3. WH
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3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 5 ck – fleischer Mittwoch, 11. Februar 2015 Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. 2. a) Ein Wert streut mit σ = 10 um den Mittelwert µ = 200. Berechnen Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall , in dem 80 % aller Werte liegen. 0,8 = Φ (200 + d, 200, 10) – (200 – d,200, 10) d = 12,8 also [187,2 / 212,8 ] b) Die Dauer eines Vorganges ist normalverteilt mit dem Mittelwert 25 Minuten und der Standardabweichung 7 Minuten. Berechnen Sie eine Dauer, die nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % überschritten wird. 0,01 = 1 – (x, 25, 7) x = 41,3 Minuten c) Bei der Befüllung eines Behälters gilt eine Unterschreitung des Normwertes von 500 g um mehr als 8 % als Ausschuss. Ein Stück Ausschuss verursacht Kosten von € 1,20. Die Monatsproduktion beträgt 9 000 Stk. Die Maschine streut um einen Mittelwert von 480 g. Berechnen Sie die Standardabweichung so, dass die Ausschusskosten nicht mehr als € 200,-- pro Monat betragen. 1,2 · 9 000 · (460, 480, ) = 200 = 9,6 g a) Die folgende Grafik zeigt eine Prüfplankurve für eine Stichprobenprüfung mit einem Stichprobenumfang von n = 50. Bestimmen Sie die Annahmekennzahl und das Konsumentenrisiko bei einer Ausschusswahrscheinlichkeit von 25 %. Zeichnen Sie die Hilfslinien für die Ermittlung des Wertes ein. W(0,2) = 0,5 Error! = 20,7 %) b) Error!= 0,2 c = 10 Aus der Grafik W(0,25) 20 % (genau Bei einer Umfrage geben 50 von 1 000 Befragten an, dass sie ein Produkt kaufen möchten. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für die Käufer mit z = 3. Geben Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit an. Interpretieren Sie in einem ganzen Satz das Ergebnis. p12 = 0,05 3 Error! p1 = 0,029 und p2 = 0,071 2 (3) – 1 = 99,7 % Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7 % gibt es zwischen 3 % und 7 % Käufer. A 3. a) Die Produktionsgeschwindigkeit eines Vorganges läuft wie in der Grafik dargestellt. Modellieren Sie einen geeigneten Ansatz für diese Form des Funktionsgrafs. Erstellen Sie dann die Bedingungsgleichungen für die Methode der kleinsten Quadrate. f(x) = ax3(x + k) = ax4 + bx3 b) Berechnen die Gleichung einer möglichst gut passenden Funktion der Form y = ax2 + b für die Daten: x 5 10 15 y 100 300 500 20 1000 221 250 a + 750 b = 545 000 750 a + 4 b = 1 900 y = 2,34x2 + 36,05 c) Die Regressionsgleichung für den Vorgang mit den Daten: x 5 10 15 20 y 100 300 450 900 lautet: y(x) = 2,05x2 + 52,33 Berechnen Sie den relativen Fehler (d.i. die Abweichung des gerechneten Werte vom tatsächlichen Wert in Prozent) für den x-Wert 15. 514 rel. Fehler = – 1 = 14, 3 % 53;450 4. a) In einem Windkanal wird der Luftwiderstand eines neuen Fahrzeugtyps gemessen. Die Gleichung für den Luftwiderstand lautet: F = Error!. F ist dabei der Luftwiderstand in Newton (N), cw der Luftwiderstandskoeffizient (dimensionslos und ohne Einheit, abhängig von der Form des Körpers), A der Querschnitt in Quadratmeter (m2), ρ die Dichte der Luft in km/m3 und v die Anströmgeschwindigkeit in Meter pro Sekunden (m/s). Es ergeben sich folgende Messwerte: v in m/s 5 10 15 F in N 9 33 80 Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate zuerst den Faktor Error! und anschließend den Luftwiderstandskoeffizient, wenn A = 1,8 m2 und ρ = 1,3 kg/m3 beträgt. 61 250 a = 21 525 a = 0,351429 = Error! cw = 0,300 b) Der Schalldruck (in Millipascal – mPa) einer Schallquelle nimmt indirekt proportional zur Entfernung d (in m) ab, also L(d) = Error!. L soll dabei in Millipascal (mPa), d in m angegeben sein. Berechnen Sie den Faktor a durch Regression aus: d in m 10 20 30 L in mPa 200 50 10 Berechnen Sie durch Regression den Faktor a und stellen Sie die Gleichung für L möglichst einfach (ohne Dezimalzahlen im Bruch) dar. Error! = k d2 k = 0,00010 daher L(d) = Error! 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 5 ck – fleischer Mittwoch, 11. Februar 2015 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. 2. a) Ein Wert streut mit σ = 20 um den Mittelwert µ = 400. Berechnen Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall , in dem 80 % aller Werte liegen. 0,8 = Φ (400 + d, 400, 20) – (400 – d,400, 20) d = 25,6 also [374,4 / 425,6 ] b) Die Dauer eines Vorganges ist normalverteilt mit dem Mittelwert 25 Minuten und der Standardabweichung 8 Minuten. Berechnen Sie eine Dauer, die nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % überschritten wird. 0,01 = 1 – (x, 25, 8) x = 43,6 Minuten c) Bei der Befüllung eines Behälters gilt eine Unterschreitung des Normwertes von 500 g um mehr als 8 % als Ausschuss. Ein Stück Ausschuss verursacht Kosten von € 1,20. Die Monatsproduktion beträgt 8 000 Stk. Die Maschine streut um einen Mittelwert von 480 g. Berechnen Sie die Standardabweichung so, dass die Ausschusskosten nicht mehr als € 200,-- pro Monat betragen. 1,2 · 8 000 · (460, 480, ) = 200 = 9,8 g a) Die folgende Grafik zeigt eine Prüfplankurve für eine Stichprobenprüfung mit einem Stichprobenumfang von n = 50. Bestimmen Sie die Annahmekennzahl und das Konsumentenrisiko bei einer Ausschusswahrscheinlichkeit von 15 %. Zeichnen Sie die Hilfslinien für die Ermittlung des Wertes ein. W(0,2) = 0,5 Error! = 83,9 %) b) Error!= 0,2 c = 10 Aus der Grafik W(0,15) 85 % (genau Bei einer Umfrage geben 80 von 1 000 Befragten an, dass sie ein Produkt kaufen möchten. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für die Käufer mit z = 3. Geben Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit an. Interpretieren Sie in einem ganzen Satz das Ergebnis. p12 = 0,08 3 Error! p1 = 0,054 und p2 = 0,106 2 (3) – 1 = 99,7 % Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7 % gibt es zwischen 5,4 % und 10,6 % Käufer. B 3. a) Die Produktionsgeschwindigkeit eines Vorganges läuft wie in der Grafik dargestellt. Modellieren Sie einen geeigneten Ansatz für diese Form des Funktionsgrafs. Erstellen Sie dann die Bedingungsgleichungen für die Methode der kleinsten Quadrate. f(x) = ax3(x + k) = ax4 + bx3 b) Berechnen die Gleichung einer möglichst gut passenden Funktion der Form y = ax2 + b für die Daten: x 5 10 15 20 y 1000 3000 5000 10000 221 250 a + 750 b = 5 450 000 750 a + 4 b = 19 000 y = 23,41x2 + 360,47 c) Die Regressionsgleichung für den Vorgang mit den Daten: x 5 10 15 20 y 100 300 500 900 lautet: y(x) = 2,05x2 + 52,33 Berechnen Sie den relativen Fehler (d.i. die Abweichung des gerechneten Werte vom tatsächlichen Wert in Prozent) für den x-Wert 15. 514 rel. Fehler = – 1= 3% 53;500 4. a) In einem Windkanal wird der Luftwiderstand eines neuen Fahrzeugtyps gemessen. Die Gleichung für den Luftwiderstand lautet: F = Error!. F ist dabei der Luftwiderstand in Newton (N), cw der Luftwiderstandskoeffizient (dimensionslos und ohne Einheit, abhängig von der Form des Körpers), A der Querschnitt in Quadratmeter (m2), ρ die Dichte der Luft in km/m3 und v die Anströmgeschwindigkeit in Meter pro Sekunden (m/s). Es ergeben sich folgende Messwerte: v in m/s 5 10 15 F in N 9 33 80 Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate zuerst den Faktor Error! und anschließend den Luftwiderstandskoeffizient, wenn A = 1,8 m2 und ρ = 1,3 kg/m3 beträgt. 61 250 a = 21 525 a = 0,351429 = Error! cw = 0,300 b) Der Schalldruck (in Millipascal – mPa) einer Schallquelle nimmt indirekt proportional zur Entfernung d (in m) ab, also L(d) = Error!. L soll dabei in Millipascal (mPa), d in m angegeben sein. Berechnen Sie den Faktor a durch Regression aus: d in m 10 20 30 L in mPa 200 50 20 Berechnen Sie durch Regression den Faktor a und stellen Sie die Gleichung für L möglichst einfach (ohne Dezimalzahlen im Bruch) dar. Error! = k d2 k = 0,00005459 daher L(d) = Error! 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 5 ck – fleischer ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) Mittwoch, 11. Februar 2015 Gruppe A 1. 2. a) Ein Wert streut mit σ = 10 um den Mittelwert µ = 200. Berechnen Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall , in dem 80 % aller Werte liegen. b) Die Dauer eines Vorganges ist normalverteilt mit dem Mittelwert 25 Minuten und der Standardabweichung 7 Minuten. Berechnen Sie eine Dauer, die nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % überschritten wird. c) Bei der Befüllung eines Behälters gilt eine Unterschreitung des Normwertes von 500 g um mehr als 8 % als Ausschuss. Ein Stück Ausschuss verursacht Kosten von € 1,20. Die Monatsproduktion beträgt 9 000 Stk. Die Maschine streut um einen Mittelwert von 480 g. Berechnen Sie die Standardabweichung so, dass die Ausschusskosten nicht mehr als € 200,-- pro Monat betragen. a) Die folgende Grafik zeigt eine Prüfplankurve für eine Stichprobenprüfung mit einem Stichprobenumfang von n = 50. Bestimmen Sie die Annahmekennzahl und das Konsumentenrisiko bei einer Ausschusswahrscheinlichkeit von 25 %. Zeichnen Sie die Hilfslinien für die Ermittlung des Wertes ein. b) Bei einer Umfrage geben 50 von 1 000 Befragten an, dass sie ein Produkt kaufen möchten. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für die Käufer mit z = 3. Geben Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit an. Interpretieren Sie in einem ganzen Satz das Ergebnis. A 3. a) Die Produktionsgeschwindigkeit eines Vorganges läuft wie in der Grafik dargestellt. Modellieren Sie einen geeigneten Ansatz für diese Form des Funktionsgrafs. Erstellen Sie dann die Bedingungsgleichungen für die Methode der kleinsten Quadrate. b) Berechnen die Gleichung einer möglichst gut passenden Funktion der Form y = ax2 + b für die Daten: x y c) 5 100 10 300 15 500 20 1000 Die Regressionsgleichung für den Vorgang mit den Daten: x 5 10 15 20 y 100 300 450 900 lautet: y(x) = 2,05x2 + 52,33 Berechnen Sie den relativen Fehler (d.i. die Abweichung des gerechneten Werte vom tatsächlichen Wert in Prozent) für den x-Wert 15. 4. a) In einem Windkanal wird der Luftwiderstand eines neuen Fahrzeugtyps gemessen. Die Gleichung für den Luftwiderstand lautet: F = Error!. F ist dabei der Luftwiderstand in Newton (N), cw der Luftwiderstandskoeffizient (dimensionslos und ohne Einheit, abhängig von der Form des Körpers), A der Querschnitt in Quadratmeter (m2), ρ die Dichte der Luft in km/m3 und v die Anströmgeschwindigkeit in Meter pro Sekunden (m/s). Es ergeben sich folgende Messwerte: v in m/s F in N 5 9 10 33 15 80 Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate zuerst den Faktor Error! und anschließend den Luftwiderstandskoeffizient, wenn A = 1,8 m2 und ρ = 1,3 kg/m3 beträgt. b) Der Schalldruck (in Millipascal – mPa) einer Schallquelle nimmt indirekt proportional zur Entfernung d (in m) ab, also L(d) = Error!. L soll dabei in Millipascal (mPa), d in m angegeben sein. Berechnen Sie den Faktor a durch Regression aus: d in m L in mPa 10 200 20 50 30 10 Berechnen Sie durch Regression den Faktor a und stellen Sie die Gleichung für L möglichst einfach (ohne Dezimalzahlen im Bruch) dar. 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 5 ck – fleischer ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) Mittwoch, 11. Februar 2015 Gruppe B 1. 2. a) Ein Wert streut mit σ = 20 um den Mittelwert µ = 400. Berechnen Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall , in dem 80 % aller Werte liegen. b) Die Dauer eines Vorganges ist normalverteilt mit dem Mittelwert 25 Minuten und der Standardabweichung 8 Minuten. Berechnen Sie eine Dauer, die nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % überschritten wird. c) Bei der Befüllung eines Behälters gilt eine Unterschreitung des Normwertes von 500 g um mehr als 8 % als Ausschuss. Ein Stück Ausschuss verursacht Kosten von € 1,20. Die Monatsproduktion beträgt 8 000 Stk. Die Maschine streut um einen Mittelwert von 480 g. Berechnen Sie die Standardabweichung so, dass die Ausschusskosten nicht mehr als € 200,-- pro Monat betragen. a) Die folgende Grafik zeigt eine Prüfplankurve für eine Stichprobenprüfung mit einem Stichprobenumfang von n = 50. Bestimmen Sie die Annahmekennzahl und das Konsumentenrisiko bei einer Ausschusswahrscheinlichkeit von 15 %. Zeichnen Sie die Hilfslinien für die Ermittlung des Wertes ein. b) Bei einer Umfrage geben 80 von 1 000 Befragten an, dass sie ein Produkt kaufen möchten. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für die Käufer mit z = 3. Geben Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit an. Interpretieren Sie in einem ganzen Satz das Ergebnis. B 3. a) Die Produktionsgeschwindigkeit eines Vorganges läuft wie in der Grafik dargestellt. Modellieren Sie einen geeigneten Ansatz für diese Form des Funktionsgrafs. Erstellen Sie dann die Bedingungsgleichungen für die Methode der kleinsten Quadrate. b) Berechnen die Gleichung einer möglichst gut passenden Funktion der Form y = ax2 + b für die Daten: x 5 10 15 20 y 1000 3000 5000 10000 c) Die Regressionsgleichung für den Vorgang mit den Daten: x y 5 100 10 300 15 500 20 900 lautet: y(x) = 2,05x2 + 52,33 Berechnen Sie den relativen Fehler (d.i. die Abweichung des gerechneten Werte vom tatsächlichen Wert in Prozent) für den x-Wert 15. 4. a) In einem Windkanal wird der Luftwiderstand eines neuen Fahrzeugtyps gemessen. Die Gleichung für den Luftwiderstand lautet: F = Error!. F ist dabei der Luftwiderstand in Newton (N), cw der Luftwiderstandskoeffizient (dimensionslos und ohne Einheit, abhängig von der Form des Körpers), A der Querschnitt in Quadratmeter (m2), ρ die Dichte der Luft in km/m3 und v die Anströmgeschwindigkeit in Meter pro Sekunden (m/s). Es ergeben sich folgende Messwerte: v in m/s 5 10 15 F in N 9 33 80 Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate zuerst den Faktor Error! und anschließend den Luftwiderstandskoeffizient, wenn A = 1,8 m2 und ρ = 1,3 kg/m3 beträgt. b) Der Schalldruck (in Millipascal – mPa) einer Schallquelle nimmt indirekt proportional zur Entfernung d (in m) ab, also L(d) = Error!. L soll dabei in Millipascal (mPa), d in m angegeben sein. Berechnen Sie den Faktor a durch Regression aus: d in m L in mPa 10 200 20 50 30 20 Berechnen Sie durch Regression den Faktor a und stellen Sie die Gleichung für L möglichst einfach (ohne Dezimalzahlen im Bruch) dar.
