5. Trigonometrie - Fakultät für Mathematik

Universität Regensburg
Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik
Dr. Günter Rothmeier
WS 2008/09
Private Vorlesungsaufzeichnungen
Kein Anspruch auf Vollständigkeit
51 722 Elementarmathematik (LH)
5.
und Fehlerfreiheit
Trigonometrie
5.2. Trigonometrische Terme im rechtwinkligen Dreieck
5.2.1. Streckenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
Das rechtwinklige Dreieck ABC mit B = O lässt sich durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z = B in ein Dreieck A’B’C’ überführen, dessen Hypotenuse [A’B‘] die Länge 1 LE hat.
Nach dem Vierstreckensatz gilt:
AC A ' C '
=
⇔
AB A 'B '
Analog findet man:
b
c
a
c
=
⇔
sin ϕ =
=
cos ϕ
1
⇔
cos ϕ =
tan ϕ =
Daraus erhält man:
sin ϕ
cos ϕ
=
b
c
a
c
=
Gegenkathete
Hypotenuse
cosϕ =
b
c
c
1
A’
a
c
ϕ
B = B’ = O
a’ = cos ϕ
ϕ
2
r =x +y
⇔
Für die Polarkoordinate ϕ gilt:
5.2.2.2.
r=
tan ϕ =
+ y
y
x
x
P (x | y) = P (r | ϕ)
r
y
2
ϕ
mit x ≠ 0
x
O
x
H
Berechnung der kartesischen Koordinaten aus den Polarkoordinaten
Wir betrachten wieder das rechtwinklige Dreieck OHP.
Für die kartesische Koordinate x gilt:
cos ϕ = xr
⇔
x = r ⋅ cos ϕ
Für die kartesische Koordinate y gilt:
5.2.2.3.
x
2
C
ϕ
Für die Polarkoordinate r > 0 gilt dann nach dem Satz des Pythagoras:
2
a
C’
Gegenkathete
Ankathete
tanϕ =
5.2.2. Umrechnung zwischen kartesischen und Polarkoordinaten
5.2.2.1. Berechnung der Polarkoordinaten aus den kartesischen Koordinaten
Ist ein beliebiger Punkt P mit seinen kartesischen Koordinaten
y
(x | y) bzw. seinen Polarkoordinaten (r | ϕ) gegeben, so ist im
kartesischen Koordinatensystem das rechtwinklige Dreieck
OHP festgelegt.
2
b’ = sin ϕ
1
Ankathete
Hypotenuse
ϕ
b
c‘
b
a
Die trigonometrischen Terme Sinus, Kosinus und Tangens
lassen sich also als Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck darstellen.
Unter Verwendung nebenstehender Bezeichnungen kann
man diesen Zusammenhang allgemein formulieren.
sin ϕ =
A
y
sin ϕ
1
sin ϕ =
y
r
Steigungsfaktor einer Geraden
Das Dreieck ABC lässt sich als ein Steigungsdreieck der
Geraden g = AC mit der Gleichung y = m ⋅ x + t verstehen. Man kann dann tan ϕ als Steigungsfaktor m von g
deuten:
m=
Δy
Δx
=
Gegenkathete
Ankathete
= tan ϕ
⇔
y = r ⋅ sin ϕ
y
C
ϕ
ϕ ∈ [0°; 180°]
A
Daher ist ϕ das Maß des Schnittwinkels von g mit der xAchse. Diesen Winkel erhält man, wenn man die xAchse im mathematisch positiven Sinn bis zur Deckung
mit g dreht.
Δx
Δy
B
ϕ
0
x
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51 722 Elementarmathematik (LH)
5.2.3.
und Fehlerfreiheit
Übungsblatt: Trigonometrische Terme im rechtwinkligen Dreieck
Aufgabe 1
1.0
1.1
1.2
1.3
Aufgabe 2
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
Eine elfsprossige Leiter (Sprossenabstand 30 cm) lehnt an einer
Wand. Die Enden sind jeweils 45 cm von den ersten Sprossen
entfernt.
Wie lang ist die Leiter?
Wie groß ist der Winkel, den die Leiter mit der Wand einschließt, wenn sie unten 1,5 m von
der Wand entfernt steht?
In welcher Höhe ist die Leiter angelehnt?
Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche (Seitenlänge a = 4,7 cm). Die Seitenkanten sind 9,2 cm lang.
Berechnen Sie die Maße der Innenwinkel einer Seitenfläche.
Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt.
Durch die Pyramidenhöhe und eine Mittellinie der Grundfläche ist eine Ebene festgelegt. Berechnen Sie die Winkelmaße der Schnittfigur dieser Ebene mit der Pyramide.
Welche Abstände hat ein Eckpunkt der Grundfläche von den Seitenkanten ?
Aufgabe 3
3.0
3.1
3.2
3.3
Aufgabe 4
4.0
α
Ein Lichtstrahl trifft unter dem EinfallsLuft
winkel
Brechungsgesetz
α = 370 auf eine 2,5 cm dicke planpaβ
von Snellius:
rallele Glasplatte. Er wird an beiden
Glas
n = sin α
2,5 cm
Grenzflächen gebrochen und verlässt
sin β
die Glasplatte parallel zum Einfallsstrahl.
Luft
Berechnen Sie das Maß β des Brechungswinkels (n Luft - Glas = 1,6).
d
Wie lang ist der Lichtweg im Glas?
Um welchen Abstand d wird der austretende Strahl gegen den Einfallsstrahl versetzt ?
In einem Dachraum wird ein Studio abgetrennt. Die
Skizze zeigt einen Schnitt durch den Dachraum.
CF = 2,60 m
4.1
4.2
4.3
4.4
AB = 14 m
h = 4,70 m
α = 350
S
E
F
h
α
D
A
C H
B
Berechnen Sie die Breite CD des Studios.
Berechnen Sie das Maß β des Neigungswinkels SBA
der zweiten Dachfläche.
Die Dachflächen sollen in Längsrichtung mit Brettern von 15 cm Breite verkleidet werden.
Wie viele Bretter braucht man?
Eine Giebelfläche CDEF des Studios soll vollständig verglast werden. Wieviel Quadratmeter
Glas werden benötigt, wenn 8,5 % der Wandfläche für Verstrebungen berücksichtigt werden
müssen?
Aufgabe 5
5.0
5.1
5.2
5.3
Ein Hubschrauber überfliegt mit konstanter Geschwindigkeit v in gleichbleibender Höhe von
600 m ein ebenes Gelände. Von einem 10 s zuvor überflogenen Geländepunkt P aus wird
er unter einem Winkel von 25,60 anvisiert.
Berechnen Sie die in 10 s zurückgelegte Flugstrecke und die Geschwindigkeit v.
Unter welchem Winkel wird der Hubschrauber nach weiteren 5 s von P aus angepeilt ?
Unter welchem Neigungswinkel gegen die Horizontale muss der Hubschrauber fliegen,
wenn er in 25 s landen will?
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51 722 Elementarmathematik (LH)
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Lösungen
Zu Aufgabe 1
1.1 l = 10 ⋅ 30 cm + 2 ⋅ 45 cm = 3,90 m
s
α = 22,62°
1.2 sin α =
l
1.3 h = l ⋅ cos α h = 3,60 m
Zu Aufgabe 2
2.1 α = 75,20°
2.2 O = a + 4 ⋅
2
β = 75,20°
1
2
⋅ a ⋅ hS
2
O = 105,66 cm
a
2)2
2.3 h2 = s2 – (
2
8,58 cm
tan ε =
2,35 cm
8,58 cm
2.4 sin δ =
9, 2 cm
d1 = 6,20 cm
γ = 29,60°
4,7 cm
⋅ tan 75,20°
hS =
2
h = 8,58 cm
ε = 74,68°
δ = 68,85°
d2 = 4,54 cm
Zu Aufgabe 3
sin 37°
1,6
2,5 cm
3.2 s =
cos 22,09°
3.3 ε = 14,91°
d = 2,73 cm ⋅ sin 14,91°
3.1 sin β =
β = 22,09°
s = 2,70 cm
d = 0,70 cm
Zu Aufgabe 4
4.1 EF : (4,70 m – 2,60 m) = 14 m : 4,70 m
4,70 m
AH = 6,71 m
4.2 AH =
tan 35°
4,70 m
tan β =
β = 32,81°
7, 29 m
4.3 n = ( AS + BS ) : 0,15 m
AS = 8,19 m
n = 112,4 m
BS = 8,67 m
Zu Aufgabe 5
600 m
tan 25, 6°
1 252,30 m
v=
10 s
5.2 s’ = 625,15 m
s2 = 1 878,45 m
600
tan α2 =
1 878, 45 m
5.1 s1 =
s1 = 1 252,30 m
v = 450,83
α2 = 17,71°
km
h
EF = 6,26 m