Mathematik Trigonometrie Einführung

Mathematik
Trigonometrie
Einführung
Was bedeutet Trigonometrie und mit was beschäftigt sich die Trigonometrie?
Wortkunde:
• tri
bedeutet 'drei'
• gon
bedeutet 'Winkel'/'Eck'
• metrie bedeutet 'Messung'
Bsp. Triathlon, . . .
Bsp. Pentagon – das Fünfeck mit 5 Winkeln
Bsp. Geometrie – die Erdvermessung
Das Wort impliziert also die 'Dreiwinkelmessung' oder allgemein die
'Dreiecksberechnung'.
Während die Planimetrie die Konstruktion eines Dreieckes aus gegebenen Stücken
lehrt, bei der die Genauigkeit der Resultate verhältnismässig gering ist, liefert die
Trigonometrie auf rechnerischem Weg exaktere Ergebnisse.
Erklärung der trigonometrischen Funktionen:
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC seien a und b die Katheten, c die
Hypothenuse, die spitzen Winkel entsprechend α und β ,
wobei gilt: α + β = 90o.
Man nennt a die Gegenkathete und b die Ankathete von
Analog nennt man
α.
a die __________________ und
b die __________________ von
β.
Zieht man in einem rechtwinkligen Dreieck ABC zur Kathete a Parallelen wie B1C1,
B2C2 usw., so entstehen rechtwinklige Dreiecke AB1C1, AB2C2 usw., die einander
ähnlich sind. Daraus folgt (Strahlensätze):
a a1 a2
= =
≈ ________
c c1 c 2
Da durch das Verhältnis zweier Seiten das
rechtwinklige Dreieck in seiner Gestalt
festgelegt ist, ist auch die Grösse des
Winkels α (und damit natürlich auch β )
eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist das
Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck
durch den Winkel α bestimmt.
Man bezeichnet ein solches
Streckenverhältnis als eine Funktion des
Winkels α und zwar als
trigonometrische Funktion von α .
Dadurch ist die Möglichkeit gegeben, gesuchte Winkel durch Streckenverhältnisse
auszudrücken. Auf diese Weise kommt man über die metrische Geometrie der
Ebene, die hauptsächlich nur Beziehungen zwischen Strecken kennt, hinaus –
man denke an die Satzgruppe des Pythagoras, die nur Aussagen über
Beziehungen zwischen Strecken macht – zur Trigonometrie als neuen
Wissenszweig.
TR1-TAL100
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Mathematik
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Trigonometrie
Die Definition der trigonometrischen Funktionen
Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Hypothenuse wird als der
G a
Sinus von α bezeichnet: sin α = =
H c
Das Seitenverhältnis Ankathete zu Hypothenuse wird als der
A b
Cosinus von α bezeichnet: cos α = =
H c
Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete wird als der
G a
Tangens von α bezeichnet: tan α = =
(Steigung)
A b
Das Seitenverhältnis Ankathete zu Gegenkathete wird als der
A b
Cotangens von α bezeichnet: cot α = =
G a
Mit dem cot werden wir nie rechnen, es gibt auch keine cot-Taste auf dem TR.
Es ist Zeit für die Eselsleiter:
Die Trigonometrie befasst sich mit sin, cos, tan, cot; dies finden die Schüler GAGA.
Es wurde deshalb die GAck GAck HühnerHof AG gegründet:
sin cos tan cot
G
A
G
A
H
H
A
G
Ein anderer Spruch (gefunden in Wikipedia) lautet (Spalten weise gelesen):
Geh Heim, Altes Haus, Gib Acht Auf's Geld!
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Mathematik
Trigonometrie
Die trig. Funktionen und Umkehrfunktionen auf dem Rechner
sin α =
Gegenkathete
Hypothenuse
=
G
H
Der Sinus von α
ist
G durch H
sin 36,86990 =
36,86990
Ankathete
=
Hypothenuse
A
tan α =
H
Der Kosinus von α
ist
A durch H
3
= 0,6
5
0,6
sin-Taste
cos α =
cos 36,86990 =
36,86990
=
Ankathete
G
A
Der Tangens von α
ist
G durch A
4
= 0,8
5
0,8
cos-Taste
Gegenkathete
tan 36,86990 =
36,86990
3
= 0,75
4
0,75
tan-Taste
36,86990 sin-1-Taste 0,6
36,86990 cos-1-Taste 0,8
36,86990 tan-1-Taste 0,75
sin−1 0,6 = 36,86990
cos−1 0,8 = 36,86990
tan−1 0,75 = 36,86990
−1
sin
Gegenkathete
Hypothenuse
−1
= sin
G
H
=α
−1
cos
Ankathete
Hypothenuse
−1
= cos
A
H
=α
−1
tan
Gegenkathete
Ankathete
−1
= tan
G
A
=α
Der Arkussinus
von G durch H
ist α
Der Arkuscosinus
von A durch H
ist α
Der Arkustangens
von G durch A
ist α
Die Umkehrfunktion
vom sin ist sin-1
Die Umkehrfunktion
vom cos ist cos-1
Die Umkehrfunktion
vom tan ist tan-1
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Trigonometrie
Übungen
Berechnen Sie in den Aufgaben 1 und 2 die Werte der Winkelfunktionen sin, cos
und tan auf 4 Nachkommastellen genau:
1.
2.
α = 37,5°
β = 49°22'33''
TR
a)
sin(37,5°) =
b)
cos(37,5°) =
c)
tan(37,5°) =
TR (umrechnen auf dezimal)
ohne Funktionstaste
TR (umrechnen auf ° ' '')
ohne Funktionstaste
β = __, ______ °
β = 49,375 833 333°
β = __ ° __' __''
3.
Berechnen Sie aus den gegebenen Werten der Winkelfunktion den Winkel auf
erstens:
4 Nachkommastellen genau:
zweitens: Grad, Minuten und Sekunden genau
a)
sin(α ) = 0,123 456
b)
cos(β) = 0,654 321
c)
tan( γ ) = 1,234 567
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Trigonometrie
Die trig. Funktionen und Umkehrfunktionen auf dem Rechner
Lösungen
Berechnen Sie in den Aufgaben 1 und 2 die Werte der Winkelfunktionen sin, cos
und tan und auf 4 Nachkommastellen genau:
1.
2.
α = 37,5°
TR
β = 49°22'33''
a)
sin(37,5°) =
0,608 8
b)
cos(37,5°) =
0,793 4
c)
tan(37,5°) =
0,767 3
TR (umrechnen auf dezimal)
ohne Funktionstaste
O


β = 49 + 22 + 33 

60 3' 600 
β = 49,375 833 3330
β = 49,375 833 333° TR (umrechnen auf ° ' '')
β = 49,375 833 333°
β = 49° Re st 0,375 833 333°
ohne Funktionstaste
60 ⋅ 0,375 833 33° = 22' Re st 0,55'
β = 49° 22' Re st 0,55 '
60 ⋅ 0,55' = 33 ''
β = 49° 22' 33''
3.
Berechnen Sie aus den gegebenen Werten der Winkelfunktion den Winkel auf
erstens:
4 Nachkommastellen genau:
zweitens: Grad, Minuten und Sekunden genau
a)
sin(α ) = 0,123 456
b)
cos(β) = 0,654 321
c)
tan( γ ) = 1,234 567
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α = 7,091 6°
β = 49,131 8°
γ = 50,992 5°
= 7° 5' 30''
= 49° 7' 55''
= 50° 59' 33''
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sin α =
Trigonometrie
Übungen
G a
= ;
H c
cos α =
A b
= ;
H c
tan α =
4: Berechnen Sie für folgende Winkel
α =0,1°
a)
sin α =
______
α
G a
=
A b
die sin-, cos- und tan-Werte:
α =89,9°
______
Schlussfolgerung: Die sin-Werte liegen zwischen ____ und ____
α =0,1°
b)
cos α =
______
α =89,9°
______
Schlussfolgerung: Die cos-Werte liegen zwischen ____ und ____
α =0,1°
c)
tan α =
______
α =89,9°
______
Schlussfolgerung: Die tan-Werte liegen zwischen ____ und ____
5: Pythagoräische Zahlentrippel
Sind in einem rechtwinkligen Dreieck alle drei Seiten ganzzahlig, so bilden diese
ein pythagoräisches Zahlentrippel.
Konstruieren Sie zu jedem Trippel das zugehörige rechtwinklige Dreieck
möglichst exakt und messen Sie die beiden spitzen Winkel. Berechnen Sie nun
die Winkel mit einer Winkelfunktion nach Ihrer Wahl und geben Sie die Winkel
in Grad, Minuten und Sekunden an:
a)
3, 4, 5
b)
5, 12, 13
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Trigonometrie
Lösungen
Lösungen Lösungen Lösungen Lösungen Lösungen Lösungen Lösungen
4: Berechnen Sie für folgende Winkel
a)
sin α =
α
α =0,1°
α =89,9°
0,0017
0,9999…
die sin-, cos- und tan-Werte:
Schlussfolgerung: Die sin-Werte liegen zwischen 0 und 1
b)
cos α =
α =0,1°
α =89,9°
0,9999…
0,0017
Schlussfolgerung: Die cos-Werte liegen zwischen 1 und 0
α =0,1°
c)
tan α =
0,0017
α =89,9°
572,9572
Schlussfolgerung: Die tan-Werte können beliebig gross werden
5: Pythagoräische Zahlentrippel
Sind in einem rechtwinkligen Dreieck alle drei Seiten ganzzahlig, so bilden diese
ein pythagoräisches Zahlentrippel.
Konstruieren Sie zu jedem Trippel das zugehörige rechtwinklige Dreieck
möglichst exakt und messen Sie die beiden spitzen Winkel. Berechnen Sie nun
die Winkel mit einer Winkelfunktion nach Ihrer Wahl und geben Sie die Winkel
in Grad, Minuten und Sekunden an:
a)
3, 4, 5:
sin α =
3
5
3
α = sin−1   = 36,86990
 5 
sin β =
4
5
4
β = sin−1   = 53,13010
 5 
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Trigonometrie
Lösungen
Umrechnung auf Grad, Minuten und Sekunden – Beispiel:
α = 36,8699 0
α = 36o , Re st 0,8699°
60 ⋅ 0,86990 = 52,194' α = 36o 52', Re st 0,194'
60 ⋅ 0,2' = 11,64'' α = 36o 52' 12''
o
Umgekehrt:
b)

52
12 
o
α = 36 +
+
 = 36,8699

60 3600 
5, 12, 13:
12
5
12 
α = tan−1   = 67,38010
 5 
tan α =
α = 67o 22' 48 ''
cos β =
12
13
12 
β = arccos   = 22,61990
13 
β = 22o 37' 12''
TR1-TAL100
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Trigonometrie
Alle Berechnungsmöglichkeiten im rechtwinkligen Dreieck
Berechung aller Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks aus
zwei gegebenen Stücken (Seiten, Winkel):
Anmerkung 1:
Gemäss den Kongruenzsätzen sind immer drei Stücke eines Dreiecks zu dessen Bestimmung
notwendig; da wir in diesem Kurs nur rechtwinklige Dreiecke betrachten ist ein rechter Winkel
immer vorausgesetzt – also sind nur noch zwei andere Seiten und/oder Winkel notwendig.
Beachten Sie auch noch Bemerkung 2
Anmerkung 2:
Eine Seite muss immer gegeben sein, sonst ist das Dreieck nur bis auf Ähnlichkeit bestimmt
Es gibt nur drei verschiedene Fälle:
1.
Zwei Seiten:
a) Dritte Seite mit SdP (Satz
des Pythagoras):
b = c 2 − a2 ; b = 52 − 32 = 4
b) Erster spitzer Winkel
α
mit
Trigonometrie:
G
= sin α ;
H
 G 
a
 = arcsin   ;
H
b
α = arcsin
 3 
 = 36,8699°
 5 
α = arcsin 
β mit
Trigonometrie – oder: β = 90°−α :
c) Zweiter spitzer Winkel
A
= cos β ;
H
TR1-TAL100
A
a
3
β = arccos   = arccos   ; β = arccos   = 53,1301°
H
c 
5
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2.
Trigonometrie
Alle Berechnungsmöglichkeiten im rechtwinkligen Dreieck
Hypothenuse und ein spitzer Winkel
α:
a) Kathete a mit Trigonometrie:
G
= sin α ; G = H ⋅ sin α ; a = c ⋅ sin α
H
a = 7 ⋅ sin (40°) = 4,50
b) Kathete b mit Trigonometrie –
oder mit SdP:
A
= cos α ; A = H ⋅ cos α ; b = c ⋅ cos α
H
b = 7 ⋅ cos ( 40°) = 5,36
c) Zweiter spitzer Winkel
β = 90° − 40° = 50°
3.
β = 90°−α :
Kathete und ein spitzer Winkel
α:
a) Zweite Kathete b mit Trigonometrie:
G
G
a
= tan α ; A =
; b=
A
tan α
tan α
6
b=
= 5,03
tan50°
b) Hypothenuse mit Trigonometrie - oder mit SdP
G
G
a
= sin α ; H =
; c=
H
sin α
sin α
6
c=
= 7,83
sin50°
c) Zweiter spitzer Winkel
β = 90°−α
β = 90° − 50° = 40°
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6.
Trigonometrie
Aufgabe 6
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel eines rechtwinkligen
Dreiecks wenn folgende Stücke gegeben sind:
(Tipp: Wenn Sie die Zeichnung exakt machen, können Sie ziemlich genau prüfen wie gut Sie gerechnet haben)
= 440
a) a = 6,
α
b) a = 6,
β = 440
c) c = 6,
β = 440
TR1-TAL100
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6.
Trigonometrie
Lösung Aufgabe 6
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel eines rechtwinkligen
Dreiecks wenn folgende Stücke gegeben sind:
(Tipp: Wenn Sie die Zeichnung exakt machen, können Sie ziemlich genau prüfen wie gut Sie gerechnet haben)
a) a = 6,
α
= 440
β = 460
G 6
= ;
A b
G 6
sin α = = ;
H c
tan α =
b) a = 6,
6
6
=
tan α tan 44°
6
6
c ⋅ sin α = 6; c =
=
sin α sin 440
b ⋅ tan α = 6; b =
b = 6,21
c = 8,64
β = 440
α = 460
G b
= ;
A 6
A 6
cos β = = ;
H c
tan β =
c) c = 6,
b = 6 ⋅ tan β = 6 ⋅ tan 440
b = 5,79
6
6
=
cos β cos 440
c = 8,34
c=
β = 440
α = 460
A a
= ;
H 6
G b
sin β = = ;
H 6
cos β =
TR1-TAL100
a = 6 ⋅ cos β = 6 ⋅ cos 440
a = 4,31
b = 6 ⋅ sin β = 6 ⋅ sin 440
b = 4,17
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7.
Trigonometrie
Aufgabe 7
Eine Luftseilbahn besteht aus zwei Sektionen – einer unteren Sektion US
und einer oberen OS. Die untere führt von 1200 müM auf 1750 müM und
die obere von 1750 müM auf 2100 müM. Die untere misst auf einer
Landkarte im Massstab 1:10'000 5,1 cm und die obere 4,3 cm.
a) Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung jeder Sektion und geben
Sie deren Elevationswinkel an
b) Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung beider Sektionen
zusammen und geben Sie deren Elevationswinkel an
c) Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage:
Der Elevationswinkel beider Sektionen zusammen ist das arithmetische
Mittel der Elevationswinkel der einzelnen Sektionen
d) Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage:
Die Steigung beider Sektionen zusammen ist das arithmetische
Mittel der Steigungen der einzelnen Sektionen
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Mathematik
7.
Trigonometrie
Lösung Aufgabe 7
Eine Luftseilbahn besteht aus zwei Sektionen – einer unteren Sektion US
und einer oberen OS. Die untere führt von 1200 müM auf 1750 müM und
die obere von 1750 müM auf 2100 müM. Die untere misst auf einer
Landkarte im Massstab 1:10'000 5,1 cm und die obere 4,3 cm.
a) Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung jeder Sektion und geben
Sie deren Elevationswinkel an
350
mOS =
= 0,8140 (= 81,40%)
430
 350 
β = tan−1   = 39,14400
 430 
550
= 1,0784 (= 107,84%)
510
 550 
α = tan−1   = 47,16110
 510 
mUS =
b) Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung beider Sektionen
zusammen und geben Sie deren Elevationswinkel an
900
m=
= 0,9574 (= 95,74%)
940
 900 
γ = tan−1   = 43,75460
 940 
c) Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage:
Der Elevationswinkel beider Sektionen zusammen ist das arithmetische
Mittel der Elevationswinkel der einzelnen Sektionen
Das arithmetische Mittel
47,16110 + 39,14400
= 43,15260
2
stimmt NICHT mit dem Wert aus b) überein
d) Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage:
Die Steigung beider Sektionen zusammen ist das arithmetische
Mittel der Steigungen der einzelnen Sektionen
Das arithmetische Mittel
81,40% + 107,84%
= 94,62%
2
stimmt NICHT mit dem Wert aus b) überein
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