SchülerDuden Mathematik II.

Elementare Grundlagen der
Vektorrechnung
Kursfolien
Karin Haenelt
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
1
Definition: Vektor
Vektoren
sind Größen, die durch
Betrag
Richtungsangabe
bestimmt sind
Das geometrische Bild eines physikalischen
Vektors ist ein Pfeil mit der Richtung des
Vektors, dessen Länge den Betrag des
Vektors repräsentiert.
(Weltner, 1999, 15)
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
2
Bezeichnungen

a
AB

e

ex
08.11.00
Repräsentant eines Vektors
Bezeichnung eines Vektors
Bezeichnung eines Vektors mit
Anfangspunkt A und
Endpunkt B
Einheitsvektor, Vektor mit dem
Betrag einer Längeneinheit
Einheitsvektor der Länge 1 in
x-Richtung
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
3
Komponentendarstellung
Angaben zur Konstruktion eines Vektors:
1. Das benutzte Koordinatensystem
2. Die Komponenten des Vektors in Richtung der
Koordinatenachsen




a  axe x  aye y  aze z

a  ( ax , ay , az )
 ax 
  
a   ay 
 az 
 
08.11.00
az z
a
ax
x
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
y
ay
(Weltner, 1999, 24)
4
Addition – geometrisch (1)
c
b
b
a
a
b
a
Parallelverschiebung
Vektor b
bis Anfangspunkt Vektor b
= Endpunkt Vektor
a
Vektor c
- Summe von a und b
- Anfangspunkt = Anfangspunkt von a
- Endpunkt
= Endpunkt von b
(Weltner, 1999, 16)
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
5
Addition – geometrisch (2)
Summenvektor
Resultante
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
6
Addition –
Komponentenschreibweise
 ax 
  
a   ay 
 az 
 
y
  1
 
3
-2 -1
08.11.00
  4
 
 1 
 bx 
  
b   by 
 bz 
 
 3    4    1
       
 2  1   3 
 3
 
 2
1 2 3
 ax  bx 

  
a  b   ay  by 
 az  bz 


x
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
7
Multiplikation mit einem Skalar
 ax 

 
a   ay   (ax, ay, az )
 az 



a
08.11.00

a
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
8
Betrag – zweidimensionaler V.
y
a
Betrag = Länge des Pfeils
ay
ax
x

| a | a 
ax  a y
2
2
Satz des Pythagoras
a
b
„Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe
der Flächeninhalte der Quadrate über
den Katheten gleich dem Flächeninhalt
des Quadrats über der Hypothenuse“
a
08.11.00
2
b  c
2
2
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
c

a
2
b
2
9
Betrag – dreidimensionaler V.
az z

| a | a 
a
ax
y
a a a
2
2
2
x
y
z
ay
x
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
10
Skalarprodukt - geometrische
Deutung (1)
Skalarprodukt: Multiplikation der Beträge zweier Vektoren
unter Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Vektoren
ergibt eine skalare Größe
Schreibweisen:
08.11.00
ab
a b
a *b
a b
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
11
Skalarprodukt - geometrische
Deutung (2)
Das skalare Produkt zweier Vektoren a und b ist gleich
dem Produkt aus
dem Betrag des Vektors a und
dem Betrag der Projektion von b auf a
b
a
ab | a || b | cosa
a
(Weltner, 1999, 39)
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
12
Skalarprodukt Komponentendarstellung
Skalares Produkt der Einheitsvektoren
ex  ex  1
cos(0)  1
ey  ey  1
ex  ey  0
cos(90)  0
ey  ex  0
Herleitung
a  ax  ex  ay  ey
b  bx  ex  by  ey
ab  (ax  ex  ay  ey)  (bx  ex  by  ey)
 axbxex  ex  axby ex  ey  aybxey  ex  ayby ey  ey
(Weltner, 1999, 41)
 axbx  ayby
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
13
Skalarprodukt - Beispiel
a  (2,3,1)
b  (1,0,4)
ab  2(1)  3  0  1 4  2
(Weltner, 1999, 42)
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
14
Trigonometrische Ausdrücke
c
a
a
y
b
a
ay
ax
x
a Gegenkathete
sin a : 
c Hypothenuse
b
Ankathete
cos a : 
c Hypothenuse
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
15
Beispielaufgabe
Es soll der Winkel zwischen den Vektoren
r1 = -6i + 8j
r2 = 3i – 4j + 12k
berechnet werden
Leupold, 1976, 495)
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
16
Lösung der Beispielaufgabe
Aus
folgt
r1r 2 | r1 || r 2 | cos(r1,r 2)
cos( r1, r 2) 
r1  r 2
| r1 |  | r 2 |
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2

x1 
2
y
2
1
 z1 
x2 
2
2
y
2
2
 z2
2
 50
5
cos( r1, r 2) 

 0,3846
10 13
13
Winkel (r1,r 2)  11237'
08.11.00
(Leupold, 1976, 495)
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
17
Formeln
Addition
 ax  bx  Multiplikation  ax 

 mit Skalar  
  
a   ay   (ax, ay, az )
a  b   ay  by 
 az 
 az  bz 




Skalarprodukt
ab  axbx  ayby  azbz
ab  0  a  b
ab | a || b | cos  ,   Winkel (a, b)
Betrag
08.11.00

| a | a 
a a a
2
2
2
x
y
z
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
18
Literatur
• Leupold, Wilhelm (1976): Vektoralgebra. In:
Birnbaum, H.; Götzke, H.; Kreul, H.; Leupold, W.;
Müller, F.; Müller, P.H.; Nickel, H.; Sachs, H. (Hrsg.):
Algebra und Geometrie für Ingenieure. Leipzig, VEB
Fachbuchverlag, 1976. S. 463-525.
• SchülerDuden Mathematik II. Mannheim, Leipzig,
Wien, Zürich: DudenVerlag, 2000
• Weltner, Klaus (1999): Mathematik für Physiker.
Basiswissen für das Grundstudium der
Experimentalphysik. Wiesbaden: Vieweg & Sohn
Verlagsgesellschaft mbH. 11. Aufl. 1999
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
19