File

Elektrodynamik
WS 1998/99
W. Cassing
Institut fur Theoretische Physik
Universitat Giessen
1
Inhaltsverzeichnis
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . .
Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . .
Konzept des elektromagnetischen Feldes
Maxwell'sche Gleichungen . . . . . . . .
Materie im elektromagnetischen Feld . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
I Elektrostatik
7
1 Coulomb'sches Gesetz
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Ladungserhaltung und Ladungsinvarianz . . . . . . . .
Coulomb-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das elektrische Feld eines Systems von Punktladungen
U bergang zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen . . .
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Grundlagen der Elektrostatik
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Flu eines Vektor-Feldes . . . . . . .
Satz von Gau . . . . . . . . . . . .
Anwendungen des Gau'schen Satzes
Dierentialgleichungen fur E und .
Energie des elektrostatischen Feldes .
Multipole im elektrischen Feld . . . .
3 Randwertprobleme der Elektrostatik
3.1
3.2
3.3
3.4
Eindeutigkeitstheorem .
Spiegelungsmethode . . .
Inversionsmethode . . .
Trennung der Variablen .
3
3
4
4
5
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
. 8
. 9
. 10
. 11
. 12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
16
16
18
19
20
22
23
23
24
25
27
II Magnetostatik
29
4 Ampere'sches Gesetz
30
4.1 Elektrischer Strom und Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Ampere'sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
4.3 Formel von Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Kraft und Drehmoment auf einen Strom im Magnetfeld . . . . . . . . . . . 34
4.5 Krafte zwischen Stromen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Grundgleichungen der Magnetostatik
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Divergenz der magnetischen Induktion . . .
Rotation von B . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektor-Potential . . . . . . . . . . . . . . . .
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . .
Energie eines Dipols im aueren Magnetfeld
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
III Grundlagen der Elektrodynamik
Konzept des elektromagnetischen Feldes . . .
Faraday'sches Induktionsgesetz . . . . . . . .
Erweiterung des Ampere'schen Gesetzes . . .
U bersicht uber die Maxwell'schen Gleichungen
Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Die elektromagnetischen Potentiale
7.1
7.2
7.3
7.4
Skalares Potential und Vektorpotential
Lorentz-Konvention . . . . . . . . . . .
Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . .
Induktionsgesetz, Selbstinduktion . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 Energie, Impuls und Drehimpuls des elektromagnetischen Feldes
8.1
8.2
8.3
8.4
Energie . . . . . . .
Impuls . . . . . . .
Drehimpuls . . . .
Zusammenfassung .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
IV Elektromagnetische Strahlung
Homogene Wellengleichungen . .
Ebene Wellen . . . . . . . . . . .
Monochromatische ebene Wellen .
Polarisation . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
10 Wellenpakete im Vakuum
.
.
.
.
.
.
.
.
44
44
44
47
48
48
49
49
50
51
52
53
53
55
57
57
58
9 Das elektromagnetische Feld im Vakuum
9.1
9.2
9.3
9.4
37
38
39
40
42
43
6 Die Maxwell'schen Gleichungen
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
37
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
59
60
61
64
66
10.1 Informationsubertragung durch elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . 66
10.2 Fourier-Reihen und Fourier-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3 Spektrale Zerlegung ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3
10.4 -Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.5 Allgemeine Losung der homogenen Wellengleichung; Wellenpakete . . . . . 70
11 Losungen der inhomogenen Wellengleichungen
11.1
11.2
11.3
11.4
Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konstruktion von G . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektromagnetische Strahlung bewegter Punktladungen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12 Multipolstrahlung
73
73
74
76
78
81
12.1 Langwellen-Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12.2 Elektrische Dipol - Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.3 Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupol - Strahlung . . . . . . . . . 84
13 Systematik der Multipolentwicklung
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
Multipolentwicklung statischer Felder . . . . . . . . . .
Allgemeine Eigenschaften der Kugelfunktionen . . . . .
Multipolentwicklung des Strahlungsfeldes . . . . . . . .
Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugelfunktionen
Nutzen der Entwicklung nach Kugelfunktionen . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
88
88
90
92
94
95
V Das elektromagnetische Feld in Materie
96
14 Makroskopische Felder
97
14.1 Makroskopische Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14.2 Freie und gebundene Ladungstrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14.3 Polarisation und Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15 Energie, Impuls und Drehimpuls des makroskopischen Feldes
103
16 Elektrische und magnetische Eigenschaften der Materie
107
15.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15.2 Impuls, Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.3 Die Kirchho'schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
Ohm'sches Gesetz; elektrische Leitfahigkeit .
Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Para- und Diamagnetismus . . . . . . . . . .
Temperaturabhangigkeit der Polarisation . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17 Verhalten des elektromagnetischen Feldes an Grenzachen
17.1
17.2
17.3
17.4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Allgemeine Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare, isotrope Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reexion und Brechung von Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in leitenden Materialien .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
107
108
109
110
112
114
114
116
117
119
VI Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
18 Kovarianz der Elektrodynamik
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . .
Lorentz-Gruppe (Vierer-Tensoren) .
Viererstromdichte . . . . . . . . . .
Vierer-Potential . . . . . . . . . . .
Ebene Wellen . . . . . . . . . . . .
Transformation der Felder E und B
Das Coulomb-Feld . . . . . . . . .
19 Relativistische Mechanik
19.1
19.2
19.3
19.4
19.5
Impuls und Energie . . . . . . . .
Stoprobleme . . . . . . . . . . .
Bewegungsgleichungen . . . . . .
Lorentz-Transformation der Kraft
Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
5
121
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
122
122
124
126
127
128
129
130
132
132
135
136
138
138
Einfuhrung in die Elektrodynamik
0.1 Elektrische Ladung
Wahrend in der Mechanik die Eigenschaft Masse im Vordergrund steht, ist die Ladung
von Massenpunkten Ausgangspunkt der Elektrodynamik. Sie besitzt eine Reihe von fundamentalen Eigenschaften, die durch vielfaltige experimentelle Messungen gesichert sind:
1.) Es gibt 2 Sorten von Ladungen: positive und negative. Ladungen gleichen Vorzeichens
stoen sich ab, Ladungen verschiedenen Vorzeichens ziehen sich an.
2.) Die Gesamtladung eines Systems von Massenpunkten ist die algebraische Summe der
Einzelladungen; die Ladung ist ein Skalar.
3.) Die Gesamtladung eines abgeschlossenen Systems ist konstant und ihr Zahlenwert
unabhangig vom Bewegungszustand des Systems.
4.) Ladung kommt nur als Vielfaches einer Elementarladung e (eines Elektrons) vor,
q = ne; n = 0; 1; 2; 3; :::
Klassischer Nachweis fur diese Quantisierung der Ladung ist der Millikan-Versuch.
Den Elementarteilchen Quarks ordnet man zwar drittelzahlige Ladungen zu, d.h. q =
1=3e bzw. q = 2=3e, jedoch sind diese Quarks im uns hier interessierenden Energiebereich nicht als freie Teilchen beobachtbar.
0.2 Elektrostatik
Das einfachste Problem der Elektrodynamik ist der Fall ruhender Ladungen, den wir mit
Elektrostatik bezeichnen. Bringt man in die Umgebung einer (oder mehrerer) raumlich
xierter Punktladungen eine Probeladung q, so wirkt auf diese Probeladung eine Kraft K,
welche im allgemeinen vom Ort r der Probeladung abhangt:
K = K(r):
Ersetzt man q durch eine andere Probeladung q0, so ndet man fur die auf q0 wirkende
Kraft K0:
K0=q0 = K=q:
Diese Erfahrung legt es nahe, den Begri des elektrischen Feldes
E(r) = 1q K(r)
einzufuhren. Dieses von den ruhenden Punktladungen erzeugte Feld ordnet jedem Raumpunkt r ein Tripel reeller Zahlen zu, welches sich wie ein Vektor transformiert.
Aufgabe der Elektrostatik ist es, den allgemeinen Zusammenhang von Ladungsverteilung (r) und elektrischen Feld E(r) zu nden und daraus bei gegebener Ladungsverteilung (z.B. einer homogenen raumlichen Kugel) das Feld zu berechnen.
6
0.3 Magnetostatik
Bewegte Ladungen in Form stationarer Strome sind der Ursprung magnetostatischer Felder, die wir in Analogie zu den elektrostatischen Feldern einfuhren wollen. Wir gehen von
folgender experimenteller Erfahrung aus: Bringt man in die Umgebung eines von einem
stationaren Strom durchossenen Leiters eine Probeladung q, so kann die auf q am Ort r
wirkende Kraft geschrieben werden als
K(r) = q(v B(r)):
Dabei ist v die Geschwindigkeit der Probeladung und B(r) ein (von v unabhangiges)
Vektorfeld, hervorgerufen durch den vorgegebenen stationaren Strom.
Aufgabe der Magnetostatik ist es, den allgemeinen Zusammenhang zwischen einer
stationaren Stromverteilung j(r) und dem magnetischen Feld B(r) zu nden und daraus
bei gegebener Stromverteilung (z.B. fur einen stationaren Kreisstrom) das Feld zu berechnen.
0.4 Konzept des elektromagnetischen Feldes
Nach den bisherigen Ausfuhrungen konnte der Eindruck entstehen, als seien das elektrische und das magnetische Feld von einander unabhangige Groen. Da dies nicht der Fall
ist, zeigen folgende einfache U berlegungen:
1.) Wenn eine Punktladung Q in einem Inertialsystem ruht, so mit (uber die auf eine
Probeladung q wirkende Kraft) ein Beobachter in ein elektrisches Feld E 6= 0, jedoch
kein Magnetfeld. Fur einen anderen Beobachter in einem gegenuber bewegten Inertialsystem 0 ist die Ladung bewegt. Der Beobachter in 0 mit daher sowohl ein elektrisches
Feld E0 6= 0 als auch ein magnetisches Feld B0 6= 0. Die Wechselwirkung zwischen der
betrachteten Ladung und einer Probeladung q wurde also von einem Beobachter in als rein elektrische Wechselwirkung (vermittelt durch das Feld E) beschrieben, wahrend
ein Beobachter in 0 sowohl elektrische als auch magnetische Wechselwirkung feststellen
wurde (vermittelt durch die Felder E0 und B0). Diese Betrachtung zeigt, da man elektrisches und magnetisches Feld als eine Einheit ansehen mu, als elektromagnetisches
Feld.
Anmerkung: Fur den in 0.3 diskutierten Fall eines von einem stationaren Strom durchossenen Leiters tritt kein elektrisches Feld auf, da bei einem stationaren Strom im Leiter
kein Ladungsstau auftritt, so da sich die im Leiter bendlichen positiven und negativen
Ladungstrager (Gitterbausteine und Leitungselektronen) nach auen hin kompensieren.
2.) Die wechselseitige Abhangigkeit von elektrischem und magnetischem Feld tritt unvermeidbar dann zu Tage, wenn wir beliebige Ladungs- und Stromverteilungen (r) und
j(r) zulassen. Die Forderung der Ladungserhaltung ergibt dann eine Verknupfung von und j, da die Ladung in einem bestimmten Volumen V nur ab(zu)-nehmen kann, indem
ein entsprechender Strom durch die Oberache von V hinaus(hinein)-iet. Dann konnen
aber E und B nicht mehr unabhangig voneinander berechnet werden.
7
0.5 Maxwell'sche Gleichungen
Den allgemeinen Zusammenhang zwischen E; B und den Ladungen (den Quellen des
elektromagnetischen Feldes) beschreiben die Maxwell-Gleichungen. Folgende Aufgabe
ergibt sich:
1.) die Maxwell-Gleichungen zu formulieren und experimentell zu begrunden,
2.) ihre Invarianzeigenschaften zu untersuchen, woraus sich direkt der Zugang zur speziellen Relativitatstheorie ergibt. Die Untersuchung wird zeigen, da der U bergang von
einem Inertialsystem zu einem anderen durch eine Lorentz-Transformation beschrieben werden mu, d.h. fur alle Inertialbeobachter die gleiche Physik gilt.
3.) Energie-, Impuls- und Drehimpuls-Bilanz fur ein System geladener Massenpunkte im
elektromagnetischen Feld werden dazu fuhren, dem elektromagnetischen Feld Energie,
Impuls und Drehimpuls zuzuordnen. Daraus werden sich dann Begrie wie Strahlungsdruck und die Einfuhrung von Photonen ergeben.
4.) Losungstheorie der Maxwell-Gleichungen. Beispiele sind die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen oder die Strahlung eines schwingenden elektrischen Dipols.
0.6 Materie im elektromagnetischen Feld
Die Maxwell-Gleichungen bestimmen im Prinzip die Felder E(r; t) und B(r; t) vollstandig,
wenn die Ladungsverteilung (r; t) und die Stromverteilung j(r; t) bekannt sind. In der
Praxis treten dabei folgende Probleme auf:
1.) Fur ein System von N geladenen Massenpunkten mute man die Newton'schen Bewegungsgleichungen losen, um (r; t) und j(r; t) mikroskopisch berechnen zu konnen. Fur
ein Stuck Materie von makroskopischen Dimensionen (z.B. das Dielektrikum zwischen
den Platten eines Kondensators oder dem Eisenkern einer stromdurchossenen Spule)
haben wir es mit 1020 1025 Massenpunkten zu tun!
2.) Die mikroskopisch berechneten Funktionen (r; t) und j(r; t) werden im allgemeinen
starke Schwankungen uber kleine raumliche und zeitliche Distanzen aufweisen. Die Losung
von Maxwell-Gleichungen (mehrdimensionale Integrationen) ware dann praktisch nicht
durchfuhrbar bzw. unokonomisch!
Einen Ausweg aus dieser Problematik bietet der folgende Kompromi: Wir verzichten auf die Kenntnis des elektromagnetischen Feldes in mikroskopischen Dimensionen
(Volumina von 10 24cm3 , Zeiten von 10 8sec) und geben uns mit Mittelwerten (10 6
cm3; 10 3sec) zufrieden. Anstelle von (r; t), j(r; t), E(r; t) und B(r; t) treten dann Mittelwerte der Form
Z
1
< (r; t) >= V t dd (r + ; t + )
und entsprechend fur < j(r; t) >, < E(r; t) > und < B(r; t) >. Aus den MaxwellGleichungen der mikroskopischen Felder ergeben sich dann Gleichungen ahnlicher Struktur fur das makroskopische elektromagnetische Feld. Die darin auftretenden Verteilungen
< > und < j > werden dann durch den experimentellen Aufbau deniert bzw. eingestellt.
8
Es hat sich in diesem Zusammenhang als zweckmaig erwiesen, zu den Mittelwerten
der fundamentalen Felder, der elektrischen Feldstarke E und der magnetischen Induktion B, noch zwei weitere Vektorfelder als Hilfsgroen einzufuhren: die dielektrische
Verschiebung D und die magnetische Feldstarke H. Die dann zusatzlich benotigten
Bestimmungsgleichungen gewinnt man durch Annahme eines linearen Zusammenhanges
von E und D bzw. B und H, charakterisiert durch die Dielektrizitatskonstante und
die Permeabilitat . Haug ist die makroskopische Stromverteilung nicht von auen
vorgebbar, sondern noch von den zu berechnenden Feldern abhangig. Im einfachsten Fall
(Ohm'sches Gesetz) setzt man einen linearen Zusammenhang zwischen makroskopischem
Strom und elektrischer Feldstarke an, womit (als Proportionalitatskonstante) eine weitere
Materialkonstante ins Spiel kommt: die elektrische Leitfahigkeit . Die Berechnung
dieser Materialkonstanten (; ; ) aus der atomaren Struktur der Materie gehort in den
Bereich der Atom- und Festkorperphysik und benutzt Methoden der statistischen Mechanik.
Damit ergeben sich folgende Aufgabenstellungen:
1.) U bergang von den mikroskopischen zu den makroskopischen Maxwell-Gleichungen.
2.) Einfuhrung von Materialkonstanten und ihre Berechnung aus der atomaren Struktur
der Materie fur einfache Modelle.
3.) Verhalten der Felder an Grenzachen zwischen verschiedenen Medien. Beispiel: Das
Reexions- und Brechungs-Gesetz der Optik.
9
Teil I
Elektrostatik
10
Kapitel 1
Coulomb'sches Gesetz
1.1 Ladungserhaltung und Ladungsinvarianz
In der Einfuhrung hatten wir die grundlegenden Eigenschaften der elektrischen Ladung
kurz zusammengestellt. Zur experimentellen Prufung dieser Eigenschaften benotigt man
zunachst eine Mevorschrift fur Ladung. Eine solche Mevorschrift wird im nachsten
Unterkapitel nachgeliefert. Zuvor noch einige Erganzungen zur Ladungserhaltung und
Ladungsinvarianz.
Besonders eindrucksvolle Beweise fur die Ladungserhaltung sind die Paar-Erzeugung
und Paar-Vernichtung. So zerstrahlen z.B. ein Elektron (e ) und ein Positron (e+) in ein
hochenergetisches massives Photon ( -Quant), welches ungeladen ist; umgekehrt entsteht
bei der Paar-Erzeugung (z.B. in +; Mesonen) stets gleich viel positive wie negative
Ladung.
e
e+
+
+e + ( e) = 0 q = 0
+ e + ( e) = 0
Die Ladungsinvarianz zeigt sich z.B. darin, da Atome und Molekule neutral sind,
obwohl der Bewegungszustand von Photonen und Elektronen sehr unterschiedlich ist.
Besonders klar ist das Beispiel des Helium-Atoms (4 He) und des Deuterium-Molekuls
(D2). Beide bestehen aus 2 Protonen und 2 Neutronen sowie 2 Elektronen und sind
damit elektrisch neutral, obwohl der Bewegungszustand der Protonen im Kern des HeliumAtoms und des D2-Molekuls sehr verschieden sind: das Verhaltnis der kinetischen Energien
ist etwa 106, der mittlere Abstand der Protonen im D2 -Molekul in der Groenordnung
von 10 8 cm, im He-Kern von 10 13 cm.
11
1.2 Coulomb-Kraft
Als experimentell gesicherte Grundlage fur die Elektrostatik benutzen wir das Coulomb'sche Kraftgesetz zwischen 2 Punktladungen:
(1.1)
K12 = e qr13q2 r12
12
ist die von Ladung q1 auf Ladung q2 ausgeubte Kraft.
Eigenschaften:
1.) Anziehung (Abstoung) fur ungleichenamige (gleichnamige) Ladungen.
2.) K12 = K21 : Actio = Reactio; also ist der Impuls der beiden Teilchen erhalten.
3.) Zentralkraft: da eine Punktladung (beschrieben durch die skalaren Groen m; q) im
Raum keine Richtung auszeichnet. (! Drehimpulserhaltung)
Anmerkung: Fur (schnell) bewegte Ladungen gilt (1.1) nicht mehr. Das elektromagne-
tische Feld ist dann in die Impuls- und Drehimpulsbilanz einzubeziehen.
Gleichung (1.1) ist zu erganzen durch das Superpositionsprinzip:
K1 = K21 + K31
(1.2)
fur die von 2 Punktladungen q2 und q3 auf q1 ausgeubte Kraft.
Mevorschrift fur Ladung:
Vergleicht man 2 Ladungen q; q0 an Hand der von einer festen Ladung Q auf sie ausgeubten Kraft, so ndet man fur Punktladungen gema (1.1):
q = K:
(1.3)
q0 K 0
Damit sind Ladungsverhaltnisse durch Kraftmessung zu bestimmen: Nach Wahl einer
Einheitsladung (Ladung des Elektrons oder Positrons) konnen wir Ladungen relativ zu
dieser Einheitsladung messen.
Masysteme:
Fur die Festlegung der Proportionalitatskonstanten e gibt es 2 Moglichkeiten:
i) Gau'sches cgs-System: Hier wahlt man e als dimensionslose Konstante; speziell
e
= 1;
12
(1.4)
dann ist uber (1.1) die Dimension der Ladung bestimmt zu
(1.5)
[q] = [ Kraft]1=2 [Lange] = dyn1=2 cm:
Die elektrostatische Einheit ist dann diejenige Ladung, die auf eine gleich groe im Abstand von 1 cm die Kraft 1 dyn ausubt. Dieses System wird in der Grundlagenphysik
bevorzugt. In der angewandten Elektrodynamik (Elektrotechnik) hat sich das
ii) MKSA - System
durchgesetzt, in dem zusatzlich zu den mechanischen Einheiten (Meter, Kilogramm, Sekunde) noch die Ladungseinheit Coulomb = Ampere-Sekunde auftritt. Dabei ist 1 Ampere
der elektrische Strom, der aus einer Silbernitratlosung pro Sekunde 1.118 mg Silber abscheidet. Schreibt man
1 ;
(1.6)
e=
40
so nimmt die Konstante 0 den Wert
2
(1.7)
0 = 8:854 10 12 Coulomb 2
Newton Meter
an.
1.3 Das elektrische Feld eines Systems von Punktladungen
Die von N ruhenden Punktladungen qi an der Orten ri auf eine Probeladung q am Ort r
ausgeubte Kraft ist nach (1.1) und (1.2):
K=q
wobei wir
e
N q (r r )
X
i
i
jr r j3 = qE(r);
i
i=1
E(r) =
(1.8)
N q (r r )
X
i
i
3
i=1 40 jr ri j
(1.9)
N q
X
1 ;
i
i=1 40 jr ri j
(1.10)
als (statisches) elektrisches Feld bezeichnen, welches von den Punktladungen qi am Ort
r erzeugt wird. Es ist gema (1.8) ein Vektorfeld, da q ein Skalar ist. Bei vorgegebener
Ladung q zeigt (1.8), wie man ein elektrisches Feld messen kann. Dabei ist darauf zu
achten, da die Probeladung so klein ist, da man ihren Einu auf das auszumessende
Feld vernachlassigen kann.
Analog dem Fall der Gravitationstheorie in der Mechanik kann man die VektorFunktion E(r) aus dem elektrischen Potential
(r) =
einer skalaren Funktion, durch Dierentiation gewinnen:
E = r:
13
(1.11)
Die (potentielle) Energie der ruhenden Massenpunkte mit den Ladungen qi ist dann
N q
N
X
1 = 1X
i j
qi (ri);
U = 12 4q
0 jri rj j 2 i=1
i6=j
(1.12)
wobei (ri) das Potential am Ort ri ist, welches die Ladungen dort erzeugen. Bemerkung:
In (1.12) mu strenggenommen die Selbstenergie fur i = j im rechten Ausdruck wieder
abgezogen werden.
Beispiele:
1.4 U bergang zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen
Wir ersetzen
X
i
mit der Normierung
Z
qi :::: ! dV (r) :::
(1.13)
Z
qi = dV (r):
(1.14)
Q=
X
i
Damit tritt anstelle von (1.9), (1.10), (1.12):
und
Z
1
E(r) = 4 dV 0(r0 ) j(rr
0
Z
1
(r) = 4 dV 0(r0) jr
0
Z
1
U = 2 dV (r)(r):
Beispiel: homogen geladene Kugel
(r) = 0
r0) ;
r0j3
1
(1.16)
r0j
fur jrj R; (r) = 0
14
(1.15)
(1.17)
sonst:
(1.18)
Die Integration in (1.16) ergibt (U B):
2
2
(r) = 4Qjrj fur r R; (r) = 0 ( R2 r6 ) fur r R
(1.19)
0
0
mit
Z
(1.20)
Q = dV (r) = 43 0 R3:
Dann folgt fur E aus (1.11):
Q r fur r R; E(r) = 0 r fur r R:
E(r) = 4
(1.21)
30
0 jrj3
Fur die Energie U ndet man mit (1.17) und (1.19):
Z
2 r2
2ZR
20 2R5 = 3 Q2 1 :
0
2 dr ( R
r
U = 20 dV (r) = 42
)
=
2
(1.22)
0 0
2 6
0 15 5 40 R
Anwendung: Bestimmung des klassischen Elektronenradius.
Nach (1.22) wird die Selbstenergie eines punktformigen Teilchens (R ! 0) unendlich.
Nun ist nach der Relativitatstheorie die Energie eines ruhenden Teilchens, z. B. eines
Elektrons, mit seiner Ruhemasse m0 verknupft durch
E0 = m0 c2:
(1.23)
Ein streng punktformiges (geladenes) Teilchen hatte also nach (1.22) eine unendlich groe
Ruhemasse! Fuhren wir andererseits die gesamte (endliche) Ruhemasse eines Elektrons
auf seine elektrostatische Energie zuruck, so mussen wir dem Elektron einen endlichen
Radius R0, den klassischen Elektronenradius zuordnen,
2
(1.24)
R0 = 53 4 em c2 10 13 cm = 1 fm:
0 0
Fur Dimensionen < 10 13 cm mussen wir also fur Elektronen mit Abweichungen vom
Coulomb'schen Gesetz rechnen.
1.5 Multipolentwicklung
Wir betrachten ein auf ein endliches Volumen V begrenzte Ladungsverteilung (diskret
oder kontinuierlich) und untersuchen ihr Potential in einem Punkt P weit auerhalb
von V .
Der Koordinatenursprung 0 moge innerhalb V liegen; wir konnen z.B. 0 als Ladungsschwerpunkt, deniert durch
P jq jr
rq = Pi jqi j i
(1.25)
i i
wahlen. Solange ri r, konnen wir (1.10) durch eine Taylor-Reihe darstellen,
= 0 + 1 + 2 + 3 + :::
15
(1.26)
deren erste Terme lauten:
1.) Monopol-Anteil:
0 =
X qi
Q
=
i 40 r 40 r
(1.27)
beschreibt eine am Ursprung 0 lokalisierte Punktladung Q. In 0. Naherung der TaylorEntwicklung, d.h. aus genugend groer Entfernung, sieht jede Ladungsverteilung wie eine
Punktladung aus!
2.) Dipol-Anteil:
Der in den Koordinaten ri der Punktladungen lineare Term hat folgende Form:
X qi @ 1
X qi @ 1
X qi @ 1
xi @x ( jr r j )r =0 + 4
yi @y ( jr r j )r =0 + 4
zi (
)r =0
1 = 4
0
i
0
i
0 @z jr ri j
i
i
i
(1.28)
X qi
@
@
@
1
d
1
d
r
d
cos
=
4 (xi @x + yi @y + zi @z ) r = 4 r( r ) = 4 r3 = 4 r2
i
i
i
0
0
wobei der Vektor d, das Dipolmoment, gegeben ist durch
X
d = qi ri:
i
i
0
0
(1.29)
Der Winkel ist der Winkel zwischen r und d:
Bei den Umformungen in (1.28) wurde benutzt:
@ ( 1 ) = @r @ ( 1 ) = 1 @r = 1 x :
@x r @x @r r
r2 @x
r2 r
(1.30)
Abhangigkeit des Dipolmoments vom Koordinatenursprung: Verschiebt man den
Ursprung 0 um a, so wird
X
(1.31)
d0 = qi (ri a) = d Qa:
i
16
Falls Q 6= 0, kann man a so wahlen, da d' = 0 wird. Wenn dagegen Q = 0 ist, so wird
dagegen d = d0 unabhangig vom Ursprung und das Dipolmoment beschreibt eine echte
innere Eigenschaft des betrachteten Systems.
Konstruktionsanleitung: Man bestimme die Schwerpunkte der positiven bzw. negativen Ladungstrager. Fallen diese zusammen, so ist nach (1.29) d = 0. Andernfalls gibt
ihre Verbindungslinie die Richtung von d, ihr Abstand ist ein Ma fur den Betrag von d.
Beispiel: Molekule.
3.) Quadrupol-Anteil:
@2 ( 1 ) + Q @2 ( 1 ) + Q @2 ( 1 )
40 2 = 21 fQxx @x
yy 2
zz 2
2 r
@y r
@z r
(1.32)
@ 2 ( 1 ) + Q @ 2 ( 1 ) + Q @ 2 ( 1 );
+Qxy @x@y
yz
zx
r
@y@z r
@z@x r
wobei
2
2
2
+Qyx @ ( 1 ) + Qzy @ ( 1 ) + Qxz @ ( 1 )g;
@y@x r
@z@y r
@x@z r
Qxx =
X
i
qi x2i ; Qxy =
X
i
qi xiyi; etc:
(1.33)
die Komponenten des Quadrupol-Tensors sind. Er ist symmetrisch und reell und kann
daher stets diagonalisiert werden:
Qmn = Qmmn :
(1.34)
Es besteht hier eine weitgehende Analogie zum Tragheitstensor in der Mechanik.
Normierung: Die Beziehung
@2 + @2 + @2 ) 1 = ( @ x @ + @ y @ + @ z @ ) 1
( 1r ) = ( @x
(1.35)
2 @y 2 @z 2 r
@x r @r @y r @r @z r @r r
2 2 2
= 33 + 3 x + y5 + z = 0 fur r 6= 0
r
r
erlaubt uns die Komponenten (1.33) in (1.34) im Hauptachsensystem zu ersetzen durch:
2
X
X
Qx = qi(x2i r3i ) = 13 qif2x2i yi2 zi2 g;
(1.36)
i
i
17
ohne dabei 2 zu andern. (1.36) zeigt, da die Eigenwerte Qm die Abweichungen von der
Kugelsymmetrie beschreiben, denn fur spharische Ladungsverteilungen wird:
X 2 X 2 X 2
qi xi = qi yi = qi zi ! Qm = 0:
(1.37)
i
i
i
Spezialfall: Axialsymmetrie z.B. um die z-Achse. Dann wird
(1.38)
Qx = Qy = 21 Qz ;
d.h. der Quadrupol - Anteil 2 ist durch 1 Zahl, das Quadrupolmoment, zu kennzeichnen. Fur diesen Fall ist die Winkelabhangigkeit von 2 leicht anzugeben: Wir bilden
@ 2 ( 1 ) = @ ( x ) = 1 + 3 x2 = 3x2 r2 ;
(1.39)
@x2 r
@x r3
r3 r5
r5
und entsprechend fur y und z, und nden mit (1.38):
2
2 2
(1.40)
2 = 3Qz (3z 5r ) = Q0 (3 cos 3 1) ;
40 4r
40
2r
wobei
Q0 = 32 Qz
(1.41)
als Quadrupolmoment der axialsymmetrischen Ladungsverteilung bezeichnet wird. Gleichung (1.40) zeigt die fur den Quadrupol - Anteil charakteristische r Abhangigkeit; die
Winkelabhangigkeit ist deutlich von der des Dipol - Terms zu unterscheiden.
Kontinuierliche Ladungsverteilungen:
Analog zu Abschnitt 1.4 erhalten wir fur eine kontinuierliche (raumlich begrenzte)
Ladungsverteilung:
Z
d = dV (r)r
(1.42)
anstelle von Gleichung (1.29) und (1.36) ist zu ersetzen durch:
Z
(1.43)
Qx = 13 dV (r)(2x2 y2 z2 ):
Beispiel: Eine ganze Reihe von Atomkernen ist (axialsymmetrisch) deformiert und
elektrostatisch durch ein Quadrupolmoment charakterisiert. Die Abweichungen von der
Kugelsymmetrie konnen dabei sowohl positiv, Q0 > 0, als auch negativ sein, Q0 < 0, was
anschaulich einer Zigarre bzw. einer Scheibe entspricht.
18
Kapitel 2
Grundlagen der Elektrostatik
2.1 Flu eines Vektor-Feldes
Wir wollen im folgenden nach aquivalenten Formulierungen des Coulomb'schen Gesetzes
suchen. Dazu fuhren wir den Begri des Flusses eines Vektor-Feldes ein.
Ein Vektor-Feld A(r) sei auf einer Flache F deniert. F sei mebar und zweiseitig,
d.h. F moge einen endlichen Flacheninhalt besitzen und Ober- und Unterseite von F seien
(durch die Flachennormale) wohl deniert. Gegenbeispiel: das Mobius'sche Band.
Den Flu des Vektor-Feldes A durch die Flache F denieren wir dann durch das
Oberachenintegral
Z
Z
A df = F Andf;
(2.1)
F
wobei An die Komponente von A in Richtung der Flachennormalen ist.
Zur Interpretation von (2.1) betrachten wir eine Flussigkeitsstromung mit der Geschwindigkeit v(r) und der Dichte (r). Wahlen wir
A(r) = (r)v(r);
(2.2)
so bedeutet
Z
Z
A
df = (r)v(r) df
(2.3)
F
F
die pro Zeiteinheit durch F ieende Menge Flussigkeit. (2.3) zeigt, da nur die senkrecht
zur Stromung stehende Flache wirksam wird.
2.2 Satz von Gau
Wir wahlen nun fur A das elektrostatische Feld E und fur F eine geschlossene Flache mit
den oben erwahnten Eigenschaften. Dann ist der elektrische Flu
I
F
I
E df = F EN df
(2.4)
mit der in dem Volumen V enthaltenen Gesamtladung Q verknupft durch (Satz von
Gau ):
I
= E df = Q :
(2.5)
F
0
19
Beweis: 1. Schritt: q sei eine einzelne Punktladung im Mittelpunkt einer Kugel mit Radius
R. Dann ist in jedem Punkt der Kugeloberache E parallel zu der (aueren) Flachennormale n
und fur den Betrag von E gilt:
I
E = En = 4q R2 :
0
I
q
q
2
= 4 R2 R d
= 4 d
= q ;
0
0
0
unabhangig von Radius R der Kugel.
Also wird:
(2.6)
(2.7)
2. Schritt: Wir ersetzen die Kugeloberache durch eine im Rahmen der unter 2.1) genannten Voraussetzungen beliebige geschlossene Flache,
Ausschnitt:
Dann wird
I
I q
I qcos
q
0
= 4 R2 df = 4 R2 df = 4 d
= q :
F
F
0
0
0
0
20
(2.8)
3. Schritt: q liege auerhalb F .
Unter Beachtung der jeweiligen Normalenrichtung (nach auen!) ndet man, da sich z.B.
die Beitrage aus der Umgebung von Punkt 1 und 2 gerade wegheben. Dabei geht wieder
ein, da die Feldstarke E stets radial (von q aus) gerichtet ist und wie 1/R2 abfallt,
wahrend df mit R2 zunimmt. Man erhalt also
=0
(2.9)
fur den elektrischen Flu .
4. Schritt: Fur N Punktladungen qi innerhalb von F nden wir nach dem Superpositionsprinzip:
X
= qi = Q :
(2.10)
i
0
0
2.3 Anwendungen des Gau'schen Satzes
Fur symmetrische Ladungsverteilungen bietet (2.5) die Moglichkeit, die Feldstarke E mit
geringem Aufwand zu berechnen. Wir betrachten 2 Beispiele:
1. Feld einer homogen-raumgeladenen Kugel. Sei
(r) = (r) fur r R; (r) = 0 sonst:
(2.11)
Aufgrund der Kugelsymmetrie ist E radial gerichtet, soda
= 4r2E (r) = Q r ;
(2.12)
0
wobei Qr die in einer konzentrischen Kugel mit Radius r enthaltene Ladung ist.
Fur Punkte mit r R ist Qr = Q die Gesamtladung und es folgt aus (2.12):
E (r) = 4Q r2 fur r R:
(2.13)
0
Fur r R hangt das Ergebnis von der speziellen Form von (r) ab. Als Beispiel wahlen
wir
(r) = 0 = const;
(2.14)
21
dann wird:
also wie in (1.21):
Qr = 43 r30 ;
(2.15)
E (r) = 30 r:
(2.16)
0
Man vergleiche den Rechenaufwand hier mit dem, den Gleichung (1.15) erfordert!
2.) Homogen geladene, unendlich ausgedehnte Ebene.
Aus Symmetriegrunden steht E senkrecht zur Ebene, der Betrag E ist gleich fur die Punkte
1 und 2, welche von der Ebene den Abstand r haben mogen. Der Gau'sche Satz ergibt
dann:
I
= E df = aE (1) + aE (2) = Q = a
;
(2.17)
F
0 0
wenn a die Zylindergrundache ist und die Flachenladungsdichte. Vom Zylinder-Mantel
erhalt man keinen Beitrag, da E keine Komponente in Richtung der Normalen auf dem
Zylinder-Mantel hat. Ergebnis:
(2.18)
E = 2
0
unabhangig von r.
2.4 Dierentialgleichungen fur E und Wir wollen den Gau'schen Satz (2.5) in dierentieller Form darstellen. Dazu formen wir
das Flachenintegral um in ein Volumenintegral uber das von F eingeschlossene Volumen
V (Gau'sche Formel):
I
Z
E
df = r E dV = Q
(2.19)
0 :
F
V
Mit
Z
Q = (r) dV
(2.20)
V
folgt dann:
Z
(2.21)
(r E ) dV = 0:
V
0
22
Gleichung (2.21) mu fur beliebige Volumen V gelten, kann also nur erfullt sein, wenn der
Integrand verschwindet:
r E = :
(2.22)
0
Gleichung (2.22) andert sich nicht, wenn man zu E eine beliebige divergenzfreie Vektorfunktion E0 addiert; Gleichung (2.22) reicht daher zur Bestimmung des elektrischen Feldes
nicht aus. Eine weitere dierenzielle Beziehung fur E erhalten wir aus (vgl. (1.11))
E = r
(2.23)
uber die Vektorindentitat (U B)
r ( r f ) = 0;
(2.24)
namlich (Wirbelfreiheit):
r E = 0:
(2.25)
Aus (2.22) und (2.25) kann man bei gegebener Ladungsverteilung die Feldstarke des
elektrostatischen Feldes bestimmen, was jedoch recht aufwendig ist.
In der Praxis geht man noch einen Schritt weiter von der Feldstarke E zum Potential
, aus dem sich durch Dierentiation gema (2.23) E gewinnen lat. Setzt man (2.23) in
(2.22) ein, so erhalt man
r (r) = = (2.26)
0
die Poisson'sche Gleichung mit der Abkurzung
2
2
2
(2.27)
= @ 2 + @ 2 + @ 2:
@x @y @z
Hat man eine Losung von (2.26) gefunden, so kann man dazu eine beliebige Losung der
homogenen Gleichung (Laplace-Gleichung)
= 0
(2.28)
addieren und erhalt eine neue Losung von (2.26). Diese Mehrdeutigkeit kann man durch
Vorgabe von Randbedingungen beseitigen. Fur die weitere Diskussion sei auf Kapitel 3
verwiesen!
2.5 Energie des elektrostatischen Feldes
Um eine Punktladung q1 aus dem Unendlichen an eine Ladung q2 auf den Abstand r12
heranzubringen, benotigt (oder gewinnt) man die Energie
q1 q2 :
(2.29)
U = 4
0 r12
Will man aus N Punktladungen qi eine bestimmte (durch die Abstande der Ladungen qi
charakterisierte) Ladungsanordnung aufbauen, so benotigt (oder gewinnt) man entsprechend die Energie
X qi qj
U = 21 4
(2.30)
r ;
i6=j
23
0 ij
der Faktor 1/2 sorgt dafur, da Doppelzahlungen vermieden werden, die Einschrankung
i 6= j schliet Selbstenergien der Punktladungen aus.
Stellt man das Bild der Punktladungen in den Mittelpunkt der Betrachtungen, so interpretiert man U als die potentielle Energie eines Systems von geladen Massenpunkten.
Man kann auch das Bild des elektrischen Feldes in den Mittelpunkt stellen. Dann ist die
zum Aufbau des elektrischen Feldes benotigte Energie U im elektrischen Feld gespeichert
in Form von Feldenergie. Da die Coulomb-Kraft konservativ ist, geht die beim Aufbau
des Feldes (also der Herstellung einer bestimmten Ladungsanordnung) geleistete Arbeit
nicht verloren.
Um den Zusammenhang der beiden Betrachtungsweisen quantitativ zu fassen, formen
wir (2.30) um (vergl. Kapitel 1):
Z
X
U = 21 qi (ri) = 21 (r)(r)dV;
(2.31)
V
i
wobei (ri ) das Potential am Ort ri der i-ten Punktladung ist, welches die anderen Punktladungen dort erzeugen. Gleichung (2.31) konnen wir mit (2.26) umschreiben zu:
Z
U = 20 (r)(r) dV:
(2.32)
V
Gleichung (2.33) beschreibt die Energie U vollstandig durch das Potential , d.h. durch
das elektrostatische Feld ohne Bezug auf die Ladungen, die dieses Feld erzeugt haben.
Man kann U statt durch das Potential durch die Feldstarke E ausdrucken, wenn man
die Identitat (U B)
r (f rg) = (rf ) (rg) + f g
(2.33)
fur f = g = benutzt:
Z
I
0
0
2
U = 2 (r(r)) dV 2 r df ;
(2.34)
V
F
und die Gau'sche Formel anwendet, wonach
Z
I
V
r (r) dV = F r df
(2.35)
mit F als Oberache von V . Wenn sich nun alle Ladungen im Endlichen benden, so
verschwindet in (2.34) das Oberachenintegral mit zunehmendem Volumen V , da r
mit wachsendem Abstand vom Ladungszentrum wie R 3 abfallt, wahrend die Oberache
nur mit R2 anwachst. Im Limes V ! 1 bleibt also:
Z
Z
0
0
2
U = 2 (r(r)) dV = 2 E 2 dV
(2.36)
V
V
als die im Feld gespeicherte Energie. 0 E 2(r)=2 gibt dann die Energiedichte an.
24
2.6 Multipole im elektrischen Feld
Wenn eine raumlich lokalisierte Ladungsverteilung in ein aueres elektrostatisches Feld,
gegeben durch sein Potential a , gebracht wird, so gilt (entsprechend den U berlegungen
von Abschnitt 2.5) fur seine Energie
U=
Z
V
(r)a (r)dV;
(2.37)
wenn man annimmt, da das auere Feld durch nicht (merklich) geandert wird und
die das auere Feld a hervorrufenden Ladungen sich auerhalb des Gebietes V benden, auf das beschrankt ist. Damit erklart sich das Fehlen des Faktors 1/2 in (2.37)
verglichen mit (2.31). Weiter sei a in V langsam veranderlich, so da wir a bzgl. des
Ladungsschwerpunktes in eine Taylor-Reihe entwickeln konnen:
a (r) = a (0) +
3 @ a
3
2
X
X
xi @x (0) + 12 xixj @x@ @xa (0) + :::
i
i j
i=1
i;j =1
(2.38)
Da im Gebiet V fur das auere Feld
r Ea = 0
(2.39)
nach Annahme gilt, konnen wir (vergl. Kapitel 1.5) Gleichung (2.38) wie folgt umformen:
a (r) = a (0)
3
X
3
2
X
ia
xiEia (0) 12 (xi xj r3 ij ) @E
(0) + :::
@x
j
i=1
i;j =1
(2.40)
Kombination von (2.37) und (2.40) ergibt:
U = Qa (0)
3
X
3
X
ia
diEia (0) 12 Qij @E
@xj (0) + :::
i=1
i;j =1
(2.41)
Gleichung (2.41) zeigt, wie die Multipolmomente einer Ladungsverteilung mit einem
aueren Feld Ea in Wechselwirkung tritt: die Gesamtladung Q mit dem Potential a , das
Dipolmoment d mit der Feldstarke Ea, der Quadrupoltensor Qij mit dem Feldgradienten
@Eia =@xj etc.
Anwendungsbeispiele: atomare Dipole im aueren elektrischen Feldern, Wechselwirkung des Kern-Quadrupolments mit der Elektronenhulle.
25
Kapitel 3
Randwertprobleme der Elektrostatik
3.1 Eindeutigkeitstheorem
Wir wollen im folgenden zeigen, da die Poisson-Gleichung bzw. die Laplace-Gleichung
eine eindeutige Losung besitzt, wenn eine der folgenden Randbedingungen gilt:
i) Dirichlet - Bedingung
ist vorgegeben auf einer geschlossenen Flache F
(3.1)
oder ii) von Neumann-Bedingung
r ist vorgegeben auf einer geschlossenen Flache F;
(3.2)
Beweis: Wir nehmen an, da es 2 Losungen 1 bzw. 2 von
= (3.3)
0
mit den gleichen Randbedingungen, (3.1) oder (3.2), gibt. Dann gilt fur die Dierenz
U = 1 2 :
U = 0
(3.4)
in dem von F umschlossenen Volumen V . Weiter ist wegen der Randbedingungen
U =0
oder
Mit der Identitat
und (3.4) wird:
Z
V
auf F
(3.5)
rU = 0 auf F:
(3.6)
r (U rU ) = (rU )2 + U U
(3.7)
(rU )2 dV =
Z
I
r (U rU ) dV = F U rU df = 0
V
26
(3.8)
mit Hilfe der Formel von Gau, falls eine der beiden Bedingungen (3.5) oder (3.6) gilt.
Also:
Z
(rU )2 dV = 0;
(3.9)
V
d.h. es ist in V :
r U = 0;
(3.10)
da (rU )2 0. Damit wird
U = const
(3.11)
und 1 und 2 unterscheiden sich hochstens um eine (physikalisch unwesentliche) Konstante.
Sonderfall: V ! 1
Wenn V der gesamte R3 ist, so ist die Losung der Poisson-Gleichung eindeutig, falls auf
einen endlichen Bereich beschrankt ist und (r) asymptotisch so schnell abfallt, da
(3.12)
r2(r) @@n (r) ! 0 fur r ! 1;
wo @ =@n die Normalen-Ableitung von bezeichnet. Der obige Beweis ubertragt sich
direkt, wenn man beachtet, da die Oberache bei festem Rauminhalt wir r2 wachst.
3.2 Spiegelungsmethode
Diese Methode besteht darin, auerhalb des zu untersuchenden Bereichs sogenannte SpiegelLadungen geeigneter Groe so anzubringen, da mit ihrer Hilfe gerade die geforderten
Randbedingungen erfullt werden. Dieses Verfahren ist deshalb erlaubt, weil man zur
Losung der (inhomogenen) Poisson-Gleichung jede Losung der (homogenen) LaplaceGleichung addieren darf (vgl. Kap. 2.4) Durch die Spiegelungsmethode wird diejenige
Losung der Laplace-Gleichung ausgewahlt, die zusammen mit der gewahlten speziellen
Losung der Poisson-Gleichung die geforderten Randbedingungen erfullt.
Als einfaches Beispiel betrachten wir eine Punktladung q im Abstand a von einer
leitenden Ebene, welche geerdet sei (d.h. = 0 auf der Ebene). Die Spiegelladung q'
denken wir uns bzgl. der Ebene spiegelsymmetrisch zu q angebracht (Skizze).
27
Dann betragt das Potential im Punkt P:
0
40(P ) = rq + qr0
(3.13)
und wir erhalten wie gefordert = 0 fur alle Punkte der leitenden Ebene, x = 0, wenn
wir wahlen:
q0 = q:
(3.14)
In dem (uns interessierenden) Bereich x > 0 ist q=(40r) eine spezielle Losung der
Poisson-Gleichung, q0=(40r0) eine Losung der Laplace-Gleichung, die gerade dafur sorgt,
da fur x = 0 die geforderte Randbedingung gilt.
Fur die x-Komponente des elektrischen Feldes E erhalt man aus (3.13) und (3.14):
q ( x a x + a );
(3.15)
Ex (P ) = @@x = 4
r3
0 r3
also gilt fur die Ebene x = 0,
2qa :
Ex(x = 0) = 4
(3.16)
0 r3
Die Komponenten in der x = 0 Ebene verschwinden, da das elektrische Feld senkrecht
auf der Ebene x=0 steht (anderfalls wurde ein Strom in der Ebenenoberache iessen
bzw. das Potential auf der Flache nicht konstant sein). Gleichung (3.16) bedeutet nach
dem Gau'schen Satz (vgl. Kap. 2.2), da in der Ebene x = 0 eine Ladung mit der
(ortsabhangigen) Flachendichte
(3.17)
= 0 Ex(x = 0) = 2qa
r3
durch die Anwesenheit der Punktladung q inuenziert wird.
3.3 Inversionsmethode
Es sei (r; ; ) das Potential, das durch Punktladungen qi am Ort r = (r; ; ) erzeugt
wird:
X
qi
q
(r; ; ) =
;
(3.18)
i 40 r2 + ri2 2rri cosi
hier bezeichnen (ri; i; i) die Orte der Punktladungen qi und i den Winkel zwischen r
und ri. Dann ist
2
(3.19)
(r; ; ) = a ( a ; ; )
r r
das Potential, das die Punktladungen
(3.20)
q = aqr i
i
bei (a2 =ri; i; i) am Ort (r; ; ) erzeugen.
28
Beweis: Wir kombinieren Gleichungen (3.19) und (3.18) zu
X
(r; ; ) = ar
i
=
X
i
qi
40 a4 =r2 + ri2 2a2ricosi=r
q
(3.21)
q 2 4aqi2=ri 2
:
40 r + a =ri 2a rcosi=ri
Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Punktladung gegenuber einer leitenden
Kugel, welche sich auf dem Potential = 0 benden soll. Wir ersetzen die Kugel durch
eine Punktladung q, deren Groe und Position so zu wahlen sind, da das resultierende
Potential von q und q auf der Kugeloberache gerade verschwindet. Das von der Punktladung q, lokalisiert am Ort (rq ; 0; 0), im Punkt (r; ; ) erzeugte Potential werde mit
(r; ; ) bezeichnet. Setzt man nun die Ladung q = Rq=rq an den Ort (R2=rq ; 0; 0)
(Skizze)
so ist das von q am Ort (r; ; ) erzeugte Potential nach (3.19):
2
(r; ; ) = Rr ( Rr ; ; ):
Auf der Kugeloberache, r = R, wird:
(R; ; ) = (R; ; );
(3.22)
(3.23)
also wie gefordert
(R; ; ) + (R; ; ) = 0:
(3.24)
Die gesuchte Losung der Poisson-Gleichung auerhalb der leitenden Kugel ist dann:
(r; ; ) + (r; ; )
(3.25)
mit
(r; ; ) = 4 jrq r j :
0
q
29
(3.26)
3.4 Trennung der Variablen
Wir suchen nach Losungen der Laplace-Gleichung
= 0
(3.27)
und nehmen dabei der Einfachheit halber an, da von z nicht abhangt,
= (x; y):
(3.28)
Dann vereinfacht sich (3.27) in kartesischen Koordinaten zu:
2
2
(3.29)
( @ 2 + @ 2 )(x; y) = 0
@x @y
Da (3.29) keinen Mischterm @ 2 =@x@y enthalt, liegt es nahe, folgenden Separationsansatz zu machen:
(x; y) = f (x)g(y);
(3.30)
dann geht (3.29) uber in:
@ 2 f (x) + f (x) @ 2 g(y) = 0:
g(y) @x
(3.31)
2
@y2
Mit Ausnahme der Nullstellen von f und g ist (3.31) aquivalent zu:
1 @ 2 f + 1 @ 2 g = 0:
(3.32)
f (x) @x2 g(y) @y2
Der 1. Term in (3.32) hangt nur von x, der 2. nur von y ab; da x und y unabhangige
Variablen sind, folgt aus (3.32):
1 @ 2 f = const = 1 @ 2 g :
f (x) @x2
g(y) @y2
(3.33)
Wahlen wir die Konstante in (3.33) z.B. positiv reell (= k2 ), so erhalten wir folgende
Dierentialgleichungen:
@ 2 f k2f (x) = 0; @ 2 g + k2g(y) = 0
(3.34)
@x2
@y2
mit den Losungen:
f (x) = a exp(kx) + b exp( kx); g(y) = c sin(ky) + d cos(ky):
(3.35)
Die Integrationskonstanten a; b; c; d und die Separationskonstante k werden durch Randbedingungen festgelegt. Als Beispiel betrachten wir einen in z-Richtung unendlich ausgedehnten Rechteck-Zylinder (mit den Kantenlangen x0 und y0) mit den Randbedingungen:
(x; 0) = (x; y0 ) = 0;
30
(3.36)
woraus
(3.37)
d = 0; sin(ky0) = 0 ! k = n
y0 = kn
folgt. Weiterhin seien die Randbedingungen
(0; y) = 0; (x0 ; y) = V (y);
(3.38)
gegeben, wobei V (y) irgendeine vorgegebene Funktion ist. Aus (3.38) folgt zunachst
a = b ! f = af exp(knx) exp( knx)g:
(3.39)
Um die 4. Bedingung auch noch zu erfullen, entwickeln wir nach Fourier:
1
X
(3.40)
(x; y) = An sin(kny) sinh(knx); An = 2ancn;
n=1
und bestimmen die Koezienten An aus der Forderung
(x0 ; y) = V (y) =
1
X
n=1
An sin(kny) sinh(knx0 ):
(3.41)
Nach dem Umkehrtheorem fur Sinus-Fourier-Reihen erhalt man:
Z y0
2
An = y sinh(
(3.42)
knx0 ) 0 V (y) sin(kny)dy:
0
Hat man Randbedingungen von spharischer Symmetrie, so wird man die Laplace-Gleichung
losen durch einen Separationsansatz in Kugelkoordinaten; entsprechend verfahrt man bei
axialer Symmetrie.
U bersicht Elektrostatik
1.) Basis: Coulomb-Gesetz
K = qE mit E(r) =
2.) Feldgleichungen:
a) integral:
b) dierentiell:
I
X qi(r ri)
3
i 40 jr ri j
I
E
df = Q
F
E ds = 0;
S
0
r E = 0; r E = 0
3.) Elektrostatisches Potential:
E = r ! = : Poisson-Gleichung
0
4.) Feldenergie:
1 X qiqj ! 1 Z dV ! 0 Z E 2 dV
2 i6=j 40rij 2 V
2 V
Potentielle Energie der Punktladungen ! elektrostatische Feldenergie
31
Teil II
Magnetostatik
32
Kapitel 4
Ampere'sches Gesetz
4.1 Elektrischer Strom und Ladungserhaltung
Elektrische Strome werden durch bewegte Ladungstrager hervorgerufen. Ladungstrager
konnen dabei z.B. sein: Ionen in einem Teilchenbeschleuniger, einem Elektrolyten oder
einem Gas, Elektronen in einem Metall etc. Ursache fur die Bewegung der Ladungen sind
in erster Linie elektrische Felder, es kann sich aber auch um materiellen Transport von
Ladungstragern handeln. Als elektrische Stromstarke denieren wir diejenige Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit durch den Leiterquerschnitt iet.
Als einfachsten Fall betrachten wir zunachst Ladungstrager mit gleicher Ladung q und
Geschwindigkeit v. Es sei a der Vektor senkrecht zum Querschnitt des leitenden Mediums,
dessen Betrag a die Querschnittsache angibt und n die Dichte der Ladungstrager. In der
Zeit t passieren dann die in dem Volumen V = (a v)t bendlichen Ladungstrager
den Leiterquerschnitt, namlich n(a v)t Ladungstrager. Damit folgt fur die Stromstarke
I (a) = nq(a tv)t = nq(a v):
(4.1)
Haben wir allgemein pro Volumeneinheit ni Ladungstrager qi mit der Geschwindigkeit vi,
so wird:
X
(4.2)
I (a) = a ( ni qivi):
i
Die Gleichungen (4.1) unf (4.2) legen es nahe, die Stromdichte j einzufuhren als
j=
X
i
ni qivi;
welche sich fur qi = q mit der mittleren Geschwindigkeit
X
< v >= n1 nivi
i
verknupfen lat:
j = nq < v >= < v > :
33
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Gleichung (4.5) macht deutlich, da hohe Absolutgeschwindigkeiten der Ladungstrager
noch keinen hohen Strom bedeuten, da nur der Mittelwert der Geschwindigkeiten der Ladungstrager wesentlich ist. Sind z.B. die Geschwindigkeiten der Ladungstrager gleichmaig
uber alle Richtungen verteilt, so wird < v >= 0 und damit auch j = 0. Im allgemeinen
Fall ist und < v > orts- und zeit-abhangig, also
j = j(r; t):
(4.6)
Den Erhaltungssatz der Ladung konnen wir mit den Begrien der Ladungs- und Stromdichte wie folgt formulieren: Wir betrachten ein beliebiges endliches Volumen V mit der
Oberache F . Die darin enthaltene Ladungsmenge sei Q = Q(t). Wenn V nicht von der
Zeit abhangt, so ergibt sich fur die A nderung der in V enthaltenen Ladungsmenge pro
Zeiteinheit:
dQ = Z @ dV:
(4.7)
dt V @t
Da Ladung nicht erzeugt oder vernichtet werden kann, mu die Abnahme (Zunahme) der
in V enthaltenen Ladung gleich der (im betrachteten Zeitraum) durch F hinaus (hinein)stromenden Ladungsmenge sein. Letztere ist gegeben durch das Oberachenintegral der
Stromdichte, welches nach der Gau'schen Integralformel in ein Volumenintegral umgeformt werden kann:
I
Z
j df = V r j dV:
(4.8)
F
Damit lautet die Ladungsbilanz:
Z
Z @
dV = r j dV
(4.9)
V
V @t
oder, da V beliebig gewahlt werden kann, erhalten wir die Kontinuitatsgleichung:
(4.10)
r j + @
@t = 0:
Wahrend (4.8) die Ladungserhaltung in integraler Form beschreibt, bedeutet (4.10) die
Ladungserhaltung in dierentieller Form.
Spezialfalle:
i) Elektrostatik: stationare Ladungen
j = 0 ! @
@t = 0 ! = (r)
(4.11)
j = j(r) und r j = 0 ! @
@t = 0:
(4.12)
ii) Magnetostatik: stationare Strome
Fur einen stationaren Strom ist namlich r j zeitlich konstant, und diese Konstante mu
uberall null sein, da Ladung nicht erzeugt oder vernichtet wird.
34
4.2 Ampere'sches Gesetz
Gegeben sei eine stationare Stromverteilung j = j(r). Um elektrostatische Eekte zu eliminieren, wollen wir noch annehmen, da die Dichte der bewegten Ladungstrager, die
den Strom aufbauen, kompensiert wird durch ruhende Ladungstrager entgegengesetzten
Vorzeichens (z.B. bewegte Leitungselektronen und ruhende Gitterionen im metallischen
Leiter). Auf eine bewegte Probeladung q wirkt dann in der Umgebung des stromdurchossenen Leiters eine Kraft, fur die man experimentell ndet:
mit
K = q(v B)
(4.13)
Z j(r0 ) (r r0)
B(r) = m V jr r0j3 dV 0
(4.14)
K = qE
(4.15)
Z (r0 )(r r0)
E(r) = e V jr r0j3 dV 0
(4.16)
als der magnetischen Induktion. Die Gleichungen (4.13) und (4.14) sind als Grundlagen
der Magnetostatik ebenso experimentell gesichert wie
mit
in der Elektrostatik! So wie wir (4.15) als Mevorschrift fur das elektrostatische Feld E
auassen konnen, so stellt (4.13) eine Mevorschrift fur die magnetische Induktion B dar.
Masysteme:
Hat man e festgelegt, d.h. hat man die Einheitsladung deniert, so sind in (4.13) und
(4.14) alle auftretenden Groen bzgl. ihrer Einheiten xiert. m kann also nicht mehr frei
gewahlt werden, sondern ergibt sich im
i) MKSA -System zu
m
mit
= 0
4
0 = 4 10 7 m kg2
Coul.
als der magnetischen Permeabilitat.
ii) cgs-System:
m
mit der Lichtgeschwindigkeit c.
= 12
c
(4.17)
(4.18)
(4.19)
Bemerkung: Gleichung (4.14) enthalt - wie in (4.16) - das Superpositionsprinzip: die
Felder zweier Stromverteilungen j1 und j2 uberlagern sich linear, da j = j1 + j2 die resultierende Stromverteilung ist. Weiterhin mu unabhangig vom Masystem das Verhaltnis
35
m= e
eine Konstante sein. Mit (4.17) und (4.19) sowie e = 1=(40) bzw. e = 1 im
cgs-System (siehe Kap. 1.2) erhalten wir die Beziehung
0 0 = c12 :
(4.20)
Dieser fundamentale Zusammenhang verweist bereits auf einen Zusammenhang mit der
speziellen Relativitatstheorie.
Im folgenden soll das Vektorfeld B(r) fur verschiedene einfache Stromverteilungen
berechnet werden.
4.3 Formel von Biot-Savart
Fur einen dunnen Leiter konnen wir sofort uber den Leitungsquerschnitt f integrieren
und erhalten statt (4.14)
Z 0
0
(4.21)
B(r) = 40I L dl jr (rr0j3r )
mit
Z
I = j df 0
(4.22)
als der Stromstarke (vgl. Skizze).
f
Ist der Leiter weiterhin gerade, so folgt aus (4.21) oder auch (4.14), da die Feldlinien
von B konzentrisch um den Leiter verlaufen. Wir brauchen also nur noch den Betrag
B berechnen, da alle Beitrage zum Integral (4.21) fur einen geraden Leiter die gleiche
Richtung haben. Aus der Skizze folgt:
Z
dz
(4.23)
B = 40I sin
2
L d
Die verbleibende Integration fuhren wir fur einen unendlich langen Leiter aus: Mit
(4.24)
R = d sin; z = R cotg ! dz = sinR2 d
folgt fur die Feldstarke im Punkt P :
Z1
I
0
0I :
B = 4R d( cos) = 2R
(4.25)
1
36
Dieses ist die Formel von Biot und Savart fur einen dunnen, geraden, unendlich langen
Leiter.
4.4 Kraft und Drehmoment auf einen Strom im Magnetfeld
Ausgehend von der Kraft, die eine Ladung qi erfahrt, wenn sie sich mit der Geschwindigkeit
vi im Magnetfeld B bewegt,
K = qi(vi B(ri));
(4.26)
erhalt man fur die Kraft auf einen Strom mit der Stromdichte j:
i
K=
X
i
qi(vi B(ri)) =
Z
V
j(r) B(r) dV ;
(4.27)
das Volumen V ist so zu wahlen, da es den Strom vollstandig erfat.
Beispiel: Fur einen dunnen Draht, uber dessen Querschnitt sich das B-Feld nicht (wesentlich) andert, konnen wir (wie in Kap. 4.3) 2 der 3 Integrationen in (4.27) ausfuhren:
Z
K = I L dl B:
(4.28)
Das verbleibende Kurvenintegral langs des Leiters L lat sich fur einen geraden Leiter
ausfuhren, wenn B sich langs L nicht andert:
K = (I B)L;
(4.29)
wo L die Lange des Leiters angibt. Die Kraft ist also senkrecht zur Stromrichtung und
zum B-Feld; sie ist maximal, wenn I parallel B ist, und verschwindet, wenn I senkrecht
zu B verlauft.
Auf die Ladung qi mit Geschwindigkeit vi im Feld B wirkt das Drehmoment
Ni = ri (qi vi B(ri));
(4.30)
entsprechend auf den Strom der Stromdichte j:
N=
X
i
Z
ri (qivi B(ri)) = V r (j B) dV:
37
(4.31)
Einfache Beispiele sind (rechteckige oder kreisformige) Stromschleifen im homogenen BFeld (U B).
Fur die praktische Auswertung von (4.31) ist es zweckmaig, mit der Identitat ('baccab Regel')
a (b c) = (a c)b (a b)c = b(a c) c(a b)
(4.32)
umzuformen:
Z
N = f(r B)j (r j)BgdV:
(4.33)
V
Fur einen stationaren, raumlich begrenzten Strom verschwindet der 2. Term in (4.33).
Um dies zu zeigen, benutzen wir die Beziehung (n; m = 1; 2; 3)
Z
Z
Z
Z
xnr (xm j) dV = r (xnxm j) dV
xm jn dV
(4.34)
V
V
Z
Z
Z
= xnxm j df
xm jn dV =
xm jn dV
F
V
V
unter Ausnutzung von r j = 0, der Produktregel, der Gau'schen Formel und dem
Verschwinden von j auf der Oberache F . Fur n = m folgt aus (4.34)
Z
(r j) dV = 0;
(4.35)
V
xnjm dV =
V
V
so da fur ein homogenes (schwach veranderliches) Feld in (4.33) der 2. Term (naherungsweise) verschwindet. Entsprechend folgt aus (4.34) fur m 6= n:
Z
V
also:
Z
(r B)j dV =
Z
Z
V
(j B)r dV;
(4.36)
Z
(B r) j dV = 1 f(B r) j (B j) rg dV = 1 B (r j) dV
2 V
2
V
V
mit Formel (4.32). Ergebnis:
N=mB
mit dem magnetischen Dipolmoment
Z
1
m = 2 V (r j) dV:
Fur einen ebenen Strom (z.B. Kreisstrom) steht m senkrecht zur Stromebene:
38
(4.37)
(4.38)
(4.39)
Ist der stromfuhrende Leiter dunn, so erhalten wir nach Integration uber den Leiterquerschnitt:
I
m = I2 L(r dl);
(4.40)
und fur den Betrag m:
m = IF;
(4.41)
wobei I die Stromstarke und F die vom Strom eingeschlossene Flache ist (vgl. hierzu den
Flachensatz fur die Bewegung eines Massenpunktes im Zentralfeld!).
Anwendungen: Strommessung bzw. Elektromotor.
4.5 Krafte zwischen Stromen
Mit (4.21) und (4.28) lat sich die Kraft eines Stromes I 0 auf einen Strom I bei dunnen
Leitern schreiben als:
0 Z Z dl (dl0 (r r0 ))
:
(4.42)
K = 40II
L L
jr r0j3
0
Gleichung (4.42) kann mit Hilfe von (4.32) symmetrisiert werden:
0 Z Z (dl dl0)(r r0 )
II
0
K = 4 L L jr r0j3 ;
(4.43)
Z dl (r r0)
Z
1 ) dl = 0
r
(
=
0
3
L jr r j
L jr r0 j
(4.44)
0
denn
fur geschlossene oder unendlich lange Leiterkreise. Gleichung (4.43) andert bei Vertauschung der beiden Strome, d.h. von I und I 0 sowie von r und r0, das Vorzeichen. Darin
spiegelt sich das Actio-Reactio-Prinzip wider, welches fur elektrostatische wie fur magnetostatische Wechselwirkungen gilt. Es wird allerdings durchbrochen bei beliebigen,
zeitabhangigen Strom- und Ladungsverteilungen (siehe Kap. 6).
39
Kapitel 5
Grundgleichungen der Magnetostatik
5.1 Divergenz der magnetischen Induktion
Gleichung (4.14) kann wie folgt umgeschrieben werden:
Z j(r0)
0
B(r) = 4 r ( V jr r0j dV 0 ):
(5.1)
Zum Beweis fuhre man die der Operation r entsprechenden Dierentiationen unter dem
Integral aus. Gema (5.1) kann also B in der Form
dargestellt werden mit
Dann wird
B=rA
(5.2)
Z j(r0 )
0
A(r) = 4 V jr r0j dV 0:
(5.3)
r B = r (r A) = 0:
(5.4)
r E = ;
(5.5)
Gleichung (5.4) entspricht formal
0
und zeigt, da es keine magnetischen Ladungen gibt. Bilden wir namlich die zu (5.4)
korrespondierende integrale Aussage
Z
I
r B dV = F B df = 0;
V
(5.6)
so sehen wir, da der Flu der magnetischen Induktion durch eine geschlossene Flache F
verschwindet. Der Vergleich mit:
I
E
df = Q ;
(5.7)
F
0
erklart die obige Aussage.
40
5.2 Rotation von B
In der Elektrostatik hatten wir gefunden
rE=0
oder gleichwertig
I
(5.8)
E ds = 0
(5.9)
nach der Formel von Stokes. Entsprechend wollen wir im folgenden das Linienintegral
S
I
S
B ds
(5.10)
uber einen geschlossenen Weg S untersuchen und dann uber die Formel von Stokes r B
berechnen.
Wir betrachten zunachst einen unendlich langen, dunnen, geraden Leiter. Dafur hatten
wir gefunden
B(r) = 2Ir0 e;
(5.11)
wobei r der Abstand vom Leiter ist, I die Stromstarke und e die Richtung angibt: die
Feldlinien laufen konzentrisch um den Leiter. Als Weg S betrachten wir zunachst eine
geschlossene (stuckweise) glatte Kurve in der Ebene senkrecht zum Leiter, welche den
Leiter umfat (Skizze).
Dann wird:
I e ds I0 I
I
0
B ds = 2 S r = 2 d = I0:
S
Wenn S den Strom nicht umfat, so gilt:
I
B ds = 0
I
S
Das ist fur den folgenden Weg sofort klar:
41
(5.12)
(5.13)
Die Wegstucke AD; BC tragen zum Integral nicht bei, da sie senkrecht zu B verlaufen.
An Hand von (5.12) zeigt man, da die Beitrage von AB; DC sich gerade kompensieren
aufgrund des entgegengesetzten Umlaufsinns.
Die obigen Ergebnisse lassen sich verallgemeinern, indem man Strome vom oben diskutierten Typ superponiert und geschlossene Raumkurven S aus ebenen Wegstucken zusammensetzt. Ohne auf Beweis-Details einzugehen - was Aufgabe der Mathematik ist halten wir als generelles Ergebnis fest:
I
S
B ds = 0I;
(5.14)
wobei I die Stromstarke des von S umschlossenen Stromes ist. Bemerkung: Umlauft S
den Strom n-fach, so ist I durch nI zu ersetzen.
Die zu (5.9) analoge integrale Aussage (5.14) konnen wir mit Hilfe des Satzes von
Stokes in eine dierentielle Beziehung umwandeln. Der Satz von Stokes gestattet, das
obige Linienintegral in ein Oberachenintegral umzuformen:
I
Z
B ds = F (r B) df
S
(5.15)
wobei F eine beliebige glatte, in den geschlossenen Weg S eingespannte, orientierbare
Flache ist. F und S liegen im Denitionsbereich des stetig dierenzierbaren Vektorfeldes
B. Mit (5.15) ergibt sich aus (5.14):
I
S
Z
Z
B ds = F (r B) df = 0I = F j df ;
(5.16)
oder, da F beliebig gewahlt werden kann:
r B = 0 j:
(5.17)
Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld E mit r E = 0 ist also das B-Feld nicht
wirbelfrei.
5.3 Vektor-Potential
Statt B bei gegebener Stromverteilung j aus (5.4) und (5.17) zu berechnen, wollen wir
entsprechend dem elektrostatischen Potential eine Hilfsgroe einfuhren, das sogenannte
Vektor-Potential, aus dem die magnetische Induktion durch Dierenzieren gewonnen
werden kann. Wir hatten sie in Kap. 5.1 schon kurz eingefuhrt:
B = r A;
42
(5.18)
und wollen nun versuchen, fur das Vektor-Potential A eine Dierentialgleichung zu nden,
aus der sich A bei gegebener Stromverteilung j berechnen lat. Wir bilden:
r (r A) = 0j = r(r A) A:
(5.19)
Der 1. Term auf der rechten Seite in (5.19) lat sich beseitigen und damit die gesuchte
Dierentialgleichung vereinfachen, indem man ausnutzt, da A uber (5.18) nicht eindeutig
deniert ist. Das Feld B andert sich namlich nicht, wenn man die Eichtransformation
A ! A 0 = A + r
(5.20)
durchfuhrt, wobei eine beliebige (mindestens 2-mal partiell dierenzierbare) skalare
Funktion ist, denn:
r A0 = r A + r (r) = rA + 0:
(5.21)
r A 6= 0;
(5.22)
Ist nun
so wahlen wir so, da
r A0 = r A + r (r) = 0:
(5.23)
Das gesuchte nden wir also durch Losen einer Dierentialgleichung vom Typ (2.28):
= r A;
(5.24)
wo r A als eine gegebene Inhomogenitat anzusehen ist. Es lat sich also stets erreichen
(ohne die Physik, d.h. das B-Feld in irgendeiner Weise einzuschranken!) da :
A = 0 j
(5.25)
gilt. Die vektorielle Gleichung (5.25) zerfallt in ihre 3 Komponenten, welche mathematisch
gesehen wieder vom bekannten Typ der Poisson-Gleichung (2.28) sind.
5.4 Multipolentwicklung
Analog dem Fall der Elektrostatik interessiert man sich oft fur das B-Feld in groer Entfernung von der (raumlich lokalisiert angenommenen) Stromverteilung j. Dann empehlt
es sich, das Vektor-Potential A analog in eine Taylorreihe zu entwickeln:
A(r) = A0(r) + A1(r) + ::::
mit dem
Monopolanteil:
(5.26)
Z
0
A0(r) = 4r V j(r0) dV 0
(5.27)
als 1. Term der Entwicklung von Gleichung (5.3). Nun ist fur jede Komponente i = 1; 2; 3
Z
Z
I
ji (r0)dV 0 = r0 (x0i j(r0)) dV 0 = x0i j(r0 ) df 0 = 0
(5.28)
V
V
F
43
wegen r j = 0, der Formel von Gau und der Tatsache, da j 6= 0 nur innerhalb von V
und auf der Oberache von V verschwindet. Also folgt:
A0 = 0
(5.29)
da es in der Elektrodynamik keine magnetischen Monopole gibt, wenn man mit (1.27)
vergleicht.
Dipolanteil:
Z
A1(r) = 4r0 3 V (r r0) j(r0 ) dV 0 :
(5.30)
Das Integral (5.30) formen wir um gema (4.37):
Z
Z
Z
(r r0)j(r0) dV 0 = 12 f(r r0)j(r0) (r j(r0)) r0g dV 0 = 12 fr (j(r0) r0)g dV 0: (5.31)
V
V
V
Ergebnis:
A1(r) = m ( 40 rr3 )
(5.32)
mit dem magnetischen Dipolmoment m von (4.39). Man vergleiche das Ergebnis mit
(1.28)!
Analyse von m:
Fur N Punktladungen qi lautet m:
m = 12
N
X
i=1
qi (ri vi ):
(5.33)
Weiterhin kann m in einen einfachen Zusammenhang mit dem Drehimpuls L der N geladenen Massenpunkte gebracht werden, wenn Mi = M und qi = q, namlich:
q L:
(5.34)
m = 2M
Mit dem Bahndrehimpuls eines Systems geladener (identischer) Teilchen ist also ein magnetisches Moment in Richtung von L verknupft. Diese Aussage gilt auch im atomaren
Bereich, z.B. fur die Elektronen eines Atoms. Umgekehrt lat sich jedoch nicht jedes
magnetische Moment auf einen Bahndrehimpuls gema (5.34) zuruckfuhren. Elementarteilchen (wie z.B. Elektronen) besitzen ein inneres magnetisches Dipolmoment, welches
nicht mit dem Bahndrehimpuls sondern mit dem Spin dieser Teilchen verknupft ist durch:
q s;
ms = g 2M
(5.35)
wobei s der Spin-Vektor ist und g das gyromagnetische Verhaltnis. Es ist g 2:0024 fur
Elektronen.
44
5.5 Energie eines Dipols im aueren Magnetfeld
Fur die Kraft K auf einen magnetischen Dipol m in einem raumlich schwach veranderlichen Feld B ndet man:
K = r(m B):
(5.36)
Zum Beweis greife man zuruck auf (4.27) und verfahre entsprechend der Berechnung von
N in Gleichung (4.38). Aus (5.36) ergibt sich fur die potentielle Energie des Dipols im
B-Feld (nach etwas langerer Rechnung):
U = (m B);
(5.37)
analog zu (d E) als Energie eines elektrischen Dipols im elektrostatischen Feld (2.41).
Der Dipol wird sich also bevorzugt in Feldrichtung einstellen, da dies der niedrigst moglichen Energie entspricht.
U bersicht uber die Magnetostatik
1.) Basis: Ampere'sches Gesetz
Z j(r0) (r r0)
0
K = q(v B) mit B = 4 V jr r0j3 dV 0
fur stationare Strome, wo r j = @=@t = 0.
2.) Feldgleichungen: Aus
B=rA
folgt
a) dierentiell:
oder
b) integral
Z j(r0)
0
mit A = 4 jr r0j dV 0
V
r B = 0; r B = 0j
I
B df = 0;
F
I
S
B ds = 0 I
3.) Vektor-Potential:
r (r A) = 0j ! A = 0 j
fur r A = 0 (Coulomb-Eichung).
45
Teil III
Grundlagen der Elektrodynamik
46
Kapitel 6
Die Maxwell'schen Gleichungen
6.1 Konzept des elektromagnetischen Feldes
Im folgenden sollen die Grundgleichungen fur das elektrische Feld E(r; t) und fur das
magnetische Feld B(r; t) fur den Fall beliebiger Ladungs- und Stromverteilungen
= (r; t); j = j(r; t)
(6.1)
aufgestellt werden. Als Denition der Felder benutzen wir in Erweiterung der Gleichungen
(1.8) und (4.13) die Beziehung (Lorentz-Kraft)
K = q(E + (v B)):
(6.2)
Da und j nun durch die Kontinuitatsgleichung
@ + r j = 0
(6.3)
@t
verknupft sind, ist klar, da elektrisches und magnetisches Feld nicht mehr separat behandelt werden konnen: Die Maxwell'schen Gleichungen sind ein System gekoppelter
Dierentialgleichungen fur die Felder E und B.
6.2 Faraday'sches Induktionsgesetz
Wir gehen von folgender experimenteller Erfahrung aus: Wenn sich der magnetische Flu
(Kap. 5.1) durch einen geschlossenen Leiterkreis andert, wird langs des Leiterkreises ein
(die Ladungstrager beschleunigendes) elektrisches Feld induziert, welches im Leiter einen
Induktionsstrom hervorruft. Quantitativ gilt:
Z
I
(6.4)
k dtd ( B df ) = E0 ds;
F
S
wobei:
i) F eine beliebige in den Leiterkreis S eingespannte Flache ist (siehe unten);
ii) E0 die induzierte elektrische Feldstarke bezogen auf ein mit dem Leiter S mitbewegtes
Koordinatensystem 0 ist;
47
iii) k eine vom Masystem abhangige Konstante ist, und zwar:
k = 1 im MKSA-System; k = 1c im cgs-System
(6.5)
Gleichung (6.2) bezieht sich auf das MKSA-System und ist im cgs-System zu ersetzen
durch
(6.6)
K = q(E + 1c (v B)) = q(E + (~ B))
mit ~ = v=c. Alle folgenden Formeln beziehen sich auf das MKSA-System.
iv) Das Vorzeichen in (6.4) spiegelt die Lenz'sche Regel wider.
Aus i) folgt, da auch fur zeitabhangige Felder wie in der Magnetostatik
rB=0
(6.7)
gilt. Sind namlich F1 und F2 irgendwelche in S eingespannte Flachen, so folgt aus i):
Z
F1
B df1 =
Z
F2
B df2 :
(6.8)
Unter Beachtung der Orientierung der Flachen ergibt der Satz von Gau fur das durch
F1 und F2 denierte Volumen:
I
I
Z
0 = B df1
B df2 = r B dV;
(6.9)
F1
F2
V
q.e.d. Die universelle Gultigkeit von r B = 0 war schon aufgrund der in Kap. 5.1
gegebenen Interpretation zu erwarten.
Diskussion des Induktionsgesetzes
Fall 1: Zeitlich veranderliches B-Feld bei ruhendem Leiterkreis S .
Dann ist E0 = E die induzierte Feldstarke im Laborsystem und es folgt nach der
Formel von Stokes:
I
Z
E ds = F (r E) df =
S
oder, da F beliebig,
Z @B
df ;
F @t
r E = @@tB :
(6.10)
(6.11)
Gleichung (6.11) zeigt die erwartete Verknupfung der Felder E und B.
Bemerkung: Gleichung (6.11) gilt unabhangig davon, ob der Leiterkreis tatsachlich vorhanden ist, er dient nur zum Nachweis des induzierten Feldes!
Anwendung: Betatron
In dem von einem zeitlich veranderlichen B-Feld induzierten elektrischen Feld E werden geladene Teilchen beschleunigt.
Fall 2: Bewegter Leiterkreis S bei zeitlich konstantem B-Feld.
48
Erlauterung: F1 und F2 seien beliebige in S1 bzw. in S2 eingespannte Flachen, F3
die Mantelache, welche S1 und S2 verbindet. Die Pfeile deuten die Orientierungen der
Flachen an.
Dann gilt nach der Formel von Gau (Skizze):
Z
F1
B df1 +
Z
F2
B df2 +
Z
F3
Z
B df3 = V (r B) dV = 0;
(6.12)
wenn man (6.7) beachtet.
Fur die zeitliche A nderung des Flusses folgt:
d Z B df = lim 1 fZ B df Z B df g = lim 1 Z B df = I B (v ds);
1
2 F
3
t!0 t F3
t!0 t F2
dt F
1
(6.13)
und (6.4) nimmt die Form an:
I
E0 ds =
S
I
I
B (v ds) = S ds (v B):
S
(6.14)
Gleichung (6.14) gestattet, die von einem zeitlich
H konstanten Magnetfeld an einer bewegten Leiterschleife induzierte Ringspannung E0 ds (elektromotorische Kraft) zu
berechnen.
Anwendung: Wechselstrom-Generator
Durch Kombination von Fall 1 und Fall 2 erhalt man:
I
I
I
I
Z @B
0 ds =
d
f
+ ds (v B) = E ds + (v B) ds:
E
S
S
S
S
F @t
Da die Leiterschleife S beliebig gewahlt werden kann, folgt:
E0 = E + (v B):
(6.15)
(6.16)
Dieser Zusammenhang zwischen der (induzierten) elektrischen Feldstarke E0 im mitbewegten System 0 und der (induzierten) Feldstarke E und der magnetischen Induktion B
im Laborsystem lat sich fur v c im Rahmen des Galilei'schen Relativitatsprinzips
verstehen:
49
Auf einen Ladungstrager q des Leiterkreises S wirkt im Laborsystem die Kraft
K = q(E + (v B));
(6.17)
wahrend im mitbewegten System 0 gilt:
K 0 = q E0 ;
(6.18)
da q in 0 ruht, also vq0 = 0. Fur v = const. ist der Zusammenhang von und 0 durch
eine Galilei-Transformation gegeben und es ist
K = K0;
(6.19)
woraus direkt (6.16) folgt.
6.3 Erweiterung des Ampere'schen Gesetzes
Das Ampere'sche Gesetz der Magnetostatik
r B = 0 j
(6.20)
gilt nur fur stationare Strome. Bildet man namlich
r (r B) = 0 r j;
(6.21)
so erhalt man wegen der Identitat
r ( r a) = 0;
(6.22)
gerade r j = 0 , d.h. stationare Strome. Allgemein gilt jedoch die Kontinuitatsgleichung
r j = @
(6.23)
@t ;
so da (6.20) fur nichtstationare Strome modiziert werden mu .
Wie diese Modikation aussehen mu , wird sofort klar, wenn man das Gau'sche
Gesetz der Elektrostatik (Kap. 2.4) beibehalt:
r E = ;
(6.24)
0
was durch die in Kap. 1.1 aufgefuhrte Ladungsinvarianz gestutzt wird. Kombiniert man
nun (6.23) und (6.24), so folgt:
r (j + 0 @@tE ) = 0:
(6.25)
Ersetzt man daher
(6.26)
j ! j + 0 @@tE ;
so hat man wieder einen Strom mit verschwindender Divergenz wie in der Magnetostatik.
In Einklang mit der Ladungserhaltung erweitern wir also (6.20) wie folgt:
r B = 0j + 00 @@tE :
(6.27)
Das Ampere'sche Gesetz (6.27) ndet seine experimentelle Bestatigung in der Existenz
elektromagnetischer Wellen (s.u.).
50
6.4 U bersicht uber die Maxwell'schen Gleichungen
Homogene Gleichungen:
r B = 0;
was dem Fehlen magnetischer Monopole entspricht.
r E + @@tB = 0;
was dem Induktionsgesetz entspricht.
Inhomogene Gleichungen:
(6.28)
(6.29)
r E = ;
(6.30)
r B 0 0 @@tE = 0j;
(6.31)
0
was dem Gau'schen Gesetz entspricht.
was dem Ampere-Maxwell'schen Gesetz entspricht.
In (6.30) und (6.31) ist die Ladungserhaltung (6.23) schon implizit enthalten. (6.29)
und (6.31) zeigen, da ein zeitlich sich anderndes Magnetfeld B ein elektrisches Feld E
bedingt und umgekehrt. Die Gleichungen (6.28) { (6.31) beschreiben zusammen mit der
Lorentz-Kraft
K = q(E + (v B)):
(6.32)
vollstandig die elektromagnetische Wechselwirkung geladener Teilchen im Rahmen der
klassischen Physik.
6.5 Selbstinduktion
Ein stromdurchossener Leiter erzeugt in seiner Umgebung gema (6.31) ein magnetisches
(und elektrisches) Feld. A ndert sich der Flu dieses Magnetfeldes durch den Leiterkreis, so
wird im Leiterkreis ein Induktionsstrom erzeugt (Selbstinduktion), der nach (6.4) dem
primaren Strom entgegen gerichtet ist (Lenz'sche Regel). Die Selbstinduktion hangt von
der Geometrie des Leiters ab. Fur eine quantitative Formulierung greift man zweckmaigerweise auf die elektromagnetischen Potentiale zuruck (Kap. 7).
51
Kapitel 7
Die elektromagnetischen Potentiale
7.1 Skalares Potential und Vektorpotential
Statt die gekoppelten Dierentialgleichungen (6.28) - (6.31) fur E und B direkt zu losen,
ist es meist bequemer - analog dem Vorgehen in der Elektrostatik und Magnetostatik elektromagnetische Potentiale einzufuhren.
Da generell
r B = 0;
(7.1)
gilt, konnen wir ein Vektorpotential A = A(r; t) uber die Beziehung
B=rA
(7.2)
einfuhren. Dann schreibt sich (6.29) als
r (E + @@tA ) = 0;
(7.3)
und die Vektorfunktion (E + @ A=@t) lat sich als Gradient einer skalaren Funktion =
(r; t) darstellen:
(7.4)
(E + @ A ) = r;
@t
oder
E = @@tA r:
(7.5)
Damit sind E und B auf das Vektorpotential A und das skalare Potential zuruckgefuhrt,
und wir mussen nun die Dierentialgleichungen aufstellen, aus denen A und berechnet
werden konnen, wenn und j vorgegeben sind.
Dazu benutzen wir die inhomogenen Gleichungen (6.30) und (6.31). Aus (6.30) folgt
mit E aus (7.5):
(7.6)
+ r ( @ A ) = @t
0
und aus (6.31) mit (7.2):
2
(7.7)
r (r A) + 00 (r @@t + @@tA2 ) = 0 j:
52
Mit der Identitat
geht (7.7) uber in:
r (r a) = a + r(r a)
(7.8)
2
A 00 @@tA2 r(r A + 00 @@t ) = 0j:
(7.9)
Damit haben wir die 8 Maxwell-Gleichungen fur E und B uberfuhrt in 4 Gleichungen fur
die Potentiale A und , die jedoch untereinander gekoppelt sind.
Zur Entkopplung machen wir davon Gebrauch, da die Maxwell-Gleichungen invariant
sind unter Eichtransformationen (U B):
A ! A + r;
(7.10)
! @ ;
(7.11)
@t
wobei (r; t) eine beliebige (2-mal stetig dierenzierbare) Funktion ist.
7.2 Lorentz-Konvention
Gleichung (7.9) legt nahe, so zu wahlen, da
(7.12)
r A + 00 @@t = 0;
was der Lorentz-Konvention entspricht. Man erhalt dann aus (7.9) und (7.6) entkoppelte Gleichungen:
2
(7.13)
A 00 @ A2 = 0 j:
@t
2
(7.14)
00 @ 2 = ;
@t
0
welche jeweils die gleiche mathematische Struktur besitzen. Sie vereinfachen sich fur zeitunabhangige Felder auf die Gleichungen (2.26) und (5.25) der Elektrostatik bzw. Magnetostatik. Die Lorentz-Eichung (7.12) wird bei der relativistischen Formulierung der
Elektrodynamik benutzt unter Verwendung von 00 = c 2 .
Konstruktion von : Falls
r A + 00 @@t 6= 0
(7.15)
fuhren wir eine Eichtransformation durch und fordern:
2
r A + + 00 @@t 00 @@t2 = 0:
(7.16)
Gleichung (7.16) ist eine inhomogene, partielle Dierentialgleichung 2. Ordnung der Form
2
0 0 @@t2 = f (r; t):
(7.17)
53
Bei gegebener Inhomogenitat
f (r; t) = r A 00 @@t
(7.18)
ist die Losung mehrdeutig, da zu jeder Losung von (7.17) noch eine beliebige Losung der
homogenen Gleichung
2
(7.19)
00 @ 2 = 0
@t
addiert werden kann.
7.3 Coulomb-Eichung
In der Atom- und Kernphysik wird meist so gewahlt, da
r A = 0:
Dann geht (7.6) uber in
= ;
0
(7.20)
(7.21)
mit der schon bekannten (partikularen) Losung:
1 Z (r0; t) dV 0 ;
(r; t) = 4
(7.22)
0 V jr r0 j
aus (7.9) wird
2
A 00 @ A2 = 0 j(r; t) + 0 0 r @ (r; t)
@t
Z @@t(r0 ; t)=@t (r r0)
0
0
= 0 j(r; t) 4
dV 0
(7.23)
0
3
j
r
r
j
V
0
Z
0
r r0) dV 0:
= 0 j(r; t) + 40 (r j(jrr ; t))(
r0j3
V
Anwendung: In quellenfreien Gebieten, wo
= 0; j = 0;
(7.24)
reduzieren sich (7.22) und (7.23) dann auf:
2
= 0; A 00 @@tA2 = 0:
(7.25)
Die Losungen von (7.25) sind elektromagnetische Wellen, z.B. in Form transversaler,
ebener Wellen (siehe Kap. 9).
Konstruktion von : Erfullt die Losung A von (7.9) nicht die Eichbedingung (7.20), so
fuhren wir die Transformation (7.10), (7.11) durch und fordern
r A + = 0;
54
(7.26)
oder
= r A:
(7.27)
Dies ist ein Spezialfall von (7.17) mit r A als Inhomogenitat. Mehrdeutigkeit von : Zu
jeder Losung von (7.27) kann man noch eine beliebige Losung der homogenen Gleichung
= 0
(7.28)
addieren.
7.4 Induktionsgesetz, Selbstinduktion
Der magnetische Flu als entscheidende Groe des Induktionsgesetzes lat sich mit Hilfe
des Vektorpotentials wie folgt ausdrucken:
Z
I
Z
B df = F (r A) df = S A ds;
F
(7.29)
wenn man den Satz von Stokes anwendet. Die rechte Seite von (7.29) zeigt explizit, da
der Flu nur vom Weg (Leiterschleife) S abhangt, nicht jedoch von der speziellen Form
der in S eingespannten Flache F .
Fur den Fall der Selbstinduktion (Kap. 6.3) hat man bei gegebener Stromdichte j(r; t)
aus (7.13) bzw. (7.23) das Vektorpotential A zu bestimmen und damit das Integral (7.29)
zu berechnen. Das Ergebnis hangt bei gegebener Stromstarke nur noch von der Leitergeometrie ab. Es ist wegen
I
(r) ds = 0
(7.30)
S
unabhangig von der Wahl der Eichung.
55
Kapitel 8
Energie, Impuls und Drehimpuls des
elektromagnetischen Feldes
8.1 Energie
In Kap. 2.3 hatten wir dem elektrostatischen Feld eine Energie zugeordnet, charakterisiert
durch die Energiedichte
(8.1)
!el = 20 E 2:
Analog kann man dem magnetostatischen Feld eine Energie zuordnen. Wir wollen diesen
Schritt uberspringen und direkt die Energiebilanz fur ein beliebiges elektromagnetisches
Feld aufstellen.
Wir betrachten dazu zunachst eine Punktladung q, die sich mit der Geschwindigkeit
v in einem elektromagnetischen Feld fE; Bg bewegt. Die an dieser Ladung vom Feld
geleistete Arbeit ist gegeben durch:
dW = K v = q(E + (v B)) v = qE v;
(8.2)
dt
da das Magnetfeld keine Arbeit leistet. Entsprechend gilt fur einen Strom der Stromdichte
j:
dWM = Z E j dV:
(8.3)
dt
V
Die an den bewegten Punktladungen vom Feld geleistete Arbeit geht auf Kosten des
elektromagnetischen Feldes, deren explizite Form im folgenden hergeleitet werden soll.
Wir eliminieren in (8.3) zunachst die sich auf die bewegten Massenpunkte beziehende
Stromdichte j mit Hilfe von Gleichung (6.31):
Z
Z
(8.4)
E
j
dV = ( 1 E (r B) 0 E @@tE ) dV ;
V
V 0
diesen Ausdruck, der nur noch die Felder E und B enthalt, konnen wir symmetrisieren
bzgl. E und B mit den Relationen
r (a b) = b (r a) a (r b)
56
(8.5)
und
Ergebnis:
Z
E j dV =
V
Interpretation:
Fall 1: V ! 1
Z
r E = @@tB :
2
2
( 1 @B + 0 @E + 1 r (E B)) dV:
2 @t 0
V 20 @t
(8.6)
(8.7)
Aus (8.3) und (8.7) folgt fur die Feldenergie
Z 1
(8.8)
WF = ( 2 B 2 + 20 E 2) dV;
V
0
falls die Felder asymptotisch schnell genug abfallen, soda der r - Term in (8.7) verschwindet. Mit Hilfe des Satzes von Gau ,
Z
V
I
r (E B) dV = F (E B) df
(8.9)
mit F als Oberache des (zunachst als endlich angenommenen) Volumes V , ndet man,
da die Felder E und B starker als 1=R abfallen mussen, da df mit R2 anwachst (vgl.
Kap. 2.5). Fur statische Felder ist die obige Voraussetzung erfullt, nicht dagegen fur
Strahlungsfelder (vgl. Kap. 11). In (8.8) konnen wir nun die Energiedichte des elek-
tromagnetischen Feldes
!F = 21 B 2 + 20 E 2
0
einfuhren, welche sich aus einem elektrischen Anteil (vgl. (8.1))
!el = 20 E 2
und einem magnetischen Anteil
!mag = 21 B 2
0
zusammensetzt.
(8.10)
(8.11)
(8.12)
Fall 2: V endlich
Wir behalten die Interpretation von (8.10) bei und schreiben, da V beliebig wahlbar
ist, (8.7) als (dierentielle) Energiebilanz:
E j + @!@tF + r S = 0:
(8.13)
mit
S = 1 (E B):
(8.14)
0
Interpretation von (8.13): Die Feldenergie in einem Volumen V kann sich andern dadurch, da Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung (Kap. 11) hinein- (hinaus-)
57
stromt, beschrieben durch den Term r S, und/oder da an Punktladungen Arbeit geleistet wird, beschrieben durch E j. In Analogie zur Ladungserhaltung (Kap. 4.1) nennen wir
S die Energiestromdichte (Poynting-Vektor). Die Energiebilanz zeigt, da die Energie
des abgeschlossenen Systems (Punktladungen plus elektromagnetisches Feld) eine Erhaltungsgroe ist.
8.2 Impuls
Dem elektromagnetischen Feld kann man auer Energie auch Impuls zuordnen. Wir beginnen wieder mit der Impulsbilanz fur eine Punktladung q mit der Geschwindigkeit v.
Nach Newton gilt dann fur die A nderung des Impulses der Punktladung:
dpM = q(E + (v B));
(8.15)
dt
entsprechend fur N Punktladungen, charakterisiert durch eine Stromdichte j und Ladungsdichte :
dPM = Z (E + (j B)) dV:
(8.16)
dt
V
Analog zu Kap. 8.1 versuchen wir, und j zu eliminieren, soda die rechte Seite in (8.16)
nur noch die Felder E und B enthalt.
Wir benutzen dazu
= 0 r E
(8.17)
und
(8.18)
j = 1 r B 0 @@tE :
Das Resultat
0
!
dPM = Z E(r E) + 1 (r B) B ( @ E B) dV
(8.19)
0 @t
0
dt
0
V
konnen wir bzgl. E und B symmetrisieren, indem wir in (8.19) den (verschwindenden)
Term
1 B(r B)
(8.20)
0
hinzufugen und in
@ (E B) + (E @ B )
0 ( @@tE B) = 0 @t
(8.21)
0
@t
das Induktionsgesetz
r E = @@tB
(8.22)
ausnutzen. Ergebnis:
dPM = Z f[ E(r E)+ 1 B(r B)+ 1 (r B) B + (r E) E] @ (E B)g dV:
0
0 @t
0
dt
0
0
V
(8.23)
58
Fur die Interpretation von (8.23) fassen wir die [::::]-Terme wie folgt zusammen:
3
3
3 @Ei
X
X
m X @Em
(E(r E) + E (r E))i = Ei @E
E
+
Em
(8.24)
m
m=1 @xm m=1 @xi
m=1 @xm
3 @
3 @
X
X
X
(EiEm ) 1 @ ( Em2 ) =
(Ei Em 1 E 2im ):
=
2 @xi m
2
m=1 @xm
m=1 @xm
Entsprechend verfahren wir fur die B-Terme. Ergebnis:
3 @
d (P + P ) = Z X
(8.25)
dt M F i V m=1 @xm Tim dV
mit
Z
1
1
1
2
2
Tim = 0 (Ei Em 2 E im ) + (BiBm 2 B im ); PF = 0 (E B) dV: (8.26)
V
0
Fall 1: V ! 1
Wie unter Kap. 8.1 uberzeugt man sich, da die rechte Seite in (8.25) verschwindet, falls
die Felder E und B schneller als 1=R abfallen. Dann lautet die Impulsbilanz
PM + PF = const:
(8.27)
Gleichung (8.27) legt nahe, PF als Impuls des elektromagnetischen Feldes zu interpretieren. Fur das abgeschlossene System (Punktladungen plus Feld) ist dann der Gesamtimpuls, der sich additiv aus Teilchen- und Feldimpuls zusammensetzt, eine Erhaltungsgroe.
Fall 2: V endlich
Wir formen die rechte Seite in (8.25) mit dem Gau'schen Satz um:
3
d (P + P ) = I X
(8.28)
dt M F i F m=1 Timnm df
wobei nm die Komponenten des Normalen-Vektors auf der Oberache F von V sind. Da
auf der linken Seite von (8.28) nach Newton eine Kraft steht, konnen wir Timnm als Druck
des Feldes (Strahlungsdruck) interpretieren. Das elektromagnetische Feld ubertragt auf
einen Absorber also nicht nur Energie, sondern auch Impuls.
Der Strahlungsdruck des Lichts wurde von Lebedev und Hull direkt an einer Drehwaage nachgewiesen. An den Balkenenden angebrachte Metallplattchen wurden im Takt der
Eigenschwingung jeweils belichtet; es wurden in Resonanz gut beobachtbare Ausschlage
erhalten. Ein besonders augenfalliger Beweis ist die Krummung von Kometenschweifen
auf Grund des Strahlungsdruckes des von der Sonne emittierten Lichts.
Bemerkung: Die Tatsache, da die Impulsdichte
~F = 0 (E B)
(8.29)
und die Energiestromdichte S sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden,
(8.30)
~F = 0 0S = c12 S;
ist kein Zufall, sondern ergibt sich zwangslaug im Rahmen der relativistischen Formulierung.
59
8.3 Drehimpuls
Die A nderung des Drehimpulses einer Punktladung q im elektromagnetischen Feld ist
gegeben durch:
dlM = r dpM = qr (E + (v B)):
(8.31)
dt
dt
Entsprechend gilt fur N Punktladungen, welche durch und j charakterisiert seien, im
Volumen V :
dLM = Z r (E + (j B)) dV:
(8.32)
dt
V
Eliminiert man und j und symmetrisiert man das Resultat bzgl. E und B, so erhalt
man analog Kap. 8.2:
dLM = Z r f E(r E)+ 1 B(r B)+ 1 (r B) B + (r E) E @ (E B)g dV:
0
0 @t
0
dt
0
0
V
(8.33)
Fallen die Felder asymptotisch rasch genug ab, d.h. starker als 1=R, so bleibt fur V ! 1:
d ( L + L ) = 0;
(8.34)
dt M F
mit
Z
LF = 0 V r (E B) dV
(8.35)
als Drehimpuls des Feldes. Die Summe aus dem mechanischen Drehimpuls LM und dem
des Feldes LF ist eine Erhaltungsgroe:
LM + LF = const:
(8.36)
8.4 Zusammenfassung
Bei Abwesenheit anderer Krafte gelten fur das abgeschlossene System (Punktladungen
plus Feld) die Erhaltungssatze fur Energie, Impuls und Drehimpuls. Da sich Energie,
Impuls und Drehimpuls der Punktladungen zeitlich andern, mussen wir dem Feld selbst
Energie, Impuls und Drehimpuls zuordnen, um die Erhaltungssatze fur das Gesamtsystem
zu garantieren. Die Grundgroen
Energiedichte
Impulsdichte
und Drehimpulsdichte
!F = 20 E 2 + 21 B 2 ;
(8.37)
~F = 0 (E B)
(8.38)
0
~F = 0 r (E B) = r ~F
(8.39)
ndet man aus den jeweiligen Bilanzen unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen. Die
Tatsache, da man dem Maxwell-Feld mechanische Groen wie Energie, Impuls und Drehimpuls zuordnen kann, bietet die Grundlage fur die im atomaren Bereich benutzte Beschreibung elektromagnetischer Phanomene durch Teilchen, welche als Photonen bezeichnet werden.
60
Teil IV
Elektromagnetische Strahlung
61
Kapitel 9
Das elektromagnetische Feld im
Vakuum
9.1 Homogene Wellengleichungen
Im Vakuum ( = 0; j = 0) lauten die Maxwell-Gleichungen
r E = 0; r B = 0; r E = @@tB ; r B = 0 0 @@tE :
Zur Entkopplung von E und B bilden wir z.B.
2
r (r B) = r(r B) B = 0 0 @@tB2 ;
(9.1)
(9.2)
das Resultat ist eine homogene Wellengleichung
1 @ 2 )B = 0; 1 = :
c2 @t2
c2 0 0
Analog verfahrt man mit dem E-Feld. Mit der Abkurzung
(
(9.3)
2
2 = c12 @t@ 2
(9.4)
2B = 0; r B = 0
(9.5)
2E = 0; r E = 0:
(9.6)
2A = 0; r A = 0
(9.7)
=0
(9.8)
erhalt man dann anstelle von (9.1)
und
Fur die zugehorigen Potentiale ndet man nach Kap. 7:
62
in der Coulomb-Eichung.
Wir haben also Dierentialgleichungen vom Typ
2f (r; t) = 0
(9.9)
zu losen, wobei f fur irgendeine Komponente von E; B oder A steht. Die Losungen fur
E; B und A sind dann noch der Nebenbedingung unterworfen, da die Divergenz verschwindet (Transversalitatsbedingung).
9.2 Ebene Wellen
Ein wichtiger Losungstyp von (9.9) sind ebene Wellen,
f = f (q r ct)
(9.10)
fur beliebige (mindestens zweifach dierenzierbare) Funktionen f und Vektoren q mit q2
= 1.
Beweis: Mit der Abkurzung
= q r ct
(9.11)
bilden wir:
df ; f = q2 d2 f ; 1 @f = df ; 1 @ 2 f = d2f ; q.e.d.
rf = q d
(9.12)
d 2
c @t d c2 @t2 d 2
Damit ist
B = B0f (r; t)
(9.13)
Losung von (9.3); analog fur E und A.
Eigenschaften der Losungen:
i) Ebene Wellen
Funktionen vom Typ (9.10) beschreiben ebene Wellen, deren Wellenfronten Ebenen
sind: Die Punkte r, in denen f (r; t) zu einer festen Zeit t den gleichen Wert annimmt,
liegen auf einer Ebenen (Hesse'sche Normalform)
qr=
const;
(9.14)
welche senkrecht zu q steht. Je nach Wahl des Vorzeichens in (9.10) erhalt man Wellen,
die in q-Richtung laufen.
ii) Transversalitat der elektromagnetischen Wellen
Aus r B folgt mit (9.13)
df = 0;
(B0 q) d
also
B q = 0;
63
(9.15)
(9.16)
entsprechend fur E und A.
iii) Orthogonalitat von E und B
Aus
r E = @@tB
(9.17)
E = E0 f (q r ct); B = B0 g(q r ct)
(9.18)
df = cB dg ;
(q E0) d
0 d
(9.19)
folgt fur die ebenen Wellenlosungen
die Beziehung
also E ? B mit (9.16). E; B und q bilden also ein orthogonales Dreibein (siehe Skizze).
B~
E~
~q
Bemerkungen:
1.) Auer ebenen Wellen sind z.B. auch Kugelwellen Losungen von (9.9); sie haben die
Form:
f (r ct) ;
(9.20)
r
wobei f eine beliebige (mindestens zweifach dierenzierbare) Funktion ist. Der Beweis
verlauft analog zu (9.12) in Kugelkoordinaten (U B).
2.) Die Existenz von elektromagnetischen Wellen (z.B. Lichtwellen, Radiowellen, Mikrowellen, -Strahlung etc.) beweist die Richtigkeit der Relation r B = 0 0@ E=@t im
Vakuum, welche entscheidend in die Herleitung der Wellengleichungen eingegangen ist.
Sie bringt die experimentelle Bestatigung fur das Maxwell-Ampere-Gesetz (6.27).
9.3 Monochromatische ebene Wellen
Eine spezielle Form der ebenen Welle ist (z.B. fur die elektrische Feldstarke)
E = E0 exp(i(k r !t)):
Dabei ist
k = k q;
und ! und k hangen uber die Dispersionsrelation
! 2 = k 2 c2
64
(9.21)
(9.22)
(9.23)
zusammen, wie man durch Einsetzen von (9.21) in die Wellengleichung (9.6) sofort sieht.
Eine ebene Welle vom Typ (9.21) nennt man monochromatisch. Entsprechende Losungen ndet man fur A und B.
Bemerkung: E; A und B sind reelle Vektorfelder nach Denition. Die komplexe Schreibweise in Gleichung (9.21) ist verabredungsgema so zu verstehen, da das physikalische
Vektorfeld durch den Realteil von (9.21) beschrieben wird. Die komplexe Schreibweise
ist oft (z.B. beim Dierenzieren) bequemer als die reelle; sie ist problemlos, solange nur
lineare Operationen durchgefuhrt werden.
Bei der Berechnung physikalischer Groen wie etwa der Energiestromdichte treten
Produkte von Vektorfeldern auf. Zeitliche Mittelwerte solcher Produkte kann man in
komplexer Schreibweise wie folgt berechnen: Fur zwei Vektorfelder
a(r; t) = a0 (r) exp( i!t); b(r; t) = b0(r) exp( i!t)
(9.24)
gilt fur den zeitlichen Mittelwert des Produktes
(9.25)
(Rea) (Reb) = 21 Re(a b );
denn in
(Rea) (Reb) = 1 (a0 exp( i!t) + a0 exp(i!t))(b0 exp( i!t) + b0 exp(i!t)) (9.26)
4
verschwinden die gemischten Terme mit den Zeitfaktoren exp(2i!t) nach Zeitmittelung
und es bleibt
(9.27)
(Rea) (Reb) = 41 (a b + a b) = 12 Re(a b ):
Terminologie: Der Betrag k des Wellenvektors k heit Wellenzahl und ist uber
= 2k
(9.28)
mit der Wellenlange verknupft. Mit (9.23) folgt
(9.29)
= 2!
fur den Zusammenhang der Kreisfrequenz ! mit der Schwingungsdauer . Anstelle
von ! wird auch oft die Frequenz = !=(2) benutzt. Anhand von (9.21) sieht man,
da die zeitliche Periodizitat der Welle bei festgehaltenem Ort r beschreibt,
exp(i!(t + )) = exp(i!t + 2i) = exp(i!t);
(9.30)
analog gibt die raumliche Periodizitat an:
exp(ik(z + )) = exp(ikz + 2i) = exp(ikz)
fur eine Welle in z-Richtung zu fester Zeit t.
65
(9.31)
Die Groe
= k r !t
(9.32)
nennt man die Phase der Welle. Unter der Phasengeschwindigkeit vph versteht man
die Geschwindigkeit, mit der sich ein Wellenpunkt mit vorgegebener fester Phase bewegt.
Um vph zu bestimmen, betrachten wir wieder eine ebene Welle in z-Richtung und bilden
das totale Dierential von (z; t):
d = kdz !dt:
(9.33)
Fur = const. folgt dann:
! = c;
=
(9.34)
vph = dz
dt k
die Phasengeschwindigkeit ist also gleich der Lichtgeschwindigkeit c.
Bemerkung: Streng genommen ist eine ebene Welle senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
unendlich ausgedehnt; jede praktisch realisierbare Welle dagegen begrenzt. Die ebene
Welle ist jedoch eine sinnvolle Approximation, wenn die Ausdehnung der realen Welle
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gro ist im Vergleich zu irgendwelchen Hindernissen
(z.B. Spalte), durch die sie gestort werden kann.
Fur monochromatische ebene Wellen gehen die Beziehungen
(9.35)
B = r A; E = @@tA ;
in der komplexen Darstellung uber in
B = i(k A); E = i!A:
(9.36)
Mit (9.36) und (9.25) lassen sich Energie und Impuls der Welle leicht ausrechnen: Fur den
zeitlichen Mittelwert
Z
1
!F = !F dt
(9.37)
0
der Energiedichte (reelle Darstellung)
(9.38)
!F = 20 E 2 + 21 B 2
0
erhalt man mit A k = 0:
!F = 40 Re(!2A A + c2k2 A A) = 20 !2jA0j2 = 20 jE0j2:
(9.39)
Entsprechend fur die Energiestromdichte (8.14)
(9.40)
S = 2! jA0j2 k = 20 c jE0j2 q
0
und direkt uber (8.30) fur die Impulsdichte
~F = 20c jE0j2 q = c12 S:
(9.41)
66
Vergleicht man (9.39) mit (9.41), so ndet man, da die Energie mit der Geschwindigkeit c
transportiert wird. Im Gegensatz zu !F ; S und ~F ist der zeitliche Mittelwert der Drehimpulsdichte, Gleichung (8.39), ortsabhangig und zur Charakterisierung einer ebenen Welle
ungeeignet. Der Drehimpuls des Feldes hat jedoch Bedeutung fur spharische Wellen, wo
er eine analoge Rolle spielt wie der Impuls fur die ebene Welle.
9.4 Polarisation
Wegen der Transversalitat und der Orthogonalitat von E und B konnen wir eine monochromatische ebene Welle der Form (9.21) beschreiben durch:
E = e1 E0 exp(i(k r !t)); B = e2 B0 exp(i(k r !t))
(9.42)
mit
ei ej = ij ; ei k = 0:
(9.43)
Eine solche Welle nennt man linear polarisiert. Eine zu (9.42) gleichberechtigte, linear unabhangige ebene Welle zu gleichem Wellenvektor k erhalt man, indem man E in
e2-Richtung und B in e1 -Richtung wahlt. Der allgemeine Polarisationszustand einer mo-
nochromatischen ebenen Welle ergibt sich dann nach dem Superpositionsprinzip, z.B. fur
das elektrische Feld:
E = (e1 E1 + e2 E2 ) exp(i(k r !t))
(9.44)
mit El (l = 1,2) als beliebigen komplexen Zahlen El = jElj exp(il ). Gleichung (9.44)
beschreibt alle moglichen Polarisationszustande:
1.) Lineare Polarisation liegt vor, wenn
1 = 2 :
Richtung und Betrag von E sind dann gegeben durch (s. Skizze)
E2 ); E = qE 2 + E 2
= arctan( E
1
2
1
2.) Zirkulare Polarisation:
E1 = E2; 1 2 = 2 ;
67
(9.45)
(9.46)
(9.47)
dann wird namlich
E = E0 (e1 ie2 ) exp(i(k r !t));
(9.48)
Ex = E0 cos(kz !t); Ey = E0 sin(kz !t);
(9.49)
oder in reeller Darstellung
wenn k in z-Richtung zeigt. Der Drehsinn ist durch die Wahl des Vorzeichens in (9.48)
festgelegt; man erhalt links- bzw. rechts-zirkulare Polarisation.
3.) Elliptische Polarisation tritt auf fur
E1 6= E2 ; 1 2 6= 0:
(9.50)
E beschreibt dann fur festes z eine Ellipsenbahn, deren Lage relativ zu e1 durch 1 2
und deren Hauptachsenverhaltnis durch E1 =E2 bestimmt ist.
68
Kapitel 10
Wellenpakete im Vakuum
10.1 Informationsubertragung durch elektromagnetische Wellen
Ein wichtiger Anwendungsbereich elektromagnetischer Strahlung ist die Informationsubertragung. Monochromatische ebene Wellen sind dazu ungeeignet, da sie praktisch keine Information auer ihrer Periode (!) vermitteln konnen. Man kann monochromatische ebene
Wellen jedoch modulieren und so Information ubertragen. Im einfachsten Fall bildet
man eine U berlagerung aus 2 monochromatischen Wellen:
f (t) = f0 cos(!1t) + f0 cos(!2t)
(10.1)
beschreibe die Welle an einem festen Ort. (10.1) kann als amplituden-modulierte
Schwingung dargestellt werden:
f (t) = 2f0 cos(!mt) cos(!0t)
(10.2)
mit
!m = !1 2 !2 ; !0 = !1 +2 !2 :
(10.3)
Wenn !1 !2 gewahlt wird, dann ist (10.2) eine fast harmonische Schwingung der Frequenz !0 (Tragerfrequenz), deren Amplitude sich mit der Modulationsfrequenz !m
andert. Man erhalt das Bild einer Schwebung.
!0
t
!m
Kompliziertere Schwingungsformen und damit mehr Moglichkeiten zur Informationsubertragung ergeben sich durch U berlagerung mehrerer Schwingungen verschiedener Frequenzen.
69
10.2 Fourier-Reihen und Fourier-Integrale
Ausgehend von einer Grundfrequenz ! = 2=T bildet man
f (t) =
1
X
n= 1
fn exp( i!n t); !n = n!:
(10.4)
Die Fourier-Reihe (10.4) konvergiert gleichmaig (und damit auch punktweise), wenn
f (t) periodisch mit der Periode T und stuckweise glatt ist. Die (schwachere) Forderung der
Konvergenz im quadratischen Mittel ist erfullt fur periodische, in [0; T ] stetige Funktionen
f (t).
Die Fourier-Koezienten fn lassen sich bei gegebener Funktion f (t), welche obigen
Voraussetzungen genugt, wie folgt berechnen:
Z T=2
fn = T1
f (t) exp(i!nt) dt:
(10.5)
T=2
Beweis: Mit (U B)
1 Z T=2 exp(i!(m n)t) dt = (10.6)
mn
T
wird:
T=2
Z T=2
T=2
f (t) exp(i!m t) dt = T
X
n
fnmn = T fm:
(10.7)
Nicht-periodische Funktionen lassen sich (unter sehr schwachen Voraussetzungen, s.u.)
durch Fourier-Integrale darstellen, die sich aus (10.4) im Limes T ! 1 ergeben.
Fuhrt man den Abstand ! = 2=T benachbarter Frequenzen !n ein und deniert
man
T f );
f~(!i) = Tlim
(
(10.8)
!1 2 i
so kann man
1
X
f ( t) =
f~(!n) exp( i!nt) !
(10.9)
n= 1
als Riemann-Summe des Fourier-Integrals
f ( t) =
Z1
1
f~(!) exp( i!t) d!
(10.10)
auassen. Fur die Umkehrung von (10.10) zeigt der Vergleich von (10.5) und (10.8):
Z1
f~(!) = 21
f (t) exp(i!t) dt:
(10.11)
1
f~(!) heit die Fourier-Transformierte zu f (t). Sie existiert und (10.10) konvergiert im
quadratischen Mittel fur alle quadratintegrablen Funktionen f (t), fur die
Z1
j
f (t)j2 dt < 1;
1
70
(10.12)
f~(!) ist dann auch quadratintegrabel.
Beispiel: Rechteckimpuls
f (t) = 1
t ; f (t) = 0
2
2
fur
f 1
f~
2
2
sonst:
(10.13)
2
!
t
Dann wird
Z =2
1 exp(i!t) j=2 = sin(!=2) :
f~(!) = 21
exp(i!t) dt = !
=2
2i
!
=2
(10.14)
Die Breite ! von f~(!) schatzt man aus obiger Figur ab zu:
! 2 oder !t 2:
(10.15)
Je schmaler (breiter) das Signal f (t) werden soll, desto breiter (schmaller) ist das Frequenzspektrum, das man benotigt. Diese Unscharferelation ist nicht an das Beispiel
(10.13) gebunden, sondern ist ein charakteristisches Merkmal der Fourier-Transformation.
Bemerkung: Oft wird die Fourier-Transformation in der symmetrischen Form
mit
Z1
f (t) = p1
f~(!) exp( i!t) d!
2 1
Z1
f (t) exp(i!t) dt
f~(!) = p1
2 1
(10.16)
(10.17)
benutzt.
Das oben skizzierte Verfahren der Fourier-Transformation wenden wir nun auf die
10.3 Spektrale Zerlegung ebener Wellen
an. Die Fourier-Reihe einer periodischen Funktion f (q r ct), welche eine ebene Welle
darstellt, lautet:
1
X
f ( ) =
fn exp(i!n=c)
(10.18)
n= 1
71
mit
= q r ct; !n = n!
und die Fourier-Koezienten sind gegeben durch:
Z c=!
fn = 2!c
f ( ) exp( i!n=c) d:
c=!
Fur aperiodische ebene Wellen benutzt man das Fourier-Integral:
Z1
f~(!) exp(i!=c) d!
f ( ) =
1
mit der Umkehrung
Z1
1
~
f ( ! ) = 2
f ( ) exp( i!=c) d=c:
1
Die raumliche bzw. zeitliche Ausdehnung der Welle ist dann bestimmt durch:
! 2c;
namlich
(10.19)
(10.20)
(10.21)
(10.22)
(10.23)
t! 2
fur einen festen Ort r und zu fester Zeit t:
(10.24)
zk 2;
(10.25)
falls die Welle in z-Richtung lauft.
Bemerkung: Wichtig im Hinblick auf Informationsubertragung ist die Eigenschaft ebener
Wellenpakete der Form (10.21), da sie ihre Form beibehalten und nicht zerieen (siehe
Quantenmechanik):
f (r; 0) = f (r + qct; t);
(10.26)
da f nur vom Argument (10.19) abhangt. Diese Eigenschaft gilt nicht mehr fur die
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Materie!
10.4
-Distribution
Die Fourier-Transformation (10.10), (10.11) fuhrt auf das folgende mathematische Problem: Setzt man (10.11) in (10.10) ein, so mu (nach Vertauschung der Integrationsreihenfolge)
Z1Z1
Z1
f (t0) exp( i!(t t0 ))d!dt0 =
f (t0)(t t0 ) dt0
(10.27)
f (t) = 21
1 1
1
mit
Z1
1
0
exp( i!(t t0)) d!
(10.28)
( t t ) = 2
1
72
fur beliebige quadratintegrable Funktionen f (t) gelten. Die hier eingefuhrte Groe (t t0)
ist oensichtlich keine gewohnliche Funktion, sondern eine Distribution, welche streng
genommen nicht fur sich alleine stehen darf, sondern nur in Verbinding mit der Integration
in (10.27) erklart ist.
Die -Distribution, als deren Denition wir im folgenden (10.27) betrachten wollen,
kann durch jede Folge stetiger Funktionen n, fur die
nlim
!1
Z1
1
f (t0)n(t t0 ) dt0 = f (t)
(10.29)
gilt, dargestellt werden.
Beispiele:
1.) Rechteck
n (t) = n fur jtj < n2 ; n(t) = 0
2.) Gau-Funktion ("Glockenkurve\)
3.) Die Darstellung
sonst:
(10.30)
n (t) = n exp( t2 n2):
(10.31)
Zn
n(t) = 1 sin(tnt) = 21 exp(i!t) d!
(10.32)
n
fuhrt gerade auf die Schreibweise (10.28).
Vorsicht: Die Gleichungen (10.29) - (10.32) sind so zu verstehen, da die t0-Integration
vor der Limes-Bildung n ! 1 auszufuhren ist!
Rechenregeln:(U B)
1.) (t) = ( t)
2.) (at) = ja1j (t)
3.) (t2 a2 ) = 2j1aj ((t + a) + (t a)); a 6= 0 .
10.5 Allgemeine Losung der homogenen Wellengleichung; Wellenpakete
Die in Kap. 10.3 untersuchten ebenen Wellen sind zwar zeitlich und raumlich in ihrer
Ausbreitungsrichtung begrenzt, nicht jedoch in der Ebene senkrecht dazu. Sie stellen keine praktisch realisierbaren Signale zur Informationsubertragung dar, da ihre Erzeugung
wegen der unendlichen achenhaften Ausdehnung eine unendlich groe Energie erfordern
wurde. Signale endlicher Energie erhalt man nur fur raum-zeitlich begrenzte Felder (Wellenpakete), die wir aus monochromatischen ebenen Wellen durch Superposition aufbauen
73
konnen. Ausgehend von den beiden Basislosungen exp(i(k r !t) zu festem k bilden
wir z.B. fur das Vektorpotential (in der Erweiterung der Fourier-Transformation auf 3
Dimensionen)
Z
1
A(r; t) = 2(2)3=2 d3k [A+(k) exp(i(k r !t)) + A (k) exp(i(k r + !t))]; (10.33)
wegen (9.23) erfat (10.33) alle moglichen !-Werte. Um zu einer reellen Funktion A(r; t)
zu gelangen, ersetzen wir im 2. Term in (10.33) k durch k:
Z
1
A(r; t) = 2(2)3=2 d3k [A+(k) exp(i(k r !t))+ A ( k) exp( i(k r !t))]: (10.34)
A(r; t) wird rell, wenn
A+(k) = A ( k) = A(k);
(10.35)
also
Z
1
A(r; t) = 2(2)3=2 d3k [A(k) exp(i(k r !t)) + A(k) exp( i(k r !t))]: (10.36)
Damit haben wir die allgemeine Losung der homogenen Wellengleichung (9.7) gewonnen.
Dabei verlangt die Coulomb-Eichung
k A( k ) = 0 :
(10.37)
Wichtig fur den Aufbau der Quantenmechanik, welche das elektromagnetische Feld durch
Photonen beschreibt, ist die Eigenschaft, da Energie, Impuls und Drehimpuls des Feldes
sich additiv aus den Beitragen der monochromatischen ebenen Wellen zusammensetzen.
Wir demonstrieren dies fur den Fall der Energie. Dazu schreiben wir (10.36) noch einmal
um,
Z
(10.38)
A(r; t) = 2(21)3=2 d3k [A(k; t) + A( k; t)] exp(ik r)
mit den Abkurzungen
A(k; t) = A(k) exp( i!t); A( k; t) = A( k) exp(i!t):
(10.39)
Dann wird nach (8.10)
Z
Z 0 @ A
3
(10.40)
W = !F d r = [ 2 ( @t )2 + 21 (r A)2]d3 r
0
Z Z Z
= 1 3 d3r d3k d3k0[ 0 ( i!A(k; t)+ i!A( k; t))( i!0A(k0; t))+ i!0A( k0 ; t))
4(2)
2
+ 21 (ik A(k; t) + ik A( k; t))(ik0 A(k0; t)) + ik0 A( k0 ; t))] exp(i(k + k0) r);
0
R
wobei [::::] noch von k und k0 abhangt. Nach Ausfuhren der Integration d3r erhalten wir
wegen
1 Z d3r exp(i(k + k0) r) = (k + k0 )
(10.41)
(2)3
74
und (k) = (kx)(ky )(kz ) nur Beitrage fur k = k0 und damit ! = !0:
Z
0
W = 8 d3k [(!)2(A(k; t) A( k; t))(A( k; t)) A(k; t))
(10.42)
(ikc)2 (A(k; t) + A ( k; t))(A( k; t)) + A(k; t))]
Z
Z
0
0
3
2
d k ! [A(k) A (k) + A ( k) A( k)] = 2 d3k !2[A(k) A(k)];
=
4
dabei wurde benutzt
@ A(k; t) = i!A(k; t)
(10.43)
@t
und
r A(k; t) exp(ik r) = i(k A(k; t)) exp(ik r)
(10.44)
sowie (10.37) und 0 0 = c 2 .
Gleichung (10.42) beschreibt die Feldenergie als Summe (Integral) der Einzelbeitrage
(9.39) der beteiligten monochromatischen Wellen. Sie stellt zusammen mit den entsprechenden Gleichungen fur Impuls und Drehimpuls die Grundlage fur die Beschreibung des
elektromagnetischen Feldes durch unabhangige Teilchen (Photonen) dar. W ist selbst
zeitunabhangig in Einklang mit der Energieerhaltung.
75
Kapitel 11
Losungen der inhomogenen
Wellengleichungen
11.1 Problemstellung
Bei Anwesenheit von Ladungen haben wir die inhomogenen Gleichungen (vgl. (7.13,
(7.14))
@ 2 A = j;
A c12 @t
(11.1)
0
2
@2 = c12 @t
(11.2)
2
0
mit der Nebenbedingung (Lorentz-Konvention)
r A + c12 @@t = 0
(11.3)
zu losen. Das Problem ist also die Losung einer inhomogenen Wellengleichung
2(r; t) = !(r; t);
(11.4)
wo fur , Ai und ! fur ; ji steht. Die allgemeine Losung von (11.4) setzt sich aus der (in
Kap. 10 diskutierten) allgemeinen Losung der homogenen Wellengleichung (9.9) und einer
speziellen Losung der inhomogenen Wellengleichung zusammen. Zur Konstruktion einer
speziellen Losung von (11.4) benutzen wir die Methode der Green'schen Funktionen:
Mit der Denition der Green'schen Funktion:
2G(r; r0; t; t0) = (r r0) (t t0)
(11.5)
konnen wir as (formale) Losung angeben:
Z
(r; t) = G(r; r0; t; t0) !(r0; t0) d3r0dt0 ;
(11.6)
wie man durch Einsetzen von (11.6) in (11.4) direkt bestatigt. Babei wird ohne (die an
sich notigen) Skrupel die Reihenfolge von Integration bzgl. r0; t0 und Dierentiation bzgl.
r; t vertauscht. Zur
76
11.2 Konstruktion von G
notieren wir zunachst 2 fundamentale Eigenschaften von G:
G = G(r r0; t t0 )
(11.7)
aufgrund der Invarianz von (11.5) gegen Raum- und Zeit-Translationen;
G(r r0 ; t t0 ) = 0 fur t < t0
(11.8)
wegen des Kausalitatsprinzips.
Wir betrachten als Vorubung den (schon bekannten) Fall statischer Felder, z.B. des
elektrostatischen Feldes. Die Poisson-Gleichung
(11.9)
(r) = (r)
0
hat als (spezielle) Losung
Z (r0)
1
(r) =
d3r0;
(11.10)
4 jr r0j
0
das Coulomb-Potential einer Ladungsverteilung (r). (11.10) konnen wir schreiben als
Z
(11.11)
(r) = 1 G(r; r0) (r0) d3r0
0
mit der Green'schen Funktion
(11.12)
G(r; r0) = 4jr1 r0j ;
welche die Dierentialgleichung
erfullt. Beweis:
i) R 6= 0, wo
G(r; r0) = (r r0)
(11.13)
R = r r0 :
(11.14)
Dann wird:
3 + 3 = 0; q.e.d. (11.15)
( R1 ) = r(r R1 ) = r( RR3 ) = R13 rR+ R34 (R R
)
=
R
R3 R3
ii) Wegen (11.15) kann man in einem Volumenintegral vom Typ
Z
(11.16)
f (R)( R1 ) d3R
den Integrationsbereich auf eine kleine Kugel vom Radius a mit Mittelpunkt bei R = 0
beschranken,
Z
Z
1
3
f (R)( R ) d R = alim
f (R)( R1 ) d3R:
(11.17)
!0 Kugel(a)
77
Ist f stetig um 0, so kann man f aus dem Integral herausziehen
Z
Z
1
1 ) d3R
3
f (R)( R ) d R = alim
f
(
R
=
0)
(11.18)
(
!0
Kugel(a) R
und erhalt nach dem Gau'schen Satz:
Z
Z
1
3
r
(r( R1 )) d3R
(11.19)
( R ) d R =
Kugel(a)
Kugel(a)
Z 1
Z
1
2 d
= 4:
R
=
(r( )) df =
2
R
F (a) R
F (a)
Also:
Z
f (R)( R1 ) d3R = 4f (0):
(11.20)
Da (11.5) die Wellengleichung fur eine zeitlich und raumlich punktformige Quelle darstellt,
mu G(r r0 ; t t0 ) eine Kugelwelle darstellen, welche den Ort r zur Zeit t = t0 + jr r0 j=c
erreicht, wenn die sie auslosende Storung zur Zeit t0 am Ort r0 stattndet. Wir machen
also den Ansatz:
G(R; ) = g( RR=c)
(11.21)
mit = t t0 . Zur Bestimmung von g setzen wir (11.21) in (11.5) ein und bilden:
@ 2 g + 2 @ g 2 @ g; (11.22)
G = g( R1 )+ R1 g +2r( R1 ) rg = 4g (R)+ R1 @R
2 R2 @R R2 @R
dabei wurde benutzt:
@ 2 + 2 @ + Winkelanteil
(11.23)
= @R
2 R @R
und
@g = @g x etc:
(11.24)
@x @R R
Damit wird
2G = 4g (R);
(11.25)
da
1 ( @ 2 1 @ 2 )g( R=c) = 0
(11.26)
R @R2 c2 @ 2
fur beliebige (dierenzierbare) Funktionen g( R=c). Der Vergleich mit (11.5) ergibt:
4g( R=c) = ( R=c)
also:
Bemerkung:
0
0
G(r; r0; t t0 ) = (t 4tjr jr r0jr j=c) fur t > t0
G(r; r0; t t0) = 0 fur t < t0:
78
(11.27)
(11.28)
Bei der Herleitung von (11.27) wurde die Dierenzierbarkeit von g vorausgesetzt. Diese Voraussetzung ist in der Tat erfullt, da die -Distribution (beliebig oft) dierenziert
werden darf in dem Sinne da :
Z
Z
f (x)(n)(x) dx = ( )n f (n) (x) dx;
(11.29)
dabei ist vorausgesetzt, da f (beliebig oft) dierenzierbar ist.
Interpretation von G:
Die Inhomogenitat in (11.5) stellt eine punktformige Quelle dar, welche zur Zeit t0 am
Ort r0 fur eine (innitesimal) kurze Zeit angeschaltet wird. Die von dieser Quelle hervorgerufene Storung breitet sich als Kugelwelle mit der Geschwindigkeit c aus. Es mu also
gelten:
i) Die Kugelwelle G mu fur t < t0 nach dem Kausalitatsprinzip verschwinden.
ii) Sie mu am Ort r zur Zeit t = t0 + jr r0j=c ankommen, da elektromagnetische Wellen
sich mit der (endlichen) Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum ausbreiten.
iii) Da die Energie der Welle auf einer Kugeloberache verteilt ist, sollte G asymptotisch
wie R 1 verschwinden.
Die retardierte Green'sche Funktion (11.28) erfullt genau diese Forderungen. Gleichung (11.6) zeigt, wie man die Potentiale A; zu gegebener Quellen-Verteilung ; j aus
den Beitragen fur punktformige Quellen aufbauen kann.
11.3 Retardierte Potentiale
Mit (11.6) und (11.28) lauten die (asymptotisch verschwindenden) Losungen von (11.1)
und (11.2) fur lokalisierte Ladungs- und Strom-Verteilungen
und
Z (r0; t0)(t t0 jr r0j=c)
1
3 r0 dt0
(r; t) = 4
d
0
jr r j
0
(11.30)
Z 0 0
0
0
A(r; t) = 40 j(r ; t )(t jr t r0jjr r j=c) d3r0dt0:
(11.31)
Die Losungen (11.30) und (11.31) sind uber (11.3) bzw. die Ladungserhaltung (6.3) miteinander verknupft. Die Ausfuhrung der Integrationen in (11.30) und (11.31) wollen wir
an Hand von 2 praktisch wichtigen Spezialfallen untersuchen; dabei werden wir besonders
auf die im Argument der -Distribution enthaltende Retardierung achten.
Vernachlassigt man die Retardierung in (11.30) und (11.31),
0
(t t 0 jr c r j ) ! (t t 0 );
so erhalt man quasistationare Felder:
1 Z (r0; t) d3 r0;
(r; t) = 4
0 jr r0 j
79
(11.32)
(11.33)
Z j(r0; t)
0
(11.34)
A(r; t) = 4 jr r0j d3r0;
welche in der Theorie elektrischer Netzwerke und Maschinen auftreten. Die Naherung
(11.32) ist gerechtfertigt, wenn und j sich wahrend der Zeit, die eine elektromagnetische
Welle braucht, um die Distanz jr r0j zuruckzulegen, (praktisch) nicht andert.
Wir betrachten nun
Beipiel 1: zeitlich periodische Quellen-Verteilungen der Form
= (r) exp( i!t); j = j(r) exp( i!t):
(11.35)
Dann folgt aus (11.30), (11.31):
= (r) exp( i!t); A = A(r) exp( i!t)
(11.36)
mit (k = !=c)
Z (r0 ) exp(ikjr r0j)
1
3 r0 ;
d
(11.37)
(r) = 4
0
jr r j
0
Z j(r0) exp(ikjr r0j)
0
3 r0 :
d
(11.38)
A(r) = 4
0
jr r j
Die zugehorigen Dierentialgleichungen ergeben sich aus (11.1), (11.2) und (11.35) zu:
( + k2)(r) = (r);
(11.39)
wo fur ; Ai und fur ; ji steht. Die Losungen (11.37) und (11.38) konnen wir dann
mit der zu (11.39) gehorenden Green'schen Funktion
ikjr r0j)
G(r; r0; k) = exp(
4jr r0j
schreiben als
(11.40)
Z
(r) = (r0) G(r; r0; k) d3r0:
(11.41)
Die Diskussion der Integrale (11.37), (11.38) werden wir in Kapitel 12 wieder aufgreifen.
Beispiel 2: Felder bewegter Punktladungen.
Fur eine sich auf der Bahn r(t) bewegende Punktladung q konnen wir schreiben:
= q (r r(t)); j = q v(t) (r r(t)):
(11.42)
Dann kann in (11.30) die r0 - Integration ausgefuhrt werden:
q Z (r0 r(t0 ))(t t0 jr r0j=c) d3r0dt0
(11.43)
(r; t) = 4
jr r0j
0
q Z (t t0 jr r(t0)j=c) dt0;
= 4
jr r(t0)j
0
80
analog
Z 0
0
0
A(r; t) = 40q v(t )(t jrt r(jrt0 )j r(t )j=c) dt0:
(11.44)
Zur Ausfuhrung der t0 - Integration benutzen wir (U B)
Z
X
g(x) (f (x)) dx = jfg0((xxi))j ;
(11.45)
i
i
wobei xi (einfache) Nullstellen von f (x) seien. Dann wird:
X 1
(11.46)
(r; t) = q
40 i R(t0i )(t0i)
wobei
t0) v(t0)
R(t0) = r r(t0); (t0 ) = 1 R(cR
(11.47)
(t0 )
und t0i Losungen von t0 t + R(t0 )=c = 0 sind. Analog:
0 X v(t0i ) :
A(r; t) = q
(11.48)
4 i R(t0i )(t0i)
Die Potentiale (11.46) und (11.48) (Lienard - Wichert - Potentiale) schreiben wir
kurz als:
(r; t) = q ( 1 )ret; A(r; t) = q0 ( v )ret:
(11.49)
40 R
4 R
Der Grenzfall v ! 0 ergibt
(11.50)
A ! 0; (r; t) ! 4q R ;
0
d.h. das Coulomb-Potential.
11.4 Elektromagnetische Strahlung bewegter Punktladungen
Von Abstrahlung elektromagnetischer Wellen durch lokalisierte Ladungs- und StromVerteilungen sprechen wir, wenn der Energieu durch die unendlich ferne Oberache
nicht verschwindet,
Z
S df 6= 0:
(11.51)
lim
R!1
Das bedeutet, da die Felder E; B nicht starker als R 1 abfallen durfen, da die Oberache wie R2 anwachst. Solche Felder nennt man Strahlungsfelder im Gegensatz zu
den statischen Feldern, welche mit R 2 abfallen.
Wir wollen nun zeigen, da beschleunigte Punktladungen strahlen; dazu mussen wir
die zu (11.49) gehorenden Felder uber
B = r A; E = r @@tA
(11.52)
81
berechnen, wobei wir fur ; A die Form (11.43), (11.44) benutzen wollen. Mit den Abkurzungen
@f ; n = R
(11.53)
rf (R) = n @R
R
erhalt man:
Z
0
0
n(t0 ) 0(t0 t + R(t0) )g (11.54)
r(r; t) = 4q dt0f Rn((tt0 ))2 (t0 t + R(ct ) ) cR
(t0)
c
0
und
@ A(r; t) = 0q Z dt0 v(t0) 0 (t0 t + R(t0 ) )g;
(11.55)
@t
4
R(t0)
c
so da
E(r; t) = 4q
Z
0
0
0 =c n(t0 )
0
0
0 (t0 t + R(t ) )g: (11.56)
dt0 f Rn((tt0))2 (t0 t + R(ct ) ) + v(t )cR
(t0)
c
Dabei bedeutet 0(t0 t + R(t0 )=c) die in (11.29) erklarte Ableitung nach ihrem Argument
= t0 t + R(t0)=c. Analog:
Z
0
0
B(r; t) = 40q dt0 (n(t0) v(t0))f R(1t0)2 (t0 t + R(ct ) ) cR1(t0 ) 0(t0 t + R(ct ) )g:
Zur Ausfuhrung der t0 - Integration benutzen wir:
0
0( ) = (1t0) dtd 0 (t0 t + R(ct ) )
(11.57)
(11.58)
mit (t0 ) aus (11.47). Mit (11.29), (11.45) sowie (11.49) wird dann:
0
0
E(r; t) = 4q f (tn)R(t()t)2 + (1t)c dtd 0 ( v(t(t)0=c)R+(t0n) (t ) )gret:
0
0
0
B(r; t) = 0q f v n(t) + 1 d ( v(t ) n(t ) )g :
(11.59)
4 (t)R(t)2 (t)c dt0 (t0)R(t0 ) ret
Um die Dierentiation nach t0 auszufuhren bilden wir
dn = R (n v) v = 1 [(n v)n v]
(11.60)
dt0 R2
R R
und
d (R) = v2 n v R (n b)
(11.61)
dt0
c
c
mit b = d=dt0v. Setzen wir (11.60),(11.61) in (11.59) ein und ordnen wir nach Potenzen
von R 1, so erhalten wir:
(11.62)
E(r; t) = 4q f c213 R [(n b)(n vc ) b]gret + O(R 2);
0
82
Die letzteren Terme sind im Hinblick auf die Ausstrahlungsbedingung (11.51) uninteressant. Entsprechend fur B:
(11.63)
B(r; t) = 40q f c213 R [(n b)(v n) c (n b)]gret + O(R 2):
Zur Berechnung der Energiestromdichte benutzen wir die Identitat
sowie die Relation
n ((n vc ) b) = (n b)(n vc ) b
(11.64)
B = 1c (n E);
(11.65)
welche fur den asymptotischen Bereich direkt aus (11.62), (11.63) folgt, sich jedoch auch
fur die uns im folgenden nicht interessierenden R 2 - Terme beweisen lat. Wir nden
dann fur den Poynting-Vektor
S = E B = E (nc E) = 1c (nE 2 E(n E)) = nc E 2
(11.66)
0
0
0
0
mit (11.62) und (11.64):
2
S = 162q cn3 6R2 (n [(n vc ) b])2 :
(11.67)
0
Da jSj R 2 , ist die Ausstrahlungsbedingung (11.51) erfullbar und wir haben das Ergebnis, da beschleunigte Punktladungen, b 6= 0, strahlen. Da gradlinig, gleichformig
bewegte Punktladungen (b = 0) nicht strahlen, folgt ohne jede Rechnung aus dem Relativitatsprinzip: Das Ruh-System der Punktladung ist dann ein Inertialsystem, in dem
das elektrische Feld das Coulomb-Feld ist und das magnetische Feld, per Denition, verschwindet, so da S = 0 wird.
Beispiele:
1.) Bremsstrahlung: entsteht, wenn ein geladenes Teilchen (z.B. Elektron) in einem
aueren Feld abgebremst wird (z.B. beim Aufprall auf ein Target). Daraus resultiert das
kontinuierliche Rontgenspektrum.
2.) Synchrotron-Strahlung:
Die Bewegung geladener Teilchen auf Kreisbahnen ist auch eine beschleunigte Bewegung. Die dabei entstehende Strahlung ist ein wesentliches Problem bei zyklischen Teilchenbeschleunigern (Synchrotron); ein Teil der zugefuhrten Energie geht durch Strahlung
verloren.
3.) Strahlungsdampfung:
Im klassischen Atommodell bewegen sich die gebundenen Elektronen auf Kreis- bzw.
Ellipsenbahnen um den Atomkern. Dabei strahlen sie als beschleunigte Ladungen kontinuierlich elektromagnetische Wellen ab. Der resultierende Energieverlust fuhrt zu instabilen
Bahnen und schlielich zum Kollaps des Atoms im klassischen Modell. Dieser Widerspruch
zur experimentellen Beobachtung wird erst in der Quantentheorie bzw. Quantenelektrodynamik (QED) aufgelost.
83
Kapitel 12
Multipolstrahlung
12.1 Langwellen-Naherung
Fur eine Quellen-Verteilung der Form
= (r) exp( i!t); j = j(r) exp( i!t)
(12.1)
hatten wir in Kap. 11.3 gefunden:
und (k = !=c)
= (r) exp( i!t); A = A(r) exp( i!t)
(12.2)
1 Z (r0 ) exp(ikjr r0j) d3r0;
(r) = 4
jr r0j
(12.3)
0
Z 0
A(r) = 0 j(r ) exp(ikj0r
r0j) d3r0:
4
jr r j
Bei der Diskussion von (12.3) konnen wir uns im folgenden auf A(r) beschranken, da A
und direkt uber die Lorentz-Konvention zusammenhangen: Aus
(12.4)
r A + c12 @@t = 0
folgt mit (12.2)
2
c
(r) = i! r A(r):
(12.5)
Zur weiteren Behandlung von (12.3) machen wir die Langwellen - Naherung
d = 2k ;
(12.6)
wo d den Radius einer Kugel angibt, welche die Ladungs- und Stromverteilung in ihrem
Inneren enthalt.
84
Beispiele:
Fur die optische Strahlung von Atomen ist d 10 8 cm, 10 5 cm; analog fur die
-Strahlung von Atomkernen: d 10 13 cm, 10 11 cm.
Bei der Diskussion von (12.3) sind nun die Langen d; und r wesentlich. Wir untersuchen folgende Falle:
Fall 1: d < r (Nahzone)
Dann ist
kjr r0j 1
(12.7)
Z (r0)
Z j(r0)
1
0
3
0
(r) = 4 jr r0j d r ; A(r) = 4 jr r0j d3r0:
0
(12.8)
und wir erhalten:
Der Ortsanteil der Potentiale zeigt nach (12.8) die gleiche Struktur wie in Elektro- und
Magnetostatik. Angesichts der Zeitabhangigkeit (12.2) spricht man von quasistatischen
Feldern, fur die E; B wie R 2 abfallen, soda die Ausstrahlungsbedingung (11.51) nicht
erfullt ist.
Fall 2: d r (Fernzonen)
Wegen
konnen wir dann die Taylor-Reihe
jr r0j =
in (12.3) benutzen:
kr 1
(12.9)
X ( )n 0 n
r r0 (
r
r
)
r
r
r
n n!
(12.10)
Z
A(r) = A0(r) + A1(r) + = 40 exp(rikr) d3r0 j(r0 )f1 + ( 1r ik)(e r0) + g (12.11)
Z
exp(
ikr
)
0
d3r0 j(r0)f1 i !c (e r0)g
4 r
mit k = !=c und dem Richtungsvektor
e = rr :
(12.12)
12.2 Elektrische Dipol - Strahlung
Im ersten Term in (12.11)
Z
A0(r) = 40 exp(rikr) d3r0 j(r0)
85
(12.13)
konnen wir wie folgt umformen:
Z
Z
V
ji d3r0 =
x0 (j df 0)
= i
F
da wegen der Ladungserhaltung
Mit (1.29) wird dann:
Z
r0 (x0i j) d3 r0
V
Z
Z
x0 (r0 j) d3r0 =
V i
0 j) d3 r0
x (r
V i
0
i!
Z
r j i! = 0:
A0(r) = i! 40 exp(rikr) d;
wobei wesentlich das elektrische Dipolmoment d eingeht.
x (r )
V i
0
0
(12.14)
d3r0;
(12.15)
(12.16)
Fur die Felder folgt, wenn man (12.9) beachtet und sich auf Terme r 1 beschrankt:
(12.17)
B0(r) = r A0 = 4c0 !2 exp(rikr) (e d):
Mit
2
0 (r) = c r A(r) = i 0c ! exp(ikr) (e d)
(12.18)
i!
4
r
folgt aus (7.5) fur das E-Feld:
0 = 0 ! 2 exp(ikr) (d e(e d)) = c (B e);
E0(r) = r0 (r) @A
(12.19)
0
@t 4
r
wenn man e d e = d e(e d) ausnutzt. Wir sind nun in der Lage, die Energiestromdichte
(12.20)
S = E B = c (B0 e) B0 = c (eB02 B0(B0 e)
0
0
0
zu berechnen. Wir benutzen die Realteile von (12.17) und (12.19) und nden mit (12.2)
sowie (e d e) (e d) = ed2 sin2 :
2
S0 = 1602c !4d2 sin2 cos (krr2 !t) e;
(12.21)
wobei der von e und d eingeschlossene Winkel ist. Fur den zeitlichen Mittelwert folgt:
2
(12.22)
S0 = 1602c !4d2 sin2r2 e:
Der Dipol strahlt also nicht in Richtung von d ( = 0), sondern maximal senkrecht zu
d ( = 900). Die sin2 - Abhangigkeit ist charakteristisch fur Dipolstrahlung.
Bemerkungen:
1.) Charakteristisch fur Strahlungsfelder ist ihre Eigenschaft, da E; B und S ein orthogonales Dreibein bilden (vgl. Kap. 9.3).
2.) Ein (mit der Frequenz !) oszillierender Dipol ist nur durch beschleunigte Punktladungen realisierbar. (12.22) ist also konform mit der allgemeinen Aussage (11.67).
86
d~
~e
3.) Die Strahlung niedrigster Multipolaritat ist Dipol-Strahlung (l=1), nicht MonopolStrahlung (l=0)! In der Quantentheorie wird gezeigt, wie die Multipolaritat der Strahlung
und der Drehimpuls der Photonen zusammenhangen. Da Photonen einen Eigendrehimpuls
haben (Spin 1), gibt es keine drehimpuls-freie Strahlung, d.h. Monopol-Strahlung. Der
Spin der Photonen ist direkt verknupft mit der Tatsache, da Strahlungsfelder VektorFelder sind.
12.3 Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupol
- Strahlung
Der 2. Term der Entwicklung (12.11) lautet
Z
A1(r) = i! 4c0 exp(rikr) j(r0 )(e r0 ) d3r0;
(12.23)
das verbleibende Integral ist bestimmt durch das magnetische Dipolmoment und den
elektrischen Quadrupoltensor. Um dies zu sehen, benutzen wir die Identitat:
(e r0)j = 12 (r0 j) e + 12 f(e r0)j + (e j)r0 g;
(12.24)
welche den Integranden in (12.23) in einen bzgl. r0 antisymmetrischen und symmetrischen Anteil zerlegt. Mit der Denition (4.39) des magnetischen Dipolmoments wird der
antisymmetrische Anteil:
(12.25)
A1(m) (r) = i! 4c0 exp(rikr) (m e):
Der magnetische Dipol-Anteil des Vektorpotentials geht formal in den elektrischen DipolAnteil (12.16) uber, wenn man
1 (m e) ! d
(12.26)
c
ersetzt. Damit kann man aus (12.17) und (12.19) fur die Feldstarken sofort ablesen:
B1(m) (r) = 4c0 2 !2 exp(rikr) (e (m e))
(12.27)
und
E1(m) (r) = c (B1(m) e):
(12.28)
87
Analog (12.22) ndet man fur die im Zeitmittel abgestrahlte Energie:
2
(12.29)
S1(m) = 1602c3 !4m2 sin2r2 e;
wo jetzt der Winkel zwischen m und e ist. Der Vergleich von (12.29) und (12.22)
zeigt, da sich elektrische und magnetische Dipol-Strahlung in ihrer Frequenz- und Winkelabhangigkeit nicht unterscheiden. Der einzige Unterschied liegt in der Polarisation:
fur einen elektrischen Dipol liegt der Vektor des elektrischen Feldes in der von e und
d aufgespannten Ebene, fur einen magnetischen Dipol senkrecht zu der von e und m
aufgespannten Ebene.
Wir befassen uns nun mit dem 2. Term in (12.24), der auf
Z
(12.30)
A(1e)(r) = i! 4c0 exp(2rikr) fj(e r0) + r0(e j)g d3r0
fuhrt. Das Integral in (12.30) kann nun auf den in Kap. 1.5 eingefuhrten elektrischen
Quadrupoltensor zuruckgefuhrt werden. Analog (12.14) formen wir um:
Z
j x0
i m
V
d3r0 =
Z
Z
x0
V m
r0 (x0 j) d3 r0
i
3 0
mdr
V i
Z
Z
V
x0m x0i (r0 j) d3 r0
(12.31)
=
i! x0m x0i (r0) d3r0;
V
wobei eine partielle Integration (1. Term) und die Ladungserhaltung (2. Term) benutzt
wurden. Also:
Z
Z
f
ji x0m + x0ijm gd3r0 = i! x0m x0i d3r0;
(12.32)
V
V
und wir konnen (12.30) schreiben als:
Z
exp(
ikr
)
0
(
e
)
2
(e r0 )r0(r0) d3r0:
(12.33)
A1 (r) = 4c ! 2r
Fur die Felder folgt bei Beachtung von (12.9)
x0 j
B(1e)(r) = r A(1e)(r) = ik (e A(1e)(r))
und
2
(12.34)
E(1e) (r) = i c! r B(1e)(r) = c (B(1e) (r) e);
(12.35)
r B = c12 @@tE :
(12.36)
da im ladungsfreien Raum gilt:
Mit Hilfe des Quadrupoltensors, gegeben durch seine Komponenten
Z
Qmn = (r0 )fx0m x0n 13 r02 mng d3r0;
V
erhalten wir fur B(1e) den Ausdruck:
B(1e) (r) = i 4c0 2 !3 exp(2rikr) (e Q);
88
(12.37)
(12.38)
wobei der Vektor Q die Komponenten
Qm =
3
X
n=1
Qmn en
(12.39)
hat. Man beachte, da der 2. Term in (12.37) zu (12.38) keinen Beitrag liefert!
Wie oben berechnen wir nun die Energiestromdichte
(12.40)
S(1e) = 1 (<E(1e) <B(1e)) = c (<B(1e) e) <B(1e);
0
0
woraus mit
(a b) c = (a c)b (b c)a
(12.41)
folgt
2
!t) (e Q)2 e:
S(1e) = c (<B(1e) )2e = 1602c3 !6 cos (kr
(12.42)
2
4r
0
Nach Zeitmittelung wird
S(1e) = 1602c3 !6 81r2 (e Q)2 e:
(12.43)
Der Unterschied zur Dipolstrahlung bzgl. der Frequenzabhangigkeit ist oensichtlich. Zur
Diskussion der Winkelabhangigkeit betrachten wir den Fall der Axialsymmetrie (vgl.
Kap. 1.5)
Qmn = 0 fur m 6= n; Q11 = Q22 = Q233 = Q30 :
(12.44)
In
(e Q)2 = Q2 (e Q)2
(12.45)
wird dann
2
2
(12.46)
Q2 = Q90 (e21 + e22) + 94 Q20 e23 = Q90 (sin2 + 4 cos2 )
sowie
e Q = Q30 sin2 + 32 Q0 cos2 ;
(12.47)
also
(e Q)2 = Q20 sin2 cos2 :
(12.48)
Ergebnis:
2
Q
(e)
0
6
S1 = 162c3 ! 8r02 sin2 cos2 e:
(12.49)
Die elektrische Quadrupolstrahlung unterscheidet sich von der elektrischen und magnetischen Dipolstrahlung sowohl in der Frequenzabhangigkeit als auch in der Winkelverteilung.
Anwendung in der Atom- und Kernphysik
89
Atome und Kerne konnen unter Emission bzw. Absorption von elektromagnetischer
Strahlung ihren Zustand andern. Die Multipolentwicklung ist die fur diese Situation passende Beschreibung des elektromagnetischen Feldes. In der Atomphysik dominiert in der
Regel die Dipolstrahlung: Der Vergleich von (12.22) und (12.49) zeigt, da elektrische
Dipolstrahlung um einen Faktor der Groenordnung (kd0) 2 starker ist als elektrische
Quadrupolstrahlung. Die dominiert auch die magnetische Dipolstrahlung, von der sie sich
nach (12.22) und (12.29) um den Faktor (v=c)2 unterscheidet. Die Verhaltnisse sind in der
Kernphysik komplizierter. Eine genaue Diskussion ist hier nur im Rahmen der Quantentheorie moglich.
Wir wollen im folgenden die Multipolentwicklung in systematischer Form mit Hilfe
von Kugelfunktionen beschreiben. Diese Klasse von Funktionen ndet auch in anderen
Gebieten der Physik vielfache Anwendung.
Erganzung: Hinweis zur Herleitung von (12.34) bzw. (12.35) aus (12.33).
Mit den Abkurzungen
wird:
Z
exp(
ikr
)
0
2
f (r) = 4c ! r ; v(r) = d3r0 (e r0)r0(r0 )
(12.50)
B(1e) = (rf ) v + f r v = ikf (r)(e v) + O(r 2) = ik(e A(1e) ) + O(r 2); (12.51)
da alle Ableitungen von der Ordnung O(r 1) sind. Entsprechend verfahrt man in (12.35)
bei der Berechnung von E(1e) .
90
Kapitel 13
Systematik der Multipolentwicklung
Wir beginnen mit einer erneuten Diskussion der
13.1 Multipolentwicklung statischer Felder
Fur eine lokalisierte Ladungsverteilung (r) konnen wir das Potential
Z (r0 )
(r) = 1
d3r0
40 jr r0j
(13.1)
in genugend groer Entfernung von den Ladungen (r r0) mit Hilfe einer Taylor-Reihe
darstellen:
1 Z f(r0) X ( )n (r0 r)n 1 g d3 r0
(13.2)
(r) = 4
n!
r
0
n
Z
0
02
2 02
1
3 r0 (r0 ) f 1 + (r r ) + 3(r r ) r r + g
=
d
40
r
r3
2r 5
Die Entwicklung (13.2) schreiben wir nun um auf Kugelkoordinaten
x = r sin cos ; y = r sin sin ; z = r cos x0 = r0 sin 0 cos 0; y0 = r0 sin 0 sin 0; z0 = r0 cos 0:
In diesen Koordinaten lat sich (13.2) wie folgt darstellen:
l
1 X
X
qlm Y (; ) 1
(r) =
lm
rl+1
l=0 m= l 0 (2l + 1)
mit den Entwicklungskoezienten
Z
qlm = d3 r0 (r0)r0l Ylm (0; 0):
91
(13.3)
(13.4)
(13.5)
Erlauterungen:
1.) Da die Vektoren r und r0 in (13.2) in vollig symmetrischer Weise (uber das Skalarprodukt (r r0)) eingehen, mu (r) in gleicher Weise von ; wie von 0; 0 abhangen. Das
Auftreten der konjugiert komplexen Funktion Ylm werden wir weiter unten begrunden.
2.) Der Index l 0 klassiziert das asymptotische Verhalten der einzelnen Terme in der
Taylor-Reihe.
3.) Der Index m numeriert die Komponenten der Multipolmomente zu festem l. Zu jedem
l treten 2(l + 1) Werte l; l + 1; ::::; l 1; l von m auf. Im 2. Term der Entwicklung z.B.
werden die 3 Komponenten des Dipolmoments d mit m = 1; 0; +1 erfat.
Wie der Vergleich von (13.2) und (13.4) zeigt, haben die niedrigsten Funktionen Ylm
folgende Gestalt:
l = 0 : Y00 = p1
(13.6)
4
s
s
3
l = 1 : Y10 = 4 cos ; Y11 = 83 sin exp(i)
s
s
15
l = 2 : Y22 = 32 sin2 exp(2i); Y21 = 815 sin cos exp(i);
s
Y20 = 45 ( 23 cos2 21 );
wenn wir die Festlegung
Yl m(; ) = ( )m Ylm (; )
(13.7)
treen. Die in (13.4) auftretende Kombination
Ylm(; ) Ylm (0 ; 0) + Yl m(; ) Yl m(0 ; 0)
ist damit reell und bzgl. (; ) und (0; 0) symmetrisch.
Die niedrigsten Entwicklungskoezienten qlm lauten mit (13.6), (13.7):
l=0:
s
q00 = 41 Q
Z
Q = (r0) d3r0
mit
(13.8)
als der Gesamtladung.
l=1:
s
s Z
3
3
0
0
0
0
q11 = 8 d r (r )(x iy ) = 83 (dx idy );
s
s Z
3
q10 = 4 d3r0 (r0)z0 = 43 dz ;
wobei dx; dy ; dz die Komponenten des Dipolmoments d sind.
l=2:
s
s
Z
15
q22 = 32 d3 r0 (r0)(x0 iy0)2 = 3215 (Q11 Q22 2iQ12 );
92
s Z
s
15
q21 = 8 d3r0 (r0)z0 (x0 iy0) = 815 (Q13 iQ23 );
s Z
s
02
r
3
5
3
q20 = 2 4 d3r0 (r0)(z02 3 ) = 2 45 Q33 :
Dazu tritt wegen (13.7)
qlm = ( )m ql m :
(13.9)
13.2 Allgemeine Eigenschaften der Kugelfunktionen
Auerhalb des Bereichs, in dem sich Ladungen benden, mu (13.4) die Laplace-Gleichung
= 0
(13.10)
erfullen. Da die Potenzen r l 1 zu verschiedenen l-Werten und die Funktionen exp(im)
zu verschiedenen m-Werten linear unabhangig sind, folgt aus (13.10):
(r l 1Ylm(; )) = 0:
(13.11)
Der -Operator hat in Kugelkoordinaten die Form:
2
2
= @ 2 + 2 @ + 2 1 2 (sin @ (sin @ ) + @ 2 ):
@r r @r r sin @
@ @
Fuhrt man die r-Dierentiationen in (13.11) aus, so bleibt
2
@ + l(l + 1)gY = 0:
f sin1 @@ (sin @@ ) + sin12 @
lm
2
(13.12)
(13.13)
Mit dem Separationsansatz
Ylm(; ) = exp(im) Flm ()
(13.14)
reduziert sich (13.13) auf
2
Bemerkungen:
f sin1 @@ (sin @@ ) sinm2 + l(l + 1)gFlm = 0:
(13.15)
1.) Neben r l 1Ylm(; ) ist auch rlYlm(; ) eine Losung von (13.10),
(rl Ylm(; )) = 0:
(13.16)
Von diesen beiden linear unabhangigen Losungen ist in unserem Zusammenhang nur
r l 1Ylm brauchbar wegen der Randbedingung
(r; ; ) ! 0
93
fur r ! 1:
(13.17)
2.) Der Index m in (13.14) mu ganzzahlig sein, da eine eindeutige periodische Funktion
ist:
(r; ; ) = (r; ; + 2):
(13.18)
Zur Losung von Gleichung (13.15) fuhren wir ein:
d = d;
= cos ; d.h. sin1 d
(13.19)
d
soda (13.15) ubergeht in:
2
f dd ((1 2) dd ) 1 m 2 + l(l + 1)gFlm = 0:
(13.20)
Fur l = m kann man die Losung (bis auf einen Normierungsfaktor) sofort angeben:
Fll = (1 2)l=2 = (sin )l :
(13.21)
Die Losungen zu m 6= l erhalt man dann rekursiv (bis auf einen Normierungsfaktor) aus:
d m cotg)F :
(13.22)
Flm 1 = ( d
lm
Der Beweis (durch Einsetzen von (13.22) in (13.15)) ist ebenso elementar wie langwierig.
Wichtig am Resultat (13.22) ist, da die Flm Polynome in cos ; sin der Ordnung l sind,
da Dierentiation nach und Multiplikation mit cotg die Ordnung von Fll nicht andern.
Fur alle m-Werte mit jmj > l verschwindet Flm.
Bemerkung:
Gleichung (13.20) hat auer der hier behandelten Losung als Dierentialgleichung 2. Ordnung noch eine 2. Basislosung. Sie besitzt Singularitaten fur = 0; und ist fur unsere
Problemstellung nicht geeignet.
Eine wichtige Eigenschaft der Kugelfunktionen ist die Orthogonalitat. Um sie zu
formulieren, betrachten wir eine Folge von Funktionen f1 (x); f2(x); ; fn(x); ; welche im Intervall [a; b] stetig sein sollen. Wir denieren dann das Skalarprodukt zweier
Funktionen fn; fm durch
Zb
(fm ; fn) = fm fn dx:
(13.23)
a
Als die Norm von fn wird eingefuhrt:
(fn; fn) =
Zb
a
jfnj2 dx 0:
(13.24)
Man nennt 2 Funktionen orthogonal wenn
(fm ; fn) = 0:
(13.25)
Die obigen Begrisbildungen sind analog zu denen fur Vektoren in Vektorraumen endlicher
Dimension.
94
Fur die Kugelfunktionen gilt nun folgende Relation
Z 2
0
Wegen
d
Z
0
sin d Ylm Yl m = ll mm :
0
0
0
(13.26)
0
Z 2
d exp(i(m m0 )) = 2 fur m = m0
(13.27)
und =0 fur m 6= m0 ist die Orthogonalitat bzgl. m sofort klar. Die auf 1 normierten
Funktionen sind dann
p1 exp(im):
(13.28)
2
Fur die Funktionen Flm() verzichten wir auf die Berechnung der (in (13.21), (13.22) noch
nicht enthaltenen) Normierungsfaktoren. Die Orthogonalitat bzgl. l weisen wir wie folgt
nach: Wir nutzen aus, da die Losung der reellen Dierentialgleichung (13.20) stets reell
gewahlt werden kann und bilden von
Z +1
2
(13.29)
d Fl mf dd (1 2) dd 1 m 2 + l(l + 1)gFlm = 0
1
und
Z +1
d
m2 + l0(l0 + 1)gF = 0
d Flmf dd (1 2) d
(13.30)
lm
1 2
0
0
1
0
die Dierenz und erhalten
[l(l + 1) l0 (l0 + 1)]
Z +1
1
d Fl mFlm = 0;
0
(13.31)
dabei wurde der 1. Term in (13.29) (oder (13.30)) durch 2-malige partielle Integration
umgeformt und beachtet, da wegen des Faktors (1 2) keine Beitrage von den ausintegrierten Termen auftreten. Fur l 6= l0 folgt aus (13.31)
Z +1
1
d Fl m Flm = 0;
0
q.e.d.
(13.32)
13.3 Multipolentwicklung des Strahlungsfeldes
Die Multipollosungen von Kap. 12 im quellenfreien Raum genugen der Dierentialgleichung
A + k2A = 0:
(13.33)
Sie besitzt auer ebenen Wellen auch Kugelwellen als Losungen, die wir im folgenden
konstruieren wollen.
Mit dem Ansatz
A(r) = alm fl (r) Ylm(; )
(13.34)
geht (13.33) uber in
2
f drd 2 + 2r drd + k2 l(l r+2 1) gfl (r) = 0;
(13.35)
95
wenn man (13.12) und (13.13) beachtet. Gleichung (13.35) wird etwas einfacher, wenn
man statt fl die Funktion
gl = rfl
(13.36)
einfuhrt, wofur dann gilt
2
f drd 2 + k2 l(l r+2 1) ggl(r) = 0:
(13.37)
(d+l dl + 1)gl = 0;
(13.41)
d ( l g ) = l g + l dgl :
d l
2 l d
(13.42)
Fall 1: l=0
Dann sind die Losungen g0 sofort ersichtlich: sin(kr) und cos(kr) bzw. exp(ikr).
Fall 2: l 6= 0
In der Variablen
= kr
(13.38)
lautet (13.37)
2
f dd 2 + 1 l(l +2 1) ggl() = 0:
(13.39)
Zur Losung von (13.39) denieren wir
d l; d = d + l;
(13.40)
d+l = d
l
d dann lat sich (13.39) schreiben als
wenn man beachtet:
A hnlich ist:
(dl+1d+l+1 + 1)gl = 0:
Wendet man auf (13.43) die Vorschrift d+l+1 an,
(13.43)
(d+l+1dl+1 + 1)(d+l+1gl) = 0
(13.44)
und vergleicht mit (13.41), so erhalt man (bis auf einen konstanten Faktor)
gl+1 = d+l+1gl :
(13.45)
Gleichung (13.45) erlaubt also, die gl rekursiv aus g0 zu berechnen.
Losungsubersicht:
g0
sin cos exp(i)
( )l gl ()=
spharische Bessel-Funktionen
spharische Neumann-Funktionen
spharische Hankel-Funktionen
96
Symbol
jl ()
nl ()
hl ()
Zur einfachen Berechnung der niedrigsten jl ; nl schreiben wir (13.40) um,
d l;
d+l = l d
soda nach (13.45)
d l d 1g
gl = l d
d 0
oder
gl = l ( 1 d )l( g0 ):
d Man ndet durch einfache Dierentiationen (U B):
j0 = sin ; n0 = cos ;
cos ; n = cos sin ;
j1 = sin
1
2
2
; n = ( 3 + 1 ) cos 3 sin :
j2 = ( 33 1 ) sin 3 cos
2
2
3 2
Die allgemeine Losung von (13.33) kann nun geschrieben werden als
X
A(r) = falm h+l () + blm hl ()g Ylm(; ):
l;m
(13.46)
(13.47)
(13.48)
(13.49)
Fur Abstrahlungsprobleme ist blm = 0, da hl eine einlaufende Kugelwelle beschreibt. Die
Koezienten alm der auslaufenden Kugelwelle h+l werden bestimmt aus den Multipolmomenten durch Vergleich von (13.49) und (12.11) fur = kr 1.
13.4 Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugelfunktionen
Die Funktionen hl ()Ylm(; ) bilden wie die ebenen Wellen exp(ik r) eine vollstandige
Basis; die allgemeine Losung der Wellengleichung kann aus der einen wie der anderen
Basis durch Superposition gewonnen werden. Welche Basis man wahlt, hangt von der
speziellen Problemstellung (z.B. den Randbedingungen) ab.
Den Zusammenhang der beiden Basis-Systeme wolen wir aufzeigen durch Entwicklung
einer ebenen Welle nach Kugelfunktionen. Der Einfachheit halber wahlen wir k = (0; 0; k),
dann tritt in
exp(ik r) = exp(ikz) = exp(ikr cos )
(13.50)
der Winkel nicht mehr auf und die Entwicklung hat die Form:
exp(ikz) =
X
l
al jl (kr) Yl0():
97
(13.51)
Die Neumann-Funktionen treten nicht auf, da nl singular wird fur r ! 0. Die Koezienten
lauten:
s
al = il (2l + 1) 2l4+ 1 :
(13.52)
Zum Beweis von (13.52) nutzt man die Orthogonalitat aus. Generell kann man die Koezienten einer Entwicklung
X
g(x) = cmfm (x)
(13.53)
m
nach einem (vollstandigen) orthonormierten System von Funktionen fm (x),
(fn; fm) = nm
bestimmen durch
Zb
cn(fn; g) = fn(x)g(x) dx:
a
Im obigen Beispiel (13.49) wird:
Z
al jl (kr) = sin d Yl0() exp(ikr cos );
0
(13.54)
(13.55)
(13.56)
nach Entwicklung fur kleine Werte von r kann die -Integration durchgefuhrt werden. Das
Ergebnis ist (13.52) (U B).
13.5 Nutzen der Entwicklung nach Kugelfunktionen
Kennt man die Winkelabhangigkeit der Funktionen , Gleichung (13.4), bzw. A, Gleichung (13.49), bei festem r, so kann man sofort entscheiden, welche Multipolmomente die
Quelle des Feldes enthalt. Zum Beispiel wird
(Ylm; ) qlm
(13.57)
wegen der Orthogonalitat der Ylm, welche erlaubt, aus der Entwicklung (13.4) einen bestimmten Term herauszugreifen.
98
Teil V
Das elektromagnetische Feld in
Materie
99
Kapitel 14
Makroskopische Felder
Im Prinzip erlauben die Maxwell-Gleichungen von Teil III das elektromagnetische Feld
beliebiger Materieanordnungen zu berechnen, sobald die Ladungsdichte (r; t) und die
Stromdichte j(r; t) exakt bekannt sind. In einer solchen mikroskopischen Theorie wird
die gesamte Materie in dem betrachteten Raumbereich in Punktladungen (Elektronen
und Atomkerne) zerlegt, deren Bewegungszustand dann Ladungsdichte (r; t) und Stromdichte j(r; t) deniert. Fur Materieanordnungen von makroskopischen Dimensionen (z.B.
Kondensator mit Dielektrikum oder stromdurchossene Spule mit Eisenkern) ist eine
mikroskopische Rechnung in der Praxis weder durchfuhrbar noch erstrebenswert, da experimentell doch nur raumliche und zeitliche Mittelwerte der Felder kontrollierbar sind.
Wir werden uns daher im folgenden mit raum-zeitlichen Mittelwerten befassen.
14.1 Makroskopische Mittelwerte
sind Integrale der Form
Z
< f (r; t) >= V1T dV d f (r + ~; t + )
(14.1)
wobei,
i) V das Volumen, T das Zeitintervall angibt, uber das gemittelt wird,
ii) f fur die Ladungs- oder Stromdichte und die Komponenten der Feldstarken steht. Wir
wollen im folgenden Zusammenhange zwischen den Mittelwerten (14.1) fur Ladungs- und
Stromdichte einerseits und den Feldern andererseits herstellen. Ausgangspunkt sind die
mikroskopischen Maxwell-Gleichungen
(14.2)
r B = 0; r E + @@tB = 0
und
r E = ; r B 00 @@tE = 0j:
(14.3)
0
Wenn wir annehmen, da in (14.1) Dierentiationen nach r und t unter dem Integral
ausgefuhrt werden durfen,
@ < f >=< @f >; @ < f >=< @f >; @ < f >=< @f >; etc.; (14.4)
@t
@t
@x
@x
@y
@y
100
so erhalten wir aus (14.2) und (14.3) folgende Gleichungen fur die Mittelwerte:
r < B >= 0; r < E > + @ <@tB > = 0
(14.5)
und
(14.6)
r < E >= < > ; r < B > 0 0 @ <@tE > = 0 < j > :
0
Die homogenen Gleichungen (14.2) bleiben beim U bergang von den mikroskopischen
Feldern E; B zu den makroskopischen Feldern
E~ =< E >; B~ =< B >
(14.7)
erhalten. In den inhomogenen Gleichungen (14.6) mussen wir nun < > und < j >
geeignet aufteilen in
14.2 Freie und gebundene Ladungstrager
Wir befassen uns zunachst in (14.6) mit dem Zusammenhang von E~ und seinen Quellen.
Dazu zerlegen wir
< >= b + f ;
(14.8)
wobei b die im Sinne von (14.1) gemittelte Dichte der gebundenen Ladungstrager darstellt, f die gemittelte Dichte der freien Ladungstrager.
Gebundene Ladungstrager sind z.B. die Gitterbausteine eines Ionen-Kristalls (wie
NaCl mit den Gitterbausteinen Na+ und Cl ) oder die Elektronen von Atomen und Molekulen. Gebunden bedeutet dabei nicht, da die Ladungstrager total unbeweglich sind,
sondern nur, da sie durch starke rucktreibende Krafte an bestimmte Gleichgewichtslagen
gebunden sind, um die herum kleine Schwingungen moglich sind.
Frei bewegliche Ladungstrager sind z.B. Leitungselektronen in Metallen, Ionen in Gasen oder Elektrolyten. Sie zeichnen sich dadurch aus, da sie unter dem Einu eines
aueren Feldes einen makroskopischen Strom bilden.
f ist im Gegensatz zu b eine makroskopische, im Experiment direkt kontrollierbare
Groe. Die Ladungen auf den Platten eines Kondensators z.B. konnen von auen vorgegeben werden. Sie erzeugen ein elektrisches Feld, welches in einem Dielektrikum zwischen
den Platten elektrische Dipole erzeugen oder ausrichten kann. Der Eekt fur den Beobachter sind Polarisationsladungen auf den Oberachen des Dielektrikums, welche von
den speziellen Gegebenheiten (Art des Dielektrikums, Temperatur der Umgebung, Starke
des E~-Feldes) abhangen.
Es liegt daher nahe, das von den (gebundenen) Polarisationsladungen resultierende zusatzliche elektrische Feld mit dem Feld zusammenzufassen, welches von den Ladungen f auf
den Platten herruhrt. Das Zusatzfeld P~ wahlen wir so, da :
r P~ = b
(14.9)
und
P~ = 0 wo b = 0:
101
(14.10)
Dann wird:
r (0E~ + P~ ) = f
(14.11)
oder nach Einfuhrung der dielektrischen Verschiebung
D~ = 0 E~ + P~
(14.12)
r D~ = f :
(14.13)
Wir werden weiter unten zeigen, da das Hilfsfeld P~ gerade die Dichte des (makroskopischen) Dipolmoments des betrachteten Dielektrikums ist (dielektrische Polarisation).
Vorher wollen wir jedoch noch die 2. inhomogene Gleichung in (14.6) umformen. Analog zu (14.8) teilen wir auf:
< j >= jf + jb;
(14.14)
wobei jf die von der Bewegung der freien Ladungstrager herruhrende (gema (14.1) gemittelte) Stromdichte ist. Die von der Bewegung der gebundenen Ladungstrager herruhrende
(gemittelte) Stromdichte jb teilt man zweckmaigerweise noch einmal auf,
jb = jP + jM :
(14.15)
Dabei soll jP von der zeitlichen A nderung von P~ , also der Bewegung der Polarisationsladungen, herruhren:
~
(14.16)
jP = @@tP :
Die Diskussion des verbleibenden Anteils jM , der von molekularen Kreisstromen, d.h.
magnetischen Dipolen, herruhrt, verschieben wir auf spater.
Mit (14.12), (14.14) und (14.16) schreibt sich die 2. inhomogene Gleichung wie folgt:
~
r B~ 0 @@tD = 0jf + 0jM :
(14.17)
Fur die weitere Umformung von (14.17) nutzen wir die Kontinuitatsgleichung fur die freien
Ladungstrager aus:
r jf + @@tf = 0:
(14.18)
102
Dann folgt aus (14.13) und (14.18)
~
r ( @@tD + jf ) = 0;
(14.19)
r (B~ 0 H~ ) = 0jM :
(14.21)
soda der Vektor @ D~ =@t + jf sich als Rotation eines Vektors darstellen lat, den wir mit
H~ bezeichnen,
~
r H~ = @@tD + jf :
(14.20)
Mit (14.17) nden wir den Zusammenhang von B~ und H~ :
Analog dem Vektor P~ fuhren wir hier ein:
~ = B~ 0H~ ;
0 M
(14.22)
soda entsprechend (14.9):
r M~ = jM ; M~ = 0 wo jM = 0:
(14.23)
M~ wird sich als die Dichte des (makroskopischen) magnetischen Dipolmoments (Magnetisierung) erweisen.
Bemerkungen:
1.) Ein mikroskopisches Analogon besitzen nur die Felder E~, B~, namlich E; B (vgl. (14.7)).
D~ und H~ sind nur Hilfsfelder, die wir einfuhren, um komplizierte elektrische und magne-
tische Eigenschaften der Materie pauschal zu erfassen.
2.) Eine makroskopische Polarisation (oder Magnetisierung) kann zustande kommen dadurch, da vorhandene elektrische (oder magnetische) Dipole im Feld ausgerichtet werden
oder da Dipole vom Feld induziert werden. Ohne aueres Feld sind permanente Dipole
statistisch verteilt und ergeben nach Mittelung uber ein makroskopisches Volumen keine
Polarsation (oder Magnetisierung).
Zusammenfassung der makroskopischen Feldgleichungen:
Homogene Gleichungen:
Inhomogene Gleichungen:
Verknupfungen:
~
r B~ = 0; r E~ + @@tB = 0
(14.24)
~
r D~ = f ; r H~ @@tD = jf
(14.25)
D~ = 0 E~ + P~ ; H~ = 1 B~ M~ :
0
(14.26)
103
Die Gleichungen (14.24), (14.25) haben formal die gleiche Struktur wie (14.2), (14.3). Sie
konnen daher mit den gleichen Methoden gelost werden.
Die Gleichungen (14.2), (14.3) reichen jedoch noch nicht aus, um - bei gegebem f ; jf
- die 4 Felder E~; D~ ; B~; H~ eindeutig zu bestimmen. Dazu mussen wir die formalen Verknupfungen (14.26) mit Hilfe spezieller Modelle fur die betrachtete Materie in explizite
Materialgleichungen umwandeln. Einfache Beispiele werden in den nachsten Kapiteln
dazu diskutiert.
14.3 Polarisation und Magnetisierung
~ fuhren wir durch
Zur Interpretation von Polarisation P~ und Magnetisierung M
~
B~ = r A~; E~ = r~ @@tA
(14.27)
das makroskopische skalare Potential ~ und Vektor-Potential A~ ein. Fur sie gelten in
Lorentz-Eichung die inhomogenen Wellengleichungen
2~ = 1 (f r P~ );
(14.28)
0
~ + @ P~ ):
(14.29)
2A~ = 0(jf + r M
@t
Sie haben als spezielle Losungen die retardierten Potentiale (vgl. Kap. 11.3)
Z
Z
0 0
0
0 0
3 r0 r P~ (r ; t ) g
~(r; t) = 1 f d3 r0 f (r ; t0 )
d
(14.30)
40
jr r j
jr r0 j
mit der retardierten Zeit t0 = t + jr r0j=c. Ebenso:
Z
Z
~ (r0; t0)=@t0 Z 3 0 r0 M
~ 0 0
j
@
P
0
f (r0 ; t0 )
3
0
3
0
~
A(r; t) = 4 f d r jr r0j + d r jr r0j + d r jr r(r0j ; t ) g: (14.31)
Den uns interessierenden Term in (14.30) formen wir mit partieller Integration um:
Z
0 ~ 0
0 P~ (r0 ; t) Z
r
3
0
(14.32)
d r jr r0j = d3r0 (r jrr ) rP0j(3r ; t) ;
wobei wir der Einfachheit halber die Retardierung vernachlassigen (t = t0 ). Fur endlich
ausgedehnte Materie tritt kein Oberachenterm bei der partiellen Integration auf. Der Vergleich mit Kap. 12.2 oder 1.5 zeigt, da P~ die Bedeutung der Dichte des makroskopischen
elektrischen Dipolmoments zukommt, wie oben schon behauptet. Ganz entsprechend wird
bei Vernachlassigung der Retardierung (t = t0 ) aus dem letzten Term in (14.31):
Z
Z
0
0
~ 0
~ (r0; t)
d3r0 r jr Mr(0rj ; t) =
d3r0 (r rjr) rM
:
(14.33)
0 j3
104
~ (r; t) die Dichte des makroskopischen
Der Vergleich mit Kap. 5.4 oder 12.3 zeigt, da M
magnetischen Dipolmoments zukommt. Es entsteht dadurch, da entweder permanente
magnetische Dipole im Feld ausgerichtet werden oder durch das Feld induziert werden,
wie im Fall der elektrischen Dipole.
Die Ladungserhaltung fur die gebundenen Ladungstrager,
b
(14.34)
r jb + @
@t = 0;
folgt aus (14.9), (14.14) sowie (14.16) und (14.23).
105
Kapitel 15
Energie, Impuls und Drehimpuls des
makroskopischen Feldes
In Kap. 8 hatten wir Energie, Impuls und Drehimpuls des mikroskopischen Feldes eingefuhrt und dieses Konzept in Teil IV auf das Strahlungsfeld im Vakuum angewendet.
Wir wollen im folgenden die Betrachtungen von Kap. 8 auf das makroskopische Feld
ubertragen.
15.1 Energie
Ausgangspunkt fur die Energiebilanz in Kap. 8 war die von einem (mikroskopischen) Feld
(E; B) an einem System geladener Massenpunkte pro Zeiteinheit geleistete Arbeit
dWM = Z j E dV:
(15.1)
dt
Grundlage von (15.1) ist die Lorentz-Kraft, z.B. fur eine Punktladung q:
K = q(E + (v B));
(15.2)
deren magnetischer Anteil zu (15.1) keinen Beitrag liebert. Aus (15.2) erhalt man mit
(14.1) fur die vom makroskopischen Feld (E~; B~) auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte
Probeladung q ausgeubte (mittlere) Kraft:
K~ = q(E~ + (v B~)):
(15.3)
Die an den freien Ladungen der Dichte f vom makroskopischen Feld pro Zeiteinheit
geleistete Arbeit ist dann analog (15.1):
dWM = Z j E~ dV:
(15.4)
f
dt
Die rechte Seite von (15.4) konnen wir mit (14.25) umformen zu:
dWM = Z (E~ (r H~ ) E~ @ D~ ) dV:
(15.5)
dt
@t
106
Wie in Kap. 8 konnen wir (15.5) symmetrisieren mit Hilfe der Identitat
r (a b) = b (r a) a (r b)
(15.6)
und (14.24),
~
(15.7)
r E~ = @@tB :
Man erhalt:
dWM = Z dV fr (E~ H~ ) + E~ @ D~ + H~ @ B~ g:
(15.8)
dt
@t
@t
Der Vergleich mit (8.7) zeigt, da
S~ = E~ H~
(15.9)
als Energiestromdichte des makroskopischen Feldes (Poynting-Vektor) zu deuten ist. Zur
Interpretation der restlichen Terme betrachten wir die Naherung
linearer, isotroper Medien:
Dann wird
~
D~ = E~; B~ = H~ :
~
E~ @@tD + H~ @@tB = 12 @t@ (E~ D~ + H~ B~)
und wir konnen analog (8.10) die Groe
1 (E~ D~ + H~ B~)
2
als Energiedichte des makroskopischen Feldes interpretieren.
(15.10)
(15.11)
(15.12)
15.2 Impuls, Drehimpuls
Nach (15.3) ist
dPM = q(E~ + (v B~))
(15.13)
dt
die A nderung des Impulses der Probeladung q im Feld (E~; B~). Fur die Impulsanderung
eines Systems freier Ladungen, beschrieben durch f ; jf , im Feld (E~; B~) folgt:
dPM = Z dV ( E~ + (j B~)):
(15.14)
f
f
dt
Analog Kap. 8.2 formen wir (15.14) mit
~
r D~ = f ; r H~ @@tD = jf
(15.15)
um zu
dPM = Z dV (E~(r D~ ) + (r H~ ) B~ @ D~ B~):
(15.16)
dt
@t
107
Wir symmetrisieren (15.16) mit Hilfe von
~
r B~ = 0; r E~ = @@tB ;
(15.17)
dPM = Z dV fE~(r D~ ) + H~ (r B~) + (r H~ ) B~ + (r E~) D~ @ (D~ B~)g: (15.18)
dt
@t
Wie in Kap. 8 lat sich dann
D~ B~
(15.19)
als Impulsdichte des makroskopischen elektromagnetischen Feldes interpretieren (vgl. (8.38).
Die U bertragung von (8.39) auf den Fall des makroskopischen Feldes ist dann trivial.
15.3 Die Kirchho'schen Regeln
Die Theorie der elektrischen Schaltkreise beruht auf folgenden Regeln:
1.) Kirchho'scher Satz (Knotenregel)
An einer Stromverzweigung gilt fur stationare und quasistationare Strome
N
X
i=1
Beweis:
Ii = 0:
(15.20)
Fur stationare und quasistationare Strome folgt aus
r jf = 0;
(15.21)
mit dem Gau'schen Integralsatz:
Z
jf df =
F
N
X
i=1
I i = 0:
(15.22)
Bemerkung: Der quasistationare Fall ist dadurch deniert, da in (14.19) @ D~ =@t ver-
nachlassigt werden darf, woraus direkt (15.21) folgt. Im stationaren Fall ist @f =@t = 0
108
und (15.21) folgt aus (14.18). Grundlage der 1. Kirchho'schen Regel ist also die Ladungserhaltung.
2. Kirchho'sche Regel (Maschenregel)
Die Summe der Spannungsabfalle langs eines geschlossenen Weges in einem Schaltkreis
(Masche) verschwindet,
X
U j = 0:
(15.23)
j
Dabei kann Uj stehen fur
i) Ohm'schen Spannungsabfall (Widerstand R)
UR = IR;
(15.24)
ii) Kondensatorspannung (Kapazitat C )
Z
UC = C1 Idt;
(15.25)
UL = L dI
dt
(15.26)
~
r E~ = @@tB
(15.27)
iii) induzierte Spannung (Induktivitat L)
sowie eine Batteriespannung.
Beweis: Aus
folgt mit dem Stoke'schen Integralsatz
Z
I
@
~
~
~
(r E ) df = E ds =
(15.28)
@t F B df :
F
S
Grundlage der 2. Kirchho'schen Regel ist das Induktionsgesetz oder der Energiesatz.
Fuhrt man namlich eine Ladung q auf einem geschlossenen Weg durch den Schaltkreis,
so ist (15.23) nach Multiplikation mit q gerade die Energiebilanz.
Z
109
Kapitel 16
Elektrische und magnetische
Eigenschaften der Materie
16.1 Materialgleichungen
Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen
und
~
r B~ = 0; r E~ + @@tB = 0
~
r D~ = f ; r H~ @@tD = jf
(16.1)
(16.2)
reichen (wie in Kap. 15.2 schon erwahnt) nicht aus, um die Felder E~; B~; D~ und H~ zu
bestimmen, solange nicht explizite Materialgleichungen zur Verfugung stehen, welche
E~; B~; D~ und H~ untereinander verknupfen. Oft sind auch die makroskopischen Quellen
f und jf nicht als Funktion von r und t vorgegeben, sondern funktional von den zu
berechnenden Feldern abhangig.
Fur die Diskussion solcher Materialgleichungen formen wir (16.2) so um, da die Felder
~E und B~ in Abhangigkeit von den makroskopischen Quellen f ; jf ; P~ und M
~ dargestellt
werden:
~
~
(16.3)
r E~ = 1 (f r P~ ); r B~ 0 0 @@tE = 0(jf + @@tP + r M~ ):
0
~ Funktionale der Felder E~ und B~; sie konnen auch von aueren
Dabei sind f ; jf ; P~ und M
Parametern wie z.B. der Temperatur T abhangen. Es ist also:
P~ = P~ [E~; B~; T ];
(16.4)
~ und jf . U ber die Kontinuitatsgleichung ist dann f durch jf bestimmt:
entsprechend fur M
(16.5)
r jf + @@tf = 0:
Im folgenden werden wir fur eine Reihe einfacher Modelle Materialgleichungen vom Typ
(16.4) diskutieren.
110
16.2 Ohm'sches Gesetz; elektrische Leitfahigkeit
In Metallen ist die Leitfahigkeit auf die Existenz freier Elektronen zuruckzufuhren. Die
Bewegungsgleichung fur ein solches Leitungselektron i lautet:
(16.6)
M ddtvi + vi = eEi;
wobei Ei das auf das Elektron i wirkende elektrische Feld ist und der Reibungsterm der
Tatsache (pauschal) Rechnung tragen soll, da die Leitungselektronen durch Stoe mit
den Gitterionen Energie verlieren.
Aus (16.6) folgt mit (4.4), (4.5) fur die Stromdichte:
djf + j = n e2 E~;
(16.7)
dt M j M
wobei wir den Mittelwert uber Ei mit dem makroskopischen Feld E~ identiziert haben.
Fur statische E~-Felder besitzt (16.7) die stationare Losung:
jf = 0 E~
(16.8)
mit der Gleichstromleitfahigkeit
2
0 = ne :
(16.9)
E~ = E~0 exp( i!t)
(16.10)
jf = j0 exp( i!t):
(16.11)
Fur ein zeitlich periodisches Feld
erwarten wir als Losung von (16.7)
Gleichung (16.7) ergibt dann die Beziehung
jf = (!)E~
mit der frequenzabhangigen Leitfahigkeit
(16.12)
(!) = 1 0i! ;
(16.13)
dabei ist die Dampfungskonstante bestimmt durch
(16.14)
= M :
Fur niedrige Frequenzen ! 1 wird (!) reell, (!) 0 , wahrend umgekehrt fur hohe
Frequenzen, ! 1, (!) rein imaginar wird, soda jf und E~ um =2 gegeneinander
phasenverschoben sind.
111
16.3 Dielektrika
Unter dem Einu eines elektrischen Feldes E~ stellt sich in einem nichtleitenden, polarisierbarem Medium eine Polarisation P~ ein. Wir unterscheiden 2 Typen:
1. Orientierungspolarisation
Schon vorhandene (permanente) elektrische Dipole werden im E~-Feld ausgerichtet. Dem
ordnenden Einu des Feldes wirkt die thermische Bewegung entgegen und die resultierende makroskopische Polarisation ist temperaturabhangig. Fur E~ = 0 sind die Richtungen
der elementaren Dipole statistisch verteilt und es ist P~ = 0 (siehe Kap. 16.5).
2. Induzierte Polarisation
Durch das E~-Feld konnen Elektronen und Kerne in Atomen oder Molekulen relativ zueinander verschoben und Dipole in Feldrichtung erzeugt (induziert) werden. Auf diese
Weise entsteht eine temperaturunabhangige Polarisation.
Bei niedrigen Feldstarken und/oder hohem Temperaturen ist die lineare Beziehung
P~ = e0E~
(16.15)
eine gute Naherung von (16.4); dabei ist die elektrische Suszeptibilitat e im allgemeinen temperaturabhangig. Mit (16.15) gilt dann:
D~ = E~
(16.16)
mit der Dielektrizitatskonstanten
= 0 (1 + e):
(16.17)
Bemerkung:
(16.15) und (16.16) setzen ein isotropes Material voraus. Fur anisotrope Medien ist e
bzw. durch einen Tensor zu ersetzen.
Fur schnell oszillierende Felder erweist sich (bzw. e) als frequenzabhangig,
= ( ! ) :
(16.18)
Beispiel: Fur H2 O ist (bei T = 200 C) =0 40, wenn man fur ! die Frequenz der
gelben Na-Linie wahlt.
Die Frequenzabhangigkeit von (!) lat sich an Hand des folgenden (vereinfachten)
Modells uber die Struktur von Atomen und Molekulen verstehen:
Wir nehmen an, da die Elektronen in einem Atom oder Molekul gedampfte harmonische
Schwingungen ausfuhren. Dann lautet die Bewegungsgleichung fur das n-te Elektron eines
Atoms (oder Molekuls) unter dem Einu eines periodischen E~-Feldes :
d2 r + d r + !2 r = e E~ exp( i!t):
(16.19)
dt2 n n dt n n n M 0
Mit dem Ansatz
rn = r0n exp( i!t)
(16.20)
112
ndet man als Losung von (16.19)
rn = M (!2 !e2 i! ) E~0 exp( i!t)
n
n
(16.21)
und daraus fur das Dipolmoment
p=
Z
1
e2 E~ exp( i!t) X
ern = M
0
2
2 i!n) ;
n=1 (!n !
n=1
Z
X
(16.22)
wenn Z Elektronen im Atom (Molekul) sind. Es folgt fur die elektrische Suszeptibilitat:
2X
e = NeM (!2 !21 i! ) ;
0 n n
n
(16.23)
wobei N die Zahl der Atome (Molekule) pro Volumeneinheit ist.
Der Dampfungsterm in (16.19) tragt pauschal der Tatsache Rechnung, da die atomaren Oszillatoren durch Stoe zwischen den Atomen oder Molekulen Energie verlieren.
Dies hat zur Folge, da e bzw. komplex werden. Als Beispiel werden wir im nachsten
Kapitel die Absorption elektromagnetischer Wellen in Materie betrachten.
16.4 Para- und Diamagnetismus
~ kann (analog dem Fall der Polarisation P~ ) auf folgende Weise
Eine Magnetisierung M
entstehen:
1. Orientierungsmagnetisierung (Paramagnetismus)
Permanente elementare magnetische Dipole werden in einem aueren Magnetfeld gegen
die thermische Bewegung ausgerichtet und fuhren zu einer makroskopischen Magnetisie~ . Ohne Magnetfeld sind die elementaren Dipolmomente m bzgl. ihrer Richtung
rung M
~ = 0.
statistisch verteilt und man erhalt im makroskopischen Mittel M
2. Induzierte Magnetisierung (Diamagnetismus)
Im Magnetfeld andern sich die Bahnen der Elektronen, insbesondere ihr Drehimpuls. Eine
solche A nderung des Drehimpulses ist nach (5.34) mit einer A nderung des magnetischen
Dipolmoments des Atoms verbunden. Atome, die kein permanentes magnetisches Dipolmoment haben, erhalten also im aueren Magnetfeld ein induziertes Dipolmoment. Seine
Richtung ist durch die Richtung des aueren Feldes gegeben (s.u.).
~ hangt also im allgemeinen vom aueren Feld und der TemDie Magnetisierung M
peratur ab. Da das fundamentale Feld das B~-Feld ist, sollten wir entsprechend (16.4)
eigentlich
M~ = M~ [B~; T ]
(16.24)
betrachten. Es ist jedoch ublich, (16.24) durch
M~ = M~ [H~ ; T ]
(16.25)
113
zu ersetzen, da H~ uber die Stromdichte jf praktisch leichter kontrollierbarer ist als B~.
Bemerkung:
Im elektrischen Fall betrachtet man - im Einklang mit der mikroskopischen Theorie P~ = P~ [E~; T ];
(16.26)
da Potentialdierenzen bequemer kontrollierbar sind als f und das damit verbundene
D~ -Feld.
Fur genugend schwache Felder und/oder hohe Temperaturen ist zu erwarten, da
M~ = m H~
(16.27)
eine gute Naherung von (16.25) ist; dabei ist m die magnetische Suszeptibilitat. Mit
(16.27) und (14.22) wird dann:
B~ = H~ ;
(16.28)
wobei die Permeabilitat mit m uber
= 0(1 + m )
(16.29)
zusammenhangt.
Abschlieend wollen wir das Zustandekommen des Diamagnetismus quantitativ naher
formulieren. Als einfachstes Modell betrachten wir ein an den Atomkern elastisch gebundenes Elektron unter dem Einu eines aueren Magnetfeldes:
d2 r + !2 r = 2~! d r
(16.30)
L
dt2 n n n
dt n
mit der Abkurzung
e B:
!~ L = 2M
(16.31)
Zur Losung der Bewegungsgleichung (16.30) gehen wir zu einem mit der Winkelgeschwindigkeit ~!L gegenuber dem Laborsystem rotierenden Koordinatensystem 0 uber. Wegen
2
2
r = r0 ; dtd r = dtd r0 + (~!L r0); dtd 2 r = dtd 2 r0 + 2(~!L dtd r0) + ~!L (~!L r0) (16.32)
folgt dann aus (16.30):
d2 r0 + !2 r0 = ~! (~! r0 ):
(16.33)
L
L
n n
n
dt2
Da im allgemeinen !n !L ist, erhalten wir naherungsweise
d2 r0 + !2 r0 = 0;
(16.34)
n n
dt2
das Elektron sieht im rotierenden Koordinatensystem 0 das Magnetfeld (fast) nicht, es
schwingt mit der ungestorten Frequenz !n. Aus der Sicht des Laborsystems tritt dazu
eine Rotation um die Richtung von B mit der Lamor-Frequenz !L.
114
Entsprechend dieser Zerlegung der Bewegung teilen wir das magnetische Moment eines
Atoms mit Z Elektronen auf in 2 Anteile:
e X(r0 p0 )+ e X r0 (~! r0 ) = e X l0 e2 XfBr02 r0 (B r0 )g: (16.35)
m = 2M
L i
i
i 2
i
i i
i
2M i i 4M i
i
i
Der 1. Term in (16.35) liefert das permanente magnetische Dipolmoment; es ist von null
verschieden, falls der Drehimpuls (hier: Bahndrehimpuls) des ungestorten Atoms L0 6= 0
ist. Der 2. Term beschreibt das induzierte Moment.
Zur Diskussion des induzierten Moments setzen wirPeine kugelsymmetrische Ladungsverteilung voraus. Dann geben die Mischterme, z.B. i x0iyi0 , in (16.35) keinen Beitrag;
der Beitrag der verbleibenden quadratischen Terme lat sich durch den mittleren Radius
des Atoms ausdrucken. Man erhalt:
2
mind = 6eM 2B:
(16.36)
Oensichtlich wirkt der Diamagnetismus (m < 0) dem Paramagnetismus (m 0) entgegen. Atome mit L0 = 0 sind diamagnetisch; erweist sich eine Substanz als paramagnetisch,
so uberwiegt der 1. Term in (16.35) den 2. Term.
Bemerkung:
Atomkerne konnen auch einen Drehimpuls besitzen. Wegen (5.34) ist das damit verknupfte
Kern-Moment erheblich kleiner als das von den Elektronen erzeugte, da die Nukleonmasse
2000 mal groer ist als die Elektronenmasse.
16.5 Temperaturabhangigkeit der Polarisation
Wir setzen homogene und isotrope Medien voraus; dann gilt fur den Anteil der Polarisation, der von der Ausrichtung permanenter Dipole im E~-Feld herruhrt:
P = N < p >T ;
(16.37)
wobei N die Zahl der Atome pro Volumeneinheit ist und < p >T sich durch Mittelung
der Dipole mit Betrag p bzgl. ihrer Richtung zum E~-Feld bei gegebener Temperatur T
ergibt,
R d(cos ) cos exp( cos )
< p >T = R d(cos ) exp( cos ) p
(16.38)
mit
pE :
= kT
(16.39)
bezeichnet hier den Winkel zwischen einem Dipol p und dem Feld E~. Der Gewichtsfaktor
~
(16.40)
exp( cos ) = exp( pkT E )
115
ist aus der Thermodynamik ubernommen; er ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, da
ein elementarer Dipol bei gegebener Temperatur T mit dem Feld E~ den Winkel bildet.
Der Nenner in (16.38) sorgt fur die richtige Normierung.
Die Auswertung der Integrale in (16.38) ergibt:
(16.41)
P = Np f coth 1 g:
Diskussion:
Fall 1: starke Felder, tiefe Temperaturen, d.h.
so da - wie zu erwarten - mit
1;
(16.42)
P = Np
(16.43)
1;
(16.44)
coth = 1 + 3 + (16.45)
der Sattigungswert erreicht wird.
Fall 2: schwache Felder, hohe Temperaturen, d.h.
so da mit
folgt:
2
Np
P = 3kT E ;
der oben diskutierte lineare Bereich.
(16.46)
P
Bemerkung:
Das obige Verfahren kann direkt auf die Behandlung des Paramagnetismus ubertragen
werden, indem man die Energie des Dipols p im E~-Feld: p E~, durch m B~ ersetzt,
wobei m das (permanente) magnetische Dipolmoment ist.
116
Kapitel 17
Verhalten des elektromagnetischen
Feldes an Grenzachen
17.1 Allgemeine Stetigkeitsbedingungen
Aus den makroskopischen Maxwell-Gleichungen ergeben sich eine Reihe von Konsequenzen fur das Verhalten der Felder an der Grenzache zwischen zwei Medien mit verschiedenen elektrischen und magnetischen Eigenschaften. Der Einfachheit halber sei im folgenden
angenommen, da die Grenzache eben sei. Aussagen uber die
1. Normalkomponenten von B~ und D~ erhalten wir aus
r B~ = 0; r D~ = f :
(17.1)
Dazu wenden wir den Gau'schen Integralsatz auf folgende Skizze an:
Die Deckachen (F1 ; F2) einer Schachtel mit Volumen V und Oberache F mogen symmetrisch zur Grenzache liegen; Groe und Gestalt der Deckachen seien beliebig. Macht
man die Hohe h der Schachtel beliebig klein, so folgt aus (17.1):
Z
V
r B~ dV =
Z
F
B~ df =
Z
F1
(B~n(1) B~n(2) ) df = 0;
(17.2)
da fur die Flachennormalen gilt n1 = n = n2 . Da F1 beliebig gewahlt werden kann, mu
gelten:
B~n(1) = B~n(2) :
(17.3)
Die Normalkomponente von B~ geht also stetig durch die Grenzache hindurch.
117
Analog folgt aus
Z
V
r D~ dV =
Z
F
D~ df =
Z
F1
(D~ n(1) D~ n(2) ) df = Qf ;
(17.4)
fur die Normalkomponente von D~ :
D~ n(1) D~ n(2) = f ;
(17.5)
wenn f die Flachenladungsdichte der freien Ladungstrager in der Grenzache ist. Fur
Dielektrika mit f = 0 ist die Normalkomponente von D~ stetig; dagegen springt D~ n beim
U bergang Leiter - Nichtleiter um f .
2. Tangentialkomponenten von E~ und H~ . Wir benutzen:
~
~
r E~ = @ B ; r H~ = @ D + j ;
@t
@t f
und wenden den Integralsatz von Stokes auf folgende Skizze an:
(17.6)
Eine Rechteckschleife S habe Kanten der Lange l parallel zur Grenzache und der Lange
h senkrecht dazu. Dann gilt bei Integration uber die in S eingespannte ebene Flache F
im Limes h ! 0:
Z
F
I
Zl
~
~
(r E ) df = E ds = ds (E~t(1) E~t(2) ) = 0;
0
S
(17.7)
da mit h ! 0 der Inhalt der Flache F verschwindet, so da :
Z @ B~
( ) df ! 0 fur h ! 0:
(17.8)
F @t
Da l in (17.7) beliebig gewahlt werden kann, folgt die Stetigkeit der Tangentialkomponente
von E~:
E~t(1) = E~t(2) :
(17.9)
Ganz analog ergibt die 2. Gleichung von (17.6)
Zl
0
ds (H~ t(1) H~ t(2) ) = If ;
(17.10)
wenn If die Stromstarke der in der Grenzache ieenden (freien) Strome ist, senkrecht
zur Tangentialkomponente H~ t von H~ .
118
Mit der Darstellung
folgt aus (17.10) wie oben
If =
Zl
i
0 f
dl
H~ t(1) H~ t(2) = if ;
dabei ist if die Flachenstromdichte in der Grenzache senkrecht zu H~ t.
Wir untersuchen die obigen Resultate nun fur:
(17.11)
(17.12)
17.2 Lineare, isotrope Medien
Falls
B~ = H~ ; D~ = E~
gilt, ndet man aus (17.3), (17.5), (17.9) und (17.12):
~ t(1) D~ t(2)
D
(2)
(1)
~
~
1Hn = 2Hn ; = 1
2
und
~t(1) B~t(2)
B
(1)
(2)
~
~
1 En 2 En = f ; 2 = if :
1
Gilt das Ohm'sche Gesetz,
jf = E~;
so folgt aus (17.9) fur die Tangentialkomponente von jf :
(2)
j(1)
ft = jft :
1 2
Fur die Normalkomponente folgt uber die Kontinuitatsgleichung:
r jf + @@tf = 0
bei Anwendung des Gau'schen Satzes (wie unter 1.)
(1) j (2) = @f :
jfn
fn
@t
Speziell fur stationare Strome folgt aus
(17.13)
(17.14)
(17.15)
(17.16)
(17.17)
(17.18)
(17.19)
r jf = 0
(17.20)
(2)
j(1)
fn = jfn :
(17.21)
die Stetigkeit der Normalkomponenten
Beispiel: U bergang Leiter (1) - Nichtleiter (2)
119
Da im Nichtleiter kein Strom ieen kann, folgt aus (17.21)
und damit uber (17.16)
(2)
j(1)
fn = jfn = 0;
(17.22)
E~n(1) = 0;
(17.23)
2 En(2) = f :
(17.24)
da 1 6= 0. Dagegen folgt fur E~n(2) aus (17.15):
Insbesondere fur die Elektrostatik ist wegen jf = 0 auch
E~t(1) = 0;
dann fordert (17.9)
(17.25)
E~t(2) = 0;
(17.26)
also steht das E~-Feld senkrecht zur Leiteroberache; es ist null innerhalb des Leiters.
17.3 Reexion und Brechung von Licht
Bei Abwesenheit freier Ladungen lauten die Maxwell-Gleichungen:
r B~ = 0; r D~ = 0
und
~
~
r E~ = @@tB ; r H~ = @@tD :
Sie vereinfachen sich mit der Annahme linearer, isotroper Medien
B~ = H~ ; D~ = E~;
zu
und
r H~ = 0; r E~ = 0
~
~
r E~ = @@tH ; r H~ = @@tE :
(17.27)
(17.28)
(17.29)
(17.30)
(17.31)
Wie in Kap. 9 lassen sich die Gleichungen (17.31) unter Beachtung von (17.30) entkoppeln.
Man erhalt die Wellengleichungen
2
2
(17.32)
E~ 102 @ 2 E~ = 0; H~ 102 @ 2 H~ = 0;
c @t
c @t
wobei c0 die Phasengeschwindigkeit im Medium ist (vgl. Kap. 9.3):
1 = :
(17.33)
c02
120
Da wir im folgenden das Verhalten des elektromagnetischen Feldes an ebenen Grenzachen
untersuchen wollen, betrachten wir spezielle Losungen von (17.32) in Form ebener Wellen,
z.B.:
E~ = E~0 expfi(k r !t)g;
(17.34)
wobei zwischen ! und k die Beziehung
! = kc0
(17.35)
gelten mu. Wie in Kap. 9 ndet man, da E~; H~ und k senkrecht zueinander stehen.
Gleichung (17.35) unterscheidet sich von (9.23) dadurch, da dort c eine Konstante
ist, wahrend c0 von ! abhangt, da = (!). Die Komponenten verschiedener Frequenz !
in einem Wellenpaket laufen also mit verschiedener Geschwindigkeit c0 = c0(!), das Wellenpaket behalt seine Form im Laufe der Zeit nicht bei (Zerieen von Wellenpaketen;
vgl. hierzu Kap. 10.3).
Bemerkung:
Je nach Verlauf von (!) kann c0 > c werden. Dies bedeutet keinen Widerspruch zur Relativitatstheorie, da die Phasengeschwindigkeit vph nicht identisch ist mit der Grup-
pengeschwindigkeit
vg = ( d!
(17.36)
dk )k=k0
eines Wellenpaketes, dessen Amplitude auf die Umgebung der Wellenzahl k0 konzentriert
ist; der Energietransport in einem solchen Wellenpaket ist durch vg und nicht durch vph
bestimmt.
Wir untersuchen nun das Verhalten einer Lichtwelle, beschrieben durch (17.34), an
einer ebenen Grenzache (Skizze):
Aus (17.9) folgt
~ (E~e + E~r ) = ~ E~d
(17.37)
fur alle Zeiten t und alle Vektoren r der Grenzache; ~ sei ein Einheitsvektor parallel zur Grenzache, E~e; E~r und E~d bezeichnen die elektrische Feldstarke der einfallenden,
reektierten und durchgehenden Lichtwelle. Legt man den Koordinatenursprung in die
Grenzache, so folgt aus (17.37) und (17.34) fur r = 0 die Erhaltung der Frequenz,
!e = !r = !d:
121
(17.38)
Fur t=0 ergibt sich aus der Phasengleichheit
ke r = kr r = kd r
(17.39)
die Koplanaritat von ke; kr und kd . Wahlt man speziell r = r0 so, da ke r0 = 0, so
mussen gema (17.39) die 3 Vektoren ke; kr und kd senkrecht zu r0 sein, was nur moglich
ist, wenn ke; kr und kd in einer Ebene liegen. Dann folgt aus (17.39),
ke sin e = kr sin r ;
mit (17.38), ke = kr , das Reexionsgesetz:
e = r :
(17.40)
(17.41)
Ebenfalls aus (17.38) ergibt sich:
ke = p11 = n1 ;
(17.42)
kd p22 n2
so da mit (17.39) das Brechungsgesetz folgt:
sin e = n2 :
(17.43)
sin d n1
Wertet man die in (17.37) noch enthaltenen Bedingungen fur die Amplituden aus, so
erhalt man die Fresnel'schen Formeln, das Brewster'sche Gesetz (Erzeugung linear
polarisierten Lichts) und die Totalreexion (Faser-Optik).
Bemerkung:
Nach (16.23) ist (!) im allgemeinen komplex, also auch k komplex. Eine elektromagnetische Welle wird also im Medium geschwacht (Absorption).
17.4 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in leitenden Materialien
Wir betrachten einen Ohm'schen Leiter mit ebener Grenzache und Oberachenladung
. Dafur lauten die Maxwell-Gleichungen:
~
~
r H~ = 0; r E~ = 0; r H~ @@tE E~ = 0; r E~ + @@tH = 0: (17.44)
Solange kein Ladungsstau auftritt, ist f = 0 (vgl. Kap. 4.2), obwohl
jf = E~ 6= 0:
(17.45)
Als Losung von (17.44) setzen wir an:
E~ = E~0 expfi(k r !t)g;
122
(17.46)
ebenso fur H~ und nden mit (17.44):
1 (k E~); i(k H~ ) + i!E~ E~ = 0:
(17.47)
H~ = !
Eliminiert man im letzten Ausdruck E~ oder H~ , so folgt:
);
(17.48)
k2 = !2 (1 + i !
wenn man die aus (17.44) folgende Transversalitat von E~ und H~ beachtet. Setzt man
k = + i ; ; reell;
(17.49)
so folgt mit
k2 = 2 2 + 2i;
(17.50)
da :
2 2 = !2; 2 = !:
(17.51)
Eliminiert man in der 1. Gleichung mit Hilfe der 2. Gleichung, so entsteht:
4 14 (!)2 + 2!2 = 0:
(17.52)
Da reell sein soll, kommt als Losung nur in Frage:
2 r
)2 1);
!
2
(17.53)
= 2 ( 1 + ( !
dazu gehort
2 r
!
)2 + 1):
2
= 2 ( 1 + ( !
(17.54)
Fur ! 0 folgt:
! 0; 2 ! !2
(17.55)
in Einklang mit (17.35). Da ! 0, mussen und nach (17.51) gleiches Vorzeichen
haben. Fur 6= 0 (d.h. 6= 0) wird eine auf eine Metalloberache einfallende Lichtwelle
im Metall exponentiell gedampft; fur eine in positiver x-Richtung laufende ebene Welle
wird namlich
expfi(kx !t)g = expfi(x !t)g expf xg;
(17.56)
wobei mit > 0 auch > 0 sein mu .
Grenzfalle:
1.) Bei hoher Leitfahigkeit ( ! 1) wird die Lichtwelle praktisch total reektiert, da die
Eindringtiefe d 1 verschwindet.
2.) Fur hohe Frequenzen (! ! 1) ist zu beachten, da gema (16.13) frequenzabhangig
ist: wird fur ! ! 1 rein imaginar, also k2 in (17.48) reell; das Material wird durchsichtig.
Diesen Eekt kann man mit harter Rontgenstrahlung nachweisen.
Als Folge der Dampfung konnen wegen (17.45) Wechselstrome nur in einer Oberachenschicht des Leiters ieen, deren Dicke durch 1 bestimmt ist (Skin-Eekt).
123
Teil VI
Relativistische Formulierung der
Elektrodynamik
124
Kapitel 18
Kovarianz der Elektrodynamik
Wir wollen im folgenden zeigen, da die Grundgleichungen der Elektrodynamik in allen
Inertialsystemen die gleiche Form haben (Kovarianz der Elektrodynamik) und damit
dem Relativitatsprinzip genugen. Zur Vorbereitung untersuchen wir die mathematische
Struktur der Lorentz-Transformationen.
18.1 Lorentz-Gruppe
Zunachst soll gezeigt werden, da die Lorentz-Transformation als orthogonale komplexe
Transformationen in einem 4-dimensionalen pseudoeuklidischen Vektorraum (Minkowski-Raum) aufgefat werden kann. Dazu fuhren wir folgende Koordinaten ein:
x0 = ict; x1 = x; x2 = y; x3 = z;
(18.1)
womit sich das Langenquadrat eines Raum-Zeit-Vektors in verschiedenen Bezugssystemen
und 0 schreiben lat als:
3
3
X
X
(18.2)
x2 = x02 :
=0
Die allgemeine Lorentz-Transformation
x0 =
X
=0
a x ; ; = 0; 1; 2; 3
(18.3)
mu die Lange des Vektors (x0; x1 ; x2 ; x3) invariant lassen:
3
X
x2 = r2 c2t2 = const:
=0
(18.4)
In Analogie zum 3-dimensionalen euklidischen Raum kann man diese Bedingung als Orthogonalitatsrelation fur die Transformationskoezienten a schreiben:
X
aT a = ;
125
(18.5)
wo aT die zu a transponierte Matrix ist. Gleichung (18.5) folgt aus:
X 2 XX
XX
X
X
a a x x = f aT a gx x = x x = x2 :
x` =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(18.6)
Fur eine Lorentz-Transformation in x1 -Richtung mit Geschwindigkeit = v=c hat die
Transformationsmatrix a die spezielle Gestalt
0
i 0 0 1
B i 0 0C
C
a = B
B@ 0 0
A
1 0C
0
0
(18.7)
0 1
mit 2 = 1=(1 2). Die in (18.7) enthaltene Auszeichnung der x1 -Achse lat sich beheben,
indem man (18.7) mit einer orthogonalen Transformation im R3 in Form einer Drehung
kombiniert. Grundlage dafur ist die Gruppeneigenschaft der Lorentz-Transformationen:
1) Fuhrt man 2 Lorentz-Transformationen nacheinander aus,
x0 =
X
a x ; x00 =
so ist das Ergebnis
x00 =
X
;
X
a0 a x =
a0 x0 ; ( ! 0 ! 00 );
X
a00 x ; ( ! 00 )
(18.8)
(18.9)
wieder eine Lorentz-Transformation, denn fur die Matizen a00 , a0 und a gilt:
(a00)T a00 = (a0 a)T (a0a) = aT (a0T a0 )a = aT a = 14;
(18.10)
da nach Voraussetzung
aT a = 14; (a0)T a0 = 14
(18.11)
ist mit 14 als der 4 4 Einheitsmatrix. Die Verknupfung zwischen den Elementen der
Gruppe ist also die (4 4) Matrix-Multiplikation.
2.) Das neutrale Element ist die 14-Matrix fur Lorentz-Transformationen mit Geschwindigkeit v = 0.
3.) Zu jeder Transformation a gibt es eine inverse, da aus (18.5) folgt:
also gilt:
det(aT a) = (det(a))2 = 1;
(18.12)
det(a) 6= 0:
(18.13)
4.) Da die Matrix-Multiplikation assoziativ ist, gilt fur Lorentz-Transformationen auch
das Assoziativ-Gesetz.
126
Die orthogonalen Transformationen im R3 (Drehungen und Spiegelungen) bilden eine
Untergruppe der Lorentz-Gruppe, dargestellt durch
d = 10 0d
ik
mit i; k = 1,2,3 und
3
X
m=1
!
dim dmj = ij :
(18.14)
(18.15)
Die allgemeine Lorentz-Transformation (18.3) mit der Bedingung (18.5) erhalt man durch
Kombination von (18.7) mit (18.14), (18.15) und Hinzunahme der Zeitumkehr
x0i = xi ; x00 = x0 ; i = 1; 2; 3:
(18.16)
Die Lorentz-Transformationen umfassen also: Drehungen im R3, Raum-Spiegelungen und
Zeitumkehr sowie den U bergang zwischen Inertialsystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen.
Bei einer Translation im Raum oder in der Zeit andert sich die Bedingung (18.2)
nicht, da sie nur raumliche und zeitliche Abstande enthalt. Die oben besprochene Gruppe
der homogenen Lorentz-Transformationen konnen wir also noch durch Translationen
in Raum und Zeit erganzen. Man erhalt dann die 10-parametrige Poincare-Gruppe,
welche 3 Parameter fur raumliche Drehungen, 3 Parameter fur Lorentz-boosts mit der
Geschwindigkeit v und 4 Parameter fur raum-zeitliche Translationen enthalt. Sie wird
heute als die aller Physik zugrundeliegende Invarianz-Gruppe angesehen.
18.2 Lorentz-Gruppe (Vierer-Tensoren)
Analog dem Fall der Gruppe der Drehungen denieren wir nun Tensoren bzgl. der Lorentzgruppe:
1.) Lorentz-Skalar
Wir nennen eine Groe einen Lorentz-Skalar, wenn sich unter Lorentz-Transformationen nicht andert,
! 0 = :
(18.17)
Ein Beispiel dafur ist die elektrische Ladung (vgl. Kap.1.1).
2.) Lorentz-Vektor
Wir denieren einen Lorentz- oder Vierer-Vektor dadurch, da sich bei LorentzTransformationen seine Komponenten A wie die Komponenten x transformieren
A ! A0 =
X
127
a A :
(18.18)
Beispiele:
i) Die partiellen Ableitungen eines Lorentz-Skalars nach den x bilden die Komponenten
eines Vierer-Vektors, denn:
@ 0 = X @ @x = X a @ :
(18.19)
@x0 @x @x0 @x
Dabei wurde die Umkehrformel zu (18.3)
x =
X
a x0
(18.20)
benutzt.
ii) Die 4-Divergenz eines Vierer-Vektors ist ein Vierer-Skalar:
X @A0 X X
@A = X @A
a
a
=
0
@x @x
;
@x
0
0
0
bei Beachtung von (18.5).
iii) Wahlt man als Komponenten des Vierer-Vektors gema (18.18)
@ ;
A = @x
so folgt aus (18.21):
(18.21)
(18.22)
X @2 0
X @2
=
:
@x0 2
@x2
(18.23)
X @2
A = 2A
@x2
(18.24)
Der Operator 2 = P @ 2 =@x2 ist also invariant unter Lorentz-Transformationen. Daher
transformiert sich fur einen Vierer-Vektor mit den Komponenten A die Groe
wie die -te Komponente eines Vierervektors.
iv) Das Skalarprodukt zweier Vierer-Vektoren ist ein Vierer-Skalar:
X
A0 B0 =
XX
;
a a AB =
X
A B :
(18.25)
3.) Lorentz-Tensoren 2. Stufe
Auer den Skalaren (= Tensoren 0. Stufe) und den Vektoren (= Tensoren 1. Stufe)
werden wir noch auf Tensoren 2. Stufe treen. Sie sind deniert als 4 4-Matrizen, deren
Komponenten F die Transformationseigenschaft
F0 =
X
;
a a F
besitzen.
128
(18.26)
18.3 Viererstromdichte
Um die Kovarianz der Elektrodynamik zu beweisen, untersuchen wir zunachst das Transformationsverhalten der Quellen j und des elektromagnetischen Feldes. Als Ausgangspunkt dient die Ladungserhaltung:
r j + @
(18.27)
@t = 0:
Mit den Bezeichnungen
j0 = ic; j1 = jx; j2 = jy ; j3 = jz
(18.28)
konnen wir die Kontinuitatsgleichung (18.27) in Vierer-Notation schreiben als
X @
j = 0:
(18.29)
@x
Wegen der Ladungsinvarianz mu (18.29) in jedem Inertialsystem gelten; (18.29) ist invariant unter Lorentz-Transformationen. Dann sind nach (18.21) j die Komponenten eines
Vierer-Vektors, der Vierer-Stromdichte.
Davon wollen wir uns fur einen einfachen Fall direkt uberzeugen: Wir betrachten eine
im System 0 ruhende Ladungsverteilung:
j00 = ic0 ; j10 = j20 = j30 = 0:
(18.30)
Als Komponenten eines Vierer-Vektors mussen sich die j0 unter der Lorentz-Transformation
mit Geschwindigkeit = v=c in x1 -Richtung
x0 = (ix01 + x00); x1 = (x01 ix00 ); x2 = x02 ; x3 = x03 ;
(18.31)
transformieren wie
j0 = ic0 ; j1 = 0 v; j2 = 0; j3 = 0:
(18.32)
Ein Vergleich mit (18.28) ergibt:
= 0:
(18.33)
Nun wissen wir, da ein in 0 ruhendes Volumenelement dV0 fur einen Beobachter in die Groe
(18.34)
dV = dV 0
aufgrund der Langenkontraktion hat. Die Ladungsinvarianz,
Z
Z
Z
(18.35)
dV = 0 dV 0 = 0 dV0
V
zeigt also, da ic tatsachlich als 0.te Komponente eines Vierer-Vektors angesehen werden
kann. Weiter ist mit (18.33)
j1 = v
(18.36)
in U bereinstimmung mit der Denition der (gewohnlichen) Stromdichte; die Komponenten
von j sind also tatsachlich die 1,2,3-Komponenten eines Vierer-Vektors.
129
18.4 Vierer-Potential
Um das Transformationsverhalten des Vektorpotentials A und des skalaren Potentials zu nden, arbeiten wir zweckmaigerweise in der Lorentz-Eichung
r A + c12 @@t = 0:
(18.37)
Dann gelten fur A und die inhomogenen Wellengleichungen
(18.38)
2A = 0 j; 2 = :
0
Fuhrt man analog (18.28) ein
(A ) = ( ci ; A);
(18.39)
so kann man zusammenfassen zu
2A = 0 j ;
(18.40)
wenn man benutzt:
00 = c 2:
(18.41)
Da auf der rechten Seite von (18.40) die Komponenten eines Vierer-Vektors stehen und
der Dierentialoperator 2 nach (18.23) ein Vierer-Skalar ist, erweisen sich die A als
Komponenten eines Vierer-Vektors.
Die Lorentz-Konvention (18.37) schreibt sich nun als:
X @
A = 0
(18.42)
@x
und ist gema (18.21) Lorentz-invariant.
Ergebnis:
Die Gleichungen (18.29) und (18.42) sind Lorentz-invariant, d.h. sie andern sich nicht
beim U bergang von einem Inertialsystem auf ein anderes. Wenn in X @
X @
j
A = 0
(18.43)
= 0;
@x
@x
gilt, so auch in 0 :
X @ 0
X @ 0
j
=
0;
A = 0:
@x0
@x0
(18.44)
2A0 = 0 j0 ;
(18.45)
Die 4 Gleichungen (18.40) sind kovariant, denn aus (18.40) in folgt fur 0
da:
X
a 2A = 2
X
a A = 2A0 = 0
130
X
a j = 0 j0 :
(18.46)
18.5 Ebene Wellen
Eine ebene Welle im Vakuum sei beschrieben in einem Inertialsystem durch
(0)
A = A(0)
exp(i(k r !t)) = A exp(i
mit den Abkurzungen:
X
kx )
(18.47)
k0 = i !c ; k1 = kx; k2 = ky ; k3 = kz :
(18.48)
2A = 0
(18.49)
Wegen der Kovarianz der homogenen Wellengleichung
entsteht aus (18.47) in einem anderen System 0 wieder eine ebene Welle gema (18.18):
A0(x0 ) =
X
a A (x ) =
X
X
a A(0)
exp(i
Die Phase der Welle mu also invariant sein:
X
kx =
X
kx) = A0 (0) exp(i
k0 x0
X
k0 x0 ):
(18.50)
(18.51)
wie im Fall einer punktformigen Erregung, deren Wellenfronten in jedem Inertialsystem
Kugelachen sind, die sich mit der Geschwindigkeit c fortpanzen.
Da (18.51) die Form eines (invarianten) Skalarproduktes hat, sind k die Komponenten
eines Vierer-Vektors. Sie transformieren sich unter einer Lorentz-Transformation der Form
(18.7) wie:
(18.52)
kx0 = (kx cv2 !); ky0 = ky ; kz0 = kz ;
!0 = (! vkx):
(18.53)
Benutzt man die Dispersionsrelation
! = c = !0
(18.54)
k
k0
und bezeichnet man mit und 0 die Winkel, die k und k0 mit der Richtung von v (der
x-Richtung im Fall von (18.17)) bilden, so wird:
!0 = !(1 cos )
und
(18.55)
(18.56)
cos 0 = k0 (cos ) = cos :
k
1 cos Gleichung (18.55) beschreibt den Doppler-Eekt, der auer dem longitudinalen Effekt,
!0 = ! p1 2 !(1 )
(18.57)
1 131
fur 1 und = 0; , auch noch einen transversalen Eekt beinhaltet,
!0 = p1 ! 2
(18.58)
fur = =2, der ein typisch relativistisches Phanomen ist. Er wurde (1938) bei der
Untersuchung der Strahlung bewegter Wasserstoatome nachgewiesen. Bekanntestes Beispiel fur den longitudinalen Eekt ist die Rotverschiebung des Lichts weit entfernter
Galaxien, welche zeigt, da diese Galaxien sich von uns wegbewegen.
18.6 Transformation der Felder E und B
Kennt man A und , so lassen sich die Felder E und B aus
B = r A; E = r @@tA
(18.59)
berechnen. Wir wollen nun (18.59) auf die Koordinaten x und die Komponenten des
Vierer-Potentials A umschreiben. Es wird z. B.:
i E = @A1 @A0 ; B = @A3 @A2 :
(18.60)
1 @x
c 1 @x0 @x1
2 @x3
Gleichung (18.60) legt nahe, folgende antisymmetrische 44 Matrix einzufuhren:
@A
(18.61)
F = @A
@x @x = F :
Sie hat genau 6 unabhangige Elemente, fur die man gema (18.59), (18.60) ndet:
00
1
iE
1 ci E2 ci E3
c
B i E1 0
B2 C
CC :
3
F = B
B@ ci E B B
(18.62)
B1 A
3 0
ci 2
B1 0
c E 3 B2
Die Matrix (18.61) ist ein Lorentz-Tensor 2. Stufe, denn:
X
X
@A
F0 = a af @A
g
= a a F:
(18.63)
@x @x
Damit kennen wir auch das Transformationsverhalten der Felder E und B. Fur die spezielle Transformation (18.7) ndet man aus (18.63) und (18.62)
(18.64)
Ex0 = Ex; Bx0 = Bx; Ey0 = (Ey vBz ); By0 = (By + cv2 Ez );
Ez0 = (Ez + vBy ); Bz0 = (Bz cv2 Ey ):
Allgemein gilt, da die Parallel-Komponenten (zur Richtung von v) erhalten bleiben:
E0k = Ek; B0k = Bk;
(18.65)
132
wahrend die Transversal-Komponenten sich andern gema :
Die Umkehrung
E0? = (E? + (v B)); B0? = (B? c12 (v E)):
(18.66)
E? = (E0? (v B0)); B? = (B0? + c12 (v E0))
(18.67)
erhalt man analog dem Fall der Koordinatentransformationen. Die Gleichungen (18.66),
(18.67) zeigen die zwangslauge Verknupfung der Felder E und B zum elektromagnetischen Feld (vgl. Kap. 0.4).
18.7 Das Coulomb-Feld
Das Feld einer in 0 ruhenden Punktladung q ist:
0
E0(r0) = 4q rr03 ; B0(r0) = 0:
(18.68)
0
Nach (18.65), (18.67) wird daraus in einem gegenuber 0 mit der Geschwindigkeit v =
(v; 0; 0) bewegten System :
x0 ; y0; z0
q
Ex = Ex0 = 4
0 ( 2 (x
q
Ey = Ey0 = 4
0 ( 2 (x
q
Ez = Ez0 = 4
( 2 (x
0
(x vt)
vt)2 + y2 + z2 )3=2 ;
y
2
vt) + y2 + z2 )3=2 ;
z
2
vt) + y2 + z2 )3=2 :
(18.69)
Dabei wurden
explizit nach Lorentz-Transformation als Funktion von x; y; z geschrieben. Das Feld erscheint in wie in 0 als Zentralfeld; in ist es jedoch nicht mehr
isotrop, da der Faktor 2 unter der Wurzel in (18.69) die x-Richtung gegenuber der yund z-Richtung auszeichnet. Nach (18.67) sieht der Beobachter in ein Magnetfeld:
(18.70)
B = c12 (v E);
da sich fur ihn die Ladung q bewegt, also einen Strom reprasentiert. Zur Veranschaulichung
von (18.69) und (18.70) betrachten wir den Grenzfall 1:
i) Nahe der x-Achse (y; z 0; x vt 6= 0) wird
1 ;
q
Ex 12 4
(18.71)
0 (x vt)2
was gegenuber dem statischen Feld eine Reduktion der Feldstarke um den Faktor 2
bedeutet.
133
ii) In der zur y z-Ebene parallelen Ebene durch q wird:
Ey = (y2 +yz2 )3=2 ; Ez = (y2 +zz2 )3=2 ;
(18.72)
was gegenuber dem statischen Feld eine Verstarkung um den Faktor bedeutet. Die (radial gerichteten) Feldlinien sind also im Vergleich zum statischen Feld in Bewegungsrichtung
verdunnt, senkrecht dazu verdichtet.
Fur ! 1 (ultra-relativistischer Fall) wird E ? B, so da mit (18.70) die Feldlinien
des B-Feldes konzentrisch um q in der y z-Ebene verlaufen.
Zusammenfassung:
Die Grundgleichungen der Elektrodynamik sind kovariant bzgl. Lorentz-Transformationen,
haben also in jedem Inertialsystem die gleiche Form. Sie genugen damit dem Einstein'schen
Relativitatsprinzip.
134
Kapitel 19
Relativistische Mechanik
Die Newton'schen Bewegungsgleichungen sind invariant unter Galilei- Transformationen,
nicht jedoch unter Lorentz-Transformationen. Das Relativitatsprinzip verlangt daher eine
Modikation der Newton'schen Gleichungen, und zwar derart, da bei Geschwindigkeiten
v c die Newton'schen Gleichungen gultig bleiben.
19.1 Impuls und Energie
Wir betrachten zunachst ein freies Teilchen. Seinen Newton'schen Impuls
p = m0 ddtr
(19.1)
erweitern wir zu einem Vierer-Impuls, dessen Komponenten gegeben sind durch
(19.2)
p = m0 dx
d ;
wobei die Eigenzeit des Teilchens in seinem Ruhsystem ist, m0 die Ruhmasse. Die
Eigenzeit hangt mit der Zeit t im System , auf das sich die Koordinaten x beziehen,
wie folgt zusammen:
2
v
t = ; = (1 c2 ) 1=2 = (v):
(19.3)
Fur v c wird ! 1 und die raumlichen Komponenten von (19.2) gehen in (19.1) uber.
Zur Deutung der ad hoc eingefuhrten 0. Komponente in (19.2),
0 = i m c2
(19.4)
p0 = m0 dx
d c 0
beachten wir, da die p einen Vierer-Vektor bilden, da m0 und Invarianten sind. Die
Lange eines Vierer-Vektors ist jedoch nach Kap. 18 eine Lorentz-Invariante:
X 2
p = const = m20 c2;
135
(19.5)
wobei man die rechte Seite von (19.5) wie folgt erhalt: Fur die raumlichen Komponenten
ist
X
p2 = p2i = m20 2 v2;
(19.6)
i
wobei v der Betrag der Geschwindigkeit v des Teilchens ist. Weiter ist
so da in der Tat
p20 = m20 2 c2;
(19.7)
X 2
p = m20c2 ( 2 2 2) = m20 c2:
(19.8)
2
m0 c2 = m0 c2 (1 + 2 ) = m0 c2 + 12 m0 v2 + (19.9)
Zur Deutung von p0 entwickeln wir (v) fur v c:
Da der 2. Term rechts gerade die nichtrelativistische (kinetische) Energie des Teilchens
ist, liegt es nahe
= m0 (v)c2 = m(v)c2
(19.10)
als Energie des freien Teilchens zu deuten, den Anteil
0 = m0 c2
(19.11)
als seine Ruhenergie. Es ist dann
T = 0
(19.12)
seine relativistische kinetische Energie. Gleichung (19.8) kann dann als relativistische
Energie-Impuls-Beziehung geschrieben werden:
2 = c2 (p2 + m20 c2)
(19.13)
und der Vierer-Vektor (19.2) hat die Komponenten
(19.14)
( ci ; p1; p2 ; p3):
 quivalenz von Energie und Masse ist durch eine Vielfalt
Die in (19.10) behauptete A
von Experimenten bestatigt worden. Wir geben hier einige reprasentative Beispiele:
1.) Bindungsenergien von Atomen und Kernen
Fur das Deuteron entspricht die Massendierenz
einer Energie
m = mp + mn md 3:5 10 27g
(19.15)
d = m c2 2:2MeV;
(19.16)
136
welche gerade die Bindungsenergie des Deuterons ist. In Atomen ist die Bindungsenergie
um Groenordnungen geringer: aus
mp + me mH 2:4 10 32g
(19.17)
H 13:5eV:
(19.18)
folgt fur die Bindungsenergie
2.) Energieerzeugung in Sternen
Eine der wesentlichen Reaktionen der Energieerzeugung in Sternen ist die Verbrennung von Wassersto (H ) zu Helium (4 He). Dabei werden pro Elementarproze entsprechend der Massenbilanz
4mp + 2me m4 He 0:5 10 25g
(19.19)
etwa 25 MeV frei.
3.) Paar-Erzeugung und Vernichtung
Bei der Kollision von Elektronen mit Positronen konnen hochenergetische -Quanten
entstehen,
e+ + e ! 2;
(19.20)
wobei die Enrgie-Impuls-Bilanz das Auftreten von 2 -Quanten erfordert. Umgekehrt kann
ein -Quant ( 1.02 MeV 2mec2 ) in ein Elektron-Positron-Paar ubergehen,
! e+ + e ;
(19.21)
wenn ein weiteres Teilchen (z.B. ein Atomkern) fur den Impulsausgleich sorgt.
Das Newton'sche Tragheitsgesetz, wonach
p = const
(19.22)
fur ein freies Teilchen gilt, verallgemeinern wir auf
p = const; = 0; 1; 2; 3;
(19.23)
fordern also zugleich mit der Erhaltung der raumlichen Komponenten auch die Konstanz
der 0. Komponente, der Energie .
Die Verallgemeinerung (19.23) von (19.22) folgt zwingend aus dem Transformationsverhalten der p . Da sie die Komponenten eines Vierer-Vektors sind, gilt bei einer LorentzTransformation:
= (v)(0 + vp0x); px = (v)(p0x + cv2 0 ); py = p0y ; pz = p0z :
(19.24)
Die Vermischung von Raum- und Zeit-Komponenten fuhrt also dazu, da Impuls- und
Energie-Erhaltung nur simultan moglich sind.
Das Ruhsystem eines Teilchens (0 ) denieren wir durch:
0 = m0c2 ; p0x = p0y = p0z = 0;
137
(19.25)
dann gilt nach (19.24) in einem anderen Inertialsystem :
= (v)0 = m0c2 = m(v)c2; px = (v) cv2 0 = m(v)v; py = pz = 0:
(19.26)
Bemerkung:
Fur Teilchen mit m0 = 0 wie ein Photon ist ein Ruhsystem nicht denierbar, da dann
nach (19.25), (19.26) in jedem Inertialsystem p = 0, = 0; 1; 2; 3 ware und man nicht
sinnvoll von einem Teilchen sprechen konnte.
19.2 Stoprobleme
Zur relativistischen Beschreibung von Stoprozessen denieren wir Energie und Impuls
fur N Teilchen:
N
N
X
X
(19.27)
P = pi; = i;
i=1
i=1
wobei pi die raumlichen Komponenten des relativen Impulses von Teilchen i, i seine
Energie gema (19.10 ist.
Wir betrachten den Sto zweier Teilchen
1 + 2 ! 3 + 4;
(19.28)
wobei 1; 2 die Teilchen vor dem Sto , 3; 4 nach dem Sto bezeichnen moge. Da asymptotisch (vor und nach dem Sto ) freie Teilchen vorliegen, mu die Impulserhaltung gelten:
p1 + p2 p3 p4 = 0:
(19.29)
Wenn aber die 3 raumlichen Komponenten eines Vierer-Vektors verschwinden, so mu
nach (19.24) auch die 0. Komponente verschwinden,
1 + 2 3 4 = 0;
(19.30)
also Energieerhaltung gelten, damit die Aussage der Impulserhaltung in jedem Inertialsystem gilt. Energie- und Impulssatz konnen als Lorentz-invariante Aussagen nur simultan
gelten!
Beispiel: Compton-Eekt
Wir untersuchen die Streuung eines Photons an einem freien, anfangs ruhenden Elektron. Die Energie des Photons hangt mit der Frequenz der Lichtwelle zusammen gema
= h !;
(19.31)
wobei h 197 MeV fm/c die Planck'sche Konstante ist. Dann folgt fur den Impulsbetrag
nach (19.13)
p = c = hc! = 2h = h k;
(19.32)
da das Photon keine Ruhemasse hat.
138
Nach Energie- und Impulssatz gilt dann:
P = h (k k0 )
(19.33)
und
q
c p2 + m20 c2 m0 c2 = h (! !0)
(19.34)
fur die kinetische Energie des Elektrons nach dem Sto . Wir quadrieren beide Gleichungen
P 2 = h 2 (k2 2kk0 cos + k02 );
(19.35)
sowie
(19.36)
P 2 + m20 c2 = m20 c2 + h 2 (k k0)2 + 2m0h c(k k0);
und bilden die Dierenz:
( 10 1 ) = h (1 cos ):
(19.37)
k k m0c
Wir erhalten die A nderung der Wellenzahl des Lichts in Abhangigkeit von Streuwinkel .
Die experimentelle Bestatigung von (19.37) ist eine wichtige Stutze fur die Beschreibung
einer Lichtwelle durch Photonen, masselose Teilchen, deren Energie und Impuls durch
(19.31), (19.32) deniert sind.
19.3 Bewegungsgleichungen
In Verallgemeinerung der Newton'schen Kraft-Denition fuhren wir im Minkowski-Raum
eine Vierer-Kraft ein durch ihre Komponenten:
(19.38)
K = dpd = (v) dpdt :
Dabei ist d im momentanen Ruhsystem des Teilchens als dierenzielle Eigenzeit erklart. Die Raum-Komponenten von (19.38) ergeben die relativistische Verallgemeinerung
der Newton'schen Bewegungsgleichungen:
dp = 1K~ = K;
(19.39)
dt
wobei K z. B. fur die Lorentz-Kraft (6.32) steht. Mit (19.6) konnen wir auch schreiben:
d (m (v )v ) = K;
(19.40)
dt 0
139
woraus fur v c, ! 1 gerade die nichtrelativistische Bewegungsgleichung entsteht:
m0 ddtv = m0 b = K:
(19.41)
Gleichung (19.40) hat zwei Interpretationsmoglichkeiten:
i) Man behalt die nichtrelativistische Geschwindigkeit v bei und akzeptiert eine geschwindigkeitsabhangige Masse,
d (m(v)v) = K;
(19.42)
dt
mit
m(v) = (v) m0;
(19.43)
oder
ii) man arbeitet stets mit der Ruhmasse m0 , einer Lorentz-invarianten Groe, und modiziert die Denition der Geschwindigkeit:
m0 ddtu = K
(19.44)
mit der modizierten Geschwindigkeit
u = (v ) v :
(19.45)
Die Gleichungen (19.42) und (19.43) zeigen, da Teilchen der Ruhemasse m0 6= 0 die
Geschwindigkeit v = c nicht erreichen konnen, da wegen
m(v) ! 1
(19.46)
fur v ! c dazu eine 1-groe Energie notig ware.
Zur Diskussion der Komponente K0 benutzen wir:
X
X
Kp = 12 dd ( p2 ) = 0
(19.47)
wegen (19.5), woraus
oder mit (19.2), (19.4)
3
X
i=1
Kipi = K0 p0
K0 = ci K~ v = ci (v) K v:
(19.48)
(19.49)
Da K v die von der Kraft K am Teilchen pro Zeiteinheit geleistete Arbeit ist, konnen
wir auch schreiben
K0 = ci (v) d
(19.50)
dt
oder
(19.51)
K0 = (v) 1K0 = ci d
dt
wie nach (19.14) zu erwarten war. Die Gleichungen (19.49) und (19.50) bestatigen noch
 quivalenz von Energie und Masse.
einmal unsere Vorstellung von der A
140
19.4 Lorentz-Transformation der Kraft
Da K die Komponenten eines Vierer-Vektors sind, gilt fur die Transformation vom momentanen Ruhsystem auf ein anderes Inertialsystem 0 mit der speziellen Transformation (18.7):
(19.52)
K10 = (v)(K1 + ci K0) = (v)K1; K20 = K2; K30 = K3;
da in als momentanem Ruhsystem K0 = 0 gema (19.49) ist. Kurz formuliert:
K~ ?0 = K~ ?; K~ k0 = (v) K~ k :
(19.53)
Wegen (19.39) gilt dann umgekehrt
q
K0? = 1 v2=c2 K?; K0k = Kk;
(19.54)
da im momentanen Ruhsystem gilt
(v) = (0) = 1:
(19.55)
19.5 Lorentz-Kraft
Wir wollen nun prufen, ob die fur die Praxis auerst wichtige Lorentz-Kraft der Forderung
der Kovarianz genugt, ob also
dp = q(E + (v B)) = K
(19.56)
dt
in jedem Inertialsystem als Bewegungsgleichung eines Teilchens mit Masse m0, Impuls
m0(v) v benutzt werden darf. Wir erganzen dazu (19.56) im Hinblick auf (19.51) durch
d = K v = qE v;
(19.57)
dt
und schreiben (19.56), (19.57) auf den Vierer-Formalismus um:
dp = q X F v
(19.58)
dt
mit F aus (18.62) und
(19.59)
(v ) = ( dx
dt ) = (ic; v):
Gleichung (19.58) ist noch nicht in kovarianter Form. Dies erreicht man aber durch Multiplikation mit (v):
q XF p :
dpdt = dp
=
(19.60)
d m
0 Die Groen q; m0; sind Lorentz-invariant, der Rest transformiert sich auf beiden Seiten
wie Vierer-Vektoren, denn einerseits ist:
141
andererseits:
Ergebnis:
dp0 X dp
d = a d ;
X
(19.61)
X
a ( a a )F p
;;
X
X
X X
= a Fp = a F p = a F p :
;;
F0 p0 =
X
;
(19.62)
Wir haben die Grundbegrie und Grundgleichungen der Newton'schen Mechanik fur die
relativistische Mechanik erweitert derart, da
i) die Newton'sche Mechanik im Grenzfall v c enthalten ist,
ii) die modizierten Grundgleichungen kovariant bzgl. Lorentz-Transformationen sind.
Dabei blieb die Lorentz-Kraft (19.56) als Bindeglied zwischen Mechanik und Elektrodynamik erhalten. Sie ndet ihre experimentelle Bestatigung z. B. im Funktionieren
moderner Teilchenbeschleuniger. Der Zusammenhang zwischen relativistischer Mechanik
und Elektrodynamik ergibt sich zwangslaug im Rahmen von relativistischen Eichfeldtheorien mit minimaler Kopplung.
142