M 7 Innere Reibung von Flüssigkeiten

M 7 Innere Reibung von Flüssigkeiten
1.
Aufgabenstellung
1.1
Bestimmen Sie die dynamische Viskosität von (wasserfreiem) Glyzerin bei
Zimmertemperatur nach der Kugelfallmethode.
1.2
Überprüfen Sie, ob für die verwendeten Kugeln die Bedingung Re < 1 erfüllt
1.3
1.4
ist. Führen Sie eine Größtfehlerberechnung zu diesen Messungen durch.
Ermitteln Sie die dynamische Viskosität gegebener Glyzerin-WasserMischungen mit Hilfe der Schwingtiegelmethode.
Nutzen Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 1.1 und 1.3, um den Zusammenhang
zwischen dem Mischungsverhältnis c von Glyzerin und Wasser und der dynamischen Viskosität η näherungsweise grafisch darzustellen.
1.6
Messen Sie die dynamische Viskosität einer gegebenen Flüssigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur mit einem HÖPPLER-Viskosimeter.
Stellen Sie die erhaltene Temperaturabhängigkeit grafisch dar und berechnen
Sie aus der Darstellung die Konstanten A und B in dem Exponentialansatz.
Tragen Sie in diese Darstellung ebenfalls die Fehlerbalken ein (Fehlerrechnung).
2.
Theoretische Grundlagen
Stichworte:
Ideale und reale Flüssigkeiten, BERNOULLI-Gleichung, Strömungsarten,
Newton’sches Reibungsgesetz, dynamische Viskosität, Gesetz von HAGEN
und POISEUILLE, Stokes’sches Reibungsgesetz, Auftrieb, Reynolds’sche
Zahl, Schwingtiegelmethode, Torsionsschwingung, logarithmisches Dekrement, freie gedämpfte Schwingung
Literatur:
D. Geschke
W. Walcher
W. Demtröder
Physikalisches Praktikum
Mechanik Kap. 6,
Teubner Verlag 2001
Praktikum der Physik
Kap. 2.6.,
Teubner Verlag 1989
Experimentalphysik I
Mechanik und Wärme, Kap. 8,
2
Springer-Verlag 1994
Physik
Kap. 3.3,
Springer-Verlag 1993
Schmelze, Erstarrung, Grenzflächen
Kap. 3.4, Viskosität
Springer-Verlag 1999
Gerthsen, Kneser, Vogel
P. Sahm
A. Knappwost
Ein einfaches Verfahren zur Messung der Visko
sität bei hohen Temperaturen
Zeitschrift für Metallkunde 39 (1948) 314
2.1
Newton’scher Reibungsansatz
Flüssigkeiten, in denen die innere Reibung vernachlässigt werden kann, bezeichnet
man als ideale Flüssigkeiten. In solchen Flüssigkeiten gilt daher der Energieerhaltungssatz, der hier die Form der BERNOULLI-Gleichung (1) annimmt. Für verschiedene Zustände i (i = 1, 2,...) einer stationären Strömung lautet sie:
ρ
poi + ρ gh i + ν i2= const.
2
wobei p 0i
(1)
der statische Druck
ρ ghi
der Schweredruck (bei Strömung durch ein schräges Rohr)
ρ 2
νi
2
der Staudruck
im Zustand i sind und
ρ
die Flüssigkeitsdichte,
ν
die Geschwindigkeit,
g
die Fallbeschleunigung und
h
die Höhe über dem Bezugsniveau
darstellen.
A
E1
F
x
dx
En
A
3
infinitesimale
Zwischenschicht
der Dicke dx
Abb. 1 : Skizze zur Erläuterung des Newton’schen Reibungsansatzes
In realen Flüssigkeiten treten dagegen nicht zu vernachlässigende zwischenmolekulare Wechselwirkungen auf. Diese verursachen die innere Reibung, die mikroskopisch mit Hilfe der dynamischen Viskosität
η
charakterisiert werden kann. Die-
ser Sachverhalt wird durch den Newton’schen Reibungsansatz beschrieben, der an
Hand des folgenden Modells erklärt werden soll (Abb. 1):
Eine Flüssigkeit befinde sich zwischen zwei gleich großen parallelen Platten (Fläche
jeweils A), deren Abstand x sei. Wenn nun die untere Platte festgehalten und die
r
obere durch die Tangentialkraft F mit einer Geschwindigkeit ν bewegt wird, so haftet infolge der Adhäsionskräfte zwischen der Platte und der Flüssigkeit eine infinitesimal dünne Flüssigkeitsschicht an der Platte und wird mitbewegt. Durch die vorhandene innere Reibung werden die nachfolgenden Schichten ebenfalls bewegt. Da die
untere Platte in Ruhe bleibt und an dieser ebenfalls eine dünne Flüssigkeitsschicht
haftet, muss ein vertikaler Geschwindigkeitsabfall vorliegen. Bei genügend langsamer Bewegung der oberen Platte kann man sich die Flüssigkeit in viele infinitesimal
dünne Schichten Ei der Dicke
dx
zerlegt denken, die aufeinander abgleiten, ohne
sich zu vermischen. Die Geschwindigkeiten der einzelnen Schichten können jedoch
beliebig verschieden sein.
Eine solche Strömung wird als Schicht- oder Laminarströmung bezeichnet. Betrachtet man nun zwei aneinander vorbei gleitende Schichten der Dicke
dx ,
so wirkt an
deren Grenzfläche eine der Bewegungsrichtung entgegen gerichtete Reibungskraft
r
dν
FR = η A
dx
wobei
(2)
dν
die auf die Dicke dx bezogene Geschwindigkeitsänderung dv und der
dx
Proportionalitätsfaktor
r
η
die dynamische Viskosität darstellt. Eine gleich große Tan-
gentialkraft F muss an der oberen Platte angreifen, um diese zu bewegen. Die dynamische Viskosität (auch kurz Viskosität oder Zähigkeit genannt) ist für die Flüssigkeit charakteristisch aber temperaturabhängig. Für die Maßeinheit der Viskosität
ergibt sich aus Gl. (2)
[η ] = Pa s.
Die Temperaturabhängigkeit der Viskosität lässt sich durch einen Ansatz der Form
4
⎧ B ⎫
η (T) = A exp ⎨ ⎬
⎩ T ⎭
(3)
beschreiben, wobei A und B Materialkonstanten sind und die Temperatur T stets in
Kelvin einzusetzen ist.
2.2
Messung der Viskosität mit der Kugelfallmethode nach STOKES
Die dynamische Viskosität einer Flüssigkeit kann man z. B. ermitteln, indem man die
Sinkgeschwindigkeit einer in dieser Flüssigkeit fallender Kugel (Radius
VK
und Dichte
rK , Volumen
ρ K ) bestimmt. Auf die Kugel wirken drei Kräfte:
4π 3
rK g ,
3
die Gewichtskraft
FG = mK g = ρKVK g = ρK
die Auftriebskraft
FA = −mFl g = − ρFlVK g = − ρFl
und die Reibungskraft
Für die Reibungskraft
4π 3
rK g
3
(4a)
(4b)
FR . .
FR lässt
sich durch Verallgemeinerung des Newton’schen
Reibungsansatzes für die laminare Strömung um eine Kugel das sogenannte
Stokes’sche Reibungsgesetz (4c) herleiten:
FR = −6πην rK .
(4c)
Interessierte Studenten finden die Herleitung in Lehrbüchern der theoretischen Mechanik, z. B. Schmutzer (s. Literaturverzeichnis).
Das Gesetz von STOKES ist eine Näherung für kleine Fallgeschwindigkeiten und gilt
mit ausreichender Genauigkeit, solange die Reynolds’sche Zahl Re
Re =
ρ Fl ν rK
η
(4d)
kleiner als eins ist, und nur für unendlich ausgedehnte Flüssigkeiten.
Im Gleichgewicht verschwindet die resultierende Kraft, d. h. die Kugel sinkt mit konstanter Geschwindigkeit und aus den Gln.(4a) – (4c) folgt
5
6πη rK ν =
Setzt
man
die
aus
Fallstrecke
4π 3
rK g ( ρ K − ρ Fl ) .
3
und
Fallzeit
(5)
bestimmte
l
ν = = const. in Gl.(5) ein und stellt nach der Viskosität η
t
Geschwindigkeit
um, erhält man:
2
t
η = g rK2 ( ρK − ρFl ) .
9
l
(6)
In der praktischen Ausführung lässt man eine Kugel mit dem Radius
rK
in ein senk-
recht stehendes, ca. 1 m langes (h), die Versuchsflüssigkeit enthaltendes
Rohr mit dem Radius R fallen (Abb. 2)
M1 2r
K
h
ℓ
v
2R
M2
Abb. 2 : Kugelfallmethode nach STOKES
Nachdem die Kugel eine gewisse Strecke in der Flüssigkeit zurückgelegt hat, ist das
Kräftegleichgewicht entsprechend Gl.(5) erreicht, und sie durchläuft die durch die
Ringmarken M1, M2 gekennzeichnete Messstrecke
l
mit konstanter Geschwindig-
keit ν . Die Fallzeit ist bei gleichen Messbedingungen ein Maß für die Viskosität.
Da die Kugel nicht in einem unendlich ausgedehnten Medium fällt, vergrößert sich
infolge der Nähe der Gefäßwände die Reibungskraft. Im Allgemeinen ist h »
rK
,
und deshalb ist eine Korrektur wegen der endlichen Höhe nicht erforderlich. Der Einfluss des Rohrradius kann durch einen experimentell bestimmten Korrekturfaktor der
6
Form
(1 + 2,4
rK
) berücksichtigt werden. Mit Gl.(6) folgt somit für die Berechnung
R
der Viskosität
2 ( ρK − ρ Fl ) g rK2 t
1
η=
⋅ ⋅
.
rK ⎞
g
l ⎛
⎜1 + 2,4 ⎟
R ⎠
⎝
2.3
(7)
Bestimmung der dynamischen Viskosität mit der Schwingtiegelmethode
Ein mit der zu untersuchenden Flüssigkeit gefüllter zylindrischer Probenbehälter wird
an einem Torsionsdraht aufgehängt und in eine freie gedämpfte Drehschwingung
versetzt. Idealerweise, d.h. insbesondere bei Vermeidung störender Pendelbewegungen, folgt die resultierende Bewegung der Bewegungsgleichung
&& L Φ+
& D Φ= 0 .
J Φ+
(8)
Dabei ist J das Trägheitsmoment der gesamten Drehpendelanordnung, D das vom
Draht bewirkte und von dessen elastischem Verhalten abhängige Richtmoment. Die
Flüssigkeitsteilchen, die unmittelbar mit der Wand des Probenbehälters in Kontakt
stehen, folgen der Drehbewegung aufgrund der kohäsiven Kräfte. Die innere Reibung der Flüssigkeiten dämpft die Bewegung jedoch innerhalb einer gewissen
Grenzschicht, so dass in der Flüssigkeit ein Geschwindigkeitsgradient in radiale
Richtung entsteht. Der die Dämpfung der Drehschwingung charakterisierende Parameter L ist daher eine Funktion der Luftreibung und der durch Gl. (2) beschriebenen dissipativen Kräfte in der Flüssigkeit, deren Maß die gesuchte dynamische Viskosität ist.
Aus den charakteristischen Größen der gedämpften Schwingung, Schwingungsdauer T und logarithmisches Dekrement
Λ , kann die dynamische Viskosität nach einer
halbempirischen Gleichung bestimmt werden:
3
2
1
2
Λ T = K ( ρη ) .
(9)
Das logarithmische Dekrement ist zuvor um die Dämpfung der Drehschwingung des
leeren Probengefäßes in Luft zu korrigieren. Die Gerätekonstante K muss aus der
Messung mit einer Flüssigkeit bekannter Viskosität bestimmt werden. Bei dieser Referenzmessung und allen folgenden Messungen ist die Füllhöhe des Probenbehälters - und damit die durch das Fluid angeströmte Fläche (vgl. Gl. (2)) gleich zu halten.
7
Die Schwingtiegelmethode eignet sich, um Flüssigkeiten mit geringer dynamischer
Viskosität (einige mPa·s) zu untersuchen. Aufgrund des einfachen Versuchsaufbaus
kann dieser auch in Hochvakuum- und Hochtemperaturumgebungen installiert werden. Sofern ein geeigneter Probencontainer zur Verfügung steht, können damit reaktive Flüssigkeiten untersucht werden. Die Methode wird daher derzeit weltweit zur
Viskositätsbestimmung an flüssigen Metalllegierungen eingesetzt.
2.4
HÖPPLER - Viskosimeter
Für Routinemessungen der Viskosität wird das HÖPPLER-Viskosimeter (Abb. 3)
verwendet. Darin fällt eine Kugel in einem Rohr, dessen Innendurchmesser nur wenig größer als der Kugeldurchmesser ist. Wäre dieses Rohr senkrecht aufgestellt, so
würde die Kugel in der Regel in unkontrollierter Weise die Rohrwand berühren. Ihre
Bewegung wird reproduzierbar, wenn man wie beim HÖPPLER-Viskosimeter das
Rohr um einige Grad neigt. Das führt dazu, dass die Kugel an der Rohrwand gleiten
kann. Die Viskosität wird hier nach der empirischen Formel
η = K ( ρK − ρFl ) t
(10)
berechnet, wobei K eine Konstante des Viskosimeters ist und t die Fallzeit der Kugel
zwischen zwei gegebenen Marken am Viskosimeter. In der Kugelkonstanten K sind
also die übrigen in Gl.(7) auftretenden Größen und die erforderlichen Korrekturfaktoren zusammengefasst.
Abb. 3 : HÖPPLER - Viskosimeter
3.
Versuchsdurchführung
8
3.1 Kugelfallmethode nach STOKES
Messen Sie die Fallzeiten von Kugeln verschiedener Radien in Glyzerin. Bestimmen
Sie die benötigten Abmessungen. Ermitteln Sie die aktuelle Zimmertemperatur und
die zugehörige Dichte der Versuchsflüssigkeit.
3.2 Schwingtiegelmethode
Zur Ermittlung der dynamischen Viskosität nach der Schwingtiegelmethode sind zunächst die Schwingungsdauer und das logarithmische Dekrement der freien gedämpften Drehschwingung zu bestimmen. Dazu wird eine an das Computermesssystem CASSY® angeschlossene Gabellichtschranke genutzt, die durch einen rotationssymmetrisch geformten Auslöser unterbrochen wird. Auslöser und Lichtschranke sind so zueinander auszurichten, dass die Lichtschranke in der Ruhelage des
Pendels (Nulldurchgang des Drehwinkels) nicht unterbrochen wird. Gleichzeitig sollten zum Auslösen der Lichtschranke nicht zu große Auslenkungen erforderlich sein,
um ausreichend viele Messwerte erfassen zu können. Mittels Messsoftware werden
die Zeitpunkte registriert, zu denen die Lichtschranke ausgelöst wird - diese Zeitpunkte entsprechen einer festen Schwingungsphase. Die Kenntnis des genauen
Auslenkwinkels ist nicht erforderlich - dieser wirkt sich lediglich auf den Amplitudenfaktor der Schwingungsfunktion
⎛ 2 π
⎞
⎛ Λ ⎞
Φ ( t ) =Φ 0 sin ⎜ t + α ⎟ exp ⎜ − t ⎟
⎝ T
⎠
⎝ T ⎠
(11)
aus. Abb. 4 zeigt schematisch den Versuchsaufbau und die resultierenden Messwerte.
Torsionsdraht
Drehwinkel φ
Gabellichtschranke
®
(CASSY -Experimentiersystem)
Auslöser für
Lichtschranke
Behälter für
Probenflüssigkeit
a
Position der
Lichtschranke
Zeit t
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
b
Abb. 4: a) Versuchsaufbau zur Messung mit der Schwingtiegelmethode, b) er
fasste Zeitmesswerte und Schwingungsfunktion
9
Die Information über den Winkel zwischen Auslöser und Lichtschranke im Ruhezustand ist in den unterschiedlichen Zeitspannen zwischen erstem und zweitem bzw.
zweitem und dritten Auslösen der Lichtschranke während einer Schwingung, Informationen über die Dämpfung in der zeitlichen Entwicklung der Zeitspannen enthalten. Die gesuchten Größen
Λ
und T können daher mit einer Kurvenanpassung im
Messprogramm (freie Anpassung, auf sinnvolle Startwerte achten) bestimmt werden.
Am Arbeitsplatz stehen Ihnen verschiedene Wasser-Glyzerin-Gemische zur Verfügung, darunter reines Wasser. Die Versuchsflüssigkeiten sind nach dem Experiment
in die entsprechenden Vorratsbehälter zurückzufüllen. Um eine Durchmischung der
verschiedenen Flüssigkeiten zu vermeiden sind die Probenbehälter nach dem Versuch zu spülen und zu trocknen. Die Dichten der Versuchsflüssigkeiten können Sie
durch Wägung und Volumenbestimmung im Probenbehälter (Kalibrierstrich verwenden, Leermasse des Probengefäßes beachten) ermitteln.
Arbeiten Sie bei der Justage des Schwingtiegelviskosimeters, bei der Auslenkung
des Drehpendels und beim Probenwechsel besonders achtsam - das Deformieren
oder gar reißen des Torsionsdrahtes muss unbedingt vermieden werden. Die Reparatur ist zeitaufwändig underfordert das Neubestimmen der Gerätekonstante!
Messen Sie zunächst das durch Luftreibung hervorgerufene logarithmische Dekrement bei leerem Probenbehälter. Führen Sie dazu fünf Versuche durch und ermitteln
Sie jeweils das Dekrement. Für die weitere Auswertung verwenden Sie den Mittelwert.
Führen Sie anschließend für die Versuchsflüssigkeiten die Messungen durch. Mitteln
Sie auch hier das logarithmische Dekrement und die Schwingungsdauer aus fünf
Versuchen. Subtrahieren Sie vor der Berechnung der dynamischen Viskosität nach
Gleichung (9) das durch Luftreibung verursachte Dekrement vom dem mit Versuchsflüssigkeit gemessenen. Die Gerätekonstante K wird durch den Betreuer gegeben.
Berücksichtigen Sie für die Darstellung des η − c − Zusammenhanges, dass sich die
dynamische Viskosität des Glyzerin-Wasser-Gemischs durch die Zunahme des Glyzeringehaltes um mehrere Größenordnungen ändert.
3.3 HÖPPLER - Viskosimeter
Justieren Sie das Gerät. Mit Hilfe eines Thermostaten kann die jeweilige Messtemperatur eingestellt werden. Durch Drehen des Fallrohres wird die Kugel in die
10
Startposition gebracht. Nach erneutem Umlegen des Fallrohres wird dann zwischen
den äußeren Marken die Fallzeit gemessen. Für jede Temperatur ist die Fallzeit
mindestens 10 mal zu messen. Die für das benutzte HÖPPLER - Viskosimeter charakteristischen Parameter (Kugelkonstante, temperaturabhängige Dichten) liegen am
Messplatz aus.
Die Anzahl der Temperaturschritte und Messungen bei jeder Temperatur werden
vom betreuenden Assistenten vorgegeben. Zur Ermittlung der Materialkonstanten A
und B aus Gl.(3) ist es zweckmäßig lnη über 1/T darzustellen.
4.
Kontrollfragen
4.1
Was ist eine laminare und was ist eine turbulente Strömung?
4.2
Was versteht man unter der Reynolds’schen Zahl und welche praktische Bedeutung hat sie?
4.3
Begründen Sie, warum eine laminare Strömung in einem Rohr ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil hat.
4.4
Begründen Sie, dass sich die Kugel nach ausreichend langer Zeit mit einer
konstanten Geschwindigkeit in der Flüssigkeit bewegt.
4.5
Wie ändert sich die Viskosität einer Flüssigkeit mit steigender Temperatur?
Welche anschauliche Bedeutung haben die Konstanten A und B in Gl.(3) und
was ist bei der grafischen Darstellung bezüglich der Maßeinheiten zu beachten?
4.6
Warum eignet sich die Schwingtiegelmethode nicht zur Untersuchung hochviskoser Flüssigkeiten wie Glyzerin?
11