Mathematische Methoden der Biowissenschaften II

Universität Bielefeld
SS 2007
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. M. Baake
Mathematische Methoden der
Biowissenschaften II
TEXed by
Marc Paffen
Kristina Petkau
Eyla Willing
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Konzepte und Beispiele
1.1 Münzwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mehrfacher Münzwurf . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Binomialverteilung . . . . . . . . . .
1.2.2 Gleichverteilung . . . . . . . . . . .
1.3 Weiterentwicklung der allgemeinen Theorie
1.4 Fortsetzung: Diskrete Verteilung . . . . . .
1.4.1 Geometrische Verteilung . . . . . . .
1.4.2 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . .
1.5 Theorie neu beleuchtet, Standardgrößen . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
. 2
. 2
. 3
. 5
. 6
. 6
. 6
. 8
. 11
2 Statistik
2.1 Grundlegende Definitionen .
2.1.1 Merkmaltypen . . .
2.1.2 Skalen . . . . . . . .
2.2 Intervallskalierte Größen . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
14
14
15
15
Mathematische Methoden der Biowissenschaften II (Prof. Dr. M. Baake)
TEXed by ewilling
WS 2007
02.04.07, VL 01
1 Elementare Konzepte und Beispiele
1.1 Münzwurf
Ene Münze besitzt die zwei Zustände Kopf/Zahl. Wir gehen davon aus, dass nur diese beiden
Zustände eintreten können. Es sei:
n Versuche: nK Anzahl “Kopf”, nZ Anzahl “Zahl”, nK + nZ = n
Man erwartet“, dass nK ≈ nZ (für n groß), obwohl (weil?) jeder einzelne Wurf zufällig ist.
”
⇒ Idee:
nK
pK “:=“ lim
n→∞ n
|{z}
↑
“Wahrscheinlichkeit für Kopf“
Definition 1.1.1 (fair)
Eine Münze heißt fair, wenn pK = pZ gilt (Dann ist pK = pZ = 12 ).
(abstrakte) Deutung:
1 ≡ K, 0 ≡ Z; P (1) = pK = p
P (0) = pZ = q = 1 − p
yGrundraum: Ω = {0, 1}
Ereignisraum: P(Ω) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} entspricht hier der Potenzmenge von Ω, also der
Menge aller Teilmengen. {1}, {0}: sind die Elementarereignisse
Ereignis
∅
{0}
{1}
{0, 1}
Deutung
weder K noch Z
“unmögliches Ereignis“
Z
K
K oder Z
“Sicheres Ereignis“
Wahrscheinlichkeit
0
q =1−p
p
1
1.2 Mehrfacher Münzwurf
(s1 , s2 , . . . , sn ), si ∈ {0, 1}
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit l-mal eine “1” zu werfen? (Frage: P (ℓ − mal 1)?)
Ansatz:
∃ 2n mögliche Elemtarereignisse, davon
n
ℓ
=
n!
ℓ!(n−ℓ)!
1 n
P (ℓ − mal 1) = Pℓ = n
≥0
2 ℓ
2
mit ℓ − mal 1. Daraus folgt:
Konsistenzcheck
n
X
ℓ=0
Beispiel
n
X
1
n ∗
Pℓ =
·
=1
2n
l
ℓ=0
∗ letztes Sem.
n=4
P
ℓ
1
1
1
1
2
1
1
3
1
4
3
6
1
4
1
16
1
4
1
b
b
b
b
0
b
1
2
3
l
4
Allgemeiner
P (K) = p, P (Z) = 1 − p = q,
0≤p≤1
n
(!)
y P (ℓ − mal 1) = Pℓ =
· pℓ · (1 − p)n−ℓ
ℓ
Check
n X
n
ℓ=0
l
· pℓ · (1 − p)n−ℓ = (p + (1 − p))n = 1n = 1 X
1.2.1 Binomialverteilung
Definition 1.2.1 (Binomialverteilung)
Die durch
n
Pℓ :=
· pl · (1 − p)n−ℓ ,
ℓ
0 ≤ p ≤ 1, n ≥ 1
gegebene Verteilung heißt Binomialverteilung zu den Parametern n und p, abgekürzt als B(n, p).
Frage: Wieviele 1er dürfen wir denn erwarten?
m :=
n
X
ℓ=0
=
n
X
ℓ=1
ℓ · Pl =
n
X
ℓ=1
ℓ·
n
·pl · (1 − p)n−ℓ
ℓ
n−1
·pℓ · (1 − p)n−ℓ = ⊛
n·
ℓ−1
n−1
· pk+1 · (1 − p)n−1−k
k
k=0
n−1
X n − 1
=n · p ·
· pk · (1 − p)n−1−k = n · p
k
⊛=
n−1
X
n
k=1
Dabei heißt m Mittelwert oder Erwartungswert der Verteilung.
3
Mathematische Methoden der Biowissenschaften II (Prof. Dr. M. Baake)
TEXed by mpaffen
Frage:
WS 2007
13.04.07, VL 02
Wie stark variiert das Ergebnis?
V :=
n
X
ℓ=0
=
=
n
X
(ℓ − m)2 · Pℓ
(ℓ2 − 2ℓm + m2 ) · Pℓ
ℓ=0
n
X
l=0
=
n
X
ℓ=0
ℓ · Pℓ
!
ℓ2 · Pℓ
!
2
Diese Größe heißt Varianz , und σ :=
druck
− 2m
− m2
n
X
ℓ=0
|
ℓ · Pℓ
{z
m
!
}
+m2
n
X
Pℓ
ℓ=0
| {z }
1
√
V heißt Standardabweichung der Verteilung. Der Ausn
X
ℓ=0
ℓ2 · Pℓ
heißt 2. Moment.
Um die Varianz zu bestemmen müssen wir noch das 2. Moment berechnen:
n
n
n
X
X
X
n
n
2
ℓ
n−ℓ
2
ℓ · Pℓ =
ℓ·
· p · (1 − p)
=
ℓ ·
· pℓ · (1 − p)n−ℓ
ℓ
ℓ
ℓ=0
ℓ=0
ℓ=1
n
X
n−1
=n·
ℓ·
· pℓ · (1 − p)n−ℓ
ℓ−1
ℓ=1
n−1
X
′
′
n−1
′
(ℓ + 1) ·
= n·p·
· pℓ · (1 − p)n−1−ℓ
′
ℓ′ =ℓ−1
ℓ
ℓ′ =0


#
# " n−1  " n−1 X
 X n − 1 ℓ′
′
′ 
′
n
−
1
ℓ
n−1−ℓ
′
n−1−ℓ

+
p (1 − p)
ℓ
= np
p (1 − p)

1
ℓ′
ℓ′

 ℓ′ =0
ℓ′ =0
{z
} |
{z
}
|
=1
= n · p + n · (n − 1) · p
=(n−1)·p
2
Damit erhalten wir:
V = n p + n(n − 1)p2 − n2 p2 = n p + (n2 − n) p2 − n2 p2
= n p + n2 p2 − n p2 − n2 p2 = n p − n p2 = n p (1 − p) = n p q
Satz 1.2.1
Die Binomialverteilung B(n, p) besitzt die (elementaren) Wahrscheinlichkeiten
n
Pℓ =
· pℓ · (1 − p)n−ℓ ,
0 ≤ ℓ ≤ n,
ℓ
4
den Erwartungswert
m=n·p
und die Varianz
V =n·p·q
Beispiel:
Faire Münze p = q =
(q = 1 − p)
1
2
√
1
n
1
⇒ m = n, V = n bzw. σ =
2
4
2
n = 100, m = 50, σ = 5
√
Beachte: 1
n ist noch ziemlich groß“.
2
”
1.2.2 Gleichverteilung
Ein anderes Beispiel:
Der klassische Würfel
ˆ Elementarereignisse (Ω) : 1, 2, 3, 4, 5, 6
ˆ Fair: P(1) = · · · = P(6) =
1
6
ˆ Erwartungswert:
m=
6
X
ℓ=1
ˆ Varianz V =
1
6
6
X
ℓ=1
ℓ
ℓ·
1 1
7
1
= · ·6·7=
6
6 2
2
oder:
1
1 · P + 2 · P(2) + · · · + 6 · P(6) = · (1 + 2 + · · · + 6)
6
1 1
1 1
7
= · k(k + 1)
= · · 6 · 7 = = 3, 5
6 2
6
2
2
k=6
2
!
−
49
4
=
91
6
−
49
4
=
35
12
Definition und Satz 1.2.1 (Gleichverteilung)
Der faire Würfel mit n Seiten wird durch die Gleichverteilung beschrieben, mit P1 = P2 = · · · =
Pn = n1 . Dabei gilt:
1
m = · (n + 1)
2
1
V =
· (n + 1) · (n − 1)
12
Beweis:
(i)
m=
1 1
n+1
1
· (1 + 2 + · · · + n) = · n · (n + 1) =
n
n 2
2
(ii)
n
X
ℓ=1
ℓ2 · Pℓ =
n
X
ℓ=1
ℓ2 ·
n
1
1 X 2 (!) 1 1
(n + 1)(2n + 1)
= ·
ℓ = · · n · (n + 1) · (2n + 1) =
n
n
n 6
6
ℓ=1
5
Dann ist die Varianz :
V =
(n + 1)(2n + 1) (n + 1)2
n2 − 1
1
−
= ··· =
=
· (n + 1)(n − 1)
6
4
12
12
2
1.3 Weiterentwicklung der allgemeinen Theorie
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(Ω) = {∅, {1}, {2}, {3}, . . ., {6}, {1, 2}, {1, 3}, . . ., Ω}
(Grundraum)
Ereignisraum
Der Ereignisraum hat 26 Elemente.
Deutung:
∅
{1}, etc
{1, 2}
..
.
unmögliches Ereignis
Elementarwurf
Wurf von 1 oder 2
{1, 3, 5}
..
.
Wurf ist ungerade
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
sicheres Ereignis
Wahrschenlichkeiten:
A ∈ P(Ω) y P(A)
Wir nehmen an, dass P(A) für alle A ∈ P(Ω) existiert. Axiome (offensichtliche Eigenschaften)
ˆ 0 ≤ P(A) ≤ 1,
ˆ P(∅) = 0
∀A ∈ P(Ω)
P(Ω) = 1
ˆ A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
ˆ Ā := Ω \ A ⇒ P(Ā) = 1 − P(A)
Komplementärereignis“
”
Dies motiviert:
Definition: 1.3.1 (Wahrscheinlichkeitsraum)
Ist ein endlicher Grundraum Ω gegeben, zusammen mit einer Abbildung. P : P → [0, 1], die
Axiome erfüllt, so heißt das Tripel (Ω, P(Ω), P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Beispiel:
Münzwurf, Würfel, Roulette
Problem:
Wenn Ω nicht endlich ist, muss man P(Ω) durch eine kleinere Menge ersetzen, genannt Σ.
y Satz von Vitali P(Ω) dann nicht möglich.
1.4 Fortsetzung: Diskrete Verteilung
1.4.1 Geometrische Verteilung
Ausgangspunkt: (gezinkte) Münze: Bernoulli-Experiment mit Wahrscheinlichkeit 0 < p < 1
6
Frage: Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1“ (Kopf) genau beim n-ten Wurf zum ersten
”
mal auftritt?
y P( 1“ zum ersten Mal genau in Wurf n) = (1 − p)n−1 · p = Pn
”
(Ω = N)
Normierung:
∞
X
n=1
Pn =
∞
X
n−1
(1 − p)
n=1
∞
X
·p= p·
(1 − p)ℓ = p ·
ℓ=0
p
1
= =1
1 − (1 − p)
p
Satz 1.4.1
Die geometrische Verteilung mit Parameter p, 0 < p < 1, ist durch die Wahrscheinlichkeit
Pn = (1 − p)n−1 · p,
gegeben. Sie erfüllt m =
1
p
und V =
1−p
p2
7
n ∈ N,
Mathematische Methoden der Biowissenschaften II (Prof. Dr. M. Baake)
TEXed by kpetkau
WS 2007
20.04.07, VL 03
Erwartungswert:
m=
∞
X
n · Pn =
n=1
∞
X
=p ·
n=1
∞
X
n=1
n−1 n·x
∞
∞
X
d n d X n (!)
=p·
x x = p·
dx dx n=1 n=1
x=1−p
x=1−p
x=1−p
1
d 1 p
1
=p·
=p
= 2 =
2
dx 1 − x (1 − x) p
p
∞
d X n x =p ·
dx n=0 | {z } x=1−p
(!)
1
1−x
Varianz:
n · (1 − p)n−1 p
x=1−p
x=1−p
2.Moment:
∞
X
n=1
2
n · Pn =
∞
X
n=1
2
n−1
n · (1 − p)
d
n
·x n
p=p
dx
n=1 | {z }
∞
d n (!!) X d
x·
=p
x dx
dx
n=1
Varianz:
d
x
=p ·
·
dx (1 − x)2 ∞
X
x=1−p
n·xn−1

x=1−p
x=1−p



d
1
d 
x ·

·
=p·

dx  |dx {z
1 − x}
x=1−p
1
(1−x)2
1 + x = ... = p ·
(1 − x)3 1
1−p
2−p
V = 2 − 2 =
p
p
p2
2
V =2. Moment − m
√
1−p
σ=
p
Beispiel: Idealer Würfel – Wann erscheint eine 6?
p=

1
, m = 6, V = 30 (groß!)
6
1.4.2 Poisson-Verteilung
Betrachte B(n, p) mit n riesig“ und p klein“
”
”
y unbequem! y Setze λ = n · p
Asymptotisch betrachten wir einen Grenzwert:
n→∞ mit λ = n · p
p→0
8
=
x=1−p
2
2−p
p2
In diesem Limes wird die Wahrscheinlichkeit, dass 1“ genau n-mal eintritt (extrem gezinkte
”
Münze) gegeben durch:
λn −λ
(n ∈ N0 )
P (n − mal 1“) = Pn =
e
”
n!
Der Beweis folgt mit der sogenannten Stirlingschen Formel“, wird hier aber ausgelassen.
”
Normierung:
∞
∞
X
X
λn −λ
λn
e = e−λ
= e−λ · eλ = e0 = 1
n!
n!
n=0
n=0
| {z }
eλ
Erwartungswert:
∞
X
λn−1
λn −λ
−λ
=λ
e = λe
n·
n!
(n − 1)!
n=1
n=0
{z
}
|
∞
X
=eλ
2.Moment:
∞
X
n=0
n2 ·
(!)
= λe−λ
∞
X
X d
λn −λ
λn
λn−1
e = λe−λ
= λe−λ
n
n!
(n − 1)!
dλ (n − 1)!
n=1
n≥1


 X

λn−1 
d 
d X λn
λ
 = λe−λ d λeλ
= λe−λ


dλ
(n − 1)!
dλ 
(n − 1)! 
dλ
n≥1
n≥1
|
{z
}
eλ
= λe
Varianz:
−λ
λ
λ
2
(e + λe ) = λ + λ
⇒ V = 2. Moment − m2 = λ + λ2 − λ2 = λ
Satz:
Die Poisson-Verteilung mit Parameter λ > 0 ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeiten
Pn =
λn −λ
e ,
n!
Sie besitzt Erwartungswert
m=λ
und die Varianz
V = λ.
9
n ∈ N0 .
Beispiel/Anwendung:
(i) radioaktive Zerfälle pro Zeiteinheit.
(ii) # Rosinen pro Volumeneinheit in (engl.) Kuchen
(iii) # Regentropfen pro Pflasterstein und Zeiteinheit
(iv) # Pferdehufschlagtote in preussischen Kavallerieregimenten
Drei Bemerkungen:
(i)
α
n
=
α(α−1)·...·(α−n+1)
n!
(ii) (1 + x)α =
∞ X
α n
x ,
n
n=0
,
(α ∈ R)
für α ∈ R und |x| < 1 (Newton 1667)
(iii) Poisson aus Binomial → Ergänzung!
Siehe Skript
10
1.5 Theorie neu beleuchtet, Standardgrößen
Zurück zu (Ω, P (Ω), P)(bzw.(Ω, Σ, P)):
Da Ω recht abstrakt sein kann ( Farbe“,Kopf/Zahl), benötigt man noch ein Konzept zum Quan”
tifizieren.
Definition 1.5.1 (Zufallsvariable, ZV)
Unter einer Zufallsvariable (ZV) versteht man eine Abbildung X : Ω → R.
Die Werte, die X annehmen kann, heißen Ihre Realisierungen.
Je nach Bildbereich nennt man X diskrete oder kontinuierliche Zufallsvariable.
Beispiel: Ω = {Kopf, Zahl} ;
X:Ω→R :
X(Kopf)
X(Zahl)
=1
=0
Weil der Münzwurf zufällig ist, mit Ereignis w ∈ Ω, ist auch x = X(w) zufällig.
Notation:
X für Zufallsvariable, x für Realisierung (oder auch K für Zufallsvariable, k für Realisierung)
Zuordnung: (im diskreten Fall):
pi = P(X = xi ) =
X
P(wj )
j
X(wj )=xi
Definition 1.5.2 (Verteilungsfunktion)
Sei X eine Zufallsvariable, zum Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P). Dann heißt:
F (x) := P(X ≤ x)
die zugehörige Verteilungfunktion.
Eigenschaften
(i) 0 ≤ F (x) ≤ 1, mit lim F (x) =
x→±∞
(ii) x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y)
Beipiel: Münzwurf:
X(Ω) = {0, 1} ⊂ R
(
1 (+)
0 (−)
(Monotonie)
GRAPH
rechtsseitig stetig
Für diskrete Zufallsvariablen ist die Verteilungsfunktion eine Funktion mit Sprungstellen versehen. Für kontinuierliche Zufallsvariablen hingegen sieht das vielleicht so aus:
GRAPH
11
Dies liegt nahe:
Z
F (x) =
| {z }
x
−∞
f (ξ) dξ
|{z}
f (ξ)ist Dichtefunktion, f ≥ 0, Fläche 1“
”
Verteilungsfunktion
Beispiel: Gleichverteilung auf [a, b]
GRAPH, Funktionen
f (x) =
F (x)
(
1
b−a ,
wenna ≤ x ≤ b
sonst
0,


0,
x<a
a≤x≤b
b≤x
= x−a
,
 b−a

y P(X ∈ [α, β]) =
1,
Z
β
α
f (x) dx = F (β) − F (α)
(!)
Definition 1.5.3 (Standardgrößen (E,V,SD))
Ist X eine diskrete Zufallsvariable (über(Ω, Σ, P)), so heißt
X
xi · P(X = xi )
m := E(X) :=
ihr Erwartungswert.
Ist X kontinuierlich, mit Dichte f (x), so ist
m := E(x) :=
Z
+∞
−∞
x · f (x)dx
Allgemein:
E(g(x)) :=
Z
+∞
−∞
g(x) · f (x)dx
(bzw. E(x) =
−∞
X
i
(g(xi )) · P(X = xi ))
Weiter heißt
V = E((X − m)2 )
Varianz von X, und σ =
Lemma 1.5.1:
√
V heißt Standardabweichung.
E (X − m)2 = E X 2 − m2 = E X 2 − E(X)2
12
Beweis:
Wie früher, nämlich : E(.) ist linear!!!
E (X − m)2 =E(X 2 − 2mX + m2 ) = E(X 2 ) − 2m E(X) +m2 · E(1)
| {z }
| {z }
m
2
2
=E(X ) − 2m + m
=E(X 2 ) − m2
2
2
=E(X 2 ) − (E(X))
13
2
=1
Mathematische Methoden der Biowissenschaften II (Prof. Dr. M. Baake)
TEXed by mpaffen
WS 2007
04.05.07, VL 05
2 Statistik
Angenommen, wir haben eine faire Münze. Sie wird 4 mal geworfen. Wie hoch ist dann die
Wahrschienlichkeit 2 mal Kopf zu erhalten.
2 2
4
1
1
P4 (2 Erfolge) =
·
·
2
2
2
Wahrscheinlichkeitsrechnung
↓
Berechne Wahrscheinlichkeiten
Schlüsse über die Verteilung
↑
(schließende Statistik) Sammlung und Darstellung von Daten
(Beschreibende Statistik)
2.1 Grundlegende Definitionen
Beschreibende Statistik befasst sich mit der Sammlung und Darstellung der Daten.
Schließende Statistik zieht Schlüsse über die Verteilung auf Geund von gesammelten Daten.
Statistiche Einheiten sind die Objekte/Personen, über die wir unsere Daten sammel, Gegenstück in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ω.
Grundgesamtheit ist die Menge aller statistischen Einheiten. Gegenstück in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist Ω.
Stichprobenumfang nennt man die Größe der Stichprobe.
Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit. (Teilgesamtheit). x1 , . . . , xn . Die einzelnen Elemente der Stichprobe müssen dabei zufällig (gut gemischt) aus der Grundgesamtheit
ausgewählt werden.
Merkmale sind Größen, die an den statistischen Einheiten gemessen werden.
Merkmalsprägungen sind die möglichen Werte der Merkmale.
2.1.1 Merkmaltypen
Diskrete Merkmale haben endlich viele oder abzählbar unendliche mögliche Werte.
Stetige Merkmale können alle Werte eines Intervalls annehmen.
Stetige Merkmale lassen sich durch Gruppierung des Intervalls in diskrete Merkmale transformieren.
14
2.1.2 Skalen
Nominalskalierte Merkmale sind solche, deren Werte Namen (Bezeichnungen) sind. (Farbe,
Religion, Geschlecht)
Ordinalskalierte Merkmale sind deren Werte Ordnungsrelationenn zulassen, aber Wertedifferenzen haben keine Bedeutung. (Engagement)
Intervallsklaierte Merkmale erlauben Ordnungsrelationen und die Wertedifferenzen enthalten Informationen. (Temperatur)
Skalenart
nominal
ordinal
intervall
auszählen
ja
ja
ja
ordnen
nein
ja
ja
Differenz bilden
nein
nein
ja
2.2 Intervallskalierte Größen
ˆ Merkmal
Zufallsvariable X
ˆ Ausprägung
Die Möglichen Werte von X
ˆ Stichprobe
x1 , x2 , . . . , xn
(unabhängige, zufällige n Realisierungen von X)
Ordne nach Werten ξ1 < ξ2 < . . . < ξr , r ≤ n
ˆ Absolute Häufigkeiten
n 1 , n 2 , . . . , nr ,
X
nj = n
j
ˆ Relative Häufigkeiten
nj X
,
hj = 1
n
n2
nr
n1
, h2 =
, . . . , hr =
h1 =
n
n
n
hj :=
x1
ξ1
n1
h1
<
x2
ξ2
n2
h2
<
...
...
...
...
<
xn
ξr
nr
hr
ˆ approkimierte wahrscheinlichkeit
lim h = pj = P(X = ξj )“
” n→∞ j
ˆ empirischer Mittelwert
r
x̄ :=
ˆ empirische Varianz
s2 :=
1X
x1 + . . . + xn
ni · ξi
=
n
n i=1
(x1 − x̄)2 + . . . + (xn − x̄)2
n−1
15
Index
Binomial
-verteilung, 3
Binomialverteilung, 5
Ereignisraum, 2
Erwartungswert, 3
Binomialverteilung, 5
fair, 2
Gleichverteilung, 5
Grundraum, 2
Münzwurf, 2
-mehrfacher, 2
Mittelwert, 3
Raum
Ereignis-, 2
Grund-, 2
Standardabweichung, 4
Varianz, 4
Binomialverteilung, 5
Verteilung
Binomial-, 3
Wahrscheinlichkeitsraum, 6
16