Lösungsvorschlag zur Klausur vom 16.10.2009

Zulassungsprüfung Stochastik, 16.10.09
Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus.
Aufgabe 1 (18 Punkte)
Sei C ⊂ A eine σ-Algebra, X : Ω −→ [0, ∞) sei A-messbar und X0 : Ω −→ [0, ∞)
sei C-messbar. Beweisen Sie:
(a) X0 ist A-messbar.
(b) Für alle C ∈ C gelte
Z
X0 dP =
Z
(1)
X dP.
C
C
Dann folgt für alle C-messbaren Z : Ω −→ [0, ∞)
Z
Z
ZX0 dP =
ZX dP.
Ω
(2)
Ω
(c) Gilt die Umkehrung von (b)? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung
Zu (a)
Sei B ∈ B 1 . Da X0 messbar ist, folgt X0−1 (B) ∈ C, also wegen C ⊂ A auch
X0−1 (B) ∈ A.
Zu (b)
Pn
Sei Z eine Treppenfunktion, also Z = i=1 αi 1Ci , wobei Ci ∈ C und αi > 0.
Dann folgt laut Voraussetzung
Z
Z X
Z
Z
n
n
n
X
(1) X
ZX0 dP =
αi
αi 1Ci X0 dP =
αi
X0 dP =
X dP
Ω
Ω i=1
=
Z X
n
Ci
i=1
αi 1Ci X dP =
Ω i=1
Z
i=1
Ci
ZX dP.
Ω
Somit gilt (2) für C-messbare Treppenfunktionen Z.
Sei Z C-messbar. Dann gibt es eine Folge (Zn )n∈N von C-messbaren Treppenfunktionen mit Zn ≥ 0 und Zn ↑ Z. Dann folgt 0 ≤ Zn X0 ↑ ZX0 und
0 ≤ Zn X ↑ ZX. Ferner gilt wegen des oben Gezeigten auch
Z
Z
∀n ∈ N :
Zn X0 dP =
Zn X dP.
Ω
Ω
Bildet man auf beiden Seiten den Grenzübergang n → ∞, so folgt mit dem Satz
von der monotonen Konvergenz die Behauptung.
Zu (c)
Die Umkehrung gilt: Sei C ∈ C. Die Abbildung Z := 1C ist dann C-messbar und
somit gilt
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(2)
X0 dP =
1C X0 dP =
ZX0 dP =
ZX dP =
1C X dP =
X dP.
C
Ω
Ω
Ω
1
Ω
C
Aufgabe 2 (18 Punkte) Die Körpergröße einer Person sei näherungsweise
normalverteilt mit Erwartungswert 180 cm und Varianz 64 cm2 .
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person
(i) unter 170 cm groß ist,
(ii) über 184 cm groß ist,
(iii) zwischen 175 cm und 184 cm groß ist.
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Körpergröße zweier
unabhängig voneinander ausgewählten Personen um maximal 10 cm unterscheidet.
(c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Körpergröße zweier unabhängig voneinander ausgewählten Personen über 190 cm
liegt.
Lösung
Zu (a)
Sei X die Zufallsvariable Körpergröße.
170 − 180
P(X ≤ 170) = Φ
= Φ (−1, 25) = 1 − Φ (1, 25)
8
= 0, 1056
184 − 180
= 1 − Φ (0, 5) = 0, 3085
P(X ≥ 184) = 1 − Φ
8
P(175 ≤ X ≤ 184) = P(X ≤ 184) − P(X ≤ 175) = 0, 6915 − 0, 2676
=
0, 4239
Zu (b)
Seien X1 und X2 die Zufallsvariablen Körpergröße zweier unabhängiger Personen. Dann ist X := X1 − X2 normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz
128 cm2 . Zu bestimmen ist als P(|X| ≤ 10), also
P(|X| ≤ 10)
= P(−10 ≤ X ≤ 10) = P(X ≤ 10) − P(X ≤ −10) =
10
− 1 ≈ 2Φ(0, 88) − 1 = 0, 6212.
= 2Φ √
128
Zu (c)
Seien X1 und X2 die Zufallsvariablen Körpergröße zweier unabhängiger PersoX1 + X2
nen. Zu betrachten ist X =
als die durchschnittliche Körpergröße. Es
2
gilt X ∼ N (180, 32) und somit
190 − 180
√
≈ 1 − Φ (1, 77) = 0, 0384.
P(X ≥ 190) = 1 − Φ
32
Aufgabe 3 (20 Punkte)
Gegeben seien die Zufallsvariablen X und Θ mit Θ ∼ U (0, 1). Für ϑ ∈ (0, 1)
besitze X die bedingte Dichte
  n ϑx (1 − ϑ)n−x falls x ∈ {0, . . . , n}
x
f (x|ϑ) =

0
sonst.
2
(a) Geben Sie eine Interpretation für X gegeben ϑ.
(b) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von X und Θ.
(c) Bestimmen Sie die bedingte Dichte von Θ gegeben X = x.
Hinweis: Für p, q ∈ N gilt
Z 1
xp (1 − x)q dx =
0
p!q!
.
(p + q + 1)!
(d) Bestimmen Sie E(Θ|X).
Lösung
Zu (a)
Bei gegebenem ϑ ist X binomialverteilt mit Parametern n und ϑ. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ϑ ist die Realisierung einer auf (0, 1) gleichverteilten Zufallsvariablen.
Zu (b)
Sei fΘ = 1(0,1) die Dichte von Θ, f die gemeinsame Dichte von X und Θ. Es
gilt für x ∈ {0, . . . , n}, ϑ ∈ (0, 1)
f (x, ϑ) = f (x|ϑ) · fΘ (ϑ)
also
  n ϑx (1 − ϑ)n−x
x
f (x, ϑ) =

0
falls x ∈ {0, . . . , n}, ϑ ∈ (0, 1)
sonst.
Zu (c)
Die Dichte fX von X ergibt sich für x ∈ {0, . . . , n} aus
fX (x) =
Z
1
f (x, ϑ) dϑ =
0
Z 1
n x!(n − x)!
n
.
ϑx (1 − ϑ)n−x dϑ =
x (n + 1)!
x 0
Damit folgt für x ∈ {0, . . . , n} und ϑ ∈ (0, 1)
x
n
n−x
(n + 1)! x
f (x, ϑ)
x ϑ (1 − ϑ)
=
f (ϑ|x) =
=
ϑ (1 − ϑ)n−x .
n x!(n−x)!
fX (x)
x!(n − x)!
x
(n+1)!
Zu (d)
E(Θ|X = x) =
=
Z 1
(n + 1)!
ϑx+1 (1 − ϑ)n−x dϑ
x!(n − x)! 0
0
(n + 1)! (x + 1)!(n − x)!
x+1
=
x!(n − x)!
(n + 2)!
n+2
Z
1
ϑf (ϑ|x) dϑ =
Damit ergibt sich E(Θ|X) =
X +1
.
n+2
3
Aufgabe 4 (14 Punkte)
In der folgenden Tabelle sind das Körpergewicht und die Körpergröße von zufällig ausgewählten achtjährigen Jungen aufgezeichnet.
Nr.
1
2
3
4
5
6
Körpergröße xi
140
145
135
139
139
130
Gewicht yi
33
40
28
32
28
37
Nr.
7
8
9
10
11
12
13
Körpergröße xi
134
144
138
140
140
152
148
Gewicht yi
27
36
29
36
34
40
35
Bezeichnet man mit xi die Körpergröße und yi das Gewicht, so wird für die
Zufallsvariablen Yi das Modell
Yi = a + bxi + εi , i = 1, . . . , 13
untersucht. Die εi seien unabhängig und N (0, σ 2 )-verteilt.
Stützen die Daten die Behauptung, dass das Gewicht von der Körpergröße abhängt? Die Aussage soll zu einem Niveau von α = 5 % erfolgen.
Sie können verwenden:
x = 140, 3;
13
X
i=1
y = 33, 5;
13
X
i=1
(xi − x)2 = 414, 8
(yi − y)2 = 237, 2;
13
X
i=1
(yi − y)(xi − x) = 180, 2.
(3)
Lösung
Zu testen ist die Hypothese H0 : b = 0.
Es ergeben sich folgende Schätzwerte:
b̂
σ̂ 2
se(b̂)
t
180, 2
= 0, 434
414, 8
180, 22
1
237, 2 −
= 14, 44
=
11
414, 8
r
14, 44
= 0, 187
=
414, 8
=
=
b̂ − b0
se(b̂)
=
0, 434
= 2, 32.
0, 187
Die Hypothese b = 0 wird abgelehnt, denn |T | > t11;0,975 = 2, 201. Somit wird
die Hypothese, dass das Gewicht nicht von der Körpergröße abhängt, abgelehnt.
Aufgabe 5 (20 Punkte) Wir betrachten zwei Stichproben von zufällig ausgewählten achtjährigen Jungen bzw. Mädchen. Wir gehen davon aus, dass das
Gewicht X bzw. Y jeweils normalverteilt ist. Es ergaben sich folgende Werte:
4
Mittelwert 33,5 bzw. 38,3
Empirische Varianz 19,8 bzw.68,1
Stichprobengröße Jeweils 13.
(a) Bestimmen Sie ein Schätzintervall für das mittlere Gewicht der Jungen
zum Niveau 95 %.
(b) Wird die Annahme, dass das mittlere Gewicht der Jungen kleiner als das
mittlere Gewicht der Mädchen, verworfen oder angenommen? Betrachten
Sie die Hypothese zu einem Niveau von 5 %.
Lösung
Zu (a)
Erwartungswert und Varianz sind
beide unbekannt. Es wird verwendet t12;0,975 =
√
19,8·2,179
√
= 2, 69
2, 179, und es ergibt sich mit
13
[33, 5 − 2, 69; 33, 5 + 2, 69] = [30, 81; 36, 19]
Zu (b)
Sei µX bzw. µY der Erwartungswert von X bzw. Y , dem Gewicht der Jungen
bzw. der Mädchen. Wir betrachten die Nullhypothese H0 : µX ≥ µY mit der
Alternative H1 : µX < µY .
Es wird der Zweistichproben t-Test verwendet. Die Testgröße ist
r
38, 3 − 33, 5 132
t=
s
26
mit
s2 =
12 · 68, 1 + 12 · 19, 8
= 43, 95.
24
H0 wird verworfen, wenn t zu „groß“ ist, also wenn t > t24;0,95 = 1, 711 Es folgt
t=
4, 8
· 2, 5 = 1, 846
6, 6
H0 wird wegen t = 1, 846 > 1, 711 verworfen, die Gegenhypothese µX < µY
angenommen.
5