A 8-1 Berechnen und Darstellen von Wahrscheinlichkeiten

Schule
Modul
Thema
• Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg
• Mathematik 8
• Arbeitsblatt A 8-1:
1: Berechnen und Darstellen von Wahrscheinlichkeiten &
Binomialverteilung
Berechnen und Darstellen
von Wahrscheinlichkeiten
Literatur: Schulbuch Malle u.a.: „Mathematik verstehen 7“,S. 186 ff
Beispiel 1)
2 Spielerinnen A und B spielen 3 mal dasselbe Spiel, die
1
Gewinnwahrscheinlichkeit
ahrscheinlichkeit für A beträgt p= .
4
Bestimmen Sie Sie W(A gewinnt genau 1 aus 3 Spielen) wie folgt:
a. Zeichnen Sie (im Querformat des Hefts) ein Baumdiagramm mit
" günstige"
jeweils 4 Verzweigungen pro Spielzug und zählen Sie
" mögliche"
b. Abstrahieren Sie Ihr Baumdiagramm durch „bizonale Einteilung“:
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit jeweils 2 Verzweigungen pro
Spielzug. Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der
„Pfadregeln“:
1. Pfadregel:
Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
multipliz
2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden
addiert.
c. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung
n
W( k aus n gezogen)=   p k (1 − p ) n − k
k 
27
Lösungen:
64
1
Erwartungswert
Der Erwartungswert E(X) ist ein Schätzwert für den zu erzielenden Mittelwert μ
der Zufallsvariable X.
Wenn die Zufallsvariable X die Werte x1, x2, ….xn annehmen kann berechnet
sich der Erwartungswert E(X)wie folgt:
E(X)= x1 p(x1)+…….+ xn p(xn)
Definition: Erwartungswert
n
E(x)= ∑ xi ⋅ p(xi⋅ ) =μ Gute Schreibweise für die obige Summe
i =1
∞
Bei stetigen Zufallsvariablen ist E(X)=
∫ x ⋅ f ( x)dx
−∞
Bei der Binomialverteilung gibt es die „Abkürzungsformel“ E(X)= n p.
Beispiel 2)
Berechnen Sie für Beispiel 1 den Erwartungswert mit der Definition.
1
2
 3  1   3 
Anleitung: E(X)= 1 ⋅   ⋅   ⋅   + .....
1  4   4 
3
Lösung: , kontrollieren Sie mit der „Abkürzungsformel“ E(X)= n p
4
Varianz
Die Varianz V(X) oder σ2 ist ein Schätzwert für den zu erzielenden Mittelwert
der Abweichungen vom Mittelwert.
n
σ2(X)=
∑ ( x − µ )2 ⋅ p(xi⋅ )
Definition Varianz σ2(X)
i =1
∞
Bei stetigen Zufallsvariablen ist
σ2 (X)=
∫ (x − µ)
−∞
2
2
⋅ f ( x)dx
Berechnung von σ2(X) ist einfacher durch die folgende Formel.
σ2(X)=E(X2)-μ2
praktische Berechnungsformel für Varianz σ2(X)
∞
Bei stetigen Zufallsvariablen
∫x
σ2 (X)=
2
⋅ f ( x)dx − µ 2
−∞
Die Standardabweichung σ ist die Wurzel aus der Varianz.
Bei der Binomialverteilung gibt es die „Abkürzungsformel“ σ2 (X)= n p (1-p)
Beispiel 3)
Berechnen Sie für Beispiel 1) die Varianz:
1
2
2
1
2
 3  1   3 
 3  1   3 
3
Anleitung: 12 ⋅   ⋅   ⋅   + 2 2 ⋅   ⋅   ⋅   + .. −  
4
1  4   4 
 2  4   4 
9
Lösung:
. Kontrollieren Sie mit der „Abkürzungsformel“.
16
Beispiel 4)!
Stellen Sie die Pfade aus Beispiel 1) bei denen A genau 1 mal gewinnt digital
codiert dar.
Anleitung: A gewinnt, verliert, verliert ≡(1 0 0) oder ( A ∧ ¬A ∧ ¬A)
(A und Nicht-A und Nicht-A)
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel 5)
A und B spielen 3 Partien Schach, Gewinn- Wahrscheinlichkeit pro Spiel für A
1
beträgt
2
1
Gewinn- Wahrscheinlichkeit für B beträgt
3
1
Wahrscheinlichkeit für Unentschieden („Remis“) beträgt
6
Bestimmen und codieren Sie (wie oben) die Wahrscheinlichkeiten:
a. A gewinnt alle Partien
b. 2 Partien remis
c. A und B gewinnen abwechselnd
d. B gewinnt mindestens 1 Partie:
3
Lösungen:
1
a.
8
15
b.
216
5
c.
36
19
d.
27
Beispiel 6)
Auf einen Regentag (heute)folgt mit Wahrscheinlichkeit =0,3 ein Sonnentag
(gibt’s die in Salzburg irgendwo??), auf einen Sonnentag mit Wahrscheinlichkeit =0,25 ein Regentag.
Wie wahrscheinlich ist es, dass
a. Morgen
b. Übermorgen
c. Überübermorgen
die Sonne scheint wenn es heute regnet?
Codieren Sie analog zu „übermorgen“:
(R ∧ S ) ∨ (S ∧ S )
∧ bedeutetUND ∨ bedeutetODER
Lösungen:
a. 0,3
b. 0,435
c. 0,496
Beispiel 7)
Eine Sportlerin hat drei Wiederholungen eines Wettbewerbes zu bestehen.
Aus Erfahrung weiß Sie, dass Sie den ersten Bewerb mit
Wahrscheinlichkeit =0,6 gewinnt.
Aus psychologischen Gründen ändert sich die Gewinn-Wahrscheinlichkeit bei
den 2 folgenden Bewerben um jeweils +0,05 wenn Sie den Bewerb vorher
gewonnen hat, und um jeweils -0,05 wenn Sie den Bewerb vorher verloren hat
hat.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit („gewinnt genau 2 mal“)
Lösung: 0,6*0,65*0,3+0,6*0,35*0,6+0,4*0,55*0,6
4
Beispiel 7)
Eine digitale Nachricht von einem Satelliten zur Erde besteht aus digitalen
Nullen (D0) und digitalen Einsen (D1). Bei einer bestimmten Nachricht sind 5/8
der Bits D0.
Aufgrund atmosphärischer Störungen werden 2/5 der D0 und 1/3 der D1
falsch übertragen (es kommt also das jeweils andere Signal an).
Sie empfangen nun ein D1 („D1E“ für digital 1 empfangen).
Bestimmen Sie
a. Wahrscheinlichkeit („D0G“) (digital D0 gesendet)
b. Wahrscheinlichkeit („D1G“) (digital D1 gesendet)
Lösungen: jeweils ½
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Schreibweise P( A|B) steht in der Mathematik für die Wahrscheinlichkeit,
dass A eintritt, nachdem B schon eingetreten ist.
Man bezeichnet P( A|B) als „bedingte Wahrscheinlichkeit“ und spricht Sie
aus wie „Wahrscheinlichkeit dass A wenn B“ oder „ P A wenn B“.
Wenn A und B eintreten (A UND B) kann dies passieren durch
P( A|B) * P(B)
(lesen Sie von rechts nach links
“Wahrscheinlichkeit dass B eintritt UND Wahrscheinlichkeit dass A eintritt
wenn B schon eingetreten ist“) oder durch
P( B|A) * P(A)
(lesen Sie von rechts nach links
“Wahrscheinlichkeit dass A eintritt UND Wahrscheinlichkeit dass B eintritt
wenn A schon eingetreten ist“).
Also :
P( A|B) * P(B) = P( B|A) * P(A).
Dies erlaubt eine sehr interessante “Beweisumkehr” wie das folgende Beispiel
zeigt.
5
Beispiel 8) (Zahlen erfunden)
Wahrscheinlichkeit für Lungenkrebs
P(L)=0,1
Wahrscheinlichkeit für Raucher
P(R)=0,5
Wahrscheinlichkeit für Raucher wenn Lungenkrebs
P(R|L)=0,9
(kann zB in einer onkologischen Station festgestellt werden, wenn man die
LungenkrebspatienInnen untersucht, ob Sie RaucherIn sind/waren):
Bestimmen Sie nun die interessante Wahrscheinlichkeiten P(L|R) und
P(L|nichtR). Lösungen: 18% und 2%, das Risiko für L ist also für RaucherInnen 9
mal so hoch (900%).
Lösen Sie auch mit einer Darstellung, welche von 100 Personen rauchen oder
nicht rauchen und wieviele davon L haben.
Literatur und Übungen für Zuhause:
Malle 7, Kapitel 9.3 S. 195-200
Malle 7, Kapitel 9.5 S. 208-217, Bild S. 215 „Formen..“
Wenn Sie die Binomialkoeffizienten nochmals studieren wollen:
Malle 7, Kapitel 9.4 S. 201-207
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