Musterlösung zur Einsendearbeit: Effizienzsteigernde Ausgaben

Musterlosung der EA zum Modul 31901: Offentliche Ausgaben, Kurs: Effizienzsteigernde
Ausgabenpolitik, SS 2012
Musterlösung zur Einsendearbeit: Effizienzsteigernde Ausgabenpolitik, Sommersemester 2012
Aufgabe 1
(a) Die folgende Abbildung veranschaulicht die Kostenfunktion. (2 Punkte für Abbildung)
Dabei handelt es sich um eine lineare Kostenfunktion mit Fixkosten (2 Punkte). Die
K(X)
K(X)
kf=10
X
Grenzkosten betragen Kx (x) = 3 (2 Punkte). Die Durchschnittkosten ergeben sich, in10
dem man K(x) durch x teilt: K(x)
x = x + 3 (2 Punkte). Es lässt sich nun erkennen, dass
die Grenzkosten über den gesamten Definitionsbereich kleiner sind als die Durchschnittskosten. Während die Grenzkosten konstant 3 betragen, wird bei den Durchschnittskosten
10
auf 3 noch der Wert 10
x addiert. Da x für positive Gütermengen allerdings positiv ist, sind
die Durchschnittskosten stets größer als 3 (2 Punkte).
(
= 10 Punkte )
(b) Der soziale Planer wählt die Menge, für die der Preis den Grenzkosten entspricht. Somit
lautet die Bedingung erster Ordnung:
P (x) − Kx (x) = 0
(1 Punkt)
Aus der Nachfrage D(p) lässt sich die inverse Nachfragefunktion P (x) ermitteln:
x = D(p) =
13 − p
⇒ p = P (x) = 13 − 2x
2
(1,5 Punkte)
Nun setzt man P (x) sowie Kx (x) in die Bedingung erster Ordnung ein und stellt nach x
um:
13 − 2x − 3 = 0
10 − 2x = 0
2x = 10
xE = 5 (5 Punkte)
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Die effiziente Menge des Gutes X beträgt 5. Den entsprechenden Preis erhält man durch
Einsetzen von xE in die inverse Nachfragefunktion:
pE = P (xE = 5) = 13 − 2 · 5 = 3 (5 Punkte)
Bei Effizienz beträgt der Güterpreis 3. Die Wohlfahrt ergibt sich im folgenden aus der
gesamten Zahlungsbereitschaft abzüglich der Kosten:
xE
P (x)dx − K(xE )
Ω(xE ) = Z(xE ) − K(xE ) =
= [13x −
x2 ]x0 E
2
0
− 10 − 3xE
= 13 · 5 − 5 − 10 − 3 · 5
= 65 − 25 − 10 − 15 = 15
(7,5 Punkte)
Die Wohlfahrt in der effizienten Situation beträgt 15.
(
= 20 Punkte )
(c) Der Cournotsche Punkt bezeichnet die Monopollösung. Das Monopolunternehmen maximiert dabei seinen Gewinn
π(x) = P (x)x − K(x) = (13 − 2x)x − 10 − 3x
= 13x − 2x2 − 10 − 3x
= 10x − 2x2 − 10.
(1,5 Punkte)
Die Bedingung erster Ordnung für das Gewinnmaximum lautet:
πx (x) = 10 − 4x = 0 (1,5 Punkte)
xM
= 4x = 10
10
= 2, 5
=
4
(2,5 Punkte)
Setzt man nun xM in die inverse Nachfragefunktion ein, so erhält man den zugehörigen
Preis:
pM = P (xM = 2, 5) = 13 − 2 · 2, 5 = 13 − 5 = 8 (2,5 Punkte)
Somit ergibt sich der Cournotsche Punkt (pM = 8, xM = 2, 5). Die zugehörige Wohlfahrt
beträgt:
xM
P (x)dx − K(xM )
Ω(xM ) = Z(xM ) − K(xM ) =
0
= [13x − x2 ]x0 M − 10 − 3xM
= 13 · 2, 5 − 2, 52 − 10 − 3 · 2, 5
= 32, 5 − 6, 25 − 10 − 7, 5 = 8, 75
(5 Punkte)
Der Wohlfahrtsverlust zur Effizienzallokation beträgt somit:
ΔΩ = Ω(xE ) − Ω(xM ) = 15 − 8, 75 = 6, 25
(2 Punkte)
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(
= 15 Punkte )
(d) Um Effizienz im Rahmen einer Preisregulierung herzustellen, würde die Regierung den
Grenzkostenpreis setzen und somit p = pE = 3 (2,5 Punkte). Der Gewinn des Unternehmens beträgt in diesem Fall:
π(xE = 5) = 10 · 5 − 2 · 52 − 10 = 50 − 50 − 10 = −10
(5 Punkte)
Der Unternehmer würde in dem Fall einen Verlust i.H.v. 10 machen. Damit dieser allerdings
produziert muss eine Subvention i.H.v. 10 gezahlt werden, um einen Nullgewinn zu erzielen
(2,5 Punkte).
(
= 10 Punkte )
(e) Die Bedingung erster Ordnung für das second-best-Optimierungsproblem lautet:
(1 + λ)[P (x̂) − Kx (x̂)] = −λPx (x̂)x̂
Setzen wir nun die gegebenen Funktionen ein und stellen nach x̂ um, so erhalten wir für
λ = 0, 5:
(1 + 0, 5)[13 − 2x̂ − 3] = −0, 5 · x̂ · (−2)
⇔1, 5(10 − 2x̂) = x̂
⇔15 − 3 · x̂ = x̂
⇔15 = 4x̂
15
= 3, 75
⇒x̂0,5 =
4
(5 Punkte)
Setzt man diesen Wert in die inverse Nachfragefunktion ein, so erhält man den entsprechenden Preis:
p̂0,5 = 13 − 2 · 3, 75 = 13 − 7, 5 = 5, 5 (5 Punkte)
Die zu zahlende Subvention entspricht dem Unternehmensgewinn:
π̂0,5 = 10 · 3, 75 − 2 · 3, 752 − 10 = 37, 5 − 28, 12 − 10 = −0, 62
Zur Sicherstellung der Produktion ist eine Subvention i.H.v 0,62 fällig (5 Punkte). Die
soeben berechneten Größen erhält man für λ = 2 auf analogem Weg:
(1 + 2)[13 − 2x̂ − 3] = −2 · x̂ · (−2)
⇔3(10 − 2x̂) = 4x̂
⇔30 − 6 · x̂ = 4x̂
⇔30 = 10x̂
⇒x̂2 = 3 (5 Punkte)
Der entsprechende Preis resultiert aus der inversen Nachfrage:
p̂2 = 13 − 2 · 3 = 13 − 6 = 7
(5 Punkte)
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Die zu zahlende Subvention erhält man wiederum durch Berechnen des Unternehmensgewinnes:
π̂2 = 10 · 3 − 2 · 32 − 10 = 30 − 18 − 10 = 2
Hier resultiert ein positiver Unternehmensgewinn. Daher sind keine Subventionen erforderlich (5 Punkte).
Interpretation bezüglich λ: Der Parameter λ stellt den Schattenpreis des öffentlichen
Geldes dar. Je höher λ ist, desto höher ist der Effizienzverlust bei Finanzierung der Subvention. In den obigen Rechnungen zeigt sich nun, dass das höhere λ auch zu einer geringeren
Menge sowie einem höheren Preis des öffentlichen Gutes führt. Bei λ = 0, 5 wird noch eine
Subvention gezahlt, während dies bei λ = 2 nicht mehr der Fall ist. Dies bedeutet, dass
eine Subvention ßu teuerı̈st. Die Effizienzverluste zur Finanzierung der Subvention sind zu
groß. (5 Punkte)
(
= 35 Punkte )
(e) Die Preiselastizität der Nachfrage für λ = 0, 5 ergibt:
P (x̂0,5 )
x̂0,5 Px (x̂0,5 )
13 − 2x̂0,5
=−
x̂0,5 · (−2)
13 − 2 · 3, 75
=−
3, 75 · (−2)
5, 5
= 0, 73
=−
−7, 5
0,5 = −
(5 Punkte)
Dies bedeutet, dass sich die Nachfrage um 0,73 % verringert wenn sich der Preis um 1
% erhöht. (Obwohl die errechnete Elastizität positiv ist, ist die Nachfragewirkung einer
Preisänderung negativ. Das positive Vorzeichen ergibt sich aus dem Minus vor dem Bruch
in .) (5 Punkte).
(
= 10 Punkte )
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