Mathematik für Elektrotechniker Übungsblatt 3

Mathematik für Elektrotechniker
Übungsblatt 3
Prof. Dr. Volker Bach, Dr. Sébastien Breteaux,
Institut für Analysis und Algebra
Ausgabe am 18.04.2013,
Abgabe am 02.05.2013 vor der Vorlesung
Aufgabe 3.1 Rechnen mit komplexen Zahlen in der Form a + i b
Gebe in dieser Übung das Ergebnis in der Form a + i b an, wobei a und b reellen Zahlen sind.
1. Berechne
(a) (−4 + 9i) + (5 − 9i), (7 + 56i) + (6 + 2i),
(b) (7 + 2i) · (−3 + 8i), (6 − 3i) · (7 + 34 i),
3 + i 7 + 2i
(c)
,
,
5 − 2i
6i
−1
(d) (4 − 3i) , (2 − i)−2 .
2. Schreibe exp( π2 i), 2 · exp( 4π
3 i),
5
6
· exp(−i π4 ) jeweils in der Form a + i b.
3. Berechne
(a) i2 , i3 , i4 , i5 , i6 , i7 ,
(b) in für n ∈ N, (Hinweis: Die Fälle mit n ∈ [0]mod 4 , n ∈ [1]mod 4 , n ∈ [2]mod 4 und
n ∈ [3]mod 4 sind unterschiedlich.)
(c) 1 + i + i2 + i3 .
Aufgabe 3.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in der Form ρ · exp(iθ)
Gebe in dieser Übung das Ergebnis in der Form ρ · exp(iθ) an, wobei ρ und θ reelle Zahlen
sind, ρ ∈ [0, ∞) und θ ∈ [0, 2π).
1. Berechne
17
πi), exp(−3πi),
7
4
3
(b) 9 · exp( πi) · 11 · exp( πi),
3
2
3 · exp( 27 πi) 8 · exp( 13 πi)
(c)
,
,
4 · exp( 61 πi) 7 · exp( 49 πi)
−1
−2
4
3
2 6
, 3 · exp( πi)
,
(d) 2 · exp( πi) , 5 · exp(− πi)
3
11
13
(a) exp(
2. Schreibe die folgenden Zahlen in der Form ρ · exp(iθ), wobei ρ ∈ [0, ∞) und θ ∈ [0, 2π).
(a) −1,
(b) −i,
(c) 3 − 3i,
√
(d) −
3
2
− 2i .
(Hinweise: tan π4 = 1, tan π6 =
√1 ,
3
tan π3 =
1
√
3.)
Aufgabe 3.3 Betrag von komplexen Zahlen
1. Berechne
9 · exp( 73 πi) , |(4 + i) + (5 + 2i)|, |(4 + i)| + |(5 + 2i)|,
(a) 5 · exp( 95 πi) 19 4
8π (b) |i|, exp( πi), · exp( i),
11
5
7
1 7 1 7 (c) |7 + 2i|, + i, − i.
4 3
4 3
5 · exp( 5 πi) −1 ,
3
2. Berechne
√
√
√
(a) |(−5 − 2 i) · (−3 − 3 i)|, |(π + 2i) · (4 − πi)|,
1 − i 5i − 4 , .
(b) 3 + 3i 2i + 3 Aufgabe 3.4 Limes berechnen
∞
∞
∞
1. Entscheide ob folgende Folgen (an )∞
n=1 , (bn )n=1 , (cn )n=1 , (dn )n=1 konvergieren und berechne ggf. den Limes.
n2
,
(−2)n
7n5 + 5n
(b) bn := 3
,
n + 8n5
n7 + n3 · (−1)n
,
(c) cn :=
2n18 + 7n16
n5
(d) dn :=
.
(n + 3)3
(a) an :=
Aufgabe 3.5 Wiederholungen
1. Berechne die folgenden Restklassen (Gebe in dieser Frage das Ergebnis in der Form [k]mod p
an, wobei 0 ≤ k ≤ p − 1.)
(a) ([47]mod 8 + [−6]mod 8 ) · [−105]mod 8 ,
(b) [−28]mod 5 · [29]mod 5 + [45]mod 5 .
(c) [321483246593]mod 9 .
2. Beweise mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n ∈ N0 = 0, 1, 2, 3, . . .
[10n ]mod 11 = [(−1)n ]mod 11
gilt.
3. Sei n ∈ N eine natürliche Zahl, die in der Dezimaldarstellung
n = a0 + a1 · 101 + a2 · 102 + a3 · 103 + · · · + aM · 10M ,
aj ∈ 0, 1, . . . , 8, 9
geschrieben ist. Beweise, dass
[n]mod 11 = a0 − a1 + a2 − a3 + · · · + (−1)M −1 · aM −1 + (−1)M · aM mod 11 .
4. Berechne die Komposition von Permutationen
1 2 3 4 5
1
◦
5 4 1 2 3
1
in der Permutationsgruppe S5 .
2
2
3
3
5
4
2
5
4