–1– Lösungsvorschläge zu den Aufgaben 21, 26 b), c) und 27 von

–1–
Lösungsvorschläge zu den Aufgaben 21, 26 b), c) und 27 von Blatt 3:
21) x Produktionsmenge
Produktionskosten:
K(x) = 100 1 −
1
x+1
,
0 < x 6 100
Kostensteigerung:
K(x + ∆x) − K(x) = 100 1 −
1
1
− 100 1 −
x + ∆x + 1
x+1
(x + ∆x + 1) − (x + 1)
= 100 ·
(x + 1)(x + ∆x + 1)
Durchschnittskosten für die zusätzliche Produktion:
K(x + ∆x) − K(x)
D(∆x; x) :=
∆x
100
100
−→
= K ′ (x)
=
2
(x + 1)(x + ∆x + 1)
(x + 1)
Dies ist die Grenzkostenfunktion.
26) Absolute Extrema von
1+x
b) . . . f (x) :=
auf (0, ∞) ?
1 + x2
f ′ (x) =
1 + x2 − 2x(1 + x)
1 − 2x − x2
=
(1 + x2 )2
(1 + x2 )2
√
wird = 0 genau dann, wenn der Zähler = 0 ist, also an den Wurzeln −1 − 2
√
!
und −1 + 2 der quadratischen Gleichung 1 − 2x − x2 = 0. Die erste ist ∈
/ (0, ∞)
und entfällt somit, und die zweite ist auf 3 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau
= 0.414.
Ansonsten müssen nur die Randstellen 0 und ∞ berücksichtigt werden.
Wir bestimmen nun die benötigten Funktionswerte und Grenzwerte:
1
1+x
1+x
x x +1
=0
f (0+) = lim
= 1, f (∞) = lim
= lim 2 ·
1
x→0+ 1 + x2
x→∞ 1 + x2
x→∞ x
+1
x2
f (0.414) = 1.21
–2–
Der größte von den Funktionswerten und Grenzwerten ist 1.21 wird bei x = 0.414
als Funktionswert angenommen und nur dort. 1.21 ist also absolutes Maximum.
Der kleinste von den Funktionswerten und Grenzwerten ist 0 und dies ist nur
Grenzwert, wird also nirgends als Funktionswert angenommen. Es gibt also kein
absolutes Minimum.
c) . . . f (x) := e−x/2 xα−1
(α > 1) auf (0, ∞) ?
Da x > 0 ist kann die Ableitung ohne Schwierigkeiten gebildet werden:
1
f ′ (x) = − e−x/2 xα−1 + e−x/2 · (α − 1) · xα−2
2
1 −x/2 α−2
!
=
e
x (−x + 2(α − 1)) = 0 ⇔ x = 2(α − 1) > 0
2
Ansonsten müssen nur die Randstellen 0 und ∞ berücksichtigt werden.
Wir bestimmen nun die benötigten Funktionswerte und Grenzwerte:
f (2(α − 1)) = e−(α−1) (2(α − 1))α−1 > 0,
f (0+) = e0 limx→0+ xα−1 = 0, da der Exponent (α − 1) bei x positiv ist, und aus
der Formel (5.9) folgt, wenn y := x/2 gesetzt wird,
y α−1
= 0.
y→∞ exp(y)
f (∞) = lim exp(−x/2)xα−1 = 2α−1 lim exp(−y)y α−1 = 2α−1 lim
x→∞
y→∞
Der Vergleich der drei Werte liefert: f (2(α −1))(> 0) ist absolutes Maximum und
wird bei x = 2(α − 1) als Funktionswert angenommen und nur dort. Der kleinste
von den Funktionswerten und Grenzwerten ist 0 und dies ist nur Grenzwert,
wird also nirgends als Funktionswert angenommen. Es gibt also kein absolutes
Minimum.
27)
Die Produktion ist an die Nachfrage angepasst:
q = N(p)
p Preis pro Mengeneinheit
Erlös : R = p · q = p · N(p)
Gewinn : R − K(q) = p · q − K(q)
a) q = N(p) = 2.5 − 0.5p und damit ist p = 5 − 2q. Wir erhalten somit den
Gewinn als Funktion von q:
2
g(q) = (5 − 2q)q − K(q) = 5q − 2q −



 (1 + q)
(0.46 + 1.3q)


 (2 + 0.7q)
für
für
für
0 ≤ q ≤ 1.8,
1.8 < q ≤ 2,
2 < q ≤ 3.5,
–3–
Für die Ableitung erhalten wir:
g ′ (q) = 5 − 4q −



 1
1.3


 0.7
für
0 ≤ q < 1.8,
für
1.8 < q < 2,
für
2 < q ≤ 3.5,
Bei der Ermittlung der Nullstellen der Ableitung müssen wir auf den richtigen
Teilbereich achten:
0 ≤ q < 1.8 :
1.8 < q < 2 :
2 < q ≤ 3.5 :
!
g ′ (q) = 5 − 4q − 1 = 0 ⇔ q = 1 ∈ [0, 1.8)
!
g ′(q) = 5 − 4q − 1.3 = 0 ⇔ q = (5 − 1.3)/4 ∈
/ (1.8, 2) entfällt
!
g ′ (q) = 5 − 4q − 0.7 = 0 ⇔ q = (5 − 0.7)/4 ∈
/ (2, 3.5] entfällt
q = 1 ist also die einzige Nullstelle der Ableitung. Wir bestimmen nun die benötigten Funktionswerte und Grenzwerte:
g(0) = g(0+) = −1, g(1) = 5 · 1 − 2 · 12 − (1 + 1) = 1,
g(1.8−) = g(1.8) = 5 · 1.8 − 2 · 1.82 − (1 + 1.8) = −0.28,
g(1.8+) = 5 · 1.8 − 2 · 1.82 − (0.46 + 1.3 · 1.8) = −0.28,
g(2−) = g(2) = 5 · 2 − 2 · 22 − (0.46 + 1.3 · 2) = −1.06,
g(2+) = 5 · 2 − 2 · 22 − (2 + 0.7 · 2) = −1.4,
g(3.5−) = g(3.5) = 5 · 3.5 − 2 · 3.52 − (2 + 0.7 · 3.5) = −11.35.
Der größte Wert hiervon ist 1 und wird bei q = 1 als Funktionswert angenommen
und nur dort. Der maximale Gewinn ist also = 1 und er wird bei dem geforderten
Preis von p = 5 − 2 · 1 = 3 erzielt.
Bemerkung: Bei Mengen q > 2.5 wird der Preis nach der Formel negativ, ist also
unrealistisch. Wenn aber der Preis, bei dem der Gewinn maximal ist, negativ ist,
so ist dieser maximale Gewinn auch negativ und der Gewinn bei jedem anderen
Preis erst recht negativ, so dass sich die Produktion sicher nicht lohnt. Eine Einschränkung des Bereiches für q etwa auf [0, 2.5] ist daher nicht nötig.
In der folgenden Skizze sind die Graphen der Kostenfunktion K(q), bestehend
aus Geradenstücken, und der Funktion g(q) eingezeichnet:
–4–
10
5
0.5
1
1.5
q
2
2.5
3
3.5
0
–5
–10
–15
–20
N(p) > 0 für p > 0 und I := (0, ∞) bei b), c)
b) q = N(p) = 4 · p−0.5 ⇔
√
p = p0.5 = 4/q ⇔ p = (4/q)2 = 16q −2
g(q) = 16q −2 · q − K(q) = 16q −1 − b − c q
g ′ (q) = −16q −2 − c < 0 für alle q > 0. Es gibt also keine Nullstelle der Ableitung
in dem betrachteten Bereich. Es verbleiben nur die Randstellen 0, ∞. Da aber
dort nur Grenzwerte zu bestimmen sind, gibt es keinen maximalen Gewinn. Dies
liegt daran, dass die Nachfrage so schwach reagiert, dass bei steigendem Preis der
Gewinn immer größer wird.
c) q = N(p) = 4 · p−2 ⇔ p2 = 4/q ⇔ p =
g(q) = 2q −0.5 · q − K(q) = 2q 0.5 − b − c q
!
!
q,c>0
p
√
4/q = 2/ q = 2q −0.5
!
g ′ (q) = q −0.5 − c = 0 ⇔ q −0.5 = c ⇔ q = (q −0.5 )−2 = c−2 ∈ (0, ∞)
Wir bestimmen nun die benötigten Funktionswerte und Grenzwerte:
–5–
g(0+) = limq→0+ (2q 0.5 − b − c q) = −b,
g(c−2 ) = 2(c−2 )0.5 − b − c · c−2 = 2c(−2)·0.5 − b − c−1 = c−1 − b > −b,
g(∞) = limq→∞ q(2q −0.5 − b q −1 − c) = ∞ · (0 − 0 − c) = −∞.
Der größte Wert hiervon ist (c−1 − b) und wird bei q = c−2 als Funktionswert
angenommen und nur dort. Der maximale Gewinn ist also = (c−1 − b) und er
wird bei dem geforderten Preis von p = 2(c−2 )−0.5 = 2c(−2)·(−0.5) = 2c erzielt. Die
Produktion lohnt sich, wenn der maximale Gewinn > 0 ist, also wenn b < c−1 ist.
Bei allen drei Aufgabenteilen haben wir die Nachfragefunktion q = N(p) nach p
aufgelöst, was natürlich nur dann geht, wenn die Nachfragefunktion umkehrbar
ist. Dies ist in der Regel der Fall. Falls aber die Nachfragefunktion nicht umkehrbar ist, ist es besser, den Gewinn als Funktion von p allein statt von q allein
auszudrücken.