= 0 = −∇
∂t
3. falls ~y ∈ V , dann ist |~y | < R
~ x) für |~x| R aus?
Frage: Wie sieht das Magnetfeld B(~
Antwort: Es gilt:
~ x) = µ0
A(~
4π
Z
d3 ~y
V
~j(~y )
|~x − ~y |
mit der Taylorentwicklung um ~y = 0 erhält man:
µ0 1
µ0 1 Z 3 ~
d ~y · j(~y ) +
'
4π |~x| | V {z
4π |~x|3
}
Z
d3 ~y · ~j(~y ) · (~y · ~x)
|
≡I
V
{z
}
≡II Dipol-Beitrag
Für I folgt dann:
Behauptung:
Z
d3 ~y · ~j(~y ) = 0
V
Beweis:
Z
Z
3
R3
d ~y · ji (~y ) =
Z
=
R3
R3
d3 ~y · ~j(~y ) · ~ei
~ ~y yi
d3 ~y · ~j(~y ) · ∇
Mit der Vertauschung von Skalarprodukten erhalten wir
Z
=−
R3
~ · ~j(~y ) ·yi ,
d3 ~y ∇
|
{z
}
=0
da
d% ~
~ = 0!
+∇j = 0 ⇒ ∇j
dt
|{z}
=0
=0
Für II folgt dann:
Behauptung:
Z
!
R3
d3~j(~y ) · (~y · ~x) = m
~ × ~x
mit dem magnetischen Dipolmoment
m
~ =
1Z
d3 ~y · ~y × ~j(~y )
2 R3
27
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Beweis: Teil a): Es gilt:
Z
Z
d3 ~y · ji (~y )yi = −
3
R3
R
~ei ·~j
Z
d3 ~y · jj (~y )yi
Z
z }| {
d3 ~y jj (~y ) =
3
R
=
=
~ i ) · ~j(~y ) · yi
d3 ~y (∇y
R3
3 Z
X
k=1
3 Z
X
=−
∂
yi · jk (~y )yj
d ~y
3
R
∂yk
R3
k=1
Œ
‚
3
d3 ~y · yi
∂
(jk (~y )yj )
∂yk
‰
3
X
Z
“
∂
jk (~y )
∂yk
d3 ~y · yi
3
k=1 R
| {z }
~ ~j=0
∇·
=
X
Z
R3
k
∂
yi
∂yk
d3 ~y · yi jk
| {z }
=δk,j
Z
=−
R3
d3 ~y yi jj (~y )
Beweis: Teil b): Es gilt
ji (~y )yj − jj (~y )yi =
3
X
εi,j,k (~j(~y ) × ~y )k
k=1
Beweis folgt aus εijk · εmnk = εijk · (δim · δjn − δin δjm ).
⇒
3
X
k=1
εijk (~j × ~y )k =
X
εijk εkmn jm yn
kmn
=−
X
εijk · εnmk jm yn
kmn
=−
X ijk ε
(δjn δjm − δim δin )jm yn
kmn
=−
X
ijk ε
(jj yi − ji yj )
k
= −(jj yi − ji yj )
22.10.08
Mit a) und b) hat man dann:
Z
R
28
1Z
d3 ~y (ji (~y )yj − jj (~y )yi )
2 R3
Z
3
b) 1 X ijk
=
ε
d3 ~y (~j(~y ) × ~y )k
R3
2 k=1
a)
d3 ~y · ji (~y )yj =
3
1.3. Gleichungen der Elektrodynamik – Faraday’sches Gesetz
wir berechnen die i-te Komponente von der folgenden Gleichung:
2
⇒
6Z
6
6
4 R3
3
7
7
d ~y · ~j(~y ) · (~y · ~x) 7 =
3
| {z } 5
P
j
yj xj
X
j
i
Z
R3
d3 ~y · ji (~y )yj xj
1 X ijk Z
ε
d3 ~y (~j(~y ) × ~y )k xj
R3
2 jk
Z
X
ikj 1
ε
d3 ~y (~y × ~j(~y ))k xj
=
3
2 R
jk
|
{z
}
=
≡mk
= (m
~ × ~x)i
~ x):
damit erhalten wir für das Vektorfeld A(~
~ x) ' µ0 · 1 m
⇒ A(~
~ × ~x + . . .
4π |~x|
~
Also folgt für das B-Feld:
~ x) = ∇
~ × A(~
~ x)
⇒ B(~
Übungsblatt 3
'
~x
µ0
m
~
3 · 5 (~x · m)
~ − 3
4π
|~x|
|~x|
!
Wie elektrischer Dipol:
1
µ0
→
4π
ε0 4π
m
~ 7→ p~
1.3. Gleichungen der Elektrodynamik – Faraday’sches
Gesetz
S
1.3.1. Das Faraday’sche Induktionsgesetz (1831)
~ vor, der vom Rand d~l
Stellen wir uns eine Fläche S mit infinitesimalem Flächenstück dS
umgeben ist. S ist einem Magnetfeld ausgesetzt. Gehen wir den Rand entlang, so wird
eine Spannung induziert.
Die induzierte Spannung im Stromkreis ist definiert als:
I
VInd =
~ ~l)
d~l · E(
∂S
o
d n
~ durch S
~
Fluss von B
dt
d Z ~ ~
=
dS · B
dt S
Z
Z
~ x, t) = −α d
~ · B(~
~ x, t)
⇒
d~l · E(~
dS
∂S
dt S
∼
29
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Mit Stokes folgt dann:
Z
~ ·∇
~ × E(~
~ x, t) = −α d
dS
S
dt
Z
~ x, t)
d~s · B(~
S
damit gilt für alle S:
~ × E(~
~ x, t) + α ∂ B(~
~ x, t) = 0.
∇
∂t
Bemerkung. Damit haben wir zum ersten mal die Verknüpfung vom elektrischen Feld
~ mit dem magnetischen Feld B
~ erhalten.
E
Machen wir uns auf die Suche nach α:
Behauptung α = 1.
Die Dimension von α ist:
h
i
~ ×E
~
∇
i =
[α] = h ∂
~
·B
1
· N
m As
1
· N
s Am
∂t
=1
α ist also Dimensionslos!
Stellen wir uns nun eine Kreisscheibe vor, die senkrecht zum homogenen Ma~ um ∆~x = ~v ∆t verschoben wird. dS
~ ist der Normalenvektor der Ebene,
gnetfeld B
der Rand des Leiters wird durch d~l beschrieben.
Frage: Wie groß ist die Arbeit, die man leisten muss, um den Draht von ~x nach ~x + ∆~x
zu bewegen?
Antwort:
Ampère
∆W = −F~ · ∆~x = −
‹
I
∂S
~ ×B
~ ∆~x
IdL
|{z}
~v ·∆t
Die Leistung P ist definiert als Arbeit pro Zeit, und damit erhalten wir:
I
‹
∆W
~ · ~v
=−
Id~l × B
∂S
∆t
P =
Mit der Energieerhaltung folgt dann:
P !
= VInd · 6 I
I
Faraday
=
‚
Œ
d Z
~ ·6I
−α
d~s · B
dt S
|
{z
}
d
≡ dt
Φ(t)
Nach dem Umstellen erhält man:
I
30
‹
~ · ~v = α d Φ(t)
d~l × B
∂S
dt
1.3. Gleichungen der Elektrodynamik – Faraday’sches Gesetz
Frage: Was ist
d
Φ(t)?
dt
Antwort: Wir wissen: ∂V = S + S 0 + S 00 . Da
~ ·B
~ =0
∇
ist
Z
Z
Z
~ · d~n = −
B
∂V
~+
d~s · B
|
S
Z
⇒ Φ(t + ∆t) − Φ(t) = −
{z
}
|
=Φ(t)
S 00
S
Z
~+
d~s · B
0
{z
}
S 00
~ =0
d~s · B
=Φ(t+∆t)
~
d~s00 · B.
Es gilt d~s00 = d~l × ~v · ∆t und damit
ª
Φ(t + ∆t) − Φ(t)
1 §I ~
~
=
dl × ~v ∆t · B
∆t
∆t ∂S
I
d
~
d~l × ~v · B
⇒ Φ(t) = −
∂S
dt
I
~ · ~v
=
(d~l × B)
∂S
damit folgt für α, dass α = 1 sein muss.
Definition. Damit erhalten wir das Faraday’sche Gesetz, das da lautet:
~ × E(~
~ x, t) + ∂ B(~
~ x, t) = 0
∇
∂t
(1.17)
Bemerkung. Lenz’sche Regel:
Betrachten wir eine Fläche mit Flächenelement d~s und dem Randelement d~l.
I
~ = − d Φ(t),
d~l · E
VInd =
∂S
dt
damit folgt, falls
d
Φ(t)
dt
> 0 ist für die induzierte Spannung VInd :
⇒ VInd < 0
Das heißt, dass IInd der Richtung d~l entgegen läuft. Das durch diesen Strom verursachte
.
Magnetfeld dämpft dΦ
dt
1.3.2. Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom
~ = E(~
~ x, t) und B
~ = B(~
~ x, t)
Annahme: Es gelten Ampère und Gauß für E
~ E(~
~ x, t) = 1 %(~x, t)
∇
ε0
~
~ × B(~
~ x, t) = µ0~j(~x, t) + µ0 ε0 ∂ E (~x, t)
∇
∂t
~
~
∇ · B(~x, t) = 0
~ × E(~
~ x, t) = − ∂ B(~
~ x, t)
∇
∂t
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
31
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Problem Die Ladung ist nicht erhalten, da ~j =
1 ~
∇
µ0
~ x, t) uns somit:
× B(~
~ · ~j(~x, t) = 1 ∇(
~ ∇
~ × B(~
~ x, t))
∇
µ0
∂
!
= 0 = − %(~x, t)
∂t
Der Grund hierfür ist der Maxwell’scher Verschiebungsstrom (entdeckt um
1873), damit folgt:
~ ~j(~x, t) = − µ0 ε0 ∂ ∇
~ · E(~
~ x, t)
⇒∇
ε0 ∂t | {z }
= ε1 %(~
x,t)
0
∂
= − %(~x, t).
∂t
Folgerung: % = ~j = 0
9
~ x,t) =
~ × B(~
~ x, t) = µ0 ε0 ∂ E(~
∇
∂t
~ x,t) ; ⇒ Licht
~ × E(~
~ x, t) = − ∂ B(~
∇
∂t
1.4. Erhaltungssätze Energieerhaltung
1.4.1. Energiedichte in der Elektrostatik:
~ 2 (~x) mit der Einheit: [ω(~x)] =
Behauptung: ω(~x) = Energiedichte der Elektrostatik = 21 ε0 E
I
m3
Beweis. Wir betrachten hierzu ein Feld mit %(~x) = 0 außerhalb. Im Inneren gilt
dann %(~x) 6= 0. Wir betrachten einen Punkt außerhalb. Dann folgt für das Potential
Φ(~x):
Φ(~x) =
1
4πε0
Z
d3 ~y
3
R
%(~y )
|~x − ~y |
damit folgt für δ%(~y ):
δ%(~y ) = δqi δ (3) (~y − ~xi ).
Berechnen wir nun den Energiebedarf um eine Punktladung von ∞, also Φ(∞) = 0
bis zum Punkt ~y = ~xi zu bringen:
δW = δqi Φ(~x)
Z
=
32
R3
d3 ~y Φ(~y )δ%(~y )
1.4. Erhaltungssätze Energieerhaltung
mit der Poisson-Gleichung ∆Φ = − ε10 % folgt:
Z
= −ε0
Z
= ε0
= ε0
R3
R3
Z
R3
~ ∇δΦ(~
~
d3 ~y Φ(~y )∇(
y ))
~ y )) · (∇δΦ(~
~
d3 ~y (∇Φ(~
y ))
~ y )δ E(~
~ y ) = δW.
d3 ~y E(~
~ y ))
⇒ W = W (E(~
Z
ε0
~ 2 (~y ),
=
d3 ~y E
2 R3
da
~ y ) + δ E(~
~ y )) − W (E(~
~ y ))
δW = W (E(~
Z
n
o
e0
3
~ y ) + δ E(~
~ y ))2 − E(~
~ y)
=
d
~
y
(
E(~
2 Z R3
~ y )δ E(~
~ y)
= ε0 3 d3 ~y E(~
R
ε0 ~ 2
(~x)
⇒ ω(~x) = E
2
ist die Energiedichte
28.10.08
1.4.2. Energiedichte der Magnetostatik
~ x) ist
Behauptung ω(~x) = Energiedichte des Magnetfeldes B(~
ω
~ (~x) =
1 ~2
B (~x)
µ0
1 ~2
B (~x)
µ0
Machen wir ein Gedanken-Experiment. Stellen wir uns zwei identische Stromkreise vor
~ und dem Randelement d~l. Wenn wir den Strom ganz
mit einem Flächenelement dS
langsam einschalten (also t = ∞) erhalten wir den Strom I(t = ∞) = 0, beim
schnellen einschalten (also der 2.e identische Stromkreis) schalten wir infinitesimal
schnell ein (t = 0) und demzufolge fließt ein Strom I(= 0) = I. Für das adiabatische Einschalten I(t) = I · e−ηt , η = 0
Frage: Wie viel Energie W0 braucht man, um Strom von I(t = ∞) = 0 bis zu
I(0) = I zu erhöhen?
Antwort: Die Arbeit, die man leisten muss um die Ladung ∆q im Stromkreis zu
bewegen ist:
I
F~ · d~l = −∆q
∆W = −
∂S
I
~ · d~l
E
∂S
33
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Die Leistung ist dann:
∆W
∆q I ~ ~
E l = P (t)
=−
∆t
∆t ∂S
|{z}
=I(t)
P (t)
Stokes
Z
~
dS
−I(t)
=
~ ×E
~
∇
| {z }
S
~
B
Faraday≡− ∂∂t
Z
d~s ·
= I(T )
S
~
∂B
∂t
~ =∇
~ ×A
~
mit B
Z
~∇
~ ×
dS
= I(T )
S
∂A
∂t
mit Stokes folgt wieder
Z
~
∂A
d~l
∂S
∂t
= I(t)
Mit
I
d~lς (3) (~y − ~l)
~j(~y , t) = I(t)
∂S
I
⇒ P (t) =
Z
P (t) =
R
I
~
∂A
d3 ~y~j(~y , t)
(~y , t)
∂t
I
§
ª
3
~lς (3) (~y − ~l)
d
~
y
I(t)
d
3
⇒ I(t) =
∂S
~l
∂S
Z
3
R3
d ~y ς
=
∂ ~ ~
A(~y , l)
∂t
=
~
∂A
(~l, t)
∂t
(3)
(~y − ~l)
~y → ~l
Im Stromkreis gilt weiter
Z
~ · ~j(~y , t) = 0 = − ∂% (~y , t)
∇
∂t
~=0
~j(~y , t)dS
∀V
~
∂V
In einer Übung werden wir zeigen, dass das adiabatische Einschalten zu:
~ ×B
~ = µ0~j + O(η 2 )
∇
34
1.4. Erhaltungssätze Energieerhaltung
führt. Eine „quick and dirty-Abschätzung“ liefert:
~
~ ×E
~ = − ∂B ,
∇
∂t
~ ∼ ηe−ηt
E
~ ∼ e−ηt
B
Machen wir weiter: Die Leistung ist:
1
µ0
1
=
µ0
Z
~
∂A
~ × B)
~
· (∇
∂t
‚
Œ ‚
Œ
∂
∂
3
ijk
d ~y
(Ai ) ·
Bk e
∂t
∂t
d3 ~y ·
P (t) =
X
Z
i,j,k
1
=−
µ0
X
‚
Z
3
ijk
d ~y ε
ijk
Œ
∂ ∂
Aj Bk
∂t ∂yj
Nebenrechnung:
Z
+∞
dxf (x)g 0 (x) = f (x)g(x)
−∞
R
−
Z +∞
−∞
dxf 0 (x)g(x)
Ende Nebenrechnung
1
=−
µ0
X
ijk
‚
Z
3
R3
ijk
d ~y ε
{z
|
∂ ~
~ k
(∇×A)
∂
|
‚
Z
∂ ∂
Ai
∂t ∂yi
{z
Œ
(
∂ ~
~
∇×A
∂t
Œ
}
}
)·B~
1
∂ ~
~
d3 ~y
B ·B
3
µ0 R
∂t
1 1Z
∂ ~2
=
d3 ~y B
(~y , t)
3
µ0 2 R
∂t
d 1 Z
~ 2 (~y , t)
=
d3 ~y B
dt 2µ0 R3
= P (t)
=
⇒ W0 =
Z 0
−∞
dtP (t)
1 Z 3 ~2
=
d ~y B (~y , t = 0)
µ0
1 ~2
⇒ ω(~x) = B
(~x, t = 0)
µ0
Energieerhaltung in der Elektrodynamik
Annahme: Energie-Dichte des elektromagnetischen Feldes im Volumen V :
‚
Z
1 ~2
ε0 ~ 2
d ~x
B (~x, t) + E
(~x, t)
2µ0
2
Œ
3
W (t) =
V
|
{z
(1.22)
}
Energiedichte =ω(~
x)
35
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Dann gilt:
Z
Z
d
1 ~
~
~
~ x, t) · ~j(~x, t)
W (t) = −
dS
E(~x, t) × B(~x, t) =
d3~xE(~
∂S
V
dt
µ0
(1.23)
Beweis.
1 ~ ~
~ = 1
∇(E × B)
µ0
µ0
X
1
=
µ0
X
1
=
µ0
X
1
=
µ0
ijk
ijk
∂
(Ej Bk )εijk
∂xi
¨‚
ε
Bk ε
kij
ijk
Œ
∂
Ei Bk + Ej
∂xi
¨
9
>
<
>
=
>
:
d Z
dt V
∂
Bk
∂xi
Œ«
«
~ ∇
~ × B)
~
~ (∇
~ × E)
~ −E(
B
>
>
<
{z
|
}
;
Faraday
z
‚
}|
{
Œ
„
~ −∂B
~ −E
~
B
>
∂t
:
¨
⇒
‚
∂
∂
Ej − Ej εjik
Bk
∂xi
∂xj
8
8
1
=
µ0
ijk
~
∂E
µ0~j + µ0 ε0
∂t
Ž
9
>
=
>
;
«
∂ 1 ~ 2 ε0 ~ 2
~ · ~j
B + E −E
=−
∂t µ0
2
‚
Œ
Z
Z
1 ~ 2 ε0 ~ 2
1 ~
3
~ − d3 ~y E
~ · ~j
d ~y
B + E =−
dS~ (E
× B)
∂S
V
2µ0
2
µ0
Definition. Poynting Vektor2 Der Poynting-Vektor gibt die Richtung und die Dichte
des Energie-Transports an und lautet formell ausgedrückt:
~ x, t) = 1 E(~
~ x, t) × B(~
~ x, t)
S(~
µ0
mit den Einheiten:
~ =
[S]
Energie
= Energiestromdichte
Fläche
Damit folgt
Z
~ · S~ = Energiefluss durch ∂V pro Zeiteinheit
dS
(1.24)
∂S
R
~ ~j ist die im Gebiet V pro Zeiteinheit auf die Ladungsträger übertragene Energie,
d3 ~y · E
V
da
dW = F~ d~x
dW
~v
= F~
dt
ist die auf die Punktladung übertragene Energie.
Aber:
2
John Henry Poynting
36
1.4. Erhaltungssätze Energieerhaltung
~ + ~v × B)
~ ⇒
1. F~ = q(E
dW
dt
~v
= q E~
2. %(~x, t) = qς (3) (~y − ~x(t)) und ~j(~y , t) = q~v ς (3) (~y − ~x(t)) damit folgt: ~v =
gilt:
Z
dW
~ y , t) · ~j(~y , t)
= 3 V d3 ~y E(~
R
dt
d
~x(t).
dt
Dann
Die Feld-Energie im Volumen V kann nur sich nur ändern durch Energie-Transport
durch die Oberfläche und durch die Energie-Übertragung auf Ladungen im Volumen
V.
In Differentialform schaut das dann so aus:
∂
~ S(~
~ x, t) + ~j(~x, t) · E(~
~ x, t) = 0
ω(~x, t) + ∇
∂t
(1.25)
1.4.3. Erhaltungssätze von Energie und Impuls
Energieerhaltung
29.10.08
Beispiel. Betrachten wir einen zylinderförmigen Leiter. Die produzierte Energie pro Zeiteinheit entspricht der abgegebenen Wärme und ist = ∆V ·I. Um dieses Problem am besten
zu lösen verwenden wir Zylinder-Koordinaten
~x = (r cos(ϕ), r sin(ϕ), z)
⇒ ~eϕ = (− sin(ϕ), cos(ϕ), 0)
⇒ ~er = (cos(ϕ), sin(ϕ), 0)
⇒ ~ez = (0, 0, z)
Betrachten wir nun die Energie in diesem Leiter:
~ = ~ez ∆V ,
E
L
Für das magnetische Feld gilt:
~ x) = ~eϕ µ0 I
B(~
r · 2π
Damit folgt für den Poynting-Vektor:
1 ~
~
× B,
S~ = E
µ0
und mit ~ez × ~eϕ = −~er erhalten wir weiter:
=−
∆V
I
·
~er
L 2πr
37
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Frage: Wie viel Energie fließt durch
∂V
∂t
?
Antwort:
Z
~ · S~ = −L2πr S~ dS
∂V
= −∆V · I
damit folgt, dass ω(~x, t) zeitunabhängig ist, es gilt also Energieerhaltung
Z
Z
~ · S~ =
dS
−
∂V
~ x, t) = ∆V · I
d3~x~j(~x, t) · E(~
V
Impulserhaltung
Wir betrachten ein System von Punktladungen:
%(~x, t) =
X
qi ς (3) (~y − ~xi (t))
i
⇒ ~j(~y , t) =
X
qi~vi (t)ς (3) (~y − ~xi (t)).
i
Es gilt dann:
∂%(~y , t) ~
+ ∇ · j(~y , t) = 0
∂t
Beweis. Die ist eine Gleichung zwischen Distributionen, deswegen kann man auch schreiben:
Z
Z
∂
!
~ · ~j(~y , t)) · ϕ(~y )
%(~y , t)ϕ(~y ) = − 3 d3 ~y · (∇
R
R
∂t
‚
Œ
Z
∂
d Z
3
%(~
y
,
t)
ϕ(~
y
)
=
d3 ~y %(~y , t)ϕ(~y )
d
~
y
R3
∂t
dt R3
d X
=
qi ϕ(~x(t))
dt i
X
~ x(t))
=
qi~vi ∇ϕ(~
d3 ~y
3
i
=
X
Z
qi~vi
i
=−
X
i
R3
~ y ϕ(~y )) · ς (3) (~y − ~xi )
d3 ~y (∇
Z
qi~vi
R3
~ y ς (3) (~y − ~xi )
d3 ~y ϕ(~y ) · ∇
Z
=−
38
R3
~y
d3 ~y ϕ(~y )∇
X
i
!
qi~vi ς (3) (~y − ~xi )
1.4. Erhaltungssätze Energieerhaltung
Beweis. Impulserhaltung
X
d
~ xi , t) + ~vi B(~
~ xi , t)
qi E(~
F~ = P~mech =
dt
i
Z
8
9
>
>
>
>
<
>
>
>
>
=
d3 ~y >
=
ϕ(~y , t)
| {z }
>
>Maxwell-Gleichung
>
:
~ ~
V
~ y , t) +
·E(~
|
{z
}
Maxwell-Gleichung
∂
−ε0 ∂t
ε0 ∇E
¨
Z
~j(~xy, t)
~ + 1 (∇
~ × B)
~
E
>
µ0
>
>
>
;
‚
~ ∇
~ · E)
~ + 1 (∇
~ × B)
~ ×B
~ − ε0 ∂ E
~ ×B
~
d ~y ε0 E(
µ0
∂t
∂
~ × B)
~
d3 ~y ε0 (E
∂t
Œ«
3
=
V
Z
=
V
Z
Definition. P~Feld =
V
~ × B)
~
d3 ~y ε0 (E
8
Z
<
d ~
~ ∇
~ E)
~ + 1 (∇
~ × B)
~ ×B
~ + ε0
⇒
Pmech + P~Feld =
d3 ~y :ε0 E(
V
dt
µ0
„
~
~ × ∂E
E
∂t
Ž9
=
;
Bemerkung.
µ 0 ε0
da c = √
1 ~
~
(E × B)
µ0
(1.24)
= µ0 ε0 S~ =
1 ~
S,
c2
1
mit den Einheiten
ε0 µ 0
2
kg ms
1 ~
s2 kg · ms2
S = 2·
=
c2
m
m2 s
m3
Mit Faraday erhalten wir für den Strom Ii bei der Ladung qi :
n
Ii = ε0
=
X
j
o
1
~ ∇
~ · E)
~ −E
~ × (∇
~ × E)
~
E(
+
i
µ0
¨
∂
1
ε0 Ei Ej + Bi Bj − δij
∂xj
µ0
‚
8
9
<
=
~ (∇
~ · B)
~ −B
~ × (∇
~ × B)
~
B
:
;
|
{z
}
=0
ε0 E 2
1 B2
+
·
2
µ0 2
i
Œ«
dies folgt aus
8
h
i
~ ∇
~ · E)
~ −E
~ × (∇
~ × E)
~ =
E(
i
X
j
∂
∂xj
9
~2=
E
E
E
−
δ
i j
ij
:
2 ;
<
39
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Definition. Tij ist der Maxwell’sche Spannungs-Tensor mit:
„
Tij (~y , t) = ε0 Ei (~y , t)Ej (~y , t) +
1
Bi Bj − δij
µ0
~2
~2
ε0 E
1 B
+
·
2
µ0 2
Ž
(1.26)
Mit dieser Definition folgt dann:
Z
X
∂
d
d3 ~y
(Pmech + PFeld ) =
Tij (~y , t)
V
dt
∂yj
j
…
Z
~
d3 ~y · ∇
=
V
|
V
{z

}
=Ti
Z
=
Ti1
Ti2
Ti3
~ y · T~i
d3 ~y · ∇
Z
=
∂V
Z
Z
~ = dS~n · T~i =
dS
|{z}
∂V
dS~n · T~i
dS(T · ~n)
=
∂S
wobei T der Tensor und ~n ein Vektor ist. Damit gilt die Impulserhaltung:
Z
d
dST ~n
(Pmech + PFeld ) =
∂S
dt
Bedeutung
kg ms
Impuls
2
~
[T ] = [ε0 ][E ] = 2 =
ms
FlächeZ · Zeit
= Impulsstromdichte ⇒ −
dS(T · ~n) = Impuls pro Zeit, die durch ∂V fließt.
∂V
Bemerkung.
[T ] =
kg sm2
N
=
Fläche
Fläche
Feldimpuls im Volumen V kann sich nur durch Impuls-Transport durch die Oberfläche
und durch Impuls-Übertrag auf Ladungen in V ändern.
40
1.5. Homogene Wellengleichung
Beweis.
X
j
Ei ∂j Ej −
X
~ × E)
~ k=
εijk Ej (∇
X
Ei ∂j Ej −
ij
jk
=
jknm
X
Ei ∂j Ej +
ij
=
Ei ∂j Ej +
Ej ∂n Em
vertausche k und m,
damit erklärt sich das „−“
εijk εmnk Ej ∂n Em
X ijk ε
(δim δjn − δin δjm ) Ej ∂n Em
jknm
X
Ei ∂j Ej
j
=
X
ε| ijk{z
εknm}
jknm
X
j
=
X
X
ijk ε
(Ej ∂j Ei − Ej ∂i Ej )
jk
X
(Ei ∂j Ej + Ej ∂j Ei − Ej ∂i Ej )
j
=
X
j
1
Ei ∂j Ej + Ej ∂j Ei − ∂i Ej2
2
„
Ž
X
=
1 ~2
− ∂i E
2
∂j (Ei Ej )
j
=
X
∂j
j
1 ~2
Ei Ej − δij E
2
1.5. Homogene Wellengleichung
04.11.08
Bemerkung. Vertretung Prof Reents
1.5.1. Elektromagnetische Wellen (Licht) im Vakuum
Bemerkung. Entdeckt wurden sie von Maxwell. Hertz konnte sie als erstes künstlich
erzeugen.
%(~x, t) = 0,
~j(~x, t) = 0
Wiederholen wir kurz die Maxwell-Gleichungen:
~ · E(~
~ x, t) = 0
∇
1
%(~x, t)
ε0
~ · B(~
~ x, t) = 0
∇
~
~ × E(~
~ x, t) = − ∂ B
∇
∂t
~ × B(~
~ x, t) = ε0 µ0 ∂E
∇
∂t
41
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Wenn wir WAS?? überprüfen wollen, nehmen wir die doppelte Rotation. Aus der 3.
Gleichung folgt dann
~ × (∇
~ × E)
~ =∇
~ (∇
~ · E)
~ −∆E
~
∇
|
{z
}
=0
~
~ × ∂B = − ∂ ∇
~ ×B
~
= −∇
∂t
∂t
~
∂ 2E
= ε0 µ 0 2
∂t }
|
{z
~
1 ∂ 2E
~
⇒ ∆E − 2 2 = 0
c ∂t
Analog geht man mit der 4. Gleichung vor und erhält hier:
~ × (∇
~ × B) = ∇
~ (∇
~ B)
~ −∆B
~
∇
| {z }
=0
„
~ ×
=∇
~
∂E
ε0 µ 0
∂t
Ž
~
∂ 2E
∂t2}
{z
= −ε0 µ0
|
2~
~ − 1 ∂ B =0
⇒ ∆B
c2 ∂t2
~ und B
~ die homogene WellenBemerkung. Im Vakuum erfüllt jede Komponente von E
gleichung.
Definition. Lichtgeschwindigkeit:
c0 = Vakuumlichtgeschwindigkeit= 299792458 ms . Das heißt 1m ist die Strecke, die Licht
1
in 299792458
s zurücklegt.
Lösung der Wellengleichung:
∆Φ(~x, t) −
1 ∂ 2Φ
=0
c2 ∂t2
8
<
Ei
Φ=:
Bi
Die Fourier-Analyse liefert:
Φ(~x, t) =
42
1
2π
Z
~
d3~k Φ̂(~k, t)eik~x
(1.27)
(1.28)
1.5. Homogene Wellengleichung
dann folgt mit (1.28)
Œ
‚
∆e
i~k~
x
∂2
∂2
∂2
+
+
ei(k1 x1 +k2 x2 +k3 x3 )
=
∂x21 ∂x22 ∂x23
2
~
~
= −(k 2 + k 2 + k 2 )eik~x = − ~k eik~x
1
2
Z
−1
0 = (2π)
⇒
∂ 2 Φ̂(~k,t)
∂t2
3
!
1 ∂ 2 Φ̂(~,t) i~k~x
d k − ~k Φ̂(~k, t) − 2
e
c ∂t2
3~
9
2
+ c20 ~k Φ̂(~k, t) = 0>
=
~k = const,
f (t) = Φ̂(~k, t)
±iωt
>Φ̂(~
k, t) ∼ e
, Φ̂(~k, t) = S̃(~k)eiωt + B̃(~k)eiωt
;
| {z }
f¨ + ω 2 f = 0
mit ω = ω(~k) = c0 ~k . Das führt zur allgemeinen Lösung der ebenen Welle
⇒ Φ(~k, t) =
(2π)
„
Z
1
d3 k
3
2
Ž
Ã(~k) e|
i(~k~
x−ωt)
{z
=I
}
+B̃(~k) e|
i(~k~
x+ωt)
{z
}
=II
Mit ω = ω(~k) = c0 ~k .
Betrachten wir I, so erhalten wir den cos(~k~x − ωt) mit t = const (Bild vom cos λ läuft
zur y-Achse, c0 in die entgegengesetzte Richtung.
Betrachten wir Fall II so erhalten wir das Bild von cos(~k~x + ωt) und c0 zeigt in Richtung
der y-Achse.
Analysieren wir die verschiedenen Fälle:
Φ(~x, t) reell
− 23
Z
Φ(~x, t) = (2π)
− 23
Z
= (2π)
1 ~ i(~k~x−ωt) 1 ∗ ~ i(~k~x+ωt)
dk
A(k)e
+ A (−k)e
2
2
~
3~
i(
k~
x
−ωt)
d k Re A(~k)e
3~
also
~ x, t) = (2π)− 23
E(~
Z
1 ~ ~ i(~k~x−ωt)
d3~k A(
ke
) + komplex konjugiert
2
~ x, t):
Analog erhält man für B(~
~ x, t) = (2π)− 32
B(~
Z
1 ~ ~ i(~k~x−ωt)
d3~k B(
k)e
+ komplex konjugiert
2
~ ·E
~ = 0 und damit
Es gilt ∇
⇒ ~x(~k) = 0 transversal
und
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
43
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
und damit (ist das richtig??):
Z
~ i(~k~x−ωt) =
d k × Ae
3~
Z
~ ~k)ei(~k~x−ωt)
d3~kiω(~k)B(
damit folgt:
~
~~
~ ~k) = k × A(k)
B(
ω(~k)
Zusammenfassung: allgemeine transversale elektromagnetischer Welle
~ als x -Achse, ~k als y-Achse und A(
~ ~k) als z Achse:
Bild eines Koordinatensystems mit B
Z
~ ~k) ~
A(
ei(k~x−ωt) + komplex konjugiert
2
Z
~
~~
~ x, t) = (2π)− 32 d~k k × A(k) ei(~k~x+ωt) + komplex konjugiert
B(~
2ω
Bemerkung. Falls diese Maxwell-Gleichungen in jedem Inertial-System gelten und
das Vakuum in jedem Inertial-System gleich aussieht, heißt das, dass diese Gleichungen
in jedem Inertial-System gleich sind.
~ x, t) = (2π)− 23
E(~
d3~k
Die reelle Darstellung ist dann:
~x(~k) = ~a(~k) + i~b(~k);
~x · ~a(~k) = 0
und
~x~b(~k) = 0
~
damit erhalten wir für E
~ x, t) = (2π)− 23
E(~
Z
d3~k ~a(~k) cos(~k~x − ωt) − ~b(~k) sin(~k~x − ωt)
Polarisation der monochromatischen ebenen Welle: Eine Fourier-Transformation =
ˆ ein
~
Wellenvektor k
~ x, t) = ~a(~k) cos(~k~x − ωt) − ~b(~k) sin(~k~x − ωt)
E(~
Definition. Polarisation:
Polarisation ist, wenn:
~ x, t) = ~a(~k) cos ωt + ~b(~k) sin ωt;
P~ (t) = ε0 E(~
|
{z
}
Ellipse
wobei ~a, ~b⊥~k =⊗
ˆ in Tafel-Ebene. P~ (t) ist eine Ellipse. Das heißt, wir erhalten eine elliptische Polarisation
Es fehlt das Bild einer Ellipse!
44
1.5. Homogene Wellengleichung
Spezialfälle hiervon sind:
1. ~ak~b (oder ~a = 0 oder ~b = 0), dann degeneriert sich die Ellipse zur Geraden. Man
erhält also lineare Polarisation, der Feldvektor schwingt also auf einer Geraden
2. ~a⊥~b und |~a| = ~b. Man erhält dann also eine zirkulare Polarisation. Es treten
hierbei entweder rechts- oder links-zirkulare Polarisation auf.
Bemerkung. Eine beliebige elliptische Polarisation lässt sich als Übergang zweier linearer
oder zweier zirkularer Polarisationen darstellen. ~a = a1~e1 + a2~e2 und ~b = b1~e1 + b2~e2
1. P~1 (t) = a1~e1 cos ωt + ~b1~e1 sin ωt und
P~2 (t) = a2~e2 cos(ωt) + ~b2~e2 sin ωt
Jeweils linear polarisiert damit erhält man P~ (t) = P~1 (t) + P~2 (t)3
€
Š
€
Š
a1 +b2
1
2
2
~e1 + a2 −b
~e2 cos ωt + b1 −a
~e1 a1 +b
~e2 sin ωt und
2
2
2
2
€
Š
€
Š
2
1
2
1
P2 (t) = a1 −b
~e1 + a2 +b
~e2 cos ωt + b1 −a
~e1 + b2 −a
~e2 sin ωt
2
2
2
2
2. P1 (t) =
05.11.08
Energie, Impuls, Poynting-Vektor der monochromatischen ebenen Welle
~ x, t) = Re(Ae
~ i(~k~x−ωt) )
E(~
~
~ x, t) = k × E(~
~ x, t)
B(~
ω(~k)
~ = A(
~ ~k)⊥~k
mit A
1. Energiedichte
ω(~x, t) =
ε0 ~ 2
1 ~2
B (~x, t) + E
(~x, t)
2µ0
2
wegen
~ 2 (~x, t) =
B
~k
~ 2 (~x, t)
E
ω2
1
~ 2 (~x, t) + ε0 E
~ 2 (~x, t)
ω(~x, t) =
ε0 µ 0 E
2µ0
2
~ 2 (~x, t)
= ε0 E
~ x, t) = ~a cos(~k~x − ωt) + ~b sin(~k~x − ωt)
E(~
1ZT
⇒ ω̄(~x) =
ω(~x, t)dt =
T 0
mit
. . . = (Teile Fehlen)
~ x, t) =
2. Poynting Vektor S(~
1 ~
E
µ0
~
×B
~ x, t) = 1 1
S(~
µ0 ω
3
¬
¶
¬
¶
~ = ~a + i~b, Basis ~e1~e2 und A
~ = A,
~ ~e1 ~e1 + A,
~ ~e2 ~e2
A
45
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
1.6. Potentiale, vektorielle und skalare Potentiale,
Eichungen
1.6.1. Potentiale und Eichungen
Homogene Maxwell-Gleichungen
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
und
~ ·B
~ =0⇒B
~ =∇
~ ×A
~
∇
|
{z
}
~ als Vektorpotential. Nach Faraday folgt:
mit A
~
~ ×A
~ = −∇
~ × ∂A
~ ×E
~ =−∂∇
∇
| {z }
∂t
∂t}
{z
|
„
~ ×
⇒∇
~
~ × ∂A
E
∂t
Ž
=0
~
~ + ∂ A = −∇Φ
~
⇒E
∂t
~ =
⇒E
~
−
∇Φ
| {z }
Elektrostatik
−
~
∂A
∂t
und
~ =∇
~ ×A
~
B
~ und Φ sind nicht eindeutig! Eichtransformationen der Form
Die Potentiale A
Skalarpotential:
~→A
~0 = A
~ +! ∇Ψ
~
A
~0 = ∇
~ ×A
~0 = ∇
~ ×A
~=B
~
⇒B
Vektorpotential:
!
Φ → Φ0 = Φ −
∂Ψ
∂t
~
~
~ ∂ ~ 0 = −∇Φ
~ 0 − A = −∇Φ
~ + ∂ ∇Ψ − ∂ A −
~ =E
~
⇒E
∇Ψ
∂t
∂t
∂t ∂t
~ und B
~ sind invariant
Daraus erhält man: E
46
1.6. Potentiale, vektorielle und skalare Potentiale, Eichungen
~
Frage: Welche Bedingungen liefern die inhomogenen Maxwell-Gleichungen für A
und Φ?
„
~
~ ·E
~ = 1%⇒∇
∇
ε0
~
~ − ∂A
−∇Φ
∂t
Ž
= −∆Φ −
∂ ~ ~
∇A
∂t
∂ ~ ~
1
∇·A=− %
∂t
ε0
~
∂E
~ ×B
~ = µ0~j +
∇
ε0 µ 0
∂t}
|
{z
⇒ ∆Φ +
Verschiebungsstrom
„
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A) − ∆A
~ = µ0~j + ε0 µ0 ∂
⇒∇
∂t
‚
~
1 ∂ 2A
~
~ ∇
~ ·A
~ − 1 ∂Φ
⇒ ∆A − 2 2 − ∇
c0 ∂t
c20 ∂t
~
~ − ∂A
−∇Φ
∂t
Ž
Œ
= −µ0~j
1.6.2. Coulomb Eichung und Lorentz Eichung
~ ·A
~=0
1. Coulomb-Eichung: ∇
damit folgt:
1
%(~x, t)
ε0
1 Z %(~y , t) 3
⇒ Φ(~x, t) =
d ~y
4πε0
|~x, ~y |
∆Φ = −
(analog zur Elektrostatik) und
‚
2~
~ − 1 ∂ A = −µ0 ~j − ε0 ∂ ∇Φ
~
∆A
c20 ∂t2
∂t
Œ
Wie man diese (inhomogene) Gleichung löst, kommt später dran.
~ ·A
~ = 0 erhalten bleibt, muss ∇
~ · (~j −
Bemerkung. Damit mit der Gleichung ∇
∂ ~
ε0 ∂t
∇Φ) = 0 sein. Das ist der Fall, denn
~ · ~j − ε0 ∂ ∆Φ = ∇
~ · ~j − ε0 ∂ · 1 %(~x, t)
∇
∂t
∂t ε0
~ · ~j + ∂ % = 0
=∇
∂t
und da keine Ladung verloren gehen kann stimmt diese Gleichung!
Bemerkung. Jedes Vektorfeld f~(~x) lässt sich zerlegen als:
f~(~x) = f~k (~x) + f~⊥ (~x)
47
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
~ · f~⊥ (~x) = 0 und ∇
~ × f~k (~x) = 0
mit ∇
Man nennt f~⊥ (~x) die transversale und f~k (~x) die longitudinale Komponente von f~(~x).
Beweis.
3
f~(~x) = (2π)− 2
Z
~ ~k)ei~k~x
d3~k Φ(
0
3
= (2π)− 2
Z
d3~k
1
B
B
B
B
B B B @|
~k
·
~k
„
~
~ ~k) · k Φ(
~ k Ž
{z
~k
+ ×
~
k
|
}
=f~k (~
x)
„
~
~ ~k) × k Φ(
~ k {z
C
ŽC
C
C
C
C
C
}A
~
eik~x
=f~⊥ (~
x)
~ ·A
~ = 0 und den beiden letzten gerahmten Gleichungen folgt ∆Φ = − 1 %
Aus ∇
ε0
~ − 12 ∂ 22 = −µ0~j⊥
und ∆A
c ∂t
0
~A
~ + ε0 µ0 ∂Φ = 0 zu bekommen.
2. Lorentz-Eichung versuchte ∇
∂t
~−
⇒ ∆A
~
1 ∂ 2A
= −µ0~j
2
2
c0 ∂t
(1.29)
und
∆Φ +
∂ ~ ~
1
∇
A =− %
|{z}
∂t
ε0
1 ∂Φ
=−
(1.30)
c2 ∂t
0
⇒ ∆Φ −
1 ∂ 2Φ
1
=
−
%
2
c0 ∂t2
ε0
(1.31)
Definition. d’Alambert-Operator:
Sei
j µ := (c%, ~j) ein 4 komponentiger Vektor,
~ mit c = √ 1 damit folgt = −∆+ 12 ∂ 22
µ = 0, 1, 2, 3 und damit folgt Aµ := Φc , A
ε0 µ0
c ∂t
der d’Alambert-Operator. (1.29) und (1.31) zusammengefasst ergeben:
A µ = µ0 j µ ,
mit den Komponenten 1,2,3.
Für µ = 0 gilt:
Φ
= µ0 c% ⇔
c
48
c2 % = µ 0
1
1
%= %
µ 0 ε0
ε0
(1.32)
1.7. Lösung der Elektromagnetischen Wellengleichung
das ergibt (1.29). weiter ist auch noch
Aµ (~x, t) = µ0 j µ (~x, t)
die Definition der inhomogenen Wellen-Gleichung
‚
Œ
Φ(~x, t)
A (~x, t) →
, ~e(~x, t)
c
j µ (~x, t) → (c%(~x, t), ~j(~x, t))
µ
. . . siehe PP Folie auf seiner Page
1.7. Lösung der Elektromagnetischen Wellengleichung
1.7.1. Wellengleichung
Zu Lösen ist
µ
x, t)
~
x,t A (~
= µ0 j µ (~x, t)
Sei G(~x, ~x0 , t, t0 ) mit
x, ~x0 , t, t0 )
~
x,t G(~
= ς (3) (~x − ~x0 )ς(t − t0 ).
Dann gilt:
Z
Z
µ0 j µ (~x, t)µ0
d3~x0
3
R Z
δ(t − t0 ) = µ0
=
R3
dt0 j µ (~x0 , t0 )
d ~x
~
x,t µ0
|
dt0 j µ (~x0 , t0 )ς (3) (~x − ~x0 )
R Z
3 0
R
Z
d3~x0
3
R
x, ~x0 , t, t0 )
~
x,t G(~
Z
dt0 j µ (~x0 t0 )G(~x, ~x0 , t, t0 )
R
{z
}
=Aµ (~
x,t)
1.7.2. Bestimmung von G
Definition. Green’sche Funktion:
G(~x, ~x0 , t, t0 ) heißt Green’sche Funktion, diese löst die Wellengleichung für
µ0 j µ (~x, t) = ς (3) (~x − ~x0 ) · ς(t − t0 )
G ist translationsinvariant gegenüber Raum und Zeit.
G(~x, ~x0 , t, t0 ) ≡ G(~x, ~x0 , t, t0 )
49
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
mit der Fourier-Transformation (siehe Mathe Vorkurs (Kapitel 0))
1
=√
2π
1
x − ~x0 , t − t0 ) = √
~
x,t G(~
2π
⇒
Z
0
dωeiω(t−t ) Ĝ(~x − ~x0 , ω)
R
‚
Z
dω
R
iω
c
Œ
2
− ∆x
Einsetzen liefert:
1
0
0
!
eiω(t−t ) Ĝ(~x − ~x0 , ω) = ς (3) (~x − ~x0 ) √ dωeiω(t−t )
2π
™
‚–
Œ
Z
1
iω 2
1 (3)
0
!
0
0
− ∆x Ĝ(~x − ~x , ω) − √ ς (~x − ~x ) eiω(t−t ) = 0
⇒√
dω
c
2π
2π
Gesucht ist:
‚
iω
c
2
Œ
1
Ĝ (~x − ~x0 , ω) = √ ς (3) (~x − ~x0 )
2π
(1.33)
Ansatz:
0
Ĝ(~x − ~x0 , ω) =α
eiq|~x−~x |
|~x − ~x0 |
0
iq|~
x−~
x0 |
mit q = q(ω). Es folgt
∆x Ĝ(~x − ~x , ω) =αe
0
(∆x eiq|~x−~x | )
α
|~x − ~x0 |
1
∆x
+
|~x − ~x0 |
|
{z
}
=−4πς (3) (~
x−~
x0 )
‚
iq|~
x−~
x0 |
~ xe
+ 2α(∇
|
|
{z
}
iq |~
x−~
x0 |
iq |~
x−~
x0 |
+ 2αiqe 0
α(iq)2 e
0
|~x−~x |
|~x−~x |
~x 1
)· ∇
|~x − ~x0 |
{z
iq |~
x−~
x0 |
|~x−~x0 |
Œ
}
−αiq
e
0
0
= − 4παeiq|~x−~x | ς (3) + (iq)2 α
|
eiq|~x−~x |
|~x − ~x0 |
{z
}
=Ĝ(~
x−~
x0 ,ω)
hier benutzen wir g(~x)ς (3) (~x) = g(~0)ς (3) (~x), da ς außerhalb von diesem Punkt ≡ 0 ist und
wir das verhalten im Punkt 0 betrachten wollen
= − 4πας (3) (~x − ~x0 ) + (iq)2 Ĝ(~x − ~x0 , ω).
Setzt man dies in die Formel 1.33 ein, so erhält man:
50
iω
c
2
1
Ĝ + 4πας (3) (~x − ~x0 ) − (iq)2 Ĝ = √ ς (3) (~x − ~x0 )
2π
1.7. Lösung der Elektromagnetischen Wellengleichung
Wir erhalten dann:
1
1
·√ ,
4π
2π
α=
q=±
ω
c
(1.34)
Aber:
1
G(~x − ~x0 , t − t0 ) = √
2π
Z
0
dωeiω(t−t ) Ĝ(~x − ~x0 , ω)
R
1
vrgl mit δ(t)= 2π
z
1
1 2π
=
4π
R
dωeiωt
}|
Z
{
iω {(t−t0 )±|~
x−~
x0 | 1c }
dωe
R
|~x − ~x0 |
€
Š
1 ς t − t0 ± |~x − ~x0 | 1c
= G± (~x − ~x0 , t − t0 )
=
4π
|~x − ~x0 |
damit haben wir nun:
Z
Aµ (~x, t) = µ0
€
j µ ~x0 , t ± |~x − ~x0 | 1c
3 0
d
~
x
R3
|~x − ~x0 |
Š
Wir erhalten zwei Lösungen:
Betrachten wir das x0 -t0 -Diagramm. Wir erhalten den typischen relativistischen ZukunftsVergangenheits-Kegel. Schnittpunkt ist (~x, t), oberhalb ist die Zukunft, gegeben durch
x0 |
x0 |
t0 (ω) = t + |~x−~
. Darunter ist die Vergangenheit, gegeben durch: t0 (~x0 ) = t − |~x−~
. Wir
c
c
können also Entscheiden, ob der Strom fließen wird oder geflossen ist. ⇐ ???
Kausalität Aµ (~x, t) hängt nur von der Ladung und Stromdichte in der Vergangenheit
ab, deswegen gilt (mit c · q = ω):
€
1 ς t − t0 − |~x − ~x0 | 1c
G(~x − ~x0 , t − t0 ) = Gret (~x − ~x0 , t − t0 ) =
4π
|~x − ~x0 |
0
x|
j µ ~x, t − |~x−~
µ0
c
µ
3 0
A (~x, t) =
d ~x
4π R3
|~x − ~x0 |
Z
Š
(1.35)
12.11.08
Die Felder
~ x, t) = ∇
~ × A(~
~ x, t)
B(~
51
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
~ gilt:
wobei für A
Z
~j ~x0 , t − |~x−~x0 |
µ
c
0
3
0
~ x, t) =
d ~x
A(~
0
4π
|~x − ~x |
X
imn
ε ∂m An (~x, t)
j(~x, t) =
m,n
⇒ ∂m =
∂
∂xm
‡
µ0
⇒ Bi (~x, t) =
4π
X
}|
~x, t −
jn
Z
ε
imn
d3~x0 ∂m
m,n
‘
{
tret
z
|~x − ~x0 |
c
|~x − ~x0 |
|
{z
}
=I
wobei für I gilt;
I=
~ x, t) = µ0
B(~
4π
|
1 (xm − x0m )
∂~
jn (~x, tret )
1
0
·
(−)
j(~
x
,
t)
(−)(x
−
x
)
+
m
m
|~x − ~x0 | ∂t
c |~x − ~x0 |
|~x − ~x0 |3
t=tret
Z
(~x − ~x0 )
(~x − ~x0 )
µ0 Z 3 0 ∂ ~ 0 ×
d ~x ~j(~x, tret ) ×
+
d
~
x
j(~
x
,
t)
|~x − ~x0 | 4πc
∂t
|~x − ~x0 |2
t=tret
3 0
{z
}
Vgl. mit Biot- Savart Gesetz aus (1.15)
{z
|
}
˙ ∂~
~ rad (~
j
B
x,t) hängt ab von ~j= ∂t
1
~
Brad (~
x,t)∼
|~
x|
(1.36)
~ Feldes
Asymptotisches Verhalten des B
Stellen wir uns hierzu ein Gebiet V vor, in ihm enthalten ist ~x0 .
~x0 ∈ V ⇒ |~x0 | < R
∂~
j 6= 0 für ~x0 ∈ V
∂t
~ x, t) für |~x| R aus?
Frage: Wie sieht das Magnetfeld B(~
Antwort:
⇒ |~x − ~x0 | ∼
= |~x0 |
~x − ~x0 ∼ ~x
= 2
|~x − ~x0 |2
|~x|
52
1.7. Lösung der Elektromagnetischen Wellengleichung
~
für |~x| R folgt für B
~ x, t) ∼
~ rad (~x, t)
B(~
=B
Œ
‚
~x − ~x0
|~x − ~x0 |
µ0 Z 3 0 ∂ ~ 0
×
d ~x
j ~x , t −
=
4π V
∂t
c
|~x − ~x0 |2
Œ
‚
µ0 Z 3 0 ∂ ~ 0
~x
|~x|
∼
× 2
d ~x
j ~x , t −
=
4πc V
∂t
c
|~x|
|
{z
}
=~a(~
x,t)
= ~a(~x, t) ×
~x
|~x|2
Bemerkung. Hier werden evtl. noch ein paar Seiten sturer Rechnerei ergänzt...
~
Das E-Feld:
~ x, t) = −∇Φ(~
~ x, t) − ∂ A(~
~ x, t)
E(~
∂t
A0 (~x, t) = 1c Φ(~x, t), denn es sei Aµ →
Φ ~
,A
c
=c%(~
x,tret )
z
}|
{
Φ(~x, t)
µ0 Z 3 0 j 0 (~x0 , tret )
A0 (~x, t) =
=
d ~x
c
4π
|~x − ~x0 |
1 Z 3 0 %(~x, tret )
d ~x
⇒ Φ(~x, t) =
4πε0
|~x − ~x0 |
(
)
Z
0
1
%(~
x
,
t
)
∂
1
1
~
x
−
~
x
ret
3
0
0
0
~ x Φ(~x, t) =
d ~x
∇
%(~x , t)
−
(−)(~x − ~x ) +
4πε0
|~x − ~x0 | ∂t
c |~x − ~x0 |
|~x − ~x0 |3
t=tret
∂~
0
∂ ~
µ0 Z 3 0 ∂t j(~x , t)t=tret
A(~x, t) =
d ~x
∂t
4π
|~x − ~x0 |
Definition. Wir definieren uns, um Schreibarbeit zu ersparen:
~r = ~x − ~x0 ,
|~x − ~x0 |
tret = t −
,
c
~x − ~x0
~e =
|~x − ~x0 |
r = |~r|
~
damit erhalten wir für das E-Feld:
~ x, t) =
E(~
1 R
4πε0
R
d3~x0 %(~x0 , tret
) r~r3
+ 4πε1 0 c d3~x0
∂
%(~x, t)
· r~r2
∂t
t=t
ret
R
1
3 0 ∂~
− 4πε0 c2 d ~x ∂t j(~x, t)
· 1r
t=tret
(1.37)
53
1. Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Nach Umformungen (etwa 2 Seiten Rechnung) erhält man:
~ x, t) =
E(~
1 R 3 0
d ~x %(~x, tret ) · r~e2
4πε0¦
©
R
~j(~x0 , tret ) · ~e) · ~e − ~j(~x0 , tret )
+ 4πε1 0 c d3~x0 r12 2(¨‚
Œ
«
Z
+
|
1
4πε0
d3~x0
1
r
∂ ~ 0 j(~x , t) × ~e × ~e
∂t
tret
{z
(1.38)
}
~ rad (~
=Strahlungsfeld E
x, t)
~
Asymptotisches Verhalten des E-Feldes
Betrachten wir wieder unser Gebiet V mit ~x0 ∈ V
⇒ |~x0 | < R
∂~ 0
j(~x , t) 6= 0
∂t
falls ~x0 ∈ V
Was passiert für |~x| R?
1 Z 3 0 1
~ x, t) ∼
~ rad (~x, t) =
d ~x
E(~
=E
4πε0 c2
|~x|
‚
Œ
1
~x
~x
= c0
,
~a(~x, t) ×
×
|~x|
|~x|
|~x|
‚
‚
Œ
Œ
∂~ 0
|~x|
~x
~x
j ~x , t −
×
×
∂t
c
|~x|
|~x|
denn ~a(~x, t) ist:(siehe oben)
µ0
~a(~x, t) =
4πc0
‚
Z
∂~ 0
|~x|
d ~x
j ~x , t −
∂t
c
Œ
3 0
V
Aber:
|~
x|R
~ x, t) ∼
B(~
= ~a(~x, t) ×
|~
x|R
~
x
|~
x|2
~ x, t) ∼
~ x, t) ×
E(~
= cB(~
(1.39)
~
x
|~
x|
Bemerkung. Das asymptotische Feld hat lokal die Struktur einer ebenen Welle der
Ausbreitungs-Richtung |~~xx| . Betrachten wir die Tafel-Ebene mit ~x (nach rechts) und ~a
~
(nach oben). Das Magnetfeld zeigt senkrecht in die Tafel-Ebene, dann zeigt das E-Feld
senkrecht zu ~x nach unten.
Die Strahlung
Der Poynting-Vektor zeigt uns dir Ausbreitungs-Richtung der Welle an, denn
~ x, t) = 1 E(~
~ x, t) × B(~
~ x, t)
S(~
µ0
54
1.7. Lösung der Elektromagnetischen Wellengleichung
Betrachten wir wieder einen Punkt weit weg von der Fläche V , also |x| R
|~
x|R
1 ~
~ rad (~x, t)
E(~x, t) × B
µ0
‚
Œ
c ~
~x
∼
~ rad = c B
~ rad 2 · ~x
×B
Brad ×
=
µ0
|~x|
µ0
|~x|
~ x, t) ∼
S(~
=
Mit dem Poynting-Vektor S~ kann man die ausgestrahlte Energie pro Zeiteinheit bestimmen. Wie genau zeigen wir hier:
Z
P =
Z
|~
x|=R
~ · S~
dS
~ rad (~x, t)3 · ~x
~ ~x · c B
dS
|~
x|=R
x| µ0 |
|~x|
{z
} |~
∼ |~x1 |
1
c
c
R2 · 2 = 4π 6= 0
⇒P ∼
= 4π
µ0
µ0
R
55
2. Maxwell - Gleichungen in
Materien
oder: Makroskopische Maxwell-Gleichungen.
Wir fangen an mit einem Modell. Wir betrachten 4-Stromdichte in Materie.
j µ (~x, t) =
X
j (k),µ (~x, t)
k
(wobei k das Molekül beschreibt) mit
→ (c%(k) (~x, t), ~j (k) (~x, t))
j (k),µ = (~x, t)
damit erhalten wir den Strom des k-ten Moleküls als:
∂ (k)
~ ~j (k) (~x, t) = 0
% (~x, t) + ∇
∂t
Typischer Abstand zwischen Molekülen∼ Å,damit erhalten wir die räumliche Fluktua~ und B-Felder
~
tion von j µ (~x, t) ∼ Å und daraus lesen wir ab, das j µ (~x, t) mikroskopische E
erzeugt, die auf dieser Längenskala fluktuieren.
Problem: Klassische Elektrodynamik gilt nur auf makroskopischen Längenskalen.
Aber: Auf makroskopischen Längenskalen beobachtet man mittlere Felder, die man realistisch beschreiben kann mit den Maxwell-Gleichungen.
Beispiel. Reflektion/Beugung von sichtbaren Licht (Rot hat eine Wellenlänge von ∼
7500Å, das sichtbare Licht geht bis zu λ ∼ 4000Å, was Violett entspricht) zwischen zwei
Dielektrika ist durch klassische Elektrodynamik gut beschrieben. Im Röntgenbereich
ist λ ∼ 50Å gilt das nicht!
Das mittlere Feld
~ i, B
~ i , j µ . Betrachten wir nun das mittlere Feld f (~x, t) mit:
Definition. Sei f (~x, t) = E
Z
f (~x, t) =
mit
Z
d3 ~y g(~x − ~y ) = 1
56
d3 ~y g(~x − ~y ) · f (~y , t)
2.1. Makroskopische Maxwell-Gleichung
Beispiel.
€
g(~x − ~y ) = πR2
Š− 3
2
e−
|~
x−~
y|
R2
R ∼ 100Å
,
Definition. f (~x, t) heißt mittleres Feld
Bemerkung. falls f (~x, t) auf mikroskopischen Längenskalen fluktuiert, dann ist f (~x, t)
eine glatte Funktion
Beispiel.
f (~x, t) = ς (3) (~x − ~x0 )
3
⇒ f (~x, t) = (πR2 )− 2 · e−
|~
x,−~
x0 | 2
R2
2.1. Makroskopische Maxwell-Gleichung
Annahme: Mikroskopische Felder erfüllen Maxwell-Gleichungen
Folgerung: Mittlere Felder erfüllen auch die Maxwell-Gleichungen. Zum Beispiel ist
~ E(~
~ x, t) = 1 %(~x, t)
∇
ε0
und es gilt außerdem:
~ x, t) = 1 %(~x, t)
~ E(~
∇
ε0
Denn es ist:
Z
1
1
%(~x, t) = d3 ~y g(~x − ~y ) %(~x, t)
ε0
ε0
Z
1~ ~
= d3 ~y g(~x − ~y ) ∇
E(~y , t)
ε
0
Z
~ y g(~x − ~y )E(~
~ y , t)
= − d3 ~y ∇
~ ~x E(~
~ y , t)
=∇
Analog: die restlichen Maxwell-Gleichungen
~ × E(~
~ x, t) = − ∂ B(~
~ x, t)
∇
∂t
~ · B(~
~ x, t) = 0
∇
~ x, t) = µ0~j(~x, t) + ε0 µ0 ∂ E(~
~ x, t)
~ × B(~
∇
∂t
2.1.1. Berechnung der mittleren Stromdichte
j µ (~x, t) =
X
j (k) (~x, t)
k
57
2. Maxwell - Gleichungen in Materien
2.1.2. Mittlere 4-Stromdichte des k-ten Moleküls
Ab jetzt werden wir Index (k), vernachlässigen. Wir betrachten außerdem eine Fläche, die
maximale Ausdehnung von Å und den Abstand vom Ursprung ~y0 (t) hat. Falls |~y − ~y0 (t)| >
R und R ∼ Å hat, dann gilt:
j µ (~y , t) = 0
und weiter folgt:
Z
j µ (~x, t)
d3 ~y g(~x − ~y )j µ (~y , t)
=
Z
d3 ~y g(~x − (~y − ~y0 (t)) −~y0 (t))j µ (~y , t)
=
{z
|
}
=∆~
y
∼
=
Z
d3 ~y g(~x − ~y0 (t))j µ (~y , t) −
X
n
Z
∂
g(~x − ~y0 (t)) d3 ~y (∆~y )n j µ (~y , t)
∂t
Bemerkung. ∆~y ∼ Å, g variiert langsam auf Längenskalen von Å Damit folgt, dass die
Taylor-Entwicklung in ∆~y sehr schnell konvergiert!
Mittlere Längenskalen des k-ten Moleküls
%(~x, t) ∼
=g(~x − ~y0 (t))
Z
d3 ~y %(~y , t)
|
{z
}
=Q
−
X
n
d3 ~y (~y − ~y0 (t))n %(~y , t)
|
{z
}
=~
pn (~
y0 (t),t) Dipolmoment des k-ten Moleküls
Z
=
Z
∂
g(~x − ~y0 )
∂t
Z
3
d ~y g(~x − ~y ) Qς
|
(3)
~
(~y − ~y0 (t)) −∇
{z
}
d3 ~y g(~x − ~y ) p~n (~y , t)ς (3) (~y − ~y0 (t))
|
Freie Ladungsdichte
~ (~x, t) = %(~x, t)
= %Frei (~x, t) − ∇P
mit
%(~y , t) =Qς (3) (~y − ~y0 (t))
Dipolmoment
P~ (~y , t) =~p(~y , t)ς (3) (~y − ~y0 (t)) = Polarisation =
Volumen
2.1.3. Mittlere Stromdichte des k-ten Moleküls
jm (~x, t) ∼
=g(~x − ~y0 (t))
Z
d3 jm (~y , t)
|
{z
}
=I
−
X
n
Z
∂
g(~x − ~y0 (t)) d3 ~y (∆~y )n jm (~y , t).
∂t
|
{z
}
=II
58
{z
Polarisation
}
2.1. Makroskopische Maxwell-Gleichung
I: Es gilt:
R
d3 ~y ~j(~y , t) =
d ~
P (~y , t)
dt
d
~y (t)1
dt 0
+ ~v Q mit ~v =
.
II: Es gilt:
Z
1Z 3
d ~y
d ~y (∆y)n jm (~y , t) =
2
3
X
3
X
=
εnms
s
€
Š
εnms ∆~y × ~j(~y , t)
s=1
s
Š
1Z 3 €
d ~y ∆~y × ~j(~y , t) s
2
|
{z
}
Magnetisches Dipolmoment
des k-ten Moleküls
Beweis. (Siehe auch Multipolentwicklung der Magnetostatik, Kapitel 1.1.9):
a)
Z
3
d ~y (∆~y )n jm (~y , t) =
X
‚
Z
Œ
∂
d ~y
(∆y)m ∆yn jk (~y , t)
|
{z
}
∂yk
3
k
|
{z
}
ableiten
Integrieren
=−
X
Z
d3 ~y ∆ym
k
Z
∂
(∆yn jk (~y , t))
∂yk
Z
d3 ~y ∆ym jn (~y , t) −
=−
| {z }
~ · ~j(~y , t)
d3 ~y ∆ym ∆yn ∇
|
{z
} |
{z
}
O=(∆y)2 =0
b)
Z
d3 ~y ∆yn jm (~y , t) =
1Z 3
d ~y (∆yn jm (~y , t) − ∆ym jn (~y , t))
2
1
Z
d3 ~y jm (~y , t) =
X
Z

d3 ~y
n
Z
X
|
Z
=
d3 ~y ym
2
=
=
d 6
6
6
dt 4
‹
jn (~y , t)
| {z }
|
{z
} ableiten
integrierenδnm
d3 ~y ym
=−
∂
ym
∂yn
n
∂
jn (~y , t)
∂t
{z
}
~ ~j=− ∂ %
∇
∂t
∂
%(~y , t)
∂t
3
Z
7
7
d3 ~y (~y − ~y0 (t))m %(~x, t) + [~y0 (t)] · Q7
|
{z
=~
pm (~
y0 (t),t)
}
5
d
p~m (~y0 (t), t) + vm Q
dt
59
2. Maxwell - Gleichungen in Materien
Analog zum Kapitel: Multipolentwicklung der Magnetostatik, Kapitel 1.1.9
1 Z 3 X nms
ε (∆~y × ~j)s
d ~y
2
s
¨
«
d
jm (x̄, t) =g(~x − ~y0 (t))
pm (t) + vm Q
dt
=
{z
|
}
=I
−
X
n
X
∂
εnms ms (t)
g(~x − ~y0 (t))
∂x
m,s
|
{z
=II
das Kreuzprodukt erhalten wir aus:
g(~x − ~y0 (t))
X
εmns
ns
∂
~ × m)
· ms =g(~x − ~y0 (t))(∇
~ m
∂xn
m(t)
~
ist das magnetische Dipolmoment2
=
∂ Z 3
d ~y g(~x − ~y )pm (t)ς (3) (~y − ~y0 (t))
∂t |
{z
}
=Pm (~
x,t)
Z
3
d ~y g(~x − ~y )vm Qς (3) (~y − ~y0 (t))
+
|
{z
}
=jm,frei (~
x,t)
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
3
Z
~ ×
+ ∇
7
7
7
7
7
7
}7
7
5
(3)
d3 y g(~x − ~y0 )m(t)ς
~
(~y − ~y0 (t))
|
{z
~ (~
=M
x,t)=Magnetisierungsmoment
magnetisches Dipolmoment
Volumen
m
[an dieser Stelle fehlt die Rechnung, die auf der PP-Folie im Netz steht.]
Bemerkung. Zu
Z
3
d ~y ∆yn jm (~y , t) =
X
‚
Z
k
=−
X
Z
k
2
Œ
∂
d ~y
(∆y)k (∆~y )n jk (~y , t)
{z
}
|
∂yk
3
dy1 dy2 dy3 (∆y)m
∂
[(∆y)n jk (~y , t)]
∂yk
Das magnetische Dipolmoment:
1
m(t)
~
=
2
60
Z
d3 ~y (~y − ~y0 (t)) × ~j(~y , t)
}
2.1. Makroskopische Maxwell-Gleichung
~ Magnetfeld H
~
Dielektrische Verschiebung, D,
Die mittlere 4-Stromdichte in die makroskopischen Maxwell-Gleichung einsetzen führt auf:
‹
1 
1
~
~
~
~
%F rei (~x, t) − ∇P (~x, t)
∇ · E(~x, t) = %(~x, t) =
ε0
ε0
dies führt wiederum auf
~
∇
|
~¯ x, t) + 1 P~ (~x, t) ε0 = %F rei (~x, t)
E(~
ε0
{z
}
Definition. Dielektrische Verschiebung:
~ x, t) = ε0 E(~
~ x, t) + P~ (~x, t)
D(~
~ · D(~
~ x, t) = %(~x, t)
⇒ ∇
Insgesamt erhalten wir:
~ × B(~
~ x, t) =µ0~j(~x, t) + ε0 µ0 E(~
~ x, t)
∇
¨
«
∂ ~
∂ ~
~
~
~
~
~
⇒ ∇ × B(~x, t) =µ0 jf rei (~x, t) + P (~x, t) + ∇ × M (~x, t) + ε0 µ0 E(~
x, t)
∂t
∂t
’
ˆ

‹
~ × B(~
~ x, t) − µ0 M
~ =µ0
⇒∇

‹
~
~¯jF rei + ∂ P~ + ε0 E
∂t |
{z
}
~
=D
–
~ ×
⇒ ∇
Definition.

™
‹
1 ~¯
~
~¯ = ~jF rei + ∂ D
B − µ0 M
µ0
∂t
~ x, t) = 1 B(~
~ x, t) − M
~ (~x, t)
H(~
µ0
Zusammen fassend gilt dann für die Maxwell-Gleichungen:
~D
~ = %̄F rei
∇
~ ×H
~ = ~¯jF rei + ∂ D
~
∇
∂t
~B
~ =0
∇
~ ×E
~ =−∂B
~
∇
∂t
Bemerkung. Im folgenden werden wir der Einfachheit halber die ¯ Striche Weglassen.
61
2. Maxwell - Gleichungen in Materien
2.2. Material-Konstanten
Isomorphe Medien sind linear-response
~
P~ = ε0 χe E
χe = Dielektrische Suszeptibilität.
~ = ε0 E
~ + P~ = ε0 E
~ + ε0 χ e E
~
⇒D
~ = εE
~ =D
~
= ε0 (1 + χe )E
Definition.
εr = (1 + χe )
relative dielektrische Konstante
ε = ε0 (1 + χe ) Dielektrische Konstante des Mediums
Dies führt auf
~ = χm H
~
M
mit χm als Magnetische Suszeptibilität
~ = µ0 H
~ + µ0 M
~ = µ0 (1 + χm )H
~
⇒B
Definition. Wobei (1 + χm ) = µr die relative Permeabilitätskonstante und µ0 (1 +
χm ) = µ die Permeabilitätskonstante des Mediums ist. Außerdem sollen xe und χm
Tensoren sein.
Anschluss-Bedingungen
Normalenkomponente Wir betrachten einen flachen Zylinder mit der Kreisfläche ∆F ,
dem Volumen V und der Höhe ∆x, der mittig (in Bezug auf x) auf der Grenzfläche
zwischen Medium 1 und Medium 2 liegt. Es gelten folgende Beziehungen:
Z
lim
∆x→0 V
Z
~ ·D
~ = lim
d ~x∇
3
∆x→0 V
Z
= lim
d3~x%F rei = lim QF rei (V )
∆x→0 ∂V
∆x→0
~D
~ = D
~ 1~n + D
~ 2 (−~n) ∆F.
dX
∆x
∆F
~1 − D
~ 2 )~n = lim QF rei (V ) = lim %
⇒ (D
= %∆x
∆x→0
∆x→0
∆F
∆F
Z
~B
~
= Freie Flächenladungsdichte lim
d3~x ∇
∆x→0 V
=0
~1 − B
~ 2 ) · ~n = 0
⇒ (B
~ unstetig ist, allerdings
daraus können wir ablesen, dass die Normalenkomponente von D
~
ist die Normalenkomponente von B stetig
25.11.08
Definition. H ist Magnetfeld und B ist die magnetische Erregung (laut Jackson)
62
2.2. Material-Konstanten
Die Tangentialkomponente
Es fehlen die Übergangsbedingungen!!
Wir betrachten die Grenzfläche zwischen Medium 1 und Medium 2 mit der Normalkomponenten ~n in x Richtung und einem Rechteck mit der Länge ∆~l und der Höhe ∆x, wobei
ist.
die Grenzlinie genau bei ∆x
2
a)
Z
lim
∆x→0 ∂S
~ =H
~ 1 · ∆l − H
~ 2 · ∆l
d~l · H
= lim
∆x→0
~ ×H
~ · ~l
∇
mit den Maxwell-Gleichungen folgt
Z
= lim
∆x→0 S
„
~
~jf rei + ∂ D
∂t
Ž
· d~s
8
9
>
<
>
=
~
~t + ∂ D · ~t∆x∆~l
= lim >~jf rei ∆x∆l
| {z }
>
∆x→0 :
∂t
;
I~f rei
~j =
I~fFrei
+ ~kfnrei ,
~
∆x∆l
mit
I~fFrei · ~n = 0,
~jfnrei · ~t = 0.
⇒ lim ~jf rei ∆x∆~l · ∆t = I~fFrei · ~t
∆x→0
~
⇒ D
< ∞
⇒
∂
~ · ~t∆x∆l = 0
lim D
∂t ∆x→0
~ 2 · ∆~l − H
~ 2 ∆~l = I~f rei · ~t,
⇒H
∆~l = ∆~l (~t × ~n)
~1 − H
~ 2 ) · ∆~l (~t × ~n) = I~f rei · ~t
⇒ (H
~F
~1 − H
~ 2 )) = If rei ~t
⇒ ~t · (~n × (H
∆~l
~1 − H
~ 2) =
⇒ ~n × (H
∀~t
I~fFrei
= freie Flächenladungsdichte
∆~l
b)
I
lim
∆x→0 ∂S
~ · d~l = E
~ 1 ∆~lE
~ 2 ∆~l
E
Z
= lim
∆x→0 S
Z
~ ∇
~ ×E
~ = lim
dS
∆x→0 S
~
∂B
=0
∂t
63
2. Maxwell - Gleichungen in Materien
~
< ∞, damit folgt
da B
~1 − E
~ 2) = 0
⇒ ~n × (E
~ ist stetig an der Grenzfläche,
Damit erhalten wir: Die Tangentialkomponente von E
~ an der Grenzfläche unstetig ist.
wohingegen die Tangentialkomponente von B
2.2.1. Anwendung/Beispiel: Reflektion/Brechung
Annahme 1: Isotrope in einem Linearen Medium, damit gilt:
~ = εE,
~
D
~ = µH
~
B
~ ·D
~ = %f rei
⇒∇
~
~ ×H
~ = ~jf rei + ∂ D
∇
∂t
~E
~
⇒∇
= 1ε %f rei
~ ×B
~ = µjf rei + µε ∂ E~
∇
∂t
~B
~
∇
=0
~ ×E
~
~
∇
=−∂B
∂t
Annahme 2: %f rei = 0 und ~jf rei = 0 im Dielektrikum.
monochromatische Ebene Welle ist die Lösung (siehe Kapitel 1)
~ x, t) = Re{Ae
~ i(~q~x−ωt) }
E(~
~ x, t)
~ x, t) = 1 ~q × E(~
B(~
ω(q)
~ q = 0, ω(q) = c |~q|, √εµ = 1 , wobei c = Lichtgeschwindigkeit im Medium.
mit A~
c
Ansatz: Wir erhalten bei der bildlichen Darstellung eine Aufspaltung des Lichtstrahls q1
mit Einfallswinkel α1 in einen reflektierten Strahl ~q2 mit Reflexionswinkel α2 und
eine, durchdringenden Strahl ~q3 mit dem Brechungswinkel α3 . ε1 = ε2 und µ1 = µ2 ,
das heißt, wir bleiben bei der Reflexion im gleichen Medium.
~ j = Re{A
~ j · ei(~qj ~x−ωt) },
E
~ j (~x, t)
~ j = 1 · ~qj × E
B
cj |~qj |
Anschlussbedingung: Für alle ~x aus der Grenzfläche gilt:
h
h
64
i
~ 1 (~x, t) + E
~ 2 (~x, t) − E
~ 3 (~x, t) × ~n = 0
E
h
–
i
~ 1 (~x, t) + E
~ 2 (~x, t) − ε3 E
~ 3 (~x, t) · ~n = 0 = σf rei
ε1 E
i
~ 1 (~x, t) + B
~ 2 (~x, t) − B
~ 3 (~x, t) · ~n = 0
B
™
1 ~
~ 2 (~x, t) − 1 B
~ 3 (~x, t) × ~n = 0 = ~j F
B1 (~x, t) + B
f rei
µ1
µ3
2.2. Material-Konstanten
die Gleichungen, die man erfüllen muss sind von der Form:
Re{C1 ei(~q1 ~x−ω1 t) + C2 ei(~q2 ~x−ω2 t) − C3 ei(~q3 ~x−ω3 t) } = 0
für alle ~x aus der Grenzfläche
⇒ ~q1~x = ~q2~x = ~q3~x
∀~x∈Grenzfläche
Folgerungen: ~q1 , ~q2 und ~q3 liegen in einer Ebene ⊥ zur Grenzfläche. Außerdem gilt: ω1 =
ω2 = ω3
…

−q1y
q1x .
ObdA sei die Grenzfläche die x − y-Ebene. Sei weiter ~e1 = √ x 21 x 2
(q1 ) +(q2 )
0
~e1 ∈ Grenzfläche und damit folgt:
~e1~e1 = 0
| {z }
=???
Seien ~e2 , ~e3 so, dass ~e1 , ~e2 , ~e3 eine orthonormale Basis von R3 bilden.
⇒ ~q1 =
(~e1 ~q1 )
| {z }
~e1 + (~e2 ~q1 )~e2 + (~e3 ~q1 )~e3
=0 nach Vorr
⇒ ~q1 = (~e2 ~q1 )~e2 + (~e3 ~q1 )~e3
~q1 liegen in ~e2 , ~e3 -Ebene. Dann sei ObdA ~e2 , ~e3 die x-z-Ebene
26.11.08
Es gilt weiter:
~q1~x = sin(α1 ) |~q1 | ,
~q2~x = sin(α2 ) |~q2 | ,
~q3~x = sin(α3 ) |~q3 |
ω
|qj | =
cj
ω
ω
⇒ sin(α1 ) = sin(α2 ) ,
c1
c2
aber. c1 =
√1
ε1 µ1
= c2 =
√1
ε2 µ2
deswegen folgt das Reflexionsgesetz:
⇒ α1 = α2
aus ~q1~x = ~q3~x ⇒ sin(α1 ) cω1 = sin(α2 ) cω3 folgt das Snellius-Gesetz:
È
sin(α1 )
c1
⇒
=
=
sin(α3 )
c3
q
wobei nj =
ε j µj
ε0 µ0
È
ε3 µ3
ε0 µ0
ε1 µ1
ε0 µ0
=
n3
n1
der Brechungsindex des Mediums ist. Dies führt auf das
65
2. Maxwell - Gleichungen in Materien
Geometrische Gesetz
sin(α1 )
sin(α3 )
• α1 = α2 ,
=
n3
,
n1
• ~q1 ~q2 ~q3 liegen in einer Ebene ⊥ zur Grenzfläche
~j
2.2.2. Intensität/Amplitude A
Für ~x ∈ Grenzfläche gilt ~q1~x = ~q2~x = ~q3~x und: ω1 = ω2 = ω3 . Aus
~ x, t) + E
~ 2 (~x, t) − ε3 E
~ 3 · ~n = 0
ε1 E(~
folgt
„
„
~1 + A
~ 2 ) − ε3 A
~ 3 · ~n = 0
ε1 (A
~1 + A
~2 − A
~ 3 ) × ~n = ~0
(A
~1 + E
~2 − E
~ 3 ) × ~n = ~0
⇔ (E
~ 1 q2 × A
~ 2 q3 × A
~3
q1 × A
+
−
c1 |~q1 |
c2 |~q2 |
c3 |~q3 |
Ž
· ~n = 0
~1 + B
~2 − B
~ 3 ) · ~n = 0
⇔ (B
~1
~2
~3
q1 × A
q2 × A
q3 × A
+
−
µ1 c1 |~q1 | µ2 c2 |~q2 | µ3 c3 |~q3 |
Ž
× ~n = 0
~ j = βjk~akj + β ⊥~a⊥ und weiter
Sei A
j j
k
j
~a = ~a⊥
j = 1
k,⊥
außerdem ist ~aj
k,⊥
∈ R3 , βj
∈ C, damit folgt
k
~aj · ~qj = 0 = ~a⊥
qj
j ·~
k
aj k in Einfallsebene, und ~a⊥
j ⊥ in Einfallsebene. Zerlegen wir nun die Strahlen in zwei
linear polarisierte Strahlen, dann folgt (nach längerer Rechnung) mit α1 = α2 = α:
k
β2
k
βj
=
k
β3
k
β1
k
k
=
µ1 2
n
µ3 3
µ1 2
n
µ3 3
cos(α)−n1
cos(α)+n1
√ 2 2 2
n −n sin α
√ 32 12 2
n3 −n1 sin α
2n1 n3 cos(α)
µ1 2
n
µ3 3
√
cos(α)+n1
k
n23 −n21 sin2 α
Bemerkung. Seien β1⊥ , β1 , α gegeben, β3 , β2 und β2⊥ , β3⊥ sind bestimmt.
È
µ1 2
β2⊥
2
2
2
=
n
cos(α)
−
n
1 n3 − n1 sin α
β1⊥
µ3 3
È
µ1
= n23 cos(α) + n1 n23 − n21 sin2 α
µ3
⊥
β3
β2⊥
=1+ ⊥
β1⊥
β1
66
2.2. Material-Konstanten
2.2.3. Der Brewster-Winkel
k
Beim Brewster-Winkel treten keine Reflexionen auf, das heißt β2 = 0, falls
0=
È
µ1 2
n3 cos(α) − n1 n23 − n21 sin2 (α)
µ3
k
Falls zum Beispiel µ1 = µ3 und damit folgt β2 = 0, falls
α = αB = tan−1
n3
n1
Bei einfallendem Strahl
⊥ ⊥
~ 1 = β1k~a⊥
A
a1
1 + β1 ~
~ 2 = β ⊥~a⊥ reflektiert und der Strahl ist vollständig linear
wird bei Brewster Winkel A
2 2
Polarisiert
67
3. Randwertprobleme in der Elektround Magnetostatik
3.1. Gleichungen der Elektrostatik
~ ·E
~ = 1 %,
∇
ε0
~ ×E
~ = 0,
∇
~ = −∇Φ,
~
E
∆Φ = −
(3.1)
(3.2)
(3.3)
1
%
ε0
Poisson-Gleichung
(3.4)
3.1.1. Eindeutigkeit der Lösung, Randwertproblem
1
Sei %(~x) für ~x ∈ V gegeben und Φ(~x) bekannt für ~x ∈ ∂V . Unter der Annahme, dass Φ(~x)
stetig ist, ist Φ(~x) für ~x ∈ V eindeutig bestimmt.
Beweis. a) Bevor wir das Beweisen können brauchen wir einen Hilfssatz, die erste Green’sche
Identität u(~x) und v(~x) sind Skalarfelder. Aus
~ · (u(~x)∇v(~
~ x)) = ∇u(~
~ x) · ∇v(~
~ x) + u(~x)∆v(~x)
∇
(3.5)
und das ist das Selbe (sagt Green), wie
Z
Gauß
Z
~
~ x)) =
d3~x∇(u(~
x)∇v(~
V
Z
~ x)∇v(~
~ x)
dSu(~
~ x)) · (∇v(~
~ x)) + u(~x)∆v(~x)
d3~x(∇u(~
=
(3.6)
∂V
(3.7)
V
b) Sei Φ1 (~x) und Φ2 (~x) mit
∆Φ1 (~x) = −
1
%(~x)
ε0
∆Φ2 (~x) = −
1
%(~x)
ε0
und
1
da der Beweis nur etwa 2 Minuten dauert, ist dies eine beliebte Prüfungsfrage „Das war klar gesagt“
(Prof. Assaad)
68
3.1. Gleichungen der Elektrostatik
für ~x ∈ V und
Φ1 (~x) = Φ(~x) = f (~x)
für ~x ∈ ∂V und damit folgt: Sei
U (~x) = Φ1 (~x) − Φ2 (~x)
Es gilt außerdem ∆U (~x) = 0 für ~x ∈ V , U (~x) = 0 für ~x ∈ ∂V . Mit der 1. Green’schen
Identität (siehe a)) erhalten wir:
9
8
Z
<
V
=
~ (~x) · ∇U
~ (~x) + U (~x) ∆U (~x) =
d3~x : ∇U
;
|
Z
{z
=0
}
Z
~ · U (~x) ∇U
~ (~x)
dS
∂V
2
| {z }
=0 auf ∂V
~ (~x) = 0
d3~x ∇U
⇒
V
~ (~x) = 0
⇒ ∇U
damit folgt, dass U (~x) = c = const ist, aber U (~x) = 0 für ~x ∈ ∂V folgt, dass
const ≡ 0 sein muss und damit U (~x) = 0 und schließlich ist
Φ1 (~x) = Φ2 (~x)
Beispiel 3.1. Faraday’scher Käfig:
Wir betrachten ein Volumen V mit dem Rand ∂V . Das Volumen ist beschränkt durch ein
Ideales Metall2
a) In V ist %(~x) = 0
b) Da der Rand ein ideales Metall ist, folgt dass Φ(~x) = const auf ∂V
c) Für ~x ∈
/ V ist %(~x) beliebig.
Zu Lösen ist ∆Φ(~x) = 0 für ~x ∈ V , auf ∂V ist Φ(~x) = const
2.12.08
Beispiel 3.2. Wir betrachten wieder ein Volumen V mit Rand ∂V . In diesem Volumen
T
sind aber diesmal verschiedene ideale Leiter mit Volumen V1 , . . . Vn , wobei V i=1,...n Vi =
∅. Mit der Bedingung der Vi sind ideale Leiter folgt, dass ∂Vi i = 1, . . . , n sind Äquipotentialflächen.
~ für ~x ∈ V hängt nur von
Behauptung: E
Z
Qi =
2
d3~x%(~x)
ab.
Vi
Rand ist also äquipotential
69
3. Randwertprobleme in der Elektro- und Magnetostatik
~ 1 und E
~ 2 zwei Lösungen
Beweis. Seien E
~ E(~
~ x) = ∇
~E
~ i (~x) = 0
⇒∇
Z
für ~x ∈ V
Z
~E
~ 1 d3~x = 1 Qi
∇
∂Vi
Vi
ε0
Z
Z
~ 2 d~s =
~E
~ 2 d3~x = 1 Qi
⇒
E
∇
∂Vi
Vi
ε0
~ 1 · d~s =
E
⇒
Wir wollen zeigen, dass für alle ~x ∈ V gilt:
~3 = E
~2 − E
~1
E
Es gilt:
Z
~ ·E
~3 = 0
∇
∂Vi
für ~x ∈ V
~ 3 d~s = 0
E
~ 3 für ~x ∈ V
Sei Φ3 E
~ 3 + Φ 3 (∇
~E
~ 3 ) = − E
~ 3 2
~ 3E
~ 3 ) = (∇Φ(~
~ x)) ·E
∇(Φ
{z
|
}
|
{z
}
=0 für ~
x∈V
~3
=−E
aus der vorherigen Gleichung folgt
Z
Z
⇒
V
~ 3E
~ 3) = −
d3~x∇(Φ
V
Z
Z
∂V
~3 =
d~xΦ3 E
∂V0
2
~ 3 d3~x E
Z
~3 +
d~sΦ3 E
3
Z
=Φ
∂V0
Z
|
∂V0
V
~ 3 +Φ3 d~sE
{z
}
∂Vi
Z
|
∂V1
=0
2
=
∂V1
Z
~3 + . . . +
d~sΦ3 E
∂Vn
~3
d~sΦ3 E
~ 3 + . . . + Φ3 d~sE
{z
=0
}
Z
~3
d~sE
∂Vn | ∂Vn{z
=0
}
~ 3 = 0
d~x E
~3 = 0
⇒E
3.1.2. Spezielle Methoden zur Lösung der Randwertprobleme
Die Green’sche Funktion
Sei G(~x, ~y ) mit ∆~y G(~x, ~y ) = − ε10 ς (3) (~x − ~y ) für ~x, ~y ∈ V .
Beispiel.
1
1
+ F (~x, ~y )
4πε0 |~x − ~y |
mit ∆~y F (~x, ~y ) = 0 für ~x, ~y ∈ V . Dann gilt für ~x ∈ V
G(~x, ~y ) =
Z
Z
Φ(~x) =
V
70
d3 ~y G(~x, ~y )%(~x) = ε0
∂V
h
i
~ ~y Φ(~y ) − Φ(~y )∇
~ ~y G(~x, ~y )
d~s~y G(~x, ~y )∇
(3.8)
3.1. Gleichungen der Elektrostatik
Beweis. a) Second Green Identity: Seien u(~y ), v(~y ) Skalarfelder, dann ist
Z
~ y ) − v(~y ) · ∇u(~
~ y)
d~s u(~y )∇v(~
Gauß
Z
∂V
~ u(~y )∇u(~
~ y ) − u(~y )∇v(~
~ y)
d3 ~y · ∇
=
V
Z
d3 ~y (
∇u∇v
+ u∆v − ∇u∇v
− v∆u)
=
V
Z 3
=
V
~y (u(~y )∆~y v(~y ) − v(~y )∆~y u(~y ))
b) Sei v(~y ) = Φ(~y ) und u(~y ) = G(~x, ~y ):
Z
3
V
2
3
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
}7
5
Z
d ~y G(~x, ~y ) ∆Φ(~y ) −Φ(~y ) ∆~y G(~x, ~y ) =
|
{z
}
|
=− ε1 %(~
y)
0
Poisson-Gl
{z
=− ε1 ς (3)
0
Def. v. G
∂V
~ ~y Φ(~y ) − Φ(~y )∇
~ ~y G(~x, ~y )
d~s G(~x, ~y )∇
Z
h
i
z}|{
1 Z 3
1
~ ~y Φ(~y ) − Φ(~y )∇
~ ~y G(~x, ~y )
⇒ Φ(~x) = d ~y G(~x, ~y )%(~y ) + ε0
d~s G(~x, ~y )∇
∂V
ε0 V
ε0
???
Dirichlet-Randbedingungen: Damit erhalten wir die Dirichlet-Randbedingungen:
Auf ∂V sei Φ(~y ) bekannt. Wir wählen ein F (~x, ~y ) wählen, so dass GD (~x, ~y ) = 0 für ~y ∈ V
und ~x ∈ V . Mit dieser Wahl erhalten wir:
Z
Z
3
Φ(~x) =
V
d ~y GD (~x, ~y )%(~y ) −
∂V
~ D (~x, ~y )
d~sΦ(~y )∇G
(3.9)
Bemerkung. Die Geometrie des Problems ist in GD (~x, ~y ) eingebettet!
~ ~y Φ(~y ) = ~n · E
~ auf ∂V bekannt.
Von Neumann Randbedingung Sei d~s = ds · ~n und ~n∇
~ ~y G(~x, ~y ) = 0 für ~y ∈ ∂V und ~x ∈ V .
Dann wählen wir F (~x, ~y ) so, dass ~n∇
Z
Z
3
⇒ Φ(~x) =
V
d ~y G(~x, ~y )%(~y ) + ε0
∂V
~ ~y Φ(~y )
d~s G(~x, ~y )∇
Bemerkung. Mit von Neumann Randbedingung ist Φ bis auf eine Konstante bestimmt.
Beispiel. Dirichlet-Funktion des Halbraumes3 Wir betrachten einen Raum mit
x1~e1 ; x2~e2 ; x3~e3 . Der Halbraum wird beschrieben durch V = {~x | x2 > 0} mit …
demRand
y1
∂V = {~x | x2 = 0}. Des weiteren sei ~y ∈ V eine Punktladung. Für ~y gilt: ~y = y2 mit
y3
y2 > 0. Spiegelt man…die Punktladung
in den anderen Halbraum und bezeichnet sie mit

y1
~ys erhält man: ~ys = −y2 . Wir wissen nun: Falls ~y ∈ V ist, muss ~ys ∈
/ V.
y3
3
„Ich kenne Kollegen, die diese Frage lieben. Ich nicht.“ (Prof. Assaad)
71
3. Randwertprobleme in der Elektro- und Magnetostatik
Behauptung:
1
GD (~x, ~y ) =
4πε0
¨
1
1
−
|~x − ~y | |~x − ~ys |
«
a) Falls ~y ∈ ∂V ist, dann ist ~ys = ~y . Daraus folgt: Für ~y ∈ ∂V ist GD (~x, ~y ) = 0
b) ∆~y GD (~x, ~y ) =
und damit
1 (3)
ς (~x −~y )+ ε10 ς (3) (~x −~ys )
ε0
⇒ ∆~y GD (~x, ~y ) = −
aber für ~x, ~y ∈ V ist ς (3) (~x −~ys ) = 0
1 (3)
ς (~x − ~y )
ε0
für ~x, ~y ∈ V .
Anwendung: Betrachten wir den Fall, wenn ein Metall im anderen Halbraum
sich be… 
0
~ = R hat. Auf
findet und die Punktladung auf x2 -Achse liegt, also die Koordinaten R
0
∂V ist Φ = 0. Wir wollen:
%(~y ) = qς (3) (~y − R)
Φ = 0 auf ∂V
Z
⇒ Φ(~x) =
V
=
d3 y GD (~x, ~y )%(~y )
8
1
4πε0
9
<
=
q
q
−
: |~
~ s ;
x − R| ~x − R
Das führt uns auf die Frage:
Wie sieht die Induzierte Oberflächenladung aus?
~ = ~0 Dazu betrachten wir einen Zylinder mit Oberfläche ∆S und Höhe
Im Metall ist E
∆x. Damit erhalten wir:
Z
~E
~ = lim ∆x∆sQ(V )
d3~x∇
lim
∆x→0 V
∆x→0
ε0
Z
~ = E~
~ n∆s
= lim
d~sE
∆x→0 ∂V
=
1
∆s lim Q(V )∆x
∆x→0
ε0
|
{z
}
σ(~
x)
~ x)~n = −ε − O ∂Φ(~x) = . . .
σ(~x) = ε0 E(~
∂x2
q
R
=−
·
2π ~x − R
~ 3
Bemerkung.
2.
R
∂V
1. σ(~x) < 0 ist genau dann der Fall, wenn q > 0 ist, weiter gilt
ds · σ(~x) = −q
03.12.08
Bemerkung. Für die Klausur ist wichtig, die Randprobleme verstanden zu haben.
72
3.1. Gleichungen der Elektrostatik
3.1.3. Separation der Variablen in der Laplace-Gleichung
(in kartesischen Koordinaten).
Frage: %(~x) = 0 für ~x ∈ V , Φ(~x) sei bekannt auf ∂V . Zu Lösen ist also die LaplaceGleichung ∆Φ(~x) = 0 für ~x ∈ V mit gegebenen Randbedingungen.
Ansatz:
Φ(~x) = X(x)Y (y)Z(z)
00
~x = (x, y, z)
00
00
∆Φ(~x) = X (x)Y (y)Z(z)+X(x)Y (y)Z(z)+X(x)Y (y)Z (z) = 0 ·
1
X(x) · Y (y) · Z(z)
X 00 (x) Y 00 (y) Z 00 (z)
+
+
=0
X(x)
Y (y)
Z(z)
⇒
(3.10)
(3.11)
Es gilt dann:
d
dx
‚
X 00 (x)
X(x)
Œ
⇒
‚
d
Y 00 (y) Z 00 (z)
−
=
−
dx
Y (y)
Z(z)
Œ
=0
(3.12)
X 00 (x)
= −α2 ,
X(x)
mit α = const. Analog erhält man für Y und Z:
Y 00 (y)
= −β 2 ,
Y (y)
mit β = const und weiter
Z 00 (z)
= −γ 2
Z(z)
und wegen Gleichung (3.11) folgt
−γ 2 = α2 + β 2
Damit erhalten wir für X, Y, Z:
X(x) = A · eiαx
Y (y) = B · eiβy
√
2
2
Z(z) = C · e± α +β z
Da ∆Φ = 0 eine lineare DGL ist, lautet die allgemeine Lösung:
Z +∞
Φ(~x) =
−∞
Z +∞
dα
−∞

‹
√
√
2
2
2
2
dβeiαx+iβy K+ (αβ)e α +β z + K− (αe− α +β z )
(3.13)
73
3. Randwertprobleme in der Elektro- und Magnetostatik
Bemerkung: K+ (α, β) und K− (α, β) sind durch die Randbedingungen eindeutig bestimmt
Wir nehmen an, dass α und β real sind. α und β könnten aber auch ohne weiteres
komplex sein, dann ändert sich nur der Integrationsbereich und wir integrieren dann
über C statt über R.
Beispiel. Wir betrachten eine Büchse mit Länge (a, 0, 0), Breite (0, b, 0) und Höhe (0, 0, c).
Der Fluss durch die Seitenflächen (Flächen von a-c, bzw b-c) sei Φ = 0. Es gibt nur einen
Fluss durch den Deckel (Fläche von a-b auf der Höhe c). Es gelten also folgende Randbedingungen:
1. Φ(0, y, z) = Φ(a, y, z) = 0
2. Φ(x, 0, z) = Φ(x, b, z) = 0
3. Φ(x, y, 0) = 0
4. V (x, y) = Φ(x, y, c)
Ansatz: Φ(~x) = X(x)Y (y)Z(z).
X(x) = A+ eiαx
Wegen (3.11) muss
X(0) = X(a) = 0.
Aus X(0) = 0 folgt A+ + A− = 0. Setzen wir A€+ = A,Š dann erhalten wir für
, da sin nπ
· a = 0 ist. Wir erhalten
A− = −A. Aus X(a) = 0 folgt α = nπ
a
a
schließlich:

X(x) = An sin
nπ ‹
x
a
Analog:

mπ ‹
Y (y) = Bm sin
·y
b
√
√
α2 +β 2 z
− α2 +β 2 z
Z(z) = C+ e
+ C− e
Mit der Randbedingung 3. Z(z = 0) = 0, damit erhalten wir: C+ = −C− = C
und schließlich
È
Z(z) = Cnm sinh
α2 + β 2 z
Randbedingung 3. ist also erfüllt.
Insgesamt:

nπx ‹
mπy ‹
Φ(~x) =
An,m sin
sin
· sinh
a
b
n,m
X
74

Ê

nπ ‹2  mπ ‹2
+
z
a
b
!
3.2. Randwertprobleme in der Magnetostatik
dies erfüllt die Randbedingungen 1., 2., 3.. Anm wird durch Randbedingung 4.
bestimmt


nπx ‹
mπy ‹
Anm sin
Φ(x, y, c) =
sin
· sinh
a
b
nm
X
Ê

!
nπ ‹2  mπ ‹2
!
+
c = V (x, y)
a
b
Frage: Gegeben ist V (x, y) → Anm . Es gilt, da
Z a

nπx ‹
ñπx
a
sin
sin
= δn,ñ
0
a
a
2
Z b

m̃πy
mπy ‹
b
sin
sin
= δm,m̃
0
b
b
2
Dies folgt aus der Orthogonalität der sin
Z a
Z b
dx
0
0
€
nπx
a
Š
-Funktionen. Damit erhalten wir
Ê

X
ñπx
m̃πy
Anm sinh
dy sin
sin
V (x, y) =
a
b
nm
ab
· δn,ñ δm,m̃
22
„s
= Añ,m̃ sinh
Añ,m̃
⇒
=
4
ab
·
È
1
2
ñπ 2
+ m̃π
a
b
nπ ‹2  mπ ‹2
+
c
a
b
ñπ
a
2
+
m̃π
b
Ž
ab
22
( ) ( )
€
Š
€
Š
Ra
Rb
ñπx
= 0 dx 0 dy sin a sin m̃πy
V (x, y)
b
sinh
(3.14)
3.2. Randwertprobleme in der Magnetostatik
3.2.1. Gleichungen der Magnetostatik in Materie
~B
~ =0
∇
~ ×H
~ = ~jf rei
∇
(3.15)
(3.16)
mit
~ −M
~
~ = 1B
H
µ0
!
(3.17)
Wir müssen eine Fallunterscheidung treffen:
~ = µH
~ mit µ = Permeabilitätskonstante des Medi1. Fall: Isotropes lineares Medium B
ums.
~ =∇
~ × A,
~
B
da die Poisson-Gleichung (also
~ ·A
~=0
∇
75
3. Randwertprobleme in der Elektro- und Magnetostatik
) gilt, erhalten wir
~ × (∇
~ × A)
~ = µ~jF rei
⇒∇
~ (∇
~ · A)
~ −∆A
~ = µ~jF rei
⇒∇
|
{z
}
=0
~
Damit erhalten wir die Poisson-Gleichung für jede Komponente von A:
~ = −µ~jF rei
∆A
(3.18)
und dies ist mit den Methoden der Elektrostatik lösbar!
09.12.08
~ = µH,
~ ~jF rei = ~0, wobei µ eine Konstante des Materials ist. Damit
2. Fall: Annahme B
erhalten wir:
~ ×H
~ = ~jF rei = 0
∇
~ = −∇Φ
~ M
⇒H
~ ·B
~ = 0 und µ = const folgt:
ΦM ist das magnetische Skalarpotential. Aus ∇
~H
~ = 0,
∇
~ = −∇Φ
~ M . Damit erhalten wir schließlich: ∆ΦM = 0 . Dies ist die Laplaceaber H
Gleichung für das Magnetische Potential
~ (~x) 6= 0, ~jf rei = ~0 und µ ist beliebig. Dann ist:
3. Fall: M
~ ×H
~ = 0 = ~jf rei
∇
~ M =H
~
⇒ −∇Φ
~B
~ =0
∇
~ folgt:
mit der Definition von H
~ H
~ +M
~)
= µ0 ∇(
~ ∇Φ
~ M +M
~)=0
= µ0 ∇(−
und damit erhalten wir:
~M
~ ≡ −%M
∆ΦM = ∇
(3.19)
%M ist die magnetische Ladungsdichte. Dies ist entspricht etwa der PoissonGleichung
76
3.2. Randwertprobleme in der Magnetostatik
3.2.2. Beispiel: Homogene magnetische Kugel
Wir betrachten eine Kugel in Kugelkoordinaten mit Radius r, θ ∈ [0, π] und ϕ ∈ [0, 2π].
Es sei
~jF rei = 0
außerdem ist:
8
<
~ (~x) = M~ez , |~x| < R
M
:0,
sonst
Dies entspricht dem 3. Fall von oben. Gesucht ist ΦM mit
∆ΦM (~x) = −%M (~x),
V = R3
mit dem Rand Φ(~x → ∞) = 0. Verwenden wir hier die Dirichlet-Green’sche Funktion für
V = R3
1
1
·
4π |~x − ~x0 |
GD (~x, ~x0 ) =
damit erhalten wir nun:
Z
ΦM (~x) =
R3
d3~x0 GD (~x, ~x0 )%(~x0 )
(3.20)
und dass bringt uns schließlich:
1
=
4π
Z
d3~x0
3
R
~ x0 · M
~ (~x0 )
(−)∇
|~x − ~x0 |
An dieser Stelle wechseln wir in die Kugelkoordinaten:
…
cos ϕ0 sin θ0
sin ϕ0 sin θ0
cos ϕ0
~x0 =
…
~x =
8
cos ϕ sin θ
sin ϕ sin θ
cos ϕ


0
<
~ (~x0 ) = M~ez , |r | < R
M
:0,
|r0 | > R
= Θ(R − r0 )M~ez
0
~ x0 · M
~ (~x0 ) = −M ∂ Θ(R − r0 ) = M δ(Rr0 ) z
⇒ −∇
∂z 0
r0
Z ∞
Z 2π
Z π
M
δ(R − r0 ) 0
1
⇒ ΦM (x) =
dr0
dϕ0
dθr02 sin θ0 ·
r cos θ0
0
0
0
4π 0
r
|~x − ~x0 |
Z
M
~ez
=
d~s0
4π ∂VR
|~x − ~x0 |
77
3. Randwertprobleme in der Elektro- und Magnetostatik
wir behandeln also das Integral über die Kugel mit Volumen R. Des weiteren ist:
d~s0 =
·R2 sin ϑ0
~n
|{z}
…
cos ϕ0 sin θ0
sin ϕ0 sin θ
cos ϕ

und damit folgt:
MZ
~ ~x0 ~ez
d~x0 ∇
4π VR
|~x − ~x0 |
¨
«
Z
1
M
3 0
~
·~ez
=
−∇x
d ~x
VR
4π
|~x − ~x0 |
=
{z
|
}
Übungsblatt 2
8
=
M
3
<
z,
r<R
= ΦM
z, r > R
r3
:R
3
damit erhalten wir außerdem:
~ = −∇Φ
~ M
H
~ ist an der Grenzfläche stetig, da ~jF rei = 0
und die Tangentialkomponente von H
⇒
1 ~
~ +M
~
B=H
µ0
~ ist also an der Grenzfläche stetig
Die Normalenkomponente von B
78
4. Spezielle Relativitätstheorie
Abbildung 4.1.: Der Lichtkegel
Definition. Inertialsystem:
2
Im Inertialsystem gilt: dtd 2 ~x(t) ≡ ~x¨(t) = ~0 für den freien Massenpunkt. Betrachten wir
zur Erklärung ein Raum-Zeit-Diagramm. Im Inertialsystem hat der freie Massenpunkt
eine Gerade als so genannte Weltlinie (siehe Abbildung 4.1). Der selbe Punkt hat in
einem anderen Inertialsystem ebenfalls eine Gerade als Weltlinie1 . Deswegen kann die
Transformation nur linear sein.
Das Relativitätsprinzip verlangt, dass die physikalischen Bedingungen (die als eine
Beugungsgleichung betrachtet wird) eines isolierten Systems (ohne äußere Einfluss) in
jedem Inertialsystem gleich lauten.
4.1. Beispiel: Klassische Mechanik und
Galilei-Transformation
Die Transformation
)
t0 = t + a
heißt Galilei-Transformation
~x0 = R(t)~x + ~v t + ~b
wobei R eine Drehmatrix ist. Das Relativitätsprinzip verlangt, dass die Newton’schen
Gleichungen unter Galilei-Transformation invariant bleiben.
a) Galilei-Transformation bildet ein Inertialsystem auf ein Inertialsystem ab.
1
Der Anstieg der Weltlinien können anders sein (sind auch meistens voneinander verschieden), die Eigenschaft der Geraden bleibt aber erhalten!
79
4. Spezielle Relativitätstheorie
aus ~x¨(t) = 0 folgt also2 ~x¨0 = 0
b) Newton’sche Gleichung sind invariant unter Galilei-Transformationen.
Beispiel. Ein System von N -Teilchen ~x1 , . . . , ~xN . Es wirkt die Kraft:
~i
F~i = −∇
X
V (|~xi − ~xj |)
i+j
Annahme: Newton gilt im 1. Inertialsystem:
F~i = mi~x¨i
Behauptung: im 2. Inertialsystem ~x0 gilt Newton auch
F~i0 = mi~x¨0i ,
wobei ~x¨0 = R~x¨ und
~i
F~i0 = −∇
X
V (|~xi − ~xj |)
i+j
Beweis.
†
~0=
∇
∂ 
∂x01
∂
∂x02
∂
∂x03
‚
X
∂
∂f
f
(~
x
)
=
∂x0n
∂x0m
m
⇒
Œ‚
∂m
∂n0
Œ
∀f (~x)
X ∂x
∂
∂
m
=
·
,
0
0
∂xn
∂xm
m ∂xn
2
dt0 = dt,
2
¨0 (t) = d ~x0 (t)
~x
dt2
©
d2 ¦
= 2 R~x(t) + ~v (t) + ~b
dt
¨ = 0 und ~v¨ =
mit ~x
d ¨
x
dt ~
= 0 und ~b = const
=
d2
~x(t) = 0.
dt2
| {z }
=0
80
4.1. Beispiel: Klassische Mechanik und Galilei-Transformation
Aber:
~x0 = R~x + ~v t + ~b
⇒ ~x = R−1~x0 − R−1~v t − R−1~b
∂xm
∂
⇒
=
0
∂xn
∂x0n
X
|
−1 0
Rm,i
xi
−1
−1~
!
− R ~v t + R b
i
{z
}
=xm
−1
= Rm,n
⇒
X
∂
∂
−1
Rm,n
=
0
∂xn
∂xm
m
=
X h€
R−1
ŠT i
n,m
m
€
~ 0 = R−1
⇒ ∇
ŠT
∂
∂xm
~
∇
⇒ R ∈ S = (3)
(R−1 )T = R
(SO(3) heißt: spezielle Orthogonalmatrix)
10.12.08
†
~ =
∇
∂ 
∂x01
∂
∂x02
∂
∂x03
~ = (R−1 )T ∇,
~
∇
R ∈ SO(3)
⇒ RT R = 1
⇒ (R−1 )T = R
~ 0i
F~i0 = −∇
X
~i
V (~x0i − ~x0j ) = −R∇
j6=i
~i
= R (−)∇
|
X
V

‹
R~xi + ~v t+ ~b − R~xj − ~v t− ~b
j6=i
X
j6=i
V (|~xi − ~xj |)
{z
}
~i
=F
= RF~i = Rmi~x¨i = mi R~x¨i
¨0
⇒ F~i0 = m~x
i i
4.1.1. Maxwell-Gleichungen und Galilei Transformation
Annahme:
1. ε0 µ0 sind Naturkonstanten (das heißt unabhängig vom Inertialsystem)
2. Maxwell-Gleichungen gelten in jedem Inertialsystem.
81
4. Spezielle Relativitätstheorie
Folgerung: c0 =
√1
ε0 µ0
ist vom Inertialsystem unabhängig
Problem: Unter Galilei-Transformation führt die Gleichung ~x0 = ~x + ~v t zu c00 = c0 + v
und dies widerspricht der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.
Lösungsmöglichkeiten aus diesem Widerspruch
Die Physiker vertraten zum Teil sehr absurde Ideen, um die Theorien zu retten.
a) Die Maxwell-Gleichungen sind falsch. Die Richtige Version ist invariant gegenüber
Galilei-Transformation.3
b) Galilei-Invarianz ist Gültig für Neatorische Referenzsysteme
mechanisch gesehen: Elektromagnetismus hat ein bevorzugtes Referenzsystem
in dem eine Materie-Welle, der sog. Äther (Träger der E.-M.-Welle) ruht4 .
c) Es existiert eine andere Transformation als die Galilei-Transformation, so dass der
Elektromagnetismus das Relativitätsprinzip erfüllt. Das bedeutet allerdings, dass
die Newtons’sche Mechanik nicht exakt stimmt.
Bemerkung. Lösung c) ist die Wahrscheinlichste, zumindest zur Zeit erfüllt sie die
geforderten Bedingungen.
4.2. Die Einstein’schen Postulate (1905)
Bemerkung. Die Einstein’schen Postulate
1. Das Relativitätsprinzip gilt
2. Die Lichtgeschwindigkeit ist eine invariante Größe, das heißt also, sie ist unabhängig von der Wahl des Inertialsystems.
Beweis von Punkt 2. Zu Beweisen ist:
c0 =
|∆~x| ! |∆~x0 |
=
|∆t|
|∆t0 |
Aus
c20 (t1 − t2 )2 − |~x1 − ~x2 |2 = 0
folgt
2
c20 (t01 − t02 )2 − |~x01 − ~x02 | = 0
unser Programm ist hierbei:
1. Die Transformationen (Lorentz-Gruppe), die ~x¨ = 0 und c20 (t1 − t2 )2 − |~x1 − ~x2 |2 = 0
invariant lassen und
2. Bewegungsgleichung der Mechanik und Elektrodynamik zu ändern, so dass sie Forminvariant bleiben bzgl. der Lorentz-Gruppe.
3
4
Keine Verletzung der Maxwell-Gleichung wurde bisher gefunden
Michelson und Moreley führten 1880 verschiedene Experimente durch, der Äther wurde aber nie
gefunden
82
4.2. Die Einstein’schen Postulate (1905)
4.2.1. Die Lorentz-Gruppe
Sei
xµ :
yµ :
(x0 , x1 , x2 , x3 ) = (c0 tx , ~x)
(y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ) = (c0 ty , ~y )
mit tx als Eigenzeit von ~x und ty als die Eigenzeit von ~y
Definition. Lorentz-Transformation:
Die Lorentz-Transformation ist eine Abbildung R4 → R4 mit folgenden Eigenschaften:
a) In jedem Inertialsystem gilt ~x¨ = 0 und daraus folgt, dass die Weltlinie wieder auf die
Weltlinie abgebildet wird.
b) c0 ist invariant und das heißt:
|~x − ~y |
= c0
|tx − ty |
folgt
|~x0 − ~y 0 |
0
x0
t − t0y0 = c0
aus
c20 (tx − ty )2 − (~x − ~y )2 = (x0 − y 0 )2 − (~x − ~y )2 = 0
folgt:
0
0
c20 (t0x − t0y )2 − (~x0 − ~y 0 )2 = (x0 − y 0 )2 − (~x0 − ~y 0 )2 = 0
Der „Licht“-Kegel wird auf einen anderen „Licht“-Kegel abgebildet. (Wir erinnern
uns an den Zukunfts-Vergangenheits-Kegel aus Abbildung 4.1)
4.2.2. Ansatz für Lorentz-Transformation
0
x µ = (Λµ ν ) xν + bµ
(4.1)
Λµ ν ist eine 4 × 4-Matrix5 , die unabhängig von xµ ist.
Bemerkung. Summenkonvention:
Über jeden oben und unten stehenden gleichen Index wird von 0 bis 3 summiert.
Die Lorentz-Transformationen sind linear, das heißt, bei der Abbildung von einem Inertialsystem in ein Inertialsystem wird eine Gerade wird auf eine Gerade und ein Lichtkegel
auf einen Lichtkegel abgebildet.
5
mit µ kovariante und ν kontravariante Basis
83
4. Spezielle Relativitätstheorie
Λµ % gµ,ν Λν
σ
= g%,σ
‡
(4.2)
‘
1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1
gµ,ν =
ΛT gΛ = g
(4.3)
(4.4)
gilt, da
(ΛT gΛ)ij =
X
k,l
|
gkl Λlj =
{z
X
Λkj gkl Λlj
(4.5)
kl
}
=???=
16.12.08
Beweis.
ξ µ = xµ − y µ
ξ µ gµν ξ ν = ξ 0 ξ 0 − |~x − ~y |2
= c2 (tx − ty )2 − |~x − ~y |2 = 0
folgt
ξ 0µ gµν ξ 0ν = 0
⇒ ξ µ gµν ξ ν = ξ 0 µgµν ξ 0ν
⇒ ξ α gαβ ξ β = ξ 0µ gµν ξ 0ν
⇒ ξ α gαβ ξ β = Λµ % ξ % gµν Λν σ ξ σ
|{z}
⇒ ξ α gαβ ξ β = ξ % Λµ % gµν Λν σ ξ σ
|
{z
}
gilt für alle ξ. Damit erhalten wir insgesamt:
!
gαβ = Λµ α gµν Λν
β
Folgerungen:
g = ΛT gΛ
1.
det g = det(Λ0T gΛ) = (det Λ)2 det g ⇒ (det Λ)2 = 1
⇒ det Λ = ±1
84
4.2. Die Einstein’schen Postulate (1905)
2. Die homogene Lorentz-Transformationen x0µ = Λµ ν xν bilden eine abelsche Gruppe
L, unter Matrixmultiplikation (L, ·) Damit folgt: a, b, c ∈ L → L
a) · : L × L → L
b) a · (b · c) = (a · b) · c
c) ∃ 1 | a · 1 = a für alle a ∈ L
d) Für alle a ∈ L existiert ein inverses Element mit a−1 ∈ L und es gilt: a−1 · a =
aa−1 = 1
e) die Gruppe ist nicht abelsch, also gilt: a · b 6= b · a!
3. Aus gµν = Λσ µ gσ% Λ% ν folgt:
€
g00 = Λ0 0
Š2
−
3
X
(Λi 0 )2 = 1
i=1
g00 = (Λ0 0 )2 ≥ 1
Beweis siehe Übungsblatt 10 Aufgabe 2c)
Klassifikationen
• Λ0 0 ≥ 1, det(Λ) = 1, zum Beispiel die Invarianz:
‡
1
0
0
0
Λ=
0
1
0
0
0
0
1
0
‘
0
0
0
1
• Λ0 0 ≥ 1, det(Λ) = −1, zum Beispiel die Raumspiegelung:
‡
‘
1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1
Λ=
• Λ0 0 ≥ −1, det(Λ) = −1, zum Beispiel bei Zeitumkehr:
‡
−1
0
0
0
Λ=
0
1
0
0
0
0
1
0
‘
0
0
0
1
• Λ0 0 ≥ −1, det(Λ) = 1, zum Beispiel bei Zeitumkehr und Raumspiegelung
‡
Λ=
‘
−1 0
0
0
0 −1 0
0
0
0 −1 0
0
0
0 −1
85
4. Spezielle Relativitätstheorie
4.2.3. Beispiele von Lorentz-Transformationen
Raum-Drehung
‡
‘
1 0 0 0
0
0
R
0
Λ=
R ∈ SO(3)
Liegt hier eine Lorentz-Transformation vor?
‡
‘
1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1
ΛT gΛ = g : ΛT gΛ =??? =
=g
Boosts
Das heißt, det Λ = 1, Λ0 0 ≥ 1. Wir wählen den Ansatz:
‡
Λ=
‘
A B 0 0
C D 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Aus ΛT gΛ = g folgt:
‚
Œ
‚
Œ‚
A C
1 0
·
B D
0 −1
‚
Œ
‚
Œ
Œ
‚
Œ
A B ! 1 0
=
C D
0 −1
A2 − C 2 AB − CD ! 1 0
=
BA − DC B 2 − D2
0 −1
Da Λ0 0 ≥ 1 kann man auch A = cosh(χ) verwenden. Damit folgt aus A2 − C 2 dann
C = − sinh(χ)
Aus AB − CD = 0 folgt cosh(χ)B + sinh(χ)D = 0 für alle χ und damit erhalten wir
B = − sinh(χ)
bzw
D = cosh(χ)
wir erhalten also für Λ:
86
4.2. Die Einstein’schen Postulate (1905)
‡
Λ=
cosh(χ) − sinh(χ)
− sinh(χ) cosh(χ)
0
0
0
0
‘
0
0
1
0
0
0
0
1
(4.6)
ist also eine Lorentz-Transformation für alle χ6 .
Transformation der 4-Vektor
x0µ
ct0
x01
x02
x03
= Λµ ν xν
= ct cosh(χ) − sinh(χ)x1
= −ct sinh(χ) + cosh(χ)x1
= x2
= x3
x0
Ein Punkt im „gestrichenen Koordinatensystem“ ruht, also gilt: ∆~
= ~0. Im „ungestri∆x0
chenen Koordinatensystem“ bewegt sich dieser Massenpunkt mit der Geschwindigkeit
~v = ~e1 ct tanh(χ)7
c tanh(χ) = v
(4.7)
Aus cosh2 (χ) − sinh2 (χ) = 1 erhalten wir:
1 − tanh(χ) =
|
{z
}
= vc
1
cosh(χ)
⇒ cosh(χ) =
q
sinh(χ) =
È
1
€ Š2 = γ
1 − vc
tanh(χ)
1 − tanh2 (χ)
=
q
v
c
1−
€
Š
v 2
c
= βγ,
6
Eine Klausuraufgabe ist höchstwahrscheinlich (so interpretiere ich seine Andeutungen) dass Prof. Assaad uns eine Transformation vorgibt und wir herausfinden müssen, ob es eine Lorentz- oder eine
Galilei-Transformation ist
7
Beweis. aus
∆~
x0
∆t0
= 0 folgt:
−c∆t sinh(χ) + cosh(χ)∆1 = 0
∆x0
= c tanh(χ)
∆t
87
4. Spezielle Relativitätstheorie
mit β = vc . Damit erhalten wir:
‡
‘
γ
−βγ 0 0
−βγ
γ
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
Λ(v) =
Bemerkung. Was passiert bei Gleichzeitigkeit?
∆xµ
∆x00
∆x01
∆x02
∆x03
= yµ − zµ
= γ∆x0 − βγ∆x1
= −βγ∆x0 + γ∆x1
= ∆x2
= ∆x3
aus der Gleichzeitigkeit folgt, dass ∆x00 = 0 aber daraus folgt nicht unbedingt, dass
∆x0 = 0!
4.2.4. Der Minkowski-Raum
Der Minkowski-Raum ist ein reeller, 4 dimensionaler Vektorraum auf dem das „SkalarProdukt„
(X, Y )g = X µ gµν Y ν
definiert ist.
Bemerkung.
1. Minkowski „Skalar-Produkt“ ist nicht positiv definit:
(x, x)g = − |~x|2 .
xµ : (0, ~x)g ,
2. Lorentz Transformationen lassen das Skalar-Produkt invariant. Zu zeigen ist:
!
(Λx, Λy)g = (x, y)g
kleiner „Beweis“:
(Λx)µ gµν (Λy) = Λµ % x% gµν Λν σ y σ
= x% Λµ % gµν Λν σ y σ
|
{z
}
=g%σ (ΛT gΛ)
= x% gµν y σ = (x, y)g
Ende des kleinen Beweises
88
4.2. Die Einstein’schen Postulate (1905)
4.2.5. Wichtige Unterscheidungen für die Indizes
17.12.08
Definition.
• y µ heißt kontravarianter 4-er Vektor (Index ist oben)
• yµ = gµν y ν heißt kovarianter 4-er Vektor (Index unten)..
Beispiel.
y µ : (y 0 , ~y );
yµ = gµν y ν : (y 0 , −~y )
‡
‘
1
Bemerkung.
1. Im euklidischen Raum ist g =E =
1
und damit ist
1
1
!
g µ : (y 0 , ~y ) = yµ : (y 0 , ~y )
2.
(x, y)g = xµ gµν y ν = xµ yµ
| {z }
=yµ
= gνµ xµ y ν = xν y ν
| {z }
=xν
3.
Definition. Sei g µν mit
8
<
g µ% g%µ = δ µ ν = :
1 falls µ = ν
0 sonst
⇒ g µν = gµν
Aus
xµ = gµν xν
hat man
g %µ xµ = g %µ gµν xν
|
=
{z
}
δ% ν
δ % ν xν
= x% = g %µ xµ
89
4. Spezielle Relativitätstheorie
Transformationseigenschaften von kovarianten (yµ ) 4-er Vektoren:
Behauptung
x0µ = Λµ σ yσ
mit
Λµ σ = gµν Λν % g %σ
Beweis.
(Λx, Λy)g = (x0 , y 0 )g = x0µ gµν y 0ν
| {z }
0
yµ
= x0µ yµ0
mit yµ0 = gµν y 0ν
= gµν Λν % y % = gµν Λν % g %σ yσ
|
{z
}
= yµ0 = Λµ σ yσ
| {z }
Damit erhalten wir schließlich:
Λµ σ = gµν Λν % g %σ
(4.8)
Es gilt:
Λµ σ Λµ η = δ σ η
(4.9)
wobei Λµ ν die µν-te Komponente von Λ und Λµ σ die µσ-Komponente vom (ΛT )−1 ist.
x0µ = Λµ ν xν
x0µ = Λµ ν xν
Beweis. das (4.9) gilt:
Λµ σ Λµ η = gµν Λν % g µσ Λµ η
|
{z
=Λµ
}
σ
Λµ η gµν Λν % g %σ = gη% g %σ
|
{z
}
=gη%
= g σ% g%η = δ σ η
90
4.3. Lorentzinvarianz der Maxwell-Gleichung
Satz 4.1.
Λµ ν ∂ ν .
∂
∂xµ
ist ein kovarianter 4-er Vektor, das heißt mit ∂µ ≡
∂
∂xµ
hat man ∂µ0 =
Beweis.
–
™
∂
∂
∂xν
f (x) =
f (x) 0µ
∂x0µ
∂xν
x
⇒
∀f
∂
∂xν
∂
=
· ν
0µ
0ν
∂x
∂x
∂x
(4.10)
(4.11)
Aber:
x0% = Λ% σ xσ
⇒ Λ% ν x0% = Λ% ν Λ% σ xσ = xν
|
{z
⇒
}
0%
ν
∂x
∂x
= Λ% ν 0µ = Λµ ν
0µ
∂x
∂x
∂
∂
= Λµ ν ν = Λµ ν ∂ν
⇒ ∂µ0 ≡
0µ
∂x
∂x
4.2.6. Zusammenfassend:
• xµ ist kontravariant mit x0µ = Λµ ν xν .
xµ = gµν xν kovarianter 4-er Vektor
x0µ = Λµ ν xν mit Λµ ν : Λ ist eine 4x4 Matrix Λµ ν : (ΛT )−1 .
Beispiel für einen kovarianten Vektor ist:
∂µ =
∂
∂xµ
mit dem Skalarprodukt:
xµ yµ ≡ x0µ yµ0
4.3. Lorentzinvarianz der Maxwell-Gleichung
Fragestellung
Annahme: Forminvarianz unter Lorentz-Transformation ist vorhanden.
Frage: Wie transformieren sich die Felder?
Gilt Ladungserhaltung, also ist:
∂
~ ~j(~x, t) = 0?
%(~x, t) + ∇
∂t
91
4. Spezielle Relativitätstheorie
Beweis.
j µ (~x, t) : (c%(~x, t), ~j(~x, t))
‚
Œ
‚
Œ
∂
1∂ ~
∂
∂
∂
∂:
=
,∇
,
,
,
∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3
c ∂t
⇒
∂
~ ~j(~x, t) = 0
%(~x, t) + ∇
∂t
⇔ ∂µ j µ (~x, t) = 0
Ladungserhaltung muss in jedem Inertialsystem gelten, damit betrachtet man im
gestrichenen Inertialsystem ∂µ0 j 0µ (~x0 , t0 ) = 0. Da ∂µ0 = Λµ ν ∂ν ist die Transformation
von j 0µ (x0 ) festgelegt.
j 0µ (x0 ) = Λµ ν j ν (x) .
(4.12)
Mit dieser Transformation von j µ hat man, dass aus
∂µ0 j 0µ (x0 ) = 0
folgt
∂µ j µ (x) = 0
Beweis:
0 = ∂µ0 j 0µ (x0 ) = Λµ % ∂% Λµ σ j σ (x)
= ∂% Λµ σ j σ (x)
| {z }
=
=δ % σ
∂% δ % σ j σ (x)
= ∂% j % (x) = 0
4.3.1. Maxwell-Gleichungen
Sei
F µν (x) = ∂ ν Aµ (x) − ∂ µ Aν (x)
‚
Œ
‚
Œ
∂ ~
∂ ~
∂
∂ν :
,
∇
=
,
∇
=
∂x0
c∂t
∂xµ
‚
Œ
∂
~
∂ ν = g µν ∂µ :
, −∇
c∂t
Φ ~
µ
A (x) :
, A(x)
c
Es gilt:
‡
F µν =
92
‘
0
E1 /c E2 /c E3 /c
−E1 /c
0
B3 −B2
−E2 /c
0
0
B1
−E3 /c
0
0
0
4.3. Lorentzinvarianz der Maxwell-Gleichung
Inhomgene Maxwell-Gleichung lautet dann:
∂ν F µν (x) = µ0 j µ
(4.13)
07.01.09
f 0,ν = ∂ i A0 − ∂ 0 Ai ,
i = 1, 2, 3
1 ∂
1∂ i 1
A = Ei ,
= − · iΦ −
c ∂x
c ∂t
c
da
~ = −∇Φ
~ − ∂
E
~
∂tA
4.3.2. Inhomogene Maxwell-Gleichung:
∂ν F µν = µ0 j µ
(4.14)
Beispiel.
µ=0
⇒ ∂ν F = µ0 c% = µ0 j 0
~
E
= µ0 c%
⇒
c
~E
~ = µ0 1 % = 1 %
⇔∇
ε0 µ0
ε0
0,µ
Bemerkung. Inhomogene Maxwell-Gleichungen müssen in jedem Inertialsystem gelten, da
j 0µ (x0 ) = Λµ ν j ν (x)
und
∂ν0 = Λν µ ∂µ
gilt, muss
F 0µ,ν (x0 ) = Λµ % Λν σ F %σ (x)
gelten, so dass die Maxwell-Gleichungen Vorminvariant bleiben.
93
4. Spezielle Relativitätstheorie
Beweis. Zuerst müssen wir folgendes zeigen: Betrachtet wir das gestrichene Inertialsystem:
∂ν0 F 0µν (x0 ) = µ0 j 0µ (x0 )
dann folgt für das nicht gestrichene Inertialsystem
∂ν F µν (x0 ) = µ0 j 0µ (x0 )
⇔ Λν η ∂η Λµ % Λν σ F %σ (x) = µ Λµ α j α (x)
|
{z
}|
=∂ν0
{z
|
}
{z
}
F 0µν (x0 )
j 0µ (x0 )
Λν η Λν σ ∂η Λµ % F %σ (x) = µ0 Λ
αj
|
{z
δ
}
α
(x)
η
σ
Λµ %∂η F %η = µ0 Λµ α j α
Λµ σ Λµ
|
{z
=δ %
%
}
| Λµ σ
∂η F %η = µ0 Λµ σ Λµ α
|
{z
δσ
%
αj
}
α
⇔ ∂η F ση = µ0 j σ
Dies ist die Inhomogene Maxwell-Gleichung im ungestrichenen Inertialsystem
4.3.3. Homogene Maxwell-Gleichung
F µν = ∂ ν Aµ − ∂ µ Aν
Sei
Fµν = ∂ν Aµ − ∂µ Aν
stimmt die folgende Zeile?
= gν% gµα (∂ % Aα − ∂ α A% )
|
{z
}
=F α%
= gν% gµα F α%
Es gilt dann:
0
Fµν
(x0 ) = Λµ % Λν σ F%σ (x)
(4.15)
homogene Maxwell-Gleichung lautet dann:
∂σ Fµν (x) + ∂µ Fνσ (x) + ∂ν Fσµ = 0
(4.16)
was der bekannten Form
~ ·B
~ =0
∇
~ ×E
~ =−∂B
~
∇
∂t
entspricht (mit µ, ν, σ = 0, 1, 2, 3).
94
(4.17)
(4.18)
4.4. Lorentz-Eichung, Inhomogene Wellengleichung
Beispiel.
8
‡
Fµ,ν =
− Ec1 − Ec2 − Ec3
0
B3 −B2
−B3
0
B1
B2 −B1
0
0
E1
c
E−2
c
E3
c
‘
Nehmen wir an: σ = 1, µ = 2, ν = 3, dann erhalten wir:
∂
∂
∂
B1 + 2 B2 + 3 B3 = 0
1
∂x
∂x
∂x
~ =0
⇔ ∇B
4.3.4. Forminvarianz der Maxwell-Gleichung
Sei
∂σ Fµν (x) + ∂µ Fµσ (x) + ∂ν Fσµ (x) = 0
im ungestrichenen Inertialsystem. Dann gilt:
0
0
∂σ0 Fµν
(x0 ) + ∂µ0 Fνσ
(x0 ) + ∂ν0 Fσµ (x0 ) = Λµ µ̄ Λν ν̄ Λσ σ̄ ∂σ̄ Fµ̄,ν̄ (x) + ∂µ̄ Fν̄ σ̄ + ∂ν̄ Fσ̄,µ̄ (x) = 0
|
{z
}
=0
4.3.5. Zusammenfassung
Maxwell-Gleichungen sind also Forminvariant unter Lorentz-Transformation, falls:
j 0µ (x0 ) = Λµ ν j µ (x)
F 0µ,ν (x0 ) = Λµ % Λνσ F %σ (x)
(4.19)
(4.20)
4.4. Lorentz-Eichung, Inhomogene Wellengleichung
Frage: Wie sieht die Transformation von Aµ (x) aus?
Antwort: Aus
F 0µν (x0 ) = ∂ 0ν A0µ (x0 ) − ∂ 0µ (x0 )A0ν (x0 )
= Λµ % Λν σ F %σ
= Λµ % Λν σ (∂ σ A% (x) − ∂ % Aσ (x))
⇒ A0µ (x0 ) = Λµ % A% (x)
8
Im Böhm Skript befindet sich ein Vorzeichenfehler in der Matrix!
95
4. Spezielle Relativitätstheorie
Lorentz-Eichung
1∂ Φ ~ ~
+∇·A=0
c ∂t c
⇒ ∂µ Aµ = 0
Bemerkung. Die Lorentz-Eichung gilt in jedem Inertialsystem, da aus:
∂µ0 A0µ (x0 ) = 0
⇒ ∂µ Aµ (x) = 0
folgt.
In Lorentz-Eichung lauten die Maxwell-Gleichungen:
A µ = µ0 j µ
Es gilt (mit der Definition d’Alambert-Operator am Ende von Kapitel 1.6.2):
1 ∂2
·
−∆
c2 ∂t2
1 ∂2
= ∂µ0 ∂ 0µ = 2 · 02 − ∆0
c ∂t
= ∂µ ∂ µ =
Daraus folgt, dass die inhomogene Wellengleichung in Lorentz Eichung forminvariant ist.
Übersichtlich hat man dann:
gestrichenes Koordinatensystem
ungestrichenes Koordinatensystem
∂µ0 A0µ (x0 ) = 0
∂µ Aµ (x) = 0
→
Aµ (x) = µ0 j µ (x)
A0µ (x0 ) = µ0 j 0µ (x0 )
Beispiel.
%(~x, t) = qς (3) (~x − ~y (t))
~j(~x, t) = q~v ς (3) (~x, ~y (t))
⇒ j µ (~x, t) : qς (3) (~x − ~y (t)) · (c, ~v )
Mit der Retardierten Dirichlet-Funktion erhalten wir:
Aµ (~x, t) =
=
µ0
4π
Z
j µ (~x0 , t − 1c |~x − ~x0 |)
|~x − ~x0 |
1 1 (c, ~v )
4πε0 c2 %~(~x, t)
d3~x
...
|{z}
Kapitel 4
mit
8
91
>
<
>
=
%~(~x, t) = >(~x − vt) + γ −2 (
:
γ=√
96
(x2 )
| {z }
)2 + (x3 )2 >
2nd Komponente
1
v
∨β = )
2
c
1−β
;
2
4.4. Lorentz-Eichung, Inhomogene Wellengleichung
The easy Way
13.01.2009
Wir wählen unser Koordinatensystem IS 0 so, dass das Teilchen in IS 0 im Urpsrung ruht.
Also gilt: ~y 0 (t0 ) = ~0. Die Transformation von IS nach IS 0 ist durch:
x0µ = Λµ ν ,
‡
Λµ ν =
mit β =
v
c
und γ = √ 1
1−β 2
. Im IS 0 gilt außerdem:
‚
µ0
‘
γ
−βγ 0 0
−βγ
γ
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
0
A (x ) =
Œ
Φ(x0 ) ~
,0
c
0
q
· |~x10 | . Damit erhalten wir Aµ (x0 ) als das 4-er Potential einer ruhenden
mit Φ(x0 ) = 4πε
0
Punktladung. Im IS hingegen ist
A0µ (x0 ) = Λµ ν Aν (x)
· Λµ %
Λµ % A0µ (x0 ) = Λµ % Λµ ν Aν (x)
{z
|
=δ %
%
Λ
µ
ν
}
ν
= A (x)
: Λ,
‡
Λµ % : (ΛT )−1 =
γ βγ 0 0
βγ γ 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
‘
x0µ = Λµ ν xν : (γx0 − βγx0 ; −βγx0 + γx0 ; x2 ; x3 )
mit dem Boost v folgt dann:
⇒ |~x0 | =
È
γ 2 (x0 − vt)2 + (x2 )2 + (x3 )2 = γ%(x)
mit
È
%(x) =
(x0 − vt)2 + γ −2 ((x2 )2 + (x3 )2 )
wobei x2 und x3 die 2.te bzw die 3.te Komponente ist
⇒ A% (x) =: (γA00 (x0 ); βγA00 (x0 ), 0 0)
‚
Œ
q
1
1
Φ(x) ~
=
· ·
· (1, β, 0, 0) =
, A(x)
4πε0 c %(x)
c
97
4. Spezielle Relativitätstheorie
Felder im IS
~ x, t) = ∇
~ × A(~
~ x, t) = 1 B
~ × E(~
~ x, t)
B(~
c
~v
β~ =
c
~ x, t) = ∇
~ · Φ(~x, t) − ∂ A(~
~ x, t)
E(~
∂t
1
q
· 3 γ −2 (x1 − vt, x2 , x3 )
=
4πε0 % (x)
Felder im IS 0
~ 0 (~x0 , t0 ) =
E
q
~x0
· 0 3,
4πε0 |~x |
~ x0 , t0 ) = ~0
B(~
Die Aufspaltung des Elektromagnetische Feldes in einen elektrischen und in einen magnetischen Anteil hängt von der Wahl des Inertialsystems ab
Bemerkung. Im Allgemeinen ist die Transformation von Feldern
F 0µν (x0 ) = Λµ % Λν σ F %σ (x)
(4.21)
Bemerkung. Größen wie F µν (x) · Fµν (x) und det(F µν ) sind Lorentz-Skalare, das heißt
0
(x0 )
• F µν (x) · Fµν (x) = F 0µν (x0 ) · Fµν
• det(F µν (x)) = det(F 0 µν(x0 ))
Konsequenz
det(F µν (x)) =
1 ~ ~ 2
(E · B)
c2 „
F µν (x)Fµν (x) = 1 ·
98
~2
~2 − E
B
c2
Ž
5. Anwendungen/Ergänzungen
5.1. Lienard-Wiechert Potential – Das Feld einer
Punktladung
Betrachten wir ein Teilchen mit Ladung q, die im Raum-Zeit-Diagramm (R3 -t-Diagramm)
die Weltlinie ~y (t) beschreibt. Die Geschwindigkeit, die das Teilchen hat ist ~v = d~ydt(t) . Es
gilt dann:
j µ (x) = (c · %(x), ~j(x))
mit
%(~x, t) = qς (3) (~x − ~y (t))
~j(~x, t) = ~v (t)qς (3) (~x − ~y (t))
Aus Kapitel 1 kennen wir, dass aus
Aµ (x) = µ0 j µ (x) folgt
Z
Aµ (~x, t) = µ0
d3~x0 dt0 Gret (~x − ~x0 , t − t0 )j µ (~x0 , t0 )
qµ0 Z 3 0 0 ς(t − t0 − 1c |~x − ~x0 |) (3)
d ~x dt
· ς (~x − ~y (t0 )) · (c, ~v (t))
0
4π
|~x − ~x |
Z
1
0
ς(t − t − c |~x − ~y (t0 )|)
qµ0
=
dt0
· (c0 , ~v (t0 ))
4π
|~x − ~y (t0 )|
= Aµ (~x, t)
=
Das Feld am Orts-Zeit-Diagramm (~x, t) ist erzeugt durch Teilchen an der Orts-Zeit (~y (t), t).
Sei f (t0 ) = t − t0 − 1c |~x − ~y (t0 )|. Dann erhalten wir:
d f (t0 )
1 (~x − ~y (t0 ))
= −1 − ·
· (−~v (t0 ))
dt
c |~x − ~y (t0 )|
Mit
Definition 5.1.
~ 0 ) = ~x − ~y (t0 ),
R(t
~ 0 ) = 1 ~v (t)
β(t
c
~
0
R(t ) = R(t)
~n(t0 ) =
~ 0)
R(t
~ 0 )
R(t
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
99
5. Anwendungen/Ergänzungen
erhalten wir
d f (t0 )
~ 0)
= −1 + ~n(t0 ) · β(t
dt0
Wichtig auch für später!! Da β~ < 1 ist
~ 0) < 1
~n(t0 ) · β(t
sodass
d f (t0 )
<0
dt0
∀t0
f (t0 ) ist demnach streng monoton fallend, deshalb hat f (t0 ) nur eine Nullstelle bei
t0 = tret . Außerdem wissen wir dadurch, dass f (t0 ) invertierbar ist.
qµ0 Z ∞ 0 ς(f (t0 ))
dt
· (c0 , ~v (t0 ))
⇒ A (~x, t) =
0
4π −∞
R(t )
0
0
z = f (t ) ⇒ t = f −1 (z)
qµ0 Z −∞ dt0 ς(z)
⇒ Aµ (~x, t) =
dz
·
· (c, ~v (t0 ))
4π ∞
dz R(t0 )
qµ0 Z +∞
1
1
=
dz dz ·
· (c, ~v (t0 )) ς(z)
0)
4π −∞
R(t
dt0
µ
|
=
{z
qµ0
(c, ~v (t0 ))
·
~ 0 ) · R(t0 )
4π (1 − ~nt0 ) · β(t
}
t0 =tret
= Aµ (~x, t)
14.01.09
Wie transformiert sich die Energiedichte eines Lichtstrahls?
5.1.1. Energie-Impuls-Tensor
Definition.
1
1
1
T (x) = −
F µα gαβ F νβ − g µν Fδγ F δγ
µ0
4
µν
|
{z
(5.5)
}
Transformationsverhalten bekannt
und mit dem rechten Teil ist auch das Transformationsverhalten des linken Teils bekannt.
• Außerdem ist:
T µν (x) = T νµ (x)
1
fällt hier etwas vom Himmel
100
(5.6)
5.1. Lienard-Wiechert Potential – Das Feld einer Punktladung
Betrachten wir das ganze Komponentenweise
0
B z
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@|
1×1
}|
z
{
}|
1
{
1~
S(~x, t)
c
ω(~x, t)
T =
1×3
Maxwell-Spannungstensor
}|
z
1~
1
S(~x, t) −ε0 Ei Ej − Bi Bj + δij
c {z }
µ
|
3×1
• ω(~x, t) =Energiedichte=
~ x, t) =
• S(~
1 ~
(E
µ0
„
C
C
C
C
C
C
{C
Ž
C
2 C
C
C
C
A
}
~2 B
~
E
ε0
+
2
2
{z
(5.7)
3×3
ε0 ~ 2
E
2
+
1 ~2
B
2µ0
~
× B)
Die Energie- und Impulserhaltung
Siehe auch Kapitel 1
∂ν T µν (x) = F µν (x) · jν (x)
(5.8)
Zur Erinnerung
‡
0
E1
c
0
F µν =
E2
c
E3 ‘
c
B3 −B2
0
B1
usw
(5.9)
weiter gilt:
j ν : (c%, ~j)
jν : (c%, −~j)
(5.10)
(5.11)
Beispiel. Energieerhaltung µ = 0:
3
X
1~ ~
T 0,i = − E
·j
c
i=0
1 ∂
1~ ~
1 ~ ~
⇒ · ω(~x, t) + ∇
· S(~x, t) = − + E
·j
c ∂t
c
c
∂0 T 00 +
⇒
∂
~ · S(~
~ x, t) + E
~ · ~j = 0
ω(~x, t) + ∇
∂t
Beispiel. Impulserhaltung2 : µ = 1, 2, 3
Transformationseigenschaften von T µν (x) folgen aus Transformationseigenschaften
von F µν (x).
T 0µν (x0 ) = Λµ % Λν σ T %σ (x)
(5.12)
Bemerkung. Damit ist die Frage beantwortet.
2
Zum selber rechnen zu Hause
101
5. Anwendungen/Ergänzungen
5.1.2. Beispiel
Gleichförmige Bewegung
~y (t) = ~v t
…
v1 (t)
0
0
~v (t) =

Wie sieht tret aus?
c(t − tret ) = |~x − ~v · tret |
↑ dies ist die zu lösende Gleichung
…
= ~x − ~v ·

ret
{z
}
t − (t − t )
|
τ
↑ dies ist ein kleiner Trick, ⇑ außerdem ist τ > 0, damit die Kausalität erhalten bleibt.
⇔ c2 τ 2 = (x1 − vt − vτ )2 + x22 + x23
⇔ 0 = (c2 − v2) τ 2 + 2(x1 − vt)cτ − ((x1 − vt)2 + x22 + x23 )
È
⇔ τ = (x1 − vt)v +
⇒ τ=
c2 (x1 − vt)2 + (c2 − v 2 ) · (x22 + x23 ) ·
(x1 − vt)v + c%(x)
,
c2 − v 2
È
(x1 − vt)2 + γ −2 (x22 + x23 )
%(x) =
Somit ist:
~ n(tret ))R(tret ) = R(tret ) −β~ · R(t
~ ret )
(1 − β~
|
{z
}
v
= |~x − ~v t| − (x1 −vt
+ vτ})
|
{z
|
{z
}
c
=cτ
=−vtret
1
v
= (c2 − v 2 )τ − (x1 − vt)
c | {z } c
‚
Œ
}|
{
1 z
vt)v + c%(~
vt)v
=
(x
x, t) −
(x
1−
1−
c = %(~x, t)
qµ0 (c, v, 0, 0) c2
Aµ (~x, t) =
·
· 2
4π
%(~x, t)
c
=
102
q 1 (1, v/c, 0, 0)
·
=: Aµ (x)
4πε0 c
%(~x, t)
(c2
1
− v2)
5.1. Lienard-Wiechert Potential – Das Feld einer Punktladung
Bemerkung. Hier Endet der „Hard way – easy way“ Teil...
~ und B-Felder
~
An dieser Stelle fragen wir uns: Wie schauen die E
für eine allgemeine
Bewegung aus?
Aµ (~x, t) =
(c, ~v (tret ))
qµ0
·
~ ret )) · R(tret )
4π 1 − ~n(tret β(t
mit c(t − tret ) = |~x − ~y (tret )| womit tret = tret (~x, t) ist. Nehmen wir unsere „Lieblingsgleichung“ heran:
~ x, t) = −∇Φ(~
~ x, t) − ∂ A(~
~ x, t)
E(~
∂t
~ x, t) = ∇
~ A(~
~ x, t)
B(~
Um die Ableitung durchzuführen braucht man
∂tret (~
x,t)
∂t
∂
1
∂tret
=
1 − |~x − ~y (tret )|
∂t
∂t
c
und auch
∂
t (~x, t).
∂xi ret
Es gilt:
Hier müsse wir drei mal die Kettenregel anwenden! Dadurch erhalten wir
1
1
∂tret
(~x − ~y (tret )) · (−~v (tret ))
c |~x − ~y (tret )|
∂t
~ ret ) · ∂tret = ∂tret
= 1 + ~n(tret ) · β(t
∂t
∂t
=1−
Schließlich erhalten wir für die partielle Ableitung nach der Zeit:
∂tret
1
=
~ ret )
∂t
1 − ~n(tret ) · β(t
(5.13)
Genauso erhalten wir die partielle Ableitung nach dem Ort
∂tret
1
ni (tret )
=− ·
~ ret )
∂xi
c 1 − ~n(tret ) · β(t
(5.14)
20.01.09
Bestimmung von Ei (~x, t)
∂
∂
Φ(~x, t) − Ai (~x, t)
∂xi
∂t
qµ0 ∂
c2
=−
·
~ ret ))R(tret )
4π ∂t (1 − ~u(tret ) · β(t
Ei (~x, t) = −
∂
vi (tret )
+
·
~ ret )) · R(tret )
∂tret (1 − ~u(tret ) · β(t
!
103
5. Anwendungen/Ergänzungen
mit tret = tret (~x, t) . Die enizelnen Schritte kann jeder für sich selbst nachvollziehen, kommen wir zur brauchbaren Lösung:
1 − β2
~
~ x, t) = q ·
⇒ E(~
(~n − β)
~ 3 · R2
2πε0 (1 − ~n · β)
{z
|
}
~ ~v von der Geschwindigkeit
=E
+
q
1
~ × β))
~˙
·
· (~n × ((~n − β)
~ 3·R·c
4πε0 (1 − ~n · β)
|
{z
}
~ ~a von der Beschleunigung
E
~ β~ zur retardierten Zeit tret = t − |~x − ~y (tret )| ·
wobei alle Größen ~n, R,
Analog folgt aus
1
c
zu nehmen sind.
~ x, t) = ∇
~ × A(~
~ x, t)
B(~
~ x, t)
~ x, t) = 1 ~n(~x, tret ) × E(~
⇒ B(~
c
(5.15)
~ =E
~v + E
~ a, E
~ v ∼ 12 , dieser Teil trägt nicht zur Strahlung bei.
Bemerkung.
1. E
R
~ a ∼ β̇ , wobei E
~ a (~x, t)⊥~n(~x, tret )
Das Strahlungsfeld wird beschrieben durch E
R
2. Analog gilt:
~ =B
~v + B
~a
B
mit
~ v = 1 ~n × E
~v
B
c
~ a = 1 ~n × E
~a
B
c
3. Ausgetrahlte Energie
Der Poynting-Vektor ist in diesem Falle gegeben durch:
1 ~
~ a (~x, t)
S~a (~x, t) = E
x, t) × B
a (~
µ0
Energie
und S~a ist die Energiestromdichte= Zeit·Fläche
2
1 ~
⇒ S~a (~x, t) =
Ea (~
x, t) · ~n(~x, tret )
µ0
104
(5.16)
5.1. Lienard-Wiechert Potential – Das Feld einer Punktladung
Frage: Wie sieht die Energie pro Zeiteinheit dt aus, die durch das Flächenelement
~ s in Kugelkoordinaten.
d~s fließt? Wir betrachten Sd~
…
cos ϕ sin θ
sin ϕ sin θ
cos θ
~ =R
R

d~s(tret ) = R2 (tret ) dϕdθ sin θ ~n(tret )
{z
|
}
=dΩ
~ x, t) · d~s(tret ) = dΩ R2 (tret )S(t
~ ret ) · ~n(tret )
⇒ S(~
|
{z
}
Def. d2 E
= dt dΩ
Abgestrahlte Energie pro Zeiteinheit dt
und Flächeneinheit
der Einheitskugel dΩ.
d dE
d
=
·
=
P (t)
dΩ dt
dΩ
2
1
~
x, t)
= R2 (tret ) E
a (~
µ0
d2 E
=
dt dΩ
~ × β))
~˙ 2 q2
(~n × ((~n − β)
dP
⇒
·
=
6
~
dΩ
16π 2 ε0 c
(1 − ~n · β)
(5.17)
t=tret
Spezialfälle:
a) Lineare Beschleunigung
~˙ β~
βk
2
6 ~˙
dP
q2
(~n × (~n × β))
⇒
=
·
~
dΩ
(4π)2 ε0 c (1 − ~n · β)
|
{z
}
=:α
t=tret
mit ~a × (~b × ~c) = ~b · (~a · ~c) − ~c(~a~b)

⇒
‹2
~˙
β
~n β~ 1−
dP
= αβ̇ 2
~ 6
dΩ
(1 − ~nβ)
t=tret
mit
~nβ~ = β cos θ,
˙
β~
˙ ~
~
βkβ ⇒ ~n = cos θ
β~
105
5. Anwendungen/Ergänzungen
sin2 θ
q2
dP
2
=
β̇
⇒
dΩ
16π 2 ε0 c (1 − β cos θ)6
(5.18)
b) Nichtrelativistische Geschwindigkeit (β 1, da v c)
(1 − β cos θ) ∼
=1
dP ∼
⇒
= αβ̇ 2 sin2 θ
dΩ
c) relativistischer Grenzfall (β ≈ 1 aber β < 1)
(1−β cos theta)−6 hat ein scharfes Maximum bei θ = 0. Da kleine Winkel wichtig
sind, könne wir um θ = 0 entwickeln.
γ −2 = 1.β 2 = (1 + β) ·(1 − β) ∼
= (1 − β)
|
{z
∼
=2
}
ˆ
’
z }| {
1
(1 − β cos θ) ∼
= 1 − β 1 − θ2 = (1 − β) ·
2
θ1
β∼
=1
1+
β
·θ2
1−β
Œ
‚
1
∼
θ2 ∼
= (1 − β) · (1 + (γθ)2 )
= (1 − β) · 1 +
2(1 − β)
∼
=γ −2
z
}|
{
θ1
sin2 (θ)
θ2
2
∼
⇒
·
γ
2(1
−
β)
=
(1 − β cos θ)2
(1 − β)6 · (1 + (γθ)2 )6
=
2
1 dP (t)
(γθ)2
·
=
5
2
6
(1 − β) (1 + (γθ) )
dΩ
αβ̇ 2
x = γθ,
f (x) =
(5.20)
(5.21)
x2
(1 + x2 )6
Mit der maximalen Strahlung bei γθm =
(5.19)
(5.22)
√1 .
5
Bemerkung. Bei β → 1 divergiert die abgestrahlte Energie, deswegen ist es unmöglich,
ein geladenes Teilchen auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen!
5.1.3. Synchrotronstrahlung
(Kreisbeschleunigung bei β ≈ 1)
˙ ~
Bemerkung. θm ∼ γ −1 gilt auch wenn β~kβ,
nur is dann die Winkelverteilung auch vom
~
Azimat % und β abhängig. Mit der Abschätzung θm ∼ γ −1 kann man die Synchrotronstrahlung qualitativ verstehen.
106
5.1. Lienard-Wiechert Potential – Das Feld einer Punktladung
…
cos ω0 t
sin ω0 t
0
~y (t) = r

…
˙
~ = ~y (t) = r ω0
β(t)
c
c

− sin ω0 t
cos ω0 t
0
Die Strahlung ist für einen Beobachter in ~x „spürbar“ von ~y (tret (t−∆t)) bis ~y (tret (t+∆t)).
Der Strahlungsimpuls hat für ihn die Dauer
∆T = ∆tret
dt
dtret
mit
∆tret =
∆%
ω0
|{z}
1
∼
= γω
0
und ∆% = θm .
21.01.09
1
1
dt
=
⇒ ∆t ∼
·
=
γω0 dtret
γω0
~
(1 − ~nβ)
|
=
{z
}
1
(1+(γθm )2 )
2γ 2
(siehe Teil über lineare Beschleunigung)
1 1
1
∼
= 2
=
2
γω0 γ
γ ω0
Pulse folgen mit der Periode T = ω2π0 . Der Zeitliche Verlauf F (t) im Punkt ~x, hat daher die
bekannte Pulsform mit Pulsbreite ∆t = γ13 . Wobei sich die Funktion F (t) aus mehreren
ω0
Funktionen fn (t) zusammen setzt, die jeweils nur einen Puls beschreiben.
F (t) =
X
+∞f (t − nT ).
n=−∞
1
fˆ(ω) =
2π
Z +∞
−∞
dtf (t)eiωt
(siehe Mathematik-Vorkurs Kapitel 0) hat die Breite
1
= ω0 γ 3
∆t
⇒ F (t + T ) = F (t)
∆ω =
107
5. Anwendungen/Ergänzungen
Dies ist also eine Fourier-Reihe der Form
F (t) =
X
cn eiω0 nt
n
mit
1ZT
ω0
dt f (t)eiω0 nt ∼
=
T 0
2π
ˆ
= ω0 f (n · ω0 )
Z +∞
cn =
−∞
dtf (t) · eiω0 nt
Da fˆ(n · ω0 ) die Breite ω0 γ 3 hat ist cn 6= 0 bis nω0 ∼
= ω0 γ 3
⇒ nmax ∼
= γ3
(5.23)
Die Synchrotronstrahlung setzt sich zusammen aus diskreten Frequenzen
ω0 , 2ω0 , 3ω0 , . . . , nmax ω0
Beispiel. 1GeV Eltrkonen liefern folgende Werte
• Ekin = γme c2
• me c2 = 0.5M eV
• γ ∼ 2 · 103
• nmax ω0 = ω = c ·
• λ=
r2 π
γ3
2π
λ
≈ 80Åfür r = 10m, 1,5 GeV .
5.2. Lorentz-Kraft
Frage: Wie sieht die nicht-relativistische Lorentz-Kraft aus?
d
~ + ~v × B)
~
F~ = p~ = q(E
dt
(5.24)
mit p~ = m · ~v
Frage: Wie sieht die Lorentz Invariante Form aus, die Gleichung (5.24) im limes
v
1 reproduziert?
c
Relativistische Mechanik und 4-er-Impuls pµ
Betrachten wir wieder unser Raum-Zeit-diagramm mit einer Weltlinie. Ein Punkt auf der
Weltlinie sei beschrieben durch
xµ =: (x0 (λ), ~x(λ))
108
5.2. Lorentz-Kraft
das Wegelement ds mit
ds2 = dxµ gµν dxν = (dx0 )2 −
3
X
(dxi )2
i
ist ein Lorentz-Skalar und ist positiv, da v < c ist. Damit erhalten wir
⇒ ds =
È
dxµ gµν xν
ds ist reell und ist das Lorentz-Skalar
Definition.
ds
c
dτ =
ist Lorentz-Invariant, da ds und c Lorentz-Invariant sind.
c2 dt2 −
2
dτ =
‚
P3
i=1 (dx
2
c
i 2
)
1
= 1− 2
c
Œ
3
X
!
dxi
dt2
2
dt
i=1
~v 2
= 1 − 2 dt2 = γ −3 dt2
c
mit ~v =
d~
x
dt
erhalten wir
⇒ dτ =
dt
,
γ
wobei τ die Eigenzeit ist
die 4-er Geschwindigkeit
uµ =
dxµ
dτ
uµ transformiert sich wie ein kontraviarianter 4-er Vektor, da dτ ein Lorentz-Skalar ist.
uµ =: γ
d
(ct, ~x) = γ(c, ~v )
dt
u µ u µ = c2
4-er Impuls
pµ = m · uµ
(5.25)
mit Masse m ist Lorentz-Invariant. pµ transformiert sich wie ein kontravarianter 4-er
Vektor
pµ pµ = m2 c2
Bemerkung. Vorischt ist geboten, denn bei einigen Büchern ist die Masse m in γ mit
eingearbeitet, was aber zu einer geschwindigkeitsabhängigen Ruhemasse führt!!!
109
5. Anwendungen/Ergänzungen
Lorentz-Kraft
Betrachten wir nun
„
F µν uν =: −γ
~ · ~v
E
~ + ~v × B
~
.E
c
Ž
.
Relativistische Formulierung der Lorentz-Kraft
d µ
p = −qF µν uν ,
dt
da
1. Forminvariant unter Lorentz-Transformation
√
2. für µ = 1, 2, 3 gilt
d
γ (
dt
~ + ~v × B)
~
) = g
γ(E
γm~v
| {z }
relativistischer
Impuls
im nicht relativistischen Grenzfall (also γ ∼ 1) gilt also
d
~ + ~v × B)
~
m~v = q(E
dt
√
3. Zusätzliche Gleichung µ = 0
~ · ~v
E
d 0
p = qγ
dt
c
~ · ~v
d
E
⇔
γ (mγc) = q
γ
dt
c
d
~v
⇒ (mγc2 ) = q · E~
dt
~ · ~v = ist die Leistung der Lorentz-Kraft (F~ d~x ).
q·E
dt
⇒ Ekin
⇒ γmc2 = Ekin
1
2
=
2 mc
1 − vc2
mv 2
(v/x)1
= mc2 +
+ ...
2
Beispiel. 4-Impuls ist eine Erhaltungsgröße.
Ptotal =
n
X
i=1
110
m
! X 0
pm
i=1
pi =
5.3. Wellenleiter
Am Anfang haben wir ein Teilchen mit Masse M und ~v = 0, das heißt, der 4-er Impuls
am Anfang ist
pµ = (M · c, ~0)
am Ende haben wir zwei Teilchen mit den Massen m1 und m2 mit m1 = m2 und den
Geschwindigkeiten −~v1 = ~v2 . Damit haben wir einen Endimpuls von:
…

2m · c ~
,0
2
1 − vc2
Pµ =
q
s
⇒ 2m = M ·
1−
|
{z
v2
<M
c2}
<1
5.3. Wellenleiter
Vertretung Prof Reents
27.01.09
5.3.1. Zylindrischer Hohlleiter
Wir betrachten einen Zylinder um die z Achse, dessen Oberfläche ein idealer Leiter ist.
Der Querschnitt ist beliebig und unabhängig von z.
~ = εE,
~
D
~ = 1B
~
H
µ
%=0
~j = 0
~ ·E
~ = 0,
~ ·B
~ =0
∇
∇
~
~ ×B
~ = εµ ∂ E~
~ ×E
~ = − ∂B , ∇
∇
∂t
∂t
(5.26)
Die Randbedingungen
~ tang ≡ ~n × E
~ = 0
E
S
S
und
~ = 0
Bnormal = ~n · B
S
S
Aus Formel (5.24) folgt:
‚
∂2
⇒ ∆ − εµ 2
∂t
Œ
~
E
=0
~
B
111
5. Anwendungen/Ergänzungen
Ansatz:
8
)
<~
~
E(x, y)e±ikz−iωt
E(x,
y, z, t)
=
~
:B(x,
~
B(x,
y, z, t)
y)e±ikz−iωt
~ = iω B
~
⇒ ∇×
~ ×B
~ = −iεω E
~
∇
(5.27)
und
~
~ (2) + εµω 2 − k 2 E(x, y) = 0
∆
~
B(x,
y)
(5.28)
~
~
Zerlegung von E(x,
y) und B(x,
y) in z Anteile (longitudinale Komponente) und Transversalteil:
~ =E
~t + E
~z
E
~ z = ~ez Ez = ~ez (~ez · E)
~ und E
~t = E
~ −E
~ z . Analog erhält man
mit E
~ =B
~z + B
~ z,
B
…
~ =∇
~t+∇
~z =
∇
∂ 
∂x
∂
∂y
…
+
0
0

∂
∂z
0
Nebenrechung (Zerlegung von Vektorgleichungen in Transversal- und Longitudinalanteil):
~a = ~a − ~ez (~ez · ~a) + ~ez (~ez · ~a)
{z
|
}
|
{z
=~at
}
~az
= ~ez × (~a × ~ez ) + ~az
außerdem gilt
8
8
~ez · ~a = ~ez · ~b
~a = ~b ⇔ :
~e×~a = ~ez × ~b
<
~ez · ~az = ~ez · ~bz
:~
ez × ~at = ~ez × ~bt
<
⇔
~a × ~b = (~at + ~az ) × (~bt + ~bz )
= ~at × ~bt + ~at × ~bz + ~az × ~bt + ~az × ~bz
|
{z
}
|
{z
∝ez
}
|
{z
}
=0
transversal
Anwendung auf Formel (5.27) liefert:
~ ×E
~ =∇
~t×E
~ +∇
~t×E
~z + ∇
~z ×E
~ t = iω(B
~t + B
~ z)
∇
|
{z
∝~ez
~t×E
~ t ) = iωBz
⇔ ~ez (∇
112
}
|
{z
transversal
}
5.3. Wellenleiter
und
~t×E
~ z ) + ~ez × (∇
~z ×E
~ t ) = iω~ez × B
~t
~ez × (∇
{z
|
~ tE
~ t −(~
=∇
ez
|
}
~ t ) E~ z
·∇
{z
=0
}
{z
|
~ z (~
=∇
ez
|
}
~ t ) − ∂ E~ z
·E
∂z
{z
}
=0
(hier kommen wichtige Formel)
⇒
∂ ~
~t = ∇
~ tE
~z
Et + iω~ez × B
∂z
(5.29)
und
~t×E
~ t = iω~ez~ez Bz
∇
∂ ~
~ t Bz
Bt − iεµω~ez × ~et = ∇
∂z
(5.30)
(5.31)
und
~t×B
~ t = −iεµω~ez Ez
∇
~t·E
~ t = − ∂Ez
∇
∂z
(5.32)
(5.33)
und
~t·B
~ t = − ∂Bz
∇
∂z
(5.34)
mit den obigen Formeln und der folgenden
8
8
∂
∂z
~t
E
:B
~t
<
<
= ±ik :
~t
E
~t
B
(5.35)
erhalten wir folgende Gleichung:
~ t + iω~ez × B
~t = ∇
~ t Ez
±ik E
~ t − iεµω~ez × E
~t = ∇
~ t Bz
±ik B
)
(5.36)
8
~ t (εµω 2 − k 2 ) = i(±∇
~ t Ez − ω~ez × ∇
~ t Bz )
E
:E
~ t (εµω 2 − k 2 ) = i(±∇
~ tE
~ z − ω~ez × ∇
~ t Bz )Bt (εµω 2 − k 2 ) = i(±k ∇
~ t Bz + εµω E
~z × ∇
~ t Ez )
<
(5.37)
~t×E
~ t = iω~ez Bz
∇
~t·E
~ t = − ∂Ez
∇
∂z
(5.38)
~ t und B
~ z lassen sich die transversalen Komponenten herleiten
Aus E
113
5. Anwendungen/Ergänzungen
5.3.2. Die Verschiedenen speziellen Moden
Die T EM - mode
Definition. T EM -Mode:
~ T EM
T EM heißt soviel wie Transversal ElektroMagnetisch. Dies ist gleichbedeutend mit E
~ zT EM ≡ 0.
~ T EM sind rein transversal, was soviel bedeutet, wie E
~ zT EM ≡ 0 und B
als auch B
Konsequenz hieraus ist, dass mit Gleichung (5.38)
~t×E
~ tT EM und
• ∇
~t·E
~ T EM ;
• ∇
t
~ tT EM .)
• (analog für B
folgt, es gibt:
~ t ≡ 0, Aber: Beim Koaxialkabel sind nicht triviale T EM a) Äquipotentialflächen ⇒ E
Moden möglich!
√
b) Aus Gleichung (5.37) erhalten wir k = ω εµ reell, was bedeutet, dass die Welle
ungedämpft für alle Frequenzen Ω ist
~ T EM = ±√εµ~ez × E
~ T EM wie bei einer ebenen Welle in ~ez Richtung im unendlich
c) B
t
t
ausgedehnten Medium ε, µ
~ t T EM = −∇
~ t Ψ(x, y),
~t ×E
~ T EM = 0 folgern wir E
~t ·E
~ T EM = 0 und ∇
d) Wegen ∇
t
t
(2)
∆ Ψ = 0, Ψ|s = 0. Zum Beispiel das Koaxialkabel in 5.3.3
Die T M -Moden und die T E-Moden
Randbedingungen:
~ tang = 0 = ~n × E
~ ⇒ Ez = 0
E
S
S
~ t Bz ≡ ∂Bz = 0
~n · ∇
S
∂n S ~ Bnormal = 0 = |{z}
~nB
S
S
S
(5.39)
(5.40)
(5.41)
~t
=~
nB
Umformen mit Formel (5.36) liefert:
~ t)
~ t −iεµω ~n(~ez × E
±ik~nB
|
{z
=0
S
}
|
{z
}
~ t ) =0
=−~ez ·(~
n×E
~ t Bz = ~n · ∇
S
(5.42)
S
28.01.09
Bemerkung. Es kann nur in einem Innenleiter die Translation und die Divergenz gleich
Null sein!
114
5.3. Wellenleiter
Aus den Wellengleichungen
∆(2) Ez = −γ 2 Ez
und
∆(2) Bz = −γ 2 Bz
erhalten wir
γ 2 = εµω 2 − k 2
und außerdem gelten (5.39) sowie
(5.40) Dies impliziert ein Eigenwertproblem: ⇒ γ =
È
γλ > 0 ist diskret ⇒ k = kλ = εµω 2 − γλ2 .
√ È
λ
Definition. ωλ = √γεµ
= Grenzfrequenz, denn kλ = εµ ω 2 − ωλ2 , das heißt für ω <
ωλ ⇒ kλ ist rein imaginär und das wiederum bedeutet, wir haben hier eine exponentielle
Dämpfung in Richtung z Nur Wellen mit ω > ωλ pflanzen sich fort.
Die T M Moden
Definition. T M heißt soviel wie TransversalMagnetisch, dies impliziert Bz = 0
~ tT M = ± ik ∇
~ tE
~z.
E
und (∆(2) + γ 2 )Et = 0 ⇒ Ez = 0
2
S
γ
~ t T M = iεµω ~ez × ∇
~ t Ez = ± εµω ~ez × E
~ tT M
B
2
γ
k
Die T E Moden
Definition. T E bedeutet soviel wie TransversalElektrisch und impliziert Ez = 0
~ t Bz
~ t = ± ik ∇
B
γ2
~ t = −iω ~ez × ∇
~ t Bz = ∓ ω ~ez × B
~ t ⇒ (∆(2) + γ 2 )Bz = 0 ⇒ ∂Bz = 0
E
γ
k
∂n S
5.3.3. Beispiele
Beispiel 1: der rechteckige Hohlleiter
Wir betrachten einen rechteckigen Hohlleiter dessen eine Ecke im…Koordinatenursprung

a
liegt und die am weitesten vom Ursprung entfernteste mit p~ = b beschrieben ist3 .
c
Außerdem gilt: a > b.
3
c die Länge in z Richtung ist, die gegen unendlich ist
115
5. Anwendungen/Ergänzungen
Die T E-Wellen ist beschrieben durch
Ez = 0
Ψ(x, y) : = Bz (x, y)
(∆(2) + γ 2 )Ψ = 0,
wobei
∂2
∂x2
+
∂2
,
∂y 2
sowie
∂Ψ ∂n S
= 0. Damit folgt:
mπx
nπy
cos
;
a
b
‚
Œ
2
n2
2 m
2
π
.
γ 2 = γmn
·
+
|{z}
a2
b2
⇒ Ψ(x, y) = Ψmn = B0 cos
???
Die niedrigste Grenzfrequenz folgt aus m = 1, n = 0 mit γmin = γ1,0 =
Dies liegt in etwa in der Größenordnung von ≈ 10GHz
πx i(kz−ωt)
e
⇒ Bz = B0 cos
a
a
πx
Bx = − ik sin
B0 ei(kz−ωt) ;
π
a
By ≡ 0
πx
a
B0 ei(kz−ωt) ,
Ey = iω sin
π
a
Ex ≡ 0
q
mit k = k1,0 =
εµω 2 −
π2 2
.
a
Diese Mode heißt T E1,0 -Welle
Die T M -Welle im Rechteck ist beschrieben durch
Bz ≡ 0
ϕ = 0
S
mπx
nπy
= E0 sin
sin
a
b
ϕ(x, y) = Ez (x, y)
⇒ ϕ = ϕmn
mit m, n = 1, 2, . . .
‚
2
γmn
=π
2
γmin = γ1,1
Œ
m2 m2
+ 2 ;
a2
b
Ê
1
1
= π 2 + 2 > γ1,0
a
b
Hier ist demnach die Grenzfrequenz beschrieben durch:
ω1,1
116
π
=√
εµ
Ê
1
1
+ 2
2
a
b
π
a
⇒ ω1,0 =
√π .
a εµ
5.3. Wellenleiter
5.3.4. Beispiel 2: der zylindrischer Hohlleiter (kreisförmig)
Bemerkung. Die Neumann’sche Lösung kann man hier nicht gebrauchen, da wir keine
singulären Ursprung betrachten.
1 ∂2
∂2
1 ∂
+
∆ = 2+
∂%
% ∂% %2 ∂ϕ2
∆(2) Ψ = −γ 2 Ψ;
Ψ = Ψ(%, ϕ) = f (%φ(ϕ)
(2)
⇒ φ(ϕ) = einϕ
mit n ∈ Z und
‚
Œ
n2
1
f + f 0 γ2 − 2 = 0
%
%
⇒ f (%) = Jn (γ, %)
00
Ψ(%, ϕ) = Jn (γ, %)einϕ
mit den Randbedingungen:
Ψ(R, ϕ) = 0 ⇒ Jn (γ, R) = 0 ⇒ γ = γnl =
αnl
R
mit αnl = l-te Nullstelle von Jn . (Randbedingungen sind hier abgeschlossen)

⇒ Ψ = Jn
% ‹ inϕ
αnl
e
R
Damit erhalten wir die Grenzfrequenz aus γmin = γ1,0 ∼
=
2,4
R
und damit folgt ω0,1 ∼
=
2,4
√
R εµ
Bemerkung. Die T M Welle bedingt also Bz ≡ 0 und Ez 6= 0, hingegen. Die T E-Welle
bedingt
Bz = B0 Jn (γ̃, %)einϕ ,
Jn0 (γ̃, R) = 0
βnl
⇒ γ̃ =
R
mit βnl l-te Nullstelle von Jn0 (x). Also hat die T M -Welle eine etwas niedrigere Grenzfrequenz.
117
5. Anwendungen/Ergänzungen
Der Koaxialleiter
~t×E
~ t = 0, ∇
~t·E
~ t = 0, sowie
Für dei T EM -Moden muss gelten: Ez ≡ 0, Bz ≡ 0 ⇒ ∇
∆(2) Φ = 0. Damit erhalten wir:
Φ = Φ(%, ϕ)
Φ(R, ϕ) = c1
Φ(r, ϕ) = c2
wenn R 6= r folgt c1 6= c2 . Plausibel ist Φ = Φ(%) ⇒ Φ00 + %1 Φ0 = 0. Damit erhalten wir
⇒ Φ(%) = a1 ln % + a2
~ T EM (%, ϕ) = E0~e% 1
⇒E
t
%
~ tT EM (%, ϕ) = ±~et × E
~ tT EM = ±E0~eϕ 1
B
%
√
in ei(kz−ωt) ist k = ω εµ real für alle ω, das heißt ωc = 0. Für höhere Moden erhalten wir:
a1 J0 (γ, %) + a2 N0 (γ, %)
wobei das γ so gewählt sein muss, dass es γ = 0 ist für den einen Radius und γ = const
für den anderen Radius.
118
A. Bedeutung der Eigenzeit
x0µ = Λµ ν xν
‡
‘
γ
−βγ 0 0
−βγ
γ
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
Λµ ν =:
‡
‚
‘
γ
−βγ 0 0
−βγ
γ
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
Œ
c dt0
=
d~x0
‚
c dt
·
d~x
Œ
⇒ c dt0 = γc dt − βγd~x0
dt0
1 d~x0
= γ − βγ
dt
c |{z}
dt
v
‚
v2
=γ 1− 2
c
⇒ dt0 =
Œ
= γ −1
dt
γ
Bemerkung. Die Masse und die Lichtgeschwindigkeit sind invariant unter Lorentz- Transformationen. Sie sind sog. Lorentz-Skalare
119
B. Compton-Effekt
Bemerkung. Dies geht schon in den Bereich der Quantenmechanik-Vorlesung
B.1. Compton Streuung:
Wir halten fest: Ein Teilchen hat eine Energie E und einen Impuls p~, definiert durch:
ω = c · ~k E = ~ω,
p~ = ~~k.
B.1.1. Beschreibung durch die 4-er Impulserhaltung
‚
E
c
p~
Œ
!
0!
!
~ω 1c
me c ! ~ ωc
=
= ~0 +
+ ~
0
~~k
~k
|
{z
}
|
vor d. Stoß
2
λ − λ = 4π λ̄ sin
mit λ̄c =
120
~
me c
!
{z
}
p02 + m2e c2
p~0
nach d. Stoß
‚
0
È
θ
2
Œ
C. Die Maxwell-Gleichung in
Integralform
I
I
~ A
~ = Qs
Ed
S
ε0
~ ~l = µ0 · IS + µ0 ε0 ∂ ΦE,S
Bd
∂S
∂t
I
~ A
~=0
Bd
(C.1)
(C.2)
(C.3)
S
Z
~ ~l = ∂ΦB,S
Ed
∂S
∂t
(C.4)
121
D. Maxwell-Gleichung in
unterschiedlichen
Einheitensystemen
mks
~ ·E
~ = %
∇
ε0
Z
%~r
1
~ =
E
dV
4πε0„ |r|3
Ž
~
∂
E
~ ×B
~ = µ0 ~j + ε0
∇
∂t
„
Ž
Z
~
~ = µ0
~j + ε0 ∂ E × ~r dV
B
4π
∂t
|r|3
~ ·B
~ =0
∇
~
~ = − ∂B
~ ×E
∇
∂t
~
~
~
F = e(E + v × B)
~ ·∇
~ ×A
~
B
~
~ = −∇Φ − ∂ A
E
∂t
∂%
~
~
=0
∇·j+
∂t
~ ·A
~ + 1 ∂Φ = 0
∇
c2 ∂t
122
Gauss (egs)
~ ·E
~ = 4π%
∇
Z
%~r
E=
dV
|r|3
~
~ ×B
~ = 4π~j + 1 · ∂ E
∇
cŽ ∂t
„
Z
~
~ =
~j + 1 · ∂ E × ~r dV
B
4πc ∂t
|r|3
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
c·∇
∂t ‹

~
~ + v ×B
F~ = e E
c
~ =∇
~ ×A
~
B
~
~ − ∇Φ
~ − 1 · ∂A
E
c ∂t
1 ∂%
~
~
=0
∇·j+
c ∂t
~ ·A
~ + 1 ∂Φ = 0
∇
c ∂t
rationalisierte
„natürliche“ Einheiten
c=~=1
~ ·E
~ =%
∇
1 Z %~r
E=
dV
4π |r|3
~
~ ×B
~ = ~j + ∂ E
∇
∂t
„
Ž
Z
~
~ =
~j + ∂ E × ~r dV
B
∂t
|r|3
~ ·B
~ =0
∇
~
~ = − ∂B
~ ×E
∇
∂t
~
~
~
F = e(E + v × B)
~ =∇
~ ×A
~
B
~
~ = −∇Φ
~ − ∂A
E
∂t
∂%
~
~
=0
∇·j+
∂t
~ ·A
~ + ∂Φ = 0
∇
∂t
E. Felder und Quellen im SI -System
elektrisch
Im Vakuum
(keine bevorzugte
Richtung)
Medium
(bevorzugte Richtungen
vorhanden)
Inaccessible Source defined from auxilliary
function
Definition von
magnet. und dieelektr.
Suszeptibilität
Feldgleichung im
Medium
magnetisch
„
~ ·E
~ = %/ε0
∇
~ ×B
~ = µ0
∇
~
~j + ε0 ∂ E
∂t
„
~ ·E
~ = 1 (% + %P )
∇
ε0
~ ×B
~ = µ0 ~j + ~jM
∇
Ž
~
∂E
+ ~jP + ε0
∂t
„
~E
~ = 1 (% + (−∇
~ · P~ ))
∇
ε0
~ ×B
~ = µ0
∇
Ž
~
~
~ ×M
~ + ∂ P + ε0 ∂ E
~j + ∇
∂t
∂t
~ = ε0 E
~ − (−P~ )
D
~ −M
~
~ = 1B
H
µ0
~ ·D
~ =%
∇
~
~ ×H
~ = ~j + ∂ D
∇
∂t
123
Ž
F. Vektor- und Tensoroperationen
F.1. Vektorrechnung
Seien {~ei } eine Basis und ~a, ~b, ~c und d~ beliebige Vektoren: Wir definieren das
Skalarprodukt: Mit 0 ≤ θ ≤ π gilt:
~ · ~b =
A
X
ai bj (~ei · ~ej ) = ~b · ~a = |~a| · ~b · cos θ.
(F.1)
i,j
Vektorprodukt: Mit 0 ≤ θ ≤ π gilt:
~a × ~b =
X
ai bj (~ei × ej ),
~a × ~b = |~a| · ~b sin θ.
(F.2)
i,j
Einheitsvektoren:
(~ei · ~ej ) = δij
(~ei × ~ej ) =
X
(F.3)
εijk~ek
(F.4)
k
8
>
>
<
εijk
1
ijk gerade Permutation von 123
= >−1 ijk ungerade Permutation von 123
>
:
0
bei zwei oder mehr gleichen Indizes
(F.5)
Rechenregeln:
~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b)
~a × (~b × ~c) = ~b · (~a · ~c) − ~c · (~a · ~b)
~ = (~a · ~c) · (~b · d)
~ − (~b · ~c) · (~a · d)
~ = ~a · [~b × (~c × d)]
~
(~a × ~b) · (~c × d)
(F.6)
(F.7)
(F.8)
~
Spezieller ~a = ~c und ~b = d:
(~a × ~b)2 = ~a2~b2 − (~a · ~b)2
(F.9)
damit folgt die Schwarz’sche Ungleichung für Vektoren:
(~a · ~b)2 ≤ ~a2 · ~b2
(F.10)
kommen wir zur Jacobi-Identität:
0 = ~a × (~b × ~c) + ~b × (~a × ~c) + ~c × (~a × ~b)
124
(F.11)
F.2. Differentialoperatoren
F.2. Differentialoperatoren
Es sind hier U (~x), Φ(~x), Ψ(~x) und ϕ(~x) beliebige skalare Felder:
~ =
∇
X
~ej ∂i =
X
i
i
∂
∂xi
∂U
~ei
i ∂xi
X ∂a
i
~ · ~a(~x) =
∇
i ∂xi
~ (~x) =
∇U
~ × ~a(~x) =
∇
Nabla-Operator
(F.12)
Gradient
(F.13)
Divergenz
(F.14)
Rotation
(F.15)
Laplace-Operator
(F.16)
d’Alambert-Operator
(F.17)
X
X
1
∂
∂x1
~e
∂i aj (~ei × ~ej ) =
i,j
~e2
∂
∂x2
a1
~ ·∇
~ =
∆=∇
X
i
=∆−
a2
~e3 ∂ ∂x3 a3
2
X
∂
∂i2
=
2
∂xi
i
1 ∂2
·
c2 ∂t2
F.3. Integralformeln
~
Für ein Volumen V das von einer geschlossenen Oberfläche ∂V begrenzt wird (wobei dS
nach außen gerichtet ist), gilt:
Z
Z
~
(~a, U, ~a×)dS
~ a, ∇
~ × U, ∇
~ × ~a)dV =
(∇~
Gauß’scher Satz
∂V
V
(F.18)
Außerdem gibt es noch die 1. Green’sche Formel
Z
Z
h
~ ∇Ψ)dV
~
∇(Φ
=
V
Z
i
~
~
(∇Φ)
· (∇Ψ)
+ Φ∆Ψ dV
V
=
Φ
∂V
∂Ψ ~ Z
~ · dS),
~
dS =
Φ(∇Ψ
∂V
∂n
(F.19)
(F.20)
sowie die 2. Green’sche Formel
Z
‚
Z
(Φ∆Ψ − Ψ∆Φ)dV =
V
∂V
Œ
∂Ψ
∂Φ
~
−Ψ
dS
Φ
∂n
∂n
(F.21)
Für eine offene Fläche S mit geschlossener Randkurve C gilt der Stokes’scher Satz, der
besagt:
Z
I
~ × ~a)dS
~=
(∇
S
~a · d~r,
(F.22)
U d~r
(F.23)
C
sowie
Z
I
~ × ∇U
~ =
dS
S
C
125
F. Vektor- und Tensoroperationen
F.4. Rechenregeln für die Differentialoperatoren
~
~ + ∇Ψ
~
∇(Φ
+ Ψ) = ∇Φ
~ a + ~b) = ∇~
~a+∇
~ ~b
∇(~
~ × (~a + ~b) = ∇
~ × ~a + ∇
~ × ~b
∇
~
~ + Ψ∇Φ
~
∇(ΦΨ)
= Φ∇Ψ
~ aΦ) = Φ∇
~ · ~a + ~a · ∇Φ
~
∇(~
~ × (~aΦ) = Φ∇
~ × ~a + ∇Φ
~ × ~a
∇
~ · (~a × ~b) = ~b(∇
~ × ~a) − ~a · (∇
~ × ~b)
∇
~ × (~a × ~b) = (~b · ∇)~
~ a − (~a · ∇)
~ ~b + ~a(∇
~ · ~b) − ~b(∇
~ · ~a)
∇
~ a · ~b) = (~b · ∇)~
~ a + (~a · ∇)
~ ~b + ~a × (∇
~ × ~b) + ~b × (∇
~ × ~a)
∇(~
~ × ∇Φ
~ =0
∇
~ · ∇Φ
~ = ∇2 Φ = ∆Φ
∇
~ · (∇
~ × ~a) = 0
∇
(F.25)
(F.26)
(F.27)
(F.28)
(F.29)
(F.30)
(F.31)
(F.32)
(F.33)
(F.34)
(F.35)
~ × (∇
~ × ~a) = ∇(
~ ∇
~ · ~a) − ∆~a
∇
~ a · ~b) = ~a · (~c · ∇)
~ ~b + ~b · (~c · ∇)~
~ a
(~c · ∇)(~
(F.36)
~ a × ~b) = ~a × (~c · ∇)
~ ~b − ~b × (~c · ∇)~
~ a
(~c · ∇)(~
~ · ~a)~b = ~b(∇
~ · ~a) + (~a · ∇)
~ ~b
(∇
(F.38)
~ × ~c) = ~b · (~a · ∇)~
~ c − ~a · (~b · ∇)~
~ c
(~a × ~b) · (∇
~ × ~b = (~a · ∇)
~ ~b + ~a × (∇
~ × ~b) − ~a(∇
~ · ~b)
(~a × ∇)
~ × ~a) × ~b = ~a(∇
~ · ~b) − (~a · ∇)
~ ~b − ~a × (∇
~ × ~b) − ~b × (∇
~ × ~a)
(∇
126
(F.24)
(F.37)
(F.39)
(F.40)
(F.41)
(F.42)
F.4. Rechenregeln für die Differentialoperatoren
Für einen beliebigen Vektor ~r (mit |~r| = r) und konstante Vektoren ~a und ~b gilt:
~ r = ~a
~ · ~r = 2 ,
(~a · ∇)~
∇
r
r
~ × ~r = 0,
~ × ~r = 0
∇
∇
r
~
r
~
r
1
~ ·
~ = ,
∇
für r 6= 0
∇r
= −∆ = 0
3
r
r
r
~ · (~a · ~r)~b = ~a · ~b,
~ × (~a · ~r)~b = ~a × ~b
∇
∇
~ · (~a · ~r)~r = 4(~a · ~r),
~ × (~a · ~r)~r = ~a × ~r
∇
∇
~ · (~a × ~r) = 0,
~ × (~a × ~r) = 2~a
∇
∇
~ · ~r = 3,
∇
~r
~
∇Φ(r)
= Φ0 (r) ,
r
~ · Φ(r)~r = 3Φ(r) + rΦ0 (r),
∇
~r
~
(~a · ∇)Φ(r)~
r = Φ(r)~a + (~a · ~r)Φ0 (r)
r
~ × Φ(r)(~a × ~r) = (2Φ(r) + rΦ0 (r))~a − ~r (~a · ~r)Φ0 (r)
∇
r
~
∇ · Φ(r)(~a × ~r) = 0
~ · ~r × (~a × ~r) = −2(~a · ~r)
∇
~ × (~r × (~a × ~r)) = 3(~r × ~a)
∇
(F.43)
(F.44)
(F.45)
(F.46)
(F.47)
(F.48)
~ × Φ(r)~r = 0 (F.49)
∇
(F.50)
(F.51)
(F.52)
(F.53)
(F.54)
~0
~ ~x 1 = − ~x − x ∇
3
~
x − x~0 ~
x − x~0 (F.55)
1
= −4πς(~
∆~x x − x~0 )
~
x − x~0 (F.56)
127
G. Koordinatensysteme
G.1. Zylinderkoordinaten
…
Hier gilt
x
y
z

…
→
%
ϕ
z

und damit weiter gehend:
x = % cos ϕ
x = % sin ϕ
z=z
ds2 = d%2 + %2 dϕ2 + dz 2
(G.1)
(G.2)
(G.3)
(G.4)
mit der Jacobi-Determinante:
J =%
(G.5)
Damit folgt hier:
… ∂Ψ 
~ =
∇Ψ
∂%
1 ∂Ψ
% ∂ϕ
∂Ψ
∂z
(G.6)
~ ·A
~ = 1 ∂ (%A1 ) + 1 ∂A2 + ∂A3
∇
% ∂%
% ∂ϕ
∂z
†

1 ∂A3
∂A2
− ∂z
% ∂ϕ
∂A
1
3
~ ×A
~=
− ∂A
∇
∂z
∂%
1
∂
∂A1
(%A
)
−
2
% ∂%
∂ϕ
‚
(G.7)
(G.8)
Œ
2
2
~ = 1 ∂ % ∂Ψ + 1 ∂ Ψ + ∂ Ψ
∇Ψ
% ∂%
∂%
%2 ∂ϕ2
∂z 2
(G.9)
G.2. Kugelkoordinaten
…
Es gilt hier:
x
y
z

…
→

r
ϑ , und daraus folgt:
ϕ
x = r sin ϑ cos ϕ
y = r sin ϑ sin ϕ
z = r cos ϑ
ds2 = dr2 + r2 sin2 ϑdϕ2 + r2 dϑ2
128
(G.10)
(G.11)
(G.12)
(G.13)
G.2. Kugelkoordinaten
mit der Jacobi-Determinante:
J = r2 sin ϑ
(G.14)
Damit ergibt sich weiter:
…
~ = ~e1 ∂Ψ + ~e2 1 ∂Ψ + ~e3 1 ∂Ψ =
Ψ
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ

∂Ψ
∂r
1 ∂Ψ
r ∂ϑ
1 ∂Ψ
r sin ϑ ∂ϕ
~ ·A
~ = 1 ∂ (r2 A1 ) + 1 · ∂ (sin ϑA2 ) + 1 ∂A3
∇
r2 ∂r
r sin ϑ ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
†
~A
~=
∇
h
(G.16)
i
1
∂
2
(sin ϑA3 ) − ∂A
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϕ
1
∂
· ∂A1 − 1r · ∂r
(rA3 )
r sin ϑ ” ∂ϕ
—
1 ∂
∂A1
(rA
)
−
2
r ∂r
∂ϑ
‚
(G.15)
Œ
(G.17)
‚
Œ
1 ∂
∂ 2Ψ
1
∂
∂Ψ
1
2
2 ∂Ψ
~
∇ Ψ= 2
·
r
+ 2
sin ϑ
+ 2 2 ·
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2
(G.18)
wobei hier die Identität
‚
∂Ψ
1 ∂
r2
2
r ∂r
∂r
Œ
≡
1 ∂2
(rΨ)
r ∂r2
(G.19)
zu beachten ist!
129
Index
SO(3), 81
T EM -Mode, 114
T E1,0 -Welle, 116
ς-Funktion, 7
Äther, 82
1. Green’sche Formel, 125
2. Green’sche Formel, 125
4-Stromdichte, 56
adiabatische Einschalten, 33
Ampère, 31
Ampere-Gesetz, 17
Böhm, 95
Beugungsgleichung, 79
Biot-Savart-Gesetz, 23
Boost, 86
Brechungsindex, 65
Brewster-Winkel, 67
Coulomb-Eichung, 47
Coulomb-Gesetz, 19
Coulombkraft, 18
d’Alambert-Operator, 48, 96, 125
Die Einstein’schen Postulate, 82
Dielektrika, 56
Dielektrische Verschiebung, 61
Dielektrizitätskonstante, 17
Differentialoperatoren, 125
Dipol, 22
Dipol-Beitrag, 27
Dipolmoment, 22
Dirac-ς-Funktion, 7, 19
Dirichlet-Funktion des Halbraumes, 71
Dirichlet-Integral, 9
Dirichlet-Randbedingungen, 71
Distribution, 7
Divergenz, 12, 125
Drehmatrix, 79
130
ebenen Welle, 43
Eigenzeit, 83, 109
Einheitskugel, 105
Einheitsvektoren, 124
elektrische Felder, 17
Ellipse, 44
elliptische Polarisation, 44
Energiedichte, 33, 101
Energiedichte des Magnetfeldes, 33
Energieerhaltung, 38
Energiestromdichte, 104
erste Green’sche Identität, 68
Faraday’sche Gesetz, 31
Faraday’scher Käfig, 69
Faraday’sches Gesetz, 17
Feld, mittleres, 57
Felder, elektrische, 17
first Green Identity, 68
fluktuieren, 56
Forminvariant unter Lorentz-Transformation,
95
Fourier-Analyse, 42
Fourier-transformierbar, 9
Fouriertransformation, 10
freie Flächenladungsdichte, 63
Freie Ladungsdichte, 58
Galilei-Transformation, 79
Gauß, 13, 17, 25, 31
Gauß’scher Satz, 125
Gauß’sches Gesetz, 17
glatte Funktion, 57
Gleichzeitigkeit, 88
Gradient, 125
Gradientenfeld, 12
Green, 68
Green’sche Funktion, 49, 70
Green’sche Identität, 1., 68
Index
Green’sche Identität, 2., 71
Grenzfrequenz, 115
Heaviside-Funktion, 6
Hertz, 41
homogene Maxwell-Gleichung, 94
Impulserhaltung, 40
Inertialsystem, 79
inhomogenen Wellen-Gleichung, 49
Integralformeln, 125
Invarianz, 85
Jackson, 62
Jacobi-Determinante, 128, 129
Jacobi-Identität, 124
jedem Inertialsystem, 96
John Henry Poynting, 36
Kausalität, 51
Koaxialkabel, 114
Kontinuitätsgleichung, 17
kontravarianter 4-er Vektor, 89
kovarianter 4-er Vektor, 89
Ladungsdichte, 16
Ladungsdichte, magnetische, 76
Ladungserhaltung, 17
Laplace-Operator, 125
Leistung der Lorentz-Kraft, 110
Lenz’sche Regel, 31
Licht, 32
Lichtgeschwindigkeit, 42
linear-response, 62
lineare Polarisation, 45
Lorentz-Eichung, 48, 96
Lorentz-Kraft, Leistung der, 110
Lorentz-Skalar, 109, 119
Lorentz-Transformation, 83
Magnetfeld, 62
Magnetfelder, 17
magnetische Dipolmoment, 60
magnetische Erregung, 62
magnetische Ladungsdichte, 76
Magnetische Potential, 76
magnetische Skalarpotential, 76
magnetischen Dipolmoment, 27
magnetisches Dipolmoment, 60
Magnetisierungsmoment, 60
Makroskopische Maxwell-Gleichungen, 56
Maxwell, 41
Maxwell’sche Spannungs-Tensor, 40
Maxwell’scher Verschiebungsstrom, 32
Maxwell-Gleichungen, 17, 44
Maxwell-Spannungstensor, 101
Maxwell-Verschiebungsstrom, 17
Michelson, 82
Minkowski-Raum, 88
mittleres Feld, 57
Monopol, 22
Moreley, 82
Multipolentwicklung, 21
Nabla-Operator, 125
Neatorische Referenzsysteme, 82
Permeabilitätskonstante, 17
Permeabilitätskonstante des Mediums, 62
Poisson-Gleichung, 21, 68
Polarisation, 44, 58
Polarisation, elliptische, 44
Polarisation, lineare, 45
Polarisation, zirkular, 45
Potential, magnetisches, 76
potentielle Energie, 20
Poynting Vektor, 36
qad Rechnung, 11
Quadropol, 22
quellenfreies Feld, 13
quick and dirty-Rechnung, 11
räumliche Fluktuation, 56
Röntgenbereich, 56
Raumspiegelung, 85
Reents, 41
relative Permeabilitätskonstante, 62
Relativitätsprinzip, 79
Rotation, 125
Schwarz’sche Ungleichung für Vektoren,
124
Schwarz’scher Raum, 6
Second Green Identity, 71
Skalarfeld, 12
Skalarprodukt, 124
131
Index
Snellius-Gesetz, 65
SO(3), 81
Spannungs-Tensor, Maxwell’scher, 40
Spannungsdifferenz, 20
Spannungsunterschied, 20
spezielle Orthogonalmatrix, 81
Stokes, 14, 34
Stokes’scher Satz, 125
Stromdichte, 16, 24
Summenkonvention, 83
Superpositionsprinzip, 18, 24
Suszeptibilität, 123
Taylor, 21
Taylorentwicklung, 21
Tensor, 22
Tesla, 23
Testfunktionenraum, 6
Transformation von Feldern, 98
Transformationseigenschaften, 101
transversal, 43
Vektorfeld, 12
Vektorpotential, 24
Vektorprodukt, 124
Vektorrechnung, 124
Verschiebung, dielektrische, 61
Verschiebungsstrom, 47
vollständig linear Polarisiert, 67
Volumenelement, 14
von Neumann, 71
Von Neumann Randbedingung, 71
Wegintegral, 12
Weltlinie, 79
Zeitumkehr, 85
zirkulare Polarisation, 45
zweite Green’sche Identität, 71
Zylinder-Koordinaten, 37
132