Übungen zur Vorlesung Mathematische

Übungen
zur Vorlesung
Mathematische Rechenmethoden I
Prof. Dr. Haye Hinrichsen, WS 16/17
MUSTERLÖSUNGEN
Aufgabe 3 Gleichungen mit komplexen Zahlen (2 Punkte)
Lösen Sie die folgenden vier Gleichungen in kartesischer oder polarer Darstellung:
√
z + 3 + 2i
z = (2 + 3i)z̄ ,
z = iz̄ ,
=i+3
17z = 1 − z̄ ,
3z − 2
Lösungsvorschlag für Aufgabe 3:
(1)
√
Ansatz: z = reiφ , (2 + 3i) = 13 ei arctan (3/2)
√
⇒ eiφ = 13 ei arctan (3/2) · r e−iφ
√
⇔ r · ei (2φ − arctan (3/2)) = r · 13
√
⇒ Da | 13| > 1 besitzt diese Gleichung nur die Lösung r = 0
⇒ z=0
(2)
Ansatz: z = reiφ , i = ei (π/2+2πn) (n ∈ Z)
⇒ reiφ = ei(π/2+2πn) · re−iφ
⇔ r · ei 2φ = r · ei(π/2+2πn)
⇒ Polare Darstellung: z = rei (π/4 + πn)
∀r ≥ 0, n ∈ Z
⇒ Kartesische Darstellung: z = x + ix ∀x ∈ R
(3)
Ansatz: z = a + ib
√
⇒ 17 · (a + ib) = 1 − (a − ib)
√
√
⇔ 17a + i 17b = (1 − a) + ib
√
⇔ Im: 17b = b ⇒ b = 0
√
1
⇔ Re: 17a = 1 − a ⇒ a = 1+√
=
17
√
⇒ z=
(4)
√
17−1
16
17−1
16
Ansatz: z = a + ib
⇒
(a+ib)+3+2i
3(a+ib)−2
=i+3
⇔ (a + 3) + i(b + 2) = (i + 3)((3a − 2) + i 3b) = (9a − 3b − 6) + i(3a + 9b − 2)
⇔ Re: a + 3 = 9a − 3b − 6 ⇒ b =
⇔ Im: b + 2 = 3a + 9b − 2 ⇒ a =
⇒ z=
84
73
+
5
73 i
8a−9
3
4−8b
3
Aufgabe 4 Wurzeln mit komplexen Zahlen (2 Punkte)
(a) Bestimmen Sie alle Wurzeln von
√
5
3 sowie von (2 + i)1/3 .
(b) Lösen Sie die Gleichungen z 2 − (3 + i)z + 2 = 0 und z 3 + (1 − i)z 2 − (7 − 3i)z = 0.
Lösungsvorschlag für Aufgabe 4:
(a)
Gesucht: Lösung der Gleichung z 5 = 3
3 = 3 · 1 = 3 · ei 2πn n ∈ Z
√
2
⇒ zn = 5 3 · ei 5 πn n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
√
wobei 5 3 ∈ R ist.
Gesucht: Lösung der Gleichung z 3 = 2 + i
√
2 + i = 5 · ei (arctan(1/2)+ 2πn) n ∈ Z
√
arctan(1/2)+ 2πn
3
⇒ zn = 6 5 · ei
n ∈ {0, 1, 2}
√
wobei 6 5 ∈ R ist.
(b)
z 2 − (3 + i)z + 2 = 0
√
(3+i)± (3+i)2 −4·2
⇒ z1,2 =
2
p
√
Mit (3 + i)2 − 8 = 3(1 + i) folgt:
√
z1,2 = 12 (3 + i) ± 3(1 + i)
z 3 + (1 − i)z 2 − (7 − 3i)z = 0
⇒ Erste Lösung: z1 = 0
z 2 + (1 − i)z − (7 − 3i) = 0
√
(−1+i)± (1−i)2 +4·(7−3i)
⇒ z2,3 =
2
√
1
⇒ z2,3 = 2 (i − 1) ± 28 − 14i
Aufgabe 5 Niveaulinien (2 Punkte)
Bestimmen und zeichnen Sie für die komplexe Funktion f (z) = z 2 die Niveaulinien in der
komplexen Ebene, d.h. die Lösungen der drei Gleichungen
(a) |f (z)| = c
(b) Re(f (z)) = c
für c = 1, 2, 3.
(d) Wiederholen Sie (a-c) mit f (z) = z 2 eiπ/8 .
(c) Im(f (z)) = c
Lösungsvorschlag für Aufgabe 5:
(a-c) Ansatz: z = x + iy ⇒ f1 (z) = (x2 − y 2 ) + i 2xy
p
p
!
(x2 − y 2 )2 + 4x2 y 2 = x4 + y 4 + 2x2 y 2 = x2 + y 2 = c
√
⇒ Gleichung eines Kreises mit Radius c
(a)
|f1 (z)| =
(b)
Re[f1 (z)] = x2 − y 2 = c
√
⇒ y(x) = ± x2 − c
(c)
Im[f1 (z)] = 2xy = c
!
!
⇒ y(x) =
c
2x
Entpricht Gleichung einer Hyperbel
(d) Ansatz: z(r, φ) = reiφ ⇒ f2 (z(r, φ)) = r2 ei (2φ+π/8) = r2 ei 2(φ+π/16)
Vergleiche: f1 (z(r, φ)) = r2 ei 2φ
⇒ Dies entspricht der polaren Dartstellung von f1 mit φ −→ φ + π/16
⇒ Niveaulinien für f2 =
ˆ Niveaulinien von f1 um −π/16 =
ˆ − 11.25◦ rotiert
(a) und (d-a):
(b) und (d-b):
(c) und (d-c):
Aufgabe 6 Komplexe Exponentialfunktion (2 Punkte)
Zeigen Sie anhand der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen, dass die durch
ez = ex+iy := ex (cos y + i sin y)
definierte komplexe Exponentialfunktion die Eigenschaft ez1 ez2 = ez1 +z2 besitzt.
Lösungsvorschlag für Aufgabe 6:
Seien z1 := x1 + iy1 und z2 := x2 + iy2 . Des Weiteren sind die Additionstheoreme
gegeben.
sin(a ± b) = sin(a) cos(b) ± sin(b) cos(a)
(1)
cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sin(a) sin(b)
(2)
Dann folgt
ez1 · ez2 = ex1 (cos(y1 ) + i sin(y1 )) · ex2 (cos(y2 ) + i sin(y2 )) =
= ex1 ex2 · (cos(y1 ) + i sin(y1 ))(cos(y2 ) + i sin(y2 )) =
= ex1 +x2 · [cos(y1 ) cos(y2 ) − sin(y1 ) sin(y2 ) + i (sin(y1 ) cos(y2 ) + sin(y2 ) cos(y1 ))]
|
{z
}
|
{z
}
(??)
(??)
= ex1 +x2 (cos(y1 + y2 ) + i sin(y1 + y2 ))
= e(x1 +x2 )+i(y1 +y2 )
= ez1 +z2