Modulprüfung Lineare Algebra I - KIT

Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
21. September 2017
Modulprüfung
Lineare Algebra I
Name, Vorname:
Matrikelnummer:
Fachrichtung:
Semester:
Zur Bearbeitung: Verwenden Sie für die Bearbeitung jeder Aufgabe ein neues Blatt, auf welches
Sie die Nummer der Aufgabe sowie Ihren Namen schreiben.
Führen Sie Beweise in allen Einzelheiten aus. Wenn Sie Sätze der Vorlesung anwenden, benennen Sie diese genau. Wo gerechnet werden muss, schreiben Sie nicht nur die Zahlen hin,
sondern erklären und begründen Sie alles, was Sie tun. Hilfsmittel sind nicht erlaubt.
Die Bearbeitungsdauer beträgt 120 Minuten.
Zur Auswertung: Für jede der sechs Aufgaben gibt es maximal 8 Punkte. Sie haben die
Prüfung bestanden, wenn Sie mindestens 17 der 48 möglichen Punkte erreicht haben.
Punkte (Wird von den Prüfern ausgefüllt!)
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
Σ
Note
I.6
Bitte kreuzen Sie hier an,
⇐= welche Aufgaben Sie bearbeitet
haben.
Aufgabe I.1
Für n ∈ N bezeichne GLn (Q) die Gruppe aller invertierbaren Matrizen in Qn×n .
Gegeben sei die Teilmenge


a
n
o
A b  G= 
A ∈ GL2 (Q), a, b ∈ Q
0 0 1
von GL3 (Q) sowie die Abbildung

a
 A b  7 → A.
0 0 1

Φ : G → GL2 (Q) ,
Zeigen Sie:
(a) Die Menge G ist eine Untergruppe von GL3 (Q).
(b) Die Abbildung Φ : G → GL2 (Q) ist ein Gruppenhomomorphismus.
(c) Der Kern von Φ ist isomorph zu Q2 mit der komponentenweisen Addition.
Aufgabe I.2
Es sei A ∈ C2×2 und
L A : C2×2 → C2×2 ,
X 7→ A · X,
die Abbildung, die durch Linksmultiplikation mit A gegeben ist.
(a) Zeigen Sie, dass L A (für festes A) ein Endomorphismus des Vektorraumes C2×2
der komplexen 2 × 2-Matrizen ist.
(b) Es sei nun
A=
−1 2
.
2 −4
Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von L A bezüglich der geordneten Basis
n 1 0 0 1 0 0 0 0 o
B=
,
,
,
.
0 0
0 0
1 0
0 1
(c) Bestimmen Sie für die Matrix A wie in Teil (b) eine Basis von Kern( L A ) und eine
Basis von Bild( L A ).
Aufgabe I.3
Gegeben sei das folgende Gleichungssystem mit a, b ∈ R:
b · x1 + x2 +
x3 = 1
2 · x1 + x2 + a · x3 = 1
x1
+ 3 · x3 = 1
(a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge für a = 3 und b = 1.
(b) Bestimmen Sie jeweils alle ( a, b) ∈ R2 , so dass das Gleichungssystem
• keine Lösung,
• genau eine Lösung bzw.
• unendlich viele Lösungen
hat.
Aufgabe I.4
Es seien K ein Körper, V, W endlich dimensionale K-Vektorräume und Φ : V → W
eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent
sind:
(i) Φ ist surjektiv.
(ii) Für jede Linearform β : W → K gilt:
Ist β ◦ Φ : V → K die Nullabbildung, so ist β die Nullabbildung.
Aufgabe I.5
Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K und Φ ein Endomorphismus von V.
(a) Geben Sie eine Definition der Begriffe „Eigenwert“ und „Eigenvektor“ an.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
1. Gilt Φ2 = Φ, so hat Φ keine Eigenwerte außer 0 und 1.
2. Hat Φ2 den Eigenwert λ2 , so hat Φ den Eigenwert λ.
3. Ist Φ bijektiv und λ Eigenwert von Φ, so ist λ−1 Eigenwert von Φ−1 .
Aufgabe I.6
Es seien n ∈ N eine natürliche Zahl und α1 , α2 , . . . αn ∈ R. Berechnen Sie die Determinante der beiden Matrizen


1 + α1
α1
α1 · · ·
α1
 α2
1 + α2 α2 · · ·
α2 
 .
.. 
.
..
..


..
.
.
.  ∈ Rn × n
An :=  ..


..

α
.
α
α
·
·
·
n −1
n −1
n −1
αn
αn
αn · · · 1 + αn
und Bn = (bij ) ∈ Rn×n mit
bij =
0, falls i = j,
1, sonst.