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Elementare Grundlagen der
Vektorrechnung
Kursfolien
Karin Haenelt
08.11.00
Karin Haenelt,Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
1
Definition: Vektor
Vektoren
sind Größen, die durch
Betrag
Richtungsangabe
bestimmt sind
Das geometrische Bild eines physikalischen
Vektors ist ein Pfeil mit der Richtung des
Vektors, dessen Länge den Betrag des
Vektors repräsentiert.
(Weltner, 1999, 15)
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Bezeichnungen

a
AB

e

ex
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Repräsentant eines Vektors
Bezeichnung eines Vektors
Bezeichnung eines Vektors mit
Anfangspunkt A und
Endpunkt B
Einheitsvektor, Vektor mit dem
Betrag einer Längeneinheit
Einheitsvektor der Länge 1 in
x-Richtung
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Komponentendarstellung
Angaben zur Konstruktion eines Vektors:
1. Das benutzte Koordinatensystem
2. Die Komponenten des Vektors in Richtung der
Koordinatenachsen




a  axe x  aye y  aze z

a  (ax, ay, az )
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 ax 
  
a   ay 
 az 
 
az z
a
ax
x
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y
ay
(Weltner, 1999, 24)
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Addition – geometrisch (1)
c
b
b
a
a
b
a
Parallelverschiebung
Vektor b
bis Anfangspunkt Vektor b
= Endpunkt Vektor
a
Vektor c
- Summe von a und b
- Anfangspunkt = Anfangspunkt von a
- Endpunkt
= Endpunkt von b
(Weltner, 1999, 16)
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Addition – geometrisch (2)
Summenvektor
Resultante
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Addition –
Komponentenschreibweise
 ax 
  
a   ay 
 az 
 
y
  1
 
3
-2 -1
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  4
 
 1 
 bx 
  
b   by 
 bz 
 
 3    4    1
       
 2  1   3 
 3
 
 2
1 2 3
 ax  bx 

  
a  b   ay  by 
 az  bz 


x
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Multiplikation mit einem Skalar
 ax 

 
a   ay   (ax, ay, az )
 az 



a
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
a
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Betrag – zweidimensionaler V.
y
a
Betrag = Länge des Pfeils
ay
ax
x

| a | a 
ax  a y
2
2
Satz des Pythagoras
a
b
„Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe
der Flächeninhalte der Quadrate über
den Katheten gleich dem Flächeninhalt
des Quadrats über der Hypothenuse“
a
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2
b  c
2
2
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c

a
2
b
2
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Betrag – dreidimensionaler V.
az z

| a | a 
a
ax
y
a a a
2
2
2
x
y
z
ay
x
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Skalarprodukt - geometrische
Deutung (1)
Skalarprodukt: Multiplikation der Beträge zweier Vektoren
unter Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Vektoren
ergibt eine skalare Größe
Schreibweisen:
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ab
a b
a *b
a b
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Skalarprodukt - geometrische
Deutung (2)
Das skalare Produkt zweier Vektoren a und b ist gleich
dem Produkt aus
dem Betrag des Vektors a und
dem Betrag der Projektion von b auf a
b
a
ab | a || b | cosa
a
(Weltner, 1999, 39)
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Skalarprodukt Komponentendarstellung
Skalares Produkt der Einheitsvektoren
ex  ex  1
cos(0)  1
ey  ey  1
ex  ey  0
cos(90)  0
ey  ex  0
Herleitung
a  ax  ex  ay  ey
b  bx  ex  by  ey
ab  (ax  ex  ay  ey)  (bx  ex  by  ey)
 axbx ex  ex  axby ex  ey  aybx ey  ex  ayby ey  ey
(Weltner, 1999, 41)
 axbx  ayby
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Skalarprodukt - Beispiel
a  (2,3,1)
b  (1,0,4)
ab  2(1)  3  0  1 4  2
(Weltner, 1999, 42)
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Trigonometrische Ausdrücke
c
a
a
y
b
a
ay
ax
x
a Gegenkathete
sin a : 
c Hypothenuse
b
Ankathete
cos a : 
c Hypothenuse
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Beispielaufgabe
Es soll der Winkel zwischen den Vektoren
r1 = -6i + 8j
r2 = 3i – 4j + 12k
berechnet werden
Leupold, 1976, 495)
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Lösung der Beispielaufgabe
Aus
folgt
r1r 2 | r1 || r 2 | cos(r1,r 2)
cos( r1, r 2) 
r1  r 2
| r1 |  | r 2 |
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2

x1 
2
y
2
1
 z1 
x2 
2
2
y
2
2
 z2
2
 50
5
cos( r1, r 2) 

 0,3846
10 13
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Winkel(r1,r 2)  11237'
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(Leupold, 1976, 495)
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Formeln
Addition
Skalarprodukt
 ax  bx  Multiplikation  ax 
 mit Skalar   
  
a   ay   (ax, ay, az )
a  b   ay  by 
 az 
 az  bz 




ab  axbx  ayby  azbz
ab  0  a  b
ab | a || b | cos  ,   Winkel (a, b)
Betrag
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
| a | a 
a a a
2
2
2
x
y
z
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Literatur
• Leupold, Wilhelm (1976): Vektoralgebra. In:
Birnbaum, H.; Götzke, H.; Kreul, H.; Leupold, W.;
Müller, F.; Müller, P.H.; Nickel, H.; Sachs, H. (Hrsg.):
Algebra und Geometrie für Ingenieure. Leipzig, VEB
Fachbuchverlag, 1976. S. 463-525.
• SchülerDuden Mathematik II. Mannheim, Leipzig,
Wien, Zürich: DudenVerlag, 2000
• Weltner, Klaus (1999): Mathematik für Physiker.
Basiswissen für das Grundstudium der
Experimentalphysik. Wiesbaden: Vieweg & Sohn
Verlagsgesellschaft mbH. 11. Aufl. 1999
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