Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
August Mistlbacher
17. Oktober 2010
1
2
Binomialverteilung
1
Bei einem Quiz werden 3 Fragen gestellt. Bei jeder Frage stehen 4 Antworten zur Auswahl, von
denen eine richtig ist. X sei die Anzahl der falschen Antworten.
a) Berechne die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (unter Laplace-Annahme).
b) Berechne den Erwartungswert der Zufallsvariablen X und erkläre die Bedeutung dieser Größe.
c) Wenn ein Kandidat alle Fragen richtig beantwortet, bekommt er eine Prämie von 800 C .
Stelle eine Gewinnfunktion auf, berechne ihren Erwartungswert und erkläre die Bedeutung dieser
Größe. Die Teilnahme am Quiz ist gratis.
Lösung: a) f (0) =
1
64 ;
f (1) =
9
64 ;
f (2) =
27
64 ;
f (3) =
27
64 ;
b) EX = 2,25; Im Durchschnitt werden 2,25 Antworten falsch sein.
c) Bei einer Teilnahme am Quiz sind durchschnittlich 12,5 C Prämie zu erwarten.
2
Erfahrungsgemäß sind 15% aller Straßenbahnbenützer Schwarzfahrer. Ein Kontrollor überprüft
einen Waggon mit 6 Fahrgästen. Die Zufallsvariable X soll angeben, wieviele Fahrgäste keinen
gültigen Fahrschein besitzen.
a) Berechne die Werte der Dichtefunktion f(x) und den Erwartungswert der Zufallsvariablen.
Interpretiere diesen Wert!
b) Jeder Schwarzfahrer muß 50 C zahlen. Wieviel Strafe wird der Kontrollor bei diesem
Straßenbahnwaggon voraussichtlich kassieren?
Lösung: a) f (0) ≈ 0,377; f (1) ≈ 0,399; f (2) ≈ 0,176; f (3) ≈ 0,041; f (4) ≈ 0,0055; f (5) ≈ 0,0004;
f (6) ≈ 0,00001; EX ≈ 0,898; dh. knapp ein Fahrgast ist erwartungsgemäß ein Schwarzfahrer.
b) Strafe = 44,90 C
3
Erfahrungsgemäß trifft Toni beim Kirtagsstand in 60% seiner Schüsse. Toni schießt drei mal, X
ist die Anzahl der Treffer.
a) Berechne die Werte der Dichtefunktion f(x).
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er mindestens einmal trifft?
c) Welchen Gewinn kann Toni erwarten, wenn einmal Schießen 1 C kostet und pro Treffer 1,50 C
ausbezahlt werden?
Lösung: f (0) = 0,064; f (1) = 0,288; f (2) = 0,432; f (3) = 0,216;
b) 93,6%
c) Toni muss leider pro Spiel einen mittleren Verlust von 0,30 C erwarten.
4
Erfahrungsgemäß nehmen 8% aller Hotelgäste, die ein Zimmer reservieren lassen, dieses nicht in
Anspruch. Pension P besitzt 5 Zimmer und nimmt 6 Reservierungen entgegen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Überbuchung gut geht?
Führe zur Lösung der Aufgabe eine Zufallsvariable ein und erkläre, wie man bei einer diskreten
Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeiten berechnet.
Lösung: 39,4%
5
Bei einem Wettbewerb soll mit einem Wurfpfeil das rot gefärbte Zentrum einer Zielscheibe
getroffen werden. Jeder Teilnehmer muss vier mal schießen. Erfahrungsgemäß trifft man mit einer
3
Wahrscheinlichkeit von 20% das Zentrum der Zielscheibe. Bei vier Treffern erhält man 300 C
Belohnung, bei drei Treffern erhält man 20 C , die Teilnahme kostet 1 C .
Wie viele Spieler werden voraussichtlich die 300 C Belohnung, die 20 C Belohnung, keine
Belohnung erhalten, wenn insgesamt 10000 Leute an diesem Spiel teilnehmen? Welcher Gewinn
ergibt sich daraus für den Veranstalter des Spieles?
Lösung: 16 Teilnehmer werden voraussichtlich 300 C Belohnung erhalten, 256 die 20 C . Das ergibt
einen (sehr kleinen) zu erwartenden Gewinn von 80 C für den Veranstalter des Wettbewerbs.
6
a) Rudi erreicht erfahrungsgemäß auf einer Mathematik Schularbeit mit 45%-iger
Wahrscheinlichkeit einen Einser. Er wird im folgenden Schuljahr sechs Schularbeiten schreiben.
Führe eine Zufallsvariable ein, die die Anzahl der Einsen angibt. Berechne ihren Erwartungswert
und ihre Standardabweichung und stelle sie mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion graphisch dar.
b) Die Eltern versprechen Rudi für jeden Einser 10 C . Mit wieviel Geld kann Rudi rechnen?
Berechne auch die mittlere Streuung von diesem Geldbetrag.
c) Rudi vereinbart mit seinem Onkel, einem passionierten Pfeifenraucher, folgendes: wenn Rudi
im nächsten Schuljahr lauter Einser schafft, bekommt er 50 C . Sind es vier oder fünf Einser,
erhält er 30 C . Erreicht er aber weniger als drei Einser, bekommt sein Onkel von ihm seine
Lieblingstabaksorte um 15 C . Berechne die Gewinnerwartung und die Streuung des Gewinns aus
Rudis Sicht.
Lösung: a) X = Anzahl der Einser; EX = 2,7; σ ≈ 1,22
b) Rudi kann mit einem Geldbetrag von 27 C ± 12,19 C rechnen.
c) Rudi kann mit einem Geldbetrag von 1,2 C ± 18,46 C rechnen.
7
Testen von Hypothesen:
Ein Lehrer glaubt, dass in einer Klasse mit 25 Schülern die Mathematik-Hausübung mit einer
Wahrscheinlichkeit von 80% ordnungsgemäß durchgeführt wird. Ein Kollege zweifelt und glaubt
ihm nur, wenn bei der nächsten Kontrolle der gesamten Klasse mindestens 17 Hefte in Ordnung
sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Lehrer diesen Test verliert, obwohl seine
Meinung richtig ist?
Lösung: α ≈ 4,7%
8
Testen von Hypothesen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler krankheitshalber fehlt, ist erfahrungsgemäß 6%. a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse von 22 Schülern mindestens einer
krankheitshalber fehlt.
b) Wenn in einer Klasse von 22 Schülern höchstens zwei krankheitshalber fehlen, nimmt man an,
dass weiterhin nur 6% der Schüler krank werden; ansonsten nimmt man an, dass mehr als 6%
krank werden und muss entsprechende Maßnahmen setzen. Berechne die
Irrtumswahrscheinlichkeit dieser Gesundheitskontrolle und interpretiere das Ergebnis.
Lösung: a) 74,4%
b) α ≈ 14,2%; Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 2 Schüler krank werden — auch wenn die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler krank wird, generell nur 6% ist — beträgt 14,2%. Mit dieser
Wahrscheinlichkeit glaubt man also zu Unrecht, dass die Krankheitsquote gestiegen ist und
ergreift möglicherweise unnötigerweise entsprechende Maßnahmen.
4
Normalverteilung
9
Ein Warmwalzwerk stellt Bleche her. Die Dicke dieser Bleche ist normalverteilt mit dem
Erwartungswert µ = 5mm und der Standardabweichung σ = 0,2mm. a) Berechne die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Blech dünner als 4,6mm ist.
b) Wie viele Bleche müssen ausgeschieden werden, wenn bei einer Serie von 1000 Stück die
Abweichung höchstens 9% sein darf?
c) Wie sind die Toleranzgrenzen symmetrisch zum Erwartungswert festgelegt, wenn 95% der
hergestellten Bleche in den Verkauf gehen und der Rest Ausschuss ist?
d) Das Werk erhält eine neue Anlage, um sicherzustellen, dass bei einem unveränderten
Erwartungswert µ = 5mm höchstens 2% der Bleche Ausschuss sind (bei gleichen Toleranzgrenzen
wie bei c) berechnet). Welche Standardabweichung muss die neue Anlage haben?
Lösung: a) ca. 2,3 %
b) erwartungsgemäß 24,4 Bleche
c) zwischen 4,61 mm und 5,39 mm
d) σ ≈ 0,1685g
10
Die Masse der Packungen des Waschmittels Persol“ ist normalverteilt mit dem
”
Erwartungswert µ = 3100g und der Standardabweichung σ = 100g.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als 3000g Masse besitzt.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung eine Masse von genau 3000g besitzt.
c) Der Produzent möchte garantieren, dass höchstens 7% aller Packungen um mehr als c Gramm
vom Erwartungswert µ abweichen. Wie muss die Zahl c gewählt werden?
d) Der Produzent kauft eine neue Abfüllmaschine, um sicherzustellen, dass bei einem
unveränderten Erwartungswert µ = 3100g höchstens 6% aller Packungen eine Masse von mehr als
3200g besitzen. Welche Standardabweichung darf die Abfüllmaschine haben?
Lösung: a) 15,9 %
11
b) 0 %
c) c = 181,2 g
d) σ = 64,3g
In einem Einzelhandelsbetrieb weiß man aus Erfahrung, dass die Menge des täglichen Bedarfs
einer Frischware mit dem Erwartungswert µ = 245kg und der Standardabweichung σ = 5kg
normalverteilt ist. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Bedarf eines Tages mindestens
238 kg und höchstens 250 kg ist.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer täglichen Bestellmenge von 252 kg zu wenig
bestellt wird.
c) Wie viel muss man bestellen, damit die bestellte Menge mit einer Wahrscheinlichkeit von 96 %
ausreicht?
d) Wie viel wird an einem normalen Geschäftstag von dieser Frischware verkauft, wenn man
festlegt, dass der Anteil der Geschäftstage, an denen extrem wenig bzw. extrem viel verkauft
wird, insgesamt 10 % ist?
e) Der Kaufmann will nur mehr 250 kg täglich bestellen. Welchen Wert muss die
Standardabweichung σ haben (bei gleichem µ), damit die Ware nicht in mehr als 7 % aller
Geschäftstage ausgeht?
Lösung: a) 76,1 %
b) 8,1 %
d) zwischen 237 kg und 253 kg
c) 254 kg
e) σ ≈ 3,4kg
5
Approximation der Binomialverteilung
12
Im Jahr 2000 hatte die Computerfirma Digitoll“ einen Marktanteil von 11%. a)Berechne die
”
Wahrscheinlichkeit, dass von 400 Computerkäufern mehr als 50 sich für die Marke Digitoll“
”
entscheiden.
b)Nach einer Werbekampagne will man wissen, ob die Firma 2001 Marktanteile gewonnen hat. Es
werden 300 Computerkäufer befragt. 40 von den befragten Käufern deklarieren sich für
Digitoll“ . Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man behaupten, dass die
”
Werbekampagne erfolgreich war? Erkläre diesen Begriff genau.
c) Auf einer Computermesse, die im Jahr 2000 stattfindet, werden 8000 Besucher erwartet, die
auf dieser Messe einen Computer kaufen werden. Wie viele Besucher werden einen Computer der
Firma Digitoll“ kaufen? Bestimme dazu ein minimale bzw. maximale Anzahl symmetrisch um
”
den Erwartungswert, so dass die tatsächliche Anzahl mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen
Minimal- und Maximalwert liegt.
Lösung: a) 14,9 %
b) α = 11,5%; Mit einer Wahrscheinlichkeit von 11,5 % sprechen sich 40 oder mehr von den
befragten 400 Käufern für die Firma Digitoll“ aus, obwohl ihr Marktanteil nach wie vor nur
”
11% beträgt. Dies ist also die Wahrscheinlichkeit, mit der man irrtümlich annimmt, dass die
Werbekampagne erfolgreich war.
c) mindestens 825, höchstens 935 Besucher.
13
Ein Mathematiklehrer unterrichtet 110 Schüler und weiß aus Erfahrung, dass Schüler mit einer
Wahrscheinlichkeit von 70% die Hausübung tatsächlich selber machen. Berechne alle
Wahrscheinlichkeiten in diesem Beispiel durch Approximation durch eine geeignete
Normalverteilung!
a) Der Direktor verspricht ihm eine Prämie von 100 Euro, wenn mindestens 90 Schüler die
Hausübung selber gemacht haben, sind es jedoch weniger als 70, muss er dem Direktor ein
Strafgeld von 5 Euro zahlen. Welche Gewinnerwartung hat man bei diesem Spiel“ .
”
Interpretiere die berechnete Größe sorgfältig. b) Der Direktor möchte wissen, wie viele Schüler
die Hausübung selber machen. Welche Anzahl (symmetrisch um den Erwartungswert) kann ihm
der Mathematiklehrer prognostizieren, wenn er sich seiner Sache zu 85% sicher sein möchte?
c) Bei einer Kontrolle wird festgestellt, dass 85 Schüler ihre Hausübung selber gemacht haben.
Kann man daraus schließen, dass der Anteil der pflichtbewussten Schüler gestiegen ist? Stelle
einen geeigneten Test auf, berechne seine Irrtumswahrscheinlichkeit und interpretiere ausführlich
diesen Wert.
Lösung: a) Gewinnerwartung = 0,0225 C ; Wenn der Mathematiklehrer dieses Spiel“ mit dem
”
Direktor 100 mal durchführt, kann er einen Gewinn von 2,25 C erwarten. Er wird auf diese Art
sicherlich nicht reich!
b) zwischen 70 und 84 Schüler
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass man irrtümlich glaubt, die Moral wäre gestiegen, beträgt 5,9 %.
14
Der Marktanteil der Firma Citroen beträgt 3%; d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Autobesitzer ein Auto dieser Firma fährt, ist 3%. a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von
13 Mathematikprofessoren einer Schule genau einer einen Citroen fährt, wenn alle 13
Mathematikprofessoren ein Auto besitzen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 1000 Autofahrern mindestens 40
einen Citroen fahren?
c)In einer Stadt sind 1230 Autos angemeldet. Mit wievielen Kunden kann eine dort ansässige
Citroen Werkstätte mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% rechnen, wenn man annimmt, dass
6
genau jene Autobesitzer Kunden sind, die ein Auto der Marke Citroen benutzen. (Berechne einen
80%-Streubereich für die Anzahl der Kunden)
Lösung: a) 27,1%
b) 3,9%
c) zwischen 30 und 44 Kunden
15 Die Gefahr einer Fehlgeburt ist 3%. Durch einen Test soll überprüft werden, ob diese Quote
gleich bleibt oder ansteigt. Konstruiere ein signifikantes einseitiges Testverfahren für eine
Stichprobe von 900 Neugeborenen.
Lösung: kritischer Bereich K = [35; 900]; Bei mehr als 34 Fehlgeburten nimmt man an, dass die
Quote der Fehlgeburten gestiegen ist und setzt entsprechende Maßnahmen. Die
Wahrscheinlichkeit, dass dies irrtümlich passiert, ist unter 5 %.
16
a) Erfahrungsgemäß werden durchschnittlich 25% aller Wegwerfwindeln undicht. Die Fa.
Pampers behauptet, daß ihre Windeln besser sind. Zum Beweis führt sie an, dass in einer
Testserie nur 40 von 200 Pampers undicht geworden sind.
a1) Formuliere eine geeignete Hypothese und berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Fa.
Pampers ihre Behauptung zu unrecht aufstellt.
a2) Wie müßte der Ablehnungsbereich gewählt werden, damit die Irrtumswahrscheinlichkeit des
Tests 3% beträgt?
b) Die Fa. Pampers hatte 1991 einen Marktanteil von 60%. Nach der Einführung der neuen
Pampers-Phases möchte man wissen, ob sich der Marktanteil erhöht hat. Konstruiere einen Test
für eine Stichprobe von 500 Kunden und einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 4%.
Lösung: a1) H 0 : p < 0,25; α ≈ 0,06; Die Wahrscheinlichkeit, dass nur zufällig so wenige Windel
undicht geworden sind, beträgt 6 %.
a2) kritischer Bereich K = {0, · · · , 37}. Höchstens 37 der 200 getesteten Windeln dürfen undicht
sein!
b) kritischer Bereich K = {320, · · · , 500}. Wenn sich von 500 Kunden mindestens 320 für
Pampers entscheiden, glaubt man, dass sich der Marktanteil der Firma erhöht hat. Die
Wahrscheinlichkeit, dass sich nur zufällig so viele Pampersfreunde unter den Kunden befinden,
liegt unter 4 %.
17
Eine Zeitung behauptet, dass 15% aller jugendlichen PKW-Lenker nach einem Disco-Besuch
alkoholisiert ihr Fahrzeug lenken. Ein signifikanter Test soll überprüfen, ob dieser Prozentsatz
tasächlich so niedrig ist. Man kontrolliert dazu
a) 40 PKW-Lenker. b) 400 PKW-Lenker.
Ermittle jeweils den kritischen Bereich dieses Tests und erläutere seine Bedeutung.
Lösung: a) kritischer Bereich K = {11, · · · , 40}; Wenn mehr als 10 Fahrer alkoholisiert sind,
nimmt man an, dass mehr als 15 % Alko-Lenker unterwegs sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass nur
zufällig so viele Alko-Lenker erwischt werden, beträgt 3 %.
b) kritischer Bereich K = {73, · · · , 400}; Wenn mehr als 72 Fahrer alkoholisiert sind, nimmt man
an, dass mehr als 15 % Alko-Lenker unterwegs sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass nur zufällig so
viele Alko-Lenker erwischt werden, liegt unter 5 %.
18
Bei einer Umfrage unter 900 Studenten gaben 315 Studenten an, neben dem Studium arbeiten
zu gehen.
Bestimme ein 96%-iges Vertrauensintervall für den Anteil jener Studenten, die neben dem
Studium arbeiten gehen!
7
Lösung: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 96% liegt der Anteil der Studenten, die neben ihrem
Studium arbeiten gehen, zwischen 31,8% und 38,3%.
19
Eine Hühnerfarm produziert Eier. Das Gewicht der Eier in einer Stichprobe von 11 Stück ist:
66g; 70,5g; 67,5g; 65,5g; 57,5g; 47,5g; 49,5g; 53,5g; 54,5g; 56,5g; 71,5g.
Es wird angenommen, dass das Gewicht normalverteilt ist, wobei der Erwartungswert gleich dem
arithmetischen Mittel und die Varianz gleich der empirischen Varianz der Stichprobe sind.
a) Wie viele von 5000 Eiern haben erwartungsgemäß ein Gewicht zwischen 51,5g und 80,4g?
b) Beim Verpacken werden 4% der Eier beschädigt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 20
Eiern höchstens eines kaputt ist.
c) Wenn von zehn zufällig gewählten Eiern keines beschädigt ist, nimmt man an, dass beim
Verpacken weiterhin nur 4% der Eier kaputt werden; ansonsten nimmt man an, dass mehr als 4%
kaputt werden und muss entsprechende Maßnahmen setzen. Berechne die
Irrtumswahrscheinlichkeit dieser Qualitätskontrolle und interpretiere das Ergebnis.
d) Konstruiere ein signifikantes einseitiges Testverfahren für eine Stichprobe von 1000 Eiern. Das
Testverfahren soll (wie jenes in c) überprüfen, ob der Prozentsatz der beim Verpacken
beschädigten Eier gleich geblieben oder größer geworden ist.
Lösung: a) 4166 Eier
b) ca. 81 %
c) α ≈ 33,5%; Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 33,5 % ist von 10 Eiern mindestens eines
beschädigt, obwohl durch die Verpackung nur 4 % der Eier kaputt werden. Mit dieser
Wahrscheinlichkeit glaubt man versehentlich, dass der Anteil der kaputten Eier gestiegen ist und
ergreift unnötigerweise entsprechende Maßnahmen.
d) kritischer Bereich K = [51; 1000]; Sind weniger als 51 Eier kaputt, nimmt man an, dass die
Qualität gleich geblieben ist, ansonsten nimmt man an, dass der Anteil der beschädigten Eier
größer geworden ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man dies irrtümlich annimmt, ist unter 5 %.