Mathematik Mathematik STUDIENKREIS Merseburg

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Mathematik
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Sinus - Cosinus
Testaufgaben
Merseburg
Merseburg
Inh.:
Inh.: Dipl.-Päd.
Dipl.-Päd. Karin
Karin Gittel
Gittel
Brühl
Brühl 1A
1A ll 06217
06217 Merseburg
Merseburg ll Tel.:
Tel.: 03461
03461 // 21
21 41
41 71
71
Bearbeitet: F. Güntzel
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Von einem Dreieck XYZ sind bekannt die Seiten x = 42 m, y = 36 m und der Winkel a = Ð XZY = 65°.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel. (Planfigur nutzen)
Z
a
z2 = y2 + x2 - 2* y * x * cos a
z2 = (36 m)2 + (42 m)2 - 2* 36 m * 42 m * cos 65°
36 m = y
z = 42,21 m
sin a
42,21 m
=
sin b
42 m
Þ sin b = sin a * 42 m
42,21 m
x = 42 m
Þ b = 64,395°
X
z
Y
g = 180° - 64,395° - 65° = 50,605°
Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, werden im Gelände die Punkte A, B und C so markiert,
dass die Strecke AB der Breite des Flusses entspricht.
A
Gemessen werden dann
a
b = 76,4°
b
g = 41,3°
c
g
BC = 79,85 m
b
C
a
Berechnen Sie die Breite des Flusses.
B
a = 180° - 76,4° - 41,3° = 62,3°
c
sin a
=
a
sin b
Þ c = a * sin g = 59,523 m
sin a
Von einem Schiff sieht man die Spitze eines Leuchtturmes unter einem Winkel von 4,8°.
Der Leuchtturm steht in unmittelbarer Nähe des Ufers 62 m über dem Meeresspiegel und hat selbst
eine Höhe von 15 m.
Wie weit ist das Schiff vom Ufer entfernt?
(Fertigen Sie eine Zeichnung zum Sachverhalt an)
h = 15 m + 62 m = 77 m
77 m
x
77 m
x=
tan 4,8°
tan 4,8° =
h
x
4,8°
x = 916,968 m
Für welche Winkel xÎR und 0 £ x £ 2P gilt?
cos x = -0,75
tan x = 0,5
cos x = -0,75
x1 = 2,4188
x2 = p + 0,72273 = 3,8643
x1 = 138,59°
x2 = 221,41°
Seitenwahl
2
tan x = 0,5
1
x1 = 0,46364
x2 = p + 0,46364 = 3,60523
180°
x1 = 26,565°
x2 = 206,565°
4
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Ermitteln Sie alle Lösungen der Gleichung 3sin x - 1 = 1,1.
}
3sin x - 1 = 1,1
sin x = 0,7
Umstellen !
}
}
x1 = 0,77539
x2 = p - 0,77539 = 2,36620
x1 = 44,427°
x2 = 135,573°
Alle weiteren berechnen sich zu x1 + 2kp, x2 + 2kp.
(kÎN)
Alle weiteren berechnen sich zu x1 + 2 * k * 180°, x2 + 2 * k * 180°.
Von einem Dreieck sind die drei Seiten bekannt. Entwickeln Sie eine Schrittfolge für die Berechnung
des Flächeninhaltes.
Frage: Ist das Dreieck rechtwinklig?
wenn - nein
wenn - ja
Höhe auf der Grundseite
berechnen
C
b
A
dann:
h
c=g
A=
A=
a*b
2
h = a * sin b
a
B
g*h
2
Wahlaufgaben:
Beweisen Sie mit Hilfe des Kosinussatzes, dass in einem gleichseitigen Dreieck alle Innenwinkel
ein Maß von 60° haben.
a2 = b2 + c2 - 2 * b * c * cos a
Es gilt: alle Seiten sind gleich lang -- a = b = c
a2 = a2 + a2 - 2 * a * a * cos a
+ 2 * a * a * cos a
a2 + 2 * a * a * cos a = a2 + a2
- a2
2 * a * a * cos a = a2
cos a = 1 Þ a = 60°
2
: 2a2
Für die anderen Seiten ergibt sich
der gleiche Sachverhalt.
- alle Winkel sind 60° -
Unter welchem Winkel schneidet die Gerade mit der Funktionsgleichung y = 1,5x - 0,5 die x- und
y-Achse des Koordinatensystems, in welchem sie dargestellt ist?
y = 1,5x - 0,5
laut allgemeiner Gleichung ( y = mx + n) gilt: m = 1,5
tan a = m = 1,5
a = 56,309°
Seitenwahl
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