Vergleich Teilmonopol vs. Monopol - wiwi.uni

 Aufgabe 7: Ermitteln Sie zeichnerisch und rechnerisch das Marktergebnis. Vergleichen Sie das Ergebnis anschließend mit dem Fall des reinen Monopols. Marktnachfragefunktion: ,
Grenzkostenfunktion Teilmonopolist: Grenzkostenfunktion Wettbewerbsrand: Vergleich Teilmonopol vs. Monopol Monopol Teilmonopol Preis 12 > 10 Menge 10 < 12,5 Konsumenten‐
rente 40 < 62,5 Gewinn des Monopolisten 80 > 63 Anwendung der Leibnitz‐Regel zur Herleitung der Ramsey‐Regel (1) Wofür eignet sich die Leibnitz‐Regel? Die Leibnitz‐Regel ist eine „Abkürzung“ bei der Differentiation von Integralen, die von einer Variablen abhängen und differenzierbar sind. ,
Beispiel: Interessant ist nun der Einfluss von s, d.h. die Frage, was passiert, wenn s geringfügig verändert wird. Graphisch lässt sich das noch relativ einfach zeigen: Eine Variation von s wirkt sich demnach an drei Stellen auf das Integral aus. In der Graphik wird s geringfügig erhöht, dadurch verkleinert sich das Integral an der linken und oberen Seite [(2) und (3)] und vergrößert sich auf der rechten Seite (1). Um diese Variation nun konkret auszurechnen, müsste man eigentlich das Integral berechnen und anschließend ableiten. Hier kommt nun die Leibnitz‐Regel als einfacherer und weniger aufwendigerer Lösungsweg ins Spiel: ,
(1) ,
,
(2)
(3)
(2) Beispielhafter Vergleich der Leibnitz‐Regel und des herkömmlichen Lösungswegs ²
Ausgangssituation: 0 a) herkömmlicher Lösungsweg ³
Zuerst muss das Integral berechnet werden: 2
5
216
27
² b) Anwendung der Leibnitz‐Regel ,
einsetzen, umformen, ausrechnen: 5
5
36 ² 5
9 ² 2
180 ²
18 ²
164 ²
5
164 ²
36 ²
² 2
2
2
2
1
2
5
2
2
9 ² 2
² ³ 3
Jetzt ableiten: ,
6
63 ³ ,
(3) Welche Relevanz hat die Leibnitz‐Regel bei der Herleitung der Ramsey‐Preis‐Regel? Mit der Ramsey‐Preis‐Regel soll eine wohlfahrtsoptimale Preissetzung im natürlichen Monopol erreicht werden. Die Wohlfahrtsoptimalität bezieht sich dabei darauf, bei Durchschnittskostenpreissetzung den geringsten Verlust an Konsumentenrente (über alle Konsumentengruppen!) zu erreichen. Oder andersherum formuliert, Ziel ist die über alle Konsumentengruppen maximale Konsumentenrente nach den Preisaufschlägen. Dieses Vorhaben lässt sich in eine Zielfunktion bringen: ,
! Die Vorgabe der Durchschnittskostenpreissetzung wird über eine Nebenbedingung abgebildet (es wird gefordert, dass der Gewinn null sein muss): ,
,
0 Dieses Maximierungsproblem lässt sich über den Lagrange‐Ansatz lösen. Die Lagrange‐
Funktion lautet: ,
,
Statt s sind nun P1 und P2 die Variablen (vgl. obige Zielfunktion), deren Einfluss man herausfinden möchte. Ansonsten gibt es aber keine Unterschiede, weshalb man nun auch hier zur Lösung die Leibnitz‐Regel als „Abkürzung“ anwenden kann. (4) Herleitung der Ramsey‐Preis‐Regel (analog zum Skript S.16/17) Modellcharakteristika Ö Öffentliches Unternehmen produziert 2 Güter, wobei gilt ,
Ö Subadditivität der Kosten, es handelt sich um ein natürliches Monopol Ö Die Nachfrage ist durch bzw. spezifiziert Ö Gewinnfunktion des Unternehmens ,
,
Modellansatz („Maximale Wohlfahrt bei kostenneutralen Preisen!“) ,
Zielfunktion: ,
Nebenbedingung: ,
Lagrangefunktion: gesucht: ,
,
,
,
,
,
Modellcharakteristika: Nachfrage gegeben durch Berücksichtigung der Preiselastizität der Nachfrage Die Rechnung bis hier gilt analog für die zweite Gleichung Gleichungen dividieren ergibt die Ramsey‐Preis‐Regel Der Preisaufschlag auf die Grenzkostenpreise sollte also dem umgekehrten Verhältnis der jeweiligen Preiselastizitäten entsprechen.