¨Ubungen zur elementaren Zahlentheorie

I. Bouw
F. Kiraly
08.07.2008
SS 2008
Übungen zur elementaren Zahlentheorie - Bonusblatt
Abgabe bis 24.07.2008 um 10:00
Dieses Blatt dient vorwiegend zur Selbstkontrolle; Personen, die noch nicht genug Punkte für den
Scheinerwerb haben, können mit diesem Blatt zusätzliche Punkte erreichen. Die auf diesem Blatt
erreichbaren Punkte sind sämtlich Bonuspunkte. Das heißt, die Punkte auf diesem Blatt zählen
nicht für die erreichbare Maximalpunktzahl, wohl aber für die erreichten Punkte von 50 Prozent
der anderen Blätter. Das heißt, zum Scheinerwerb werden also insgesamt 105 Punkte aus allen
Blättern (inklusive Bonuspunkten) benötigt. Es werden nur die Blätter derjenigen Personen korrigiert, die noch Punkte benötigen. Da die Aufgaben vollkommen analog zu den in den Übungen
gerechneten Aufgaben sind, wird es keine Übungsstunde für dieses Blatt geben.
Der Schwierigkeitsgrad dieses Blattes ist niedriger angesetzt als die anderen Blätter und ungefähr
das (im Schwierigkeitsgrad, nicht im Umfang), was Sie in der Klausur bzw. in der Zwischenprüfung
erwarten dürfen. Sie dürfen Maple zur Lösung des Blattes benutzen, beachten Sie aber, das Sie
Maple während der Prüfung nicht zur Verfügung haben.
Aufgabe 1: Primfaktorzerlegung (0.5+0.5+0.5+0.5 = 2 P)
Finden Sie die Primfaktorzerlegung der folgenden Zahlen:
(a) 81
(b) 97
(c) 2310
9
(d)
5
Zeigen Sie die Richtigkeit Ihrer Aussage.
Aufgabe 2: Euklidischer Algorithmus (1+1 = 2 P)
Finden Sie ganze Zahlen x, y ∈ Z , sodass xa + yb = ggT(a, b) mit
(a) a = 462, b = 1105
(b) a = 462, b = 715
Aufgabe 3: Teilbarkeit (0.5+0.5+0.5+0.5 = 2 P)
Beweisen Sie oder widerlegen Sie folgende Aussagen für ganze Zahlen n, a, b :
(a) n 6 |a und n 6 |b ⇒ n 6 |a + b
(b) n 6 |a ⇒ n 6 |b oder n 6 |a − b
(c) n 6 |a ⇒ n 6 |ab
(d) ggT(a, b) | kgV(a, b)
Aufgabe 4: Lineare Kongruenzen (0.5+0.5+0.5+0.5+0.5+1 = 3.5 P)
Bestimmen Sie die Lösungmenge folgender Gleichungen in x ( x ∈ Z ).
(a) 3x ≡ 5 mod 11
(b) 9x + 3 ≡ 9 mod 27
(c) 4x + 4 ≡ 3x − 11 mod 15
(d) 2x ≡ 6x − 2 mod 23
(e) 5x ≡ 25 mod 42
(f) 144x ≡ 169 mod 385
Aufgabe 5: Ganzzahlige (Un)gleichungen (0.5+0.5 = 2 P)
Bestimmen Sie die Lösungsmenge in (a, b) ∈ Z2 .
(a) a ≥ 0, b ≥ 0 , 5a + 7b ≤ 123
(b) a ≥ 5, b ≥ 2 , 6a + 8b = 246
Aufgabe 6: Datumsformel (0.5+0.5+1 = 2 P)
Berechnen Sie mit der Datumsformel die Wochentage folgender Daten nach dem Gregorianischen
Kalender:
(a) 12.12.2012
(b) 07.07.12345
(c) Berechnen Sie alle Freitage die 13. im Jahre 1914.
Aufgabe 7: Exponentiation modulo n (0.5+0.5+1 = 2 P)
Berechnen Sie folgende Restklassen:
(a) 21234 mod 11
(b) 11111 mod 119
25
(c) 2525 mod 42
Aufgabe 8: Lineare Gleichungssysteme (1+1+0.5 = 2.5 P)
Berechnen Sie die Lösungsmengen in x ∈ Z folgender Gleichungssysteme
(a) x ≡ n mod n + 1 für n = 1 . . . 5 und
x ≡ 0 mod 7
(b) x ≡
p−1
2
mod p für alle Primzahlen p zwischen 2.5 und 12
(c) x ≡ 1 mod 2
x ≡ 2 mod 3
x ≡ 3 mod 4
x ≡ 2 mod 5
x ≡ 4 mod 6
Aufgabe 9: Die Eulersche ϕ -Funktion (0.5+0.5+0.5+0.5 = 2 P)
(a) Berechnen Sie ϕ(945) .
(b) Gibt es ein n mit ϕ(n) ≥ N ? Begründen Sie.
(c) Für welche n ist ϕ(n) = n − 1 ?
(d) Wieviele zu 945 teilerfremde ganze Zahlen gibt es? Wieviele gibt es zwischen 0 und 945 ?
Aufgabe 10: Kryptographie (1+1+1 = 3 P)
Nehmen Sie als Nachricht sechs beliebige Buchstaben ihres Namens und codieren Sie sie wie gehabt (A=0, B=1, . . . Z=25, Ä=26, Ö=27, Ü=28). Sei a die Zahl zum zweiten Buchstaben Ihres
Nachnamens, b die Zahl zum dritten.
(a) Verschlüsseln Sie die Nachricht mit der affinen Chiffre ( a, b ) modulo 29 und entschlüsseln
Sie Sie wieder.
(b) Verschlüsseln Sie die Nachricht mit der RSA-Chiffre ( 2a , 35 ) und entschlüsseln Sie Sie wieder.
(c) Verschlüsseln Sie die Nachricht mit dem ElGamal-Kryptosystem und entschlüsseln Sie Sie
wieder. Verwenden Sie als Primitivwurzel g = 2 und a und b als Zufallszahlen.
Aufgabe 11: Pseudoprimzahlen (0.5+0.5+0.5+0.5+1 = 3 P)
Zeigen Sie:
(a) 91 ist Pseudoprimzahl zur Basis 3.
(b) 45 ist Pseudoprimzahl zur Basis 17.
(c) 25 ist eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 25.
(d) 2 ist eine nicht starke Pseudoprimzahl zur Basis 2.
(e) Die Hardy-Ramanujan-Zahl 1729 ist eine Carmichael-Zahl.
Aufgabe 12 (0.5+0.5+0.5+0.5 = 2 P)
Zeigen Sie oder widerlegen Sie:
(a) Es gibt starke Pseudoprimzahlen, die keine Pseudoprimzahlen sind.
(b) Es gibt Zahlen, die zu jeder Basis starke Pseudoprimzahlen sind.
(c) Mit dem Miller-Rabin-Test kann man zeigen, dass eine Zahl prim ist.
(d) Mit dem Miller-Rabin-Test kann man zeigen, dass eine Zahl zusammengesetzt ist.
Aufgabe 13: Körper (0.5+0.5+0.5+0.5 = 2 P)
Welche der folgenden Strukturen sind Körper (unter der üblichen Addition und Multiplikation)?
(a) Z/pZ mit p prim
(b) Z/nZ mit n zusammengesetzt
(c) F5 [X]/(X 3 + X + 1)
(d) F5 [X]/(X 3 + 3X + 1)
Aufgabe 14: Körper (2 P)
Berechnen Sie für jedes der folgenden Polynome seine Zerlegung in irreduzible Polynome über F3 ,
F5 und Q .
(a) X 2 + 13
(b) X 3 + X + 1
(c) X 4 − 4
Aufgabe 15: Der Körper F25 (0.5+0.5+0.5+0.5 = 2 P)
Sei K = F25 = F5 /(X 2 + 2) . Sei α eine fest gewählte Nullstelle von X 2 + 2 .
(a) Zeigen Sie: K ist ein Körper.
(b) Berechnen Sie sämtliche Nullstellen von (X 2 + 2) in F25 .
(c) Berechnen Sie (1 + α + α2 )3 in der Darstellung a0 + a1 α mit ai ∈ F5 .
(d) Berechnen Sie (1 + α)−1 in der Darstellung a0 + a1 α mit ai ∈ F5 .
Aufgabe 16: Primitivwurzeln (0.5+0.5+0.5+0.5 = 2 P)
(a) Finden Sie eine Primitivwurzel modulo 23.
(b) Finden Sie alle Primitivwurzeln modulo 11.
(c) Zeigen Sie: Es gibt keine Primitivwurzel modulo 12.
(d) Berechnen Sie ord29 4 . Ist 4 eine Primitivwurzel modulo 29 ?
Aufgabe 17: Kongruenzen höheren Grades (0.5+0.5+0.5+0.5+1 = 3 P)
Finden Sie alle Lösungen x ∈ Z der folgenden Gleichungen:
(a) x2 ≡ 7 mod 23
(b) x3 ≡ 7 mod 23
(c) 2x ≡ 5 mod 23
(d) 5x ≡ 2 mod 23
(e) x7 ≡ 81 mod 385
Aufgabe 18: Jacobi-Symbole (0.5+0.5+0.5+0.5 = 2 P)
Berechnen Sie folgende Legendre- bzw. Jacobi-Symbole:
5
(a) 41
41
(b) 105
Beweisen oder widerlegen Sie:
(c) 5 ist ein quadratischer Rest modulo 41.
(d) 41 ist ein quadratischer Rest modulo 105.
Aufgabe 42: 3n+1 (105 P)
Sei f (n) :=
n/2, falls n ≡ 0 mod 2
3n + 1, falls n ≡ 1 mod 2
Für a ∈ N definieren wir f 1 (a) := f (a), f n+1 (a) := f (f n (a)) . Zeigen Sie: Für alle a ∈ N existiert ein N, sodass f N (a) = 1.