8 Quadratische Reziprozität

8 QUADRATISCHE REZIPROZITÄT
8
8.1
1
Quadratische Reziprozität
Das Legendre-Symbol
Sei N ∈ N.
Definition 8.1 Eine Zahl a ∈ Z heißt quadratischer Rest modulo N genau dann,
wenn es ein x ∈ Z gibt mit x2 ≡ a (mod N ). Ansonsten heißt a quadratischer
Nicht-Rest.
Lemma 8.2 Sei N = pn1 1 · . . . · pnk k die Primfaktorzerlegung von N . Dann gelten:
(a) Gilt a ≡ a0 (mod N ), so sind beides quadratische Reste oder quadratische NichtReste modulo N .
(b) a ist quadratischer Rest modulo N genau dann, wenn a quadratischer Rest modulo pni i ist für i = 1, . . . , k.
(c) Für p > 2 und a teilerfremd zu p ist a ein quadratischer Rest modulo pn genau
dann, wenn a quadratischer Rest modulo p ist.
(d) Für p = 2 und a ungerade ist a quadratischer Rest modulo 2n genau dann, wenn
gilt 2n = 2, oder 2n = 4 und a ≡ 1 (mod 4), oder 8|2n und a ≡ 1 (mod 8).
Definition 8.3
Primzahl p als


 1
a
:=
0

p
 −1
Definiere das Legendre-Symbol von a ∈ Z bezüglich der ungeraden
falls a quadratischer Rest modulo p und kein Vielfaches von p ist
falls p|a
sonst.
Satz 8.4 (Euler) Für a, p wie oben gilt
a
p
≡ a(p−1)/2 (mod p).
Korollar 8.5 Das Legendre-Symbol induziert
einen Gruppenomomorphismus
a
∗
∗
ρ : (Z/(p)) → Z mit ρ(a + pZ) := p und es gelten:
(a)
(b)
ab
p
a
p
=
=
a
· pb .
p
b
p
für a ≡ b (mod p).
8 QUADRATISCHE REZIPROZITÄT
8.2
2
Gauss’sche Summen
Seien p eine ungerade Primzahl und α = e2πi/p ∈ C. α ist eine primitive p-te Einheitswurzel, d.h. αp = 1 und jede andere Lösung der Gleichung z p = 1 ist eine Potenz von
α. Sei Z[α] der Ring aller Polynome in α mit ganzzahligen Koeffizienten.
Lemma 8.6 Sei r ∈ N, so dass β := αr 6= 1 ist. Dann gilt
p−1
X
β k = 0.
k=0
Definition 8.7 Sei p eine ungerade Primzahl. Dann heißt
S(p) :=
p−1 X
k
k=1
p
αk ∈ Z[α].
Gauß’sche Summe.
Satz 8.8 Seien p 6= q ungerade Primzahlen. Dann gelten:
(a) S(p)2 = −1
· p.
p
(b) S(p)q ≡
8.3
q
p
· S(p) (mod q · Z[α]) .
Das Gauss’sche Reziprozitätsgesetz
Sei 1 + 2Z die Menge aller ungeraden Zahlen. Wir definieren die Funktionen ε, ω :
1 + 2Z → {0, 1} durch
(
0 falls n ≡ 1 (mod 4)
ε(n) :=
1 falls n ≡ 3 (mod 4)
(
ω(n) :=
0 falls n ≡ ±1
1 falls n ≡ ±5
(mod 8)
(mod 8)
Lemma 8.9 Es gilt ε(n) ≡ (n−1)/2 (mod 2) und ω(n) ≡ (n2 −1)/8 (mod 2). Ferner
definieren die Abbildungen ε und ω folgende Gruppenhomomorphismen
ε : (Z/(4))∗ → Z/(2) und
ω : (Z/(8))∗ → Z/(2)
mit ε(a + 4Z) := ε(a) + 2Z und ω(a + 8Z) := ω(a) + 2Z.
Satz 8.10 (Quadratisches Rezipozitätsgesetz (Gauss)) Für ungerade Primzahlen p, q gelten
8 QUADRATISCHE REZIPROZITÄT
(a)
(b)
(c)
8.4
−1
p
2
p
q
p
3
= (−1)ε(p) .
= (−1)ω(p) .
=
p
q
(−1)ε(p)ε(q) .
Das Jacobi Symbol
Definition 8.11 Für eine ungerade Zahl m ≥ 3 mit Primfaktorzerlegung p1 · . . . · pk
(mit nicht notwendig verschiedenen pi ) und a ∈ Z definiert man das Jacobi-Symbol
a
m
:=
k Y
a
i=1
pi
.
Satz 8.12 Seien m, k ≥ 3 ungerade. Dann gelten:
−1
(a) (Erster Ergänzungssatz)
= (−1)ε(m) .
m
2
(b) (Zweiter Ergänzungssatz)
= (−1)ω(m) .
m
k
m
(c) (Reziprozitätsgesetz)
(−1)ε(k)ε(m) .
=
m
k