Ubungsblatt 9 (25. bis 29. Juni) - wiwi.uni

Statistik 2
Dr. Andrea Beccarini
Dipl.-Vw. Dipl.-Kffr. Heike Bornewasser-Hermes
Sommersemester 2012
Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni)
Stetiges Verteilungsmodell und Gemeinsame Verteilung
Stetiges Verteilungsmodell - Normalverteilung
Aufgabe 1
Die Normalverteilung wird z.B. zur Beschreibung von Meßfehlern verwendet und ist
durch die Parameter µ (Erwartungswert) und σ 2 (Varianz) charakteristiert.
(a) Welchen Erwartungswert und welche Varianz hat die standardnormalverteilte
Zufallsvariable U ?
(b) Wie lautet die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt U den Wert 0 an?
(d) Wie lautet die Dichte der Standardnormalverteilung an der Stelle u = 0?
(e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt U einen negativen Wert an?
(f) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt U einen Wert ≤ −1 an?
(g) Welcher Wert wird von U mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% überschritten?
(h) Welcher Wert wird von U mit einer Wahrscheinlichkeit von 2.5% unterschritten?
1
Aufgabe 2
Eine Reifenfirma untersucht die Lebensdauer eines neu entwickelten Reifens. Dabei
zeigt sich, dass die ermittelte Lebensdauer der Reifen gut durch eine Normalverteilung
mit den Parametern µ = 36000 und σ = 4000 angenähert werden kann.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Reifen
höchstens 48000 km hält?
(b) Welche Lebensdauer wird von 95 Prozent der Reifen nicht überschritten?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Reifen
mehr als 28000 km hält?
(d) Welche Lebensdauer wird von 90 Prozent der Reifen überschritten?
(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Reifen länger
als 28000 km und weniger als 44000 km hält?
(f) Welches sind die Grenzen des 2-fachen zentralen Schwankungsintervalls?
(g) Errechnen Sie das zentrale Schwankungsintervall, in das 95 Prozent der Reifen
fallen.
Aufgabe 3
Nehmen wir an, dass das Papiergewicht X (in Gramm) einer Klausur mit µ = 90 und
σ = 16 normalverteilt ist.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Klausur mehr als 95 g wiegt?
(b) Berechnen Sie x0,75 . Interpretieren Sie diesen Wert.
(c) Berechnen Sie das zentrale Schwankungsintervall, in das das Gewicht von 80
Prozent der Klausuren fällt.
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Klausur mehr als 80 g und weniger
als 94 g wiegt?
(e) Welches Gewicht wird von 99 Prozent der Klausuren nicht überschritten?
2
Gemeinsame Verteilung
Aufgabe 4
Betrachten Sie die folgende Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten der beiden Zufallsvariablen X und Y .
Y
X
0
1
0
0.4
0.1
0.5
1
0.2 0.6
0.3 0.4
0.5 1
(a) Ermitteln Sie E(X) und E(Y ).
(b) Ermittlen Sie V (X) und V (Y ).
(c) Ermitteln Sie E(X | Y = 0) und E(X | Y = 1).
(d) Ermitteln Sie die Kovarianz Cov(X, Y ).
(e) Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizienten ρXY .
Aufgabe 5
Die nachfolgende Tabelle enthält die Wahrscheinlichkeiten der beiden Zufallsvariablen
X: Bildungsabschluss der Mutter und Y : Bildungsabschluss der Tochter mit 1: kein
Abitur, 2: Abitur und 3: Studium (P (X = 2, Y = 2) = 0.22: Die Wahrscheinlichkeit,
dass sowohl die Mutter als auch die Tochter Abitur haben, beträgt 22%.).
3
Y
X
1
2
3
1
2
3
0.15
0.08
0.05
0.10
0.22
0.06
0.04
0.07
0.23
(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie die Mutter Akademikerin ist und die Tochter kein Abitur hat?
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Tochter einer studierten Mutter
kein Abitur hat?
(c) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(c1) P (X ≤ 1, Y ≤ 2),
(c2) P (X ≤ 3, Y ≤ 2).
(d) Ermitteln Sie die komplette Tabelle der gemeinsamen Verteilungsfunktion P (X ≤
xj , Y ≤ yk ).
(e) Ermitteln Sie die Randwahrscheinlichkeiten von X und Y .
(f) Ermitteln Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten für Y = 2.
(g) Ermitteln Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten für X = 1.
(h) Überprüfen Sie, ob die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig sind.
(i) Ermitteln Sie den bedingten Erwartungswert von X gegeben Y = 2. Berechnen
Sie auch den bedingten Erwartungswert von Y gegeben X = 1.
(j) Vergleichen Sie die von Ihnen berechneten bedingten Erwartungswerte mit den
unbedingten Erwartungswerten und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.
4
Aufgabe 6
Eine Urne enthält 5 Kugeln, von denen zwei 20g und drei 10g wiegen. Es werden zwei
Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Sei X das Gesamtgewicht der beiden Kugeln und
Y das Gewicht der leichteren Kugel.
(a) Bestimmen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und Y .
(b) Bestimmen Sie die Randverteilung von X und die Randverteilung von Y .
(c) Bestimmen Sie die Kovarianz zwischen X und Y .
(d) Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig?
Aufgabe 7
Betrachten Sie die gemeinsame stetige Dichtefunktion der beiden Zufallsvariablen X
und Y :
fX,Y (x, y) =

4xy
für 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
0
sonst.
(a) Kann es sich bei fX,Y tatsächlich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zweier
Zufallsvariablen handeln?
(b) Ermitteln Sie die Randdichten von X und Y .
(c) Vergleichen Sie die bedingte und die unbedingte Verteilung von X.
(d) Wie lauten fX (0.5), fY (0.8) und fX,Y (0.5, 0.8)?
(e) Was können Sie somit über die stochastische Abhängigkeit sagen?
(f) Wie lautet der Erwartungswert von X?
5