Wahrscheinlichkeiten

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Wahrscheinlichkeiten
Spickzettel
Aufgaben
Kurzlösungen
Ausführliche Lösungen PLUS
1. Wahrscheinlichkeiten berechnen
Es ist μ
a) = 15
P(13
b) P(X
c) P(X
und σ
≤ ≤
≤
X
= 4
− −
− −
− ≈ ⋅
−
17
17) =
Φ
> 19) = 1
(1
Φ(0, 5)
=
2Φ(0, 5)
−
(
15
)
4
− ≤
P(X
2
= Φ(
−
(
15
)
4
= Φ(0, 5)
−
− ≈
Φ(0, 5)) = Φ(0, 5)
1
19) = 1
−
13
Φ
)
4
=
10
10) = Φ
15
(
0, 69146
−
1, 25) = 1
19
Φ
(
−
1
)
4
= 1
Φ(
0, 5)
1 + Φ(0, 5)
0, 383
Φ(1, 25) = 1
15
− −
−
Φ(1)
−
≈ −
1
0, 8944 = 0, 1056
0, 8413 = 0, 1587
2. Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Zufallsvariable X ist normalverteilt mit μ
Bestimmen Sie:
a) P(290
≤ ≤
X
345
345) =
Φ
=
≤
285
285) = Φ
(
−
≈
)
Φ(
300
)
−
290
Φ
(
− −
0, 99934
14
300
14
Φ(3, 21)
=
b) P(X
(
−
= E(X ) = 300
= Φ(
−
− −
(1
= 14
.
300
)
14
0, 71) = Φ(3, 21)
−
−
und σ
Φ(0, 71) = Φ(3, 21)
−
1 + Φ(0, 71)
1 + 0, 76115 = 0, 7605
1, 07) = 1
−
Φ(1, 07)
≈ −
1
0, 85769 = 0, 14231
3. a) Grenze k bestimmen
Die Zufallsgröße
P(X
≤
k
k) = Φ
(
−
X
ist normalverteilt mit
150
25
)
≈
0, 7
μ = 150
und
σ = 25
.
Wir
wissen,
dass
gelten muss.
Um k zu bestimmen, verwendest du die Tabelle für Normalverteilung:
1 von 6
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(
)
k
Φ
(
−
≈
− ≈
− ≈
≈
150
k
0, 7
)
25
T abelle : Φ(0, 53)
0, 53
150
25
13, 25
k
0, 7
∣⋅
∣
150
25
k
≈
+150
163, 25
b) Obere Grenze k bestimmen Für die Normalverteilung der Zufallsgröße
gleiche: μ = 150 und σ = 25. Damit wissen wir:
P(135
≤ ≤
X
k) =
P(X
≤ −
−
−
−
−
k)
k
=
Φ
(
Φ
(
Φ
(
Φ
(
)
25
150
)
25
k
=
)
150
k
=
k
150
k
=
150
≤ ≤
X
k
k) = Φ
)
25
(
−
Φ (
0, 6)
(1
Φ(0, 6))
1 + 0, 7258 = Φ
P(135
0, 2742
)
k
Φ
(
150
25
(
k
(
−
≈
− ≈
− ≈
≈
)
150
)
25
∣
150
25
)
X
≈
≈
k)
Φ(0, 6)
≈
0, 7258
25
0, 6
0, 2742
)
. Setze hier ein, was du eben
∣
0, 6
+0, 2742
0, 8742
≈
0, 8742
:
0, 8742
∣⋅
∣
150
1, 15
25
25
k
(
150
25
k
Φ
150
(
Betrachte nun wieder die Tabelle zur Normalverteilung: Φ(1, 15)
Φ
135
)
1 + Φ(0, 6)
−
−
150
25
135) = Φ
k
Laut der Aufgabenstellung muss gelten:
berechnet hast und du erhältst:
P(135
− −
−
≤
− −
− −
−
− −
−
≤ ≤ ≈
P(X
25
gilt immer noch das
X
150
k
28, 75
+150
178, 75
4. Wahrscheinlichkeit für mehr als 1.130 blühende Narzissen berechnen
Die Zufallsgröße Z beschreibt die Anzahl der zur Eröffnung blühenden Pflanzen (in der Stichprobe).
Wir gehen davon aus, dass die Zufallsgröße Z binomialverteilt ist mit n = 1.250 und p
Berechne nun zunächst den Erwartungswert und die Standardabweichung von Z :
μ = E(Z ) =
σ =
√
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
V (Z ) =
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⋅
⋅
√⋅ ⋅ − √
n
p = 1250
0, 9 = 1.125
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
p
(1
p) =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
112, 5
≈
(μ
−
10, 61
= 0, 90
.
Erwartungswert)
(σ
−
Stand ard abweichung)
2 von 6
Gefragt ist nun nach der Wahrscheinlichkeit, dass mehr als
blühen:
P(Z > 1.130) =
1
− ≤
P (Z
1.130
Narzissen bis zur Eröffnung
1.130)
Berechne nun mit der Tabelle zur Normalverteilung:
1
− ≤
P (Z
−
≈ −
1.130) =
1
1
1.130
Φ
(
−
1.125 + 0, 5
)
10, 61
Φ (0, 52) = 1
−
0, 69847 = 0, 3015
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 30, 15% blühen mehr als 1.130 Narzissen bis zur Eröffnung.
5. Wahrscheinlichkeit, dass nicht alle Bewerber übernommen werden, berechnen
Stelle zunächst die Informationen zusammen, die dir in der Aufgabenstellung gegeben werden:
Es gibt insgesamt 1.000 Bewerber
Etwa 20% der Bewerber scheitern am Einstellungstest. Also bestehen etwa
80%
den
Einstellungstest
Insgesamt gibt es 820 freie Studienplätze
Sei Z die Zufallsvariable, die beschreibt, wie viele Bewerber den Einstellungstest bestehen. Z ist
zunächst binomialverteilt mit p = 0, 8 und n = 1.000. Berechne zunächst den Erwartungswert
und die Standardabweichung von Z :
E(Z ) =
σ =
⋅
⋅
√⋅ ⋅ − √ ⋅
n
p = 1.000
0, 8 = 800
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
p
(1
p) =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
800
0, 2 =
√ ≈
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
160
12, 65
gibt dir also an, wie viele Studenten die Prüfung schaffen. Insgesamt stehen 820 Studienplätze zur
Verfügung. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass nicht alle Bewerber einen Studienplatz
bekommen, die die Prüfung bestanden haben. Damit ist also nach der Wahrscheinlichkeit dafür
gefragt, dass mehr als 820 Bewerber die Prüfung bestehen:
Z
P(Z > 820) =
=
1
1
− ≤
−
P(Z
820) = 1
Φ (1, 62) = 1
−
−
820
Φ
(
−
800 + 0, 5
12, 65
)
0, 94738 = 0, 05262
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa
5, 3%
erhalten nicht alle Bewerber, welche den
Einstellungstest bestanden haben, einen Studienplatz.
6. Signifikanztest durchführen
Wir gehen bei unseren Berechnungen zunächst von einer idealen Münze aus. Bei einer solchen
Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für „Wappen“ oder „Zahl“ jeweils 0, 5. Es wird insgesamt
500 Mal geworfen.
Es handelt sich in dieser Aufgabe um einen einseitigen Signifikanztest mit n = 500 und p = 0, 5.
Damit wir starten können, brauchen wir noch den Erwartungswert und die Standardabweichung
von Z :
μ = E(Z ) = n
⋅
p = 250
und σ
= V (Z ) =
√⋅ ⋅ −
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
p
(1
p) =
√ ⋅ ⋅ ≈
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
500
0, 5
0, 5
11, 18
.
Die Zufallsvariable Z ist also 250; 11, 18-normalverteilt.
Die Nullhypothese des Signifikanztest ist H0 : p = 0, 5 .
Der Signifikanztest soll auf einem Niveau von 5% stattfinden. Es wird also nach einer Zahl
gesucht, welche die obere Schranke des Akzeptanzbereichs darstellt.
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k
3 von 6
≤
Dies klingt sehr kompliziert, ist aber eigentlich gar nicht: Der Akzeptanzbereich umfasst alle Werte
k , deren Wahrscheinlichkeit noch größer als 5% ist. Der Ablehnungsbereich hingegen umfasst
alle Werte > k , deren Wahrscheinlichkeit kleiner als 5% ist.
k muss also eine Zahl sein, für die gilt: Für alle Werte größer als k ist die Wahrscheinlichkeit kleiner
als 5%:
1
− ≤
− ≤
≤
P (X > k) <
0, 05
P (X
k) <
0, 05
P(X
k) <
P(X
k) >
∣−
∣⋅ −
1
−
0, 95
(
1)
0, 95
Berechne nun einen Wert für k , indem du die Tabelle zur Normalverteilung zu Hilfe nimmst:
P(X
≤
k
k) = Φ
(
−
250 + 0, 5
)
11, 18
k
−
−
>
0, 95
>
1, 65
T abelle : Φ(1, 65) > 0, 95
∣⋅
∣
249, 5
11, 18
11, 18
k
249, 5 >
k >
18, 447
+249, 5
267, 947
Das bedeutet, dass alle Werte größer 268 im Ablehnungsbereich liegen; so also auch der in der
Aufgabenstellung geworfene Wert 270.
Das Ergebnis, dass bei dieser Münze der Kopf öfters oben liegen bleibt, ist somit auf einem
Niveau von 5% signifikant.
7. Entscheidungsregel bestimmen
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der befragten Bürger, die gegen den Bau des Windrads
sind. Die Nullhypothese, von der ausgegangen wird, besagt, dass 75% der wahlberechtigten
0, 75 .
Bürger gegen den Bau des Windrads sind, d.h. es ist H0 : p
Es soll nun eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von 5% gefällt werden, d.h. es ist
≥
eine Zahl k gesucht, welche die obere Grenze des Akzeptanzbereichs darstellt.
Das bedeutet, dass für alle Zahlen, die größer als k sind, die Wahrscheinlichkeit kleiner als
sein muss.
5%
Es soll also folgende Gleichung gelten:
1
− ≤
− ≤
≤
P(X > k) <
0, 05
P(X
k) <
0, 05
P(X
k) <
P(X
k) >
−
0, 95
∣−
∣⋅ −
1
(
1)
0, 95
Diese Gleichung ist unser Ansatz für die Entscheidungsregel. Diese soll mit Hilfe der
Normalverteilung ermittelt werden. Benötigt werden also noch der Erwartungswert und die
Standardabweichung der Zufallsvariablen X :
⋅
⋅
√⋅ ⋅ − √
P(X > k) <
0, 05
E(X ) = μ =
n
σ =
p = 1.200
0, 75 = 900
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
p
(1
p) =
⋅
⋅
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1.200
0, 75
0, 25 = 15
Greife nun die Gleichung auf, die als Ansatz für die Entscheidungsregel dient:
4 von 6
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(
)
≤
P(X
−
k
k) = Φ
(
900 + 0, 5
)
15
>
0, 95
In der Tabelle zur Normalverteilung kannst du den Wert Φ(1, 65)
k
−
−
1, 65
15
15
k
899, 5 >
k >
ablesen:
∣⋅
∣
899, 5
>
> 0, 95
24, 75
+899, 5
924, 25
Damit ist klar: Wenn mehr als 925 der 1.200 wahlberechtigten Bürger gegen den Bau des Windrads
sind, so wird die Werbekampagne gestartet.
8. Wahrscheinlichkeit für Unbrauchbarkeit durch Produktionsfehler berechnen
Die Zufallsgröße Z beschreibe die Anzahl der defekten Geräte aufgrund einer „Überhitzung der
Hauptplatine“. Wir gehen davon aus, dass die Zufallsgröße Z binomialverteilt ist mit n = 150 und
.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den
p = 0, 75
150
defekten Geräten
höchstens 120 Geräte befinden, deren Versagen auf die Überhitzung der Hauptplatine
zurückzuführen ist.
Berechne zunächst Erwartungswert und Standardabweichung von Z :
E(Z ) =
σ =
⋅
⋅
√⋅ ⋅ −
n
p = 150
0, 75 = 112, 5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
p
(1
p) =
√
⋅
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
112, 5
0, 25 =
√
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
28, 125
≈
5, 3
Berechne nun die gefragte Wahrscheinlichkeit:
P(Z
≤
120
120) =
=
Φ
(
−
112, 5 + 0, 5
8
)
5, 3
= Φ
( 5, 3 )
≈
Φ (1, 51)
0, 0, 93448
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 150 defekten Geräten höchstens
zurückzuführen sind, beträgt somit etwa 93, 4% .
120
auf den Produktionsfehler
9. Wahrscheinlichkeit für Pilzbefall von höchstens 50 Bäumen ermitteln
Die Zufallsgröße Z beschreibt bei einer Stichprobe vom Umfang n = 1.000 die Anzahl der mit dem
Pilz befallenen Bäume. Aufgrund der Annahme, dass der Pilzbefall der einzelnen Bäume
unabhängig voneinander stattfindet, ist Z binomialverteilt mit n = 1.000 und p = 0, 04 .
Da die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Normalverteilung ermittelt werden soll, benötigst du noch
den Erwartungswert und die Standardabweichung von Z :
E(Z ) =
σ =
⋅
⋅
√⋅ ⋅ − √ ⋅
n
p = 1.000
0, 04 = 40
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
p
(1
p) =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
40
0, 96 =
√ ≈
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
38, 4
6, 2
Berechne nun die gefragte Wahrscheinlichkeit:
P (Z
≤
50
50) =
=
Φ
(
−
40 + 0, 5
6, 2
10, 5
)
= Φ
( 6, 2 )
≈
Φ (1, 69)
0, 95449
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 1.000 Bäumen höchstens 50 von dem Pilz befallen sind, beträgt
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5 von 6
somit etwa 95, 45% .
10. Mindestanzahl der bereit zu stellenden DVD-Player berechnen
Z
sei die Zufallsvariable, welche die Anzahl der Kunden beschreibt, die einen DVD-Player kaufen
wollen. Z ist binomialverteilt mit n = 5.000 und p = 0, 21 . Es soll nun die Anzahl der DVD-Player
berechnet werden, welche mindestens bereitgestellt werden muss, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von 98% alle Kunden, die einen DVD-Player kaufen wollen, auch einen kaufen
können.
k) = 0, 98 . Diese Gleichung ist
Es muss also eine Zahl k berechnet werden, für die gilt: P(Z
≤
unser Ansatz für später.
Da mit der Normalverteilung gerechnet wird, benötigst du noch Erwartungswert und
Standardabweichung von Z :
E(Z ) =
σ =
⋅
⋅
√⋅ ⋅ − √ ⋅
n
p = 5.000
0, 21 = 1050
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n
p
(1
p) =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1050
0, 79 =
√
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
829, 5
≈
28, 8
Greife nun den Ansatz von oben wieder auf:
P(Z
≤
k
k) = Φ
(
−
1050 + 0, 5
)
28, 8
=
0, 98
In der Tabelle zur Normalverteilung findest du den Wert Φ (2, 06)
k
−
−
1049, 5
28, 8
k
1049, 5
k
≈
≈
≈
2, 06
59, 328
∣⋅
∣
≈
0, 98
:
28, 8
+1049, 5
1108, 83
Es sollten mindestens 1.109 DVD-Player zur Verfügung stehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit
von mindestens 98% jeder Kunde, der einen kaufen will, auch einen DVD-Player kaufen kann.
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